Mise en perspective d'un ensemble de points

— Si on a à mettre en perspective tout un ensemble de points A, B, G, D, le mieux est de reporter en bloc du géométral sur le tableau tous les segments servant à cette mise en perspective, en procédant de la manière suivante (fîg. 162).

Ayant choisi l'axe Ly auquel correspond le point de fuite F, on ni/»iHi par les points A, B, G, D du géométral des parallèles aux axrîb Ly et LL', ce qui donne sur ces axes les points a, 6, c, d,

PERSPECTIVE DU GÉOMéXRAL

et a\ b\ c\ d\ Sur le bord bien nelleraent recliligne d'une bande de papier dont on place exactement l'origine au point L, on reporte d'abord les points a, 6, c, rf, puis les points a, b\ c\ d'. Appliquant alors cette bande de papier le long de la ligne de terre LL' du tableau, Torigine placée en L, on reporte sur cette ligne tous les points marqués sur cette bande.

FlG. 162.

On obtient ainsi les points a, 6, c, rf, a\ 6", c\ d\ A la droite Ly du géoraétral correspond la droite LF du tableau. 11 suffit donc de joindre les points a\ b'\ c\ d" au point de distance l> correspondant au point F (obtenu en portant sur HH' la longueur FD égale à OF du géométral) pour avoir sur LF les perspectives a\ 6', c\ d\ des points de même nom du géométral.

Les droites Aa, B6, Gc, Drf, parallèles à Ly, ont pour perspectives les droites Fa, F6, Fc, ¥d. Les parallèles ka\ B6', Ce', Dcî', à la ligne de terre restent, en perspective, parallèles à cette ligne. On a ainsi, en perspective, les points A, B, G, D.

189. Au surplus, on peut, dans chaque cas, faire varier la mise en œuvre des procédés exposés, en vue de la plus grande simplicité.

Soit, par exemple, à mettre en perspective le plan d'escalier ABB4A4 {fig. 163). Ici on prendra évidemment pour direction Ly celle de AA^, mais il n'y aura aucun avantage, comme nous l'avons

fait au n" 187, à projeter les points A, A^, parallèlement à LL'

sur Ly. On reportera, sur la ligne de terre du tableau, à partir du

point a, les points A, A'^, pris sur la droite aki^ du géométral.

On aura ainsi les points A\ k\, qui, joints au point de distance D, donnent sur àF les perspectives A, A^ cherchées.

En reportant le point M où AB coupe LL' sur le tableau, on a la perspective de AM qui coupe F6 au point B. Il suffit dès lors

de joindre les points A,, A2, au point de fuite de AM pour avoir

les perspectives de AjE^ AoB., Sur la figure 163, ce point de

FiG. 163.

fuite serait en dehors des limites de Tépure. Nous verrons plus loin (n"* 209) comment nous pourrions néanmoins tracer les droites A,Bp

AoBo, Mais il est tout aussi simple de mettre directement les

points Bp Bo, en perspective surF6 comme A^, Ao, vientient

d'y être mis sur Fa, en reportant les points 6, B, Bj, du géométral en 6, B', B\, sur la ligne de terre du tableau.

190. Mise en perspective du cercle. — Pour mettre en perspective une courbe quelconque, on n'a, par les procédés qui viennent d'être indiqués, qu'à mettre en perspective un nombre suffisant de points de cette courbe.

Remarquons que la perspective, étant l'intersection par le plan du tableau du cône ayant son sommet au point de vue et passant par la courbe, si cette courbe est plane et d'ordre n, sa perspective sera également une courbe d'ordre n.

En particulier, la perspective d'une conique est une conique.

Nous allons nous attacher particulièrement à la perspective du cercle, qui revient très fréquemment dans les applications.

Deux cas sont à considérer :

PliRSPECTlVE DU OEOMETRAL

Premier cas. — Le centre û du cercle est en arrière du ■Pu- 164).

Ayant marqué sur le tableau le point de fuite principal point de distance réduite correspondant, par exemple le ]

nous mettons le centre a en perspective en portant sur la terre son abscisse en Lw et le tiers de son ordonnée wU er tirant les droites fw et A,(t>, qui se coupent en û.

Portant en tùa et.w6 des segments égaux au rayon R d

et tirant =(i et sô, on a les perspectives de Aa et de B6 sur le on marque À et B en menant par Q une parallèle à la ligne <

Portant en (>>,c, et «,d, des segments égaux à -0 et tiran

■i|tip on a sur sU les perspectives de et U. Les parallèl

meoées par ces points donnent les tangentes corresponda et NQ.

L'ellipse perspective, tangente en A, B, C, D, aux droi PN, MP. NQ, est surabondamment déterminée. Nous de plus loin (u" 191) un moyen simple de la construire.

Userait facile, si on le désirait, de construire les axes de perspective. En effet, les tangentes en G et en D étant pa CD est un diamètre, et le centre! de l'ellipse est le milieu d

Le diamètre conjugué de Gl) sera dirigé suivant la paralli menée par L Pour avoir la longueur de ce diamètre, cl

la corde correspondante du cercle sur le géométral. Tirant AJ qui

coupe LL' en i, et reportant sur le géométral ùl == Sw^t^, on aie point I correspondant, et par suite la corde JK.

Il n'y a dès lors qu'à prendre sur la ligne de terre du tableau les segments wji* et w/t égaux à IJ ou IK et à tirer ©; et (fk pour avoir en perspective les extrémités du diamètre JK.

Connaissant les diamètres conjugués CD et JK, on peut construire les axes de Tellipse (n° 53) .

Deuxième cas. — Le centre du cercle est en avant du tableau ifig. 165).

Fio. 16:i.

Prenons la flèche MG de Tare AGB et menons les tangentes AT, I3T, PQ en A, B, G.

Les points A, B, M, étant reportés sur la ligne de terre, joignons le dernier au point de fuite principal «p. Nous avons ainsi la perspective de la droite TM.

Pour reporter sur cette droite les points T et G, connaissant, par exemple, le point de distance réduite A^, nous prenons sur LL' les

segments Me

MG ,, MT . 1 j »

= "ô"' ^' M^ =^ -ô-' et nous tirons les droites

\^c et ^^ qui coupent Mç en G et en T.

Menant par le point G la parallèle PQ à AB, on a la tangente en ce point.

La conique perspective, tangente en A, B, G, aux droites AT, BT, PQ, est surabondamment déterminée. Nous la construirons par le procédé donné au n" 191.

Auparavant nous ferons la remarque suivante :

La conique perspective étant l'intersection par le plan du tableau

PERSPECTIVE DU GÉOMÉTRAL

du cône de sommet passant par le cercle AGB, cette conique sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, selon que le plan mené par le sommet parallèlement au plan sécant, c'est-à-dire le plan parallèle au tableau mené par le point de vue, ou plan neutre ^ ne rencontrera pas le cône, ou lui sera tangent, ou le coupera suivant deux génératrices.

En d'autres termes, la perspective sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que la parallèle à la ligne de terre menée par la projection du point de vue géoraétral sera extérieure, tangente ou sécante au cercle AGB.

Mais, quel que soit le cas qui se présente, la construction de la conique perspective donnée ci-dessous reste la même.

Remarque. — On voit qu'il n'y aurait rien à changer aux tracés précédents si, au lieu d'un cercle, on avait une conique quelconque à mettre en perspective.

191 . Construction des coniques perspectives. — Nous sommes, dans tous les cas, amenés à construire une conique, connaissant une corde AB, les tangentes AT et BT, aux extrémités de cette corde, et une extrémité G du diamètre GM conjugué de AB, où, par conséquent, la tangente PQ est parallèle à AB (fig. 166).

La construction reste la même que celle qui a été donnée au n** 53 pour l'ellipse dont on connaît deux diamètres conjugués, attendu que cette construction est projective.

On prend sur PG un nombre quelconque n de points de division,

OiOM. DESCniP.

tels que les points numérotés 1 et n — 1,2 etn — 2,... h et;i — /{,... soient symétriques par rapport au milieu de PC.

Pour cela, ayant marqué le milieu de PC (qui est sur la droite joignant le point T au point de rencontre des droites PM et AG), ou prend, sur Tune des moitiés, des points autant que possible équidistants, et on reporte cette division en sens contraire sur l'autre moitié.

Cela fait, on tire la droite PB et on prend ses points de rencontre

avec les droites Al, A2, kn. On joint les points r,2',

(n — 1)', n' ainsi obtenus au point G. Lès droites

Al et Cn

A2 et C(n— 1)'

kk et C(n— A)'

An et Cl'

se coupent sur la conique cherchée dont on obtient ainsi autant de points que Ton veut.

Prenant de même des points de division (toujours symétriques par rapport au milieu de PC) en dehors du segment FG, on pourrait achever le tracé complet de la conique ; mais il est préférable, pour avoir Tare du point G au point B, de répéter la même construction en remplaçant le point A par le point B, le segment PG par QG, la droite PB par QA.

Pour avoir la tangente en un point H de la conique [fig. 167;, il suffît de tirer HB qui coupe TM en I et de mener par I à AB la parallèle IK. HK est la tangente demandée.

PERSPECTIVE DU OEOMETRAL

Remarque. — La construction reste la même, quelle que soit la nature de la conique, et, en particulier, si le point G est au milieu de TM, auquel cas la conique est une parabole. Cette construction peut donc, dans ce cas, être substituée à celle du n*" 59.

Elle subsiste même si les points A et B sont rejetés à Tinfini sur TA et TB, auquel cas la conique est une hyperbole tangente enC à PQ et ayant TA et TB pour asymptotes. Elle peut alors être substituée à la construction du n"" 56 (*).

192. Ci*aticulage. — Lorsqu'on a à mettre en perspective une courbe ou un ensemble de courbes non définies géométriquement ou d*une définition géométrique compliquée, le mieux est de rapporter ces courbes à un quadrillage régulier que Ton met en perspective.

Fiu. 168.

On reporte aisément sur ce quadrillage en perspective les points relevés sur le quadrillage régulier. Gela s'appelle craticiiler.

Ayant construit le point de fuite principal f sur la ligne d'horizon HH' (fig. 168), on porte sur LL' les points de division 1, 2, 3, 4, de la ligne déterre, et on tire les droites ©1, ^2, ©3, ©4.

Prenant sur HH' un point de distance réduite principal quelconque, Aj par exemple, on n'a qu'à le joindre au point 1 de LL'

pour avoir le point 5 sur L'f . On pourrait de même construire

.'; Nous avons «hMluit ces constructions d'un niodt» do Iransformalion sfUM'iuI i\\w nmis avons étudié, on 1893, dans les yourelles Annales de Mathématiques p. 3.'>0 , mais on peut los jnslilior immédiatenionl par la considoralion clos raiscoanx liomogiaphiquos Ail, 2, 3,...) et G (!', 2', 3',...i.

les autres points de division sur L'f ; mais il est plus expéditif, ayant le point 5, de recourir à un procédé qui sera donné plus loin (n« 199, 1«).

193. Chaudement d'échelle. — Nous avons supposé jusqu'ici que Téchelle adoptée pour le tableau était la même que celle du géomélral. Vo3'ons maintenant comment s'effectuera la mise eu perspective lorsqu'on fera choix d'une échelle différente.

Ayant d'abord tracé la ligne de terre LjL\ et la ligne d'horizon H, H', du tableau construit à la même échelle que le géomélral marquons sur H, H', le point de fuite F et le point de distance D. répondant à la direction Ly [fig. 169).

""ITT"

Fio. 16Î).

Gela fait, amplifions tout le tableau dans un rapport quelconque//, homothétiquement par rapport au point F. Nous n'avons pour ceb, après avoir choisi arbitrairement le point L, par exemple, sur FL,. qu'à tirer les parallèles LH, LL', L'H' à L^Hp L,L',, L'jH\-

Par rapport au nouveau tableau, le point de distance Dj de l'ancien devient le point D^.

Appliquons dès lors la règle formulée pour la mise en perspective à la fin du n" 185.

Nous prenons, à Véchelle du tableau, le segment La égal à la largeur du point M. Pour cela, nous portons cette largeur, à Véchelle du gèométral, en L^a^ sur L,L'p et nous tirons Fa^.

Nous prenons ensuite, toujours à Véchelle du tableau^ le segment

am égal au t-^;;;; de l'éloignement. Mais, puisque le rapport d'ampli-

fication est précisément égal à A, leyiè;;;; de l'éloignement à l'échelle

PERSPECTIVE DU GÉOMBTRAL

du tableau sera cet éloignement lui-même, à V échelle du géométraL Nous n'avons donc qu'à reporter am, pris sur le géométral, sur LL' à la suite de La et à tirer mD^, ce point Dj^ n'étant autre que le

point Dj de tout à l'heure.

En résumé, la construction est la suivante: porter sur LjL\ {échelle des largeurs) L^a^ égala la largeur prise sur le géométral ; tirer Ya^ qui coupe LL' en a; porter sur LL\ en arn^ Véloignement AM jpris sur le géométral et tirer mD^ qui coupe Fa au point M cherché. ^

B. — Constructions directes sur le tableau

1941. Construetîoiis relatives aux angles. — Supposons que par le point A de la droite du géométral, dont la perspective est AF, on veuille mener une droite faisant avec celle-ci un angle :f connu, et proposons-nous d'obtenir directement la perspective de cette droite.

Rabattons le plan d'horizon sur celui du tableau.

Le point de vue se rabat en Oj sur la perpendicuaire élevée au point cp à la ligne d'horizon HH' ^fig. 170), et à une distance de ce point ç égale à la distance principale 3.

Le rayon OF étant rabattu en O^F, il suffit de mener par le point 0, la droite OjF' faisant avec OF l'angle a pour avoir en F' le point de fuite de la direction cherchée.

Si l'angle a est droit, c'est-à-dire si les points de fuite F et F' correspondent à deux directions rectangulaires, on a 'fFxçF' = o^

Il arrivera le plus souvent que la figure AFOF' sera trop grande

et que les points F, 0,, F', sortiront des limites de l'épure. On pourra

alors construire une figure homothétique par rapport au point cp.

îpA Prenons, par exemple, sur ©A le point a tel que «a = ^ et, sur la

Fio. no.

perpendiculaire élevée en o à HH' la longueur ©o^ = 7. Nous n'aurons qu'à mener par a la parallèle afk AF, à tirer /o,, à faire en <?, l'angle foj' égal à a, enfin à mener par A une parallèle à af\ pour avoir la perspective cherchée.

195. Constructions relatives aux longueurs. — Supposons que nous ayons à porter une longueur l à partir du point A

sur la droite AF {fig. 171).

Nous commençons par déterminer (n"" 186) un point de distance réduite,

par exemple le point D, , relatif au point

F. Nous portons sur l'échelle des largeurs (supposée confondue ici avec la ligne de terre, ce qui revient à supposer l'échelle du tableau égale à celle du

géométral) le segment a6 = ; nous

tirons ensuite la parallèle ABq à LL' qui coupe F6 en B^j ; le segment AB^ du géométral est égal àaô, puisque FA et FBq sont les perspectives de deux droites parallèles. Il n'y a donc qu'à tirer la droite B^^D^ pour avoir le point B cherché. ^

196. Milieu perspectif. — La perspective du milieu du segment AB considéré sur le géométral est dite le milieu perspectif du segment AB considéré sur la perspective.

Ayant joint le point B à un point F' quelconque de la ligne d'horizon [fig, 172), nous n'avons qu'à mener la parallèle AB^, à HH', à prendre le milieu M^ de ce segment et à tirer F'M^ pour avoir le point M cherché sur AB. En etfet, les droites MM^, et BB^, se rencontrant en un point de la ligne d'horizon, sont les perspectives de droites parallèles du géométral. Donc, 5wr le géométral^ le point M divise AB comme M^ divise AB^,, c'est-à-dire en est le milieu.

Pour n'avoir pas à prendre le milieu de ABq, on n'a qu'à se donner arbitrairement AM^j, qu'on reporte en M^B^ ; à tirer BB^, qui donne F', puis F'M^, qui donne M.

On peut encore remarquer que, si l'on mène par F une droite quel.

PERSPECTIVE DU GÉOMÉTRAL

conque qui coupe en A' et en B' les parallèles à HH' menées par A el B {fig. 173), la figure AA'B'B est la perspective d'un parallélogramme du géométral. Il n'y a donc, par le point de rencontre I des

Fig. 172.

Fig. i73.

diagonales AB' et A'B, qu'à mener une parallèle à AA' pour avoir le point M cherché.

L*une ou l'autre de ces constructions montre que le point M est le conjugué harmonique du point de fuite F par rapport aux points ketB.

En effet, là première, par exemple, montre que le faisceau (F'.AM^jB^F) est harmonique. Donc, en coupant ce faisceau par la droite AF, on obtient une ponctuelle harmonique (AMBF).

19T. Construction d'un cercle dont on connaît un diamètre en perspective. — Soit AB [fig. 174) le diamètre

Fio. 174.

donné. Par l'une ou l'autre des constructions précédentes, on cons-

truit son milieu perspectif li, qui est le centre perspectif du cercle dont on cherche Tellipse perspective.

Ayant construit (n° 187) le point de distance réduite Dj^ corres-

pondant au point F, nous n'avons qu'à tirer D^ù et à mener par A

la parallèle AAq à LV pour avoir en AA^, à l'échelle du plan de front de A, le tiers du rayon (n^* 195). Tirons dès lors FA^ qui coupe en m la parallèle à LV menée par û, et portons sur cette droite ûM = ûN = 3ûm. Nous avons ainsi la perspective MN du diamètre

de front du cercle cherché. Prenant un = Om, et joignant les

points m et w au point de distance principale réduite au 3^ nous avons

en P et en Q sur la droite ûcp les perspectives des extrémités du diamètre perpendiculaire à MN sur le géométral.

Nous savons qu'en M et en N les tangentes à la perspective cherchée sont «pM et ^pN, tandis qu'en P et en Q ce sont les parallèles àMN. Nous nous trouvons ainsi dans le même cas qu'au n** 190 (premier cas), et nous pouvons appliquer la construction du n** 191

Si, en particulier, nous voulons la tangente en un des points don nés, le point A, par exemple, sans avoir à construire, comme il a été dit au n° 194, la perpendiculaire en A à AB, nous n'avons qu'à appliquer la construction donnée au n° 191 : tirer AM qui coupe ûQ au point S, et mener ST parallèlement à MN ; AT est la tangente demandée.

198. Division d'un segment de droite dans un rapport donné. — Échelles divergentes. — De même que le

milieu perspectif M de AB s'obtient en prenant le milieu M^ de AB^ et tirant F'Mo {fig. 175), F' étant, d'ailleurs, un point quelconque de la ligne d'horizon H'H (n^ 196), de même, si P^ divise AB^ dans un

P A certain rapport tj^ = X, le point P

où F'Pp coupe AB est la perspective du point qui, sur le géométral divise AB dans ce rapport X.

Le rapport anharmonique de la ponctuelle AMoPoBo, égal à À, est

Fio. 175.

Uv

PERSPECTIVE DU GEOMETRAL

Fio. 176.

égal aussi à celui de la ponctuelle AMPB, puisque ces deux ponctuelles sont données par l'intersection de deux droites différentes avec un même faisceau (F'. AMPB), et ce rapport anharmoriique a est celui même du faisceau.

Prenons dès lors, en dehors de l'épure, un segment de droite ab quelconque [fig. 176) sur lequel nous marquons son milieu m et le

point ;>, tel que^ = a, et joignons les points a, m, p, 6, à un point

S quelconque, de préférence sur la perpendiculaire élevée à ab en son milieu m.

Le rapport anharmonique de ce faisceau est égal à X. Relevons alors en A^, Mj, B,, sur le bord bien nettement rectiligne d'une bande de papier, les points A, M et B du tableau et plaçons cette bande de papier sur le faisceau S de façon que le point A, tombe sur Sa, B^ sur Sb et M^ sur Sm, ce qui se fait par un tâtonnement très rapide. Puis, marquons le point P^ où le bord de la bande de papier rencontre Sp. Le rapport anharmonique de la ponctuelle AjM,P^Bp égal à celui du faisceau (S.amp6), est égal à a. Donc, si nous replaçons le segment A^B^ de la bande de report en coïncidence avec le segment AB, le point P^ nous donnera sur AB le point P cherché.

Le faisceau {S.ampb) est dit une échelle divergente pour le rapport A. Une telle échelle, dont l'idée est due à M. Pillet, permet, quel que soit le segment AB pris sur la perspective, pourvu qu'on ait marqué son milieu perspectif M, d'obtenir immédiatement sur ce

PA segment le point P tel que 770 = ^^•

Remarque. — Pour repérer la position du segment AB, nous nous sommes servi de son milieu perspectif M, parce que, d'une part, ce point est très aisé à construire, et que, de l'autre, il se trouve entre A etB, ce qui est un avantage ; mais on pourrait aussi bien prendre tout autre pointdivisant AB dans un rapport connu, par exemple le point defuite F [fig. 175), perspectif de celui à l'infini.

Le rayon correspondant de l'échelle divergente, sur lequel on aurait à amener le point Fj serait la parallèle à ab menée par S (/%/• 176).