Ombre d*une sphère Inscrite dans le cylindre. — H
serait facile de trouver Tombre sur le cylindre d'une surface de révolution quelconque en appliquant, comme au n^ 148, la méthode indiquée au n"" iU. Il est donc inutile d'insister sur ce point.
Mais ici se présente un cas particulier intéressant, celui de la sphère inscrite dans le cylindre. Nous allons nous y arrêter.
Dans ce cas, le cylindre sur lequel les ombres sont portées et le cylindre d'ombre, étant circonscrits à une même sphère, se coupent, d'après un théorème connu, suivant deux ellipses.
La projection de la courbe d'ombre est donc une ellipse.
Pour construire cette ellipse, donnons à la figure une rotation de 45^ dans le sens de la Qèche autour de la verticale oo' {fig, 133).
Le cylindre d'ombre est alors parallèle au mur, ses génératrices étant inclinées à l'angle <p sur l'horizon. Pouravoirla direction de ces génératrices, ilsafOl démener par l'extrémité u du rayon o'u' k 45* sur o'a! l'horizontale n'v qui coupe eut en v\ La droite oV donne la direction cherchée.
OMBRES PORTEES SUR DBS SURFACES
Menons donc au cercle o' la tangente aT^ parallèle & o'tj'. Nous avons en o'l\ la projection verticale de Tombre cherchée, aprhs rotation. Il suffit donc de remettre ses points en place par une rotation inverse de la précédente.
FiG. 133.
Le point (^o-^'o) <^onne ainsi {Ll^) où la tangente est horizontale.
Les deux points projetés verticalement en o donnent (w.m') et {n,n').
Les points (pq.p'q) et (î'o'^'o) donnent {p*p') et {q.q').
Au point q' TelUpse d'ombre est tangente au contour apparent.
Par le même raisonnement qu'au n** 151, on voit que on' et o'I d'une part, o'p' et oq de l'autre, constituent deux systèmes de diamètres conjugués derellipse cherchée.
Donc la tangente nt' en n' est parallèle à oT, et la tangente en p parallèle à o'q\
A titre de vérification on doit trouver que l'ellipse tracée et le cercle o ont même tangente parallèle à ou\
Jiemarque. — Il est facile de calculer les longueurs m't et aq\ Eu effet, Tangle a t^^t' étant^égal à f , on a
Donc, en appelant R le rayon de la sphère, qui est aussi celui du cylindre,
et
tnt = aTo = R cotg Ui'
aV = mVo-^(cotg45<"-|)-
Pour trouver la valeur de cotg ^45"— |j, remarquons que
cotg f 45» — Ij =
Or,
— CCS
-j- COS (p
ou en multipliant haut et bas sous le radical par 1 — V/ ô'
Dès lors
Multipliant haut et bas par 1 -f- \/3 — v^2, on a
cotg (45- -l)= 3 + V3-V2-V«^
el, multipliant encore haut et bas par V6 + 2
cotg (45°-|) = V^ï±s/f = 1,9313...
Ainsi a'iQ est un peu inférieur au double du rayon.
Remarquons encore que, si nous prolongeons oV jusqu*en w', nous avons
,,, o'to' R + u'ic'
a lo = —=; = î-p
Donc
sm^
(longueur du grand axe de l'ellipse d*ombre portée de la sphère sur le mur). Par suite, si la tangente horizontale c'd! au cercle coupe dv' en d\ on a
uio = od.
B. —Cônes a. — Généralités
155. Ombre portée par un point ou par une ligne sur un cône. — L'ombre du point (m.m') sur le cône sab {/îg. 134), c'est le premier point de rencontre de ce cône et du rayon lumineux passant par (m. m'). La détermination de ce point est un problème connu de Géométrie descriptive. Rappelons-en la solution en quelques mots.
Le plan passant par le sommet du cône et le rayon lumineux du point [m. m') a pour trace horizontale la droite joignant la trace horizontale h de ce rayon lumineux à la trace horizontale k de la droite (sm.sW). Par suite, u. étant le point où AA rencontre la base du cône, Sfxest laprojection delà génératrice du cône contenue dans le plan qui vient d'être mené, et le point m^^ où^u rencontre mh^ est la projection horizontale de Tombre cherchée, dont une ligne de rappel donne en m\ la projection verticale. A titre de vérification, on doit trouver que le point m\ est sur la projection Verticale s'(x' de la génératrice d'intersection.
S'il s'agit de construire Tombre d'une ligne, on n'a qu'à construire par ce procédé les ombres d'un certain nombre de ses points.
Pour déduire des projections {mt.m'f) de la tangente en [m,m') à la courbe, qui porte ombre, celles de la tangente en (m^.m'i) à la courbe d'ombre portée on n'a qu'à prendre, comme dans le cas du cylindre, le point de rencontre {t,t')
de la tangente donnée avec le plan tangent au cône le long de la génératrice {sm^.s'm\).
Le plan projetant horizontalement la tangente a pour trace m/, qui coupe ejn u la tangente en (x à la base du cône, et en v la projection horizontale j;jl de la génératrice. Prenons les projections verticales u* et v de ces points. La
Fi(4. 134.
droite u'v donne sur m!t' le points' cherché, dont la projection horizontale est en t. Les projections de la tangente cherchée sont m^t et m\t\
Remarque, — On peut encore obtenir Tombre portée par une ligne sur on cône en employant la méthode des projections obliques, exposée dans le numéro suivant pour le cas des surfaces.
1 56. Ombre portée par une surface sur un cône. — Nous allons employer la méthode des projections obliques en prenant comme plan de projection le mur supposé mené par la verticale du sommet du cône [fig, 135) et comme sections du cône ses génératrices.
Donnons-nous donc la projection oblique C'| du corps portant ombre, c'eslà-dire son ombre portée sur le mur, supposée obtenue comme il a été dit précédemment (§ 3, A).
L'ombre portée sur le mur par le pied [m,in) d'une génératrice quelconqw^
Ifi-
est le point m\ obtenu en élevant en m à mm' la perpendiculaire mm\ égale à mm' (n* 113).
L'ombre s'm\ de celle génératrice coupe la courbe C'^ aux points (x'i et \i.\ qui, par le retour inverse du rayon, donnent sur s m' en projection verticale les points f*' et ji.' où la courbe d*ombre portée rencontre cette génératrice.
Fio. 135.
Les projections horizontales correspondantes s'obtiendraient immédiatement sur sm. Mais, pour plus de clarté dans la figure, nous nous bornons ici À construire la projection verticale.
En faisant varier la génératrice {sm.s'm') nous obtenons, par ce 'procédé, autant de points que nous voulons, par exemple les points v et v' dans le plan de profil du sommet, les points de perte n et tt' sur la génératrice d'ombre propre du cône, génératrice obtenue par la construction du n* 107 {*).
En ces points de perte tc' et tt' les tangentes à la courbe cherchée sont Tz'it\ et TtV, (no 96).
Cherchons le point limite V delà courbe d'ombre portée, c'est-à-dire le point de contact de cette courbe et de la tangente qui lui est menée du point s\ La projection oblique correspondante sT^ est tangente à G'^. Il est donc facile de la mener, ce qui détermine le point X'^. Le point X' sera sur le rayon lumineux
(1) Rappelons en deux mots cette construction: sur la perpendiculaire élevée à ss' en s' porter s's'q = ss' et mener du point Sq à la courbe de base la tangente s^p^ puis projeter penp* sur ab.
du point À'|, Pour achever de le déterminer, il faut connaître le pied (Lt. de la génératrice correspondante.
Considérons les points s\ /'^ et l\ du plan du mur; les rayons lumineux passant par ces points coupent le sol aux points l (cherché), r^ et «q, trace sur le soi, du rayon lumineux de s\ qui nous a servi à construire la génératrice d'ombre propre du cône. Il en résulte que les points s^, Iq et / sont en ligne droite. Il suffit donc de tirer la droite s^t^ pour obtenir le point / qui, projeté en ty donne la génératrice «? sur laquelle est X',
b. — Cônes de révolution
15V. Nous pourrions, comme nous l'avons fait dans le cas du cylindre, traiter des exemples variés de Tapplication de ces principes généraux au cas des cônes de révolution, mais, outre qu'aucune difficulté nouvelle ne vient s'ajouter à ce qui a été vu pour les cylindres, il y a lieu d'observer que le? ombres portées sur des cônes se présentent, dans la pratique, bien plus rarement que celles portées sur des cylindres. Nous ne croyons donc pas nécessaire d'insister sur ce point.
Nous dirons néanmoins quelques mots des ombres portées sur un cône de révolution à axe vertical par des droites parallèles aux directions principales.
158. Ombre portée par une perpendiculaire au mur ou une parallèle à la ligne de terre. — L'ombre portée par une per-
Fio. 136.
pendiculaire au mur a pour projection verticale une droite à45<», c'd^ qui se
OMBRES PORTEES SUR DES SURPAGES
perd en jo', dans la génératrice d'ombre propre du cône. En projeclion horizontale, on a une ellipse dont un axe a pour extrémités les projections c et rf de c et d {fig, 136). Le centre o. est la projec- a»
tion du milieu o' de c'd. Pour avoir l'axe of perpendiculaire orf, il n'y a qu'à prendre la génératrice («m.^'m), dont la projection verticale su passe par o\ puisque Taxe perpendiculaire à {cd,cd) se projelte verticalement tout' entier en o'.
La droite su coupe od au point / cherché.
On a, sur la projection horizontale st de la génératrice d'ombre, le point de perle p par la ligne de rappel de p\ Kn p la tangente est à 45*" sur a (n» 96).
Si Tangle a'i somnet du cône est de 90^*, c'est-à-dire si ses génératrices sontinclinées à 45° sur rhorizon, le plan mené par la droite (A. A ) et la direction des rayons lumineux coupe le cône suivant une parabole
[fig^ 137)
Le point c est le sommet de cette parabole qui a son axe dirigé suivant ah et coupe le plan de la base au point [h, h'). Le point c étant le milieu de bh\ on voit, d'après une propriété bien connue de la parabole, que bh est tangente à celte courbe au point h.
Si on veut appliquer la construction de la parabole donnée au n** 59, il n'y a qu'à prendre la seconde extrémité A, de la corde hh\ avec la tangente bh^ en ce point.
Pour avoir l'ombre portée par une parallèle à la ligne de terre, il n'y a qu'à faire tourner la fîgure précédente d*un angle droit dans le sens direct.
150. Ombre portée par une verticale. — Cette ombre, qui est rinterseclion du cône par le plan vertical mené par la droite donnée et la direction des rayons lumineux, plan dont la trace horizontale est ^f[fig. 138), est une hyperbole.
Faisons tourner le plan sécant autour de ss' pour l'amener à être de profil. Le point h vient en Ai, et la verticale menée par ce point coupe s'a en A|, qui, ramené en arrière, d'une rotai ion égale, donne le sommet h' de Fhyperbole en projection verticale.
Le centre o de cette hyperbole est le pied de la perpendiculaire abaissée de « sur M.
Les asymptotes sont parallèles aux génératrices contenues dans le plan mené
par Taxe parallèlement au plan sécant, c'est-à-dire au plan mené par Taxe et dont la trace horizontale sm est parallèle à fh.
Donc o'fx' parallèle à s'm est une asymptote de la projection verticale. La seconde asymptote est symétrique de la précédente par rappor.t à oh'.
Fio. 138.
Ayant le sommet h' et les asymptotes de Thyperbole cherchée, on n'a qu'à appliquer la construction du n° 57.
Remarquons, toutefois, qu'on connaît immédiatement d'autres points obligés de cette hyperbole : le point /' sur la base et le point de perte p sur la génératrice d'ombre propre st\ donné par la ligne de rappel du point de rencontre p de st et de /%.
C, — Sphères
