INACCESSIBLE DE DEUX DROITES DONNÉES

209. Constructions géométriques* — On peut donner un \.m grand nombre de constructions pour la droite joignant un point donné M au point de concours inaccessible de deux droites données d et d (^),

(ï) Voir à ce sujet une Note parue, en 1886, dans le Journal de Mathématiques élémentaires (p. 56).

PERSPECTIVE DU GÉOMÉTRAL

Il suffit, par exemple, d^abaisser du point M les perpendiculaires MA et MA' sur ces droites [fig. 191) et de prendre le point de rencontre de chacune de ces perpendiculaires avec Tautre droite. On a ainsi les points B et B'. En vertu du

Fio. 191.

Fio. 192.

théorème des trois hauteurs, la perpendiculaire abaissée de M sur BB' passe par le point de rencontre de d et d.

Si on a une série de points sur une ligne droite AB {fig, 192], il suffit, après avoir mené une parallèle quelconque A'B' à cette droite, de tirer les parallèles M,N<, MjN„ M3N3 à d\ puis N^M'^, NjM'2, NjM'j à d. Les droites M<M'4, M| M,', MjM's sont les droites cherchées.

Fio. 193.

Si la droite AB est parallèle à une des droites données, d par exemple, la construction ne s'applique plus. Il sufût alors, ayant tracé une parallèle quelconque A'B' à AB [fig, 193) de joindre les points A, M^, M,, M3, à un point P quelconque de rf, ce qui donne sur AB les points a, m|, mj, nig, et de reporter la ponctuelle a^gm^mi en A'M'jM'^M'f. Les droites M^M'^, MjM'^, MgM'g sont les droites cherchées.

810. Emploi du té brisé* — On peut aussi, si on a un très grand nombre de points à joindre au point de concours inaccessible de d et de d\ recourir à l'emploi du té brisé, imaginé par M. Pillet.

Ce té se compose essentiellement d'un axe HG et de deux bords rectilignes HA

et HB, également inclinés sur HC [ftg, 194). Si Tangle que fait chacun de ces bords avec la perpendiculaire élevée en H à HC est égal à a, on dit que le lé

eH (Tangle a. Les droites HA, HB, HC seront découpées soit dans une feuille de papier un peu fort ou de celluloïd, soit dans une mince planchette de bois, comme le montre la figure 194. Mais, pour les explications qui vont suivre, nous réduirons le té au système des trois droites HA,HB,HC.

Plaçons Taxe du té le long de la droite d [fig, 195}, son sommet H étant en un point quelconque de cette droite, et appelons I et J les points où les bords HA et HB coupent le cercle décrit sur HS comme diamètre, S étant le point de concours supposé inaccessible des droites d et d.

Si nous déplaçons le té en astreignant ses bords à toujours passer par les points I et J (par exemple, en les appuyant contre des épingles fixées en ces points), Tangle IHJ étant constant, le point H décrira l'arc IHJ du cercle HS. En outre, la droite HC, étant la bissectrice de Tangle IHJ, passera constamment par le point S. 11 suffira donc d'amener Taxe HC à passer par un point quelconque

Fio. 194.

Fio. 195.

pour avoir la direction de la droite joignant ce point au point S. Tout revient, par suite, ayant tracé les directions primitives HA et HB des bords du lé, à marquer sur ces droites les points I et J où elles rencontrent le cercle HS non

PERSPECTIVE DU GÉOMÉTRAL

tracé. Ces points I et J se trouveront sur les bords H' A' et H'B' du té lorsque Taxe de celui-ci coïncidera avec la seconde droite d , Pour avoir cette seconde position du té, il suffira de connaître la position correspondante H' de son sommet. Or, l'angle HH'S étant inscrit dans une demi-circonférence est droit. Donc, le point H' est le pied de la perpendiculaire abaissée de H sur d ,

En résumé, ayant choisi arbitrairement le point H sur d et projeté ce point en H' sur d\ il suffit de placer successivement Taxe du té en HC sur d et en H'G' sur d et de tracer, dans chacune de ces positions, les directions HA et HB, HA' et H'B' que prennent ses bords pour avoir les points! et J. 11 suffit ensuite d'appuyer les bords du té contre ces points pour que son axe passe constamment par le point de rencontre des droites ^et d .

Le champ dans lequel peut se déplacer Taxe du té est limité aux droites SI et SJ. Pour franchir ces limites, il suffit de recommencer la même opération en prenant pour droite d^ soit la droite SI, soit la droite SJ, et pour droite d une des droites concourantes en S, précédemment tracées entre d et SI, ou d et SJ.

Sftl 1. Il arrive, dans certaines applications, que, après avoirjoint un premier ensemble de points au point inaccessible S, on a à en joindre un second au point de concours également inaccessible Sq d'une droite d^ c^

(qu'on peut toujours supposer menée par le point H de la première figure, le choix de ce point étant arbitraire) et de la perpendiculaire élevée en S à d [fig, 196). Cherchons les points Iq et Jq correspondant à ce nouvel emploi du té brisé d'angle a.

Figurons-nous le cercle décrit sur HSq comme diamètre, cercle qui passe par le point S, puisque l'angle HSSq est droit.

Le point I^ est à la rencontre de ce cercle et du bord HAq du té, lorsque l'axe HGq est appliqué sur c/q. Ainsi

Fio. 196.

IoHSo = 90* — a.

Mais l'angle HSI, comme on le voit en se reportant à la figure 195, est égala

a. Donc on a aussi ISSq = 90^ — a, ce qui montre que la droite SI passe par le point \q cherché.

On a donc le point Iq par la rencontre de HA^ et de SI. Pour avoir ensuite le point Jq, on n'a qu'à prendre le symétrique de I^, par rapport à d^.