CHAPITRE V. — GOURB
et
arc AB — AB
sont-elles du troisième ordre.
253. Première formule fondamentale. — Les formules ondamentales qui suivent, sont dues à M. Mannheim, qui les expose dans son Cours de GéOftuHrie descriptive de V Ecole Pohjlechriiqae (2* éd., p. 203 à 205), en les envisageant à un autre point de vue.
La forme sous laquelle vont être présentées les démonstrations
est nouvelle.
Deux tangentes à une courbe (M
MA et M'A', infiniment voisines, découpent sur une autre courbe (A) un arc infiniment petit AA'. Proposons-nous d'évaluer cet arc AA' en fonction de Tangle des tangentes MA et M'A'
Dans le triangle MjAA' nous avons
Fio. 244.
AA' . sin A = M^A'. sin M^.
Or, Tare AA', Tangle M,, l'angle que fait AA' avec la tangeule en A à la courbe (A), la différence entre MjA' et MA sont généralement des infiniment petits de même ordre. Si, d'ailleurs, il n'en était pas ainsi, le résultat suivant aurait lieu a fortiori. Désignant, dès lors, d'une manière générale par s^ un infiniment petit du n'" ordre, par rapport à ceux qui viennent d'être énumérés, on a
sin A = sin a -{- e,
M^A'— MA + e'^,
Le lemme ci-dessus démontré donne
A A' = arc A A' — £.
On sait, en outre, que
sin M 4 = M^ — £'3.
PRINCIPES GÉNÉRAUX
Portant ces valeurs dans la formule précédente, on voit, puisque
arc AA' et Mj est au moins du premier ordre, que l'on a, au moins au deuxième ordre près ^
arc AA' =
sina
D'après la remarque faite au n^ 249, onpeutremplacerl'arcAA' et M, par les diflferentielles correspondantes prises en fonction d'un paramètre quelconque, dont l'accroissement infiniment petit soit du premier ordre. Par suite, en représentant par la notation d (A) la (litférentielle de l'arc AA' au point A' et cW la différentielle de l'angle que la tangente en A à la courbe AA' fait avec un axe quelconque, on a, au deuxième ordre près.
MA
sinx
de.
Si la normale en A à la courbe A A' coupe au point a la normale en M
MA à la courbe MM', l'angle MaA est égal à a. Par suite -rf-- == Aa, et
sina
la formule (II) peut s'écrire
!lll) d (A) = Aa.c^O.
Lorsque la courbe AA' vient se confondre avec la courbe MM', a est le centre de courbure répondant au pointM, et la formule (III) redonne la formule (I) (n** 250).
Corollaiy^e, — Prenons l'intersection B ifig. 245) de MA avec une troisième courbe dont la tangente BT en B fait avec MB l'angle 3. D'après la formule (II), on a
Fi«. 2i5.
