CHAPITRE IV
UES ANULES TRItWtES ET UES P> R AMIUES. . ' \ tî: •; .
1 i 1 . Problème cèsèhM . Etant donne un angle trièdre , trouver par une construction pleine les anqles plans et les anqles dièdres qui (e composent.
Prenons une- des feues de l'angle triëdrcspour plan horizontale en supposant cette lace prolongée indéfiniment ) , puis coupons cet angle par un plan vertical quelconque, de sorte que les plans des deux autres hues soient P et o { Jiij. -I :tl ) et leur intersection 1; l'un des angles plans sera donné en A , nous aurons lés deux autres en rabattant les deux faces P et U -sur le plan horizontal ( n’76). -.Nous prendrons les nouveaux plans verticaux de projection passant par lu trace verticale b de l'intersection. I , de sorte que les lignes de terre LT et L'T" passeront l'une et l'autre par b k , projection horitoiitale delà trace verticale b dëf intersection I; celle intersection 1 se rap|torle sur les plans rabattus en l‘ et I". Il est évident que. ab'—ab", puisque ces deux longueurs représentent egalement la portion ab de l' intersection I. Si l’on tire les droites pli et qb", elles représentent les traces verticales pb et qb déjà données en véritable grandeur : on doit donc avoir pb'—pb et qb"e=^qb. Il est évident qu’on a les trois angles plans
A —paq, Ü — pab’, Vt—qab". Le plan P étant perpendiculaire au plan vertical L'T et Q au plau L'T", les angles de ces plans avec le plan horizontal ou les angles
dièdres y et p sont donnés respectivement en ép'é* et bq'V. H reste A trouver l'angle a. que font entre elles les faces B et C ; mais cét angle est mesuré |«r l'angle de deux perpendiculaires, menées à un même point de la droite 1 et tracées dans chacun des deux plans P et Q; ces perpendiculaires rapportées sur ces plans rabattus seront perpendiculaires à I' et I"el en des|>oinlsm'el»i''égalepient distants du point a, trace horizontale de la droite I ; elles vont rencontrer H' et H" aux points x et y ; si on joint ces deux points , il est elair que la droite xq représentera la trace du plan perpendiculaire a I ; elle doit donc être perpendiculaire a I*, et si l'on rabat ce plan autour de sa trace xq , le sommet de l'angle cherché ne sor-
DigitizcxJ
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lira pas du planter tical dont I* serait la trace, ses côtés sc rabattront en véritable grandeur' ; donc si des points x et y, et avec les rayons xml et i/m",-on décrit des arcs de cercle, ils devront se croiser en un point s situé ‘sur 4* que l’on joindra
aux points j; et y , et ysx sqya l’angle ? demandé.
t42. Ce problème général établi , il est facile de résoudre les divers problèmes particuliers sur l’angle trièdre : ils sont au nombre de six. Nommant toujours A, B, C les trois angles plans, et,?, |î, y les angles dièdres (pii leur sont respectivement opposés, on peut avoir les ^six combinaisons suivantes :
tlon nefs
inconnue*.
donnée*. inconnues
Les trois derniers cas se ramènentiaux trois premiers, au moyen de l’angle triédre supplémentaire. On sait en effet que, si d'un pnipt. pris. dans l’intérieur d*un angle trièdre, on abaisse des perpendiculaires Sur les faces de cet angle, qu’on fasse passer des plans par ces droites, on forme un second angle triédre divnt les angles plans sont les suppléments des angles dièdres opposés du proposé, et dont les angles dièdres sont les suppléments des angles plans opposés de celui-ci. C’est cette relation qui a fait donner à ces deux angles triédres le nom A’nnyles trièdres supplémentaires. ' ‘
D'après cela, nommant A', B’, C', les angles plans, et (&', •/, les angles dièdres du second angle trièdre, en aura :
A'=t80' > -r*,B'=18tt" -p,Cr=|«0 — y; . „ ,
v - «f « laô^ a,, p = i«K- b, 7 '=.uw -c.
Doue si l’on donne, par exemple, *,j i,y, on en conclura lesànglcs plans A',B’,C', à l’aKle desquels on déterminera comme nous allons l’indiquer, puis ou
en conclura A,B,C. Il en serait de même des deux autres cas. Mais celui où l oti donne les trois angles dièdres est le seul qui échappe aux méthodes enseignées précédemment; nousie résoudrons ailleurs.'
'443. Problème: 1. Etant donnés les trois angles plans, qui Composent un angle i lettre, trouver les trois angles dièdres. v V
1* Nous prendrons toujours le plan de l’une des faces pour le plan horizontal, les côtés de cet angle A (fig. 132) représenteront les traces horizontales H' et H" des plans des deux autres faces , que nous supposerons rabattues sur le pian Imrizonlal, en les angles B et C, placés de part et d’autre de l'angle A (ii" 141);
leur intersection sera donnée en I' et I" et un point quelconque b de celte intersection se sera porté sur I' et I" à la même dislance du point a; si donc on prend at>'=ab" que |>ar b' et b", on mène des perpendiculaires à H' et 11*, ce seront les ligncsde terre L'T'el L/'T" du problème général (n* 141), elles se croisent en un pointé*, qui appartient à I*; le point b est donné sur les deux plans verticaux en belh, car il doit se trouver en même temps sur une perpendiculaire à L'T' ou L'T", élevée du point è* et sur le cercle décrit du centre b k avec 6*é' ou 6*é" |»ur rayon. Il faut évidemment que /r*é=é*è. On est ainsi ramené au problème général, car on pourrait retrouver V* et V* sur un plan vertical quelconque LT.
‘2* Si deux des trois angles plans sont égaux, les deux angles dièdres opposés sont aussi égaux ; en effet, prenons pour plan horizontal celui du troisième angle A, et construisons les deux angles égaux B et C de part et d’autre, comme précédemment ; il est évident que, dans l'hypothèse actuelle , les triangles ap'b' et tu/' h" sont égaux, puisqu'ils ont l'hypoténuse égale et un angle aigu égal, donc b'p'=b"q",
puis les triangles rectangles p'bif et q"bb k sont égaux , car p'b = q"b et bb k = bb k , A /N
doncy=/5.
3' Si, de plus, les angles égaux B et C sont droits, les angles dièdres opposes jî et y sont aussi droits. En effet, dans ce cas il est facile de voir que L'T' et L"T" se confondent respectivement avec T et I"; par suite, les points n, p , q",b k coïncident, les droites b k b et b k b se portent respectivement sur H' et II®, les points b et l> se trouvent sur ces mêmes droites, et, par conséquent, les angles />p'é* =* et bq"b k =zfi sont droits.
4“ Si les trois angles A,B,C, sont égaux les trois angles dièdres a, S, y sont aussi /\ A A A . a a AA
égaux; car, à cause de A = B on aura a = p, puis B = C donne |3=y, donc
5" Si les angles A , B et C sont droits, les angles a, (3, y, seront aussi droits , on le prouverait de la même manière que ci-dessus.
6° Mais il est facile de reconnaître que l'un des angles A , B ou C étant droit ne détermine rien de particulier pour l’angle dièdre opposé.
112. On sait par la Géométrie élémentaire que les angles A, B, C ne peuvent être les troisangles plansd'un angle irièdre qu'autanl que leursomme est moindre que quatre angles droits, cl que chacun d'eux est plus petit que la somme des deux autres. La construction précédente conduit aux mêmes conditions. En effet :
1* Dans le problème général, L'T' et L"T' (fig 131 ) ne pouvant se couper
qu au point //, 1' et l" laissent toujours un angle b'ab" qui u’enlre pas dans la somme ( A -4- B + C), donc cette somme est moindre que quatre angles droits ;
2* Si l'un des angles A (Hait plus grand que la somme des deux autres, le point A* serait en dehors des deux circonférences et par conséquent les perpendiculaires élevées par ce point sur les lignes de terre L'T' et L"T" ne les rencontreraient jamais.
145. Problème 2. Connaissant deux angles plan» d’un angle trièdre et l'angle dièdre compris , trouver te troisième angle plan et les deux autres angles dièdres. Prenons toujours le plan de l'une dus faces connues, celle de l’angle plan A par exemple, pour plan horizontal et supposons (jig. 132) l'autre face donnée B rabattue autour de H"; avant pris L’T' perpendiculaire sur H', la trace V' sera connue, car elle doit faire avec L'T l'angle dièdre y donné, donc le point b' dans le retour de ce plan P se porterait en b, dont la projection horizontale est 6*-, on aura donc I‘, et par eonséquenton rentre de nouveau dans le problème général (n* 144), car ou connaît II’ et prenant une ligne de terre quelconque passant par on trouvera le point b, par lequel doit passer V’.
140. Problème 3. Connaissant une face d’un angle trièdre et les angles dièdres adjacents, trouver les deux autres angles plans et le troisième angle dièdre. Prenant pour plan horizontal celui de la face connue A (fig. 133), les cétés de cet angle seront les traces H’ et II’ des plans des deux autres faces, que nous rapporterons à deux plans verticaux L'T' et L''T - ' qui leur soient respectivement perpendiculaires, de sorte que V'' et V"’ feront chacuncavec la ligne de terre correspondante les angles dièdres connus (3 et y. Tout consiste à trouver la projection 1* de l’intersection de ces deux plans, ce que nous avons appris à faire ( n“ 101 ). On est ainsi ramené au problème général ( n“ 141 ).
147. Problème 4. Connaissant deux faces d'un angle trièdre et l’angle dièdre opposé à l" une (telles, trouver f autre face et les deux autres angles dièdres ( Jig . 134 ). Prenons pour plan horizontal celui de la face connue A adjacente à l’angle |3, menons L''T" perpendiculaire à H’, de sorte que l’on connaisse V"* et prenons aussi L'T' perpendiculaire à H'. Si l’on conçoit que le plan P tourne autour de H' pour prendre la position qu’il doit occuper dans l’espace, un point quelconque b’ de I' se mouvra dans le plan vertical L'T' en décrivant un arc de cercle C', et viendra au point où cet arc est coupé par le plan Q, point que nous obtiendrons en cherchant V’* ( n’ 47 ), on trouve généralement deux points 6 et ç dont les projections horizontales sont en è* et c* et déterminent deux projections horizontales P et P de l’intersection des plans P et Q, il y a donc deux angles trièdres possibles avec les mêmes données; il n’y en aurait qu’un si V'" était tangente au cercle G' et il n’en existerait pas si V'* ne rencontrait pas le cercle C'.
148. Problème 5. Connaissant un angle plan, t angle dièdre opposé et un angle dièdre adjacent, trouver le troisième angle dièdre et les deux autres angles plans. Pre-
nons pour plan horizontal celui d’une face inconnue A {fit/. 135), et L'T' perpendiculaire sur H’, dés lors V'fera avec L'T'I’angle donné -/ adjacentà B; si Ion suppose que le plan P revienne dans la position qu’il doit occuper dans l’espace, le point b se portera en b, ayant pour projection horizontale 6*; on connaîtra donc l“; pour construire 11% supposons que le plan 0 tourne autour d’un asc vertical passant par 6 jusqu’à ce qu’il soit devenu perpendiculaire au plan vertical L'T', à cet instant sa trace verticale V v fera avec L'T' l’angle (3 connu et opposé à lt , et H*' sera perpendiculaire à L'T'; si l’on suppose que ce plan revienne ensuite à sa positioo , le point p' décrira autour de b K comme centre , un arc de cercle auquel la trace horizontale II 9 sera tangente; elle doit d’ailleurs passer par le [Maint a, donc elle est déterminée, et l’on rentre encore dans le problème général ( n* 14 1 ).
149. Problème 6. Réduire un angle ù l’horizon (fig. 136 ). C’est la construction d’un angle trièdredont on connaît les trois angles plans, mais on peut donner à la figure une disposition particulière. On connaît l’angle que font entre elles deux droites, et les angles qu'elles font l’une et l’autre avec la verticale. Soient n le sommet de l’angle, N la verticale passant par ce sommet, D l’une des droites faisant avec N l’angle connu B. Prenons pour plan vertical de projection le plan des droites N et D , et soit E' l’autre droite rabattue sur ce plan vertical et faisant
avec N l’angle connu C, formons l'angle dae"= A que font entre elles les deux droites, prenons ae"—ae, puis décrivons des arcs de cercle du centre oV et du centre rf avec le rayon de", ils sc coupent en e; joignant n*c , on aura le second célé E* de l'angle cherché «. Les motifs de toutes ces constructions seront faciles à concevoir, sans qu’il soit nécessaire de les développer ici.
150. Problème 7. Inscrire me sphère dans une pyramide triangulaire. On divisera en deux parties égales ( n“ 428 ) trois angles dièdres, dont les arêtes ne concourent pas au même sommet , et le centre de la sphère sera au point d'intersection des plans bissecteurs, puis son rayon sera la distance de ce centre à une face quelconque ( n” 136 ) de la pyramide.
151. Problème 8. Grcotwcrire une sphère d me pyramide triangulaire. On élèvera des plans perpendiculaires sur les milieux des trois arêtes (n* 83) non situéssur une même face de la pyramide elle point où ilssecouperont sera le centre de la sphère demandée, on aura son rayon en unissant ce centreà l'un des sonintclsdela pyramide.
152. Problème 9. Sur un triangle acutangle donné, construire une pyramide trirectangle et en trouver la hauteur. Prenons pour plan horizontal celui du triangle donné ( fig. 137 ), et pour plan vertical un plan perpendiculaire à l’un des côtés, par exemple au côté ab. Concevons la pyramide construite , et désignons son sommet par * ; rabattons sur le plan horizontal la face sab , dont le plan est perpen-
— Ra-
diculaire au plan vertical de projection , elle scia inscrite dans un demi-cercle avant ab pour diamètre, et comme l’arête sc est perpendiculaire à cette face , et par conséquent parallèle au plan vertical de projection , sa projection horizontale **e doit être perpendiculaire à ab , donc le point t se rabat en et la face mb en s'ab. Si maintenant on suppose que cette face revienne en sa position dans l’espace, le point s décrira un arc de cercle C dont le centre est en o sur ab , et auquel l’arête ,«■ est nécessairement tangente. La projection verticale «'"décrira un cercle identique au cercle C et auquel «V doit être tangente ; or cette tangente est toujours possible, car le rayon os' est toujours moindre que oc, donc c* est toujours extérieur à la circonférence C; on obtient ainsi la projection s ’ du sommet s de la pyramide, d’où l’on déduit **, et par suite la pyramide est connue , son sommet .« étant connu. Si l’on joint as k , elle sera la projection horizontale de l’arête as perpendiculaire à la face bsd , donc a** est perpendiculaire à bc; de même 6** est perpendiculaire à ac.
La hauteur de la pyramide est donnée en s"p. Si l’on rabat les trois faces, elles seront inscrites dans des demi-cercles, dont les cordes adjacentes à un même sommet du triangle sont égales.
Le problème précédent conduit aux conséquences suivantes :
I" Sur un triangle acutangle quelconque pris pour base, on peut toujours construire une pyramide trireclanqte .
2* Les perpendiculaires abaissées des sommets d’un triangle quelconque sur les côtés opposés, concourent en un même point ; caron vient de le démontrer pour un triangle acutangle, et s’il s'agit d'un triangle oblus-angle abc (fig. 138 ), abaissant des sommets b et c des angles aigus des perpendiculaires sur les côtés opposés, elles se croiseront nécessairement en un point d extérieur au triangle abc et formeront un autre triangle bed évidemment acutangle, et dans lequel les droites bc et cb sont perpendiculaires aux côtés ci/ et bd, donc aussi la droite da sera perpendiculaire sur bc, donc enfin les droites aa', bb', ce , abaissées des trois sommets du triangle abc perpendiculairement sur les côtés opposés concourent en un même point d, intérieur ou extérieur, selon que le triangle est acutangle ou obtusangle.
151. Problème 10. Couper une pyramide trireclangle, de manière que la section soit un triangle acutangle donné. Ayant rabattu comme ci-dessus les trois faces de la pyramide donnée (fig. 130). Soit (jiy. H0)afole triangle auquel la section doit être égale ; il sera la base d’une pyramide trireclangle formée au sommet de la primitive; nous développerons de même celle pyramide, et nous obtiendrons ainsi si* faces o'«£, oV/, o"^y que nous prendrons respectivement dans les triangles sab(fig. 139), s ac, s" bc, puis rapportant les points n” et a", b" et b'", c" et c" en o'*, //*, r* sur les projections des trois arêtes, nous aurons la projection horizon-
taie du triangle de section , on en aura facilement la projection verticale , et par conséquent son plan sera parfaitement déterminé, on peut d'ailleurs en trouver les traces si on le désire.
155. Problème 1 1 . Couper une pyramide quadrangulaire ayant pour base un trapèze par un plan de ntanière que la section soit un parallélogramme ( fig . 141). Prenons pour pian horizontal celui de la base abcd de la pyramide et désignons par s le sommet de la pyramide dont s* sera la projection horizontale , et donnons-nous la hauteur du sommet s au-dessus de la base ; on n'a pas besoin de plan vertical de projection.
Prolongeons les côtés non parallèles ad et bc de la base jusqu'à leur intersection en o, les plans des faces sad et sic se coupent suivant la droite D , qui passe par les points a et o, et les plans des faces sab et sed dont les traces horizontales sont parallèles se coupent suivant une horizontale de ces plans menés par le point s. Cela posé, nommant P le plan de section, puisqu'il coupe les faces sab et sed suivant des droites parallèles entre elles , cesdroites seront aussi parallèles à l'intersection des plans de ces faces , donc à ab , cd et H', donc H’ doit être parallèle à ah ( on peut d’ailleurs prendre celte trace H' partout où l’on voudra sur le dessin pourvu, qu’on la mène parallèle à ab). Puis le plan P coupe les faces sad et sbc suivant deux droites parallèles entre elles et par conséquent à D, et passant par les points x et y, si l’on mène par ces points des parallèles à D coupant s k a, j* 6, *V, **</ aux points a‘, b' k , c'*, «f* et si l’on joint c' k if k la figure a'WV* sera la projec-
tion horizontale de la section et devra par conséquent être un parallélogramme.
Les côtés a' k b' k et a k d' k étant respectivement parallèles à ab et à D*, pour que le parallélogramme n'*6'W*soit rectangle, il faut et il suffit que IV soit perpendiculaire sur ab. Pour que la projection a'*4'W* soit un losange, remarquons que tout plan parallèle à P couperaitaussi dans ce cas la pyramide suivant un parallélogramme ayant pour projection horizontale un losange; nous pouvons donc prendre ab (fig. 142) pour la trace du plan sécant et alors où sera un côté du losange. L'autre côté devant être égal à ab, du point a comme centre et avec un rayon égal à ab nous décrirons uneeirconférence de cercle sur laquelle doit être pris arbitrairement le point ct k , puis menant du point o une parallèle à «f*, elle vient couper dit au point
on aurait pu de même décrire la circonférence du centre b. Enfin la projection n'WNf* sera un quarré si l'on a en même temps <f* sur la circonférence précédbnte et D* perpendiculaire sur ab.
156. Problème 55. Couper une pyramide quadrangulaire ù base quelconque par un plan de manière que la section soit un parallélogramme (fig. 143). Prenons pour plan horizontal le plan do la base abcd, nous. ne construisons pas de projection verticale, il serait facile d'en avoir une si on le désirait. Prolongeons les côtés opposés
ah et rrf jusqu’à leur rencontre en o et joignons o*‘, ce sera la projection horizontale I* de l'intersection des plans des deux feees *ab, ml. Prolongeons de même les côtés opposés ad, bc jusqu'à leur rencontre en ai et joignons a«*, ce sera la projection horizontale J* de l'intersection des plans des deux faces tah, * bc. Enfin la droite o-, > sera la trace horizontale du plan ( I, J ) ou X . Cela posé le plan sécant , devant couper les faces opposés suivant des droites parallèles entre elles et par conséquent parallèles à leur intersection , doit être lui-même parallèle à la fois aux deux droites I et J et par conséquent à leur plan, donc H' doit être parallèle 4 H’, on peut d'ailleurs prendre pour H' une droite quelconque remplissant cette condition. Puis menant par les points. r et y, en lesquels H’ coupe né et rrf, des parallèles à I*, et parles points u et s, où H’ coupe nrf et bc, des parallèles J*, oes droites se croiseront en des points situés sur les projections des arêtes et donneront la projection horizontale n'*6'*e'*rf'* de la section, qui doit par conséquent être un parallélogramme.
La projection horizontale a'*ê'W* serait un rectangle , si les projections i* et J* des intersections étaient perpendiculaires entre elles, c’est-à-dire si le point** (fit/. 1 43) appartenait à la circonférence de cercle décrite sur oa> comme diamètre.
Comme cas particuliers, on peut indiquer les deux suivants :
1" La projection a'WV* sera un losange, si le triangle ou* ai {fiy. 445) est isocèle, et si en menant par le point a une parallèle R, à la droite ou, le pointm est le milieu de la longueur de droite rr 1 interceptée sur R par les droites oc et fx*r. Dans ce cas, le trapèze abcd est tel, que les côtés cd et cb, ad et ab sont égaux entre eux , et, dans ce cas encore, la droite r** passe par le sommet a du trapèze.
2' Les conditions indiquées ci-dessus étant remplies , si le triangle isocèle est rectangle, ou , en d'autres termes, si le point ** est sur la circonférence d’un cercle dont ou serait le diamètre , alors la projection a'WV* sera un carré.
Désignons par D la droite qui unit les points de conoours o et ai des côtés opposés du trapèze B, base de la pyramide; désignons par * le sommet de la pyramide, et par H' une droite qui, tracée sur le plan du trapèze (plan que nous prendrons pour plan horizontal de projection) sera parallèle à D.
Si, par le point **, on mène une verticale Y, et si l’on prend surcette droite une suite de points », *’, *'', etc., et qu’on les regarde comme les sommets d'une suite de pyramides Z, Z', Z", etc. , ayant toutes pour base commune le trapèze fi; si par H'on mène une suite de plans P, P', P", etc., respectivement parallèles aux plans (*, D), (*', D), (*", D), etc., ces plans couperont les pyramides suivant des parallélogrammes qui se projetteront tous sur le plan horizontal, suivant un seul e! même parallélogramme E*.
Ainsi : te plan P coupera la pyramide Z suivant un parallélogramme E P' — Z' — E'
etc. — etc. — etc.
et tous ces parallélogrammes E, E', E", etc., seront situés sur un prisme droit ayant le parallélogramme E* pour base. El comme la position du sommet s peut varier arbitrairement sur Y, et qu'ainsi on peut faire croître ou décroître à volonté la hauteur du sommet s au-dessus du plan horizontal , on voit que l’on peut supposer cette hauteur nulle; alors le plau sécant P et la pyramide Z se confondent avec le plan horizontal, et l’on n’a plus qu’un système de lignes toutes tracées sur un plan, et non plus un système de lignes dont une partie est sur le plan , et dont l’autre partie est la projection de certaines lignes situées dans l’espace.
Nous pouvons donc énoncer ce qui suit :
Un système situé sur un plan , ou, comme on le dit, un système plan , peut être regardé comme la projection sur son plan de divers systèmes situés dans l'espace, étant tous du même genre comme étant tous soumis à une certaine et même loi de formation.
Et comme, dans un système plan, on pourra regarder certaines lignes comme étant dans le plan, et certaines autres comme étant la projection sur ce plan de lignes de l’espace , et que le choix des lignes regardées comme étant sur le plan pourra être souvent arbitraire, pourvu qu'il conduise à un système pouvant exister dans l’espace, on peut dire qu'un système plan peut être regarde comme la projection de divers systèmes de l’espace et de genres différents.
Ainsi dans la fig. 145, qui empêche de regarder les points a et ** de la ligure plane comme étant sur le plan de cette figure, et de considérer les points b,c, d du trapèze comme étant les projections de points de l'espace? alors on aurait une pyramide dont l’arête sa serait seule dans le plan de la figure, et ce système serait bien différent de celui où l’on regarderait le trapèze abcd comme étant dans le plan de la ligure, et le point a 1 comme étant la projection d'un point s de l'espace, puisque, dans ce cas, on aurait une pyramide ayant sa base sur le plan de la ligure.
Et de plus dans le premier système, celui où l’on considère les quatre points a, b, c, d comme étant les projections de quatre points de l’espace, on pourra établir que ces quatre points de l'espace sont les sommets d’un quadrilatère plan ou les sommets d’un quadrilatère gauche.
Dans le premier cas, les points o et u seront les projections de deux points de l’espace; dans le deuxième cas, ces points o et u devront être considérés comme les projections de deux droites verticales, perpendiculaires au plan de la ligure ?
sur chacune desquelles s'appuient les côtés opposés (et supposés prolongés) du quadrilatère gauche.
D'après ce qui précède, on voit que lorsqu'on a sur un plan un système de lignes, et que l'on veut découvrir les propriétés géométriques dont ce système plan peut jouir, on doit cheiclicrà construire dans l’espace un système de lignes ayant le système plan pour projection, et chercher parmi tous les systèmes de l'espace constructibles celui qui permettra de découvrir facilement, et le plus facilement, les propriétés du système plan donné; et réciproquement, lorsqu’on a un système de lignes dans l’espace, on doit projeter ce système sur un plan, et rechercher les propriétés du système de l’espace, en vertu des propriétés dont jouit le système-plan-projeclion ; on doit donc, parmi tous les plans de projection , chercher celui qui sera tellement situé par rapport au système de l’espace, que la projection , sur ce plan , du système de l’espace nous permettra de découvrir facilement, et le plus facilement possitde, les propriétés du svslème-plan-projection, pour en conclure les propriétés du système de l’es|>ace.
Ce mode de recherches, qui consiste à passer du plan dam l'espace, et réciproquement de t'espace sur le plan , est fécond en géométrie descriptive , et il est tout à fait dans l’esprit de cette science, puisqu’il n’est évidemment qu'une conséquence de la méthode générale des projections, méthode qui est la hase de la géométrie descriptive.
Soit donné le trapèze abcd sur le plan horizontal ( fig. 145 bis), dont les côtés opposés étant prolongés se coupent aux points o et w, soit ** la projection du sommet s de la pyramide ayant le trapèze abcd pour base.
Menons par le pointa une droite U' parallèle à la droite (o, w) et regardons cette droite comme la trace horizontale d’un plan P lequel soit parallèle au plan (»,o,u); ce plan P, coupera ta pyramide suivant un parallélogramme qui se projettera suivant un autre parallélogramme a'WV*.
Pela posé :
Par le point r en lequel H’ coupe la droite co menons une droite quelconque rc"‘, coupant la droite pèV'en un point c"‘. Joignons les points c etc"* par unedroit coupant la ligne mj* en un point *'*, la pyramide qui aura pour base le trapèze abcd, et pour sommet un point ayant s'* pour projection horizontale, sera coupée par un plan P' ayant IP pour trace horizontale, et ce plan étant parallèle au plan (s'ov) , suivant un parallélogramme ab"c"d" qui se projettera suivant un autre |uirallclogrammc «é"V'V"‘, tels que les cinq points p, b' h , c' A , b" k , c"* seront en ligne droite. Il est évident que les deux parallélogrammes de section ab'c'd et ab"c"d' sont situés sur un prisme oblique dont les arêtes sont parallèles à la droite Nous aurons donc, dans ce cas, une suite de pyramides ayant mêm.
base et coupées jmr des plans P, P’, P",etc. ; , ayant ^èmc-trace horizontale H'vsufvaDt (les parallélogramihes se projetant (sur k’plan de-bâse ) solvant des parallélogrammes différents, «t non plus suivant le même parallélogramme, comme dans le cas où. les divers sommets », t‘,V, etc-, des pyramides étaient situés sur une peçpeadiçulatDe au plaade base. , - ~ .
Dés lors oit pourra demander de trouver la position que doit occuper le somme' s' pUur que la projection du parallélogrammede section jouissu de certaines propriétés ,j»t sort, por, 'exemple , un losange, ou quaJeS côtés adjacents sojcnl Hat* un rapport donné , etc. En désignant le trapèlo de base par B , on peut dire t(ru- Icsystèmeforrac par la pyramide (V, B) et té plan P a été transformé en le système formé j>ar ja pyramide (*\ Bj et le plan P'. • •• > î. •
Le mode, de recherche quroonsi&e itransfOBtner uOe- fignro plane on uneauti e figure plane , un système d© l’espace en un autre système, dé l’espace , et i> existe" bien dei modes différents do transformation, /est Xrés-frc<juem.iuen^!mplàyéeti géométrie descriptive ; »on s’en . sert pour transformer un Système 1 en un autre syHéme ï!, tc-f que l’on prisse facileraout reconnaître se»^ro|H-tatosgêoi«;étrtqûes,
(* l’On passe alu^ des propriétés reconnues ;$ur le système i',à celles qui. doivent exister sur le système primitif s, eu faisant subh. aux propriété» du. système transfqrmé ^ les modifications quota mode- de transformation empEttyé pour repasser du système £' au système £ doit leur faire éprouver. . . •; y •. -a % . . ’
Ce rftode de recherche n’est encore qu’une conséquence de la' méthode dos projections, mais une conséquence plus générale que ne l’est le mode précédenrment exposé- Dans la seconde partie de ce cours, nous aurons plus-d’ufiç foisl’oe* casino d’employer l’un et l’autre de ces deux modes dè recherche. X .
Maintenant proposons-nous de chercher quelle (tait être la position iju point ■t* sut fa droite us* , pour . que, fit/. 1 45 hit , l<- parallélogramme ufr"V"*d"* soft un losange. Pour que.ceparallélogramjne soit un losange , il faulqual on ait atf‘'^==ufr ? ’\- Or, en supposant que la droite üd"‘ aété menée arbilrârrement, il Impli'a-quela droite rA"*'soîf parallèle, a la -droite ce qui ne pourra 'avoir lieu évidemment .
que poqr certaine direction particulière donnée à la droite-ad"\- En examinant dt* près- le problème propQsé, on voit qq’jlrse réduit au suivant .
£\nnl donnés ( Jirj. 145 1er) deux droites punilMes \ cl B, un poinCa tur'A etiui point r hors, des dette droites, mener par le point r uni droite D telle que , coupant les droites A et B aux points, et c"*; on ail >nb"*=b"*c"‘i - , -
t)r oe problème se rèsoud facilemeut dé la manière sjimnte : - •*’
Concevrons par le point r une suite de droiteaft, R', R", etc. , dont l'une, R, passe par le. point a et coupe la droite A aux points a„-.è'\ i' a , è"'\ etc., et la ifokv
B. aux. points p. e'Yf etc.
af
— ÜO* —
Portons sur* tes droites .H, R', R", etc;, fl'- à partir da? points », (Si , £"*, etu., èt. du oété de 6 les -distancés du point a à chacune deces droite» .R, H-'ij*^t».tc,,icçs distances étant comptées sur la droite A, on aura les points*», y', f'yj/", <Jte. , qui détermineront une courbe ô, laquage -sera évidemment composée d'une brandis infinie passant par le point a et coupant In droite D curieux points. c.etc,; lés droites rc, et -rc. résoudront lq problème, qui aura toujours de tüt solutions. Ou donne, à défie Courbe p le non» du coyrbetf erreur. Or, il est «vident que la courbe d'erreur oui un lieu i/ikinuitritfac , ef qu’aitisi , en employant en géométrie descriptive iutc courût d’erreur, nous (faisons identiquement ce que l’on Jait lorsque I on apidique l’analyse à la géométrie , .eljque Ion «fterclie un poiàt situé à la ibis «ni detrv. lieux géométriques. • '• \ '••s
Lan» le ju-oblerne précédent , les Héux géométriques sont la droite B et fy cauljie,!».,-,; .** .* : \r- '• ■■■ » • : - : ■ •»..* • ■>
• iéemploPtlcs cQttrbea (f erreur est lrés-1'réquehi en géométrie déscriptivf.
iJOtuion» un second exemple de l’emploi de ces courbc^d’/erreur. -
- IJ tant donné 4 fig. 1 45 to») /un quadrilatère abcd comme base d'une pyramide , ï lierrfioiH Imposition que doit occuper Je sommet s de cette pyramide pour qu'iüi plan P, parallèle nu plan (*, o, u),-la coufte suivant u» paralldogruioiTmqiMse projette sur. lé plao horiiontal, ou, en-d’ autres termes , sur lu phtrt de base suivrai un. carré. Les-droiles «.y* et uf devront être- rectangulaires, Iq point** devra dont être situé sur ün cerolc K décrit sut- o£> comme diamètre.. , •• . *.
• Par suite, faisant istsser le plan p-par le point sera parallèle à ùù, le point c* devra donc être situé sur un cerole-6 décrit sué rp cbtnnte dianiêtre^ ict il faudra évidemment que ce point «‘-soit tel que menant la droite rc*, et abaissant du poipl.u.une perpendiculaire- <tb' k sur cette droite,- on ,afl-i o b'*&fr\*, Il (audru donc (fig: 145^ qu<ner)i construire une courlnid'csreui •/.tfe la manière suivantes
llù peint r nous mènerons, unè suite de droites' H, Rf, B' f y R" etc: , coupant le cercla-K aux poitUsc*, c" 1 *., etc. ; du point « nous abaisserons des porpen-
iHculaFires L, V t -t"V etc. , sur les droites H , .K‘, H", etc. , et les .coupant respectivement au* points 6*, 6'*," b'\ b'"\ ptc ; ' • •’ ’ *•' r<
Puis nous portcfoiiafSur R , et à jiartir du-jKiinl /i*, ireo longueur é*u=?Â5 ; sbi
lt', et à partir du pointé'*, une lonÿuèur b*yti=b*a, et ainsi dé suite. '
Le$ .points y, ÿ\ ete,, détermineront une courbe; qui passera parle point « et qui coupera Jç cercle K un deux points c,'èt,c, qui seront évidemment situé» sur vme jjerpendiwlaice à ia droite rp-
Unissant le point e avec c. par une droite J et.ee méW point < jièèc.r, pàr une droite i\ ces doux droites J et J' couperont Je «fcrcleJÏ en deux -points-**- et*.
*'* situés sur uhc perpendiculaire à - là droite o®, et ces. points scrouLjes
projections des divers sommets »et des divers sommets *' dés diverses -pyrafuides qui, ay&nt lequadriiatèro |*>ar base, seront coudés par un plan parallèle- au plan (s, o, u) ou au plan (*', o, ») suivant on parallélogramme'se'projetant , sur le, plan de.basé, suivant Un carré. :
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457 ./Dans «fc’qiii.préèéde, nous n’avons coosidéeé que des projection^ orthogonales- sur,deux plans pofpendioulaires entre eu*y en généralisant la même idée on;peut nommer projection ÿtln point sur un plan ,1e point oà une droite quelconque’ passant parle, point donné rencontre ce plan, 'mais le système de projections étudié ci-dessus ésl le plus usité; cependant on emploie tfuelqtrdbis
système par sa projection sur un plan, qu'on nommé phm de ■ comprraison , et que l'on choisit ordinaire: mèrit au-dessus de tons les poitits dusÿstèinc projeté, cl -par un nombre éoritsi côoTdé La projection du peint et qui en (ail connaître ta distance au plan de comparaison. Go nombre prend le nom dé cote du point. Les cote t des points situées au-dessus du plan do .comparaison seraient négatives; on voit que ce système •outre dans lo système général , caé, à l’aide des cote* de ehai|ue point du système projeté; on pourrait én obtenir la projection Sur un plan quelconque,' perpendiculaire au plan de comparaison, en choisissant 'une ligne de terre arbitraire, abaissant de la projectipn connue de chaque poinf une perpendiculaire sur celte ligne, emportant dit cdté Cbnvènable dès distances égales aux cota, dé ces points (n" 5). ' • , O- ’ > '■ - - ’’V . ' *»
• .Dans ce systènfe une droite est déterminée par kt.prejfiCttOM-ét les cotes de deux de ses points (n* 18), et un pkin par sa ligne de plus grande pente par-rap- • port an plan de comparaison (n*38), ligne qui porte le nom d'échelle de pente du pim. . v '• '
Ce système de projection est fréquemment usité, surtout dans les dessins relatifs auxefortHkation* et au* travaux de déblai et remldâi , tels que routes, raltaux , etc. • • ■ *
Comme l’on ne peut pas ordinairement avoir une fctriile de dessin assez grande pour représenter les corps dans leurs grandeurs -naturelles , on réduit les plans à une échelle déterminée qui doit être annexée au dessin et sur laquelle ©n eompte les longueurs horizontales, les cotes sontloqjeurs Indiquées dans leurs 'grandeurs naturelles, il feudrait les réduire à la même échelle, si bob voulait faire la projection verticale du corps. Nous verrons cependant que, pour «tes aanUfs qu’il n’est pas temps oncore d’expliquer , on ne réduit quélquefois pas les (jeux projection* à la ntéroe échelle; - ; -
158. On notante projections oblique», colles qui s&ritdéterminées pat .des droites inclinées par rapport au plan de projection, et toutes parallèles entre elles. Pour pouvoir obtenir la projection oblique d’un point, il faut connaître |a direction et l'mcHnaison de ladroite projetante par rapport au plan de projection; On la-donne ordinairement par sa 'pente, c'est-à-dire par tï rapport de la hauteur à la base du triangle rectangle formé par les droites projetant orthogônatemeht et obfique- , ment le point et par celle qui unit cos deux projections, le-point est alors déterminé par sa projection orthogonale et une projection oblique sur le même plan, car ht projection ortliogonale faiUconmtltro une droite sur laquelle le point est situé, et la distant •• des deux projection- conjointement avec. I a. rapport connu de 1» hauteur à la base du triangle rectangle, oi-dcssu$ désigné; fait connaître ladis- .lancédu poiiil au plan de projection lorsque les lignes projcbuues sont inclinées à 15" sur le pFan ch: projection, le triangle rectangle est isoeèle , sa base estjigale a «a hauteur, et par eousequont la distance du puialaupkn de projection est égale i celle de ses deux projections. „ ■ , "
..Dans la théofie dés. oinbres,’ cetto seconde: projection est ce qu’on nomme l'ombre portée dit point sur le pian do projection , qui est ordinairement le plan horizontal pour lé plan gémwtral et le plan vertical pour les coupes ét les élévations. • / J .
Une. droite est de la-même manière définie par sa projection orthogonale et une projection oblique sur lé même plan, et un plan par les deux thèmes projections de sa ligne dé plus grande pente.; Ce que I on. nom me perspective militaire n’est autre chose tfu'ùne projectiob oblique; ntt s’en sert aussi dan* les travaux d'arts des
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pont» et chaussées, pour mieux faire voir les détails d'assemblages des pariiez intérieures des constructions.
159. Las projections orthogonales et obliques quo nous venons d imliquer portent le nom commun de projections cylindrii/ues. Il oxiste encore un système de projections quo nous nommerons jirojections conii/ucs, et auxquelles on donne aussi le nom de projections centrales ou polaires. Dans ce système, lès d rentes projetantes passent toutes par un même point fixe, qu’on nomme pô/ç ou.cnitn des projections. . • ;
Dans ce système, on emploie deux plans rectangulaires, làtn nommé yéomeVMl. sur lequel on projette orthogonalement le système proposé; l'autre homme utbleau,. sur lequel on effectue la projection conique ou la perspective dç ,ce même système. La ligne de terre prend , dans ce cas -ci , le nom de hase <fu tableau- , »- . • . . „ *
Un point est déterminé dans l'espace, quand on connaît sa projection orthogonale sur- le géo mélral , sa perspective , ht base du tableau eflc centre des projections ou point de vue. Mais on peut aussi définir la position d'un point dans, l'espace par sa perspective , sa cote de hauteur au-dessus du géométrak; la projection du point de vue fait connaître la base du tableau. ' . *
ICO. Mais Jorsqu'on ne cherche que des relations de position sur. un plan, on peut donner upe seule projection du système de-points et.de droites , la position du système dans l'espace reste arbitraire; c’est ce que nou? avons déjà fait ,dans quelques questions du chapitre. II).' •*
Des plans colés et nivelés.
ICI. Daus tout cet article nous mesurerons les distances horizontal^ sur une échelle au centième ou de 0". 01 .pour l“.00, représentée (/îÿ.Jtdjj'les décimètres y sont exprimés par des millimètres. Si l’on voulait avoir des distances moindres que les décimètres, par exemple les centimètres, on disposerait l'échelle comme il suit. A l'une des extrémités Vi(yb/. 147) dé la droite né, on élève une perpendiculaire, sur laquelle on porté 1U Ibis uno longueur arbitraire; par tous les points 1, 2,3....... 10, on mène des parallèles à ab, puis divisant Ja
ilemière parallèle en millimètres , nous joindrons les points tet 10', 2 et l', 3 rt 2',... 10 et 0' des deux parallèles extrêmes , et il est évident que toutes ces nouvelles .droites sont parallèles, et qu’elles interceptent sur les parallèles à «6-des. parties égales à0“,0001, 0“,0002 , 0',0003,. ,.., 0®,0009, 0",001 ; en effet, considérons la partie «p comptée -sur la parallèle menée dj» point ij les triantes Seœblgblw 10.1-* — p et 10 — 9'— .10' donnent 10 — 10' : !0-*(3 : : 9'— 10':«p. Or 10 J-'l0'
<;4n(ient 10 des parties dent (-10 — |5)en contient 7, et 9'— 10'= 0“,001 ;.dow celle proportion peut se changer en celle-ci : 10:7 : : 0",00i : acê*=0“,OOO7' on trouverait de ipême la valeur des parties comprises sur les autres parallèles. Cela |K»sé , supposons qu’on veuille mesurer sur cette échelle une longueur de 7“,64 * on prendra sur la parallèle à ab , menée du point 4 , la longueur 7 i, qui sera lu droite demandée , réduite à l’échelle. En effet, cette droite y3 Se ooni|)ose de y £ =0“,07, de *;=ir,006,et de la partie tÇ=0 ,00()4 : doncen tout y6=0*,0784, ce qui représente, .à l’échélle convenue, la longueur donnée dé 7*. 04%
402. Problème 4. Sur une droite donnée trouver la cote d'un point quelconque dont nn se donne la projection (fig. 143). Concevons le plan projetant la droite donnée D suHc plan de comparaison. que nous considérerons comme horizontal, et prenons le pour plan vertical de projection , de sorte que I)* deviendra LT, on au/a I) on poVtant sur des perpendiculaires à LT des longueurs m‘m et m‘nt, respectivement égalée aux cote* données y et y '(*) , des points m et m appartenant à la droite D de l’espace; élevant la perpendiculaire sa longueur* exprimera
■ précisément ta cote cherohée y ' du point m''. Pour en avoir l’oxpressiori numérique ert fonction dos cotes connues ij et y, menons la droite ml parallèle à LT, nous aurons ‘:.m'‘l=m"*A=m‘m=y , et les triangles semblables mlm, mkm'tion-
neront
ou
où enlin
d’ojjj
et
ml : mk : km'
s’=r5Hr
j”(y— y) yte'— x' , )4-y’x'
Soit, ppr exemple , la droite D ( fig . 149 ) , et demandons la cote du point m". ItortonS sur l’ échelle (/y. 146 ) r les distances horizontales et je sup-
pose qu’on les trouve respectivement de 0”,02 et 0”,015 , ce qui donne pour ces distances ramenées à leur grandeur naturelle x—1 m etx"=-l",5 (fl* 161 ); nous
(*) Nous avons désigné les longueurs horizontales , dont on copnAÎt la grandeur an moyen de l'échelle par X » X, etc., et les distances des points an plan de comparaison (distances données par les rotes) par y, y'»* etc., pour conserver U notation dont on a l*h&bitinier lorsque l’on applique ValgèbrO a la géqmctrie. . ‘
aVgns d’ailleurs ÿ=x5*,20 et jy ==«“,60 «ubsmuaQl.ces valeurs dans la formule précédente, nous trouverons : 4 • .
„ i,îxô- i,5)+9.6xi,5 s,axo,5+9,üxi,5 2,60 + 11.10 17
y =— rj = J - ‘"ï = T
ou enlin
103. Phobi.èhe ‘2. Sur une droite donnée trouver la projection dm point dont on connaît la cote ( fig . 148 ). Ayanl tracé contre ci-dessus la droite D, je, prends sur mfim une longueur égale à la cote donnée y" et menant l"m" parallèle à LT, le point m" sera le point cherché, dont nous aurons en m"* la projection horizontale.; mais il faut avoir la distance au point »n*; pour cela ayant obtenu comme ci-dessus la proportion. : > • • ;
x:x"::y'—ycy”—y * '
notis en tirerons : ' . • - , . . , .•
jf
Soit, par exemple, la droite D (fig. 450), sur laquelle ou demande de trouver lo point ayanl pour cote 8". Ayant porté la distance m‘m'* sur l'échelle (fig. HQ), supposons qu’on la trouve de 0“,005, ecqui donne <ç’— 0T,5 ( n° 101 ); on a>n ..Utre : y— ÿ'«l3-,TO,Y=i:8-,00.;' " '
D’où ÿ"— ' y=8“— 16“, 30 = $”,30 et y'— y =J3“,10— 1 0-,3O;=2-,6(P,’ces va leurs étant substituées’ dans la formule précédente , leur signe— disparaîtra, mais . on peut l’éviler d priori , car si dans la fig. 148 |a côte y eût été supposée plus grande que la cote y' cl que la cote y", il est facile do reconnaître que les aièqtes ' ■
constructions auraient conduit à la formule x " dans- laquelle il faut
substituer à (y— y") et A (y — y') les valeurs positives 8”, 30 et ‘2“,H0;on.a alors
ar“ =
ôii à très-peu près, o:"=ïl“,ü<>; réduite à l’échelle, celle, valeur dcvicul 0“,16.- Nous la. prendrons sur l’échelle, cl, la |>orlant de m' en m"* du côté des cote* décroissantes , le point misera le point demandé. : •
Si l’on demandait la trace de la droite sur le plan de comparaison ou le point ayanl pour cote zéro, il sullirait de faire y"=0 , d’où'.x"=~^ .Il faut avoir soin
de porter jes distances négatives d’an côté opposé à celui sur lequel on porte les distances positives. - .
