TT

Jf'

Fio. 200.

Pour les tracer avec précision, nous n'avons qu'à les considérer comme les perspectives de droites dugéométral et à recourir à unrelèvementde front de ce géométral autour de AB, en utilisantla remarque faite au sujet des droites qui, en perspective, sont parallèles à une direction donnée, ici perpendiculaire àHH' (n*" 201, Remarque 11)^

Sur la perpendiculaire élevée en o à HH' nous portons, à partir du point E où elle rencontre AB, la longueur El égale à la distance principale cpA. Les droites du géométral, qui, en perspective, sont perpendiculaires à AB, passent, après relèvement, par le point I. D'autre part, la base se relève suivant le cercle de diamètre AB. Nous n'avons donc qu'à mener du point I à ce cercle les tangentes lU^ et IVp puis à ramener les points de contact U, et Vj dans le

PERSPECTIVE DE L 'ESPACE

géométral en abaissant de ces points les perpendiculaires U^Uq et Vj V^j sur AB et tirant les droites FU^ et ©Uq qui se coupent en U,FV, et ç>Vq qui se coupent en V.

Les perpendiculaires à AB menées par U et V sont les génératrices de contour apparent cherchées.

81 T. Perspective d'une sphère. — La perspective d'une sphère étant rintersection par le plan du tableau du cône de sommet circonscrit à la sphère est une ellipse. 11 nous suffira de construire deux diamèlres conjugués de cette ellipse.

Nous prendrons comme géométral auxiliaire le plan de Téquateur de la sphère dont la trace sur le tableau est EE' {/îg, 201).

FiG. 201.

Faisons une remarque préliminaire. Si nous appliquons la méthode des projections obliques en coupant la sphère par une série de plans de front, les cercles de front ainsi obtenus auront pour perspectives des cercles dont les centres fieront sur la droite (pco perspective du diamètre Ûcd de la sphère perpendiculaire au tableau. L'ellipse perspective de la sphère étant Tenveloppe de ces cercles, il en résulte que cette ellipse aura un axe dirigé suivant ^co.

Considérons maintenant les plans tangents à la sphère menés par la verticale du point de vue. Leurs points de contact A et B sont situés sur l'équateur, et les droites OA et 06 de l'espace appartiennent au cône circonscrit. Les perspectives de ces points appartiennent donc au contour apparent de la sphère. En outre, puisque les traces de ces plans sur le tableau sont les verticales des points x et p, le contour apparent sera tangent à ces verticales.

Reportons donc les points a et p sur l'horizontale EE' du tableau ; puis, ayant pris en Ëa et Eb les largeurs des points A et B, tirons (pa et <^b. Nous avons en A et B, sur les verticales de a et B, les points cherchés. Puisque Tellipse de

contour apparent doit être tangente en A et B à Ax et 6b, AB est un diamètre. Donc, son milieu I est le centre de l'ellipse; or, nous venons devoir qu'un axe de Tellipse doit être dirigé suivant tpco; le point I doit donc se trouver sur cette droite, ce qui constitue une vérification.

Le diamètre conjugué de AB sera dirigé suivant la verticale IZ du poiat I. Pour avoir les extrémités C et D de ce diamètre conjugué, coupons la sphère par le plan sécant vertical qui se perspective suivant IZ, c'est-à-dire qui passe par IZ et le point de vue 0.

Le point I étant, sur le tableau, h la rencontre de AB et de (peu, se trouve, sur le géométral, à la rencontre de AB et de Qa>. Ce* point I étant marqué, coupons la sphère par le plan vertical dont la trace est 01 et rabattons ce plan sécant sur le plan de ]*équateur. La section de la sphère rabattue est le cercle de dian)ètre MN. Le point de vue se rabat sur la perpendiculaire élevée en à 01 à une distance 00^ égale à la hauteur de ce point de vue au-dessus do plan de Téquateur, c'est-à-dire à EH.

Menant deOf au cercle MN les tangentes O^Ci et 0|D|, nous avons les rabattements des génératrices du cône circonscrit, contenues dans le plan vertical de 01.

Les points de contact relevés se projettent sur Téquateur en C^ et D^; leurs distances à ce plan sont égales respectivement à G^C^ en dessus et à D^D^ en dessous.

Prenons les largeurs Ld et Le de ces points et portons-les en Ec et en Ed sur le tableau. Portons, en outre, sur les perpendiculaires élevées en c et en </ à EE', les hauteurs cC2= G^jC4 etc^D^ = D^D^ de ces points. Les points cherchés se trouveront sur (pGj et ^D^ ; il suffit donc, pour les obtenir, de prendre les intersections C et D de ces droites avec la verticale IZ.

On connaît alors deux diamètres conjugués AB et CD de l'ellipse demandée; il est donc facile de la tracer. On peut se rappeler, d'ailleurs, pour une plus grande régularité du tracé, que cette ellipse a un axe dirigé suivant <pci>(*].

Remarque. — La méthode des plans sécants, qui vient de nous servir à construire la perspective d'une sphère, pourrait également être appliquée pour une surface de révolution à axe vertical quelconque. On aurait les points de contour apparent, sur chaque section située dans un plan passant par la verticale du point de vue, au moyen d'un rabattement. Mais il est préférable de recourir à la méthode donnée plus loin (n° 229).

(^) AGn de mieux accuser la forme de l'ellipse perspective, nous avons pris le point de vue et la sphère assez voisins du plan du tableau. Si peu. qu'ils s'en éloignent. Tellipse perspective se rapproche de la forme circulaire 11 n'y a donc aucun inconvénient, dans le dessin à main levée, à représenter la sphère par un cercle. On y trouve, d'autre part, l'avantage suivant: la forme circulaire, par suite d'une habitude de notre œil. donne, pour tous les points de vue situés dans une région assez étendue en avant du tableau, l'impression de ia sphère, tandis que l'ellipse cesse de fournir l'illusion cherchée dès qu'on s'écarte tant soil ])cu du point de vue pour lequel elle constitue une perspective exacte.

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B. — Constructions directes

2\S. Sachant mettre en hauteur un point quelconque de l'espace, on peut, par les procédés qui précèdent, effectuer la perspective de toute figure de Tespace, à la condition que Ton se procure les trois coordonnées (largeur, éloignement et hauteur) de chaque point de celte figure. Cette détermination pourrait se faire au moyen d'une épure auxiliaire, exécutée par les méthodes de la Géométrie descriptive ordinaire, et d'où les points seraient reportés sur la perspective. C'est pour éviter l'emploi de cette épure auxiliaire que vont être maintenant exposées les constructions directes qui permettent de rattacher à divers points ou lignes, mis en perspective par la méthode générale, d'autres points ou d'autres lignes qui leur soient liés par des conditions géométriques connues.

a. — Points en ligne droite

219. Mise de front d'une droite quelconque. — Pour déterminer sur une droite des points se rattachant à des points déjà marqués sur cette droite, amenons celle-ci à être de front en la faisant tourner autour de la verticale d'un de ses points.

FiG. 202.

Soit, par exemple, la droite AF que nous ferons tourner autour de la verticale Mm de son point M pour l'amener dans le plan de front de cette verticale {fig. 202),

oiOU. DBSCRIP.

210 CHAPITRE IV. — PERSPECTIVE LINéAIRB

En projetant la trace au tableau A en a sur LI/, et le point de fuite F en /"sur HH', nous avons la projection géométrale a/" de la droite AF (n° 178). Prenons un point quelconque P de la droite el sa projection p. Lorsque la droite est mise de front, le point p est venu en p^, sur la parallèle à LL' menée par m à uae dislance wp^ de ce point égale à la vraie grandeur de mp, à l'échelle du plaa de front de Mm. Il suffit donc de prendre le point de distance d correspondant au point de fuite /"et de tirer dp pour avoir le point p,.

Le point P est venu en P, sur la verticale de p et puisque, dans l'espace, PP, est parallèle à pp,, sur la perspective PP, passe par le point de fuite d deppi- Nous avons ainsi la position de front MF, de la droite MP.

Si, au lieu du point P quelconque, nous avions pris la trace géométrale B, nous n'aurions eu qu'à tirer rfB pour avoir le point B, sur la parallèle à LL' menée par m.

Si nous avions pris le point de fuite F, nous n'aurions eu, ce point étant la perspective du point à l'infini sur la droite, qu'à mener par le point M une parallèle à rfF(').

220. Problèmes sur les longueui-s. — Ayant amené la roile à être de front en tirant par le point M une parallèle MM' à la droite qui joint le point de fuite F de celte droite au point de dislance d correspondant à sa projection géométrale ifig. 203), nous n'avons, pour porter sur la droite un segment MP de longueur codnue, qu'à prendre, à l'échelle du plan de front de M, le segment MP, ayant la longueur donnée elà

tirer rfPj.

Réciproquement, pour avoir la longueur de MP, nous n'avons

qu'à tirer rfP qui nous donne sur MM' le point P, el à mesurer MF,

à l'échelle du plan de front de M.

^>il^ MH, .-si |i;n;iiir.;.'

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221. Problèmes de sec|mentation. — Le point d étant le point de fuite de PP| et F celui de MP, la droite dF est la ligne de fuite du plan MPP^. Si donc par un point G de ç?F on tire les droites PP^) et NN^j, ces droites sont parallèles dans Tespace et Ton a, toujours dans l'espace,