CHAPITRE IV

A. — But^ définition et caractère de la perspective

ITl. Imaginons un œil placé d'une manière quelconque dans Tespace et regardant un objet placé devant lui. Chaque point A de cet objet donne, sur la rétine de Tœil, une image a qui se trouve sur la ligne droite joignant ce point A au centre de la pupille^ droite que nous appellerons le rayon du point A, pour le point 0.

Grâce à cette image, Tobservateur a la notion de la direction dans laquelle se trouve le point A, mais il n'a pas conscience de Téloignement plus ou moins grand de ce point. Si celui-ci se déplace sur le rayon OA pour venir successivement en p^^ ^^^

A', en A", etc., son image se fait toujours en a, et la seule notion que l'observateur possède relativement à lui, savoir celle de sa direction, ne varie pas.

Ainsi donc, dans le cas de la vision simple, c'est-à-dire au moyen d'un seul œil, nous ne pouvons juger que des directions des points que nous regardons. Lorsque la vision s'applique à des objets qui nous sont familiers, la connaissance que nous avons de leur forme et de leurs dimensions s'ajoute à la notion qui nous est fournie par la rétine pour nous renseigner d'une façon complète sur la situation qu'ils occupent dans l'espace; mais s'il- n'en est pas ainsi, nous ne

pouvons, sans déplacer Tœil, avoir notion que de la seule direction dans laquelle se trouve chaque point de l'espace.

Imaginons l'expérience suivante : un œil, regardant par un petit trou percé dans un écran (de façon à assurer sa fixité dans Tespacei, observe une figure, par exemple un triangle dessiné en blanc sur un tableau noir orienté d'une façon quelconque, mais vu à travers un cadre fixe qui, en dissimulant ses bords, prive l'œil de l'observateur de toute indication sur l'exacte position de ce tableau.

Il sera dès lors impossible à l'observateur de juger de la forme vraie du triangle ABC exposé à sa vue (si toutefois l'éclairement est tel qu'il n'y ait point d'ombre portée apparente du cadre sur 1^ tableau). Cet observateur pourra se figurer voir l'un quelconque des triangles de l'espace dont les sommets sont situés sur les

rayons allant du point 0, centre du petit trou pratiqué dans l'écran, aux points observés A, B, G.

Cette imperfection de la vision simple est corrigée

par le phénomène de la double vision. Chacun de nos

yeux, en effet, nous donne pour un même point A

(ftg, 149) notion de deux rayons de direction diflë-

rente, OA et O'A. Notre cerveau, grâce aux impres-

FiG. 149. sions reçues en a et en a sur l'une et l'autre rétines,

a notion simultanément des directions OA et O'A' et acquiert ainsi

celle de l'éloignement du point A (*).

(M Dès lors, si, par un procédé quelconque, on peut produire simultenémenl sur les deux rétines les images constituées, d'une part, par Tensemble des points a, de l'autre, par celui des points a, Timpression sera exactement la même que si on avait une vue directe des points A de l'espace.

I^e problème qui consiste à donner l'illusion du relief se réduit donc à ceci : construire la perspective de l'objet à représenter sépai'ément pour chaque œil et regarder l'ensemble de ces deux peispectives de façon que chaque œil n'aperroive que celle qui lui correspond.

Ce résultat peut être obtenu au moyen du système optique bien connu sous le nom de stéréoscope. Un inventeur, M. Ducos du Hauron, l'a atteint plus simplement en mettant en œuvre l'ingénieuse idée que voici : Supposons la perspective correspondant à Tœil droit dessinée en rouge, la perspective correspondant à Tœil gauche en bleu sur un même tableau, et regardons ce tableau à Taide d'un binocle ayant à droite un verre bleu, à gauche un verre rouge. L'œil droit placé derrière le verre bleu ne verra pas la perspective dessinée en bleu ; la perspective de.ssinée en ronce donnera sur la rétine l'image (a) que l'œil droit percevrait dans la vision directe, el cette image sera colorée en violet. De même, le verre rouge placé devant liril gauche éteindra pour cet œil la perspective rouge et transmettra l'image, colorée en violet, de la perspective bleue qui est celle ia) correspondant précisément à l'œil gauche.

La coexistence de ces deux images {a) et [a) respectivement sur les deux rétinei^ fournit, ainsi que nous l'avons expliqué plus haut, l'impression du relief (A).

OÉNÉRALITÉS 157

La perspective a pour but de fixer, four un œil occupant une position délertiiinée dans l'espace, les directions des rayons le centre de la rétine de cet œil aux divers points d'un e d'objets exposés à la vue.

Reporlons-nous à ce que nous venons de dire au sujet de dont ces directions sont déterminées. Puisque le poinl A pe' per une position quelconque sur le rayon OA, amenons-le i de rencontre de ce rayon et d'une surface quelconque S, el sons que son image se fixe en ce point. Faisons la même o pour tous les points observés. L'ensemble des points ainsi < vu du point 0, présentera à l'œil le même aspect que l'ensen mitif. Dès lors, si l'image obtenue sur la surface S reste à ( sur cette surface, chaque fois que le centre de la pupille se re au point O l'impression reçue par l'œil sera exactement lî que si les objets primitivement observés occupaient encore tionoCi ils se trouvaient.

La figure ainsi obtenue sur la surface S est dite la per sur cette surface, pour le point de vue 0, des objets représe

Il résulte de celle définition même que la perspective n'ex pour ce seul point de vue. Si on place le centre de la pupi tout ailleurs qu'au point 0, l'image dessinée sur la surface de donner d'une façon rigoureuse l'aspect des objets coi danis ('}.

172. L'babitude que nous avons de nous représenter le dessinés sur un tableau plan fera choisir de préférence pour S im plan. Ce n'est là, on le voit, qu'une simple affaire de tion. Un tel choix se justifie, d'ailleurs, parla considération si si le point de vue est suffisamment éloigné du tableau, l'imag par l'œil, lorsqu'il se déplace dans une région assez étendue

(') Nous nepnrlons ici, bien eiitcuilu, (|uc de la persperlivo i^i'omélrique. s'agit Juue représen talion ai-tixtique lu question se modilie. I.r peintre ne fupe pas — et il iiurait loit de le Tuirc — de donner une imago qui soit i periive géométrique exacte pour un netil point de vue, mois une image qi IJrache surnsammenl des perspectives exactes cori'espondaiit à tous les po l'i'^ion d'où le tableau doit iHiri vu pour douner à tout obsci'viileiii' pluciï ( i'<^gionuue illusion suntsanle, sans que son regard soit frappé par les di^fc i^lioi] liante s qui appikraissent lorsqu'on voit une pei-speclivi- exacte île ti |ioint que de sou point de vue. En paiiiculier, un peintre ri* présentera une sphère par nu cei-cle, alors qu'une perspective exiicte, faite pour un ; 'letùe, conduirait à dessiner une ellipse, qui, vue de tout autre point, i doiiaer l'impression d'une sphère. [Voir p. 208.)

du point de vue pour lequel la perspective a été tracée, ditîêre peu de la perspective qui conviendrait à ces différents points de vue, et notre cerveau peut aisément, d'après cette indication un peu faussée, reconstituer le véritable aspect qu'offriraient à la vue directe les objets représentés. En outre, on choisira généralement pour tableau un plan vertical, parce que, dans la plupart des cas usuels, les constructions sont alors plus simples ; mais rien n'empêcherait, le cas échéant, d'adopter un autre plan.

Quoi qu'il en soit, une fois le tableau bien défini par rapport au point de vue, la perspective l'est aussi et peut être dessinée.

173. Ici se place une remarque importante sur laquelle, malgré son caractère d'absolue évidence lorsqu'on l'envisage au point de vue géométrique, il y a lieu d'insister, car sa méconnaissance eugendre des idées fausses malheureusement assez répandues. Lorsque nous regardons avec ua seul œil supposé fixe, toutes les directions visuelles n'ont pas pour nous la même importance. Celle qui l'emporte sur toutes les autres, autour de laquelle nous nous les figurons volontiers distribuées, est celle du point que, suivant l'expression vulgaire consacrée, nous regardons droit devant nous ou sur lequel se fixe notre regard. Cette direction n'est autre que celle de l'axe géométrique du cristallin.

Par une habitude instinctive, nous nous figurons les objets que nous regardons peints sur un tableau perpendiculaire â cethdirection.

Qu'arrive-t-il, dès lors, si, conservant au centre de notre pupille une position invariable dans l'espace, nous déplaçons notre œïl dans son orbite, de façon à fixer successivement notre regard sur divers points des objets qui s'offrent à noire vue? C'est qu'instinctivemeut, dans chacune de ces positions, nous prenons une perspective sur un plan perpendiculaire à l'axe du cristallin et, par suite, que celte perspective se modifie au fur el à mesure que nous faisons varier le point sur lequel se fixe notre regard (point que l'on appelle improprement parfois, dans la conversation, point de vue).

Les personnes qui se figurent que cet entraînement du tableau perspectif avec l'axe de \\A\ est chose nécessaire remarquent toul naturellement que la perspective, faite pour une position particulière du tableau, par exemple pour une position verticale, devient fausse lorsque le regard se fixe dans une direction autre que celle de la

■^-fl

perpendiculaire menée du point de vue au tableau, et ce besoin de voir toujours la figure en perspective sur une surface normale à Taxe géométrique de Yœil\e% amène à déclarer « qu'il n y a à' exacte que la perspective faite sur une sphère ayant son centre au point de vue adopté ».

On aperçoit immédiatement, après les explications qui viennent d'être données, le non-sens qui est au fond d'une telle opinion. Une fois donnés Tenserable des objets à représenter et le point de vue, on peut choisir arbitrairement le tableau, courbe ou plan, sur lequel se fait la perspective ; mais, une fois ce choix fait, il ne faut pas oublier que ce tableau reste invariable, quelle que soit la direction donnée à Taxe de Vœil, pourvu que le point de vue (centre de la pupille) reste fixe. On peut assimiler la perspective à une image vue à travers une vitre et reportée- par la pensée dans le plan de cette vitre. Cette image ne varie pas quand, le centre de Toeil restant fixe, le regard se promène sur toute l'étendue de la vitre.

On trouvera peut-être que nous avons beaucoup insisté ici sur des choses bien évidentes. L'expérience prouve pourtant que les préjugés que nous avons voulu combattre sont assez répandus pour qu'il ne soit pas inutile d'arrêter quelque temps sur ce point l'attention des élèves.

174. Avant d'entrer dans Tétude de la perspective, nous ferons encore la remarque suivante : La construction d'une figure perspective revenant à prendre l'intersection des droites qui joignent un point fixe aux divers points d'un corps, avec une certaine surface, le problème ne diffère pas, géométriquement parlant, de celui qui consiste à tracer les ombres portées sur les surfaces, le point de vue jouant dans un cas le rôle que la source de lumière joue dans l'autre.

Effectivement il y a de l'un à l'autre problème la différence que, pour la perspective, la surface sécante est entre le corps et le centre du rayonnement, tandis que, pour les ombres, elle est en arrière du corps.

Quoi qu'il en soit, les problèmes de perspective pourraient, comme les problèmes d'ombres, être traités par les méthodes de la Géométrie descriptive ordinaire. Mais on substitue, aux tracés qui résulteraient de ces méthodes, d'autres tracés plus simples, plusexpéditifs, effectués au moyen de lignes qui sont elles-mêmes les perspectives de lignes faciles à se figurer dans l'espace. C'est l'ensemble de ces procédés spéciaux qui porte le nom de trait de j)erspective.

B. — Définitions relatives à la perspective plane

175. Éléments fondamentaux. — Les points MdeTespace [fig, 150) étant supposés définis par leur projection m sur un plan horizontal de comparaison G dit le géométral^ et leur hauteur M//î au-dessus de ce plan, on rapporte de même à ce plan le point de vue le plan vertical T, ou tableau^ sur lequel on veut dessiner la perspective. La trace LL' de ce tableau sur le géométral est dite la ligne de terre,

La partie de ce tableau sur laquelle on se propose de dessiner la perspective est généralement limitée à un cadre rectangulaire dont on nomme bord de dt^oite ou bord de gauche^ le bord situé à droUe ou à gauche de V observateur.

Un point M ne portera perspective sur le tableau que si le rayon OM tombe à l'intérieur du cadre, c'est-à-dire se trouve à Tintérieur de Tangle solide formé par les droites qui unissent le point aux sommets L, L', C, G' de ce cadre. La région ainsi limitée est dite le champ visuel du point 0.

Il y a lieu, en outre, de distinguer, à l'intérieur de ce champ visuel, V espace en arrière et V espace en avant du tableau. Suivant, en effet, que le point M appartient à l'un ou à l'autre de ces espaces, ce point est caché au point par sa perpective, ou inversement.

Le plan mené parle point parallèlement au tableau est dit le])to

GENERALITES

neutre. Les points situés en arrière de ce plan n'ont pas efFec de perspective. Pourtant la droite qui joint chacun d'eux a rencontre le tableau en un point qui est dil une perspective ■

Quant aux points du plan neutre lui-même, leur perspecti à l'infini sur le tableau.

Si donc deux droites se coupent dans le plan neutre, leurs tives sont parallèles.

La trace du plan neutre sur le géométral est dite la lign<

Le plan borizonlal mène par le point de vue est le plan d Il coupe le tableau suivant une Iig;ne horizontale HU' d d'horizon dont la hauteur au-dessus de la ligne de terre. teur d'horison, est égale à la hauteur de l'œil au-dessus du gi

Le pied » de la perpendiculaire abaissée du point de v tableau, point qui se trouve sur HH', est dit le point prit fuite, et la distance 0» du point de vue au tableau la dista; cipale. On saisira plus loin la raison de ces dénominations

Lorsque le point de vue s'éloigne à l'infini dans une quelconque, on obtient \d. perspective cavalière, k\aLi\*i&\\eïn été déjà amenés par une autre voie (n" 61).

176. Pci*spectivc du poiat. — D'après la définiti( la perspective M, du point M [fig. 150) est la trace de la d sur le tableau.

A une même perspecti ve M , correspondent, comme nous l'avons déjà observé, une infinité de points M de l'espace.

L'un quelconque de ces points sera complètement déterminé lorsqu'on connaîtra, par exemple, la perspective wi, de sa projection m sur le géométral. On voit, d'ailleurs, que M,m,, parallèle à M»), est perpendiculaire à la ligne de terre.

Si m, est connu, la droite Om, détermine m sur le géométc point M correspondant sur OM.

XJ

et la verticale wM

Remarque. — Si on projette le point M en [x sur le plan d'horizon, la perspective [x^ de jjl est à la rencontre de M^m^ et de la ligne d'horizon [fig. 151).

Dès lors 0(Ji^ donne la direction du plan vertical mené par OM. En outre, la cote [xM du point M par rapport au plan d'horizon est donnée par

177. Perspective de la droite. — La perspective d'une droite A étant le lieu des traces sur le tableau des rayons unissant le point de vue aux divers points de la droite n'est autre que la trace A^ sur le tableau du plan mené par la droite A et le point {ftg. 152).

Cette trace A.

étant rectiligne, il suffira, pour la tracer, de connaître deux de ses points.

La trace A de la droite A sur le tableau est à ellemême sa propre perspective, et si nous ne considérons que la portion de la droite A située en arrière du tableau, la perspective A^ sera arrêtée

au point A.

Prenons maintenant la perspective du point situé à l'infini sur la droite A. Ce point F s'obtient en menant par le point de vue la parallèle OF à A.

La perspective A, s'arrête nécessairement au point F qui a reçu le nom de pomt de faite. Elle sera donc constituée par le segment de droite AF.

Le point F restant le même lorsque la droite A varie en conservant une même direction, on voit que les perspectives de toutes les droites pai^allHes à une même direction passent par un même point de fuite.

Si cette direction est horizontale, la droite OF étant dans le plan d'horizon, le point F est sur la ligne d^horison.

Km. lo2.

Si nous prenons la direction perpendiculaire au tableau, le point F vient coïncider avec le point 'f de la figure 150. Ainsi, le point ^ est le point de fuite des perpendiculaires au tableau^ d'où son nom appoint de fuite pyHncipal.

Si une droite passe par le point de vue, sa perspective se réduit à un seul point qui est le point de fuite correspondant à la direction de cette droite. Il y a alors raccourci total.

MS. Projection et trace sur le géométral. — Pour avoir en perspective la projection de la droite AF (/?//. 153) sur le jréométral, remarquons d'abord que le point A étant sur le tableau, sa projection se trouve en a sur la ligne de terre LL'.

La projection cherchée étant horizontale aura son point de fuite /"sur

la ligne d'horizon (n° 177). En outre,

ce point de fuite, perspective du point

à l'infini sur la projection, sera sur

la même verticale que le point de

fuite F, perspective du point à Tinfini sur la droite (n** 176). Le point f

sera donc le pied de la perpendiculaire abaissée de F sur la ligne

d'horizon HH'.

On n'a qu'à tirer af pour avoir la perspective de la projection

cherchée .

Le point de rencontre B de AF et de a/* est évidemment la perspective de la trace de la droite considérée sur le géométral.

Fio. 153.

179. Figures de front. — Si la droite A est contenue dans un plan de front, sa trace sur le tableau A et son point de fuite F sont rejetés à l'infini, ainsi que les points a et f La perspective a de la projection devient donc parallèle à LL', ce qui était évident

<i priori.

Quant au point B il reste à distance finie. C'est lui qui sert à fixer la situation de la droite de front considérée dans l'espace.

En particulier, une verticale sera complètement déterminée lorsqu'on connaîtra la perspective de sa trace sur le géométral.

Il est essentiel de remarquer, d'ailleurs, que les figures tracées

Fio. iri^.

dans un plan de front ont pour perspectives des figures qui leur sonl

" semblables.

Si, par exemple, nous

considérons le triangle ABC

situé dans un plan de front

P [fig. 154), sa perspective

ahc sur le tableau T sera un

triangle semblable, et le

ah rapport de similitude Tt^

sera égal au rapport ^ des

distances du point de vueO au tableau et au plan P.

Autrement dit, si le plan de front P est à une distance du point 0. double, triple etc., de la distance principale, les figures contenues dans ce plan se perspectivent en conservant leur forme, mais avec des dimensions linéaires réduites à la moitié, au tiers, etc. i V

180. Perspective du plan. — Toutes les droites contenues dans un plan P ont leurs traces au tableau distribuées sur une droite AA'qui est la trace au tableau du plan P{j%. 155) .

Chacune d'elles a son point de fuite situé sur une parallèle au plan P menée par 0. Le lieu de ces points de fuite est donc la droite d'intersection FF' du tableau et du plan parallèle au plan P, menée par le point 0. Cette droite FF', nécessairement parallèle à AA', est dite la ligne de faite du plan.

(^» On voit, d'apivs cola, tiu'il csl inrorrecl d»* ï>arlor de perspective d'un objcU'n rc/icf faite rt une échelle rfo/ince, par exemple en demi-grandeur. Seules les parties de let objet contenues dans lo plan de front éloigné du point de vue du double de la distance principale seront représentées en demi-grandeur. I.a réduction sera plus ou moins grande pour les autres parties de Tobjet représenté, suivant qu'elles se trou veront en arrière ou en avant de ce plan de front.

IG. l.>0.

PERSPECTIVE DU GEOMETRAL 165

Si le plan est horizontal, sa ligne de fuite se confond avec la ligne d'horizon.

S'il est vertical, sa ligne de fuite est verticale ; s'il est perpendiculaire au tableau, elle passe par le point de fuite principal ; si donc il est de profil, cette ligne de fuite est verticale et passe par le point de fuite principal.

Si un plan passe par le point de vue, sa trace au tableau et sa ligne de fuite se confondent ; il y a raccourci total.

181 . Ti»ace sur le géométral. — La trace du plan P sur le géométral rencontre le tableau à l'intersection a des traces AA' et LL' de ces deux plans ; son point de fuite et à l'intersection f des lignes de fuite FF' et HH' de ces plans.

Si les points a et /'se trouvaient hors des limites de la feuille où Ton dessine, on aurait la trace sur le géométral du plan P en joignant celles de deux droites quelconques de ce plan, une droite quelconque du plan étant déterminée, répétons-le, par ce fait que sa trace au tableau est sur AA' et son point de fuite sur FF'.

Prenons, par exemple, la droite A^F [fig. 155). Sa projection sur le géométral a sa trace au tableau en a^ et son point de fuite H. Le point de rencontre B de A^F et a^H est la trace de A^F sur le géométral. Ce point appartient donc à la trace «/"cherchée.

Pour un plan de front, AA' et FF' sont rejetées à l'infini, mais la trace sur le géométral, tout en devenant parallèle à la ligne de terre, reste à distance finie. Elle sert à déterminer le plan de front considéré.

§ 2. — Perspective du géométral

A. — Mise en pey^spective

182. Mise en perspective d'une droite du géométi'al (*). — Occupons-nous d'abord de la mise en perspective du géométral, en commençant par nous occuper des droites contenues dans ce plan.

l'j II va sans dire que tout ce qui est relatif à la perspective des figures tracros sur l*î géométral s'applique aussi bieu à un plan horizontal quelconcjue. Il n'y a qu'à faire jouer à la trace tie ce nouveau plan horizontal, sur le tableau, le rôle de ligue <le terre.

Soient, en projection sur le géoraétral, le point de vue, LL' la ligne de terre, AM la droite donnée [fig. 156).

La droite ayant sa trace au tableau sur la ligne de terre, nous n'avons qu'à reporter la distance LA de cette trace au point L, sur le tableau.

Fig. 156.

La projection horizontale du point de fuite est le point / obtenu en menant Of parallèle à AM.

Puisque la droite est dans le géométral, c'est-à-dire horizontale, son point de fuite est sur la ligne d'horizon (n^ 177). Nous aurons donc ce point de fuite en portant sur HH' le segment HF égal à L/*.

La perspective AF de la droite est ainsi obtenue.

183* Mise en perspective d'un point. — Méthode générale, dite des deux points de fuite. — La mélhode la plus naturelle pour mettre en perspective un point M du géoraétral [fig. 157) consiste à mener par ce point M deux droites quelconques MA et MA^ et à mettre ces droites en perspective comme il vient d'être dit au numéro précédent.

Si Ton a à mettre en perspective plusieurs points M, M\ M",

du géométral, on fera passer par chacun d'eux des parallèles à deux mêmes directions Of et Of^ , afin de se servir des mêmes points de fuite F et F^ correspondant à ces directions.

Voici donc comment on procédera : ayant mené par les points

M, M', M", les parallèles MA, M'A', M"A" à 0^ et les

parallèles MA^, M'A\, M^'A''^ à O/'p on reporte (en une seule

fois, en les marquant sur le bord rectiligne d'une feuille de papier)

PERSPECTIVE DU OÉOMÉTKAL 1«7

les points A, A', A", A,, A',, A",, sur la ligne de terre du

tableau. On joint les points du premier groupe au point F, ceux du second au point F,. Les droites ainsi menées se coupent respectivement aux points M, M', M" cherchés.

Telle est la méthode générale de mise en perspective des pointe du géométral. Comme elle repose essentiellement sur l'emploi des points F et F', elle a reçu le nom de méthode des deux points de fuite.

184. ! Soit, par exemple, à mettre en perspective le carrelage hexagonal représenté sur la figure 158.

Les sommets de ce carrelage peuvent être considérés comme dis-

i'tww.^

tribués d'une part sur les parallèles 1, 2, 3, de l'autre sur les

parallèles r, 2', 3',

Construisant les points de fuite F et F' correspondant à ces deux

directions et reportant sur le tableau les points de division 1 , 2, 3,

r, 2', 3', déterminés sur la ligne de terre LL', on a en FI , F2, F3,

d'une part, en F'I', F'2', F'3', de l'autre, les perspectives des

parallèles tracées sur le géométral. Ces deux faisceaux de droites donnent par leurs recoupements les sommets de la perspective cherchée.

185. Points de distances. — Tout en conservant dans son essence la méthode précédente, on peut modifier, dans la pratique, la manière de l'appliquer en vue d'une plus grande commodité.

On est, en général, conduit à rapporter les points du géométral à deux axes de coordonnées, en prenant la ligne de terre LV pour axe des x et une droite Ly, menée par L parallèlement à une direction dominante de la figure, pour axe des y {fig, 159).

JK)

Fio. 159.

Chaque point M est alors déterminé par son abscisse LA, dite aussi sa lay^geur et son ordonnée LE, dite son èloignement ou sa profondeur.

Pour cette raison, on donne à Taxe La? le nom à! échelle des largeurs^ à Taxe Ly le nom d'échelle des éloignements ou d£s profondeurs.

Il s'agit, connaissant la largeur et l'éloignement, de mettre le point M en perspective en utilisant la méthode du numéro précèdent.

PERSPECTIVE DU GÉOMÉTRAL 169

Gomme première direction, nous adopterons tout naturellement ici celle de hy. Menant 0/ parallèle à Ly, nous n'avons qu'à porter sur la ligne d'horizon le segment HF égal à L/'pour avoir le point de fuite correspondant.

Ck)mme seconde direction, nous prendrons celle de la droite MB

AB 1 telle que -rrr = t' '^ étant une constante quelconque

Pour avoir le point de fuite correspondant, nous n'avons qu'à mener Odj parallèle à MB, et à porter sur la ligne d'horizon le

segment FDj égal à fd^. On a d'ailleurs.

Ainsi, le segment FD, est égal auj-^^de la distance du point

de vue au point de fuite F.

Pour cette raison, le point D^ est dit le point de distance réduite

au-j—^ répondant au point de fuite F.

Si fe r= 1 , le point D^ est simplement dit le point de distance rèpondant au point F.

Résumons le tracé de la perspective du point M donné par la largeur X et l'éloignement y :

Porter sur la ligne de terre TA = a? et AB = f' et tirer les droites AF et BD, qui se coupent au point M cherché.

MA Remarque I. — Nous aurions pu tout aussi bien porter AB' = -y'

de A vers L. Nous aurions alors eu pour point de distance réduite le point D\ symétrique de D^ par rapport à F. On se sert de l'un ou

de l'autre de ces points de dislance réduite, suivant la plus grande commodité qu'on y trouve, suivant, par exemple, que l'un d'eux se rapproche davantage du centre de la feuille ou que les divergentes qui en émanent coupent les droites AF sous des ^angles plus ou moins ouverts, etc.

larque II. — Si on prend, sur la perspective, un segmenlllj ligne de front quelconque du géométral et qu'on joigne les P et Q respectivement à F et à D^, on aura encore, dans

MP e, PQ = —, — comme on le voit en se reportant à la partie de

i de la figure i59.

.arque III. — On sera le plus souvent conduit à prendre pour Ly la perpendiculaire élevée en L à Lie. Le point F se confond vec le point de fuite principal cp, et les points de distance cordants sont dits^'owi^* de distance principaux.

, Comparaison avec le trait de stéréotomie.— Afin de bicD

isir la diB'érence qui existe entre le trait de perspective, dont les éléiennent d'élre exposés, elle trait de stéréotomie, qui est celui de la Géodescriptive ordinaire, nous allons faire voir comment la construction nte BR déduirait de ce dernier.

t [o.o) le point de vue, [m.m) le point du géométral h mettre en pers-

'/i(}. 160). Le problème consiste à trouver la trace verticale de la droile

'}. Appliquant la construction ordinaire, on mène, par le point m,, on

36 la ligne de terre, une ligne de rappel qui donne sur o'm le po'"'

ché.

incipal inconvénient de cette manière de procéder tiendrait, on le ^°"'

PERSPECTIVE DU GÉOMÉTRAL 171

à Tobligation de superposer les plans sur lesquels seraient dessinés, d'une part, la figure donnée, de Tautre, sa perspective.

Menons par le point {0,0) une horizontale (of.df) dont la trace est [f.f) et tirons par le point m la parallèle mis. à o/*.

Je dis que les points /", m\ et |x sont en ligne droite. En effet, on a

ff' tuo' w'o) mo \t.f

Portons maintenant sur la ligne de terre le segment (xm^égal à — > et tirons la droite mf^fn\ qui coupe df^n d'. Nous avons

^utIq 7n\f' mj' {xw Donc

Par suite, pour un même point r, le point cf est un point fixe.

Nous pouvons, sur un tableau différent de celui T, où se trace la perspective, déterminer les points {jl et m pour les reporter ensuite sur le tableau T où on a marqué les points f et cf. Il suffît alors de tirer les droites fii. et d'niç^ pour avoir par leur rencontre le point m\ cherché.

On retrouve bien ainsi la construction donnée directement par le trait de perspective.

187. Construction des points de distance réduite correspondant à un point de fuite donné. — Le point de vue étant défini par rapport au tableau par sa. projection o sur ce tableau etla distance principale Ocp = 8, il n'y a qu'à porter sur la

ligne d'horizon, dans un sens ou dans l'autre, la longueur ^\ ^= r

pour avoir un point principal de distance réduite au j-rr;^^ (fy. 161).

Prenons maintenant sur la ligne d'horizon un point de fuite quelconque F et cherchons un point de distance réduite au j-^^, correspondant.

Si nous supposons le plan d'horizon rabattu autour de la ligne d'horizon sur le plan du tableau (la partie antérieure du plan d'horizon venant sur la partie supérieure du plan du tableau), le point de

ITi

vue se rabattra en Oj sur la perpendiculaire élevée en ?p à HH', à la distance 0,tp = 5 de ce point.

Fio. 161,

Donc, par définition même (n'' 185), la dislance correspondant au point F sera FOp

F'f , FO,

Dès lors, si nous prenons F^p = -7^' nous aurons FO'^ =-r^*

et nous n'aurons qu'à rabattre ¥0\ en FD^ sur HH' pour avoir le

point D^ cherché.

Remarquons que, sans passer par le point 0^, nous avons immédiatement le point 0', en portant sur la perpendiculaire élevée en / à HH'la longueur