Intersection des cdnes et cylindres. — Il n'y a

pas, au point de vue des constructions perspectives, de différence entre les cylindres et les cônes, le point de fuite des génératrices jouant, pour les uns, le même rôle que le point perspectif du sommet pour les autres.

Considérons donc le cas général de deux cônes définis par leurs sommets S et S' et des sections planes G et G' [fig. 235). Appelons D la droite d'intersection des plans des sections G et G', S et t les points d'intersection de ces plans avec la droite SS'.

Coupons les deux cônes par un plan quelconque passant par SS'. Pour cela menons par 2 et ^' deux droites se coupant en un point X quelconque de la droite D. Le plan auxiliaire XSS' coupe les bases G et G' aux points A et A'. Les génératrices SA et S'A' contenues dans ce plan se coupent au point M, qui appartient à rintersection.

La tangente en M est l'intersection des plans tangents SAU et S'A'U' aux deux cônes le long des génératrices SA et S'A'. Ces

PERSPECTIVE DE l'eSPACE 237

deux plans tangents peuvent être considérés comme des cônes de sommets S et S' ayant pour directrices les tangentes AU et A'U' à G et G'. Nous pouvons donc, par le même procédé, avoir un second point de leur intersection ; lirons donc SY et ï'Y qui coupent AU et A'U' en U et U'; SU et S'U' donnent le point T qui appartient à la tangente en M à la courbe d'intersection.

Vui. 23;>.

Observons, d'ailleurs, que, tout en faisant varier le point X sur la droite D pour avoir d'autres points M, on pourra toujours se servir du même point Y pour avoir les points T correspondants.

Remarque. — Si les courbes G et G' sont dans un même plan, ï et -' se confondent. On n'a plus qu'à faire pivoter autour de ce point ï une droite auxiliaire coupant G en A, G' en A', et à prendre le point de rencontre M de SA et S'A'.

Quant à la tangente en M, elle passe alors simplement par le point de rencontre des tangentes à G et à G', menées en A et A'.

On trouvera au n® 244 une application de cette méthode.

c. — Les ombres en perspective

!iS42. Diverses positions de la source lumineuse. —

La source lumineuse étant supposée réduite à un point S, on peut, si ce point est vu par l'observateur, le représenter en perspective. L'ombre portée par un point A sur une surface étant l'intersection delà droite SA et de cette surface, on est amené à résoudre un problème connu pour lequel la construction sera effectuée directement sur le tableau, grâce aux principes^exposés ci-dessus.

Il semble, au premier abord, que cette solution cesse d'être valable lorsque la source lumineuse S est en arrière de l'observateur, parce qu'elle n'a pas alors de perspective réelle. Mais, si on convient comme il a été dit au n** 175, de représenter encore un tel point par l'intersection de la droite OS avec le tableau, intersection qui est dite une perspective virtuelle, la solution subsiste encore, car, an point de vue purement gèomèty^ique^ il n'y a pas de différence d'un cas à l'autre.

Remarquons simplement que ce qui distingue géométriquement une perspective virtuelle d'une perspective réelle, c'est que, pour la première, la perspective de la projection géométrale est aiJhdesstu^ de la ligne d'horizon, tandis que, pour la seconde, elle est au des- ^otis. ,

Si, comme cela a lieu généralement, on ne considère que des points au-dessus du géométral, lo perspective réelle est au-dessus de sa projection géométrale, la perspective virtuelle est au-dessous.

Enfin, dans le cas de la perspective réelle, la perspective d'un point à gauche de l'observateur se fait à gauche de la verticale du point cp; tandis que, dans le cas de la perspective virtuelle, la perspective d'un point à gauche de l'observateur (supposé toujours la face tournée vers le tableau) se fait à droite de la verticale du point cp.

Si on se rappelle, en outre, que la perspective de tout point du plan neutre se fait à l'infini du tableau perspectif (n** 175), on voit

FiG. 236.

<{ue les diverses positions d'u?ie source Uanineuse supposée toujours à gauche de V observateur et à distance finie (flambeau) sont les suivantes :

1' En arrière du tableau [flg. 236, A) ;

:?^ Entre le tableau et le plan neutre (fig, 236, B) ;

3** Dans le plan neutre (fig. 236, G) ;

4" En arrière du plan neutre ifig, 230, D).

PERSPECTIVE DE L ESPACE

Si la source lumineuse 'est à Tinfini dans une direction donnée, auquel cas on lui donne le nom de soleily la projection géométrale s est sur la ligne d'horizon, et on a les trois dispositions suivantes :

If

Fio. 237.

ift

1** En arrière du tableau (fig. 237, A);

2** Dans une direction parallèle au tableau (fig. 237, B) ;

3** En arrière du plan neutre [fig, 237, G).

C'est cette dernière position de la source lumineuse qui est généralement adoptée pour le dessin.

Quelle que soit, d'ailleurs, la position donnée- à la source lumineuse S, le tracé reste le même. En particulier, l'ombre portée par un point A sur le géomélral est toujours la trace géométrale du rayon AS,, c'est-à-dire le point d'intersection de la droite AS et de sa projection géométrale.

Nous nous bornerons à traiter ici quelques exemples particuliers.

243. Ombre piH>pi'e et ombre portée »ur le géomé- Irai d'un edne ou d'un cylindre verticah — Pour le cône, il suffit de prendre la trace géométrale A, du rayon joignant le sommet A à la source lumineuse {fig. 238) et de mener de ce point A, des tangentes à la base B. Les points de contact de ces tangentes déterminent, en outre, les génératrices d'ombre propre du cône.

Pour le cylindre, employons des plans sécants verticaux, passant par la source lumineuse, c'est-à-dire dont les traces géométrales passent par la projection géométrale s de la source lumineuse. Ceux de ces plans qui sont tangents au cylindre, c'est-à-dire dont les traces sont les tangentes sa et ^6 menées du point s à la base sur le géométral (fig. 239) donnent les génératrices d'ombre propre Aa et B6, dont les ombres portées ak^ et ôBj sur le géométral limitent Tombre portée du cylindre.

Pour achever de déterminer celle-ci, cherchons l'ombre portée par la base supérieure. Cette ombre est une ellipse tangente en A

et en B, à aA^ et à 6B,. Prenons une génératrice quelconque rC. L'ombre du point G se fait en Cj. En outre, les tangentes à l'ellipse

Fio. 238.

AGB en C et à Tellipse Afi^B^ en Gj étant parallèles dans Tes-

FiG. 239.

pace, et horizontales (puisque ce sont les intersections par deux

PERSPECTIVE DE L ESPACE 241

plans horizODtaux du plan tangent au cône SABG le long de SG) se coupent, en perspective, en un point F de la ligne d'horizon, qui est également le point de fuite de la tangente en G à la base.

On peut ainsi construire autant de points que l'on veut de l'ellipse AjGjB, avec les tangentes en ces points.

244. Ombre autoportée d'un berceau en plein cintre éclairé par le soleil. — L'ombre autoporlée par le berceau en plein cintre est l'intersection du cylindre qui le constitue et du rylindre formé parles rayons lumineux s'appuyant sur le cercle de têle.

Le premier de ces cylindres a pour base le demi-cercle perspectif A,A'B {fig. 240), et pour point de fuite de ses génératrices le point F de la ligne d'horizon; le second a pour base le même cercle A,A'B, et pour poinl de fuite de ses génératrices la perspective [virtuelle dans le cas de la figure 240) du soleil S.

Puisque ces deux cylindres ont en commun le cercle A,A'B, le complément de leur intersection sera une ellipse. Pour trouver cette ellipse, appliquons la méthode du n" 241 (Remarque). La

ligne FS des points de fuile coupe le plan de la base au point ï. Coupons par un plan auxiliaire quelconque passant par FS2:, celui, par exemple, dont la trace sur le plan de base est SAA'. Les génératrices FA et SA' se coupent au point M, qui appartient à l'ellipse d'intersection. Si les tangentes à la base en A et en A' se coupent en T, NT est la tangente en M à celle ellipse.

En particulier, la droite -A,A'| donne le point M^ sur la génératrice de naissance FAp

La tangente menée de 2 au cercle de base donne le point M(,où ce cercle est rencontré par Tellipse d'ombre. En ce point, la construction de la tangente précédemment indiquée devient illusoire, puisque les droites AT et AT se confondent ; mais on peut obtenir celte tangente par la remarque suivante : la courbe étant plane, la tangente en chacun de ses points est l'intersection de son plan avec le plan tangent au cylindre d'ombre en ce point. Donc la tangente en M,^ est l'intersection du plan langent au cylindre d'ombre le long de M^jS et du plan de l'ellipse d'ombre. Celui-ci est défini par les droites M^^Mj et M^Tj, celui du plan langent au cylindre d'ombre en Mp par M^S et M^,i:. Il est facile d'avoir un second point de l'intersection de ces deux plans (n'' 232) ; joint à M^, il donne la tangente cherchée.

Si l'on suppose le plan des naissances opaque (c'est le cas de la perspective de l'entrée d'un tunnel) et qu'on veuille l'ombre portée sur ce plan par le cercle d'entrée, on n'a qu'à prendre le rayon A'.,S passant par chaque point A'., de ce cercle, et sa projection géomémétrale a\s. Ces deux droites se coupent au point M.,, ombre portée de A'o sur le plan de naissance. On a, de plus, la tangente en M.^ à l'ellipse BMoMj en joignant ce point à Uo, où la tangente en A^au cercle d'entrée coupe la trace A,B du plan de ce cercle.

Au point B, la tangente, intersection du géométral et du plan tangent en B au cylindre d'ombre, eslB^.

D. — Restitution perspeclice de V espace Application à la topographie

d245. Restitution perspective des éditices. — Nous envisagerons le cas qui se présente le plus fréquemment dans les applications, celui où on connaît les perspectives de trois segments

PERSPECTIVE DE L ESPACE

de longueur donnée, Tun MN vertical, les deux autres AB et A'B' pris sur des horizontales difi'érentes (fig. 241). Ce cas se présente lorsqu'on veut faire la restitution d'un édifice.

Remarquons d'abord que Ton rencontre toujours sur la perspective d'un édifice au moins deux couples d'horizontales parallèles dans l'espace, telles que AB et MX, A'B' et M'X', qui donnent deux points <le fuite F et F' et, par suite, la ligne d'horizon.

Connaissant la vraie grandeur de la verticale MN, on a, sur la

perspective, l'échelle du plan de front de cette verticale. Mais cette

échelle ne répondant généralement pas à un rapport de réduction

simple, il vaut mieux se servir d'un autre plan de front présentant ce

caractère. Si, par exemple, on insère entre les droites FM et FN le

1 1 1 segment vertical M^N^^ égal à une fraction simple z^ yfî 5?;- de

la grandeur du segment MN dans l'espace, on détermine ainsi un plan de front dont Téchelle est définie par ce rapport simple.

Les horizontales AB et A'B' rencontrent ce plan de front aux points A^, et A'^ sur les verticales des points M^, et M\,. II suffit de porter sur les parallèles àM^M'^, menées par A,, et A'„les vraies grandeurs de AB et de A'B', à l'échelle du plan de front N,,M'„A(,A'fp e

de tirer A^^F et A'^^F' pour avoir sur les horizontales de front menées par A et A' les segments ABj et A'B'j égaux aux longueurs de AB et de A'B' de l'espace, aux échelles respectives des plans de froni de A et de A'. Donc, en tirant BBj et B'B\, on obtient sur la ligne d'horizon les points de distance D et D' répondant respectivement aux points de fuite F et F'. On est ainsi ramené au cas du n* 204.

Si les points D et D' se trouvaient rejetés hors des limites de l'épure, on aurait recours aux points de distance réduite dans un rapport convenable.

246. Reslilution des points de Tespace au moyen de deux perspeelives. Ulélhode de levé lopographique du eolonel Laussedal* — Supposons les perspectives d'un ensemble de points de Tespace prises successivement de deux points de vue et 0|. On aura, en chacune de ces stations, déterminé avec précision sur le tableau perspectif, la ligne d'horizon HH' ou H,H'^, et le point de fuite principal © ou 9, [fig. 241.

Fio. 242.

Nous désignons par (F) et (P^) les perspectives ainsi obtenues.

Supposons connues pour le moment les distances principales 0^ et Ofi'r Nous pourrons alors, pourvu que nous ayons mesuré sur le terrain les angles O1O9 = cd et OO^cpi = w,, construire à une échelle donnée la projection géométrale du triangle 0*0^ formé par les droites Ocp et 0,(p, avec 00|, pui> porter sur 0<I> et 0<4>, les longueurs Ocp et 0,(p|. Élevant en 9 et ^, à Oî et 0^94 les perpendiculaires HH' et H^H ^, sur lesquelles nous reporterons les projections w, r,... w,, r^,... des différents points considérés sur les lignes d'horizon, nous avons en Or,0/n, 0|r^, 0,w^ les projections géomé-

PERSPECTIVE DE l'eSPACE 215

traies des droites unissant les points et 0^ aux divers points M, R,... de l'espace (n® 176, Remarque).

Donc, les points de rencontre respectifs de Or et 0^r^y Om etO^m^,

nous donneront les projections géométrales Mq, Rq, des points M, R,..., le

plan ainsi obtenu étant à une échelle définie par le rapport de la longueur de la droite 00| dessinée à la distance comptée horizontalement entre les stations O et 0| sur le terrain.

Au lieu de mesurer Ocp et 0|^f, on peut, ayant choisi un point de repère H, mesurer les azimuts <pOR=a, <p|0|R, = a,, de ce point Rpar rapport aux perpendiculaires 0(p,0|(pi menées de chaque point de vue au tableau perspectif correspondant. Il suffit, après avoir marqué les points, m, r, sur HH' de faire

glisser cette droite en la maintenant perpendiculaire à 0^ et laissant le point 9 surO^ jusqu*à ce que le point r vienne sur la direction OR définie par Tazimut a. On peut même déterminer avec plus de précision le point r en portant sur la perpendiculaire élevée en à 0^ la longueur Or^ =:: cpr et menant par r^ une parallèle à 0* jusqu'à sa rencontre en r avec OR. De mémo, pour H^H',.

Cette façon de procéder a l'avantage de permettre d'établir la perspective à une échelle quelconque sans avoir à connaître la distance principale correspondante.

247. Tel est le principe de la méthode proposée parle colonel Laussedat pour le levé des plans par la perspective. On obtient d'ailleurs les perspectives (P)et {P^) au moyen d'une chambre photographique munie de niveaux permettant de rendre la plaque exactement verticale, Taxe de l'objectif étant, d'ailleurs, rendu parfaitement perpendiculaire à cette plaque. Le point de vue est alors le centre optique de l'objectif, la ligne d'horizon, l'intersection (qui peut être tracée d'avance) de la plaque et du plan horizontal passant par ce centre optique, le point de fuite principal, le point (qui peut être aussi marqué d'avance) où l'axe de l'objectif coupe cette ligne d'horizon.

On voit que l'appareil devra être muni, en outre, d'un dispositif permettant de mesurer, par rapport à l'axe de l'objectif, l'azimut du point de repère R choisi . Mais il sera, d'après ce qui vient d'être dit, inutile de mesurer la distance principale. 11 n'y aura, pour la même raison, aucun inconvénient à ce que, dans le tirage de l'image photographique, il se produise une contraction générale réduisant dans un rapport quelconque les dimensions delà perspective, pourvu que celle-ci reste semblable à elle-même, condition qui se trouve, en pratique, toujours suffisamment réalisée.

Reste à déterminer la hauteur de chaque point M au-dessus du plan d'horizon d'un des deux points de vue, par exemple. D'après ce qui a été vu au n* 176 {Remarque), cette hauteur est donnée par

h = Mm* TT-^j Om

■"' '!'PiviiiaBHP!|p

ces trois longueurs étant mesurées à réchelle du plan géomélral^ Mm sur le tableau perspectif (P), OM^ et Ow sur le plan géométral.

On peut de même calculer les hauteurs par rapport au plan d*horizon du point 0^. Si on a mesuré directement sur le terrain la différence de niveau entre les points et 0,, on a là un moyen de vérification.

Parmi les applications qui ont été faites de cette méthode (dont Texpo?*^ complet comprendrait bien d'autres détails), il convient de citer rétablissement de la carte de la région montagneuse du Canada qui borde la frontière de TAlaska.