WM — MA = M, A' — M, A — (M, M' + MM

Or, d'après le lemme fondamenlal (n° 252), la somme M,M' + MM^ ne diffère de Tare MM' que d'un infiniment petit du troisième ordre. On a donc, au troisième ordre près ^

M'A' — MA = M<A' — M, A — arc

FiG. 246.

Si du point A' nous abaissons la perpendiculaire A'A, sur MA, nous avons

(]Lf a ILf 4 \

Par suite, au deuxiè?ne ordre près,

M'A' — MA = M< A, — M, A — arc MM' = AA^ — arc MM'

= AA'. cos A'AA^ — arc MM'.

La corde AA' est égale à Tare AA', au troisième ordre près. D'autre part, l'angle A'AA, ne différant de a que d'un infiniment petit du premier ordre, il en est de même de leurs cosinus, et puisque ce cosinus est multiplié par AA', qui est infiniment petit, on voit qu'on a, au deuxiè?ne ordre près^

M'A' — MA = arc AA' cos a — arc MM'.

(*) Tractatus de Quadratura Curvarwn, op. III, p. 206.

PRINCIPES GÉNÉRAUX 261

Nous pouvons, en vertu de la remarque faite plus haut, et laissant toujours arbitraire la variable indépendante, remplacer ces accroissements infiniment petits par les différentielles correspondantes et écrire

dMk = d (A), ces a — c? (M),

ou, d'après les formules (I) et (III),

c/.MA = [Aa. cos a — Mco) r/6,

« étant le centre de courbure répondant au point M. Cette formule peut encore s'écrire

dM\ — (Ma-~Ma))rfO,

ouH

(Yl) d.hW r= uyaM^.

Cette formule, très importante, suppose, on le voit, les segme7its comptés positivement sur la normale Mw dans le sens du point d'incidence M vers le centre de courbure w, et sur la tangente MA dans le sens direct du cercle osculateur en M.

Corollaire L — Si la courbe AA' est une développante de la courbe MM', dans chacune des positions de la tangente MA, le

(*) On peut douner de cette formule la traduction géométrique suivante : Supposons menés par un pôle G des rayons vecteurs OAq équipollents aux segments AM. Si la normale en Aq à la courbe (Aq) coupe au point a^ la perpendiculaire élevée en à 0\^, on a, d'après la formule (VI), en remarquant 'que l'enveloppe de OAo est réduite au point G,

On déduit de là que f>a est équipai lent à Oa^,

En particulier, si la courbe (Ao) est une spirale dWrcliimèdo do pôle 0, c'est-àdire si

GAo — AO, A" élant une constante, on a

toa = Oa^ =z /r.

De là ce théorème : Si, sur les tangentes à une courbe (M), on porte^ à partir du point de contact M, des segments MA équipollents aux rayons vecteurs d'une spirale ^Archlmède^ chaque normale à la courbe (A) coupe la normale correspondante à la courbe (M) à une distance fixe du centre de courbure de celle-ci.

point a coïncide avec le point M, et wa se confond avec le rayon de courbure R de la courbe MM'. Donc la formule (VI) devient, dans ce cas,

ou, en vertu de la formule (I),

rf.MA:^:rf(M)

Cette équation étant vraie pour toutes les positions de MA, on en déduit par intégration

MA — MqAq — arc M^M.

résultat qui peut s'énoncer ainsi :

La diffërence entre deux rayons de courbure d'une cou)i)e est ^gale à Varc de la développée de cette courbe comptais entre ces rayons.

On peut dire aussi que Vay^c d'une courbe est égal à la différence des segments déterminés sur les tange^ites en ses extrémités par une qu£lconqiùe de ses développantes.

On voit ainsi que le segment déterminé sur chaque tangente par deux mêmes développantes est constant.

Nous allons retrouver cette propriété au corollaire III .

On déduit du théorème précédent que, si on déroule, en le tendanl par une de ses extrémités, un fil primitivement enroulé sur une courbe, chaque point du fil décrira une développante de la courbe.

Corollaire IL — Si MA a une longueur constante, rfMA = o, et on a wa = 0. Ce résultat peut s'énoncer ainsi :

Siysur chaq)t3 tctnjinte à une courbe (M) onporte une longueur MA constante y la 7ior7nale à la courbe (A) au point A passe par k ceyitre de courbure de la com^be (M), répondant au point M.

Corollaire IIL — Si la tangente MA coupe une autre courbe (Bî au point B {fig. 245), on a

(VIF) dAB — rf.MB — d.MK -. {t^b — ioa) dO - ab,dB,

les sens positifs étant toujours définis comme précédemment.

PRINCIPES GÉNÉRAUX

En particulier, si AB est constant, a6 = o, et on a ce théorème :

IjBS no)^nales aux courbes dècy^tes 'par les extrémités d'un segment de longueur constant se rencontrent sur la normale à Venve^ loppe de ce segment.

En particulier, si, sur chaque normale à une courbe, on porte à partir de son point d'incidence A une longueur AB constante, le lieu du point B admet également pour normale les droites AB.

Les courbes (A) et (B) sont alors dites parallèles.

On obtient ainsi les diverses développantes de la développée de la courbe donnée.

Corollaire IV. — Si, sur le segment AB, on prend le point G tel que AG = m.AB, m étant une constante, on a d.AG = m.d.AB, et, par suite, d'après la formule (VII), ac = m.ab. De là ce théorème :

Si le point Ct divise le segtnent AB dans un rapport constant et que la normale à Venveloppe de ce segment rencontre aux points a, 6, c les normales aux courbes (A), (B), (G), on a

ac ab

ab'

En particulier, si G est le milieu de AB, c'est le milieu de ab.

25S. Troisième formule fondamentale. — Supposons qae de chaque point A d'une courbe (A) on mène des tangentes AM et AM, aux courbes (M) et (Mj), et cherchons à calculer la difï'érentielle de l'angle K

MAM^ oxxÀiftg. 247).

Les triangles AST et A'ST, donnent

d'où

Mais on peut substituer à T et à T, les diflTérentielles des angles 6 et 0^, que AT et AT| font avec un axe fixe quelconque du plan. D'autre part, la formule (III) donne, en appelant d (A) la

FiG. 247.

différentielle de Tare AA', a et a, les points où la normale en A à la courbe (A) rencontre les normales en M et en M, aux courbes iU,

et(M,),

d (A) = ka^,d^ =. Aai.dB^.

Il vient, par suite, en substituant à Taccroissement de Tangle A sa différentielle,

(viii) ''i^)-^w{ra-^)

Corollaire L — Si l'angle A est constant, sa différentielle est nulle, et, par suite, ka = Aa^, c'est-à-dire que les points a et a, coïncident. De là ce théorème :

Les normales aux enveloppes des côtés d'un angle de grandeur constante se coupent sur la normale à la courbe décrite par le sommet de cet angle.

Si l'un des côtés de Tangle constant, AMj par exemple, se confond avec la normale Aa^, le point a^ coïncide à la limite avec le centre de courbure a répondant au point A. Donc, dans ce cas, le point M où le côté AM touche son enveloppe est le pied de la perpendiculaire abaissée du centre de courbure a sur MA.

Corollaire IL — Soit [x le point où la bissectrice de l'angle MAM, touche son enveloppe (jji). La normale à cette enveloppe coupe la normale ka à la courbe (A) au point a, et puisque

on a

MAjji = [xAMf,

d (MA|a) =z d (jaAM^).

OU, d'après la formule (VIII),

ka Ax Aa ka^

qu'on peut écrire

Aï Aa Ka^

PRIMCIPES GÉNÉRAUX 265

Cette formule montre que le point nest conjugué harmonique du point A par rapport aux points a et Uf.

En particulier, si ta bissectrice i la normale Ai, le point a est le cent donc, dans ce cas, les points a et rayon de courbure %A {'}.

Les courbes (M) et (Mj sont j Pautre par réflexion sur la courbe

Ronarque. — On peut, à propos viennent d'être démontrées, s uppost droite variable se réduise à an poi de la droite variable, la normale à diculaire élevée à cette droite par et

356. Xormales aux courb ou enveloppées par les droi invariable. Centre instants de Cliasles. — Considérons sur des positions d'une figure invariable de forme dont deux points donnés A et B restent sur des courbes connues (A) et (B) {fig.

248). Proposons-nous, pour une position quelconque de la figure, de trouver la normale à la courbe décrite par un de ses points C et la normale à l'enveloppe d'une de ses droites d que nous pouvons supposer menée par le point C, celui-ci étant quelconque.

LesegmentABétaiit de longueur constante, on a le point M, où AB touche son enveloppe, en abaissant maies menées en A et Baux courbes peodiculaire sur AB (u" 254, Cor. j

L'angle GAM étant constant, on a

[') Voir plus loin, en renvoi, au bas du simple du point où le rayon rélli'-chi touche

i-ir?-»!»

côté AG en abaissant sur ce côté une perpendiculaire du point de rencontre I de la normale lA au lieu du sommet A et de la normale IM à l'enveloppe du côté AB (n° 255, Cor. I).

De même, la perpendiculaire IP abaissée de I sur BG est la normale à Tenveloppe de ce côté.

En outre, l'angle BGA étant constant, on voit, toujours d'après le même théorème, que la normale au lieu décrit par le point G s'obtient en joignant le point G au point de rencontre I de IP et IQ.

De même aussi, l'angle que fait la droite d avec BG étant constant, la normale à l'enveloppe de cette droite est là perpendiculaire abaissée sur cette droite du point de rencontre I de IG et IP.

Gette suite de raisonnements établit finalement que les normales à toutes h courbes décrites par des points^ ou enveloppées par des droites d'une figure invariable de forme ^ passent^ pour chaque position de la figure, par un même point I.

Ge théorème est dû à Ghasles, qui a donné à ce point I le nom de centre instantaiié de ro<a<ion. Mais on remarquera que la démonstration précédente est absolu ment indépendante de la notion de déplacement des figures (').

Exemple, — On sait que tout point M d'un segment de droite ST, dont les extrémités S et T restent sur deux axes rectangulaires Ox et Oy, décrit une ellipse dont les axes dirigés suivant Ox et Oy ont pour longueurs a = MT, b = MS (/?^. 249).

Les perpendiculaires élevées en S et en T à Ox et à Oy se coupant en I, MI sera, d'après le théorème de Ghasles, la normale en M à Tellipse (M).

Remarquons que les triangles semblables MNS et MIT d'une part, MTP et MSI de l'autre, donnent respectivement

Fi(i. 2i9.