MA SA MB ^SB

ce qui prouve que la droite SM est lo bissectrice de l'angle ASB. De là, la construction du point M.

261. Corde vue d'un point fixe sous un angie constant, — Le segment AB dont les extrémités A et B décrivent les arcs (A) et (B) appartenant ou non à la même courbe est vu du point fixe sous un angle constant {fig. 253). Cherchons le point M où AB touche son enveloppe.

La formule (IV) nous donne

d(\) MA .TA d [h] MB.TB'

L'angle AOB étant constant, les différentielles des angles que OA

(*) Ce problème et le suivant sont empruntés à une étude (|ue j'ai publiée dans les Nouv. Ann, de Math, (1883, p. 252, et 1886, p. 88). On trouvera 1«\ nombre d'antres questions du môme genre.

6tOM. LESCIIIP. 18

ont avec un axe quelconque du plan ont une même valeur (fi. ; les normales en A et en B aux courbes (A) et (B) coupent en b les perpendiculaires élevées en à OA et à OB, on a

d [A) — ka.d9 et d (B) - B6.t/5,

d'où

Rapprochant cette formule de la précédente, on voit que

MA An .TB MB ^ BA.TA '

ssons du point T les perpendiculaires TH et TI sur OA el I. Les angles OAa et HTA sont égaux comme ayant leurs perpendiculaires ; par suite, les triangles rectangles OAa et ;ont semblables. De même pour les triangles rectangles 0B6el )n tire de là

ormule précédente devient donc

OA.Tl

' ob.th'

les triangles MOA et MOB donnent

triangles OTH et OTI,

OA. sin MOA

OB. sin mÔb

ITl,

,in foH

Il vient donc finalement

sin MO A sin TOI

sin MOB sin TOH

égalité qui prouve que les droites OT et OM so)it syynétriques par rapport à la bissectrice de Vangle BOA. Le point M est ainsi déterminé.

Si les arcs (A) et (B) appartiennent à une même conique de centre 0, la droite OT, diaprés un théorème bien connu, passe par le milieu de AB. La droite OM est alors la symèdiaïie issue de du triangle AOB.

Si, en outre, l'angle AOB est droit, cette symédiane est perpendiculaire à AB. Donc, dans ce cas, OM est la normale à l'enveloppe de AB. Cette normale passant par le point fixe 0, l'enveloppe est un cercle de centre 0. De là ce théorème : Une corde d'une ellipse vue du centre de la courbe sous un angle droit reste tangente à un cercle de centre 0.

Sections isogonales et fibre moyenne d'une voûte. — Soient (A) et (B) {fig. 254) les courbes d'intrados et d'extrados de la section droite d'une voûte. Si une droite AB coupe ces deux courbes sous des angles égaux et de sens contraires, c'est-à-dire si les normales en A et enB font, de part et d'autre de AB, des angles égaux aAM et 6BM, la droite AB constitue la trace d'une section isogonale de la voûte, et la courbe (G) décrite par le milieu C de AB est la fibre moyenne de la section droite considérée (^ ).

Pour avoir la normale en G à la courbe (G), il nous suffira de

Pio. 25i.

;'; La considération do cette courbe joue un rôle fondamental dans la remarquable méUiode do M. Jean Résal pour l'étude de la résistance des voûtes [Encyclopédie des Travaux Publics, Ponts en Maçonnerie^ tome I, ]). 103). Elle est appelée là par M. Résal axe longiludinal de la voûte.

connaître le point M, où la section isogonale AB touche son enveloppe. En effet, si la normale à cette enveloppe coupe en a et en h les normales Aa et B6, nous savons que la normale cherchée passera par le milieu c de ab (n** 254, Cor, III).

Proposons-nous donc d'obtenir le point M.

La formule (VIII) nous donne, en appelant a et jî les centres de courbure répondant aux points A et B,

c/.M:Aa = c/ (A) (£-£;) et c/ A = c/ (B) (^ - ^^).

Mais, puisque les angles MAa et MB6 sont égaux et de sens contraires, on a

Il vient donc

Mais la formule (V) donne

Par suite,

rf.MAa +

dMhb

rf(B)

AimA

Bô

yJH U\7

rf(A)

ou encore

ax Jiô Aa ~ Bp'

aa Aa pb """ Bp"

Abaissons des points a et ,3 les perpendiculaires aa et 3^' sur AM. l^uisque les angles MAa et MB6 sont égaux, Tégalité peut être remplacée par

Ma' a'a

Cela prouve que les droites Ma et M^ se prolongent. On a donc le point M en prenant V intersection de AB avec la droite joignant les centres de courbure cl et p.

Si les courbes (A) et (B) sont des cercles, les points a et p sont fixes. Les différents points M où AB touche son enveloppe étant tous sur la même droite a^ sont nécessairement confondus. Donc, dans ce cas, la droite AB pivote autour d'un point fixe (*).

363. Droite dont les distances à des courbes données sont liées par une relation. — Si la droite AB perpendiculaire en A à la droite d coupe au point B la courbe (B) sous Tangle a, nous disons queAB est une distance -^-^-^A.;

sous tangle % de la droite rf à la courbe (B). .^^^^^^-^^^^X

Supposons qu*entre les distances sous des angles quelconques

A,B^ = /|, AaBj = /j, ..., k„Bn = lu

de la droite d aux courbes [BJ, (Ba),..., (B») existe la relation

F (/^, /avî ^m) — o,

Fio. 255.

et cherchons le point où la droite d touche son enveloppe.

Puisque Tangle que fait A/B/ avec la normale B/p/ est constant (/ig. 255), on a le point H/ où A/B/ touche son enveloppe en abaissant sur cette droite, du centre de courbure p/ repondant à B/, la perpendiculaire p/H/ (n*» 255, Cor. I).

De môme, si la normale MN à Tenveloppe cherchée coupe la normale p/H/ à l'enveloppe de A/B/ au point a/, on a, en joignant A/a/, la normale au lieu décrit

par le point A/, attendu que Tangle B/A/M, égal à ^9 est constant. Dès lors, la formule (VIII) donne

dli = ûf.A/B/ = Ui^i^d^i,

dfii étant la différentielle de l'angle que la droite A/B/ fait avec un axe quelconque du plan. Mais, si est Tangle de la droite d avec le même axe, on a

'i Ainsi que je l'ai fait voir dans la nolo d'où ce numéro est extrait Annalca <les Pont» et Chaînées, 2« sem. 1888, p. 76, et 2^ som. 1894-, p. 658j, ce dernier résultat peut être établi directement et servir à démontrer le théorème général.

d'où

et il vient

(2) dit — Uipi.da,

Si donc on différentie inéquation (i), ce qui donne

et que l*on remplace dl^y dl^^...^ dln par leurs valeurs tirées de (2), on a, en divisant par le facteur commun e/Ô, différent de zéro,