chapitre. • r , ’ • • . f
Avant d’entrer en matière nous préviendrons que toute ligne du terre sera représentée par les lettres L T, avec ou sans accent , ces lettres L et T étant placées de telle manière qu’en se supposant au-dcssif> du plan horizontal et en face du plan vertical, on ait la lettre L à gauche et la lettre T à droite; de sorte que La position respective de ces letfres indique la partie de la feuille de dessin où I on doit chercher Ie6 région» de chacun des deux plans de projection. Les projections des points ou des lignes sur les nouveaux plans de projection seront encore marqpôes par r ou h portant le même nombre. d’accents que les lettres. L ftt T de la nouvelle ligne de terre , pour marquer que c’est le même point ou la même tigpe , mais rapportées à un nouveau plan vertical , ou à un nouveau pion horizontal, fie même les nouvelles traces des plans seront marquées par les lettres V ou H affectées du même nombre d’accents. Quelquefois aussi , surtout dans les. questions d uppli-. 'Cation, on ne met aucune lettre à la ligne de terre, mais on rébarbe du cété do la partie antérieure du plan horizontal. ' - ' ..Y VV ' I
tt. Problème 1, Changer de plan vertical par rapport à un point (fig. 48). Soient m* et m r les projections d'un point m sur deuz plans caractérisés- par la ligne de terre LT , supposons qu'on cherche sa projection sur un autre plan veHical L T'. La position dés lettres montre qué la partie supérieure de oe plan vertical est rabattue vers la gauche du dessin , et la partie inferieure vers la droite. Puisque le plan horizontal n’est pas changé, 4a projection m* ne.'change pas et lè point m conserve la même hauteur au-dessus de ce plan ; donc sa nouvelle projection verticale m ,( doit se trouver avec ni* sur une même perpendiculaire à LT (n‘ 8), sur la partie supérieure du nouveau plan vertical (n° 10,1') et à une distance u'm’’ de L”T égale i la distance opC du point mau plan horizontal (.«" 5, V’ )•
tl.
On peut écrira ccue relation stir la figure en menant, par le point i inter sec- . lion <le LT et l/T' , les droites perpendiculaires il à LT et ik à L'J' ,.pu\| i/i'l pa-
rallèle .1 ni , I are Ik décrit du centre I,’ et la droite km" parallèle a io . Il est «jvi—
. dent par ces constructions que-l’on d : mAensil=zik=onr.
4Ô. l'RoBLta». 2. Changer de plan horizontal par rapport à un point. (fig. 48 ). Ce problème ne, ddlcre en ritm du précédent, si ce n’est, que l’on doit faire, par rapport au plan hori/â.ntal, les opérations qui ont été faites par rapport au plan vertical. Si l’tjn voulait changer à la fois les deux plans de'projéction tl faudrait et- •<‘c tuur ces opérations successivement , ti’ost pourquoi noussup|)oscrons qu après
avoir changé comme ci-dessus, de. plan vertical , on se propose vie clianger.de plan ftorjfontal ; fait L "T" fa nouvelle ligne de. terre ; de sorte que la partie an-
térieure de ce nouveau plan soit sitnée.ûtwlessous ot Ja partie postoriqpre au-, dessus de l/'l ".'Puisque le plan vertical reste le même , le point ou projection u r '
nn /•Im tvn., ni c nf In nnlnl an'cln l'ncnn.m /InmoonA • •* - I Ji A
ne change pas et le point , 1 » de l'espace demeure toujours çn avant de ce plan et à la, même ■d^tanoq de çè plan vertical; donc la nouvelle projection horizontale
m 4> ' doit so trouver avec >rC sur Ane mémo perpendiciilairq à L"T’.' ( n* 8 ) , a •dessous de celte ligne de terre <ir 10, 4*)-cl.à une disiance o , 'm‘"^<rm 1 ' (n* 5, 2: On écrira cette égalité graphiquement par des copstruetio«6 analogues aux précédentes, desquelles on conclut v’
»'m'=ff=iT=«"m‘*
mi
Par Ues changements sueçes&fs de plans horizontal et vertical , on pourra rap- ’ porter uti point à deux |dans rectangulaires .quelconques , dont l'un sera toujours dit horizontal quelle 'que sbit sa direction, et Tautre vertical quelle que soit aussi sa direction dans l’espace par rapport aurdeux plans primitifs de projection. " ’• -. 4Ç. l'ROBLf.ub 3. Changer de plans de phycrlton par rapport ù une droite. On peut .. résoudre- relativement à une droite les mèufcs problèmes que nous venons dcrû-i soutire par rapport à un point ; car une drôile étant déterminée par deux points, il suffira de. trouver les projectidns de deux de ses points sur les nouveaux plans. Soit L'T.lfig. 40 ) la trace cT un nouveau plan vertical , -le position des lettres sur celle nouvelle ligue de terre montre quéla partie supérieure est rabattue à droite, ot la partie inferieure à gauche dé la l'euille'de dessin ( n* 43 ) ; prenant donc sur la droite T> deux points quelconque? m cl n . Iimii s projections horizonlalés ne changeront pai, et eoiunip cçs points sont au-dessus du pion horizontal , les nouvelles projections verticales devront se Trouver à gauche de l/T' et à des distances om' —om' et pV'*=/>n’ ( n” 44). La trace horizontale n de D ne change pas ; donc si I un a bien opéré, lu droite cm"' doit être perpendiculaire à la nouvelle ligne de
talion a^pptéc dans ce 'côurs caè- h 'est-il q>as évident, que pat* noir moyen on peut lire sur la ligure non-seOlemciit la «ignilioation de chaque ligne, sa position et sa direction dans l’espace, mais cneore le sens du rabattement dos plans, qui. ne coïncident pas avec hrfeujlle du dessin. Observou». encore que les accents des lettres Vete, analogues à. ceux do. la ligne de tetre corresj>omlairt«, montrent au premier . coup d’êeil, par quels xdiangeiucnta successifs do plans de projection . un a fait passer les projections de la Jigjmj tic l'espace," 'ce que l'on n'obtiendrait pas par la notation ancienne par £ tares accentuées, , à moins de compliquer eVlvimeiuentrccllc notation. J . »• '
Il serait maintenant très-facile de trouver la projection de la droite l) sut un iinit- ' veau plan hori^ntal ,. c'est-à-dire, 'sur un plan perpciulieblafre au plaïf vertical . LT'. l*Our ne pas surcharger la liggre,tnou8 ne ferons pas iôr CtjUe recherche. .
\ 7 . Problème' À. Chant/ er Je- plans de projection paf'-.rnpporl û un pft/n ( pg. . r »0 ). Nous . ôntidéreroifo le plan comme étant donné par ses traçes H’,V, et nousclu'iebèrons ses traces sur les nouveaux plans de projectiort. Proposons -mous de trouver la trace du plan P sur tjp nouveau plan verlicalL'T'. La traçe horizontale U' » ne changeant pas, le pointe', "où elle rehconlre la nou ville ligue de terre L'f sera déjà un point dé la nouvelle trace verticale cherchée (n* 27); si l’on prenait sur le plan P une droite quelconque, le point où elle renconlrewtil.lè nouv.au [dan vertical de projection en serait un second point < n" 28 ) «et pue conséquent le problème serait résolu. Pour plus de simplicité, on «hdisit une horizontale K, . parce qu'alors tous ses points son t ;ï la même distance b"b du plan horizontal qui tic varie pas ; donc pn prolongeant K‘ jusqu’à Mi" en à 4 , 'élevant par ce jaiint 6* une perpendiculaire à L’T' et prenant sur cette |>erpendiculaire une longueur h‘‘‘h'±=Jfb,on aura en à' la nouvelle trace yérlicalcdeT horizontale K du plan P(uM5)„ et par conséquent en \ '«( droite qui unit les points q et If) la nouvelle trace- verticale du pian P. Ilcntarquons qu'il était inunie d écrire la projection verticale de ht droite K , puisqu'il sutfisait d'en déterminer le point b , qui seul nous a servi: <
Parmi toutes les horizontales du plan P, il vaut mieux , quanti on lé peut, çtnployer celle A dont la projnetion A* ‘passe per le point d’intersection de LT.«i LT; Le point a appartenant à la fois aux deux plans verticaux, nous le soulignons sur le plan L’T. S'il arrivait que Jar.tr ace- horizontale H- né rencontrât pas lu nouvelle ligne de terre LT dans les limites du dessin , sans pourtant lui être parallèle, on ne connaîtrait pas le point o', il faudrait’ alors trtniver directement deux |K>inU d> lu trace verticale \ ' , par la considération de deux horizontales du
plan P. Et si dans ce cas ta' trace verticale sortait tout entière îles limites dit dessin , on prend tait sur le. plan P deux droites, dont on pût trouver les nouvelles projections verticales , et. le plan serait suffisamment déterminé par ces deu* , droites ( n* 27 ‘ . .* v.* •' * .»• • #
Pour changer de pjaa horizontal , 'il faut opérer* d’une manière semblable en employant une ou deux verticales du plan donné , Minant que la trace verticale de ce plan rencontre ou ne rencontre pas la nouvelle ligne de terre dans les limites du'dessin , sans pourtant luj être. parallèle. .
-• ■4H- PsoELÈÜE, 5. Connaissant ies projection td’ un point sur deumptani rec/uniftiluiret, trouver su projection sur un -troisième plan tjueicouqtte (fig. 51 ). Le plan P, n’étant perpendiculaire nf au plan horizontal, ni au plan vertical , ne peut pas être considéré comme un nouveau plan vertical ou horizontal de prqjeclion; niais si nous voulons ïp prendre éomtue plan horizontal de projection , .nous devons d'abord changer de plan vertical et choisir fee- nouveau plan de manière à ce qu’il soif HprpeMriioÿtaire an . plan P; pour cela il faut que H* soit perpendiculaire à LT in" dd, V), nous chercherons la trace du plan P ( n° 47 i et la projection du
nninl m ( n v AA \ ciIp ça natmvin hlrui vorhnol • r.uic IA nli> n n nA.i.
Oo pourrait se proposer, considérant ce point ni"' comme un point du plan P , d'en trouveriez, projections sur les plans primitifs egraélérisis par la ligne de • * terre LT. Pour cela nous nommerons ce point n , comme ij est situé sur le plan horizontal ITT’ sa projecljpn verticale dpit être suri# ligne de terré en n". Passant ensuite du système de plans qui se coupent suivant la ligne de terre L'T'au système caractérisé par la ligne de terre L'T' , la projection V' ne changera pas et la nouvelle projection horizontale sera oti n‘ sur une penpendicplaire à L'T' abaissée den^-ét à une distance ..Enfin nous passerons au sys-
,té(Qç de plans caractérisés jiar la ligne de terre LT en changeant de plan vertical, ' ev nous trouverons la prnjccljon «' suj une perpendiculaire è LT abaissée du point '. * a* et 4 une distance iu*===i'n''. * ■■■ '
40. Kcmarquons que la droite niV , étant parallèle à L'T' , est perpendiculaire n H’ ; qr la droite nm dans l'espace -est perpendiculaire au plan P et m*it* en est la projection horizontale. Au lieu de considérer le plan P comme un nouveau plau * horizontal de projection, on aurait pu le considérer comme un nouveau plan vertical de projection, ilaurait alors fallu changer d’abord de plan horizontal et choisir L'I perpendiculaire à V"-, puis H'' aurait été la nouvelle ligne de terre L'T' ; et ’ en cherchant de inéme les projections du point m’" considéré comme un point n du plan P. ou aurait trouve d abord n’ situé avec m* sur une perpendiculaire
Jt~
.Digitizad by CéOOglt
i V’; or .tn'nT est la projeotimi verticale do la porpejulicidniro hui au plan- P. U résulte donc déco problème que feJt prajeetiom d'une perpendiculaire à un plan tout ■ rtspt ; perpendiculaires aux imm de même nom du plan. AfalS'notlS démpp-
irerons directement ce théorème pur ta suite. \ . •' : « v ,-. •
' '-50.*ProhÙne'6. Ramener une droite < i dire juirulléle ù (un des plans de projet-
lion Ifig. 68); Pour que ta droite I) soit |«rallèh- au plan vertical, il foulque
• 'D^Roit parallèle a la ligne de terre ( »' 17, .T), il suffira donc de prendre L T
parallèle ^ D‘ et de chercher la projection D ’\le- )* droite b sur ce nouveau plan' -vertical (n*46>. Si l’on voulait reii.Ue la droite parallèle au plan horizontal, il
• faudrait changer de pfan horizontal et prendre. É’T.' parallèle à D* ( n" 17, 2“ ), •'
5t. Pnom.r.MK 1. Ramener une droite à dire perpendiculaire à l’un des plans de projccüon\fig. piî),.Si la droite 1) était parallèle au platr vertient, tout plan perpendicuiaire à cette droite , serait eu même temps |H-rpomlieulairu an. plan vertical, et pourrait être choisi pour nouveau plan horizontal de pi^çutioB pouibinc avec le plan vertical. St- la droite O'élaiLparallèleau plan horizontal* tout plu u perpendiculaire à collé droite serait perpendiculaire Su phi» horizontal, et pourrait être considère comme dh nouveau plan. vertical- de projection- eem- •. bim avec h plan horizontal. Mais lorsque la droite D n’esl parallèle à aucun des plans de projection , un plan perpâiiwiphirc a cette droite n’est perpendiculaire . i» au plan horizontal, ni au plan vertical, et ne petit par conséquent être pris
• ni comme plan vertical ni couimc plan horizoptal de projection combiné avèe
I un des plans primitifs ; c’est pourquoi pour résoudre le problème actuel il faut.
‘ commencer par rendre la droite donnée parallèle à l’un dès (dans de projefctiôn ■■ iii‘5U).
Si, par exemple, on veut ramener lai droite ü à être perpendiculaire au plan horizontal, on la rendra d’abord parallèle au pfan vertical, puis on changera <te - . plan horizontal en remarquant que si la droite D est perpendiculaire au plan horizontal, $a projection verticale est perpendiculaire i fa ligne de terre ( 1 »“ 47, 5*)v nous prendrons donc L"T " perpeudicujaire àD"', et la projection horizontale *•
• sera un seul point situé sur le prolongement de D’' en avant de .L"T'!, et à une
distance o'D*"=aa’’', dislance d’un point quelconque de la/dyjite y au plan, vertical. . V-. -• . .* • f •
’-.f -52. PnoRLf.sG 8. Rendre un plan perpendiculaire àl'un des plans de projection Ce problème a été résolu accidentellement (n*'48.); nous avens vd que pour rendre le plan Perpendiculaire au plan vertical; il Faut changer de plan vertical de projection et prendre la nouvelle ligne de terre perpendiculaire à 11'; et pour rendre le plan P perpendiculaire au plan horizontal , il faut changer de (dan ,
horizontal île projection et prendre la nouvelle ligne do terre perpendiculaire à Y'., .
■Æl- c • » ' . ' » '■
. : t • . "»* 1. .» V • • « 1 « ; . Al .» ^ f . rf
5;*. Pnntiii'ir !< Renrlèr un plan perpendinilaire à la ligne il' terre. Le plan ifait étreqvçrpçrldieulaireé In fois au plan horizontal rt au plan vertical , non» -changerons d’abord de plan vc'rliealy ^ prenant L'T’ perpendiculaire à H', et non» en conclurons V? ('ii* H );' puis nous- changerons jle plan horizontal , en • prenant L"T" perpendiculaire à V*, le plan restera toujours perpendiculaire au jdan vertical préeéc^ntY Çl sera en outre perpendiculaire nu nouveau plan lio- •rmuital, il -sera donc perpemljcifl!>ise .Vleui* intersection, au à In nouvelle ligne deterreî' i'.T*. * . :• '• • s s * V;> T ■ *W ;
. N*' PfcOBfctutî 40. Rendre uu plan parallèle à la tigite ife terre { fig . &3).'l'n’ plan partdlèléè.la ligne de tourna sep deuj traces parallèles a cette ligne (n"<33, 8*);' '
si. donc bons Vou|ons résandrç le problème par un changement de plan vertu-aï, -, if Éâihdra- prendre L'T' parallèle à Jl*; puis pour obtenir un point de V'% on pourrait dans fç «plan P construire uitc droite ipielconque cl chercher son intersectionïvec.ie nouveau plan vertical; piais on y parvient plus simplement comme il «ah : tes doux plans verticaux et I.- plan 1* ont en commun un point 0 .huit la» projection horizontale est évidemment le point n*, intersection îles (Jeux lignes de terre I I ci I I : <v point rapporté au plan vertical l.T est ep a sur \ ' . rapporté su ‘plan ver tical. L'T' H est sur une perpendiculaire' à L'T'. et à une distance .
■ V/r=rfl*fl,’et le point « est un point de £ .*• •* . ‘ ' •.
‘ Si I on yonlah, résoudrèle problème par un «hangçmeuï de plan horizontal , ü faudrait prendre la nUuvèlIe ligne de terre parallèle à V’, etToh trouverait d uûe * manière anatogué un point delà Aouvelléllace hortzimialc.
'v f>5-. PnoaccME H; Rendre an plan parallèle <1 Iféh <j*9 plans de prnjeçrion. Un plan « parallèle A 1,’un <Jes plans de projection est nécessairement |)crpeodiculaircâ l’atilrè; donc pour Résoudre le problème actuel, 'il (but çoin’méncer par rendre le plan 'dopné perpendiculaire à ton des plans de projection (n*52), puis on le rendra pa» .rallélo A' l'autre plat* Si , parexepiple, on véut que le plan donné P sort parallèle au plan vertical, ôn de rendra -d’abord perpendiculaire au plan horizontal puis ori Rangera de plan Vertical, en prenant la nouvelle ligne de terre paràlfèle à H"(n*33, 6*).‘8i au contraire on vent rendre 4e plan P parallèle au plan horizontal , on le ' . . rendra d’irtiord çerporuliculair'e au phin .vertical , puis on changera de plan horizontal en -prenant ta nouvelle ligne de terre parallèle à V" (rf 33, 7"). Il est' .. évident 'que 'dans le second changement de plan-, il n’y a pas de trace’ du plan i; . chercher. ' •' "'/ff- y'-
56. Avant de résoudre Ic probléme de la rotation des ligures autour d'un axe, nous ferons connaître trois principe» évidents, et qui nous seront d’une grande utilité: •’ * ' :W. •’ '•
’ 4* Toute ligure contenue dans «on plan parallèle à. l'un des plans de projet-
Üigitiz^l by G©0$j
lion , se projette sur ce plan suivant une ligure identique. En ellet , en abaissant des extrémités d'une droite des perpendiculaires sur le plan de projection, on forme un parallélogramme rectangle , dont la projection de la droite et la droite projetée sont deux côtés opposés , et dés lors parallèles et égaux en longueur; et cela a lieu que la figure soit limitée par des lignes droites finies ou inlinimeut petites.
2* Toute ligure contenue dans un plan P perpendiculaire h l'un des plans de projection, se projette sur ce plan de projection suivant la trace du plan P qui la contient; car les perpendiculaires abaissées de chaque point de la ligure ne sortent pas de ce plan P.
3" Quand une figure tourne autour d'un axe, sa projection sur un plan perpendiculaire à cet axe tourne autour du pied de l’axe, en restant identique si elle-même, tandis que sa projection sur tout autre plan change de forme à chaque instant du mouvement.
Cela posé, la rotation d'une ligure peulsc faire aulourd'unaxe perpendiculaire ou parallèle à l'un des plans de projection, ou dirigé d'une manière quelconque. Après la rotation, les différentes parties de la ligure ayant changé de position dans l’espace , c’est , à proprement parler, une autre ligure identiques! la première dont nous cherchons les projections, c'est pourquoi dans ce cas nous accentuons les lettres caractéristiques des points , des lignes et des plans , et non plus les indices, qui se rapportent toujours aux mêmes plans de projection.
57. Problème 12. Faire tourner un point d’un angle donné autour d'un axe vertical et trouver ses projections dans sa nouvelle position (fig. 54). Soient donnés un point m et un axe vertical A ; si du point m on abaisse une perpendiculaire sur l'axe, elle sera horizontale, et par conséquent se projettera horizontalement en R‘ dans sa véritable grandeur (n" 55, 4*), et sa projection verticale R' sera parallèle à LT ( n’ 17, 2’). Si l'on imprime un mouvement au système , la perpendiculaire H ■ estera toujours perpendiculaire à A et de même longueur, elle décrira donc un cercle C dans un plan perpendiculaire à A , ou , en d'autres termes , dans un plan horizontal , et son centre sera sur l'axe; sa projection horizontale C k sera un cercle identique dont le centre est eu A* et dont le rayon sera égal à II*, sa projection verticale C' est une droite parallèle à LT. Le point m ne sortant pas de cette circonférence C pendant son mouvcmentde rotation, lorsqu'il sera venu prendre dans l'espace la position m, ses projections ni k et m'* seront respectivement sur C* et C*. Si l’on suppose que le point m tourne autour de l’axe A d'un angle * et dans le sens de la flèche F', le rayon R sera venu dans une position R' faisant avec R un angle égal à a; les projections horizontales R‘ et R* devront faire çnlreelles le même angle a, puisque les droites R et R' sont horizontales; dès lors il sullira de mener R* faisant avec R* l'angle *, le point en lequel cette
droite R'* rencontrera C‘ sera la projection horizontale m'* du point m après la rotation ; sa projection verticale devant se trouver sur la projection verticale du cercle C sera en m’ sur C\ Si la rotation avait eu lieu en sens contraire , comme l'indique la flèche F", le rayon R serait venu en R" et le point m en m".
58. Problème 13. Faire tourner un point d’un angle donné autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical (fig. 55). Ce problème ne diffère en rieji du précédent , seulement le cercle C décrit parle point m est dans un plan parallèle au plan vertical, de sorte que l’angle donné a doit être formé par les projections verticales R’ et R'* des rayons ( de ce cercle C) passant par les points m et m'.
50. Problème 14. Faire tourner wie droite d'un angle donné autour d’un axe vertical ou perpendiculaire au plan vertical. La droite donnée peut occuper trois positions distinctes par rapport à l’axe :
1’ Elle peut lui être parallèle , elle décrit alors une surface cylindrique à base circulaire, comme on l'a vu en géométrie élémentaire ;
2° Elle peut couper l’axe en un point, elle décrit alors une surface conique à basse circulaire, comme l'apprend également la géométrie élémentaire ;
3“ Enfin elle peut n’élre pas située dans un même plan avec l'axe , dans ce cas elle décrit une surface que nous étudierons plus tard sous le nom d’ Ityperbolcnde de révolution à une nappe. n-< •
• Premier cas. Soient l’axe vertical A (fig. 56 ) et la droite D parallèle à cet axe, et par conséquent verticale ; tous les points de (adroite D tournant autour de A conserveront la inème dislanceà cet axe, donc D et A seront toujours parallèles, la trace horizontale de la droite D décrira l'angle a, et par suite la droite D viendra en 1)'.
Deuxième cas. Soient l’axe vertical A (fig. 57 ) et la droite D qui coupe cet axe au point m; quand on aura fait tourner la droite D d’un angle a autour de l’axe A, elle ne cessera pas de passer par le point m; il suffit donc pour connaître entièrement la nouvelle position de la droite D de fixer celle que prendra un autre quelconque de ses points; ta question est donc ramenée à faire tourner autour de l’axe A un point de la droite D. Parmi tous les points de cette droite , on choisit de préférence sa trace horizontale a, quand elle se trouve dans les limites du dessin , parce que le cercle C qu’elle décrit est situé dans le plan horizontal, et par suite sa projection verticale C' n’est autre que la ligne de terre; le point a viendra en a dont la projection verticale a" sera sur LT, joignant ce pointa' avec le point m, on a la droite D'. La trace verticale b sort, pendant le mouvement, du plan vertical , et la nouvelle trace verticale de la droite D' (qui est le jioint c’) n est pas la position qu’est venu prendre le point b, trace de la droite D , après que D est venu en D'; c’est pourquoi nous désignons la trace verticale, de D', non par b\ mais par une autre lettre, et ainsi par c.
Troisième au. Soient l'axe vertical K(fig. 58) et la droite D, qui n'est pas située dans un même plan avec I axe A. Pour connaître la position que prendra la droite P après avoir tourné d'un angle a autour de l'axe A, il suffit évidemment de déterminer les nouvelles positions de deux points de cette droite; prenons donc deux points m et n sur la droite D , ils décriront pendant la révolution des tires de cercle Ç et C' situés dans dus plans perpendiculaires à l'axe A, et par conséquent parallèles au plan horizontal, le point m viendra en ni elle point non n. Après avoir trouve le point m comme on l'a enseigné ci-dessus (n° 57) [tour n'avoir plus à construire l'angle », on prolonge le rayon mené par n* jusqu'en r, on prend l'arc r» = l'arc > 11 * 111 '*, cl cela nu moyen des cordes et ainsi par une seule ouverture de compas; on joint *A\ et cette droite va couper le cercle G'* au point n'* d’où l'on conclut ensuite n
On simplifie les constructions en prenant deux |ioinls dont les projections horizontales sont à la même distance de A*, car alors les cercles qu'ils décrivent ont la même projection horizontale ; si l'on prend , par exemple , les points « et m, 011 construira l'un de ces |>oinls m, comme ci-dessus (n* 57), on prendra ensuite sur le cercle G" ou le cercle C*, na'= in'i/i'* et l'on aura le point d.
Enfin on peut encore choisir les points d’une manière particulière, qui quelquefois peut seule permettre de résoudre le problème. Abaissons du |>oinl A* sur D* une pcr|>endiculaire N, qui la rencontre en p‘, projection horizontale d'un point p de la droite D ; supposons que le système de la droite D , de U projection horizontale I>* et de la normale N , tourne autour de Taxe A de la quantité angulaire a , la normale viendra en V faisant avec N l’angle a ; la droite b* pendant la rotation ne cessera pas d’être perpendiculaire à N et d'être la projection horizontale de la droite D dans toutes ses positions (n’ 56 , 3*), donc en menant D'* perpendiculaire à N' ou tangente au cereleG"*, on aura la projection horizontale D'* de la droite L) après la rotation , et l'on a aussi un point p' r de la projection verticale U' r ;si donc on connaissait la direction ou un second point de cette projection D’’, on pourrait la construire. On aura le point a'* en ramenant le point n en d sur D'* par un arc de cercle décrit du point A* comme centre. On pourrait évidemment choisir tout autre point que le |>oint a.
On résoudrait de la même manière le problème de Caire tourner une droite autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical, seulement les constructions que nous avons effectuées sur le plan horizontal devraient cire faites sur le plan vertical, et réciproquement.
60. Problème 15. Faire tourner un plan d un aniile donné autour d'un axe vertical. La nouvelle position du plan P donné sera connue si l’on trouve celles de deux droites quelconques situées sur ce plan. Parmi ces droites, on choisit de prcféJ
rencc deux horizontales , et l’on prend pour l’une d’elles la trace horizontale du plan P, parce que dans le mouvement de rotation deec plan P, elle ne sort pas du plan horizontal. Abaissant du point A* (fig. 59) la perpendiculaire N sur H', elle rencontre cette trace au point p, qui décrit pendant la rotation un cercle C auquel la trace horizontale H’ demeure toujours tangente, or cette droite N viendra dans la position N' faisant avec N l’angle donnés, le point pdela trace H 'viendra donc en p', et si l’on mène une tangente en p' au cercle C, ce sera la trace horizontale H"du plan P aprcsjla rotation, et le point «'où elle rencontre la ligne de terre appartient à la nouvelle trace verticale du plan P' nouvelle position du plan P. Pour en avoir un second point, nous emploierons une horizontale K du plan P; pendant la rotation elle conservera la même distance au plan horizontal, et par conséquent sa projection verticale sera toujours sur la même parallèle à LT; quant à sa projection horizontale, elle restera parallèle à la trace horizontale du plan P pendant la rotation ; or K* coupe la droite N en un point tf qui se porte en </* sur N', menant par ce point i ÿ la droite K* parallèle à H'', ce sera la projection horizontale de l’horizontale K après la rotation ( n* 56, 3‘) , cl le point b' où K' perce le plan vertical est le second point cherché de la trace V"; joignant donc A'*', on aura cette trace
Au lieu d’abaisser la perpendiculaire N sur H', on aurait pu chercher les nouvelles positions de deux points quelconques de II", mais les constructions auraient été plus longues, même en choisissant ces deux points à la même distance du point A*. Nous avons pris une horizontale K quelconque, on aurait simplifié un peu la figure, en prenant celle qui passe parle point où l’axe A perce le plan P, sa projection horizontale aurait alors passé par le point A*.
Si la trace horizontale li" ne rencontrait pas la ligne de terre dans les dimensions du dessin, on n’aurait plus le point «’ de la trace verticale V"; on serait alors obligé d’employer une seconde droite que l’on choisirait encore de préférence horizontale , et l’on chercherait sa trace verticale après la rotation , ce qui donnerait un point de V" que l’on joindrait à b' pour avoireelte trace V".
Lnfin , le même problème pourrait sc résoudre en prenant un axe perpendiculaire au plan vertical ; ce serait alors des verticales du plan que l’on devrait employer.
Cl. pHOnu’ME 10. Amener une droite dans une position parallèle à l'un des plans de projection (fg. 00). Au lieu de faire tourner une droite d’un angle donné, on peut demander de la faire tourner jusqu’à ce qu’elle soit dans uije position déterminée par rapport aux plans de projection. Supposons, par exemple, qu’on veuille faire tourner la droite D autour de l’axe vertical A , jusqu’à ce qu’elle soit parallèle au pbn vertical ; dans cette position sa projection horizontale sera parallèle à la ligne de terre (n* 17, 3'); il suffira donc d'en connaître un point.
Il est facile de voir qu'on doit ici employer la dernière considération du n* (59, 3*); nous abaissons donc du point A* une perpendiculaire N sur L>\ qui la rencontrera en p‘ projection horizontale d’un point p de la droite D. Si l’on conçoit un système formé de la droite D, de sa projection horizontale D*, de la verticale abaissée du point p et enfin de la droite N, et qu'on le fasse tourner autour de l'axe A , ces quatre droites conserveront entre elles les mêmes positions relatives , donc D"‘ sera perpendiculaire à N' ou tangente au cercle décrit de A* comme centre etavec N pour rayon et en même temps elle sera parallèle à LT ; le point p se portera en p à la même hauteur au-dessus du plan horizontal, le point « viendra en a, et par suite D” sera la projection verticale de la droite D dans sa nouvelle position O'.
Tous les points de la droite D décrivant des arcs de cercles horizontaux, il est facile de conclure de la figure elle-même l'angle a décrit par le rayon N, angle dont par suite doivent tourner les autres parties, de la figure, supposées entraînées dans le mouvement de la droite D.
62. Si l’axe A n'est pas donné d’avance, on le choisira passant par un |voint de la droite D, parce que alors la figure est plus simple. Remarquons que pour amener la droite D à être parallèle au plan vertical on est obligé de choisir un axe vertical , nous avons vu en effet que le problème est alors résoluble. Si au contraire l'axe était perpendiculaire au plan vertical tous les points de la droite D décriraient des cercles parallèles au plan vertical et conserveraient par conséquent la même distance à ce plan , donc la droite D n’aurait pas après la rotation tous scs points également distants du plan vertical , donc enfin elle ne serait pas parallèle à ce plan. Par une raison semblable on ne pourra amener la droite D dans une |>osilion parallèle au plan horizontal que par un mouvement de rotation autour d’un axe perpendiculaire au plan vertical.
63. Problème 17. Animer mie droite dam une position perpendiculaire à l'un des plans de projeeliou (Jig. 61). Lorsqu'une droite est perpendiculaire à l’un des plans de projection, elle est nécessairement parallèle à l’autre. Or, pour rendre une droite parallèle au plan vertical, on est obligé de la faire tourner autour d’un axe vertical (n* 6‘2 ), mais dans ce mouvement tous les points de la droite conservent la même distance à l’axe, et par conséquent elle ne pourra jamais devenir parallèle à cet axe ; d'un autre côté une droite quelconque tournant autour d’un axe perpendiculaire au plan vertical ne peut jamais devenir parallèle à ce plan , si elle ne l'est pas avant la rotation , donc il sera impossible de rendre une droite verticale par un mouvement simple de rotation autour d’Hn seul axe. Mais par un premier mouvement autour d’un axe vertical A , nous amènerons la droite D dans la position D' parallèle au plan vertical (n’61), puis par un second mou-
vcment de rota lion autour d'un axe B perpendiculaire au plan vertical nous l'amènerons dans la position verticale D"; car pendant celte seconde rotation la projection D' r prendra successivement toutes les positions tangentes au cercle C'*, et par conséquent il y aura un instant où elle sera perpendiculaire à LT et alors la droite D" sera verticale ( n* 17, 5*).
Pour amener la droite donnée dans une position perpendiculaire au plan vertical, il faudrait d'abord la rendre parallèle au plan horizontal par un mouvement de rotation autour d’un axe perpendiculaire au plan vertical, puis l'amener dans la position demandée par un second mouvement de rotation autour d’un axe vertical.
Remarquons que l'on trouve par la construction les angles a et (3 dont la droite I) a tourné autour de chacun des deux axes, de sorte que si l'on avait d’autres lignes ou d’autres points entraînés pendant ces mouvements de rotation , on devrait les faire tourner de quantités angulaires égales respectivement à a et à (3.
tU. Problème 18. Amener un plan dans une position perpendiculaire à l’un des plans de projection (jig. 62). Soient un plan P et un axe vertical A, supposons qu’on demande de faire tourner le plan P autour de l’axe A jusqu’à ce qu’il soit devenu perpendiculaire au plan vertical; dans sa nouvelle position sa trace horizontale sera perpendiculaire à LT, si donc l’on abaisse du point A* une perpendiculaire N sur H’qui la rencontre en r, ce point décrira un cercle C auquel la trace horizontale du plan sera toujours tangente , la normale N deviendra parallèle à LT en N' ou N" suivant que la rotation aura lieu de droite à gauche ou de gauche à droite, on aura ensuite IC' ou II’" en menant 4 une tangente au cercle C perpendiculairement à LT; pour avuir la trace verticale , remarquons que l’axe A coupe le plan P en un point qui ne varie pas pendant la rotation , et dont la projection verticale sera sur la nouvelle trace verticale du plan (n° 56, 2*) , si donc nous menons une horizontale K du plan P rencontrant l’axe en m, le point m" sera un point de la trace verticale V’’ ou V’" cherchée , le point p ou p" en lequel la trace horizontale H’’ ou H”' rencontre LT, en est un second , donc la trace V" ou V'", est déterminée.
Si l’on avait voulu rendre le plan perpendiculaire au plan horizontal, il aurait fallu le faire tourner autour d’un axe perpendiculaire au plan vertical.
65. Problème 19. Amener un plan dans une position perpendiculaire à la ligne de terre (jig. 63). Le plan , dans sa nouvelle position , sera perpendiculaire à la fois aux deux plans de projection; or, nous avons vu (n’64) qu’on ne peut pas le rendre perpendiculaire au pian horizontal par un seul mouvement de rotation autour d’un axe vertical, le problème actuel ne pourra donc se résoudre que par deux rotations effectuées, l’une autour d’un axe vertical A pour amener le plan P dans
la position P' perpendiculaire au plan vertical de projection , l'autre autour d'un axe B perpendiculaire au plan vertical de projection pour amener le plan P' dans la |>osilion P" perpendiculaire au plan horizontal ; et comme |>endanl ce second mouvement la position du plan P' à l’égard du plan vertical de projection ne change pas (n* 50, 3*), le plan P" sera perpendiculaire à la fois aux deux plans de projection , et par conséquent à In ligne de terre. On simplifiera la figure en faisant passer les deux axes A et B par un même point m du plan donne P.
60. PROBLÈME '20. Amener un plan dam une position jutrallêle ii la ligne île terre (fig. 04). On pourra résoudre le problème en faisant tourner le plan P autour d’un axe vertical A , jusqu’à ce que sa trace horizontale soit parallèle à LT (n*33, 8*); puis pour avoir la trace verticale, qui doit aussi être parallèle à LT, il est évident qu’on ne peut plus employer une horizontale du plan, car après la rotation cette droite serait parallèle à LT, et par conséquent ne reh contrerait pas le plan vertical. Mais nous pouvons chercher le point m en feqnel Taxe A rencontre le plan P, ce point reste invariable ; et si dans le plan P et par ce point rn on fait passer une droite D , dont nous ne traçons ici que la projection horizontale D*, elle ne cessera pas de passer par le point m, sa trace hori- zontale n viendra en a, et la droite D prendra la position D', dans laquelle elle a pour trace verticale le point />' ; si donc de ce point b' on mène une parallèle à LT, ce sera la trace V* cherchée. Au lieu de la trace a, on peut évidemment employer un autre jioinl quelconque de la droite 0.
67. Pnoui.tME 21. Amener un plan dam mu- position parallèle <i l'un des plans de projection, lin plan parallèle au plan vertical est en même Temps perpendiculaire au plan horizontal , et sa trace horizontale est parallèle à la ligne de terre. Nous devrons donc rendred’abord le plan donné P perpendiculaire au plan horizontal par un mouvement de rotation autour J’un axe perpendiculaire au plan vertical (n’ 64); puis, par un second mouvement autour d’un axe vertical, on le rendra parallèle au plan vertical.
De même , pour amener un plan dans une position parallèle au plan horizontal, ou le rendra d'abord |>erpendiculairc au plan vertical, par un mouvement de rotation autour d'un axe vertical; puis parallèle au plan horizontal par un mouvement de rotation autour d’un axe |>crpcndiculnirc au plan vertical.
08. On pourrait, par des mouvements de rotation tout à fait semblables, amener un plan dans une position telle qu'il eût sa trace horizontale, par exemple, l>arallèle à une droite donnée dans le plan horizontal. On pourrait aussi fixer telle autre condition que l’on voudrait pour limiter le mouvement qui doit être imprimé uu plan.
69. Tous les problèmes de géométrie descriptive peuvent se résoudre à l'aille
Digrtized-
des changements de plans de projection et des mouvements de rotation autour d'un axe perpendiculaire à l'un des plans de projection, ce qui n'est au fond que le môme principe.
En effet, changer de plan vertical de projection, par exemple, revient évidemment à faire tourner l’ancien plan vertical autour d’un axe vertical jusqu’à ce qu’il soit venu prendre la position nouvelle qu’on veut lui donner. Toute la différence entre les deux principes fondamentaux que nous venons d’établir consiste donc en ce que dans le premier, c’est un des plans de projection que l'on luit tourner autour d’un axe perpendiculaire à l'autre jusqu’à ce qu’il soit venu dans une position convenable à l’égard de la figure que I’od veut projeter; dans le second c’est la figure elle-même que l’on fait tourner autour d’un pareil axe jusqu'à ce quelle soit dans une position convenable à l’égard des plans de projection. Il résulte de là que les problèmes pourront presque toujours se résoudre par des changements de plans de projection, ou par des mouvements de rotation , ou enfin par ces deux principes combinés. Cependant, nous verrons qu'il est quelquefois plus simple d’employer l'un plutôt que l’autre , et nous citerons même quelques problèmes pour lesquels on ne peut employer que l’un d’eux.
Déjà, dans ce qui précède, on peut voir qu’un plan est amené dans une position parallèle à la ligne de terre plus simplement par un changement de plan que par un mouvement de rotation , puisque la seconde méthode nécessite l'emploi d’une droite dont on n’a pas besoip lorsque l'on se sert de la première méthode. Mais, par un choix convenable désaxes, l’emploi des mouvements de rotation est préférable à celui des changements de plans pour amener un plan dans une position perpendiculaire à la ligne de terre. Le problème énoncé au n* 68 ne |H>urrail évidemment pas se résoudre par des changements de plan.
70. Dans les applications , on est souvent conduit à faire tourner une figure autour d’un axe , qui n'est plus perpendiculaire à l’un des plans de projection , mais ordinairement parallèle et plus souvent encore situé dans l’un de ces plans, c'est encore pardes mouvements de rotation autour d'axes perpendiculaires à l’un des plans de projection que l’on résout ces problèmes.
71. Problème 22. Faire tourner un point ou une droite d'un angle donné autour d’un axe parallèle à l’un des plans de projection. Soit, par exemple, un axe horizontal A ( fiy . 65) oblique par rapport au plan vertical, et proposons-nous de faire tourner un point m ou une droite D d’un angle donné » autour de cet axe. Le point m et tous les points de la droite D décriront des arcs de cercle situés dans des plans perpendiculaires à l’axe A , et par conséquent verticaux , lesquels se projetteraient verticalement suivant des cercles identiques, si le plan vertical de projection était lui-même perpendiculaire à l’axe A, c’est pourquoi nous chan-
gérons d’abord de plan vertical, et nous en choisirons on perpendiculaire à l'axe» A ..
' Nous serons ainsi ramenés à faire tourner le point m cl la droite D autour d'un . axé perpendiculaire au plan vertical de' projection'. Mous avons appris <n“ 58 êt.‘
50) à trouver les projections du poipl* m et de ta droite [)' sur 1rs plans qui s. coupent suivant la ligne de terre L'T', mais il faut rapporter ce point et celle . . droite aux anciens plans de. projection; il su Hit évidemment pour cela de mener .par»/* une per|icmlieulaire à LT et de prendre om"—o'm r ;. prenant de même' nous aurons la projection verticale d’un second point 6’ de 4a droite D , qui est par 14 entièrement déterminée ainsi queje point m'. -
•72. La première partie du problème consispiiLÀ rendro l’axe A perpendiculaire à l'un des plans do projection; il çst évident qu'on aurait pu y parvenir par un mouvement de rotation autour d'un axe vertical (n‘ 03), mais les constructions que nous avons eu à effectuer sont plus simples, connue il est facile de son oon- . . .
vaincre; elles répondent aussi plus directement à la question proposée. *: «f-' ,
Si l'on voulait faire tourner le point ou la droite autour d'un axe |taraltéle au plan verfical, on remarquerait que les cercles décrits par eliaque point sont perpendiculaires 4 cet axe et par conséquent au plan vertical, de sorte qu'oit est conduit à rendre d'abord col axe vertical en prenant un nouveau plan hori* montai qui lui soit peqiendiculaTre , parce qn'alors tous çcs cercles se projetteront sur CC nouveau plan suivant des e.-nl.-s idenliqpp*; * '
73. Prorlème 23, faire tourner un plan d’un angle donné autour d’un axe parallèle àl’un éet plan * dî projictio/i. Soit un axe A (fig. 66) parallèle au plan vertical, mais oblique par rapport au plan horizontal, et proposons-nous do trouver les traces dn plan P quand il aura tourné d'un angle * autour de l'axe A. Tousfar r (saints du plan P décriront pendant le mouvement de rotation des arcs de cercles situés dan> des plans perpendiculaires.-) l'axe A, et qui se projetteraient suivant des cércles identiques si le (dan horizontal était perpendiculaire à l'aXC A : c'est pourquoi nous changerons' d'abord de plan horizontal |>our le prendre perpendiculaire à A, la ligne de terre l/T' doit alors être perpendiculaire à A', la pro- ; ..
jection horizontale de A 4c ra en un seul point A“ distant de l/T d’une quantité - . égale 4 (a distance de A* 4 LT. Pour avoir H" nous prolongerons V* jusqu'à • ;
I.Ten o, puis nous déterminerons un second pointé' de H" par une verticale. , ,
K du plan P. Cela fait, abaissant du point A*' une perpendiculaire A*;i sur il" et. ' \ ' ' décrivant un arc de cercle dont le centre est K v elle rayon /"p, menahl la droite^ ^
A*y qui fasse avec A*';, /angle donné , ; puis en // construisant une tangente à Tare de cercle décrit t nous aurons la trace horizontale H"' du plan dans sa nou»« . .
velle position ; on en déduit la trace verticale V*' 4 l'aide d une horizontale B du; :
planAP, laquelle fait connaître le point c de V*'; enfin on aura la trace horizon-
talc 11'' du plan P' sur l'ancien plan en prolongeant .V " jusqu'à LT, si cela est possible, et eri déterminant un autre point d'de U"à l'ai Je d'une verticale L'du planï*: • Pour faire tourner le plan autour d’un axe parollèlc au plau horizontal, il faudrait prendre d’abord un nouveau plan vertical perpendiculaire à cet axe. Au lieu île. donner l'angle a, on pourrait se propose! 1 d'amener la droite” ou b' plan dans une position déterminée pur d’autres conditions.
- 74. Problème 24. Faire tourner toi point , on une droite, d'un angle donné autour
d’un axe quolcongne. Soient luxé A (fig. 07 ) don rie par ses projections A‘ct A% Je point m donné aussi par ses projections m* et t«', cl enlkt la droite D donnée de mémo |>ar Ses projections D* - et. D’, il ' faut trouver les projections D'* cl D" de la droite D, et celles m ' et m * du point ni apiés ipi’ils auront tourné d’un angle a autour de Taxe A. Pendant la rotation, le point m et tous les points delà droite f> décriront des arcs «le cercle situés dans des plans perpendiculaires à l’axe A, êtqur se projetteraient suivant des cercles identiques sr l’axe A était perpendiculaire ;i l'un des plans de projection; il fcut donc se ramener à cet état de choses , en choisissant un nouveau plan de projection perpendiculaire à A-, mais ce plan ne serait pcrpeiHlicul»irc a aucun des plans auxquels U ligure est actuellement ^apportée. 1 1 -l pourquoi uous aurons recours a un double changement de plan.
.Vous prendrons d abord un nouveau plau vertical parallèle à l’axe A, et pour plus de simplicité nous choisirons le .plan projetant horizontalement cet axe; la nouvelle ligne de Ic'rreTSçra alors la projection A* elle-même; les projections horizontales A', ih‘, t)‘ ne changeront pas, et les projections verticales sur h; nouveau plau seroul respectivement en A, m", 1>" ( u" 44 et 40) : uous sommes ainsi raineues à faire tourner un point m ou une droite D autour d’un axe A |>ai allèle a l'un des plans de projection (problème résolu ei-dcssiis i. 7 1 j. Il - faut donc mainlenaul changer de plan horizontal, eu prenant L"T" perpendieulaireà A, In projection horizoulale de l'axe scra cn un seul point A*"; les projections verticales m" et D" ne changeront pas, les. projections horizontales •correspondantes seront m k " cl l) v '. Lnlin, pour faire tourner le point ni et la droite L> autour de Taxe A, actuellement perpendiculaire au plan horizontal, 'nous joindrons les |K>ints A*" et m*”, et avec celte droite pour rayon et lé
point A"' pour centré, nous décrirons un cercle coupant J}"' en un second .point <{ J , menant ensuite par le poiut.A*" uné droite faisant un angle a avec la droite A‘''ih*", nous obtiendrons le point m'*"> et portant tf'ij 1 ' 1 — nt'm 1 " nous aurous un secoud point de D’*"; les projections m'" çl g'' se trouvent sur des parallèles à L." ï" menées parai" et <f ' ; uous aurous donc D'". Il faut maintenant ;diangcr de plau horizontal en choisissant LT pour ligue de terré, ayant soin
vie prendre tu 1 ' derrière et </* devant celte ligne comme sonl disposés ni{" et .
~ • ào • • •
par npporL à L'V' (o" 43), on obtient ainsi D'\ puis on en conclut D' 1 (nM5).
'■ 75. I’BObLi.Ht 25. Fairè tourner tnt p Utn d'un antjlc donnt autour d'un axe quel- . i onque. Soient l’axe A (fiq. 08), donnépar ses projections A* cl A’, et le plan T donné par ses traces IP et .Y’, il s'agit' de faire tourner le plan P d'un angle a autour du l’axe À. Pendant la rolntiun tous les points du plan P décriront des arcs de cercles situés dans des* plans |>erpendicul:iires ù l'axe A , cl qui nu seront l>ar conséquent ni parallèles ni perpendiculaires à l’un des plans de projections c'est pourquoi, comme dans I» problème précèdent, nous changerons d'abord de plan vertical, prenant le nouveau plan parallèle ii l’axe A on plus simplement passant par l'axç A lui-même ; la lignede terre L'T' sera confouduciivcc A*, dès lors • ' jM>ur avoir la position de l’axe A sur ce plan, nous chercherons les positions de deux de ses points a et m , cl nous aurons A; lu trace II’ du plan ne cliango pas, lions déterminerons la trace verticale Y"' par une horizontale B. Changeons maintenant de plan horizontal, orv lo choisissant perpendiculaire à l’axe A , la ligne de terre l.'T" sera perpendiculaire à A ; la projection horizontale de l'axe A sera en un seul point A‘"; la trace verlicale.Y'' ne changera pas, et- l’on obtiendra la trace horizontale II"’ à l'aide d'une verticale K du plan f». Il faut enfin faire tourner le plan . P donné par ses traces- H"’ et VTautour .de l’axe A actuellement perpendiculaire, au plan horizontal de projection. Pour cela, nous abaissons A*"/i |>erpemliculaire sur H"', nous construisons l’angle a , puis décrivant un arc de cercle du centre A* ', nous obtiendrons lè point p\ menaut 11 "'' tangente en ce point au cérclç C, ce sera la trace horizontale 'du plan l> dans sa nouvelle ]>o$ilion ; la trace verticale V"’ i encontre l'axe A en un point n qui est invariable pendant le mouvement de i citation, et qui devra par conséquent appartenir encore à ht trace verticale V"\ ■ Si maintenant nous changeons de plan horizontal, en prenant L’T’ pour ligue de ' terre, nous déterminerons la trace horizontale H” A l’aide d'une verticale R’ ; enfin, changeant encore de plan vertical, en- prenant LT pour ligne de terre, nous trouvons la trace verticale V" à l’aide d'une horizontale S".
"ü. Lorsqu'une figure plane est donnée dans l'espace, il est souvent utile d eu avoir la véritable forint!; pour cela il faut ramener le plan qui la contient dans une position parallèle à l'un dos plans de projection ( n* 56, 1')-, c’est à quoi ton parvient par deux méthodes distinctes : V* ■ >
t 'Ln prenant un nouveau plan de projection parallèle au plan de la figure, ou plus simplement encore en considérant ce plan lui-même comme un nouveau plan de projection , mais lorsque ce plan n’est pas déjà perpendiculaire à l'un des plans primitifs, il faut commencer par l'amener dans celte position particulière; Mit « - vr
2* Én faisant tourner le plan de la figure autour d’un axe, et l'on choisit
ordinairement l'une* "de Ses traces, celle 0 |>ération porte alors lé nom île rabattement;, mais comme ce mouvement a lieu autour d'un axe parallèle à l'un des plans dé projection , il nécessite encore deux opérations (u‘ 73). Donc , en général , pour trouver la véritable forme d’une figure située dans un plan quelconque, il faut effectuer deux opérations , qui ont pour but: la première dé rendre le plan déjà ligure, jierpcndiculairç à l'un des plans dp projection; la seconde^ie l’amener à se confondre avec l'autre plan de projection , ou tout au. moins à lui être parallèle. Chacune de ces opérations peut s' effectuer soif par un changement de p|an de projection , soit par un mouvement de rotation, ce qui donne lieu à quatre mé- • thodes pour résoudre le problème actuel r ' *, •
I* Par. des changements o'è, plans de projection; * ,
T Par un changcmcul do plan de protection et un mouvement de rotation -,
3” Par -un mouvement dé rotation et un changement de plan de projection; .
1* Par deux mouvements de rotation. • ’ •** ?•/
Ces questions. sont suffisamment Résolues |>ar ce qui précède nous alloti*.
‘ d'ailleurs en démontrer directement l'application on résolvant les quatre pro- * blêmes suivants, qui nous' conduiront, aussi à la question réciproque : qui s'énonce ainsi qu’il suit : étant dotltfée lu-pmitim d'un point sur un plan rabattu ou . rsmsidéré comme plan de projection, trouver sei projections sur deux plans donnés et . rectangulaires entre eux. • <
7t. Phom.f.we .2(>. Sur une droite donnée dans un pltm, construire un lr'unujlc l'guUatiTnl (fig. 69). Soit P le plan sur lequel doit être exécutée la construction ilemandée, la droite ab ne peut être donnée que par sa projection horizontale <iV, et la condition qu elle soit dans le plan P fera trouver sa projection verti- " cale *Tf>’ ( n* 28); ou mieux la droite étant terminée aux points a et. b, nous chercherons les projections verticales de «es points (*n" 29 ),en employant pour, cela des horizontales du plan P. Cola posé , nous ne pourrons effectuer les construe- . lions demandées qu’nprès avoir ramené le plan P à se confondre avec l'un des plans de projection; nous emploierons à cet effet la première méthode (n“ 76),
- c est-ù-dire deux changements de plans de projection. Supjtosohs qu'on veuille prendre le plan P pour plan horizontal de projection, il faut d'abord choisir un nouveau plan vertical perpendiculaire à ce plan V, la ligne de terre L'T' dévra donc ()tre perpendiculaire à Il' ( n” 33, V), cl pour obtenir V nous nous scr-/ virons des horizontales déjà construites pour trouver les points a ' et b’. Prenant mainteniqit le plan P |x>ur plan horizontal de projection , son irflerseclion avec le ’ plan vertical, ou \ deviendra i:! nouvelle ligne de terre L'T", et fe» nouvelles '.projeetidiis horizontalès des |K>ints a et* 6-, ne seront autres que ces pqjnls euxtnémes, nous les trouverons par les moyens connus fn’ Jsü > ‘.'Vf
Digitîzed by Googlej
Ayant ainsi obtenu la droite o/^ nous construirons le triangle équilatéral demandé; pour passer ensuite aux projections dece triangle sur les plans primitif», nous remarquerons que l’on connaît déjà les projections (les deux sommets a et 0; il ne reste plus à Irotrvcr que celles du sommet c\ on y parviendra par des changements de plan^ inverses des précédents, c'est-à-dire que l'on passera (Hi système L"T’’ au système L 1 T* par un changement de, plan horizontal, puis de celui-ci aq système primitif LT pur un changement de plan vertical/
Si nous avions voulu considérer le plan P comme' un plan vertical ,11 eûtété convenable de dèlenniniT les points «"cl b' par des verticales du plan P, lesquelles, 'auraient ensuite servi ’à>iroitvéir -Hï-sur le nouveau (vlan horizontal de projeté lion perpendiculaire au plan P par lequel il aurait fallu (tasser, avant de pouvoir considérer ce plan P comme ùrt plan vertical de projection." ' ■ ,.
18. Phobi.êsk 27. Sur une bâte donnée de Ûrdgimm ab comme homobtgne du, vite , construire un irianijle abc équivalent à un tTÎamjlc donné xfiy, et dont le xommet e soit situé sur une droite donnée de position (fit/. 70). Soit P le plan dans lequel doivent être effectuées toute» les constructions. -Les droites aéeuO sitqées sur le plan P ne peuvent ètrè' données que par utto seule projection,/ nous èrt conclurons la seconde (u* ‘28); puis comme nous%e pourrons exécuter les-constructions du problème qqaprcs avoir ramené le plan P à se confondre avec l'un des plans de projection, nop# supjmserons qu'on veuille le rabattre sj)r le. plan- horizontal , et nous emploierons à cet effet |a seconde méthode ( h" 7tM, c'est-à-dire un cbàti ,. gemenl de plan de projoction et un mouvement de # rotation . - .
Pour rabattre te plan P Aur^le plan horizontal’, il faut le Carre tourner autour de jr connue axe, cl cet axe. étain horizontal, nous devrons d'abord -le rendre perpendiculaire au plan vertical (n’ 73); nous changerons donc de plap vertical de projection, en prenant LT perpendiculaire à H', et nou» chercherons V qui doit contenir à la fois a"; b'\ D f ' (n” /><$, 2"). Rabattant ensuite le |dan P sur le plan horizontal, nous remarquerons que le pointa, par exemple,- décrira un arc de cercle C parallèle au plan vertical LT, et comme il doit arriver sur’lc plan horizontal , sa projection verticale sera alors sur la. ligne de terre en a v , et par conséquent le point fui-méme se trouvera en a'; on aura de mémo l'autre poiulA', et la droite D'. Vous construirons le Iriapgle demandé a’b'c sur le plan P aitiw 4-ahaUU. Pour revenir ensuite aux projections de ce triangle sur les plàns primitifs /remarquons que l'oit cotinalt déjà lés. deux sommets a et A; le troisième étant situé sur la droite L> , nous n'aurons qu'à abaisser du point e. une. perpendiculaire à 11", elle cou|>erà l)*au point e*, d'où I on conclura V, et joignant les projections de ce point c à celles de» -points a, h, on aura les projections' du
triangle cherché abc. Si l'oit avait voulu rabattre le plan P sur le plan vertical,
il aurait fallu d'abord changer de plan horizontal , en prenant la nouvelle ligfic . de terre perpendiculaire à V, puis faire tourner Je plan P autour do celle trace verticale. Les constructions seraient d'ailleurs tout à fait semblables à q-llesquc nous venons d'effectuer. ' - • . /
'70. Problème 28. Inscrire dans une circonférence doit née un ÿenfngone régulier,: 'iIohI un sommet cdùpcide atur un point déterminé (fig. H );Uoc circonférence de cercle est déterminée par son centre et un point de la circonférence , quand on connaît d'ailleurs le plan dans lequel elle est située. Soit donc P ce plan, donnons |es projections horizontales o*et a* d.u centré oet du point a, nous en conclurons les projections verticales o l et a’ (n* 29), en employant à -cét effet des verticales O ' et A du plan P. .Nous ne pourrons ensuite effectuer les constructions demandées qu'apréaqnc le plah P sera venu se confondre avec l'un des plans de projection. Pour l'auteper dans celle position, nous adopterons la troisième méthode (n" 7«), c'est-à-dire une mouventent de rotation et un' changement de plan de projection.
Si n ui venions prendre le plan P-pour un nouveau plan vertical de projection , il îau't d'abord lu rendre perpendiculaire au plan horizontal en le faisant tourner autour d'un arc perpendiculaire au plan vertical (n* 64 f, jusqu’à ce que V soit voue lions la position V pcrpeudii -nî.iir ■<- a l,T. I.'axe étant arbitraire, noos le faisons passer, pour plus de simplicité, par le point d'intersection des deux traces. Ce choix doit nécessairement dépendre de la disposition particulière de * là/ûgltre. Pour avoir les projections des poinis.'o ei a après la rotation , nous pourrions' nous servir des verticales déjà construites; mais on peut aussi rem- -, placer ces droites par des lignes de plus grande pente du plan P. Concevons, par exeirtplç^dans le plan P et par le point o une ligne de plus grande pente K par rapport au plan vertical, sa projection verticale sera une perpendiculaire abaissée de o r sur V’ (n‘ 37), et coupant V au point p qui est la trace verticale de cette ligne de plus grande pente K; ce point p vient en p'\ ta droite K' demeure perpendiculàire à V cl conserve la même longueur (n* 50, 3‘); donc menant p'o"— po’ cl perpendiculairement à V'', le point o' sera la projection vérticale du pointe duos sa nouvelle .position, sa projection horizontale restera à la même distance de LT, elle est donc en o'* sur In projection horizontale de la verticale O du plan P, qui nous a déjà servira trouver lë pointo*. On pourra trouver les projcclions-«''el n'* de la même manière, ou bien on remarquera que les trois points V, o'* et a* doivent se trouver sur H’ déjà détermiuée par Vêla", d’oil l'on déduira o'*, puis o'* doit se trouver sur un arc de cercle décrit du. centre 81" avec NV pour rayon.
Prcuanl maintenant le plan P' pour plan vertical /le projection, sa trace, horizontale H'" deviendra la nouvelle ligne de terre L'T'j nous trouverons les projections verticales des |ioints a' et o' (n* 44) , qui ne seront antres que ces points eux- •
mêmes; effectuant ensuite la construction connue qtn consiste à diviser Je rayon o en moyenne et 'extrême raison au point T, aï sera le côte du décagone ; le |iortaut detfx fois Je a en A', a b' sera le côté du pentagone demandé. Avant ainsi construit le-peulagone nb't'tfè', nous reviendrons à ses projections -sur les plans primitifs par des 0 |>éraiions inverses des précédentes : ainsi nous plisserons du système dos plans L'T' au système- LT par un changement de plan vertical , puis nous ferons tourner le plan P' autour de l'axe A en sens contraire de celui marqué jiar la (lèche c( d’un angle égal y dont il avait tourné dans -|n première' i. Itération. .
Ainsi, par exemple , je point b' se projette horizontalement en A'* sur L'T'; on a donc sa projection verticale A’' en prenant ,ô‘A'"=:A'*A' sur une perpendiculaire» Lf abaissée du point A'*. Si I on* ramène ensuite le plan P* dans sa position primitive •P, le ptfirilft'-se mouvra parallèlement nu plan vertical de projection , et viendra . se placer«sbf une verticale R. du plan P„donl la projection horizontale B" doit passer par le point b\ on connaît dune aussi B*; cela posé , la projection verticale A' doit se trouver A’ia fois sur B’ et .sur un are de cercle décrit du centre N et du rayon tCb'*, elle est donc connue et fait connaître le point ANjuidoit être situé sur B\ On trouvera de même U.*s projections des autres sommets du pentagone , et en les unissant par des droites on aura les project ion* ‘du pentagone jtii-métne.
si l'un avait vdiilu prendre le plan de In ligure pour plan horizontal, jl attrait laMu d aborvHe ramener dans une. |*osition P' perjiendicuiaire un plart vertical pat’ un mouvement de rotation autour d’un axe vertical ; et.l on aurait pris ensuite ce plan P’ pour plan horizontal de projection' Sa traoe verticale V'' devenant la uouvelle ligne «Je terré. * ^ -
80.; PnoBLr.ME 2‘J. Trouver 4e centre ci le rayon du certle circonscrit ù un truinrjie donné 82.). Nous construirons d'abord les traces du plan P sur lcquePesi situé le triangle donné abc (n'32), puis flous rabattrons le plan J* sur le plan luirizental pour pouvoir cffecfuer los constructions nécessaires à' hr résolulion-du problème, en employant, par exemple , la quatrième méthode (n‘ *?fl) ,, c'est-àdire deux mouvements de rotation. Nous rendrons d'abord le plan Pjtcrpcntjiculaire au plan veflical par uo premier mouvement de rotation autour d’un axe vertical A , la trace IP décrit un angle. o* feé points a, A', c doivent doue décrite lâi'mémc angle ç , c^esl pourquoi Jif point «comme centre et avec les rayons au*, xb k , at<? nous décrirons des ajcs de cercles sur lesquels nous porterons à partir des points a*,' ii*, r* dos longueurs égdles à-celles interceptées dans l'angle q , et nous aurons aiusi les projeclionsvi’*, A', c*\ les projections verticales pônscrvonl l$s mêmes hauteurs au dessus de LT et se trouvent toutes sur V’’, .ce qui sert à vérifier l’exactitude des constructions. Faisant ensuite tourner le plan P' autour
/ — Aér-
•T? H> P 001- * é ra * iaUre *«r te plan horizontal, les projections verticales viendront
se placer sur l.T en a’’, b'”, et les |»inls b", <T sur des parallèles à LT
mr*
te
menées respectivement pat- les jvoinls a \ b! k , c“. Cela fait, nous construirons le centrer) et le rayon »'n" du cercle circonscrit A au triangle r iTc"; ensuite, pour' avoir leurs projections, nous effectuerons des rotations égales aux précédentes , mais en sens inverse ; le point o" viendra d’abord en o par sa rotation autour r|e II'', puis en o par sa rotation autour de l’axe A , et nous aurons les pro-- ' jections <t<?. et oV du raypn du cercle Ai. * . ’ V . %
-' Si l’on avait voulu rabattre te plan P sur le plan vertical, en le faisant tourner autour de sa trace verticale, ‘il aurait d'abord fallu rendre celle trace perpendiculaire au plan horizontal par un premier mouvement de rotation autour d'un aie perpendiculaire au plan vertical, f •
Droite » et pion* prrpcndindaircs pitre eux,
SI Les projections d’uru lin. ilc perpendiculaire .1 un plan xml respectivement perpendiculaires aux tracts de ce, plan. En.clfet, en prénanljpour nouveau plan vertical de projection' le plan projetant, horizontalement la droite, la ligne de
terre coïncidera avec D* et la trace ll'devra lui être perpendiculaire (n* $3, 4*.j* e que D* et V doivent être perpendiculaires entre clics. On neut
« ou verra de mémo qpe |)’ et V doivent être perpendiculaires entre clics. On |ieut aussi démontrer facilement ce théorème au moyen d'un mouvement de rotation,* <ar si l’on fait tourner le système autour d’un axe vertical,, jusqu'à ce que le' plan l‘ soit de venu perpendiculaire au plan vertical , alors la droite D sera parallèle à qe même plan , donc D* sera parallèle et U' perpendiculaire à LT, donc enfiu L)' et IT seront perpendiculaire* entre elles. En- faisant tourner 1e système autour d'un
axe perpendiculaire au plan vcrlical, jusqu'à ce que le plan P soit devenu perpendiculaire au plan horizontal, ou démontrera que D' et V’ sont perpendiculaires entre elles. Au reste celte démonstration revient à la précédente (n“t>8). Il sera facile d'en exécuter l’épure ainsi que celle de la première.
82. Problème 1 . Par un point donné p, mener une ligne perpendiculaire à un plan donné. Par les projections du point donné p, il suflira d'abaisser des perpendiculaires sur les traces du plan donné. Mais si le plan n'est pas donné par ses traces, ou que celles-ci se trouvent situées au jlelà des limites du dessin, on devra opérer comme il suit. Soit le plan (A B), déterminé par deux points A cl B se coupant en un point (fig. 73) ; je mène dans ce plan une horizontale quelconque G, sa projection verticale) G" est parallèle à LT et coupe A’ et B'' aux points a* et b', projections verticales des points a et b, dont on déduit immédiatement les projections horizontales a* et 6*,et, par suite, G*; cl comme G* est parallèle ù la trace horizontale du plan, abaissant de p* une perpendiculaire sur G*, ce sera la projection N* de la normale demandée. Menant de même une verticale K du plan (A B) on en conclura N r . Lutin si aucune horizontale, ni aucune verticale du plan, n’a ses deux projections dans les limites du dessin, il faut changer de plans de projection, et l'on pourra, par exemple, prendre d’abord pour nouveau plan horizontal le plan projetant verticalement l'une des droites A, puis choisir un nouveau plan vertical passant par la droite B, de sorte que les droites A et B sont alors les traces du plan donné sur les nouveaux plans de projection ; ou leur abaissera donc des perpendiculaires par les nouvelles projections du point donné, et l'on repassera des projections de cette normale sur les nouveaux plans à ses projections sur les plans primitifs.
83. Problème 2. Par un point donné m mener un plan perpendiculaire à une droite dunnéeb(fig. 74). Par le point m passe une horizontale k du plan cherché P, sa projection horizontale doit être parallèle à la trace horizontale du plan, et par conséquent perpendiculaire à I)*. La trace verticale a de cette horizontale K sera un point de la trace verticale V’ du plan P, laquelle doit être perpendiculaire à D', et si, par le point p, où V' rencontre LT, on abaisse une perpendiculaire sur D\ on aura U’. Si V’ ne rencontre pas LT dans les limites du dessin, on déterminera directement un point de H’ en faisant passer par le point m une verticale G du plan P. Il peut arriver que les traces de ces deux droites k et G soient hors des limites du dessin; dans ce cas on peut d’abord remarquer qu’elles déterminent sutlisammenl le plan cherché, sans qu'il soit nécessaire de construire ses traces; mais toutefois on peut avoir les parties de ces traces existant dans les limites du dessin; car on pourra, à l’aide de l'horizontale k et de la verticale G passant par le point m, déterminer une infinité d'autres droites situées dans le plan cher-
ché, en unissant deux points quelconques pris sur chacune de ces deux droites, l'un d'eux pouvant être à une distance infinie.
84. Problème 3. Par une droite donnée, mener un plan perpendiculaire à un plan donné. Soient D la droite donnée et P le plan donné, si par un point quelconque de D, on abaisse une perpendiculaire N sur le plan P, elle ne sortira pas du plan cherché, donc ce plan sera déterminé par les deux droites D et N (n* 31).
Si la droite D était ellc-niémc perpendiculaire auplan P, on n’aurait plus qu’une seule droite, et l’on sait en effet qu« tout plan, mené par une droite perpendiculaire à un plan, est perpendiculaire à ce plan. Il en serait de même si, au lieu de donner une droite D, on donnait un point.
85. Problème 4. Par un point donné mener une droite perpendiculaire à mie droite donnée. Si le point donné est hors de la droite, on sait que par un tel point on ne peut abaisser qu'une seule perpendiculaire sur la droite, et le problème peut se résoudre de plusieurs manières.
1* La droite donnée D (fig. 75) et le point donné m déterminent un plan (D, m) (n* 27), que l’on peut prendre pour l'un des plans de projection , ou que l’on peut rabattre sur un des plans de projection dont LT est la ligne de terre, en employant l’une des quatre méthodes (n“ 70); nous choisirons la seconde en supposant que l’on rabatte le plan (D, m) sur le plan horizontal; pour cela il faut prendre d’abord un nouveau plan vertical perpendiculaire au plan (D, rn) de sorte que L'T' doit être perpendiculaire à la trace horizontale de ce plan; il n’est pourtant pas nécessaire de construire cette trace, il suffit de mener par le point m une horizontale K du plan(D, m), telle que K’ passe par m' et soit parallèle â LT ; la droite K r rencontre D’ en un point b" d’où l’on déduit qui doit se trouver sur D*, puis joignant b k avec m* on aura la projection K*, à laquelle L'T' doit être perpendiculaire ; pour plus de simplicité nous choisirons le nouveau plan vertical passant par le point m; comme ce point met la droite D sont sur un plan perpendiculaire au nouveau plan vertical de projection , leurs projections verticales m et D'' se trouvent sur une même droite qui est en même temps la trace verticale V"du plan P ou(D, m). Quanta H', elle doit être perpendiculaire ù L'T', et peut toujours se trouver dans les limites du dessin en plaçant convenablement la nouvelle ligne de terre. Si l’on fait ensuite tourner le plan P autour de II’, la droite D et le point m se rabattront sur le plan horizontal des projections en D' et m'; nous abaisserons de m sur D' la perpendiculaire IV, coupant D' au point p'. En ramenant ce point p sur la position primitive de la droite D, nous en obtiendrons les projections p* et p\ Joignant les projections des points m et p par des droites, ce seront les projections de la perpendiculaire demandée. On aurait pu prendre V''pour nouvelle ligne de terre, et employer la première méthode (n* 76); on pouvait aussi
opérer par l’une des deux dernières méthodes. Remarquons que la méthode que je viens de suivre est plus simple que celle que l'on trouve ordinairement dans les traités de géométrie descriptive, car dans celte dernière on est oblige de mener une droite par le point m, qui coupe D ou qui lui soit parallèle, et de plus on doit chercher, les deux traces du plan déterminé par ces deux droites avant d’effectuer le rabattement.
2* La droite cherchée N coupe D en un point p par lequel on pourrait mener une seconde droite N' perpendiculaire & D, alors le plan (N, N') sera lui-même perpendiculaire à D, et la coupera en p. On est donc conduit à mener par le point m un plan perpendiculaire à D (n" 83), à chercher l’intersection p de ce plan et de la droite D, puis joignait ce point d’intersection p avec le point donné m, ce sera la droite demandée. Mais cette méthode, que l’on trouve souvent exposée seule dans les traités, exige la résolution d’un problème appartenant à une série de questions qui seront résolues plus loin, tandis que le problème qui nous occupe trouve naturellement sa place au point où nous en sommes arrivés; la première solution est donc celle qui lui convient réellement, elle a, en outre, l’avantage de fournir une nouvelle application de nos principes fondamentaux, eide donner ainsi une nouvelle preuve de leur généralité.
86. PnoBi.KME 5. Étant donnée la prvjecûon horizontale d'une droite perpendiculaire à une droite donnée et en un point donné, trouver sa projection verticale (Jig. 76 ).
Dans ce problème , le point donné étant sur la droite donnée , on pourra par ce point mener une infinité de per|>endicu!aires à la droite, mais parmi toutes ces perpendiculaires , on peut se proposer de construire celle qui a déjà une projection horizontale donnée. Soient donc D la droite donnée et N* la projection horizontale de la perpendiculaire N à la droite D menée par le point m, de cette droite D; la droite N est dans un plan P mené perpendiculairement à la droite D au point m; ayant donc construit les traces de ce plan (n* 83), nous serons conduits à chercher la projection verticale d’une droite située sur un plan et dont on connaît la projection horizontale (n”28).
Intersection des droites et des plans.
87. Une surface est en général engendrée par une ligne qui sc meut dans l’espace suivant une loi donnée. Une surface a généralement deux faces, une face extérieure et une face intérieure; on les considère indistinctement en géométrie descriptive; dans les arts il faut les distinguer et les considérer séparément.
88. Deux surfaces S et S' se coupent suivant une ligne qu’on ne peut pas toujours obtenir par la seule considération de la génération particulière de ces deux
surfaces; on est «lés lors obligé , dans presque tous les cas, de la déterminer par points. Pour cela on prend une série de surfaces auxiliaires; chacune d’elles coupe la surface S suivant une ligne C, et la surface S' suivant une ligne C'; ces deux lignes situées sur la même surface auxiliaire 2 se couperont en un point m appartenant à l'intersection cherchée des surfaces S et S'. 11 faut, dans chaque cas, choisir la surface auxiliaire 2, quant à sa nature et à sa position par rapport aux plans de projection et aux deux surfaces données S et S', de manière que les projections de ses intersections avec les surfaces données S et S' s’obtiennent plus facilement que celles de l’intersection de oes surfaces S et S' elles-mêmes. Lorsque les surfaces S et S' sont des plans, il est évident que les surfaces auxiliaires 2 doivent aussi être des plans. • .
On doit choisir ces plans auxiliaires :
i* De manière que leurs traces coupent , dans les limites du dessin, les traces «les plans donnés.
2* De manière que les intersections du plan auxiliaire avec les plans donnés se coupent elles-mêmes dans les limites du dessin.
82. Problème G. Trouver l’intersection I de deux plans dont les traces se coupent dans les limites du dessin. Il est évident que les points a et b intersection des traces des plans donnés (fig. 77 ) appartiennent à celle intersection I et en sont les traces (n" 28). Il sera donc facile, dans ce cas, de trouver les projections de la droite d’intersection I des deux plans donnés (n* 14).
90. Problème 7. Trouver C intersection 1 de deux plans P et Q, dont les traces horizontales sont parallèles. Le point b où se coupent les traces verticales des plans P et Q (fig. 78) est évidemment la trace verticale de cette intersection 1, 1* passe donc paré* et doit rencontrer H' et H* à leur point d’intersection a qui est situé i l’infini, puisque ces traces H' et IP sont parallèles, donc elle leur est parallèle; P doit passer par le point b et couper LT à l'infini , où se trouve le point a ", donc elle lui est parallèle. D'ailleurs I* étant parallèle à II’, la droite! est une horizonlale du plan P sur lequel elle est située, donc 1’ doit être parallèle à LT: Enfin on voit ù priori que l'intersection I doit être horizontale, sans quoi elle percerait le plan horizontal en uu point a commun ù H’ et à H", et ces traces ne seraient plus «lès lors parallèles entre clics. De même l’intersection de deux plans, dont les tiaœs verticales sont parallèles, est parallèle au plan vertical.
91. PnoBLÈMK 8. Trouver l'intersection 1 de deux plans dont les traces se confondent en une seule droite. Les deux traces a et b (fig . 79) de cette intersection étant confondues en un seul point, il en résulte évidemment que l’intersection I est située dans un plan perpendiculaire à LT ; ses projections sont donc toutes deux perpendiculaires à LT, et l’on en connaît en même temps deux points, qui sont
les pointe a el b. Remarquons que celle droite I fait des angles égaux avec les plans de projection , car elle forme avec ses deux projections un triangle isoscèle.
92. Problème 9. Trouver ( intersection I de deux plans P et Q, donl les traces horizontales ne se coupent qu’au delà des limites du dessin. Deux plans parallèles sont coupés par un troisième plan suivant des droites parallèles, si donc on construit un plan X (Jig. 80) parallèle au plan Q, son intersection R avec le plan P sera parallèle à l'intersection I des deux plans P et Q; or on connaît un point b de cette intersection I, il faut donc mener par è* une parallèle à k\ et par le point b une parallèle à K’ (n* 24), cl l'on aura les projections I* et I" de l'intersection 1 demandée.
93. Problème 40. Trouver l’intersection I de deux plans P el Q, donl les quatre traces se croisent au même point a de la ligne de terre. Le plan auxiliaire X (Jig. 81 ) doit être choisi de manière que les intersections de 11* et V’ avec U' ol 11" et avec V' et V"se fassent à peu près à angle droit ou tout au moins sous un angle égal à 45*. Ce plan X coupe les plans P et Q, suivant deux droites A et B qui se rencontrent en un point m appartenant à l'intersection 1 cherchée; il est d'ailleurs évident que cette intersection I passe par le point n, donc elle est entièrement déterminée par ces deux points.
94. A l’occasion de ce problème, nous dirons que sous le point de vue géométrique, quelle que soit la position du plan auxiliaire, il en donnera toujours la solution, mais il n'en est pas de même sous le point de vue graphiquo. Les lignes de la ligure ne sont pas des lignes mathématiques, il faut donc les diriger de manière que leur intersection ne laisse pas d incertitude , condition d'autant mieux remplie que les droites qui se coupent font entre elles un angle plus près de l'angle droit. (Dans les constructions graphiques, un point est déterminé d’une manière sullisamment rigoureuse lorsque les deux droites, qui en se coupant donnent ce point, font entre elles un angle au moins égal à un demi-droit.)
95. Problème 1 1 . Trouver l'intersection 1 de deux plans P et Q, parallèles à la ligne de terre. Nous prendrons le plan auxiliaire perpendiculaire à LT (Jig. 82), ce sera par conséquent un nouveau plan vertical de projection sur lequel nous trouverons les traces N ''et V cl comme les deux plans Pet Q sont perpendiculaires à ce nouveau plan vertical, leur intersection lui est elle-même perpendiculaire ; elle siprojette donc tout entière en un point I", ot sa projection horizontale I* sera perpendiculaire à L'T' ou parallèle à LT; d’ailleurs la droite I est parallèle à LT et située au-dessus du plan horizontal à une hauteur prenant donc oc'=c* P', nous aurons un point de la seconde projection I", laquelle doit aussi être parallèle à L1 . On aurait pu de même considérer le plan auxiliaire comme un nouveau plan horizontal de projection , et chercher alors H" et H'*.
96. Problème 12. Trouver l'intersection i de deux plans P et Q, duiU aucunes traces ne se coupent dans les limites du dessin. Nous allons donner de ce problème plusieurs solutions.
1* On peut le résoudre comme il suit : menons un plan Q' (fig. 83 ) parallèle au plan Q, et construisons son intersection l' avec le plan P; concevons les traces V’et V* prolongées jusqu'à ce qu’elles se coupent en b, et imaginons la verticale bb *, les triangles plu/ cl pb'q', pbb 1 ' et pb'b’ k , pba " et pb'a'" sont semblables et donnent pb' : pb :: pq' : pq cl pb' : pb :: pb' k : pb k et pb' : pb :: pa 1 ’ : pa’ ; et éliminant pb entre ces proportions, il vient pq' : pq :: pb‘ k : pb* et pq' ■ pq pu’ : pa’ ; donc on trouvera, |>ar ces quatrièmes proportionnelles, un point 6* de I* et un point a ’ de 1* ; d’ailleurs cette intersection 1 est parallèle à T, donc elle est connue. On peut aussi suppléer à la construction des quatrièmes proportionnelles par l’emploi de nouveaux plans auxiliaires, comme dans les méthodes suivantes.
2° Menons un plan auxiliaire quelconque X {fig. 84 ), il coupera le plan P suivant fine droite A, et le plan Q suivant une droite B, ces deux droites A et B étant dans le plan X se coupent en un point m, qui appartient à l’intersection I des deux plans P et Q; à l’aide d’un second plan auxiliaire Y, coupant le plan P suivant une droite C, et le plan Q suivant une droite D, on trouvera un second point » «le celte intersection I , qui par là sera complètement déterminée. Mais il est facile de reconnaître que l’emploi de plans auxiliaires quelconques ne donnera l>as toujours des points de l’intersection I des plans P et Q.
3° Si l’on prend un plan auxiliaire X {fig. 85) parallèle au plan horizontal, il coupera les plans P et Q suivant des horizontales A cl B de ces plans; ces deux horizontales s» rencontreront en un point tn qui appartient à l’intersection 1 cherchée. Si l’on prend ensuite un second plan auxiliaire Y parallèle au plan vertical de projection il coupera les plans P et Q suivant des verticales D et E de ces plans ; ces droites se rencontreront aussi en un point n de l’intersection I demandée; joignant les points m et n, on aura l’intersection 1 des plans P et Q.
Remarquons qu’en prenant les plans X et Y le plus loin possible de la ligne de terre, les intersections auxiliaires se couperont en des points qui se rapprocheront de la ligne de terre; si donc il arrivait que les points met n de notre ügure actuelle sortissent encore des limites du dessin , il faudrait avoir recours à un autre procédé que nous expliquerons prochainement (n*97).
4* On peut encore choisir le plan auxiliaire parallèle à la ligne de terre, tel que X (fig. 86); il coupe les plans P et Q, suivant deux droites A et A’ dont les projections horizontales se croisent au point vî appartenant à P; il est évident que les projections verticales ne se rencontreraient qu’au delà des limites du dessin, c’est pourquoi je ne les construis pas; un autre plan X' donnera deux
nouvelles intersections B el B' fournissant un second point 6* de 1‘, qui est ainsi déterminé. En choisissant maintenant deux nouveaux plans Y et Y' dont les traces horizontales soient Irès-éloignées de LT, ils couperont respectivement les plans P et Q suivant des droites D et D', E et E' dont les projections verticales se rencontrent dans les limites du dessin, et fournissent deux points, cT el e* de P, qui est ainsi déterminée; on a donc trouvé l'intersection I des plans P et Q.
97. Problème 13. Trouver T intersection de deux plant dont les traces font, avec la ligne de terre , des angles presque droits (Jig. 87 ). Soient les deux plans P et 0 , il est facile de reconnaître que dans ce cas les plans auxiliaires précédents ne conduiraient plus à la solution du problème, car un plan parallèle au plan vertical couperait les plans P et Q, suivant des verticales qui ne se rencontreraient pas dans les limites du dessin , ce qui lient à ce que les plans P et U ne se coupent qu'à une très-grande distance. Mais la partie de cette intersection qui avoisine sa trace horizontale se projette verticalement aux environs de la ligne de terre ; si donc on choisit un plan auxiliaire passant |>ar LT et très-peu incliné sur le plan horizontal , il coupera les plans P el Q suivant des droites, dont les projections verticales s’éloigneront irés-lenlcmenl de la ligne de terre, et par conséquent se couperont dans les limites du dessin, ce qui fournira un point de la projection verticale de l'intersection demandée; en répétant une seconde fois cette construction, on obtiendra un second |>oinl de l'intersection, el la projection verticale sera déterminée. On aura de même la projection horizontale en conduisant par la ligne de terre deux plans faisant on très-petit angle avec le plan vertical. Exécutons ces constructions.
Considérons d'abord un plan X déterminé par LT et par un point x situé trèspres du plan horizontal, et aussi loin du plan vertical que les dimensions du dessin peuvent le permettre; il coupe les plans P et Q suivant des droites passant évidemment par les points pet q, en lesquels les plans P et Q coupent LT ; pour avoir un second point de chacune d'elles, nous prendrons un autre plan auxiliaire R , parallèle au plan vertical et passant par le point a:; il coupe évidemment le plan X, suivant une droite A parallèle à la ligne de terre, et les plans P el Q suivant des verticales B et G de ces plans. A' et B 1 ' se croisent en un point a’ qui appartient à la projection verticale D' de l'intersection D des deux plans P et X, car le |>oint a se trouve à la fois sur les deux droites A et B, situées respectivement sur ces pians P et X; par une raison semblable les droites A" et C' se croisent en un point b’, qui appartient à la projection verticale E* de l'intersection E des deux plans 0 et X. Les droites D el E étant dans le même plan X, se rencontrent en un point m dont on connaît la projection verticale m*, et qui appartient à l’intersection I des plans Pet Q, puisque les droites D et E appartiennent respeetivc-
menl à chacun de ces deux plans P ei Q. Il est évident que cette construction ne peut donner aucun point de l‘, c'est pourquoi je n’ai pas écrit sur la ligure le» projections horizontales D* et E* des intersections I) et E des plans P cl Q avec le plan X. Nous aurons un second point de I* à l’aide du plan X' mené par LT et par le point x', que nous choisissons pour plus de simplicité, ayant même projection horizontale que le point x précédent ; le plan It le coupe suivant la droite A', et l’on obtient les intersections D'et E' de ce plan avec les plans P et Q; enfin ces droites D' et E' déterminent la projection verticale m' d'un point tn de l’intersection I, intersection dont la projection verticale T est maintenant tout à fait déterminée. Pour avoir la projection horizontale I* de l’intersection I des deux plans donnés P et Q, nous ferons passer un plan Y par LT et par un point y choisi très-prés du plan vertical, cl aussi loin du plan horizontal que les dimensions du dessin peuvent le permettre; il coiqie les plans P et 0 suivant des droites G et K, que l'on obtiendra comme précédemment par le secours d'un plan K' parallèle au plan horizontal; les projections horizontales G* cl K*, les seules que je con- >truise ici, paice que les projections verticales ne peuvent évidemment rien fournir. se croisent en un point n*, qui est la projection horizontale d'un point n de l'intersection I; on trouvera un second point «'* de I" par l’emploi d'un plan Y' mené par LT et par un point y'. L'intersection I des plans P et Q est ainsi entièrement déterminée.
»8. On pourrait se proposer encore beaucoup d’autres cas que l’on résoudrait facilement à l’aide des méthodes employées dans les exemples précédents. Ainsi on peut chercher l'intersection de deux plans, l’un parallèle à la ligne de terre , l'autre dont les traces se confondent en une seule droite, etc, etc. (*).
(“) Lorsque deux plans P cl Q sont tels qu’après le rabattement du plan vertical de projection sur le plan horizontal, les traces V et H* se confondent en une seule ligne P, , et que de même les traces Y® et II® se confondent en une seule ligne Q, ; alors les plans P et Q aont tous deux perpendiculaires au plan B bissecteur des angles dièdres S . P et JJL
Les deux plans P et Q se coupent dans ce cas suivant une droite I perpendiculaire au plan B ; dès lors I* et 1* se confondent en une seule ligne I, perpendiculaire à la ligne de terre LT, et la droite 1 de l'espèce fait des angles égaux entre eux et à un demi-droit avec les plans de projection.
De même, si les deux plans donnes P et Q sont tels que leurs traces \ p et II® fassent des angles égraux 0 avec la ligne de terre et avec la même portion de cette ligne LT, et que les traces V® et 11® fassent aussi des angles égaux C avec la même portion de LT, l’un de ces angles étant en dessus et l’autre en dessous de LT, alors les deux plans P et Q sont perpendiculaires au plan B f bissecteur des angles dièdres A . S et P. J.
Dans ce cas, la droite 1 intersection des deux plans P et Q est une perpendiculaire au plan bissecteur B’ et ses projections I* et l r se confondent en une seule ligne I, perpendiculaire à LT, la droite 1 fait sl.»rs des angles égaux entre eux et à un demi*droit avec les plans do projection.
99. pHOBLtKK U. Trouver /'intersection rie deux plan» donnes par leur trace kori annule et un point (fit/. 88). Soient les plans P et Q donné# par les traces H' et H* et chacun |>ar I un des deux points p et q. ^ ■**•*'-*' - M - *
1* O n pourrait construire les traces verticales Vf et V* en menant par le|toinip une horizontale du plan P qui ferait connaître un point de V'.et par le point q une horizontale du plan Q, qui donnerait un point de V*. On pourrait mener par les points p et q des verticales des plans P et alors V' et V* seraient respectivement parallèles aux projections verticales de ces droites. Enlin on pourrait employer des droites quelconques, menées des points p et q et respectivement à un point de. H' et «le II". On rentrerait ainsi dans les ras prerr<h-nis.
2* Mais on peut aussi résoudre directement le problème sur les données actuelles . Pour cela joignons les points p et q par une droite D , qui rencontre le , plan horizontal eu ri, puis menons par cette droite un plan quelconque X , et I on peut choisir pour plan auxiliaire X le plan projetant horizontalement la droite' Il . ce plan X coupe le plan P suivant une-droite B passant par le point p /et le plan 0 suivant une droite C passant par le point q; ces droites B et C se coupent en un point mnpparlenant à l'intersection I cherchée, le poiut d' intersection a des tracés H r et H* en est un second point , donc cette intersection I est connue. f ' .
,3* La construction précédente est la plus simple, elle suffit pour trouver I intersection demandée, mais nous pouvons choisir un plan X (fig, 89) quelconque. Le plan X devant, dans tous les cas, contenir la droite D, sa trace horizontale doit contenir la. trace horizontale de cette droite; c’est d'ailleurs la seule condition à laquelle cette trace doive satisfaire; nous pourrons donc par le point l> mener une droite quelconque, et lu considérer comme la trace H 1 du plan auxiliaire. Par les mêmes opérations que dans le cas précédent, ce plan X donnera un point m de l'intersection I. lin autre plan X'douiiera un second point»/ de celle intersection I. qui sera ainsi déterminée. ; -?
-*• Si le point d étail hors des limites du dessin, on pourrait encore trouver l'intersection I par les constructions de la fig. 88. Si le point a était hors des limites du dessin, on pourrait encore employer les constructions de la fig. 89. Mais si les points a. et d sortaient l'un et l'autre des limites du dessin, on no pourrait plus trouver l 'intersection I par les méthodes précédentes. Dans ce cas, concevons par le# points p et q (fig. 90 ) deux plans X et XV parallèles au plan vertical, ils seront coupés par le plan P suivant deux droites A et A' parallèles entre elles; or l’une il’elles, C intersection des plans X et P, doit passer par les points a et p, l'autredoit passer par le point a, donc ces droites A et A' sont connues; de même les plans X et X'sont coupés par le plan 0 suivant deux -droites B et #, parallèles entre elles, dont l'une, l'intersection des plans X' et 0 , doit passer par les points
■b et g, ef l'autre par le )>oinl b, donc ces intersections B et B' sont connues ; mais les droites A et R, étant situées dans le même plan X, se coupent en un | oint m qui , appartient à l'intersection I cherchée, de même A' et B' se coupent en un second .
point m de cette intersection I , qui est ainsi déterminée. Il est évident que les con- . strurlions resteraient exactement les mêmes si l’on conduisait par les points pet g deux plans verticaux quelconques, mais parallèles entre eux, car il n’est pas absolument nécessaire que les plans auxiliaires X et X' soient parallèles au plan vertical de projection, on serait même obligé do les prendre dans une autre direction si les points p et g étaient à la mémo distance du plan vertical de projection; maison peut aussi ramener ce cas à l'un dés précédents par tin changement de plan vcrli- , < al de projection. On ne pourrait pas employer un changement «lu plan horizontal de projection, parce qu'on n'aurait plus alors les données d'après lesquelles on
désire résoudre le problème. . ». --û*
- • , 100. l'aoiu-tiu; 15. Trouver t intersection de tleiéc plans donnés par leur ligne de ' plus grande pente fxir ruflhn t au plan horizontal {Jiij. 91). Soient P et Q les lignes dr plus grande peuto «les doux plans P, et
1” Prenons pour plan auxiliaire un plan horizontal X, qui coupera les droites P et y aux points p et gin” •>li, 2% et par suite les plans «loninis P, et Q, suivant des horizontales X cl B passant respectivement par ces points p et g; niais P* cal perpendiculaire à H’,(n" H"), et par conséquent à A‘ (n" 3ü); de même y‘ est por pemliculaire à lt‘; ces horizontales soûl «lune entièrement connues, et comme elles sont dans le mémo plan X, elles se coupent en un point ni «Je rinlcrseclion I ♦des «leu.x plans P, et U,. Lu second plan fioi izoïUal X' fera connaître uu autre point n»'tk> l'intersection demandée I (.«lutte enfin celle intersection I est déterminée.
B* Si les droites P* «H i) K sont parallèles (Jig. 02) les droites A‘ et IJ* le sont aussi cl no donnent .plus de |ioinl de l’intersection I demandée, mais alors cette droite « le relire I est lioruoutule in" OU), cl I on en trouve un point comme il suit, (îoupous les plans donnés, P, cl y,, pur deux plans horizontaux X et X', qui donnent les horizontales A et R, A et B' des plans P, et y, ; prenons «leux points quelrompies <i et b sur A- et B, et lioiis-ies par la droite C, puis plaçons sur A' et b' une droite C' parallèle à (1, nous pourrons considérer G et G' comme des horizontales d'un troisième pluu coupant lo plan P, suivant la droite 1), et le plan y, suivant la droite I , ; les «leux droites U et B se coupent elles- mêmes en un point x appartenant à I intersection J, nous aurons donc Peu mnnl par ar* une per|>en<liculaire sur P* et y*. Je n ai pas construit les projections verticales des droites b et L et «lu point x\ pour avoir je- remarque que celte intersection rencontre nécrosai roulent les «troues P et Q en «les points dont nous avons les projections g* et i*< on
en conclut facilement y' ot qui déterminent I , il faut, du plus, que celle pro- , jeetion I' soit parallèle à LT. '■ - f’oêt ‘
1(11 . Prohi.I.mf. lli. Trouver l'intersation de lieux plant donnât par leurs iront horizontales et les angle » i pi' ils font avec le plan horizontal (fig. 93). Il est évident,' par un théorème connu de géométrie élémentaire , que si uu plan est perpendiculaire au plan vertical de projection, l'angle qu'il lait avec lu plan horizontal est mesuré par tangle que fait sa irace verticale avec la ligne de terre; prenant doue un plan vertical per|>eiuliculaire au plan P, la trace V'.* de ce plan fera, avec la ligne de terre L'T' l'angle donné « ; prenant de mémo un plan vertical perpendieu faire au plan 0,"la trace V"*de ce plan fera, avec lu ligne du terre L' T", l airglc - ' donné (3. Comme les deux plans I* et if sont ainsi (apportes au mémo plan horizontal et à des plans vortrêaux dilférents , on pourrait changer, par rapporta cliacun d'eux, de plan vertical, et trouver leur trace V'et V*-(n" 47) sur un même pian vertical LT: tuais cela n'est pas nécessaire, car si J'on conçoit un pfan horizotir tal X, sos traces, sur lès deux plans verticaux, seront parallèles à l. T' et à L 'T et également distantes de ces deux lignes de terre; ce plan X coupe les plans P et o suivant les deux horizontales A et B, et ces doux droites se coupent elles-mêmes • en un point ni, dont nous avons 1a projection horizontale m' par l' intersection de ' A* et de B*; donc joignant ont*, on aura 1a projection horizontale 1* de T intersection I demandée des plans P et Q. On en a en même temps deux projections ver- • ticales T' et I’"; cette intersection 1 est donc déterminée.
402. On peut encore varier les données des plans eh ne les supposant pas don-
nés tous les deux de la même maniéré. Il sera facile, par ce qui précède, de voir quelle modification on devra, dans chaque cas, faire subir aux solutions que nous avons successivement exposées. #.
403. loi géométrie plane, et 1a géométrie .de l’espace, se prêtent des secours mutuels, de sorte que souvent des propriétés connue» de fa géométrie plane conduisent à 1a découverte dequelques propriétés de fa géométrie de l’espace; souvent aussi des propriétés connues de la géométrie ds l'espace conduisent à des pro- | priélés nouvelles de fa géométrie plane. Par exemple, dans le problème 44- - (h* 99, 3°), chaque pfan auxiliaire X, (fig. 39) donne un point ni de l'intersection. toçs les points m ainsi obtenus seront donc sur une ligne droite; de sorte que si l'on considère seulement 1a projection liorizontale, on verra que toutes les droites telles que B* et C* se coupent en des points tels que ni*, qui sont sur une mène droite passant par le point a, d'où Ton déduit ce théorème :
Si l'on a trois droites D,P,Q (fig. DA) qui se coupent deux à deux, el trais points d,p,q sur l’une tf elles. Il ; si par T un de ces points d, on mène des transversales T, T. T,....-: coupant les droites P et Q ; que f on joigne les points en lesquels I* est coupée , avec Ir
point p pnr Heu droites B, B,B . . .. . rl le» point» en lesquels Q ett roupée par le» même» transversales nver le point q par de» droite» C, C, G, le» droite* B, et C, , B, et C,,
B, et C ,.,;. te coupent en de * point» m, ni, m...,. qui tont avec /intersection a de» droite» P et Q »ur une même droite I.
Il est «vident qn'on peut prendre les droites D, P, I pour les données, le point p
pour origine des transversales B, B, B,, coupant P et I au \ points 6, l>, b,, et
et l’on en conclura que les points d'intersection des droites C,et T,, C, et T , C, et T„... sont en ligne droite avec le point a. On pourrait aussi donner le*
droites D, 0, 1 , le point q pour origine des transversales C, C, C„ qui coupent
les droites Q et I aux pointsc, c, e„...et ai, in,m,, ctl'on en conclura que les
|ioints d'intersection des droites B, et T,, B, et T,, B, et T sont sur une droite P
passant par le point a. ■ .
KH. l/un des trois points d, p, 7 peut être situé à l'infini; soit \* •
I* Le point d situé à l'infini; les transversales T, T, T, sont , dans ce cas,
parallèles à D;
Soit 2" le point p situé à l'infini ; les transversales B, B, B...... sont parallèles à Ü:
Soit 3* le point <7 siluéà l'infini;-leslransversalesC,C,C„... sont alors parallèlesà D.
Dans les trois cas on eu conclut ce théorème, que nous appliquerons, pour plus île clarté, au premier cas (firj. 115 ) : Si Ton a troi» droite* D,.P, Q, qui se coupent deiu a deux, et deux point* p et q sur F une tf elles D ; si F on mène une série de parallèle* à cette droite et coupant les deux autres droites P cl 0 . <l»e l'on joigne les points de P au
point p, et te* points de t) afec le point q, le* droites B, et C„ B, et C, se croisent
en des points m, m, m qui sont, avec F intersection a de* droites P et Q, sur une même droite I. Ce cas se déduit des fig. 80 et 87, en ne considérant que la construction exécutée sur I» plan horizontal.
105. Si l’on prend D, P, 1 pour les droites données ; le point p pour origine des transversales B, B, B,,... . on en conclura que les points d'intersection des droites
C, cl T,, C, et T,, C, et T, sont sur une même droite avec le point a Si l'on preud les droites D, 0, 1 fl le point q pour origine des transversales C, C, C,..,.. on trou-
•verasque les droites B, et T,, B, et T,, B, et T, secouant on des points si tués sur
une droite. passant par le point a. On pourra donc énoncer le théorème suivant;
Si l'on a trois droites D, P, I et deux points p et q sur l’une d'elle» D; que, par Fjtn
dê ce» point» p, on mène tant de transversale* B, B, B, que l’on voudra ; que l'on
joiqne le» points d'intersection de ces transversales et de la droite 1 avec le second point q de D jwtr les droites C, G, C, que, par les points tF intersection tle ces mêmes transversale » et de la droite P, on mène des parallèles T,T,. .. à la droite D, ces parallèles T c» 1rs droite* C se coupent en des /winfs situé* sur une droite passant par Je point 1 F intersection a de.» droites P cl I . - r - •' --'y*. ' ' - -.hV 10 j*
UN). De ces propositions on peut déduire les réciproques suivantes :
I * Si l'on a quaire droites D, P, Q, I (fig. 04), dont trois concourent uu mime point a, et coupent chacune la quatrième ; que l'on joigne tous les points de l'une des premières I uvee dfrtx points p et q, pris sur la quatrième, les droites menées au point p couperont P : les droites menées au point q couperont Q ; enfin, toutes Us droites menées par les
points h, et c., b, et c„ b, et c, ainsi obtenus vont couper la droite D au méiw
point d, ou lui sont parallèles (fig. 05). -
Si l’on joignait les points de Q avec les points q et d, on trouverait de iiièiuc
que toutes les droites B, B, B T concourent au même point p de la droite D.
Si l’on joignait les points de la droite P avec les points p et d, on trouverait qu<toutes les droites C..C, C...... concourent au même point q de la droite D.
2" Si l’on a trois droites P,Q,I issues d’un même pointa et un point d hors de ces droites: que du point d on mène deux transversales quelconques T; cl T. coupant les droites P et Q respective nrn l aux points b, et b,, c, etc,; si Ton prend deux points quelconque \ in cl m, sur la troisième droite T, cl qu'on les joigne aux points tf intersection précédents . les droites B, et B, se couperont en un point p, et les droites C, cl C. en un point q, et les trois points d, p, q sont en ligne droite.
Si l’on eût donné le point p, et mené les transversales B, et B,, on aurait trouve les deux points d et q en ligne droite avec le point p ; de même, donnant le point q cl menant les transversales C, et C,, on trouvera les deux points d et p en ligne droite avec le point q. •
3* Si ion a trois droites P,Q, I (fig. 95) concourant au même point a, cl deux droites parallèles T, cl T„ eoupanl P cl Q respectivement en b, et b„ c, cl c, ; que T on joigne ces points avec deux points pris arbitrairement sur I, les droites B, cl B. se couperont en un jmint p, C. t il C> en un jmint q, et les deux points p cl q sont sur une droite D putrallêle n T,«l T,.
107. Si ion a deux droites P et Q (fig. 90), qu’on les coupe par une série de transversales fmraUèles T. T. T„ que par les points b, b, b,, c, c, c où ces transversales rencontrent P et Q, on mène deux séries dé droites parallèles B, B. Itj,
t'. C, C„ les droites B, cl C,, B. et C,, B, cl C,, se couperont en des points-
m, in, m,, qui seront en ligne droite avec le point a, intersection de P cl Q.
Kn effet, si l’on considère les droites Pet Q comme les traces horizontales de deux plans cl les transversales T comme les traces horizontales de plans auxiliaires parallèles, coupant les plans donnés suivant les droites B et C, les points m intersection des droites B et C appartiendront , ainsi que le point a, à la projection horizontale de l'intersection I des deux plans donnes; tous ces points m seront donc situés sur une même droite.- ~ . -v ■
-It
IU8. On conclut évidemment dè là ce théorème réciproque : Si l'on a trois . i Iroitcs P, 0,1, concourant au point a, que par tous les points n) i ,ni i , in, de t’unf ■
râles T ori mène deux séries ale droites parallèle* B,, B,, II, et 0, , C., G,, les
premières couperont P et les secondes couperont Q en des points tels que les droites qui joindront b, et C, , b, et c,, b, et c,'..... seront toutes parallèles entre elles.
109. Phoblf.se 11. Etant donnés deux droites P et 0 concourant en unpoint situé hors . ■ des limites du dessin et ut t point m, faire j tasser pur tn une droite qui concoure au même point que les droites P et o. On suit résoudre ce problème par les deux, conslruc-
( ions suivantes. * t- ■ .•'•
1 Menons unedroile quelconque Y (fiq. 97 ) coupant P et Q aux points h etc, joignons Im et cm, ces droites coupent respectivement Q et P aux points c et b,-, unisson? ces points, pur une droite T,, rencontrant Y au point d, par ce point menons une troisième droite T, coupant P et U aux |*oiuU>à,ei É„ joignons à.c.et à, c„ cos droites se coupent en un poiut tu, appartenant à la droite demandée. Lu effet, considérons P, Q , T, comme (es traces horizontales de trois plans passant par un même point de l'espace dont m serait la projection horizontale ; B ot C seront les projections horizontales des intersections du plan T avec les plans P cl Qj ' considérant alors le poiut c.commu la projection horizoulalc d’un point du plan Poli, comme celle d un point du plan Q, cniin T, comme la (race horizoupile
d un second plan auxiliaire, il coupera les plans P cl Q suivant des droites dont B, et C ; sonl les projections horizontales, et par suite m, serait" la projection hori zontale d’un second point de f intersection des plans P et Q. .
On pourrait par le point d mener tant d'autres transversales que l'on voudrait, et continuant la même construction on obtiendrait une série dépeints m, m,, m,....'. qui -seraient en ligne droite, d'où l’on peut conclure facilement un nouveau théorème de transversales qu'il est inutile d'énoncer ici.
2 Du point vi (fiq. 98) abaissons sur les droites I* et Q, des perpendiculaires qui les coupent aux jrointsà et c, joignons br, menons b'c' parallèle à bc et par les points b' cl c les parallèles P' et Q' à P et 0, ces droites P' et Q' se coupent en un point m appartenant à la droite cherchée. Kn effet , considérant P et y -comme les traces horizontales de deux plans , m comme la projection horizontale d’un point de leur intersection, mb et me comme deux lignes de terre, on rentrera dans la construction du problème XVI ( n“ 101), P' et ÿ' seront les projections de deux horizontales des plans P et Q situées à lu même hauteur, et se coupant en un point ni de la projection horizontale de l'intersection des plans P et y.
110. Pn 08 ii.*ü 18. Trouver l'intersection <1 une droite D et d’un plan P. 1“ Si par la droite D (fiq. 99), on fait passer un plan auxiliaire X, qu’on cherche 6on in-
terseciion des droites I avec P, le point x intersection dés droites I et L» sera !<• point demandé. . ' . . ; y .
Parmi les plans que l’on peut faire passer par la droite D, nous en distinguerons sppt, qu'il sera préférable de choisir quand la disposition de la figure le permettra , ce sont :■ .... . - -
!* Lèplan projetant horizontalement D;
‘ 2* I.e plan projetant verticalement D; ’ *. " "
3» Le plan dont D est la ligne do plus grande pente, par rapport au plan vertical; * - <
I* Le plan dont D est la ligne de plus grande pente, par rapport nu plan horizontal; • ••'•? ~ . * ■ • . * • -, ’ • .
3* Le plan mené par D parallèlement à la ligne de terre ; "
fl* Le plan dont la trace horizontale est parallèle à H";
T Enfui le plan dont la trace verticale est parallèle à \\ • -
J,cs intersections de ces plans avec le plan donné P coup. ront toute la droite L) au même pointa;, qui est le point cherché. Dans chaque cas particulier, on fhfii sira eelui de ces plans qui conviendra le mieux ; il serait iuutile «le les représenter tous sur la figure ;.on peut faeilenient s’y exercer.
2‘ Par le choix du plan auxiliaire, les projections 1* et D‘, et I r et D r peuvent sju couper sous des angles tros-aigus, alors les points x k et x r et par suite le pointa sont mal déterminés. Mais on peut toujours choisir à priori le plan auxiliaire X de manière que 1* et D*, par exemple, se cuupont sous un augle droit ou presque >
droit. Pour cela je mène dans le plan P une droite A r tclle que A* soit à peu près perpendiculaire sur D* ce qui est toujours possible puisque je peux me donner A‘, à volonté, pour conclure A'j si ensuite par un point ni de D je mène une parallèle Vï A, si je fais passer un plan X par les droites D et A', sijo cherche l'intersection 1 des plans l'etX , le point x , où les droites I et Use coupent, est le point demandé. Remarquons que les droites I et A doivent être parallèles, ce qui servira à vérifier l’exactitude îles constructions.
3“ On peut encore résoudre le même problème par uu chaugcmeul de plan de projection ou un mouvement do rotation, ayant pour, but de ramener le "plan P a l'un des plans de projection ( n* 55 et «1 ), car alors son intersection avec D-aa projette sur ce [dan à l'intersection de la trace du plan et de la projection de la droite (n“ 5t> 2»). Prenons donc un nouveau plan vertical de projection perpendiculaire au plan P (fii/. 1U0 ), la ligne do terre L' T' sera perpendiculaire à ll r .
On trouvera les droites X 'I et D*' se coupant en x 1 ', d’où l’on couclul x puis X qui sont les projections du point cherché. Un aurait'pu prendre un nouveau plan
horizontal L”T"peppendiculaircau plan P, alors la |>rojtrtion **" sera f intersection , v «.-• • .
«le -BT ci H’..' . • «&..'<« ' '•
Remarquons que si l’on prend L/T' plus haut sur la feuille de dessin , le point x 1 Se trouve plus vers le haut de la feuille de dessin, et vice versa ; en prenaut donc l/T' plus bas , le point £' descend en même temps, de sorte qu’en choisissant la ' *
nouvelle ligne de terre le plus bas possible sur la feuille de dessin , on obtiendra des points d’intersection trés-éloignés du plan horizontal, et <|uc ne fournirait aucune autre méthode.
Si l'on changeait de plan horizontal , on devrait alors par une raison loutcscmhlablc choisir la nouvelle ligne de terre perpendiculaire à V’ et le plus haut pos- *
sible. Enfin on pourrait rendre le plan P perpendiculaire au plan vertical ou auplan horizontal de projection , en le faisant tourner autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical , ou perpendiculaire au plan horizoulal, la droite D sc niouvanl dans les deux cas avec le plan P. . - • ” . - .
111. Problème 10. Trouver l’ intersection d'une droite avec un plan donm ! par’une droite et un point. I” soient (fig. 101) le plan (P, p) donné par la droite P çl le point p, et la droite donnée D; il faut (n* 110, 1’ ) par la droite D faire passer un plan auxiliaire <îl chercher son intersection avçc le plan P; or on peut choisir le plan passant par la droite D et le point p, de sorte que l’on connaît déjà un point p de l'intersection I; pour en avoir un second point, je mène par le point p des • . droites P' et D' respectivement parallèles aux droites P et D; les plans sont alors donnés par des droites parallèles, et en menant un second plan auxiliaire X horizontal, il coupera les quatre droites respectivement aux points* et *', 3 et X qui déterminent les intersections A. et R de ce plan X avec les plans (P,P')et (D,D'), et çnlin les droites A cl B sc rencontrent en un point in de l’intersection I, qui est ainsi entièrement connue. Enfin celte dernière droite I rencontre D en un ■ point x qui est le point demandé.
2' On pourrait prendre le plan X parallèle au plan vertical, ou perpendiculaire à l’un des plans «h; projection. On résout très-simplement ce problème en prenaut pour plan passant par D son plan projetant vertical, comme nous le mon-', irerons dans le problème suivant (n* 113, 2*).
3° Si l’une des droites données, P par exemple, était parallèle au plan hori- • .
zontal, P' serait parallèle à LT et par conséquents Y‘, on ne connaîtrait plus alors le point *, mais dans ce cas il est évident que le plan X qui est horizontal coupe le * plan (P, p) suivant une horizontale ou parallèle à la droite P, qui sera délermi- v. •
née, car on pourra encore avoir le point *', en prenant P", non plus parallèle à P, \ -,
mais passant par le point p et un point quelconque de P. V-, .s T '
4* Si la droite P était la trace H’ du plan, on prendrait pour P' une verticale.
ti »
•J - JL*
Difitréod è/®fogle
ou une horizontale de ce plan, cl alors ou choisira le plan X de manière i «•« qu'il soit parallèle au plan vertical de projection. * ’* t ' ' 1
Enfin si la droite Pétait une ligne de plus grande pente du plan', elle suffirait pour le déterminer ( n" 38 ); dans ce cas on no pourrait plus donner le point p, et l’on choisirait pour plan passant par la droite D, celui dont celte droite serait la ligne de plus grande pente par rapport au même plan ; on rentrerait-aimi dans . ' un problème déjà résolu (n' 100). % / *
• 1 1*2. On pourrait cnoorc chercher l'intersection d'.unc droite avec un plan donné
dans d’autres cas particuliers, paT exemple, lorsque les deux traces se confondent en une seùle droite, et tout autre que l'on pourrait concevoir ;■ tous ces cas se résoudraient par les mêmes principes. . . . * •'
113. Problème 20. Pur un point donné .mener une droite, qui s’ajqtuie sur deux '
droites données : ’ - , **" * ’*'■ ■ ' ’* * | - •
1’ Par le point donné et par chacune des droites données on peut faire passer un plan, l’ intersection de cCS deux plans sera évidemment la droite demandée ; on' rentrera ainsi dans la construction du problème précédent ( n* lit), où p (fig. 101) représentera le point donné. Pet D les deux droites données, I la droite cherchée; comme vérification, les projections de cette droite I doivent couper celles de P et I) en des points if et y*, x’ cl x* situés respectivement sur une même perpendiculaire à la ligne de terre (u* 8): .• -
2* Nous pouvons résoudre ce problème en faisant passer un plan par le point donné m (fig. 102 ) et par I nné dos droites A, jwis cherchant l'intersection de ce plan avec la seconde droite B, nous obtiendrons son intersection avec le plan (A, m), en menant deux droites K ét G par m et deux points quelconques t> et ode A, elfes seront évidemment dans ce plan cl draperont fè plan vertical élevé sur B‘ eu des points k cl g de l'intersection B de ces plans 4 pui? la droite B rencontre la droite B au |>oiul x qui appartient à la droite l/ilemandée^car celte droite, ayant deux points £ et m dam là plan ( A, m ), y csi contenue loin entière et par conséquent elle rencontre la droite A en un point y. •»
114, H serait facile de trouver d'autres solutions de plusieurs des problèmes précédents, de varier les données de quelques-uns d’entre eux et d'en proposer de nouveaux; ce qui précède sullil pour |>ouvoir les résoudre tous. Au reste nous aurons l'occasion d'en rencontrer encore quelques-uns dans la suite de
’cd cours (*). * •' • W-
l>|H'mi»ut il n'est pic sans inlirtl de ineivtionner ô’juw manière particulière II problimi dan» le*
Angles des droites et des plans.
5. Problème 21 J Trouver C angle de deux droites. L'angle de deux droites "est Milité ilont les directions de ces droites s’écartent l'une de l'autre ; il en ré-
'la quantité suite que :
I* Deux droites peuvent faire un angle sans $c couper ?
% ■ '2* Deux droites parallèles font entre elles uh angle nul ;
3* L’angle de deux droites qui ne se coupent pas, sans être parallèles, est égal a l’angle de deux parallèles à ces droites menées par le même point.
On o aura donc jamais» chercher que l’angle de deux droilesqui se coupent; car, s’il en était autrement, pur un point pris à volonté, on méneraildes parallèles à ces droites (n" ‘2 t),’ cl l’on chercherait l’angle de ces dernières. Soient donc les deux
quel lu plan P aurait ses traces V* et IP confondues en une seululigne droite P,, -et dana lequel là droite D aurait set projection* D* et D* confondue* en une seule ligne droite ft,. , '
Dan» ce caa, le point'ni, intersection du plan P et de la droite D. aurait ne* projections m» et m'-oontondues en un seul point m,. be ' • ~ • * ,
Le point m serait situé sur le plan B, bissecteur, des angles dièdres S. P et I. A.
Désignons par p le point en lequel le plan P coupe la ligne de terre LT , et par d le point en lequel je* droite D coupe cette meme ligne LT..
’ Si nous concevons une suile-dc droites il, D', I)’ r , etc. , perçant la ligne de terre an même point d , et dont les projections se trouvent confondues en les droites II,. I) j , D". , etc., tontes les droites D, r> D", etc., seront situées dans le pian bissecteur I) . ,
liés lora, les points m, m’, m”,*te., en lesquels les droilesj), D', D",-etc., percent respectivement l« plsn P . seront sut- nne droite * intersection des plsns P et B : dés lors les points m, . m', , m"„ etc. , seront sur une ligne droite J , passent par le point p. .
\ Ce qui préoede nous permet d énoncer le théorème suivant’ , relatif sua transversales. Fig. 1 02 bis.
'1 Étant données deux droites J et P, ss coupant en un point p, si d’un point d de J on mène uni suite de droite* D, , D 1 , , D’’, , etc.: coupant respectivement la droite P, en les points q. q', q", etc; p des points q, q', q”, etc.,. on méfie une suite de perpendiculaires d la droite LT, ou une suite de parallèle s entre elles et faisant acte la droits LT un angle « , ces droites coupant LT aux points r, r’. r fI , etc. Si du point d , on mène une droite Y perpendiculaire à LT.. ou faisant avec LT un angle a, cette droite étant dét-lors parallèle aux droites qr.qV, qV\ etc., si parle point s en lequel Y coupe I 1 on mène des droites sr.'sr', sr",ote.,ees droites couperont les droites D;; D‘„ U"„etc., respectivement aux points ni, , ni j, iu~, , etc., lesquels seront en ligne droite acte te point p.
Kl comme toute droite dont les projections sont^confondurs . est située dans le plan bissecteur B . on pourra mener les droites D„ etc., par des pointa différents, d, d', d", etc., situés sur LT, et nonpei
le même point d ; rosis slors onderrm mener par chscutt des points d. d'; d" ,.... des droites Y, Y', Y", etc., qui donneront suris droite P,, dp* pointas,*', s”, etc., et alors il faudra Joindre les points acte — r'elr'— * *" etr — ,etc. t - pour. obtenir les points m,, etc. ..lesquels seront avec le point pen ligne droite.
On trouverait des théorèmes de transversales analogues , Si- l'on considérait un plan P perpendiculaire au plan B', bissecteur des angles dièdrés S. A et’p.1. cl des drojtcsD, D', D", etc., situées dans ce ' plan dissecteur R*. , \ ’ . v* ’
■Iroiles A et lt(/< 7 - 102) qui se coupcul au puiut m; ces deux droites déterminent' uu plan Q dont la trace horizontale est H"; rabattons ce plan Q sur le plan liori- ' zonlal (n* 76), en choisissant, |iour plus'de simplicité, le nouveau plan vertical tle projection passant par le point m, les droites A et B se rabattront en A' et B' et
l’angle nm'b sera l’angle demandé. ' *•
•" On pourrait encore chercher les côtés A' et B' de cet angle, en rabattant lus plans projetant horizontalement A cl B ; puis construire le triangle a m' b dont on connaîtrait les trois côtés, cl il faudrait que les points m et m* se trouvassent sur une perpendiculaire à H".' On pourrait aussi rendre le plan Q horizontal ou vertical par l'une des quatre méthodes connues (n“ 76). Les figures de ces construc-' lions sont faciles à exécuter, à l’aide de ce qui précède. • .
Üemarquons que la droite om'—ôm est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont (im* est un côté de l’angle droit; de sorte que l’on a et, par consé-
quent, l’angle atnib des deux droites est plus que l'angle ani'b de leurs projections.
Cependant, lorsque deux droites A et fi font entre elles un angle droit et que f une d'elles B est horizontale, l’angle que font entre elles les projections A* et B* eSt droit, et dés lors égal à l'angle de l’espace ; de même, si l’une d’elles B est parallèle au pian vertical, l'angle que fout entre elles A’ cl B’ est droit, et dés lors égal à l'angle de l’espace. Dès lors, si, sur un plan oblique par rapport aux deux plans de projections, on mène par un point m de ce plau une horizontale H et univerticale V, puis deux ligues de (dus grande pente, l’une k, par rapport uu plan horizontal, et l’autre G par rapport au plau vertical, les angles (ll‘ k*) et ( V G*) seront droits. ’ . p '* -...W
1 16. 1‘Rom.KnE 2*2. Trouver la bissectrice de (angle de deux droites. On peut résoudre Ce problème, en cherchant d’abord l'angle de ces droites (n* 15) , puis divisant eu deux parties égales l’angle rabal!u*fbrmé par les droites A’ et B’ (fig. 103), la bissectrice rencontrera la trace 11* ep un point qui sera évidemment la trace horizontale de la bissectrice demandée ; et comme elle doit passer d’ail-' leurs par le point m, elle est entièrement déterminée. Mais on peut aussi trouver celle bissectrice, sons chercher préalablement l'angle des deux droites données; pour cela, remarquons que si l'on prend deux longueurs égales sur les droites A cl B (fig. ld i), à partir du point m, en lequel elles se coupent, on formera uu triangle isocèle, cl la droite , joignant le point mau milieu de la base dece triangle; sera la bissectrice demandée.' f rÿ
Pour résoudre le problème présenté suuscelle forme, nous ferons tou mer séparément les droites données A cl B autour d'un axe vertical passant par leur point d’intersection m, jusqu à ce qu'elles soient arrivées dans les positions A' et B', où
zîA~
elles sonl parallèles au plan vmical de projection ^i° 01)) décrivant ensuite, du
centre «i 1 et avec un rayon quelconque, un arc de cercle coupant A" et B* en e" et d ", ramenant les points c' cl <f en e et d sur A et B, par des mouvements inverses autour du même axe, la droite K, menée du pointeau point ri, sera évidemment la base du triangle isocèle, son milieux se projettera aux milieux h* et n" des projections E‘ et B!;. enfin la droite I), qui unit les points met n, est la bissectrice demandée.
Il est essentiel de ne pas perdre de vue que les mouvements des droites données A et B sont indépendants I un de l'autre, sans quoi elles ne deviendraient pas toutes deux parallèles au plan vertical, position à laquelle on ne les amène que - pour pouvoir prendre sur chacune d'elles des longueurs égales me et met.
Si les points a et £ sortaient 1 un ou l’autre ou tous les deux des limites du dessin, on prendrait un plan horizontal auxiliaire, cou|>anl les droites A et Ben des [joints pet q tels que p et q se trouvassent dans les limites du dessin; ils serviraient d'ailleurs à trouver A' et B', et lu reste de la construction s’achèverait
• comme ci-dessus (*). v’
Bemarquons enlin que ces constructions donnent lieu 4 plusieurs vérifications qu’il est inutile de signalerf car elles sont évidentes si l’on a lu avec attention tout ce qui précède. •; J ‘ *
117. Prom-èmc ‘23. Trouver tes anqles que fuit une droite avec les plans rie projec- \ tion ( fig . I05-). L'angle d’une, droite et d’un plan, c’est l’angle que fait cette droite avec sa projection sur le pian, donc les angles demandés seront ceux que la droite /hmnee D fait avec D* et L»"; il faut donc amener les plans projetant la droite D
• %se confondre avec l’un des plans de projection , ou à lui être parallèles. Pour eela on peut prendre directement ces pltms-projelanu pour nouveaux plans de projection, et l’oft tr'onvc ainsi l’angle 6aé*=*quc fait la droite D avec le plan horizontal
Hans un trapèjc.ln mihfua dcscîics parallèles, lepoint de concoure de» diagonales et le milieu des càlé* non parallèle* «ont en ligne droite. La proposition est évidente dans un trapèze isocèle a b'c’d •( fig. 103 bis ) ; sar (désignant par o ' le point en lequel se croisent les deux diagonales et par $ le point en lequel se coupent les droites qui, passant par les milieux des cOtéf opposés, sont rectangulaires entre elles, les triangles dtb 1 et asc’ sont égaux ; par suite les triangles ato ’ et o’tb' sont aussi égaux :donc io* divise -
l'angle b' ta en deux parties égales, et, par conséquent, su* passe par léa milieux de ab' et de 4c. .Vais un trapèze quelconque abcd peu être oonaidéré comme la projection orthogonale ou oblique d'un trapèze isocèle, rabattu en ab'c y i ; les diagonales ac et bd seront les projections des diagonales oc cl 6rf, la droitr znscra la projection de # 0 ' et les points 9 et g seront Ica projections des points r' et y' ; mais ces dernier* sont les mitieax des cdtés Ob' et dc’ t et , dans tout système de projection cylindrique , la projection du point milieu d'une droite est le point milieu do la projection de cette droite : donc les points e et g sont :•** ab cl cd.
On déduit de là un moyen de diviser une droite, un angle ou un arc de cercle en deux partit» égalé» , él d'élfvrr aussi inc perpendiculaire sur le milieu d'une droite.
et rangfBaéa*=(3,' qu’elle (ait avec le plan vertical. On peut aussi faire tourner les plans projetant la droite D respectivement autour de leurs traces b, b k ou pour • les rabattre , sur le plan horizontal ou sur le plan vertical de projection ,, et l'on
trouvera de même les angles ba'tfç^ a et ab "a’—fr. Si les traces de la droite D ne soûl pas dans les limites du dessin, on prendra deux poiuU>quelconquesineLn(/iÿ. 106), >.
et l'on trouvera par des changements de plans de projection les angles nmk—x ut
tnm=fi. Ou bien, par les points met n, on abaissera des perpendiculaires respectivement sur le plan horizontal et sur le plan vertical, autour desquelles on fera tourner les plans (D, D*)et(D, D”) jusqu'à ce qu’ils soient parallèles aujdan vertical ou au plan horizontal, et l'on aura de nouveau les angles mV***=a, et
1 18. Lorsqu'une droite fait des angles égaux avec les deux plans de projection , ses projections font des angles égaux avec la ligne de terre LT, et ses traces sont également éloignées de LT. Ln effet ( fig- 105),- 1* les triangles abb k et baa’ sont égaux comme ayant Thypolhéuuse égale et uu angle aigu égal , donc idf—ab’ et bb k ^bV‘==aa’=qa’, donc les triangles arftt et sont égaux , et par
conséquent on a : a6V=Wè*. • r
Si la droite D rencontrait la ligne de terre, la même démonstration subsisterait, et si les projections devaient se trouver du même côté de LT, elles sc confondraient (n* 17,8*). '• "y- ; . • '
2* Ce cas particulier est évident, car un point quelconque de la droite U est alors à égale distance des deux plans de projection , d'où l'on déduit l'égalité des triangles analogues aux précédents. Or, on peut toujours se ramener à ce cas ; en affet, prenons, par exemple,- un nouveau plan vertical parallèle à l'ancien et passant par la trace horizontale a de la. droite D, laquelle rencontrera alors la ligne de terre, et fera toujours des angles égaux avec les deux plans de projection, don» • D‘ cl D" font le même angle avec L'T'; mais D' est parallèle à D*', et L'T à LT, donc D* et D‘ font le même angle avec LT. • v * ♦
Remarquons que D* et D’ sont parallèles, lorsque U droite D ne traverse p^s
l'angle P.S. Dans le cas contraire, elles sont dans la position que l’on nomuie. anti-parallèles par rapport à la ligne de terre LT.
HO. Problème 24. Troâver ï angle d une droite et <1 un plan, i * Cet angle étant celui que fait la droite donnée avec Sa pnjjucliuinsni le plan donné, il faudrait résoudre, par rapport à la droite donnée, le problème résolu (n* 48) par rapport à un point , et l'un serait conduit à cherche! I angle do deux
•. rV'68 — • ' . * *
'droilW (n" 115). Mais nous remarquerons que celaTcvicnt à rendre le plan P lio- rizonta^u vertioal, ce que l’on peut faire de quatre manières différentes (n‘ 76), en sup^sanl la droite O invariablement liée au plan, de sorte que l’on doit en trouver les projections. sur tout nouveau plan de projection que l’on choisit, et aussi supposer qu’elle soit entraînée dans les mouvements de rotation, si on en effectue, et qu'elle décrive toujours le même angle que le plBn. On est alors ramené à chercher l'angle d'une droite avec l’un des plans de projection (n* 117).
lésera facile de suivre toutes les constructions sur la figure 107.'
2" Ce problème peut aussi se résoudre d’une autre manière, car si d’un point quelconque m dé la droite D, on abaisse une perpendiculaire N sur le plan'P (n* 82), l'angle des droites D et N est le complément de l'angle que fait la droite . Davee le plan P; on est ainsi ramené à chercher l’angle de ces deux droites (n* 115), et l'on eu prend le complément. *
120. Problème 25. Trouver lesangles d' unpltm apecles plan» de projection (fig. 108).' li'ungle de deux plnns sc mesure par deux perpendiculaires en un même point de l’intersection commune, et située dans chacun des deux plaus ; il en résulte que si le plan donné était perpendiculaire au plan vertical, l'angle qu'il fait avec le pian horizontal serait mesuré par l'angle de sa trace verticale avec la ligne de terre ; de même si le plan donné était perpendiculaire au plan horizontal, l’angle qu'il lait avec le plan verliCalscrail évidemment mesuré par l'angle de sa trace horizontale avecialigne.de terre. La résolution du problème consistera doue à rendre le • plan donné perpendiculaire successivement au plan horizontal et au plan vertical de projection, -soit par uu changement de plan 52), soit par un mouvement de rotation (u* tt 4 h On trouvera ainsi , par les deux méthodes, l’angle « que fait le plan 1’ avec Je plan horizontal et l’angle (à qu’il fait avec le plan vertical. Il est mutile de développer les constructions, on fes suivra facilement sur la figure.
121. Si du point A* ou A’’ on abaisse une normale Pi’ sur et une normale N" sur lir, eu supposant le plan vertical de projection relevé, N' Sera perpendiculaire à l’axé A', et par conséquent aussi a une parallèle à cet axe ou à H’’ menée par le point r', donc elle est perpendiculaire au plan P'; de même N" est perpen- ’diculaircà l’axe A, et par conséquent aussi à une parallèles cet axe ou à Y*", menée par le point**’, donc elle est. perpendiculaire au plan P". Si l’on ramène les ' ' plans P' et P" dans leur position initiale P, les normales M' et ÏS"se réuniront en une même droite perpendiculaire au plan P, donc N'=N". Donc enfin Y’’' et Y”" sont deux tangentes au ^erele décrit du point A* ou A 1 ’ comme «entre, et avec N' ou N ' pour rayon.
122. Si le plan-donné fait des angles égaux avec les deux plans de projection , ses traces sont également inclinées sur la ligne de terre: En effet, 1' d’un point
quelconque o (Jtf. 109) de LT a baissons une perpendiculaire N sur le plan donne P, elle le rencontrera en un point 6, duquel abaissant des perpendiculaires bi et hj sur les traces du plan P, nous formerons dans l’espace les deux triaugles obi et obj égaux, comme ayant un côté commun et deux angles égaux chacun à chacun ,
donc oi—oj et 6 oh=Soj, par suilc^i— poj' [n* 118), donc les triangles poi et poj sont
égaux, et par conséquent opi=opj. Suivant que les perpendiculaires ôieloj, menées sur II’ et V’ tombent de côtés différents ou du même côté de LT, les traces font des angles égaux avec la même |>artiè ou avec des parties différentes de LT, et dans le second cas elles coïncident. Si le plan donné était parallèle à la Igine de terre , ses traces seraient parallèles à LT et situées àf;» mèmè distance de celle ligne LT.
. de sorte qu’elles se confondraient si elles se trouvaient situées du même côté.
Si* Dans le cas particulier d’un plan parallèle à (aligne de terre (fty. 110), il. rsi évident que ses traces doivent être également distantes de LT, car, si dans le plan P’, on mène une droite ac perpendiculaire à LT, elle sera donc perpendiculaire à la fois il H'' et à Y*, par conséquent letriangleaocest isocèle, donc l’on a: no = or. Cela posé j faisant tourner le plan P' autour de ac, jusqu’à ce qu’il vienne couper la ligne de terre en un point p, les triangles aop et cop seront égaux comme ayant un
angle égal compris entre côtés égaux ; donc l'on a : apo —cop, et le plan P fait encore des angles égaux avec les deux plans de projection.
i‘23. PROiu.t-.HE ‘20. Par une droite donnée conduire un plan faisant ua atujlc donne % avec te plan horizontal ( fig . III).
Soit D la droite donnée, les traces du plan cherché devront respectivement passer par les traces horizontale et vertidRc a et b de D ; cela posé, menons par le point b un axe vertical A et concevons que le plan P ail tourné autour de cet axejusipi’à ce qu’il soit arrivé en la position P perpendiculaire au plan vertical, sa traco verticale V*' ne cessera pas de passer par Je point b et fera avec LT l’angle * ; ramenant ensuite ce plan P à la position P qu’il doit occuper dans l’es|Kice, le point p, intersection des deux traces du plan P', décrira sur le plan horizontal un cercle C, auqitcl la trace H'' reste toujours tangente;, donc menant par lé point a tangente au cercle C , celte tangente sera H', puis V' doit passer par b et .rencontrer LT au même point que H’.
Si la trace H' ne rencontrait pas LT dans les limites du dessin, on trouverait un second point de Y’ en menant par un point quelconque de la droite D une horizontale du plan P.
Remarquons que ce problème ne peut pas être résolu par lin changement de plan, ce qui justifie l’assertion que nous avons avancées! 'lu lin du n* 09 . .Cependant si la droite donnée était la trace horizontale du plan cherché, pu pourrait
i-.lHP ** /
employer indifféremment l'une ou l'autre méthode; car 4* prenant un axe A quelconque on amènerait le point ;> en p' puis on tracerait la droite V'' faisant avec LT l'angle a, ce qui ferait connaître un point b de V’; 2" si l’on prenait un plan vertical perpendiculaire à H r , la trace verticale V'' ferait avec L'T' l'angle *, pui$ changeant do plan vertical et prenant LT pour ligne de terre, on en déduirait V*.
121. Supposons queja droite D ne rencontre pas les plans de projection dans les limites du dessin ( fiy . Ii2). Nous pouvons concevoir dans le plan cherché P une ligne d.e plus grande pente K menée par un point quelconque m do la droite D; si .nous la faisons tourner autour d'un axe vertical A , passant par le point m, jusqu'à ce quelle soit en K' parallèle au plan vertical, sa projection K* fera alors avec LT l’angle *, et l’on trouvera. sa iraee liorizonlalen'. En la ramenant dans sa première position, celte trace décrira le cercle C, un autre point quelconque n’ de K' décrira un cercle 0', situé dans un plan horizontal X, coupant la droite b en un jjuint b par lequel passe une horizontale II du plan cherché P, laquelle est Uingeute au cerclé C’, puisqu’elle doit passer par lo point n, extrémité d’un rayon, et être perpendiculaire à la ligne de plus grande pente K (n' 37); donc enlin II' sera tangente au cercle C et parallèle à B*. Enlin, on aura doux points x et ij de la trace verticale V', par deux horizontales M et R du plan P, lesquelles passeront par deux poiuls quelconques m et r de la droite b.
125. Problème 27\ Par un point donné, conduire un plan faisant un wujle a. avec le plan Uoriiontal et un angle (3 avec le plan vertical. Prenons un axe quelconque A (fig. 108) sur le plan vertical; concevons que le plan cherché P ail tourné auteur de cet axe jusqu'à devenir perpendiculaire au plan vertical, sa trace V" fera alors avec la ligne de terre l'angle.^, on la mènera par un point quelconqueîle LT, elle fournira un pojnl b do la trace V'. Si l’on conçoit un second axe A' dans le plan horizontal cl que l’on fasse tourner le plan P autour de A' jusqu’à le -vendre vertical, la trace H'" devra faire avec LT l'angle (3. bc plus, si du point . A* où on abaisse des per(>cndiculaires sur V'/et sur HP", elles sont égales (n* 121); donc II’" sera tangente au cercle décrit du centre A k cl du rayon N', puis II"' rChconti'e A' en un point a, qui appartient à la trace horizontale H'. Si, maintenant, on ramène le plan P' dans sa position véritable, p' intersection de ses dimx traces, décrira un cercle autour du point A*, et l’on devra du point a mener une tangente à ce cêrele, ce sera la trace 11' demandée, et, par suite, on aura V' qui doit passer par le point à; d'ailleurs, si l'on ramenait P" dans la position P, le point q" intersection dé ses deux traces, décrirait un .arc de cercle auquel V’ doit être tangente. On aura ainsi un plan luisant les angles * et (3 avec les plans horizontal et vertical de projection ; il n'y aura plus qu'à mener par le point donné un ptyn parallèle au plan P (V38), pour avoir résolu le problème proposé.
à. êi^Ë ' ^ - - . • "
128. Problème 28. Connaissant le» traces horizontales de deux plans et les angles qu'ils font arec le plan horizontal, tromper leurs traces verticales (fig. 93) . Soient H* et H* les traces horizontales données, prenons un plan vertical de projection perpendiculaire au plan P, la trace verticale V" devra faire avec LT l’angle^ prenons de même un plan vertical do projection |>erpendieulaire au plan Q, la trace verticale V"*. devra faire avec L"T" l’angle 0, il reste à rapporter’ les deux plans P et Q au même plan vertical LT, les traces horizontales H” et H“ ne changeront pas, -et l’on trouvera' les traces verticales V’ et V* à l’aide d’une horizontale de chacun des deux plans P et Q (n" iTJ. ' • ' 4
127. Problème 29. Trouver l'angle de deux plans. Ce problème peut être ré- &lu de bien des manières différentes ; nous allons en indiquer quelques-unes.
I* Nous avons appris à trouve? l'angle’ d'un plan avec les plans de projection (n* 120). On pourra donc se ramener dans celte position particulière, soit en prenant l'un des plans donnés pour nouveau plan de projection, soit en le rabattant sur l'un des plans primitifs, nous pourrons obtenir ce résultat par I une des . quatre méthodes connues (n" 70). Je ne fais qu'indiquer cette solution, afin qu on s’y exerce ; nous avons déjà eu plusieurs constructions du même genre.
2* Si les deux plans donnés étaient perpendiculaires à l’un des plans de projection, leurs traces sur ce plan comprendraient évidemment entre elles un angle égal à l'angle des deux plans; or, dans ce cas, l'intersection des deux plans est perpendiculaire au plan de projection. Pour ramener la figure dans cette position particulière, il suffira donc de rendre l'intersection des deux plans perpendiculaire ÿ l’un îles plans de projection, ce qui nécessite deux changements de plans (n” 51), ou deux mouvements de rotation (n* 63), ou bien aussi un changement de plan et un mouvement de rotation, ou enfin un mouvement de rotation et un changement de plan, bans tous les cas, il îaut d’abord connaître l'intersection des deux plans,-ct nous avons appris à la trouver précédemment. Cela posé, si nous voulons d’abord employer deux changements de plans [Jig 1 13), soient P et Q les plans dounés par leurs traces H*,V’ et,fl*,V* J et I leur intersection donnée par scs projections l‘ et l"; afin de 'rendre cette intersection I perpendiculaire au'* plan horizontal , nous prendrons d’abord pour plan vertical de projection, parallèle à I, le plan projetant horizontalement celte droite, de sorte que L’T’ ne sera autre que 1* ; qt si nous cherchons la projection de l'intersection I sur ce nouveau plan, elle ne sera autre que celte intersection I elle-même, et représentera, on même temps, V" et V\ Nous prendrons ensuite un plan horizontal perpendiculaire à cette droite et, par conséquent, L"T" sera -perpendiculaire à I. La projection de I sur ce nouveau plan sera un seul point 1*" de la nouvelle ligne de terre, point qui sera commun aux deux nouvelles traces H"' et H"':if faut trouver un
sfcoiitl (Kiint de chacune de ces (leu* traces, pour cela nous emploierons une verticale M du plan P, dont la trace horizontale m sur l’ancien plan LT est à une distance mm*' de.ceitc ligne de terre, donc sa trace sur le nouveau plan horizontal L"T" devra être à la même distancede la ligne de terre L"T", et , par conséquent , en in> et ce point appartient à'H"° (n* 28). De même, une verticale K du plan 0 ■fera connaître, nn point £'dc H"°. Puis l’angle * formé par H"° et 11"' est l’angle demandé, et ainsi celui que font entre eux les plans P et Q.
. * 3 * On peut remplacer l’un des changements de plans de projection par uu mouvement de rotation ; par exemple, le seéond ( fig . 1 M); dans ce cas, après avoir trouvé la droite I avec laquelle coïncident les traces V"et V'% il faut faire tourner le Système autour d'un axe A •perpendiculaire au plan vertical, jusqu’à ce quc*l .soit devenue verticale; si l'on Conçoit une verticale M du plan P et une verticale K du plan Q, pendant la rotation, ces verticales restent toujours à la même distance du plan vertical de projection et leurs projections verticales conservent aussi toujours la même distance à I (n* 50 , 3°) , nous prendrons dans notre figure, l’axe A passant par le pied ni de M , ce point appartiendra donc toujours à la trace horizontale du plan P; abaissant la droite A "y perpendiculairement suri , y viendra en y et ce point ÿ'scra, en même temps, II'*; joignant Içs points 1 * et m, on aura 11 ’’. Oe même, la verticale K viendra en K' et fera connaître un point K'* ou ** (le H*‘, qui doit aussi passer par le point l'*ou y'.
Enfin l’angle des droites II' et 11“ est égale à l’angle cherché , qui est celui que font entré eux les deux plans P et Q.
V On pourrait remplacer au contraire le premier changement de pt»n de projection parmi mouvement de rotation , mais je ne trace pas IVpurr de ce cas , car il sera facile de l’exécuter d’après ce qui a été dit ci-dessus. '
r.” Enfin pour résoudre le problème par deux mouvements de rotation (fig. 1 15), nous exécuterons ce qui suit : par un premier mouvement aulourd’un axe vealioal A, que nous choisissons ici passant par la trace verticale b de l'intersection 1 des deux plans P et 0, nous rendrons celle intersection I parallèle au plan verti-
cal. I* se porte en l'*sur LJ en décrivant un angle a\ k a =q, autour de l’axe A ; tous les points des plans P et Q devront décrire des angles égaux à g ; les traces V'' •H V"' se confondent avec 1' déterminée par les points a et b; II" et II"' doivent passer par le poin t U ; pour £n avoir un second point, nous pouvons abaisser les perpendiculaires A‘p et a\/ sur II', puis chercher les nouvelles positions des |>oinls p et 7 ; nous trouverons ainsi le point q , en prenant l’arc 77 ' égal à l’arc 00 ' du même cercle compris dans l’angle 7 , et l’on aura 11“'. Le point p étant sur
notée figure très-voisin du point a' les rayons A "a et A *p , sont presque égaux .
* . • * * HT . r
d'où il résulte qu'il serait diUicile de fixer la jiosilion ^lu point p, tuais alors flu rentre A* et avec un rayon quelconque plus grand que A *;> , nous décrirons un arc de cercle C, qui coupe HJ en cet I* en y, nous aurons la position du point c après la rotation en prenant cc'==yy',et la trace II" devra passer paries points a et c .
Faisons maintenant tourner le système autour d'un axe U perpendiculaire au |»lan vertical jusqu’à ce que l’intersection l' soit devenue verticale, nous simplifierons la figure en faisant passer cet axe parie point a, la droite 1' viendra en I après avoir décrit autour de l’axe B un angle i|/ que devront décrire 'aussi ^ous les points des plans P' et Q'; Jcs' traces verticales V'" et V*" coïncident encore avec I".' Pour avoir IF" et H*" nous emploierons une verticale de chacun dcces deuï plans ; soient M’une verlicalodu planP’et k' une verticale du plan U', du oentreB’ct d’un rayon quelconque décrivons un cercle C', qui coupe M" en m' e el k” en A” ; cela fait, nous prendrons les projections horizontales m'*et’i' v des points ni et k', celui-ci étant par liypolhèse la trace horizontale de la droite k', puis prenons les arcs us'm".’.— A’’ fc" , =/Xet nous aurons en w"* et k"’ les nouvelles projections verticales des points m et A', nous en conclurons leurs projections horizontales m"* et A"*, qui sont en même tèmps les projections M”* et k''* des verticales des plans ; nous n’avons pas écrit cette dernière notation sur la figure pour no pas la compliquer sans nécessité. Les deux plans P" et Q" étant actuellement verticaux, leurs traces horizontales H"' et II*" devront passer respectivement par les points m" 1 et A"‘j elles doivent aussi passer par le point a; clics sont doue déterminées. Enfin les traces H'" et IF" comprennent entre elles uu angle a qui mesure l’angle cherché, celui des plans Pet Q.
B* L’angle de deux plans est donné, par deux pcrjVendiculaircs menées à ces plans par un môme point de leur intersection I, ces deux normales sont dans un plan X (ySÿ. 116) perpendiculaire à I. Ce plan X étant arbitraire, nous mènerons H* perpendiculaire en un point quelconque de I*, cette trace H* coupe II’ et II* en des points x el y qui sont les traces des droites dont l'angle mesure celui des plans P et Q f pour appliquer ici la méthode ordinaire (n* 115) nous prendrons Fpour ligne de terre L’T’, et nous chercherons la droite I sur ce plan vertical de projection, puis remarquant que V’* doit être perpendiculaire à I, nous obtiendrons ainsi le sommet t de l’angle « demandé ; nous le rabattons en s et l’angle cher-* ché sera xs'y. Au lieu de trouver le sommet j par un changement de plan, ou l’obtient aussi par un mouvement de rotation , en rabattant le plan vertical L l autour de sa trace verticale alors le pointa vient en «,1e pointa en o, l’intersection I en F et la |>crpendiculaire os en oV, on fait ensuite 05 = 0 '*" puis a’,
011 retrouve le point et l’on construit l’angle xs'y qui est l’angle demandé.
Si’ l’on compare noire solution avec celle donnée par les auteurs des divers traités de géométrie descriptive publiés jusqu’à ce jour, on verra qu'elle est identiquement la même, mais aussi on reconnaîtra que l'emploi de rtos méthodes en simplifie considérablement l'explication, et la rend par conséquent beaucoup plus facile à saisir.- . ... - ■ . ',.j
Il est bon de remarquer que la droite <m=o/=o*" est un côté de l’angle droit d’un triangle rectangle ota ou oW»dont la droite oa—oà est l'hypoténuse, le poinl j^sl totijours entre les points o et a et par suite on a toujours x$y>xay.
7” Par la méthode précédente nous voyonsque l'angle cherché est donné par le triangle xsy dont on connaît un côté ri/, on pourrait cliercher letf deux autres côtés en rabattant les plans P et Q, rapportant sur les rabattements I intersection I cl abaissant des points x et y des perpendiculaires sur cette intersection; on aurait alors à construire un triangle dont on connaîtrait les frais côtés,, et l’on devrait remarquer quo les arcs de cercle décrits des points x et y comme centres et avec les deux côtés trouvés pour rayons doivent se couper en un point situé suri*. Nous aurons l’occasion de donner complètement cette construction en résolvant un autre problème. , ’
8’ Lorsque deux plans | e coupent , ils forment quatre angles dont deux aigus égaux entre eux et deux obtus aussi égaux entre eux ; l’angle aigu est celui qu’on nomme l’angle des deux plans à moins que lion pc fixe le sens vers lequel cet angle doil ôtrecorapté. Cela posé, si d'un poinl quelconque on abaisse des perpendiculaincs sur les deui plans, ces perpendiculaires forment aussi entre elles deux nnglesaigus et deux obtus qui sont respectivement égaux aux angles de même espèce compris éntre les plans. On pourra donc ; trouver l'angle de deux plans en abaissant d’un même poinl de l’espace des perpendiculaires "sur les deux plans proposes ( n’ 82 ), puis cherchant l'angle de ces deux normales («n" H 5). 'En général si <J'un poinl pris dans l'intérieur d'un angle dièdre, on abaisse des perpendiculaires sur les faces de cet angle, ces droites comprennent entre elles un angle supplémentaire de l'angle dièdre. -
Çcltcdernière méthode n’exige pasque l’on connaisse l’intersection desdoux plans: ce qui est quelquefois très-avantageux, car il peut arriver quocettcdclerininalion "exige des constructions très-compliquées comme nous l’avons vu dans quelques cas.
’. 128. Problème 30. Diviser l’angle de deux pluns I* et Q en deux parties égales
( fig. lltl). Si l’on suppose quo le plan bissecteur S existe, il sera coupé par le plan X perpendiculaire à Ja droite I intersection des deux plans donnés P et V suivant une droite si perpendiculairc^à^l au point s, et ayant sa trace horizontale sur IP, et divisant l'angle a ou xsg en deux parties égales. Il résulte de là
qu’après avoir trouvé, langle r.vbami n'y ( n* 127, 6“) , il fout le diviser en deux . parties égales par une droite coupant H* en un point ï, par lequel et prie point a doit passer la trace horizontale H' du plan bissecteur cherché S, puis sa trace vertical ■ \ doit passer par le point A.
2* Si nous rabattons tes plans P et Q (fi//. 117) sur le plan horizontal par la seconde méthode connue (n* 76), en les faisant respectivement tourner autour de leur trace horizontale, leur intersection I viendra se placer respectivement eu I' et en I"; si dans chacun des deux plans V et y on conçoit une droite A sur P et lt sur Q également distante de I, apres le rabattement du plan P, la droite A, située dans ce plan, sera en A' parallèle A 1'; de inèmc^ après le rabattement du plan y, la droite B,- située dans ce plan , sera en B" prallèlc ;ï I j h> droites A' et B" coupent respectivement les traces IP et 11" en * et en y , de sorteque j-y sera la tract; horizontale du plan (A, B); si l'on divise xy en deux parties égales au. point s, ce point et le point ri appartiendront à la trace horizontale IP du plan bissecteur S , qui contient en outre une parallèle à I menée par le point Cette solution a , comme on voit,, beaucoup d'analogie avec celle que nous avons donnée (n* 1 16), pour trouver la bissectrice de l’angle de deux droites sans chercher cet angle; les points c et d, situés sur les deux droites, à égale distance de leur point d'intersection m, sont remplacés ici par les droites A et B situées sur les deux plans et à égale distance de leur intersection I ; et le point n, milieu de ladroilc ed, est ici remplacé par une droite située sur leplan (A, B), et située à égale distance des deux droites A et B.
On pourrait encore remplacer les droites A et R parallèles & I par denx droites egalement inclinées suri, et la rencontrant en un même point; la bissectrice de' l’angle de ces droites et l'intersection 1 , détermineraient le plan bissecteur. Le cas des deux parallèles n’est évidemment qu’un cas particulier de celui-ci.
3" Les normales aux deux plans donnés P et 0 (n‘ 127, 2") peuvent partir d’un point i de leur intersection I, et si l’on conçoit le plan bissecteur, et que par le même point t on lui élève aussi une normale, elle divisera en deux parties égales J'angledcs normales menées aux deux premiers plans P et 0 par le point i; donc si nous cherchons la bissectrice de l'angle de ces deux normales (n” 1-15), celte bissectrice et l'intcrscction I des plans donnes détermineront le plan bissecteur demandé. Remarquons que le problème actuel ne peut sc résoudre qu’aulant que l'on connaît l'intersection 1 des deux plans donnés P et Q.
120. Nous terminerons cotte série de questions par deux problèmes dont la solution sc déduit immédiatement de celte donnée pour trouver l'angle de deux plans (n" 127, 6").
, Problème 31. Étant donnée s les traces horizontales H' et R*, de de ux plans Pci Q, faisant entre eux un angle donné à, et la projection horizontale de leur intersection 1 , trouver leurs traces perticales V' et V” (fig. 116). Menant H* perpendiculaire à l\ elle eoupc H'el H* aux points x cl y: pour avoir il faut sur xy décrire un segment capable de l'angle a, il coupera 1* au point s', décrivant un cercle Cdu centre o et du rayon ai', menant de a une tangente I à ce cercle, élevant b h b perpendiculaire sur I*, et prenant 6*6=/>‘ô, nous obtiendrons le point b où se croisent
les traces V' cl V\ Ij est évident <|ue l’angle a ne doit pas être moindre que . ... ; l’angle xay ; s’il lui était égal , les deux plans seraionl verticaux. On voit aussi qu’il
y a deux solutions, puisque, du pointa on peut mener deux tangentes au cercle C.
■ 130. Problème 32. Par une droite I , située sûr un plan donné P, conduire un plan (J faisant avec le plan P un angle a (fig . 118), Menons encore H* perpendiculaire à l‘, déterminons I sur le plan vertical l/Tjj abaissons os perpendiculaire sur 1, prenons o*'= os , menons xs' puis ys' faisant avec xs l’angle**, le point y appartiendra à II 0 qui doit aussi passer par u, puis V sera conduit de q à b. On aura encore deux solutions, car on peut mener ys départ et d’autre de xs.
Des plus courtes distances.
elfi
131. Problème 33. Prouver la plus courte distance d’un point à un autre point. Klléest mesurée par la droite qui ùnil ces deux points, on est donc conduit à trouver la véritable longueur d’une portion de droife comprise entre deux points déterminés; or, 1" la projection verticale serait égale h la droite de l'espace, si celle-ci était parallèle au plan vertical (n” 56, 1"), c’est pourquoi nous prendrons uu nouveau plan vertical parallèle à la droite, et, pour plus de simplicité, nous choisirons le plan qui la projette horizontalement ; alors la ligne de terre LT ( fig ■ 106) ne sera autre que la projection horizontale D* de la droite l) ; clevant donc sur cette ligue des perpendiculaires et n*n=pn', et joignant put,
nous aurons la droite D demandée. Si par le point n on mène nk parallèle à la projection horizontale D* on forme un triangle rectangle mnk, dont les côtés sont respectivement égaux , savoir : nk à la projection horizontale mV, » nk à la différence de hauteur des points m et n, au-dessus du plan horizontal ou à (om‘ pn")
(n'5, l*),el dont l’hypoténuse est la longueur delà droite cherchée. Delà on conclut une opération graphique très-simple pour construire la droite demandée.
2* La droite D serait donnée en véritable grandeuf par sa pi-ojeclion horizontale si elle était parallèle au plan horizontal, nous pouvons donc aussi changer de plan horizontal pOUr le prendre parallèle à D, et pour plus de simplicité nous prendrons encore le plan Jarojelant verticalement celte droite D; la ligne de terre
L' "T" est alors confondue avec D v , et nous devons prendre , sur des perpendiculaires
à cette ligne , m'm=om i et n'n=pn\ En menant rat parallèle à D' nous formons un'triangle rectangle mnl, dont l’hypoténuse est encore la longueur de la droite D, et dont les côtés do l’angle droit sont respectivement égaux, savoir : '"l a la • projection verticale >nV, et 5 / à la différence des distances des points m et, n au plan vertical ou à (pn* — om* ) (u* 5, 2 “). . 1 .
a* Au lieu de ramener la droite I> à être parallèle au plan vertical en changeant de plan vertical de projection, on peut faire tourner la droite autour d’un a\e vertical A jusqu a ce quelle ail atteint celte position (n 1,1 ). Pour plus de ait» Illicite nous choisirons l’axe A passant par l’un des points donné» , par le poil»! m , par exemple, la droite viendra alors en D’, et sa véritable grandeur sera donnée, par la projection D'”.
4 " Enfin , on pourra ramener la droite i) à être parallèle au plan horizontal ,► en la faisant tourner autour d’un axe A', perpendiculaire au plan vertical , et que nous choisirons, pour plus de simplicité, passant par le point n; la droite D viendra prendre la position D", et sera doipice en vraie grandeur par sa projection . horizontale D"*^ fc. . v- ' > •'
Si l'on emploie sur la même ligure les quatre méthodes précédentes, on doit évidemment avoir : .
mn=mn = mV=ii , m , '‘. . ' . -
132. Pboiu.kme 34. Trouver lu distance des traces d'une droite. Ce problème ne diffère en rien du précèdent; il suffit de prendre les points n et ù, au lieu de deux points quelconques m ,ef n, et on le résoudra donc par les mêmes méthode^.
1“ Prenant D* (fi/j. 105 ) pour nouvelle ligne de terre, ndus trouverons la • droite D située sur ce nouveau plan vertical ; le point- n appartient par conséquent à colle droite, ' *
2* Changeant de plan horizontal et prenant D’ pour nouvelle ligne de terre, nous trouverons D. • , ■ . , ■
3* Si l’on fait tourner la droite D autour de l'axe A, elle viendra prendre la position 1 »’.
4*. Enfin, si on la fait tourner autour de l’axe A’, elle viendra prendre la position D".
Il est évident que J’on doit avoir : , V . -
ab=ah—a'b— aU',
ces quatre lignes représentant également la longueur, de Iji droite D. ; , .
133. PROBtfe*c 35. D'un point in , situe sur un plau dmmit P, mener (i la trace lio-
rnonude de ce filun une droite de longueur donnée'. On lionne ( prf. H8 ) la projection ~ horizontale m* du point ro, on en conclut sa projection verticale i»r(n* 29) , en faisant passer par ce |>oint une horizontale K du plan P. Cela fait : j* Concevons 4 droite Dplacéesur le plan P, et faisons-la tournerautour d'unaxe vertical A, jusqu’à ce qu elle soit paralléleau plan vertical de projection, elle se projettera sur ce plan dans s», véritable longueur /(n“ 56, t“),-et, dans le retour, sa projection horizontale conservant toujours la même longueur, et devant se terminer sur H', le point o où le corde C rencontre H', est un. point de la droite dont la position est ainsi déterminée. Il y a unoseconde solution en b. Il n’y aurait qu'une solution, si le cercle C était tangent à H’. Le problème serait impossible, si la droite A* était plus courte que ja perpendiculaire abaissée du point A‘sur H'. v, /
2" il pourrait arriver ( fuj. H®) que la droite t, menée de m r , ne pût rencon li er LT qu’au delà des limites du dessin ; dans ce cas , nous remarquerons qp’op peut diviser la droite D en parties égales, et , si des points de division , on conçoit des plans horizontaux , ces plans couperont la partie de l’axe A, comprise entre le point m cl le plan horizontal en un même nombre de parties égales, et le plan P suivant des horizontales équidistantes. Divisons, par exemple, la hauteur du l>oinl racn deux parties égales, menons un plan horizontal X, qui coupe le plan P suivant l’horizontale K, et achevons par rapporta celle horizontale la construcium clTectuée ci-dessus par rapport à la ligne de terre , en portant seulement , l du point m’ à la projection verticale R" de l’horizontale, nous obtiendrons les ; lieux droites D cl B, qui satisfont toutes deux à la question.
• Lnliu, on peut résoudre la même question, en rabattant le plan P (fig. 120) sur le plan horizontal ou en le prenant pour l’un des plans de projection, |«r • l’une des quatre méthodes connues (n* 76), nous n’exécuterons ici que la seconde; il sera facile de traoer les épures des trois autres. Le point m vient se rabattre en m', décrivant de ce point comme centre et avec un rayon égal à I un arc de cercle, qui coupe H’ en x ql y, joignant ces points x et ;/ avec zn*, on aura les . .projections horizontales B* et D* des droites B et D qui satisfont à la questiou, ou" en conclut facilement leurs projections verticales (n* 28).
!3t. Un résoudrait ainsi la question , mener du point >n à une droite donnée de position une droite de longueur donnée : car il suffirait de faire passer un ■*’ plan par la droite donnée et par le point m, de rabattre ce plan, d’y rapporter II* imbu m et la droite donnée, de construire la droite demandée sur ce plan ra- Imltu et do revenir ensuite aux projeelious de celte droite.,
Kofln ; on résoudrait de la méiirc manière le problème, mener par un powit dopné ni une droite qui fasse un angle donné avec la trace horizontale ou toute * autre droite du plan P. * . £ .V* •
, Digitiz’etfijy Googl:
135. Problème 3fi. Trouver la plu* courte distance <l'un point à un t droite. C'est I» perpendiculaire abaissée «lu peint sur la droite.
■t* On pourra donc résoudre ce problème, en faisant passer un plan P pur la droite donnée D et le point donné vn, le rabattant sur le plan horizontal (n° 76), puis abaissant de m une perpendiculaire N' sur 0', ce sera la distance demandée; si l'on veut en avoir les projections, on reportera le point x, intersection de N' et I)', en x sur D, par un mouvement en sens contraire du rabattement.
2* Au lieu de rabattre le plan (l),m) (fig. 121) sur le plan horizontal, on peut le faire tourner autour de l'une de ses horizontales A jusqu'à ce qu’il soit devenu horizontal; nous ferons (tasser l'horizontale par le point m, donc A' (tassera par m' et sera parallèle à LT, elle rencontrera D’en un point h’, d’où l’on conclut h k et par suite A‘. Pour faire tourner le plan (D,m) autour de A comme axe, il faut d'abord prendre un plan vertical L'T' perpendiculaires cet axe (n’"!!), nous trou verons sur ce plan les projections m’’ et D’'; il est visible que les points ni’’' et b coïncideront avec le point A*', projection verticale de l’axe; on voit aussi que la droite on*' sera la trace horizontale H’ du plan P. Faisant ensuite tourner la droite I) jusqu'à ce qu'elle soit devenue horizontale, le pointé restera invariable, la projection verticale devra être parallèle à L'T' et passer par b* . Pour avoir la projection horizontale, nous prendrons sur D un point quelconque n, qui, pendant la rotation, décrira un cercle C, et viendra en n \ joignant n'* avec é* nous aurons ll'VSi, maintenant, on abaisse de m* une perpendiculaire sur !>'*, elle donnera en vraie longueur la distance du point m à la droite D ; si l'on veut avoir les projections de cette plus courte distance, nous remarquerons que la per|>endiculnire rencontre D' 4 en un point x'\ d’où l’on conclut x* par une parallèle à L'T', puis on aura x* ; et joignant les projections du point x à celles du point >n, nous aurons en m*x*e t on m’x* les projections de la plus courte distance, dont on a la véritable grandeur en mV*.
Remarquons que , si l’on prend sur le plan vertical L'T les projections x'*' et x"' des points x' fct'x, on doit avoir, comme vérifications de l'exactitude de la ligure ;
m*'x’" = m"x" et ix"=ix'.
3* On peut résoudre aussi ce problème par deux changements de plans, ou deux mouvements de rotation ; pour cela remarquons que si la droite D ( fig. 1 22) était perpendiculaire au plan horizontal, m normale N serait horizontale, et par conséquent égale à sa projection horizontale! n* 56, 1" ); il faut donc la ramener dans cette position particulière. On y parviendra en prenant d'abord un plan vertical parallèle à D ou passant par cette droite, puis un plan horizontal perpendiculaire à R; N*" sera la distance demandée. Pour revenir ensuite aux projections
do la droite N sur les plans primitifs, on remarquera que N"' doit être. parallèle à L''T" , elle rencontre D en un point x , dont on trouve de suiloia projection hori- • moniale V, on en conclut x” d’où résultent N* et N". On exécutera facilement la H
Figure ou épure en employant deux mouvements de rolution ou un mouvement de rotation et un changement de plan de projection. .
t* Après avoir changé de plan vertical de projection; pour rendre la droite 0 parallèle à ce nouveau plan , nous pouvons remarquer que la normale N et la droite D étant perpendiculaires entre elles dans l’espace, et l’une d’elles D étant parallèle au plan vertical L'L', leurs projections verticales N” et D doivent être perpendiculaires entre elles; nous mènerons donc par le point ra”' une perpendi- • culairesur D, ce sera elle rencontre D en un point xdont nous construisons la projection horizontale x* sur D*, puis la projection verticale x 1 sur D‘, et joignant x* avec m\ x* avec m’, nous aurons les projections N* et N* de la plus courte distance demandée. Il reste à en trouver la vraie longueur, ce qui est facile en vertu de ce qui a été dit ( n' 131 ).
.V La perpendiculaire abaissée du point tu sur D ( fiy . 123 ) est située sur un plan P perpendiculaire à D, et passant par le point m; nous construirons donc ce plan ( n“ 83). Cherchant ensuite l’intersection x de Del du plan P( n* HO), et joignant xm, nous aurons la droite demandée, dont nous trouverons la véritable grandeur en N' 1 ’ ( n‘ 131, 3>). ’
On pourrait faire passer le plan auxiliaire par le point m, son intersection N * avec le plan P ne serait autre que la droite demandée, dont la portion xm est la distance du [Joint m à la droite 0. On construirait ensuite la véritable grandeur de celle distance eu N*. Si les traces du plan auxiliaire X ne sont pas dans les limites’ du dessin ,• on le considérera comme donné- par les droites D et D', et l’on cherchera son intersection avec le plan P( n* 111).
130. PitouLKMK 37. Trouver la plus courte distance tt un point à tin plan.' 1' C.elte distance est mesurée par une perpendiculaire N, abaissée du point donné m sur le plan donné P; or, les projections N* et N' sont respectivement peqtendiculaires a H'ct à V'( n” 81 ); elles sont donc connues. Cherchant l’intersection x de la normale N et du plan P( n* 119 ), la portion mx de celle droite exprimera la distance demandée. On exécutera facilement la ligure.
2' Sile piau P était perpendiculaire au plan vertical, le point x aurait sa projection verticaio x”sur V* ( n* 50, 2* de plus la normale N serait parallèle au plan vertical, et par conséquent égale à sa prèjeclion verticale N’, c’est pourquoi nous nous ramènerons à ce cas particulier par un changement «le plan vertical de projection comme on peut le lire facilement sur la fig. (124).
3“ On [Hiurrait aussi tnnployer à cet eifet un- mouvement de rotation comme le
représente la fiy. 125, dans laquelle pour simplifier les constructions' noos avons fait passer l'axe A par le point donné ni. En revenant aux projcoiions primitives on trouve séparément^ et i*, cesdeux points doivent donc être sur une même perpeSiculaire à LT (n* 8); ce qui sert à vérifier l’exactitude des constructions..
137. l’nom.KMt: 38. Trouver la plu* courir distance de deux droites non situées dan s le même plan. Si l’une des droites A {fiy- 120 ) était perpendiculaire au plan horizontal , la plus courte distance N serait horizontale et |wr conséquent égale à V. De plus N* sera dans ce cas perpendiculaire à B*, puisifue N est perpendiculaire au plan vertical V passant par la droite H et dont B* est la trace horizontale II', on obtiendra donc facilement-celte plus courte distance.
On peut se ramener à ce cas particulier par jdusieurs opérations : I* par deux changements de plan de projection ; . • . ...
2" Par un changement de plan et un moirvcinonl.de rotation;
8" Par un mouvement de rotation et un changement de plan ;
1" Par deux mouvements de rotation ; '
• Nous allons les exposer successivement. • -'•>
1“ Soient A êt B (fig. 127 ) les deux droites dont on cherche la plus courte distance ; pour ramener la «droite A dans la position précédente il fatjl choisir mi autre plan horizontal perpendiculaire à'A; mais ce plan ne serait pas perpendiculaire au plan vertical do projection, c’est pourquoi il faut prendred'aburd un nouveau plan vertical de projection parallèle à cotte même droite A ; pour plus'de simplicité nous choisirons son pian projetant, alors L"T coïncidera avec A*, nous en déduirons les projections verticales * et B"(n’46). Nous prendrons ensuite un nouveau plan horizontal de projection perpendiculaire à *, en menant L"T" perpendiculaire à *, nous trouverons A*" et B*", puis abaissant de A*" la perpendiculaire N*" et B*", ce sera la plus courte distance demandée ; elle se. termine sur A et B aux points y cl x, dont on trouvera successivement les projeçt ions jf" et x*", y et a?', t/ fet x*, ebfin y* et af. Par suite on aura N‘ et N'.
2° Après avoir Changé nomme ci-deSsus de plan vertical de projection on peut faire tourner le système autour d’un axe perpendiculaire à ce nouveau plan vertical , jusqu'à ce que la droite A soit devenue perpendiculaire au (dan horizontal. Pour cela il conviendra de mener l'axe de rotation par un point de la droite. A ; cette droite étant venue dans sa nouvelle position A' après avoir décrit l’angle », il faut Taire tourner Isr droite B dn même angle a ( n*61 ) pour l'amener en B'; la perpendiculaire N* abaissée du point A* sur la droite B'* sera la plus courte distance demandée; N'*' est parallèle à L'T'; ayant obtenu les points x' et y' en lesquels elle coupe B' et A', on ramènera ces points sur les droites B el A , en x cl y, ce qui donnent les projetions N* et N* de la plus courte distance.
\ f . Digiliz'eÆby Qaogte
, 3° Si nous faisons tourner les droites A et It autour d'un axe vertical coupant A, jusqu’à ce que la droite A soit venue dans une position A' parallèle au plan vertical de projection, clic aura décrit un angle «; faisant donc décrire à la droite II le même angle, elle viendra prendre une position fi' (n” 59). Si ensuite nous chassons un nouveau plan horizontal de projection perpendiculaire à A, la nouvelle ligne de terre L'T' devra être perpendiculaire à A'", la projection horizontale de la droite A' sera en un seul point A' v ; nous trouverons aussi B'*' (n* 46). La plus courte distance demandée sej-a donc la perpendiculaire N'*', abaissée du point A' k ' sur la droite B'*'. Nous reviendrons comme précédemment aux projections N* et N' de la plus courte distance N..
4' Pour résoudre le problème par deux mouvements de rotation , nous ferons d'abord tourner le système des droites A et B autour d’un axe vertical, comme dans le cas précédent; puis nous ferons tourner le système des droites A' et B" autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical, comme dans le quatrième cas.
Il est évident qu’on pourrait également ramener la droite A à être perpendiculaire au plan vertical, en la rendant d'abord parallèle au plan horizontal. Il sera facile d'exécuter les Ggures de tous ces cas. *
' .V On peut encore résoudre directement le problème sur les droites dans la position où elles ont été données, et en conservant les plans primitifs de projection. Pour cela, rappelons d’abord que l'on démontre, en géométrie élémentaire, qu'on peut toujours mener une- perpendiculaire commune à deux droites A et B (fig. 128), non situées dans un même plan, qu'on n'en peut mener qu'une, et que cette perpendiculaire est la droite la plus courte qui joigne un point de A à un point de B. On a vu que la construction consiste à mener par un point m de fi une droite A' parallèle à A, à faire passer par A' et .B un plan qui -est parallèle à
A, à abaisser par un pojnl quelconque n de A, une perpendiculaire K sur ce plan (B, A'), à faire passer un second p.lan par les droites A et K , à chercher l'intersection I des plaiis (B, A') et (A, K), enfin à mener par le point t-, intersection de I. et B, une drpite N parallèle à K, rencontrant A en up point y, et celte droite N mesure la plus courte-dislance demandée. Ce sont toutes ces constructions qu’il faut exécuter pur le secours des projections.
Soient A et B {fig. 129 ) les droites données, prenons un point quelconque m sur
B, cl par ce point menons une droite A' parallèle à A; A'* sera parallèle à A*, et A'" parallèle à A'; faisons passer un plan P par A' et B, H' passera par les traces horizontales a et b de ces droites, et V' par leurs traces verticales « et (5; prenons ensuite un point quelconque n sur A, et de ce point abaissons une perpendiculaire K sur le plan P, h* sera perpendiculaire à H' et K" sera perpendiculaire à V'; faisons passer un plan U pur les droites K et A, II" passera par leurs traces
ItorhOD tâtes k el a, el V* par la trace verticale x, et par le point où 11“ rencontre LT ; -les traces de l'intersection I de ces plans P el Q sont en p et q\ celle droite I est donc connue, el comme elle est parallèle à A, il faut, si les opérations graphiques sont exactes, que I*soit parallèle à A*, et I" à A*; enfin cette intersection I coupe B en un point x, d’où l’on mènera la droite N parallèle à K jusqu’à sa rencontre 1 / avec A , ce sera ta plus courte distance demandée. Nous en aurons la véritable longueur en la faisant tourner autour d’un axe vertical passant par le point y, jusqu’à ce qu’elle soit venue dans (a- position N' parallèle au plan vertical de projection , de sorte que sa vraie longueur sera donnée par N''.
La construction. générale précédente n’est pàs toujours possible, car il peut arriver que. les traces du plan P n’aient aucun- point dans les limites du dessin , mais comme ( on n’en a besoin que pour mener la normale K au plan P, ou peut substitue;' à IL* une horizontale quelconque que l’on obtient eri coupant le système des droites A et B par un plan horizontal, et pareillement on peut substituer à V' une verticale du plan P que l’on obtient de même en coupant le système de ce* droites pur un plan parallèle au plan vertical. On peut aussi considérer le plan 0 comme sullisanunenl donné par les droites A et K ; mais il pourrait arriver que la normale commune sortit des limites du dessin, pn ne pourrait alors la trouver qu’en -se ramenant au cas particulier considéré en premier lieu; de plus, pur les quatre premières méthodes, on pourra trouver la plus courte distance des deux droites, tant que ses projections ne sortiront pas des limites du dessin, carou peut choisir les nouveaux plans de projection ou les axes de rotation de manière que les projections des droites A et B soient reportées aux extrémités de la feuille de dessin.
Ces méthodes sont encore préférables sous le point de vue graphique , en ce que, dans les changeraenls.de plans, on n’a que des ouvertures de compas à porter, et dans les mouvements de rotation , les lignes que l’on doit construire se coupent sous des augles droits.
13 B. I'huiii.kmk 39. Etant donnée* une droite A, la projection horiioutalé B k d'uni seconde droite B, el celle N* de lu pin » courte du tance N entre A et B, trouver le* projection* verticale > B" et N' de* droite t B el N , et la vraie tjrandeur île la droite N . La plus courte distance devant être perpendiculaire à 1a droite A , qu’elle rencontre eu un point x connu, nous déterminerons N’ par la méthode exposée précédemment -(n' 8(5), puis cette même droite N devant aussi être perpendiculaire à la droite B, qu elle rencontre au point y actuellement déterminé, la même méthode nous Ier? trouver B’. Lutin, connaissant les extrémités x el y de la plus courte distance N entre les droites -A et B, nous en conclurons sa véritable grandeur (n* 131).
' > v Digrtizes|ÆvljOOglc.
13(1. Problème 40- TÉ tant données, une droite A , la projection horizontale (1* rf une <ecottde droite B, la vraie lonqtteur de la plus iourte disumce N des deux droites A et B, ainsi (/ne le point x. où elle rencontre In droite donnée A, trouver la projection verticale B* de la droite B, et les deux projections de la plus courte distance N ( fiq 130).' La , ilroite N (levant être perpendiculaire à A sera située dans un plan P, mené par le point x perpendiculairement à celte droite A (n* 85): si nous rabattons ce plan P sur le plan horizontal, le point x -viendra en x\ et la droite N sera l’un des rayons d’une circonférence de cercle C 7 décrite du centre x avec la longueur donnée rtc la droite N pour rayon. Si, en supposant la droite N entraînée dans le mouvement du plan P, oti connaissait la position qu'elle occupe actuellement, sa nouvelle trace horizontale devrait se trouver sur C 7 , et ferait connaître la position delà droite N', on aurait donc le point y, d’oùTôn conclurait le point y; mais puisque ce point y doit se trouver A la fois sur la droite B et sur la circonférence rabattue en G', cherchons la projection G* de cette- circonférence, elle-coujie B* en deux points ÿ* et i*, qui sont les projections horizontales de deux point», satisfaisant A la question proposée; nous aurons donc les deux projections horizontales !N‘ et K*, d'où nous" conclurons N" et K'; 'et, par suite, nous connaîtrons y ' et s"; il n’y aura plusqu'A déterrninor B”dc manière Are que la droite B, passant par le point x , soit perpendiculaire à N j,ou bien nous déterminerons 0* de manière A ce que la ilroite B passant par le point z soit perpendiculaire à K (n" 80), et les droites B et B satisferont A da condition d’avoir pour projections horizontales la même droite B\ et d'élre à la distance donnée de la droite A.,
J 40. La construction de la courbe C* ne peut ici se faire que par points, nous verrons pluslorn que cette courbe est une ellipses et que, par conséquent; elle ne peut couper B* qu’en deux points.
Si le point x n 'était pas donné, on. pourrait le prendre partout où l’on voudrait sur la droite A, et répétant pour chacun d'eux la construction précédente, on obtiendra une sériede plans P parallèles entre eux , les cercles C égaux enlreeux formeront donc une surface cylindrique de révolution ayant pour axe la droite A. Tous les points de B*, compris dans lu projection horizontale de cette surface cylindrique, ! pourront représenter le point t/. Nous reviendrons dans un autre endroit rtc ce cours sur ce problème, pour la résolution complète duquel nous n'avons pas en- . cote acquis les connaissances nécessaires.
•TT» «TT ' r
JK '
i.Uî>r** m> ;•>"
* jAV* ». *t*” • VJ¥
'l . 1 it»..».. ' ■.( . f»' ! V V -V> .'*
/ PI iÿ • *• ' •'
