QQ Q.Q

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ÛF

Prenant alors le symétrique de 6'' par rapport à B", on a T\ Il suffit ensuite de reporter le segment 6''B'T'' sur Téchelle divergente ï (en remarquant qu'il est alors parallèle à aR) pour marquer les points P",, ^%, ^"3, ^'i on n'a plus qu'à joindre ceux-ci à i^p û,, U3, Û4 pour avoir sur la verticale de A" les points v!"^^ cl\^ x"^, %\.

Remarque IL — Nous avons supposé, sur la figure 217, quelji surface représentée avait toutes ses courbures de même sens. Si elle avait des courbures opposées, la perspective offrirait l'aspect de la figure 219. Les points^; et jo' où s'arrête la perspective du contour

Fie. i>Iî). .

de la partie rentrante de la surface sont dits des points de passage. Ces points pourraient être définis géométriquement, mais on se borne, dans la pratique, à les déterminer par tâtonnement, en cherchant à partir duquel d'entre eux les parallèles cessent d'avoir une enveloppe, c'est-à-dire cessent de se recouper lorsqu'ils sont extrêmement voisins, de façon que l'un devienne intérieur à l'autre.

C, — FiGUHES DANS LBSPACE

230. Di*oîtes parallèles. — Rappelons que, si deux droites sont parallèles, ces droites d'une part, leurs projections géométrales de l'autre, ont, en perspective, même point de fuite. Donc, pour mener par le point M, dont la projection géométrale est m [fîg. 220\ une parallèle à la droite AF, dont le point de fuite est F et dont la projection géométrale est af, il suffit de tirer MF. En outre, w/e^t la projection géométrale de cette droite.

PERSPECTIVE DE L ESPACE

231. Plans parallèles. — Si nous nous reportons au n^ 222, nous voyons qu'en menant par M [fig. 221) une parallèle MM^ à la

^iT^y^

Kio. 221

trace sur le tableau du plan donné, nous avons une ligne de front du plan parallèle à celui-ci, mené par M. La trace géométrale M^ de celle ligne de front appartient à la trace géométrale du plan cherché, et, comme cette trace est parallèle à celle du plan donné, elle a en perspective même point de fuite 9. On a donc en OM^ la trace du plan cherché; il suffit ensuite de tirer le parallèle T^T'j à TT' pour avoir la trace de ce plan sur le tableau.

232. Interseetion de deux plans. — Supposons, en vue de la plus grande généralité, que chacun des plans soit défini par

Fir.. 222.

trois de ses points A, B, G, et A', B', G', et leurs projections géoniétralesa, 6, c, et^«'. 6', c [fig. 222). Goupons les deux plans par un plan de front de trace mnmn\ Les verticales des points ra, n, m\ n

donnent les points M, N, M', N', où ce plan de front rencontre les droites AB, AG, A'B', A'C. Donc il coupe le plan ABC suivant la droite MN et le plan A'B'C suivant la droite M'N'. Le point d'intersection P de ces droites appartient à la droite commune aux deux plans. Un second plan de front m,n,m',n'j donne de même le point P,. Il suffit de joindre les points P et P, pour avoir la droite d'intersection cherchée.

On peut de même tracer sa projection géométrale en joignant les projections géométrales /> et^^i des points P et Pj, respectivemenl situées sur mm et m^m\.

Intersection d'une droite et d'un plan. — Soil la droite D, dont la projection géométrale est d.

Supposons, d'abord, qu'on ait à prendre son intersection avec le plan vertical dont la trace géométrale est Tô [fig. 223). Ce plan vertical est coupé par le plan projetant la droite D, suivant la verticale j>P qui donne le point P cherché.

Fio. 223.

Fio. 22i.

S'il s'agit d'un plan non vertical, tel que ABC [fig. 224), il suffit de remarquer que le plan projetant défini par les droites D et rf coupe le plan vertical ABa6 suivant Mm, le plan vertical ^Gbc suivant Nn, et, par suite, le plan ABC suivant MN, qui rencontre la droite D au point P cherché.

Lorsque le plan est horizontal, il peut être défini, en outre de la ligne d'horizon HH' [fig. 225), par une de ses lignes de front AA. dont aa est la projection géométrale. La solution précédente s'aj»plique encore. La projection d coupant HH' en F et aa en m auquel

PERSPECTIVE DE l'bSPACE 229

correspond M sur AA', FM est Tintersection du plan (Dd) et du plan horizontal HH'AA' et donne le point P sur D.

Remarqiœ. — La solution précédente tombe en défaut, lorsque la

Fio: 223.

droite D est verticale, parce qu'alors sa projection géométrale se réduit à un seul point d. On prend alors comme plan auxiliaire un plan vertical quelconque, par exemple, dans le cas général {fig. 226),

Fio. 226.

FiG. 226 bis.

JT'

le plan passant par D et Aa qui coupe le plan BC6c suivant Mm, et, dans le cas du plan horizontal {fig. 226 bis), le plan passant par D et un point F quelconque de la ligne d'horizon, plan qui coupe le plan de front kk'aa suivant Mm.

234i. Droites et plans perpendiculaires. — Soit W [flg. 227) la ligne de fuite d'un plan. Cherchons le point de fuite V des perpendiculaires à ce plan.

Pour cela supposons que, sans changer la position du point de vue et du tableau et, par suite, celle du point de fuite principal f, nous

fassions un changement de plan d'horizon, de manière à le rendre perpendiculaire au plan donné. La ligne d'horizon sera alors perpendiculaire à la ligne de fuite W du plan (n° 180), et, comme le point ç n'a pas changé, ce sera la perpendiculaire sK abaissée de © sur W.

Toutes les perpendiculaires au plan considéré ayant même point de fuite, nous pouvons p,^j 227. prendre une de ces perpen-

diculaires situées dans le nouveau géométral. Son point de fuite V est sur la nouvelle ligne d'horizon 'fK. En outre, comme elle est perpendiculaire à la trace du plan sur le nouveau géométral, trace dont le point de fuite est K, on a (n^ 194)

On a donc le point de fuite V des perpendiculaires aux plans dont la ligne de fuite est 06', en abaissant du point 'f la perpendiculaire fK sur W et prenant sur cette perpendiculaire, de l'autre côté du points^, le point V tel que la relation précédente soit satisfaite.

Cette construction prise à l'inverse permet de déduire la ligne 6^ du point V.

Remarque. — Le pied v de la perpendiculaire abaissée de V sur HH' est le point de fuite des projections géométrales des perpendiculaires considérées. Or, la similitude des triangles çK9 et çrV donne

r^b.^V = (pK.cpV =: 8-,

ce qui montre que la projection géométrale de toute perpendiculaire au plan considéré est perpendiculaire à la trace géométrale de ce

PERSPECTIVE DE L ESPACE

plan, dont 6 est, en effet, le point de fuite; c'est une vérification d'un théorème bien connu.

233. Perpendiculaire abaissée d'un point donné sur un plan donné. — Soit à mener, par le point A, dont la projection géométrale est a, une perpendiculaire au plan dont la ligne de fuite est 90' et la trace géométrale ÔT [fig. 228). De la ligne de fuite 66'

FiG. 228.

nous déduisons, comme il a été dit au numéro précédent, le point de fuite V des perpendiculaires au plan. Nous n'avons donc qu'à tirer AV pour avoir la perspective de la perpendiculaire demandée, dont la projection géométrale est av. Pour avoir le pied P de cette perpendiculaire, prenons son point d'intersection avec le plan T66', comme il a été dit au n** 223. Le plan projetant AV coupe la trace géométrale 6T au point S, la droite à Tinfini du plan 66' au point U. La droite SU coupe AV au point P cherché.

236. Plan mené par un point donné perpendiculairement à un plan donné. — Soit MV, projetée sur le géométral en mv (fig. 229), la droite à laquelle on veut mener un plan perpendiculaire par le point A. Du point V on déduit la ligne de faite 66' du plan cherché, ainsi qu'il a été dit au n^ 234. Reste à construire la trace géométrale du plan déterminé par cette ligne de fuite et le point A. Pour cela, menons la ligne de front AB passant

en ce point. Elle est parallèle à M', et sa projection géomélrale esi parallèle à HH'. Il suffit de joindre la trace B de cette ligne de front au point pour avoir la trace du plan demandé. Pour avoir rinlerseclion de ce plan avec la droite MV, prenons les points de

FiG. 229.

rencontre S et T du plan projetant MV avec la trace 6B et avec la ligne de front AB du plan. TS donne sur MV le point P cherché.

La droite AP est, dans Tespace, la perpendiculaire menée du point A à la droite MV.

237. Changement de c|éoniétral. — Il est avantageux, en certains cas, de prendre comme géométral auxiliaire un plan perpendiculaire au tableau et parallèle à certaine droite figurant sur répure. Il faut alors déterminer les nouvelles projections géométrales des points qui interviennent dans les tracés. Ce problème est un cas particulier d^ celui du n** 235.

Soit F le point de fuite de la droite d parallèlement à laquelle on peut prendre le nouveau géométral [fig, 230). La ligne de fuite de ce nouveau géométral devra donc passer par le point F. Ce nouveau géométral étant, en outre, perpendiculaire au tableau, sa ligne de fuite devra passer par le point de fuite principal f . Cette ligne de fuite, prise pour nouvelle ligne d'horizon H^H'j, est donc la droite <fF. Pour définir complètement le nouveau géométral, donnons-nous, d'une manière absolument arbitraire, sa trace oT sur

PERSPECTtVQ I>B I. ESPACE

l'ancien {'). Il s'agit de trouver la projection sur le géoraétral du point A, projeté en a sur le géométral THH'.

Appliquons la construction du n" 235, en remarquant points V, c et U de la figure 228 sont ici rejetés à l'infini r vement dans la direction perpendiculaire à H,H',, sur sur H,H',. Le tracé se réduit dès lors à ceci : mener a» p à LL', puis ka^ perpendiculaire à H,H',, et cm, parallèle à qui se coupent au point a^ cherché.

La distance du point de vue au tableau n'ayant pas varié, on a le nouveau point principal de distance i, en portant sur H,H', le fegment œi, égal à ?i.

Remarque. — Le plan ka■la^ est un plan de front.

En outre, Aa,, perpendiculaire au plan TH,H',, est perpendiculaire à la droite '/, parallèle à ce plan. Donc, les droites perpendiculaires au nouveau géométral sont tî-'''^ les droites de front perpen- f"'"- 230.

(Hculaires à d.

Si, par exemple, on avait à mettre en perspective un cub iruit sur une arête d donnée en perspective, et dont une autre fût de front, on prendrait un géométral auxiliaire parallè Gomme l'arête d' serait perpendiculaire à ce nouveau géomé se trouverait amené à mettre simplement en perspective, par à celui-ci, un cube vertical connaissant une de ses arêtes horiz problème bien facile à résoudre.

238. Résumé. — Ayant appris à effectuer directemeii tableau perspectif toutes les constructions élémentaires en lei se décompose une épure quelconque, nous pourrions reprenc ce moyen, les divers problèmes de construction dans l'espace

(') ''i in roulait qui; In droite il fi1t ilniis lu nouveau géomiUral, il surtir nouvelle ligne de terre passdt par In (race de d sur \a tableau. On aurait <\ le point T en menant |)ar celte trace une parallèle à H|H'(.

l'habitude de traiter par les méthodes de la Géométrie descriptive ordinaire (trait de stéréotomie). Il n'y aurait à cela aucune utilité. Les élèves pourront s'exercer par eux-mêmes à résoudre un certain nombre de ces problèmes. Nous nous bornerons à traiter ci-dessous quelques exemples spéciaux plus particulièrement intéressants pour la perspective.

G» — Applications diverses

a, — Images dans des miroirs

239. Images par réflexion sui* des plans* — On sait que l'image par réflexion d'un point sur un miroir plan est la même que celle que donnerait la vision directe du symétrique de ce point par rapport à ce plan. Par suite, construire la perspective de l'image par

Kio. 231

réflexion d'une figure sur un miroir plan revient à construire la perspective de la figure symétrique de la figure donnée par rapport à ce plan.

Soit à trouver, par exemple, l'image par réflexion A' du point A sur un miroir plan défini par sa trace géométrale 6T et sa ligne de

PERSPECTIVE DE L ESPACE

fuite W (*) (fig. 231). Nous construisons, comme il a été dit au n** 285, le pied P de la perpendiculaire abaissée du point A sur le plan TW. Il s'agit maintenant dé prendre sur la droite AP le segment PA' égal à AP. Pour cela, ainsi qu'on l'a vu au n*" 220, il suffit, ayant pris le point de distance d correspondant au point de fuite v de la projection géométrale de AP, de mener par P une parallèle à V(f qui coupe kd en A^, puis, ayant porté sur cette parallèle le segment PA'o égal à A(,P, de tirer dA!^^ qui coupe AP au point A' cherché.

Remarque. — Si on a à construire de cette façon les images d'un certain nombre de points, il faudra joindre les projections de tous ces points au point r, puis chacun d'eux au point V. On a indiqué, pour le cas où les points t? et V sont inaccessibles, la manière d'effectuer cette double construction au moyen du té brisé (n^211).

En outre, afin de n'avoir pas à répéter, pour chacune des droites AP, la construction qui vient d'être indiquée pour le point A', on peut, en remarquant que le point A' est le conjugué harmonique du point A par rapport aux points V et P, recourir à l'emploi de l'échelle divergente représentée sur la figure 232. Cette échelle se compose d'un triangle isocèle Saa avec les bissectrices intérieure et extérieure Sp et St? de l'angle au sommet. Il suffit d'amener les points A, P et V, reportés sur le bord d'une bande de papier, respectivement sur sa^ sp, sv^ pour avoir sur sa le point A'.

FiG.232.

Cas particuliers. — Si le plan du miroir est perpendiculaire au tableau (fig. 233), on a le pied P de la perpendiculaire abaissée de A sur ce plan, comme il a été dit au n** 237, c'est-à-dire en menant aS parallèle à HH', SP parallèle à ®6', AP perpendiculaire à SP. En outre, la droite AP étant de front, on a le point A' ea prenant simplement le symétrique de A par rapport à P.

(') On pourrait remplacer cette lifîne de fuite par toute autre ligne de front du plan du miroir.

Si le plan du miroir est horizontal, ce qui est le cas pour la réflexion sur une nappe d'eau, on définit ce plan, en outre de la ligne d'horizon HH', par une de ses lignes de front EE', dont la pro-

Fifl. 233.

Fie. 234.

jection géométrale est ee {fig. 234). On détermine, comme il a été dit plus haut (n** 233, Remarque), le point de rencontre P de la verticale du point A et du plan HH'EE', et on prend le symétrique A' du point A par rapport au point P.

b. — Intersection des cônes et cylindres