MM

en M, le rayon d*un tel cercle est égal à âTip"- l^onc

relation qui offre un moyen de déterminer R. Elle montre, en outre, que MP est du deuxième ordre. Or, puisque

mm' = PM' + MP'\

MM'-' diffère de PM'" d'un infiniment petit du quatrième ordre. On peut donc écrire

R - Lnn ^^.

Si deux courbes ont en commun deux points infiniment voisins, o\\ dit qu'elles ont, au point limite, un co?itact du premier ordre. D'après ce qui vient d'être dit, on voit qu'elles ont même tangente en ce point.

Si elles ont en commun trois points infiniment voisins, on dit qu'elles ont, au point limite, un contact du deuxième ordre. D'après ce qui vient d'être dit, ou voit qu'elles ont même cercle osculateur en ce point, par suite, même centre de courbure répondant à ce point.

(*) Voir plus loin, ii"> 2o3, roiiséqucnco (iréc de la roniiul»; ^III).

PRINCIPES GENERAUX 255

Et ainsi de suite, pour les contacts d'ordre supérieur au deuxième.

On démontre, par l'Analyse, que la dislance de deux points infiniment voisins du point de contact pris respectivement sur deux courbes ayant un contact d'ordre n est d'ordre ?i + i (').

Une courbe algébrique, d'espèce connue, est complètement déterminée lorsqu'on se donne un certain nombre N de ses points. Il n'y aura donc qu'une courbe algébrique de cette espèce ayant avec une courbe donnée un contact du (N — iji^me ordre. Cette courbe algébrique est dite alors osculatrice à la courbe donnée.

Par exemple : puisque trois points déterminent un cercle, le cercle ayant, avec une courbe donnée, un contact du deuxième ordre en un point donné, sera osculaleur à cette courbe en ce point.

Puisque quatre points déterminent une parabole, et aussi une hyperbole équilatère, la parabole ou l'hyperbole équilatère ayant, avec une courbe donnée, un contact du troisième ordre en un point donné, sont osculatrice^ à cette courbe en ce point.

Puisque cinq points déterminent une conique quelconque, la conique aj^ant, avec une courbe donnée, un contact du quatrième ordre en un point donné, est osculatrice à cette courbe en ce point, etc.

Plus élevé est l'ordre du contact, plus intimement, en quelque sorte, la courbe osculatrice épouse la forme de la courbe donnée aux abords du point de contact. En particulier, l'arc d'une courbe et celui de sa conique osculatrice en un de ses points sont tout près de se confondre sur une certaine longueur à partir du point de contact.

La connaissance du cercle osculaleur ou, ce qui revient au môme, celle du centre de courbure est pratiquement déjà bien suffisante pour renseigner sur l'allure d'une courbe aux abords d'un de ses points.

11 peut exceptionnellement arriver qu'en certains points l'ordre du contact d'une courbe avec une courbe algébrique, complètement

(') Cela ri'sulte immcMiatemeul du caractère analytique du contact du //'^'"•' ordre. Si deux courbes ont un contact d'ordre n en un point, les quantités

'^' tir (if^ (h"'

oui en ce point les mêmes valeurs pour l'une et l'autre courbe.

256 CHAPITRE V. — COUaBKS PLANES

définie par N points, s'élève à Tordre N.. On dit alors qu'il y a surosculation.

Ainsi, une droite ayant avec une courbe un contact du second ordre est surosculatrice. Le point correspondant est dit un point d'inflexion. Un cercle ayant avec une courbe un contact du troisième ordre est surosculateur. Le point correspondant est dit un sommet^ etc

251. Courbes enveloppes. Développée. Développante. — Si la position d'une courbe sur un plan dépend d'un paramètre variable, on peut, ayant pris deux positions infiniment voisines G et G' de cette courbe, qui se coupent au point M', taire tendre G' vers G. Le point M' tend alors sur G vers une certaine position limite M. Le lieu E du point M est dit l'enveloppe de la courbe G, et l'on démontre immédiatement par l'Analyse que les courbes E et G sont tangentes en M, propriété qui justifie le terme choisi à! enveloppe.

En particulier, toute courbe peut être considérée comme l'enveloppe de ses tangentes.

L'enveloppe r des normales d'une courbe G qui, d'après la définition donnée au numéro précédent du centre de courbure, sera en même temps le lieu des centres de courbure de cette courbe, a reçu le nom de développée de la courbe G. Réciproquement, la courbe G est dite une développante de la courbe r.

On pourra dire aussi qu'une développante d'une courbe r est une trajectoire orthogonale des tangentes à celte courbe r.

Le terme de développante sera justifié par la propriété fondamentale de ces courbes, donnée plus loin (n*" 254, Cor. I).

Une courbe n'a qu'une seule développée, mais elle admet une infinité de développantes.