OY
et
YOo?', = Oxx^ - 45%
on voit que
Par suite,
a;^OY = 90^ — 0.
De même, pourTangle OYz^,
Nous pouvons dès lors obtenir séparément les projections Oa?j Yjxr, et Ox\Y^z\ .
Pour Oa^jYjj^ (fig. 110 bù), tirer Ox^, incliné à 90« — sur OY^ jusqu'à sa rencontre x^ avec xY^ ; puis mener Oz^ parallèle à a?Y,
et Y,^j parallèle à Ox^. Pour Ox\Y^z\ {fig. 110 ter), tirer Oz\ incline à 9** sur OY jusqu'à sa rencontre z\ avec zY^ ; puis, mener 0,'^?', parallèle à z'Y^ et Y^x\ parallèle à Oz\.
Remarque. — Supposons une droite de l'espace rapportée au trièdre fondamental OXYZ. Si nous faisons varier Tangle 8, le plan P continuant à passer par OY, le point où Tombre de la droite coupera OYj sera un point fixe, intersection de OY et du plan naené par la droite considérée parallèlement aux rayons lumineux.
134. Cherchons par exemple la projection verticale de l'ombre sur le plan P (incliné a 8"*) du cylindre surmonté d'un cône déjà envisagé au n*" 131.
C'est ici à la figure noter qu'il nous faut nous référer.
Nous obtenons d'abord immédiatement en projection verticale les ombres o\^p\^s\ de [o.o') (V), {r>.p). {s.s) (f^. 111).
Pour avoir la projection de l'ombre du cercle de base, nous n'avons qu'à remarquer que le diamètre [abM'h') donne une projection a\h\ en vraie grandeur et que (toujours d'après la figure noter) le diamètre [cdxd') donne une projection inclinée à 45'' sur la première et telle que a\d\ et h\c\ font l'angle 6 avec o!J)\, c'est-à-dire sont parallèles à o',pV L'ellipse a'^ô'^c, ri', est ainsi complètement déterminée par ses diamètres conjugués a\h\ et c\d\.
Fio. 111.
(') On sN'sf. donné arbilmireniojit o\ sur la fignre IH. Il serait très facile dVn déduire la fiosilion de la liiinc do lorie «orrespondnnle.
De même, Tellipse, projection de Tombre du cercle de base du cône, se détermine par ses diamètres conjugués m\n\ et i'j/j. II ne reste plus qu'à mener à la première ellipse les tangentes parallèles à o',p\ et à la seconde les tangentes issues de s\ .
Si on voulait construire ces diverses tangentes avec plus de précision, il suffirait de remarquer que les premières sont les projections dfes ombres des génératrices d'ombre propre du cylindre, les secondes, les projections des ombres des génératrices d'ombre propre du cône.
13o. Ombre sur un plan incliné à 45*" à la fois sur
le sol et sur le mur. — C'est le cas particulier du problème précédent pour 6 = 45**. Les figures 110 bis et 110 ter deviennent alors identiques entre elles (c'est-à-dire que les projections de lombre sur le mur et sur le sol sont identiques). Elles se réduisent à la figure unique ci-contre (^. 112).
Fio. 112.
Fio. 113.
Puisqu'ici l'angle xfi:^^ est droit et que Oa?j =^^ Ov,, les figures situées dans les plans de profil ont pour projections, soit horizontales, soit verticales de leurs ombres, des figures qui leur sont semblables, le rapport de similitude étant -=.
Reprenons par exemple la fenêtre cintrée de la figure 95 et cherchons la projection verticale de son ombre sur un plan parallèle à la ligne de terre, incliné à 45° d'avant en arrière sur le sol.
112 CHAPITRE in. — THEORIE DES OMBRES USUELLES
Nous représenterons cette fenêtre rabattue en a'f^c'b'Jt't^'^ sur le plan de front passant par son axe {fig. 113).
Ayant construit la projection verticale o', de l'ombre de lo.o'), on en déduit immédiatement u\ et c', sur la droite u\c\ inclinée à 45° sur la ligne de terre.
On n'a plus qu'à décrire de o', comme centre le demi-cercle a\c\b\ de rayon o\a\ et à compléter le rectangle a\b\h\g\.
136. Pour construire les projections de l'ombre d'une sphère, il est inutile de recourir à la perspective axono métrique. Il suffif de faire la remarque suivante :
Dans le cube qui nous a servi au n" 98 à définir la direction AB du rayon lumineux [fig. MA) menons le plan MNPQ parallèle à
celui qui nous occupe. I.a projection ab du rayon AB sur ce plan est parallèle à la ligne de terre BC ; en outre, l'angle aOA que le rayon fait avec ce plan est le complément de celui que ce rayon fait avec AG, c'est-à-dire de l'angle », les angles faits par la diagonale AB avec les diverses faces du cube étant tous égaux entre eux. Si donc nous prenons l'intersection du cylindre d'ombre de la sphère avec le plan MNPQ, nous obtenons une ellipse ayant un aie parallèle à MP, égal au diamètre D de la sphère, et un axe parallèle
à MN, égal à ■
COSf
Le premier axe a une projection horizontale ou verticale égale à
-=; le second se projette parallèlemenl à la ligne de terre et en vraie
grandeur.
On a donc pour axes de la projeclion, soit horizontale, soit verticale,
et
ifif/. 115). Il n'y a, dès lors, qu'à répéter la construction donnée par la figure 109, après rotation de 90° autour du centre.
13T. Ombres sur les poI}'èdi*es. — Sachant construire les ooibres portées sur les plans quelconques, nous pouvons en déduire les ombres sur les polyèdres.
Supposons, par exemple, qu'un mur de profil arrêté au plan P [fi'j. 116) et rabattu sur le plan vertical en mnpz porte ombre sur une série de gradins inclinés dont les arêtes sont parallèles à la ligne
de terre et dont le profil est rabattu en a^b^a„b^ s, la droite a^s
étant supposée dans le plan vertical de projection.
Pour les ombres portées sur les parties verticales atû,, aj).,.... prenons les directions OX,, 0Y|, 0Z| correspondant aux trois directions principales (n" 115, /w/. 92 bis), en adoptant le segment tùz, pris sur le plan de profil rabattu, comme unité do longueur.
De même, pour les ombres portées sur les parties bia,,b.,a^, b.ya^, inclinées à l'angle ft sur l'horizon, prenons les directions OX.^ OYj, 01 A n' i3S, fig. iiO ter).
Pour avoir, en projection, la direction de l'ombre de ps sur les parties inclinées, portons OUq ^= wp, et tirons UoUj parallèle 3 X,,Y.,.U„Z,, est la direction cberchée. Cette droilecoupant OY en M, on aura en Z|M la direction de la projection de l'ombre de ps sur les parties verticales, en vertu de la remarque qui termine le n" 133.
iH CHAPITRE III. — THÉORIE DES OMBRES USUELLES
L'ombre commence au point c^ tel que PC, = ma,. Sur la partie verticale a^b^ la verticale mn donne c^d^ parallèle à OZp c'est-à-dire verticale, et sur la partie inclinée 6,ao, Tombre d^n^ parallèle à OZ.., c'est-à-dire inclinée à 6** sur Tarête b^d^. Cette ombre d,w, s'arrête, d'ailleurs, sur l'horizontale du point n^ où la projection rabattue du rayon lumineux de n sur le plan de profil P coupe a^ô.,. On voit aiséraonl que cette projection nno est à 45° sur mn.
L'élément horizontal np donne l'ombre n^p^ parallèle à OX.,, c'eslà-dire à 45** sur ^oPi-
Les ombres p^Cc,, d^c^y d.-^c^,. données par pxr sur les parties inclinées, sont parallèles à MZ., ; de même, c^d,, c^d^^ c^j, données par la même dvoiie pjs sur les parties verticales, sont parallèles à MZj.
§ 4. — Ombres portées sur des surfaces
138* Méthode générale. — La méthode la plus générale pour obtenir les ombres portées sur une surface S est celle des projections obliques, exposée au n"* 93. La seule précaution a prendre dans l'application de cette méthode consiste à choisir avec discernement les sections de cette surface S dont on prendra les projections obliques. Il va de soi que si cette surface est réglée on prendra ses génératrices. Si les plans parallèles à un des plans de projection la coupent suivant des cercles, on choisira ces cercles.
A. — Cylindres a, — Généralités
139. Cylindres parallèles aux trois directions principales. — Nous ne considérons ici que des cylindres parallèles aux trois directions principales (') (verticale, perpendiculaire au mur, parallèle à la ligne de terre), et nous appellerons pour plus de simplicité les cylindres correspondants des cylindres verticaux, des cylindres de bout el des cylindres de front.
Il convient de remarquer tout d'abord qu'on peut se borner à élu-
(*) S'il s'apissail de lioiiver les oiiilues suiun cylindir de direction quelconque, la niéthodo resterait la nit^ine; on projetterail le corps port*uil ombre et les génémtrices du cylindre parallèlement aux rayons lumineux, sur un des plans de projection.
dier les ombres pour une seule de ces espèces de cylindres, les cylindres verticaux par exemple.
Pour ceux-ci, la disposition par rapport au rayon lumineux est celle indiquée par la figure 117.
Pour les cylindres de bout, on a la figure 118, mais il suffit de prendre la projection sur le mur comme projection horizontale et celle sur le sol comme projection verticale pour obtenir la disposition
Fio. 117.
KiG. 118.
FiG. 118 bis.
représentée par la figure 118 bis où R a donné R\, et R', R^. On voit que cette disposition ne diffère de celle de la figure 117 que par le changement du côté d'où vient la lumière.
Fio. U9.
Fio. 119 bis.
Pour les cylindres de front, on a la figure 119 sur laquelle on a représenté la section droite rabattue sur le mur avec la projection R" du rayon lumineux sur le plan de cette section(*). Si donc on prend
i*') Si, en elTet,;oii se reporte à la ligure 114, on voit i[\iv la projertion du rayon lumineux sur le plan de profil BNDQ est I)B, qui, après ra!)aUeiTient à droite de ce plan de profil sur le mur, devient parallèle à NC.
ce plan de section droite pour plan horizontal en conservant le même plan vertical, on obtient la figure 119 bis qui reproduit encore la disposition de la figure 117 après changement du côté d'où vient la lumière.
Nous pouvons donc nous borner à étudier les ombres portées sur des cylindres verticaux.
140. Ombre portée par un point ou par une ligne sut* un cylindre vertical. — Soit à prendre Tombre du poinl {m.m\
sur le cylindre {ab,ab') {fîg. 120). Remarquons d*abord que, pour que ce point porte une ombre qui soit vue en projection verticale, il faut que sa projection horizontale m soit comprise entre les projections de rayons lumineux passant Tune en 6, Tautre tangente à la base, qu'elle touche au point c. Le plan projetant horizontalement le rayon lumineux du point [m.m) coupe le cylindre suivant la génératrice du point mp dont la projection verticale rencontre enm'^ la projection verticale de ce rayon.
Si le point (m.m') décrit une courbe (y. y'), on obtient pour chaque position de ce point une ombre m\ en projection verticale. Le lieu de ces points est la projection verticale y^ de l'ombre portée sur le cylindre par la courbe (y. y') que décrit le point [m.in).
141. Construction de la tangeiile. — Proposons-nous d'obtenir la tangente en 7n\ à la courbe y'j, connaissant les tangentes tnt et mt\ en m et en m\ aux courbes y et y'. Il nous suffit pour cela de prendre le point (t,t') où la tangente [mt.mt') coupe le plan tangent au cylindre en im,m) (c'est-à-dire le plan vertical dont la trace horizontale m^t est tangente en ?/i, à la base du cylindre) et de tirer m^^j (n** 91, remarque).
La tangente cherchée est donc 7n\t\
FiG. 120.
142. Ombres portées par des droites parallèles aux directions principales. — Soient, parle point (o.o') qui donne, en projection verticale, l'ombre o\^ trois droites (orc.oV), {oy.o'y \, {oz,oz) parallèles aux directions principales [f\g. 121).
OMBRES PORTEES 81
On voit que l'ombre o(z\ de la de
celle o{x\ de la première est une d
muis sur laqttelle les rapports segm
Cherchons maintenant l'ombre o\
Le point [m.m] de [oy.o'y] doi
triangles mm.u. et m'm .•!.' sont à la
On conclut de là que l'ombre o\y\ c symétrique de bo^m^ca par rapport à 06, déplacée verticalement de manière à passer par o\. En d'autres termes, la courbe o\m\y\ n'est autre que le rabattement de la section droite du cylindre sur le plan du mur. fait en amenant en haut la partie antérieure de cette courbe.
Remarquons qu'au point de perte y\ de cette ombre portée dans la génératrice d'ombre propre ce du cylindre, la tangente, étant symétrique de la langenle en c àla base par rapport à la direction de la ligne de terre, est, comme celte tangente yc, inclinée à 45° sur cette direction, ce qui est bien conforme
l'^3. Déci'ochcinentct i*c»
considérons un cylindre tel que ( figure 122, nous voyons que les ( entre les génératrices a et c, ou d & de a en 6, ou de d en e, la partie co!
l'ombre propre, de h en c, ou de e par la partie voisine du même cyli auto-portée.
Dès lors, si nous prenons l'omt
cylindre, nous voyons que cette ombre o\dc' ne sera vue que
de o\ en a', de c' en cï' et de f en (/'. On est dans l'habitude de dire que l'ombre ressaute de a en c , et de d en /'.
Les points c et f sont dits des pointx de brisure.
Aux points de perte a\d',g\Ï3. tangente, ainsi que le veut I-* théorème du n" 96, est inclinée à 45°sur laligne de terre. Cela résulte immédiatement de l'examen de la figure, la courbe o\a'c'... étant symétrique de o^ac... par rapport à une parallèle à la ligne de terre.
Si on suppose que la droite (oy. o'y) est le bord antérieur d'un plan opaque posé sur le cylindre, on a l'ombre indiquée par les hachures de la figure 122.
Les architectes appellent dans ce cas la courbe o\dc.. décrochement de l'ombre.
14-5. Ombi'c portée par une surlace. — Nous allons appliquer la méthode des projections obliques (n' 93), en prenant pour plan de projection le plan du mur.
Commençons donc par construire l'ombre S, portée sur le mur par le corps S donné (/w/. 123). Gela fait, projetons une génératrice quelconque, celle du point m par exemple ; nous obtenons ainsi la droîlc 7ji|m',m'\ qui coupe S, en m\ et m",. Ces points, par le retour
inverse du rayon, donnenl les points m' e sur la génératrice du point m.
La génératrice p d'ombre propre du cy les points p\ 'elp'\ sur S,, d'où se dédui et p" où, d'après le théorème du n" 9i tangente- respectivement èip'p\ e\,p"p'\.
La verticale ;j-,;j.', tangente à Si doni courbe d'ombre portée, c'est-à-dire le p tangente est verticale.
licinarque. — Si la courbe S, coupait 1 d'ombre portée couperait évidemment cei points. On pourrait être tenté de croire, n" 95, que cette courbe d'ombre portée se à bb', mais il faut remarquer que le théor querait que si le plan tangent au cylindi pendiculaire au plan vertical, ce qui n'ea la figure 123.
l^tîi. Construction de la tang
tangente en un point quelconque m de 1 qu'à prendre le point {m^.m'f^) correspondant de la courbe d'ombre propre du corps S. Si {m^t.m^t') est la tangente à cette courbe en ce point, on en déduit la tangente en m' par la construction donnée au n° 141. Mais on peut varier cette construction. En effet, le plan tangent au cylindre d'ombre de la surface S en {m^.m\) étant également tangent à cette surface contient non seulement la tangente à la courbe d'ombre propre mais encore celle de toute autre courbe tracée sur là surface en ce point, en particulier celle [mJi.]n\H') de la section horizontale (y^. l! Répétons la construction du d* 141 a^ gente en m à la base du cylindre coupe er sur l'horizontale de m' la projection vertic la tangente eberchée.
Si m^O est parallèle à mô, le point 6 est rejeté à Tinfini; il en est donc de même de 0' sur m^\ et la tangente en m est horizontale. Comme la projection m^ est parallèle à la tangente menée dans Tespace à la section horizontale en (mQ.m q), on voit qu'on a les joints m où la tangente est horizontale en prenant sur la courbe d'ombre propre de S les points [niç^.m^) où la tangente à la sectio?i horizontale de la surface est parallèle au pla7i tangent con^esporidant du cylindre sur lequel V ombre est portée.
h\ — Cylindres de révolution en relief
146. Ombres des droites parallèles aux directions principales. — Nous pouvons, d'après ce qui a été dit au n"* 129,
nous borner à considérer les cylindres de révolution en relief verticaux [colonnes >, Nous ne reprendrons pas, à propos de ce cas particulier, toutes les solutions qui viennent d'être exposées dans le cas général. Nous nous contenterons d'en faire TappUcation à quelques exemples empruntés à la pratique courante et donnant lieu à des remarques spéciales.
Considérons en premier lieu trois droites OX, OY, OZ, parallèles aux trois directions principales (*) [fig. 125).
OZ donne Tombre verticale o\z\ ; OX l'ombre, rectiligne à 45"*, o\x\ ; et OY, l'arc o\y\ de la section droite relevée sur le mur. Avant construit l'ombre o\ du point [o,o) on a le centre du cercle o\y\ en prenant sur l'axe, en dessous de Oj, le point w tel que la distance o w soit égale au rayon du cylindre.
Fio. 12.).
(*) On voit que récailement des plans verticaux entre lesquels sont compris les
points portant ombre sur le cylindre est égal à R ( 1 + -= ). Les ombres de ces
points sont distribuées en projection verticale sur une bande large également de R ( i -}- -T=V
W7 . Ombre d'un cercle horizontal ayant son centre
sur l'sixe du cylindre. — Soit le cercle {cdxd) portant ombre sur le cylindre [ab.a'b') {fig. 126).
Prenons, conformément à ce qui a été dit au n*" 140, l'ombre d*un point quelconque [m.m) du cercle ; nous obtenons m\.
D'après le n"* 141, la tangente 7n\t' en ce point s'obtient en projetant en t' sur cd' le point de rencontre t des tangentes en m et
en m, aux cercles ab et cd.
Remarquons, en outre, que l'on a pour la distance m\ik' du point in\ à cd'
m m 1 mm.
On conclut de là qu'à deux points m^ symétriques par rapport à
la bissectrice ol de l'angle bosi correspondent deux points 7?i'| sur une même horizontale.
En particulier, les points b et s^ étant symétriques par rapport à o/^, les points q\ sur le contour apparent (où la courbe d'ombre portée est tangente à 66') et s\ sur l'axe sont sur une même horizontale.
On déduit encore de là que le point l\ correspondant à l^ est le point le plus haut de la courbe d'ombre portée. Gela résulte aussi. d'ailleurs, de la construction donnée ci-dessus pour la tangente.
Quant au point de perte p\j il est donné par la tangente pp^ au cercle a6, parallèle à ol^. On sait, en outre, que la courbe d'ombre portée est tangente en ce point à pp\'
Remarquons que l'on a
o'p\ = sIot:''^ + p\ t:''
op ol
= ol =z 6r\
ce qui permet d'obtenir le point p\ par l'intersection de la génératrice d'ombre propre p(rz et du cercle de centre o et |de rayon or .
On voit donc qu'on a immédiatement les points ?Vi> *''i ^^P \ ^^ la courbe cherchée ainsi que les tangentes en trois d'entre eux; cherchons la tangente au quatrième s\,
La construction générale du n** 141 nous montre que, si nous projetons en 0' sur cd' le point de rencontre 6 des tangentes en s et en s^ aux cercles cd et a6, la tangente en s\ est s\V, Nous allons simplifier le tracé de cette tangente. Pour cela, remarquons que, les points s e{ q étant symétriques par rapport à ol, on a
sos^ =z qor OU
D'autre part
ss, hq 5<T = -7± = -;*= = qr.
Il en résulte que les triangles rectangles ^^ eiqor sont égaux et, par conséquent, que
Donc
ft..'
f,Ô = 5^ff -j- ff6 = br -\- or.
Mais on a aussi
o'Ô' = oq' -\-qb' = Or-\-qfi.
Il vient finalement
D*où celte construction pour le point 6' : prolonger b'q (Tune Iongtœur égale q^\
FiG. 126 bis.
Rèsu^né. — Dégageant la figure de toutes les lignes qui ne servent qu'à la démonstration et nous bornant à la construction des quatre points q\^ l\, s\y p\^ qui suffisent, avec leurs tangentes, pour
le tracé de la courbe, nous obtenons la construction suivante [flg. 126 bis)^ le plan du cercle {cdxd!) étant pris pour plan horizontal .
1"* Tirant la droite h'q à 45<> sur Vd' , on projette le point q en q\ sur bb' et en s\ sur l'axe.
La tangente en q\ est hb' ; celle en s\, la droite s^ telle que b'V = 2Vq\.
2** Tirant la droite oll^ à 45'' sur ob\ on projette / et l^ en t et >/ sur c'd' et on prend le symétrique tt' de V par rapport à o\ ce qui donne la génératrice d'ombre propre t^tt'. On décrit ensuite le cercle de centre o' et de rayon ol\ Il coupe -^ en p\ et l'axe en r. La droite /y coupe /,X' en l\.
La tangente en f j est horizontale, celle en p\ parallèle à Vr*.
148. Ombre d'une surface de révolution ayant même axe que le cylindre. — Sur la figure 127, nous avons représenté, pour la plus grande facilité du dessin, une sphère ayant son centre sur l'axe du cylindre, mais tien, dans ce que nous allons dire, n'étant spécial à la sphère, nous donnerons les explications comme s'il s'agissait d'une surface de révolution quelconque d'axe oo'.
Nous allons appliquer la méthode indiquée au n"* 144. Construisons donc d'abord l'ombre portée S'j par la surface sur le mur (').
Pour un point quelconque m' de la courbe cherchée, nous n'avons rien à ajouter à ce qui a été dit au n** 144, non plus que pour la tangente en ce point, qu'on obtiendra conformément à ce qui a été dit au n° 145, en se servant de la tangente au parallèle horizontal de la surface passant au point correspondant de la courbe d'ombre propre.
Bornons-nous donc à dire quelques mots des points remarquables de la courbe cherchée, qui s'obtiennent immédiatement et dont la connaissance suffit pour le tracé de cette courbe :
1" Le point g' où la courbe S'i rencontre la génératrice bb' de contour apparent appartient à la courbe cherchée, qui est angeute en ce point à 66' ;
2" On voit immédiatement, en remarquant que le cylindre vertical et le cylindre d'ombre ont pour plan de symétrie commun celui
Ci Dans le cas do la sphère, cette courbe est l'ellipse dont la construction est indiquée au n« 12t. Dans le cas d'une surface de révolution, c'est la courbe dont la construction est indiquée au n" 122.
qui est mené par Taxe parallèlement à la direction des rayons lumineux, c'est-à-dire le plan vertical de trace oh, que les points de l'ombre portée, situés sur deux génératrices symétriques par rapport
KiG. 127.
à ce plan, sontàlamême hauteur au-dessus du sol. Il en résulte que le point n où Thorizontale de g' rencontre oo appartient aussi à la courbe d'ombre portée.
A titre de vérificaiion, projetons obliquement, pour avoir ce point, la génératrice du point n. Cette projection oblique est la génératrice aa. Or, d'après l'observation faite au n" 122 (deuxième re-
126 CHAPITRE m. — THÉORIE DES OMBRES USUELLES
marque) le point ïi ^ où S'i coupe aa s'obtient en portant
Le rayon passant en n\ donne donc bien le point n précédemmeiii obtenu ;
3*" Puisque deux génératrices symétriques par rapport au plan vertical passant par oh donnent des points à la même hauteur, le point le plus haut li sera sur la génératrice projetée en/?.
Remarquons que ce point h' est l'ombre portée par le point le plus bas /' de la courbe d'ombre propre de la surface, c'est-à-dire par le point de cette courbe situé sur le parallèle limite qr le long duquel les plans tangents font l'angle «p avec l'horizon ;
4*" La génératrice d'ombre propre pp du cylindre donne, par le point de rencontre p\ de sa projection oblique avec S'j et le retour inverse du rayon p'ip' le point de perte p\ où la courbe d'ombre propre est tangente à pp\.
On peut remarquer que le triangle rectangle isocèle oppx donne
1 40. Remarques spéciales relatives au cas de la sphère*
— Tout ce qui vient d'être dit subsisterait intégralement si, sur la figure 127, on avait substitué à la sphère qui a été dessinée une surface de révolution quelconque d'axe oo'.
Voici maintenant quelques remarques spéciales pour le cas de la sphère.
La courbe S', est alors Tellipse définie au n*" iâi, dont les demi-axes sont
o'a = R, et : o'6 = -•: — •
' sm *
Pour trouver les points g\ h\p\ nous avons à prendre l'intersection de cette ellipse avec des droites verticales. Pour déterminer ces points d'intersection, nous pouvons considérer le cercle a'o' comme une projection de l'ellipse ap'. Cherchons dès lors la direction des droites du plan du cercle correspondant aux droites du plan de l'ellipse parallèles à oo\
Par exemple, à la droite y'5' parallèle à oo' correspondra la droite -('v telle que :
o'B fi ^
Gela montre que le point v e^t le pied de la perpendiculaire abaissée sur o'B' du point de contact u de la tangente menée de p' au cercle. Or, d'après ce qui a été dit au n*^ 121, ce point u est tel que :
Y© w = cp.
Appliquons celte. remarque. Par Textrémité s {fig, 128) du rayon horizontal, menons la parallèle st à o'Y jusqu'en sa rencontre t avec la tangente
FiG. 128.
en y'; tirons ot qui coupe le cercle en u, et projetons u en u sur o'8'. La droite y'v donne la direction cherchée.
Gela fait, reprenons la construction dans ce cas spécial des points g\ h\ el p' :
!• Par le points" où la génératrice hb' coupe oa menons g!'g"' parallèle a Y't^i c^ par^'" une perpendiculaire à o'a, qui donne sur bb' le point g^ où la courbe d'ombre portée est tangente à bb']
1 28 CHAPITRE IIl. THEORIE DES OMBRES USUELLES
2** Abaissons de g* la perpeodiculaire g'n' sur oo' : nous avons ainsi 1** point n'\ 3*" Ayant construit la parallèle Kh\ à oo' telle que
menons par d à y't; une parallèle qui coupe le cercle en K'\ La perpendiculaire à oV menée par K" coupe h'h\ en h' où la courbe d'ombre portée a une tangente horizontale.
4® Ayant pris
ce qui donne un point de la génératrice d'ombre propre du cylindre, et
Po^ — (opoï
ce qui donne un point de la projection oblique sur le mur de cette génératrice, on mène, par le pointât'' où cette projection oblique rencontre o'^\\iVi^ parallèle :rV" à y'i?, qui coupe le cercle en ic'". La perpendiculaire à oV menée par ir'" coupe la génératrice d'ombre propre au point p' où la courbe d'ombre portée est tangente à ir'"/)'.
c, — Cylindres de révolution en creux
150. Ombre de» di'oites parallèle!^ aux direetions prineipales (*). — La seule différence existant entre ce cas el celui qui a été examiné au n° 146 consiste en ce que la projection verticale o\y\ {fig. 129] de Tombre d'une droite (oy-oy) parallèle à la ligne de terre est un arc d'un demi-cercle égal à la section du cylindre, mais rabattu celle fois vers le bas.
loi. Ombre du eerele eomplétantla base supérieure du cylindre. — Ce cercle appartenant au cylindre sur lequel les ombres sont portées, le cylindre formé par les rayons lumineux qui rencontrent ce cercle coupera, d'après un théorème bien connu, le premier cylindre suivant une ellipse. La projection de la courbe d'ombre portée sera donc elle-même une ellipse.
(^; Ici, récarlemenl dos j)lans verticaux entre lesquels sont compris les points p«»»-
lant omhn" sur le cyliudn^ es! égala R \ 2, et les omhiesde ces ])oints sont distribu'"*'^ en projection vcMticale sur uue b:ui(l(; de largeur R.
11 est très facile de déterminer cette ellipse, dont le centre est d'ailleurs, bien évidemment, le point o' milieu de ab' [fig. 130).
Le point (fi.n)^ où le plan vertical contenant le rayon lumineux est tangent au cyUndre, donne n.
Le point (6.6') donne b\ sur Taxe, tel que
Le point (gr.gr'), dans le plan vertical incliné à 45*" sur o6, donne gr',, où la tangente est horizontale.
Enfin, le point (d.d'), dans le plan de profil de l'axe, donne d\ sur la génératrice de contour apparent, où l'ellipse est tangente à cette génératrice.
Puisque la tangente eng^'^ est parallèle à dq ^ oq\ et oq constituent un système de demi-diamètres conjugués, et la tangente q't' en q est parallèle à o'q^^.
Remarquons que
m!q\ = q'm = ^om\
'il
660M. DB8CBIP.
130 CHAPITRE m. — THEORIE DES OMBRES USUELLES
Donc la droite o'q\ a un coefâcienl angulaire, compté au-dessous de o'a', égal à 2.
De même, latangenteen(/',éiant parallèle à o'6'|, o'h\ et o'ti', censtiluent un autre système de diamètres conjugués, et la tangente en h\ est parallèle ào'J'i, c'est-à-dire confondue avec 6'6', .
15S. Ombre d'une demi-arche circulaire. — Par
application de la remarque faite au n' 139 et se rapportant à la figure 1 19, nous pouvons déduire immédiatement de là l'ombre autoportée d'une demi-arche circulaire dont le profil est rabattu en ah »■ 131).
Le rayon à 45° on donne le point n. Portons sur l'axe la longueur o'f ^= 2o'n' et élevons en t' à o't' la perpendiculaire t'q égale à o'n.
La courbe d'ombre est un arc de l'ellipse dont o'q' et on sont des diamètres conjugués, cetarc commençant au point n', où il est tangent à n't', et finissant au point 6', tel que a'b' = o'a, où il est tangent à a'b'.
153. Ombre d'un eei*elc de front obtenu en Faisant tourner une section du cylindre complet autour de son diamètre liorizontal. — L'ombre du diamètre a'b' {ftg. 132) est le quart de cercle a'i'ifn" 150). Prenons sur ce cercle l'ombre m', du point m' du diamètre a'b', obtenue en menant le rayon Tn'm\ à 45". Les ordonnées m'p' et m'q' portent ombre en vraie grandeur en m'^p'^ et m'^q'^ Nous obtiendrons ainsi autant de points que nous voudrons de la courbe d'ombre cherchée.
Remarquons tout de suite que cette ombre est tangente en b'^ à oo et en a à aa. Elle touche, en outre, les tangentes lumineuses cV,
et d'd\ au cercle (n** 95) aux points c\ et â! ^ déduits de c et d* comme 2>\ Ta été de p'.
Cherchons la tangente au point p\. Pour cela, prenons Tintersection du plan tangent au cylindre vertical le long de la généra-
trice Pip\, plan dont la trace est p^t avec le plan tangent au cylindre d'ombre le long de {pPi'PPi)^ déterminé par celte droite et la tangente (pu.pu) au cercle.
Coupons ces deux plans par le plan vertical de trace or, mené par l'axe et la direction des rayons lumineux.
Le premier donne comme intersection la verticale t ; le second, la droite uf parallèle aux rayons lumineux. Ces droites d'intersection se coupent en t\ La tangente cherchée est p\t\
Puisque q\ est symétrique de^'j par rapport à m\, la tangente en q\ passe par le point de rencontre s\ de la tangente p\t' et de la tangente menée en m\ au cercle.
Pour avoir le point tz\ où la courbe cherchée coupe a'6', remarquons que, puisque
la droite Tz\k\ est alors un diamètre. Mais t;V^ étant à 45'' sur o'b\ on a
IXV^ =: [X'^TC',,
ou
Donc, le coefficient angulaire de o'jjl'j par rapport à oa est égal à 2y et, par suite, o'ik\ passe par le milieu i' du rayon b\b'o.
