AB

F (1^,1.2. ln)= 0,

la relation donnée.

Appelons p/ le centre de courbure de la courbe (B/j pour le point B/ {fig. ioi). L'angle que fait la normaleB^P/ avec AB|, complément de a/, étant constant, on a le point Mi où AB/ touche son enveloppe en abaissant du centre de courbure p/ la perpendiculaire p/M/ sur ABi (n« 255, Cor. /). La normale M/p/

à Tenveloppe de AB/ coupant au point a, T ^^ A

la normale AN cherchée, on a, d'après la formule (VII), en appelant 6/ l'angle que fait AB/ avec un axe fixe du plan,

dli = d.XBi = tti^i.d'^i.

D*autre part, la formule (III) donne, pour la difiTérentielle de Tare de la courbe ^'^ (A) en A,

d{\} ^= Xai.dBi.

Eliminant rfd/ entre ces deux équations, on a

* = xê ■ " w-

Fio. 251.

Du point Pi abaissons les perpendiculaires p/P, et p/Q/ sur la tangente AT et sur la normale AN à la courbe (A).

Les angles a/P^Q/ et a/AM/ étant égaux comme ayant leurs côtés perpendiculaires, les triangles rectangles ^iP/Q/ et a/AM/ sont semblables, et on a

Aa/ AM/ AM/ L'équation précédente devient donc

.f/, = ^.rf(A).

Cela posé, dififérentions Féquation (1), ce qui nous donne

i)F i^F DF

^•c^/, + ^-.rf/, + ... + ~.c?/„ = o,

^t remplaçons dans celte équation dl^^ dl^^ dl^ par leurs valeurs tirées

de (2). Nous obtenons ainsi, après suppression du facteur commun rf (A), -différent de zéro.

. ^ AP^ c>P AP^ c^F AP„

^' ^ Tsi, ' AM^ ^ :>l^ ' AMa "^ •" "^ D/„ ' AM« "^ ^'

Si nous supposons des vecteurs égaux respectivement à

N^ ' AM/ ;)/a ' AM,' '"' 7)fn ' AM„'

parallèles à la normale AN à la courbe (A) et appliqués aux points p^ , p,, ..., %, Texpression (3) exprime que la somme de leurs moments par rapport au point A «st nulle, ou, en d'autres termes, que le point d'application (barycentre) de leur résultante se trouve sur AN.

Or, d'après un théorème bien connu de Leibnitz (^), le barycentre des vecteurs parallèles

:>li AM^ 4V3 AMa :>(„ AM„

appliqués en p|, {ij, Pw, est sur le vecteur résultant, des vecteurs

^ Ml ^^1 Ml ^F k%

.V/am/ .^// AMj' '"' cv/am„'

dirigés suivant Aii^, Ap^, ..., Ap„.

Si on remarque, d'ailleurs, que

A M/ cosco/

(0, étant Tangle M/Ap/, on arrive finalement à ce théorème :

'I) Voir le Recueil (V Exercices .sur fa Mécanique rationnelle, de M. de Saixt-Gf-k*"**^ {■2' édition, p. 28)

La normale en A est dirigée suivant le vecteur résultant des vecteurs

^l^ cos(i>, i)/^ costi>2 ()/» cosu);,

dirigés respectivement suivant A^^^ Apj, , Ap„.

Ce théorème présente Tiotérét théorique d*étre à la fois une application dés trois formules fondamentales et de réunir dans un seul énoncé tous les cas possibles, mais on n'aura guère à l'utiliser dans les applications que lorsque les distances seront «oit normales, soit tangentielles.