CHAPITRE IV

PBRSï^ECTIVE LINEAIRE

199. Applications diverses des échelles divei^geiites. — L'emploi des échelles divergentesperm et de résoudre immédiatement tous les problèmes qui se ramènent à la division d'ua segment de droite dans un rapporl donné. En voici quelques exemples:

1° Division d'un segment de droite en parties égales. — Si on construit une échelle divergente en joignant un point S à des points 1, 2, 3..., régulièrement espacés. sur une droite, on peut, au moyen de cette échelle, diviser un segment de droite, donné en perspective, en un nombre de parties égales çjimpris entre 3 et n.

Sur la figure 177, on a pris n = 8.

i 1 •; £ M 3 'j i •• 5- fi \ n V il

Kio. 177.

Soit dès lors à diviser AB, dont on à pris le milieu perspectif M, en cinq parties égales. Ayant relevé les points A, M, B, sur une bande de papier en Ap M,, B,, reportons-nous sur l'échelle divergente en

amenant le point A, sur SO, M^ sur S2p et B sur S5. Marquons sur la

bande de papier les points 1^ 2^ 3p 4^ aux points où le bord est coupé par les divergentes S,, So, S.^ S4. Nous n'avons plus qu'à reporter ces points en 1,2, 3, 4, sur la perspective.

2" Inscription des polygones réguliers da?is le cercle. — Soit à inscrire dans un cercle un polygone régulier de An côtés. On peut toujours être ramené à ce cas en doublant ou quadruplant le nombre des côtés. Donnons-nous le sommet A et proposons-nous de construire les autres sommets de ce polygone régulier inscrit dans le cercle, dont les diamètres rectangulaires AB et CD ont été mis en perspective, ou, ce qui revient au même, pour lequel on a mis en perspective le carré circonscrit MNPQ [fig. 178).

On voit que les sommets projetés soit sur AB, soit sur CD,

PERSPECTIVE DU OEOMBTRAL

donnent les mêmes ponctuelles composées des eitrérailés de ces diamèlres et de 2n — 1 points intermédiaires, dont le centre. Ces ponctuelles sont, d'ailleurs, encore les mêmes lorsqu'on projette les sommets sur un quelconque des côtés du carré MPNQ. Il suffit donc

de construire l'échelle divergente correspondant à cette ponctuelle unique pour pouvoir reporter sur les côtés MPNQ en perspective les ponctuelles correspondantes.

Prenons, par exemple, l'heiagonerégulierASTBUV et, pour avoir à construire une seule échelle divergente, doublons le nombre des sommets, de manière à le rendre divisible par 4. Nousoblenons ainsi sur le diamètre AB la division A12345B que noua prenons pour base 0123456 d'une échelle divergente de sommet S, ce sommet étant sur la perpendiculaire élevée à la base par le point 3.

Reportant successivement sur l'échelle divergente les côtés du carré MQNP rais en perspective avec leurs milieux perspectifs A, D, B, C, en plaçant les extrémités de chaque côté sur SO et S6, et leurs milieux perspectifs sur S3, on a les ponctuelles 12345 correspondant à chacun de ces côtés. Les intersections des droites joignant deux à deux les points correspondants des ponctuelles opposées donnent les sommets S, T, U, V, cherchés en perspective (').

(') Les côtés opposés de cet hexagone ppi-spetlirtîtant les pei-spcclives de droites parallèles sur le géomélral doivent se couper sur la ligne d'hoi-ÎKon. C'esl \k une 'énfication du ihéoièmr de Pascal.

3° Construction des cercles concentriques à un cercle donné, — Supposons que nous ayons construit la perspective d'un cercle de rayon Rq et que nous voulions construire les perspectives de cercles concentriques à celui-ci et de rayons R,, Ro, R^,--.

Fio. 179.

Construisons une échelle divergente {fig, 179) en portant sur sa

base, de part et d'autre du points, les rayons R^, Rj, R.,, R3,

ce qui donne les points a^„ a,, a.>, a,^ et 6^j, 6p ô.^» ^3*--

Gela fait, prenons un diamètre perspectif quelconque A^B^, du cercle perspectif tracé, reportons-le sur l'échelle divergente en amenant le centre perspectif il sur Sw, et les extrémités AqBq respectivement sur Sa^, S6^). Marquons les points où ce diamètre est coupé par

les divergentes Sa,, S^o, Sa.p S6,, Sôo, S63, et rapportons

cespoints sur la perspective. Nous avons ainsi les points A,, Ao, A3,... Bp Bo, B3, appartenant aux perspectives cherchées.

C — Déplacement du gèométral et du point de vue

200. Abaissement du gèométral. — Si, le point de vue restant fixe, on abaisse le gèométral dans le sens de la verticale pour amener la ligne de terre de LL' en L,L'p chaque point M du gèométral se déplace sur la verticale correspondante [fig. 180).

PBRSPEGTIVE DU GÉOMBTRAL

Joignons le point M à un point quelconque F de la ligne d'horizon. Nous avons ainsi la perspective d'une droite du géométral passant au point M. Le point A de cette droite s'abaisse en A^ ; son point de fuite F né varie pas, puisque le point de vue, d'une part, et la direction de la droite, de l'autre, restent invariables.

La nouvelle perspective de la droite est donc AjF, qui coupe la verticale MM, au point M, cherché.

Puisque les points correspondants M et M, sont sur une même perpendiculaire à HH' et que les droites correspondantes AM et A, M, se coupent sur HH', on voit que la première et la seco7ide perspectives sont des figures homologiques, HH' étant Taxe dlioraologie ^ et le centre d'homologie étant à l'infini dans la direction popendiculaiy^e à HH'.