Points remarquables de Fombre précédcnto
— Les diamètres conjugués ab et oe suffisent pour construire Tellipse cherchée. Toutefois, il est bon de déterminer directement certains points faciles à obtenir avec leurs tangentes.
1** Soit fie point sur le contour apparent horizontal de la sphère, point qui est un sommet de Tellipse cherchée, puisque la tangente y est perpendiculaire au diamètre of. Ce point est sur la ligne de rappel du point f où Tellipse ae'b' est rencontrée par le diamètre horizontal o'm\ sur lequel se projette Téquateur de la sphère.
Mais il est facile d'obtenir directement ce point /"sur la projection horizontale. En effet, rabattons sur Téquateur le plan vertical^/' contenant le rayon lumineux qui passe en ce point. Ce rayon lumineux se rabat suivant //y/*. Puisque gfy^ ^= ç, on voit, comme précédemment, que gyg^^ =- 2^, y étant le centre du petit cercle rabattu.
Donc
ou
Cela montre que si, sur la tangente au point h, extrémité du rayon oh à 45'', on porte hu - - ^r* le point /est sur ou.
Remarquons aussi que, si of coupe en s la tangente en «, on a
m - Il tnng nos z:- R Ig (45" — hos),
2"" L'ellipse doit toucher aussi, en un point ^, la génératrice de contour apparent 7??;? du cylindre d'ombre.
Rabattons encore sur Téquateur le plan vertical passant par rnn. Le rayon lumineux du point m rabattu coupe le petit cercle décrit sur 7}ui comme diamètre au point ^j,, rabattement du point j) cherché.
On a encore ici et, par suite, en appelant w le centre du petit cercle (milieu de mn).
Donc
w/) -- (opo eus 2» =: -^ = y,
ce qui montre que p est au tiers de 7un à partir du point n.
3^ Cherchons, enfin, le point l situé sur oh parallèle à mn, c'est-àdire Textrémité du diamètre conjugué de op. Pour cela, rabattons sur Téqualeur le grand cercle projeté horizontalement suivant oh. Le point de ce grand cercle projeté en o se rabat en /t^, et le rayon lumineux passant en ce point, en k^l^, faisant l'angle <p avec oh ou la tangente au cercle en k^. Donc l'angle l^ok^ est égal à 2<p, et, si /,, relevé se projette en /, on a
Uq = R cos 2:p = — •
Par suite, hu étant égal, comme nous l'avons vu précédemment,
à ô ' w^o ®^^ parallèle à oh.
Le diamètre ol étant conjugué de op, la tangente en / est parallèle à op.
Remarque. — Puisque 11^^=:-^ = r.s, on a 0/ = on.
