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MN __ ÏÏS- b'^ PM "" MT2 a*
25T. Xormalei^ aux courbes décrites par les points ou enveloppées par les droites d'une figure de forme variable. Méthode de M. Mannheim. — Soient M, P, Q, les points où les côtés du triangle ABC, de forme variable, touchent leurs enveloppes respectives {fig, 250). Les normales à ces enveloppes coupent en a, 6, b\ c\ c\ a\ les normales aux courbes (A), (B), (G), lieux des points A, B, G.
D'après la formule (V) (n° 253, Cor.), on a entre les différentielles des arcs des courbes (A), (B), (G), aux points A, B, G considérés, les relations
rf(A).
ka
Bô'
" Ce'
rf(C)
Ce"
rf(A) -
ka"'
d'où,
en
multipliant
membre à
membre,
ka.W
.Ce"
B6.Cc'.Aa'
Fia. 250.
Cette formule, due à M.,Mannheim, permet, connaissant cinq des six normales Aa a, Bb'b, Gc"c\ Uba, P6'c', QaV, de construire la
sixième.
Supposons, en effet, que la normale inconnue soit celle qui correspond à un des sommets, la normale Gc'c par exemple.
Gc' De la formule ci-dessus on tire une certame valeur a pour ^ »
car tout le reste y est connu. Il suffit, dès lors, de prendre sur CQle
GQ point Q^ tel quep7r-= a et d'élever en Q, à GQ^ une perpendiculaire
qui coupe P6' au point c cherché.
Supposons maintenant que la normale inconnue soit celle qui correspond à un des côtés, la normale Mba par exemple.
Aa De la formule ci-dessus on tire une certaine valeur u. pour ^•
car tout le reste y est connu.
Si donc T est le point de rencontre des tangentes en A et en B aux courbes (A) et (B), on a, d'après les formules (IV) et (V) (n'^SoS,
Cor.),
MATA MB.TB ^'
MA
On déduit de là le rapport irr^ qui définit le point M sur AB.
La méthode qui vient d'être exposée présente l'intérêt d'une entière généralité (*). Mais il arrive souvent que certaines particularités de la question à résoudre permettent de recourir à des procédés spéciaux d'une plus grande simplicité ('*).
§ 2. — Applications
A. — Normales
258. Théorème général sur la déierniinallon des normales (3). — Si une droite AB coupe une courbe (B) sous Tangle x (c'est-àdire si la droite AB fait l'angle a avec la tangente en B à cette courbe), nous disons que AB est la distance sous l'angle a du point k à la courbe (B).
Si a = 90", la distance eâl dite normale ; si a = o, la distance est dite tongeniielle.
Les angles a|, a^,...., a„, étant constants, supposons qu'il existe entre les distances prises respectivement sous ces angles de tout point A d^une courbe (At
(*) On en trouvera deux applications au n<> ;];39. (^) Voir notamment n° 271.
(3) Voir Comptes Rendus de l'Académie des Sciences (2" semestre 1889, p. 959). Souvelles Annales de Mathématiques (1890, p. 289, et 1894, p. 501).
à des courbes (B,), (B2), , (Bi,) une relation connue, et cherchons à en déduire
la normale à la courbe (A).
Posons, d'une manière générale (pour i = 1, 2, , n),
et soit
