Cas particulier des dislances normales. — Si

1, = aj = = a»i =5» c'est-à-dire si les n distances AB|, ABj, , AB„

sont normales, les centres de courbure B^ , p^, P», se trouvent sur ces droites

mêmes, les angles oi^, coj, , <ù„, sont nuls et on retombe sur ce théorème

anciennement connu :

La normale \N est dirigée suivant le vecteur résultant des vecteurs

dirigés respectivement suivant AB,, ABj, , AB„.

Ce théorème, démontré par Fatio de Duiller, le marquis de Lhopital et Tschirnhausen, a été étendu aux surfaces par Poinsot.

Lorsqu'on suppose que les courbes (B|), (Bj), , (B») se réduisent à deux

droites rectangulaires, on retrouve la détermination de la normale en coordonnées cartésiennes.

Si elles se réduisent à deux points, on obtient la détermination de la normale en coordonnées bipolaires.

Exemples. — 1" Si les courbes (B^) et (Bj) se réduisent à des points B^ et B.> «t gi l'équation (1) a la forme

l^-\-l^—k = o, k étant une constante, la courbe (A) est une ellipse de foyers B, et B^, et on a

Donc le théorème général montre que, dans ce cas, la normale AN est dirigée mivant la bissectrice intérieure de V angle B^AB,. C'est la construction bien connue.

Pour l'hyperbole, il suffit de changer le signe de /g ; on trouve alors la bissectrice extérieure de l'angle B^AB^.

^ Si la courbe (B^) se réduit à un point B,, et la courbe (B^) à une droite, et si Téquation (i) a la forme

la courbe (A) est une parabole dont B^ est le foyer et (Bj) la directrice. Comme on a ici

on voit que la normale en A est la bissectrice extérieure de V angle B^ABj. C'est le résultat connu.

3^ Si la courbe (BJ se réduit à un point, que la courbe (B^) soit un cercle, et que Téquation (i) ait la forme

a^l^ -f" ^2^-2 ^~ ^ï Af et a^ étant des c(mstantes, la courbe (A) est un ovale de Descartes^ei Ton a

d'où la construction de la normale.

4'' Si les courbes (B|) et (B^) se réduisent à des points B| et B^ et que l'équation (1) ait la forme

k étant une constante, la courbe (A) est une lemniscate de foyers B, et B,.lci,