Ombre autQ-portée par une demi-sphère
Supposons le grand cercle qui limite cette demi-sphère placé dans un plan de front [fig, 141).
Fio. 141.
Le cylindre d'ombre qui passe par ce grand cercle va couper la
sphère, d'après un théorème connu, suivant un autre grand cercle ayant en commun avec le premier le diamètre ab' perpendiculaire aux projections des génératrices du cylindre sur le plan de ce grand cercle, c'est-à-dire incliné à 45** sur la ligne de terre, dans le sens direct.
La projection verticale de la courbe d'ombre sera donc une ellipse ayant ab' pour grand axe. Cherchons le sommet du petit axe situé sur o'd'. Pour cela, rabattons sur le plan du grand cercle d'entrée le grand cercle projeté verticalement en cd\
Le rayon lumineux mené par c se rabat suivant ce\ faisant l'angle f avec co\ Le point d'intersection rabattu e\ de ce rayon et de la sphère se relève en e\ point cherché.
Remarquons que, puisque
on a Donc
R oV == R cos2<p = - (n^ 99j.
Il suffit donc, pour déterminer complètement Tellipse cherchée» après avoir tracé le diamètre ab\ de prendre le point e au tiers du rayon o'd (*).
(*) On peut déterminer le point e' ainsi qu'il suit :
Le point e' est sur la droite qui joint le point a' au milieu p de la perpendiculaire o'^ abaissée de o sur ad'.
En effet : /-X /'\
^,.,-— ^.,^^^ oc — R. tg o'ae — R tg (45« — aa>)
^^;;' 1 -f tg«(7'p
Mais
^ -^> ap afî i
tg aap~-i=- — -^. — -.
^ ^ aa ao 2
OMBRES PORT^iES SUR DES SURFACES 145
La projection horizontale de Tellipse a eh' n'est pas vue en projection horizontale, puisqu'elle est à Vintérieur de la sphère. Construisons-la néanmoins parce que, jointe à la projection verticale,- elle résume tous les cas usuels d'ombre auto-portée de la sphère.
Les points a et b' sur le grand cercle d'entrée donnent en projection horizontale a et 6. Ayant en ab un diamètre de Tellipse cherchée, déterminons le diamètre conjugué, qui est évidemment la projection horizontale correspondant à o'e\ puisqu'en projection verticale o'e est conjugué de ab\
Le point {e. e) est sur le petit cercle de front dont le rayon oe est
égal à ô" La projection horizontale de ce petit cercle est la droite
perpendiculaire à oo\ telle que ttjê = ô'Nous n'avons plus qu'à
prendre le point e sur cette droite.
Les diamètres ab et oe étant conjugués, la tangente en e est parallèle à ah, c'est-à-dire confondue avec r.e, et les tangentes en a et 6, parallèles koe.
Calculons le coefficient angulaire de cette direction oe.
Nous avons
et
Or, puisque
■tfi
sin
oeTj.
