Relèvement de fi'ont d'un plan vei-tieal

qu'on veut effectuer certaine construction dans un plan perspective, la méthode générale consiste à amener ce pi de front, ce qui constitue ce qu'on appelle un relèvement à faire la construction voulue dans ce plan relevé, puis ; les points ou les lignes obtenus sur la perspective. C'est ce avons fait au n" 201 pour le géométral. Nous allons mainti ter la question pour un plan vertical.

Soit le plan vertical de trace XF qu'on fait tourner au verticale XY pour l'amener à être de front {fig. 208).

Considérons d'abord le point m sur la trace géométrale il se relève en uu point m, de la parallèle menée par X à Ll distance Xm, de ce plan égale à la vraie longueur de /»X à l'échelle du plan de front de XY. Il suflit donc, pour point m, de joindre le point m au point de distance D corr au point de fuite F.

■"fVa

Si nous prenons maintenant un point M sur la verticale de /n, ce point se relèvera en un point M^ de la verticale de m,, et comme, dans l'espace, MM^ est parallèle à mm^ en perspective MM^ passera par le point de fuite D de mm^.

FiG. 208.

On peut modifier la construction de M^ en remarquant que la droite FM, perspective de Thorizontale du plan mXY passant en m, coupe la charnière XY en un point Mq qui ne bouge pas. Puisque, après relèvement de front, cette droite est parallèle à m^X, il suffit de mener par Mq la parallèle MqM^ à DF pour avoir sur DM le

point P^ (').

En résumé, pour avoir le point Mj, il suffit de tirer DM et FM et de mener par M^ la parallèle MqM^ à FD. Toutefois, lorsque le point M est très voisin de la droite DF, les droites DM et MqM^ se coupant sous un angle très petit, il vaut mieux revenir à la première construction utilisant les projections géométrales.

Pour relever de front une droite quelconque MT passant au point M, il suffit de joindre Mj au point T où la droite coupe la charnière XY.

(') Nous avons cru préférable de donner rinterprétalioii de ce tracé dans Tespai*'. mais il eût été tout aussi simple de démontrer, sur la ligure, le paralléli^nK' de M,Mq et de DF. U suffit, en effet de remarquer que

I)M< __ Dm4 FX FMo DM ~ Dm ^ Fm "^ FM '

PERSPECTIVE DE L ESPACE

Cherchons où se relève le point J du plan vertical, dont la perspective est à Tinfiui dans une direction quelconque, la direction DJoo par exemple.

Appliquons le tracé précédent : la droite FJ», c'est-à-dire la droite parallèle à DJ» , menée par F, coupe XY en J^, et la parallèle à FD, menée par J^, donne sur DJ» le point Jj cherché.

Remarquons que, la figure DFJqJj étant un parallélogramme, on a JqJ, = FD. Donc, le lieu du point J^ est la parallèle à XY menée par le point I, tel que YI, = FD.

Ainsi, le relèvement du point du plan FYX, dont la perspective est àTinfini dans la direction HH', est le point 1^.

Remarque. — La droite MM^, dans Tespace, est la corde de Tare décrit par le point M pour venir en M^. C'est donc là une nouvelle application de la méthode de la corde de Tare (voir n** 201).

FiG. 209.

En outre, puisque les points correspondants M et M^ sont en ligne droite avec le point D, et que les droites correspondantes MT et

MjT se coupent sur la charnière XY, la figure perspective et la figure relevée de front sont homologiques Tune de l'autre, le point D étant le centre et la droite XY Taxe d'homologie.

22Ak. Application à la perspective du plein cintre fuyant. — Soit AB le diamètre horizontal fuyant au point F, sur lequel on veut construire le plein cintre [fig. 209).

Opérons un relèvement de front, en prenant le point de distance D correspondant à F. Le relèvement du point B se fait au point B^, intersection de DB et de la parallèle à FD menée par A.

Sur ABj comme diamètre, décrivons le demi-cercle AC^B,, et ramenons ce demi-cercle dans le plan vertical XAB. Prenons, par exemple, le point G^ où la tangente G^Gq est parallèle à AB,. Il nous suffit de tirer DG^ et FG^ pour avoir le point G.

L'ellipse cherchée, tangente en A à AX et en B à B6, sera aussi ^ tangente en G à GGq. Gette ellipse peut donc être construite par le procédé indiqué au n** 192.

Pour avoir le point le plus haut E, c'est-à-dire le point où la tangente est paraUèle à DF, nous n'avons qu'à prendre le point Ij, relèvement du point du plan XAB, dont la perspective est à Tintini, sur DF, point qui s'obtient, comme nous l'avons vu au numéro précédent, en prenant DIj = YF ; le point de contact de la tangente menée au cercle AG^Bj par le point I^ est le relèvement E^ du point E cherché. Pour avoir ce point E, on n'a qu'à prendre l'intersection de DEj et de la droite qui joint le point F au point E^ donné sur XA par la parallèle E^E^ à DF.

225. Relèvement de front d'un plan quelconque. — Le plan étant défini d'une manière quelconque, nous pouvons toujours tracer son intersection XY {fig, 210) avec le plan de front, de trace géométrale Xy, sur lequel s'opère le relèvement (n** 222).

Cherchons, dès lors, le relèvement d'un point M du plan, extérieur à XY. Pour plus de facilité, figurons à part {fig. 210 his) la construction à effectuer dans l'espace. Il faut: 1^ Abaisser du point M sur le plan où s'effectue le rabattement la perpendiculaire MM'; 2** abaisser du point M' sur la charnière la perpendiculaire M'M^j ; 3° porter sur M^M' la longueur M^Mi égale à Mo^i c'est-à-dire à l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont MM' et MqM'.

Effectuons ces trois opérations sur le tableau perspectif.

l"" La perpendiculaire abaissée du point M sur le plan de front étant aussi perpendiculaire au tableau a pour point de fuite le point de fuite principal 9>

PERSPECTIVE DE L ESPACE

Cette perpeDdiculaire a donc pour perspective <pM ; sa projection géométrale om rencontre la trace géométrale du plan de front yXY au point m\ Menant donc la verticale du point m\ on a, sur <pM, le pied M' de la perpendiculaire cherchée.

Fio. 210.

â^ La perpendiculaire abaissée de M' sur XY étant dans le plan de front yXY, il n*y a, pour avoir M^j, qu'à mener effectivement une perpendiculaire du point M' à XY.

3' Pour avoir la vraie longueur de MM à l'échelle du plan de front yXY, nous n*avon8 (n** 220)qu*à mener M'M' parallèle à HH' et à joindre le point M au point principal de distance A. Reportant la longueur MM' en M'M'^ sur la perpendiculaire élevée en M' à MqM\ de manière k former le triangle rectangle M^MM'i, on n'a plus qu'à rabattre l'hypoténuse M^M'^ de ce triangle en M^Mi surM^M' pour avoir le point M^ cherché.

Ayant de cette façon relevé un point quelconque M du plan donné, nous allons voir combien la construction peut être simplifiée pour tout autre point de ce plan.

Remarquons d'abord que, quel que soit le point M choisi, les droites MM^ et MM| ont, dans l'espace, des directions invariahles. Donc, sur la perspec-

Fio. 210 bis.

live toutes les droites telles que MM^, d'une part, toutes les droites telles que MM(), de Tautre, ont même point de fuite.

Or, on voit immédiatement que, si le point M est pris sur la perpendiculaire (pK abaissée du point <p sur XY, les points M\ M^, et, par suite, M^ sodI

Fio. 211.

aussi -sur cette droite. Cette droite contient donc les points de fuite F^ et F, des droites telles que MM^> et MM^. Ayant obtenu ces droites MM, et MM^ pour une seule position du point M, on n*a, par suite, qu'à prendre leurs points de rencontre avec <pK pour avoir F^ et F,.

Cela fait, si on veut le relèvement de quelque autre point P du pian, il suffît de tirer F^P et F,P et d'élever en Po à XY la perpendiculaire PoP|.

La marche inverse permet de revenir de P, à P.

Cherchons en particulier le relèvement du point J, dont la perspective sur le plan considéré est à Tinfîni dans une direction quelconque F, J» [fig- 2ii). Tirons FoJ« .

c'est-à-dire menons par F^ la parallèle F^J»

à F, Joo et élevons en J^ à XY la perpendiculaire JqJ, qui coupe F^Jx» au point J( cherché. La figure F^FjJ^J^ étant un parallélogramme, J^J, = F^^F,. Donc le lieu du point J, est la parallèle à XY menée par le point I, tel que Kl, =FoF<.

Observons encore ici que la figure en perc^peclive et la figure relevée de front sont homologiques, F< étant le centre, et XY l'axe d'homologie.

Remarque I, — Si l'on se reporte aux cas particuliers du problème précédent, qui ont été traités précédemment, on voit que, au n° 201 [fig. 181), cVsl

Fm. 212.

PERSPECTIVE DE l'ESPAGE

le point <p qui joue le rôle de F^, et F celui de F^, et que, au n* 223, c'est le point F qui joue le rôle de F^, et D celui de F^ : Remarque II, — Si le point F^ est hors des limites de l'épure, on peut

(fig, 212) joindre le point P au point Fj^ tel que KF^ = — r-i) ce qui donne

P^Pi le poiiit Pj^, et prendre ensuite PqP^ = A.P^P^.

sur