Problème 24. Trouver Cangle d'une droite et dun plan
1* Cet angle étant celui que fait la droite donnée avec sa projection «ur le plan doimé 9 il faudrait résoudre , par rapport à la droite donnée , le problème résolu (n^ i8) par rapport à un point, et l'on serait conduit à chercher l'angle de deux droites (n* 1 1*5) . Mais nous remarquerons que cela tevietft à rendre le plan P horizontal ou vertical , ce que Ton peut faire de quatre manières différenftes (ti* 7€) , en supposant La droite D invariablement liée au ,plan„ de sarte que l'on doit en trouver les projections sur tout nouveafu pitande fnrojedîiHi que l'on icbâisU^ et aussi Mf)-
— exposer qu'elle soit entraînée dans les mouvements de rotation effectués^ en décrivant toujours le même angle que le plan. On* est alors ramené à chercher Pangte d'une cfroite avec Tun des plans dti projeetion (n^ tt7).
n sera facile de suivre toute» le» GonstPucttoBS rar la figure 1)07.
T €e problème peut aussi se^ r^ouchre d^une' autre' mamè!» ^ mr si d*uiii potiit quelconque m de la droite Dv on* abaisse une^perpendiculaire Of sur le plan P (a* 86), Fangle des* droites D et N es4^ le complément de Tangle- que* fiatît lut droite B> amc I» plan P; on est ainsi ramené à' chercher Tanglè de' ces deu/s droite» B et M (dT i4<S), ei Ton en prend le complémenti.
420. Problème S5» Trouver Ikê angles (fun plan a»êc tes plans de' pvojtctfom ^fig. 108). Uaugle de deux plans^se mesure pav deux perpendiculaires menées par un même poist de rintepsection^ commune ckces'dëux plans et »toées respectivement dans chacun des deux plans; il' en résolteque si le plan donné ^it perpendiculaire au plan vertical , Tangle qu^il fait avee le plan horizontal aesait mesuré par Tan^e de sa trace verticale avec la ligne de terre ;. de même si le plan donné était perpenculaire au plan horizontal, Tangle qu'il £ait aivec le plan vertical serait évidemment mesuré par Tangleque fait sa traça horizontale aveclaligne de terre* La solution du problème consistera donc à rendre le plan donné perpendiculaire successivement au plan horizontal et aa plan vertical de projection , soit par un changement de plan (n* 5g),. soit par un mouvem^it de rotation (n** 64). On. trouvera ainsi , par les deux méthodes y 1- angle ce. qjue fait, le* plan P avec le plan horizontal et l'angle (3 qu'il fait avee le plan verticaK IL est inutile de déuebpper les constructions, on les suivra faoilementsun la figure.
1i21 . Si du^poînti Ai ou A'*" on abaisse une normale N' sur V et une normale N" sur ff', en supposant le plan vertical de projection relevé , N' sera perpendicu- Isôre à Taxe A* ^ et par conséquent» aussi à une parallèle à cet axe ou à H^' menée pan le point n, donc elle est perpendiculaire au plan P'; de môme N" est perpendiculaire à Faxe ^', et par. conséquent aussi à une parallèle a cet axe ou à V*", menée par le point 5*", donc elle est perpendicuaire au plan P". Si Ton ramène les plans F et fi" dan&leur posîtionânitialePrles normales N' et N" se réuniront en une même droite perpendiculaire au plan P,, donc N'=:N". Donc enfin V' et V" sont deux tangentes au cercle décrit du point A* ou A"" comme centre, et avec N' ou N" pour rayon.
1f29L Si. le plan: donné fait des. angles égfiux avec les deux plans de projection , sefr traces sont également inclinées, aun la. Ligne de terre. En effet , 1** d'un point (pidconque o {fig^ 109) de LT abaissons une perpendiculaire N sur le plan donné P^elle le rencontrera en un. pointa, duquel abaissant des perpendiculaires bi et 6j[ sur les traces du plan* P,. nou& formerons dans l'espace les deux triangles obi et «frj;égaux,cQmmo ayant uuiCÀté commun et deux angles égaux chacun à chacun;
donc oi=:oj et bo%z=ibcj, par suite poi=:poj (n^ 118), donc les triangles pot et pcj sont
égaux, et par conséquent opi^-opj. Suivant que les perpendiculaires oîetq;, menées sur H' et Y' tombent de côtés différents ou du même côté de LT, les traces font des angles ^aux avec la même partie ou avec des parties différentes de LT, et dans le second cas elles coïncident. Si le plan donné était parallèle à la ligne de terre , ses traces seraient parallèles à LT, et situées à la même distance de cette ligne LT, de sorte qu'elles se confondraient si elles se trouvaient situées du même côté.
2^ Dans le cas particulier d'un plan parallèle à la ligne de terre {fig* 110), il est évident que ses traces doivent être également distantes de LT, car, si dans le plan V on mène une droite ac perpendiculaire à LT, elle sera perpendiculaire à la fois à H**' et à Y^, par conséquent le triangle aoc est isocèle, donc Ton a : aosoc. Cela posé : faisant tourner le plan P' autour de ac, jusqu'à ce qu'il vienne couper la ligne de terre en un point p, les triangles aop et c&p seront égaux comme ayant un
angle égal compris entre côtés égaux; donc l'on a : apo=cop; le plan P fait donc des angles égaux avec les deux plans de projection.
123. Problème 26. Par une droite donnée conduire un plan faisant un angle donné a avec le plan horizontal {fig. 111).
Soit D la droite donnée, les traces du plan cherché devront respectivement passer par les traces horizontale et verticale a et 6 de D ; cela posé , menons par le point b un axe vertical A et concevons que le plan P ait tourné autour de cet axe jusqu'à ce qu'il soit arrivé en la position F perpendiculaire au plan vertical, sa trace verticale Y" ne cessera pas de passer par le point b et fora avec LT l'angle « ; ramenant ensuite ce plan P' à la position P qu'il doit occuper dans l'espace , le point p\ intersection des deux traces du plan P" (ou mieux : intersection du plan P" avec la ligne de terre LT), décrira sur le plan horizontal un cercle C auquel la trace H" reste toujours tangente pendant le mouvement de rotation ; donc menant par le point a une tangente au cercle G, cette tangente sera H', puis Y' doit passer par b et rencontrer LT au même point que H'.
Si la trace H' ne rencontrait pas LT dans les limites du dessin , on trouverait un second point de Y* en menant par un point quelconque de la droite D une horizontale du plan P.
Remarquons que ce problème ne peut pas être résolu par un changement de plan. Cependant si la droite donnée était la trace horizontale du plan cherché, on pourrait employer indifféremment l'une ou l'autre méthode; car 1* prenant un axe A quelconque on amènerait le point p en p', puis on tracerait la droite Y*' faisant avec LT l'angle «, ce qui ferait connaître un point b de Y'; 2* si l'on prenait un plan verlical perpendiculaire à H% la trace verticale Y'' ferait avec LT l'angle tx, puis
changeant de plan vertical et prenant LT pour ligne de terre , on en dédoirait V. Si la droite donnée était la trace H' du plan P à construire , sachant quel est Tangle 6 que ce plan fait avec le plan vertical de projection, le problème pourrait se résoudre par un mouvement de rotation , mais on ne pourrait le résoudre par la méthode du changement de plans de projection. Il est facile de faire l'épure dans ce cas en vertu de tout ce qui a été dit précédemment.
1 24. Supposons que la droite D ne rencontre pas les plans de projection dans les limites du dessin (fig. 112). Nous pouvons concevoir dans le plan cherché P une ligne de plus grande pente E menée par un point quelconque m de la droite D ; si nous la faisons tourner autour d'un axe vertical A, passant par le point m, jusqu'à ce qu'elle soit en K' parallèle au plan vertical , sa projection K'** fera alors avec LT Tangle a , et l'on trouvera sa trace horizontale a'. En la ramenant dans sa première position , cette trace a! décrira le cercle C; un autre point quelconque n' de K' décrira un cercle C situé dans un plan horizontal X , coupant la droite D en un point b par lequel passe une horizontale B du plan cherché P; cette droite est tangente au cercle C, puisqu'elle doit passer par le point n extrémité d'un rayon , et être perpendiculaire à la ligne de plus grande pente K (n"" 37) ; donc enfin H' sera une droite tangente au cercle G et parallèle à B^. Enfin , on aura deux points ûc et y de la trace verticale y% par deux horizontales M et R du plan P, lesquelles passeront par deux points quelconques m et r de la droite D.
1 25. Problème 2?. Par un point donné , conduire un plan faisant un angle a avec le plan horizontal et un angle |3 avec le plan vertical. Prenons un axe A {fig. 1 08) sur le plan vertical et perpendiculaire au plan horizontal et par conséquent perpendi* culaire à la ligne de terre LT; concevons que le plan cherché P ait tourné autour de cet axe jusqu'à devenir perpendiculaire au plan vertical , sa trace V fera alors avec la ligne de terre l'angle a; on la mènera par un point quelconque p' de LT, elle fournira un point a de lairace Y'. Si l'on conçoit un second axe A' dans le plan horizontal et perpendiculaire à LT et que l'on fasse tourner le plan P autour de A' jusqu'à le rendre vertical, la trace H'" devra faire avecLT l'angle p. De plus, si du point A^ ou A'*', on abaisse des perpendiculaires sur V*' et sur H^', elles sont égales (n"" 121); donc H'" sera tangente au cercle décrit du centre A* et du rayon N', puis H'" rencontre A' en un point a, qui appartient à la trace horizontale H'« Si, maintenant, on ramène le plan F dans sa position véritable, p' intersection de ses deux traces, décrira un cercle autour du point A*, et l'on devra du point a' mener une tangente à ce cercle, ce sera la trace H' demandée, et, par suite» on aura V qui doit passer par le point a; d'ailleurs, si l'on ramenait P" dans la position P, le point ç" intersection de ses deux traces, décrirait un arc de cercle auquel Y^ doit être tangente. On aura ainsi un plan faisant les angles a et ^ avec les
plans horizontal et vertical de projection; il n'y aura plaB qu'à mener par le point éonné nn plhn pacaOèle an' plaa P (n^ 38), pour avoir résolu te' problème pro-
pO0BV>
1St6. PnoBLiiiB SSc Carmaksœti b^ tmceB hmimntalêaéB'dgux^plans et les angles q9^'iU.fontmec leplimvhcfrboontâlf ùronver leur» traces verihad^s {fig^ 93). Soient H*' et H^ les traces horizontales données, prenons un plba v^tioal de projection perp«eKooiaire au plant F, lai trace verticale Y'* ctevra^ ftnre a?<^ec LT Uangle a ; prenood de Oléine un: pl^ui vertîcali de projeetioa penpendîculaire an plan Q, la trace verticale y'"" devra £sdre'avea;L'T' l'angle |3^ il neste à^ rapporter les deux, j^hns P et Q au même plan vertical LT,. les 'traces horizontales IF et HP 00 changeront pas, et l'on, trouvera le& traces verticales Y' et Y** à L'aide d- une horÎAontale de diacun des deux pJan8PetQ(a*47)..
127. Pi^MLÈns Sd. TrawuT V angle de deux pians. Ce problème peut être- résolu ée bien d» manières différente»; nous allons en indiquer qnelk{ues-unes.
If Nous avon3^ appris- à trouver l'angle d'un plan avee les- plans de projection (n"* 430). Oa pourra donc se ramener dans cette position particuliène, soit en prenant Tnn des plans donnés pour nouveau plaa de projection , soit ai le rabattant 9ur l'un des plans primitifs; nons pourrons obtenir co résultat par L'une des quatre méthodes connues (n** 7B). Je ne fais qn'indiquer cette solution, afin qu'oas'y exerce; nous avons déjà eu plusieurs constructions du même genre.
^ Si les deux plans donnés étaient perpendiculaires à. 1- un des plans de projection , leurs traces sur ce plan comprendraient évidemmient entre elles un angle égal à l'angle des- deux plsms;; or, dans ce cas, rmtecsection des deux plans est perpendicalaire aut plan de projection. Pour ramener la figure dans cette posi* tîon particulière 9 il suffira donc de rendre Tinteisection des deux plans perpendieolaive à l'un des plans de projection , ce qui nécessita deux changements de plans (nf 3f>), ouc deux mouvements de: notation (n'' 63 ) , ou bieui aussi un chan^ gement' de* plan et un» mouvement de rotation , ou enfin un mouvement de rotation et un changement de pliam Dans tous les cas, il faut d! abord oonnaitre l'intersection des deux plans, et nous avons appris à la: trouver précédemment. Cela, posé, si nous voulons d'abord employer deux changements de plans {fig^^ 1)13), soient P et Q les pians donné^par leurs traces B%Y^ et H^yY^, et:I leur intersection: donnée par ses pcojeetions'I^etP; afin de nendre -cette. intersection II perpendiculaire au plaa horizontal-, nous prendrons d'abord pouirnoaiveau plan vertical de projection un plan.paralièle à I, etpour plus de simplicité le plamprojetant horizontalement cette dcoito: Ij, do sorte que VU ne' sera antre qnel'^; et si nous cherchons la projpclton do rintersection I sur ce nouveau plan, elle no'seua; autre que cette intersectîoa I ellenoiéme, elle roprésentera, e» même temps,. Y'' et Y'^. Nou» prendrons ensuite un nouveau: plan honizontal pec*
peiidiottbâfeà«cfittedn>teI, pai^^ L"T"«8ra penpenfioidÉinDiii L Ia()iKf0^
tk>ii de «laidn«tttel.âiir œ n&mvesoà fAstn sera ^wà Mul foÎBtl*" (de la nonveUeiigQeiée terre, .point qui sera commun aux deux nouvelles traces H''' et E"^ji il tfaut trouver un second point de chacune ide ces deux traces^ jpaor cela nous £n:q)loieron5 une verticale M du plan P, dont la trace horizontale m sur l'ancien plan L'T' est à une distance mm^^ de cette ligne de terre, donc sa trace sur le nouveau plan liorizontal L'T' devra être à la même distance de la ligne de terre L'T", et, par conséquent, en m', et ce pmirt appâtaient à H"* (n'* 28). De même, une verticarle K du pîan <î fera tîonnrittre tra point *' de H"*. I^uis Fangle « forme par H"*«t H'* est Tan^e demandé, et ainsi celui que font entre eux les plans P'et<^.
3* On peuft remplacer Fun des changements de plans de projection par un mouvement de rotation; par exemple, le second (fig. fH) ; dans ce cas, après avoir trouvé la droite I avec laquelle coïncident les traces T* etT*, îl faut Taire tourner le système autour d'un axe A perpendiculaire au plan vertical, jusqu'à ce que ï 80ît devenue verticale ; si l'on conçoit une verticale TH du plan P cft trae verticarte K du plan Q, pendant la rotation , ces verticales restent toujours à la même distance du plan vertical de projection et leurs projections verticales conservent aussi toujours la même distance à I (n** 56, 3*); nous prendrons dans notre 'figure, Taxe A passant par le pied m de M , ce point appartiendra donc toujours à la trace horizontale du plan P; abaissant la droite A" y perpendiculairement sur 1, y viendra en y' et ce point y sera, en même temps, I'*; joignant les points T* et m, on aura H". De même, la verticale K viendra en K' et fera connaître un point K'* ou x^^ deH*^', qui doit aussi passer par le point T* ou y.
Enfin l'angle des droites H**' et H°' est égal à Tangle cherché, qui.i^t celui que fo&t entre eux les deux plans P et Q.
4"* On poorrait jremplacer au cositraire le premiôr changeHiendt idu {dan de pro jactiottipar a&moaveiiieatde roitation., nuiis je ne trace pas l'^pacre île ce cas, car elle sera facile à exécuter d'après ce qui a été dit ô-dessas.
5* Enfin pour résoudre le problème par deux mouvements de j'Otation {Jig. 1 Afi ) , nous exécuterons ce qui suit : par un premier .mouvemaat autour d'un axe verlical A^ que nous choisissons ici passant par la trace verticale b 4e l'intersectiou I des deux plans V etQ, nous rendrons cette intersection I paraUèleau plan vârticftL La droite I se tran^orte sur le plan vertical défini par la ligue de terre XI en M-
saeft dëorâre à celte droite I, ^ «irtour de faice A un angle oAV=tf ; tons les pokite des plaM "P «t Q devrooft ééorire des an^es ëganaià (f ; )es traces VHV^m •oomfondent «vec f délermiaée par les poiBis a et 6; IP' dt W Aomnt passer par ie p^t a; poor qr ^moir tm soeoad peint, nous pouvoHS Tibawscr tes perpeii(ffci?H
laires A^p et Â^f sur H% puis chercher les noavelles positions des points p et 9 ; nous trouverons ainsi le point q\ en prenant l'arc qq' égal à Tare 00' sur le cercle D
décrit da point A* comme centre et avec A*ç pour rayon , cet arc : ao'î=2arc : qq' mesurant sur le cercle G un angle égal à f , et Ton aura H^'. Le point p étant sur notre
figure très-voisin du point a , les rayons M'a et A^p sont presque égaux , d*où il résulte qu'il serait difficile de fixer la position du point p', mais alors du centre A^ et
avec un rayon quelconque plus grand que A^p, nous décrirons un arc de cercle G coupant H' en c et P en y, nous aurons la position du point c après la rotation en prenant ce =77', et la trace H'' devra passer par les points a' et c'.
Faisons maintenant tourner le système autour d'un axe B perpendiculaire au plan vertical jusqu'à ce que l'intersection V soit devenue verticale, nous simplifierons la figure en faisant passer cet axe par le point a! , la> droite V viendra en 1" après avoir décrit autour de l'axe B un angle ^ que devront décrire aussi tous les points des plans P' et Q' ; les traces verticales V" et Y^" coïncident encore avec I". Pour avoir H'" et H^" nous emploierons une verticale de chacun de ces deux plans; soient M' une verticale du plan P' et K' une verticale du plan Q', du centre B*" et d'un rayon quelconque décrivons un cercle G', qui coupe M''' en m^ et K''' en /c'" ; cela fait , nous prendrons les projections horizontales m^ et k'^ des points m' et k!^ celui-ci étant par hypothèse la trace horizontale de la droite K', puis prenons les arcs m'W = /c"'A'"'=X'X" et nous aurons en m"" et A"* les nouvelles projections verticales des points w! et &'; nous en conclurons leurs projections horizontales m'*^ et k"^^ qui sont en même temps les projections M"^ et E"* des verticales des plans ; nous n'avons pas écrit cette dernière notation sur la figure pour ne pas la compliquer sans nécessité. Les deux plans P" et Q'' étant actuellement verticaux , leurs traces horizontales H'" et H^" devront passer respectivement par les points m'''^ et li'^j elles doivent aussi passer par le point a'; elles sont donc déterminées. Enfin les traces H*" et H^" comprennent entre elles un angle a qui mesure l'angle cherché , c'est-à-dire celui que font entre eux les plans P et Q.
6"* L'angle de deux plans est donné par deux perpendiculaires menées à ces plans par un même point de leur intersection I , ces deux normales sont dans un plan X {Jig. 116) perpendiculaire à L Ge plan X étant arbitraire, nous mènerons H' perpendiculaire en im point quelconque de I^, cette trace H^ coupe H' et H^ en des points x Qi y qui sont les traces des droites dont l'angle mesure celui des plans P et Q; pour appliquer ici la méthode ordinaire (n"" 115) nous prendrons P pour ligne de terre LT' et nous chercherons la droite I sur ce plan vertical de projection , puis remarquant que Y'^ doit être perpendiculaire à I , nous obtiendrons ainsi le sommet s de l'angle a demandé; nous rabattons ce sommet $ sur le plan
horizontal en s^ et Tangle cherché sera xsy. Au lieu de trouver le sommet s par un changement de plan, on F obtient aussi par un mouvement de rotation, en rabattant le plan vertical L'T' autour de sa trace verticale 66*, alors le point a vient en a y le point o en o', Tintersection I en V et la perpendiculaire os en oV, on fait ensuite o'a = os" puis 6*«' = 6*<j, on retrouve le point «', et Ton construit Tangle xs'y qui est l'angle demandé.
Si Ton compare cette dernière solution avec celle donnée par les auteurs des divers traités de géométrie descriptive publiés jusqu'à ce jour, on verra qu'elle est identi quement la même , mais aussi on reconnaîtra que l'emploi de nos méthodes en simplifie considérablement l'explication , et la rend par conséquent beaucoup plus facile k saisir.
Il est bon de remarquer que* la droite osz=zos=o$'s" est un côté de l'angle droit d*un triangle rectangle osa ou os'a dont la droite oa=:oa est Thypolcnuse, le
point s est toujours entre les points o et a et par suite on a toujours xsy < xay.
T Par la méthode précédente nous voyons que l'angle cherché est donné par le triangle xsy dont on connaît un côté xy , on pourrait chercher les deux autres côtés en rabattant les plans P et Q sur le plan horizontal ; et rapportant sur les rabattements, 1* l'intersection I, et 2* les perpendiculaires menées sûr celte intersection I par les points a; et y; on aurait alors à construire un triangle dont on connaîtrait les trois côtés, et l'on devrait remarquer que les arcs de cercle décrits des points x et y comâie centres et avec les deux côtés trouvés pour rayons doivent se couper en un point situé sur I*. Nous aurons l'occasion de donner complètement cette construction en résolvant un autre problème.
8® Lorsque deux plans se coupent, ils forment quatre angles deux à deux opposés par le sommet et dont deux aigus sont égaux entre eux , et deux obtus sont aussi égaux entre eux ; l'angle aigu est celui qu'on nomme l'angle des deux plans à moins que l'on ne fixe le sens vers lequel cet angle doit être compté. Cela posé, si d'un point quelconque on abaisse des perpendiculaires sur les deux plans, ces perpendiculaires forment aussi entre elles deux angles aigus et deux angles obtus, respectivement opposés par le sommet et qui sont respectivement égaux aux angles de même espèce compris entre les plans. On pourra donc trouver l'angle de deux plans en abaissant d'un même point de l'espace des perpendiculaires sur les deux plans proposés (n* 82), puis chercher l'angle de ces deux normales (u^ H5). En général si d'un point pris dans l'intérieur d'un angle dièdre , on abaisse des perpendiculaires sur les faces de cet angle , ces droites comprennent entre elles un angle supplémentaire de l'angle dièdre.
Cette dernière méthode n'exige pas que l'on connaisse l'intersection des deux
plans i ce qui est quelquefois trè&-ayanUgeux , car il peut arriver qpie la détenmnatiou des projections de cette droite d'interseclicm exrge des 6onstructk3M& tcèficompliquées comme nous Tavons vu dans quelques cs^.
128. Problème 30. IHviser SangU de deux pkau If et ^ eu deux, jmrûe^ éffaleê {Jig. H6). Si l'on suppose que le plan bissecteur S existe, il sera coupé par le plan X perpendiculaire à la droite I intersection des deux plans donnés P et Q suivant une droite sz perpendiculaire à I et au point s , ayant sa trace horizontale
située sui' H% et divisant Tangle a ou My en dfiux farliear égide&. Il lésntte de là
qu'après avoir trouvé Fangle rabattu xsy (n* 127, 6*), il faut le diviser en deux parties égales par une droite coupant BP en un point z,. par lequel et parle point a doit passer la trace horizontale H* du plan bissecteur cherché S , puis sa trace verticale V' doit passer par le point b.
2* Si nous rabattons les plans P et Q (fig. 171) sur te plan horizontal par la seconde méthode connue (n° 76 ), en les faisant respectivement toanier autour de leur trace horizontale , leur intersection I viendra se placer respectivement en V et eiï I" ; si dans chacun des deux plans P et Q oa conçoit une droite A sur P et B sur Q également distantes de I, après le rabattement du plan F, la droite A (située dans ce plan) sera en A^ parallèle à T ; de même , après le rabattement du plan Q, la droite B (située dans ce plan) sera en B'^ parallèle à T; les droites A' et B" coupent respectivement les traces H" et H* en j: et ea y, de sorte que xy sera la trace horizontale du plan (A, B); si Ton divise xy en àtnx parties égales au point 2,. ee point z et le point a appartiendroiU à la trace horizontale H* du plan bissecteur S, qui contient en outre une parallèle à I menée pats le point s. Cette solution a , comme on voit , beaucoup d'analogie a¥ee celte que nous avons donnée ( nM 1 6 ), pour trouver la bissectrice de Tangle de deux droites sans chercher cet angle; les points e et d^ situés sur les deux droites, à égale distance de leur |M)int d'intersection m (nMlô)^ sont remplaeés id par les droites A et B situées sur les deux plans et à égale distancée de leur intersiection I ;. et le point n » mâiea de la droite ed, est ici remplacé par une droite située sur le plan {A, B), ^ »tnée à égale distance des deux droites A et B.
On pourrait encore remplacer les droites A et B paralli^es à I par deux droiies également incHuées sur I et la rencontrant oa ua même poûit;. la iMssectriœ de Tangle de ces droites et Tijstersectioii I,^ détermiaeraient le pian bifiâecteur. Le cas de deux plans parallèles n'est évidemmnt qu'un cas parlkulÂer de celni-d.
3' Les normales aux deux pians donaés P et Q ( a*" 427, 2*) {«.wat partir d'n point i de F intersection I de ces de«aL plaosf et si Uoa conçoit le piaa kÔKeeleary et qaapar ce même peut ioalui élève avisai uao nonaak, dte: dftTts^ra cil deax par-
lies égales l'angle des normales menées aux deux premiers plans P et Q par le point t; donc si nous cherchons la bissectrice de Fangle de ces deux normales (n'' 1 iS), cette bissectrice et Tintersection I des plans donnés détermineront le plan bissecteur demandé. Remarquons que le problème actuel ne peut se résoudre qu'autant que Ton connaît rintersectton I des deux plans donnés P et Q.
429. Nous terminerons cette série de questions par deux problèmes dont la solution se déduit immédiatement de celle donnée pour trouver l'angle de deux plans (nM 27. 6*).
Problème 31 « Ëiant données les traces horizontales H' et H^ de deux plans P e/ Q, faisant entre eux un angle donné a , et la projection horizontale de leur intersection I , trouver leurs traces verticales V et V° {fig. 116). Menant ff perpendiculaire à I*, elle coupe H" et H" aux points xety; pour avoir s\ il faut sur xy décrire un segment capable de l'angle a, il coapera P au point s, décrivant un cercle G du centre o et du rayon os, menant du point a une tangente I à ce cercle, élevant b'^b perpendiculaire sur r, et prenant b^b = b^b , nous obtiendrons le point b où se croisent les
traces V et Y*. Il est évident que l'angle a ne doit pas être moindre que l'angle xay; s'il lui était égal, les deux plans seraient verticaux. On voit, aussi qu'il y a deux solutions, puisque, du point a on peut mener deux tangentes au cercle C.
430. Problème 32. Par taie droite I , située sur un plan donné P, conduire un plan Q faisant avec le plan P un angle a {fig. 416). Menons encore H* perpendiculaire à 1*, déterminons I sur le plan vertical LT, abaissons os perpendiculaire sur ï, prenons os'=oSf menons xs puis ys' faisant avec xs l'angle a, le point y appar-* tiendra à H^ qui doit aussi passer par a , puis V* sera conduit de q k b. On aura encore deux solutions , car on peut mener y s' de part et d'autre de xs'.
Des plus courtes distances.
431 . Problème 33. Trouver ta plus courte distance tTun point à un autre point. Elle est mesurée par la droite qui unit ces deux points, on est donc conduit à trouver la véritable longueur d'une portion de droite comprise entre deux points déterminés; or, 4" la projection verticale serait égale à la droite de l'espace, si celle-ci était parallèle au plan vertical (n" 56, 4**), c'est pourquoi nous prendrons un nouveau plan vertical parallèle à la droite, et, pour plus de simplicité, nous choisirons le plan qui projette horizontalement cette droite ; alors la ligne de terre LT' (Jig. 4 06) ne sera autre que la projection horizontale D* de la droite D ; élevant donc sur cette ligne des perpendiculaires m^n =^ om^ et n*n=:pn'', et joignant mn, nous aurons la droite D demandée. Si par le point n on mène nk parallèle à la projection horizon-
— létale D^ on forme un triangle restangle mn/c, dont les côtés sont respectivement égaux, savoir: nk à la projection horizontale m^it^, nik à la diflerence de hauteur des points m et n, au-dessus du plan horizontal ou à (om' — pu") (n** 5, i*), et dont rhypoténuse est la longueur de la droite cherchée. De là on conclut une opération graphique très-simple pour construire la droite demandée.
2* La droite D serait donnée en véritable grandeur par sa projection horizontale si elle était parallèle au plan horizontal, nous pouvons donc aussi changer de plan horizontal de projection pour le prendre parallèle à D, et pour plus de simplicité nous prendrons encore pour nouveau plan horizontal de projection le plan projetant verticalement cette droite D; la ligne de terre L'T" est alors confondue avec D", et nous devons prendre, sur des perpendiculaires à cette ligne , m''m=:zom^ et n:'n=pn!'. En menant ml parallèle à D'' nous formons un triangle rectangle mn/, dont rhypoténuse est encore la longueur de la droite D, et dont les côtés de l'angle droit sont respectivement égaux , savoir : ni{ à la projection verticale nC'n''^ et ni à la différence des distances des points m et n au plan vertical ou à (pn* — on^) (n* 5, 2-).
3* Au lieu de rendre la droite D parallèle au plan vertical en changeant de plan vertical de projection, on peut faire tourner cette droite D autour d'un axe vertical A jusqu'à ce qu'elle ait atteint cette position (n** 61 ). Pour plus de simplicité nous choisirons Taxe A passant par l'un des points donnés, par le point m, par exemple , la droite viendra alors en D', et sa véritable grandeur sera donnée par sa projection D'".
i^ Enfin, on pourra ramener la droite D à être parallèle au plan horizontal, en la faisant tourner autour d'un axe A', perpendiculaire au plan vertical , et que nous choisirons, pour plus de simplicité, passant par le point n; la droite D viendra prendre la position D", et sera donnée en vraie grandeur par sa projection horizontale D"\
Si Ton emploie sur la môme figure les quatre méthodes précédentes , on doit évidemment avoir :
mn=:fnn=i m^nl^ = n^m"K
132. Problème 34. Trouver la distance des traces dune droite. Ce problème ne diSère en rien du précédent ; il sufiît de prendre les traces a et 6 de la droite , au lieu de deux points quelconques m et n de cette droite. On le résoudra donc par les mêmes méthodes.
4* Prenant D* {fig. 405) pour nouvelle ligne de terre L'T', nous trouverons la
droite D située sur le nouveau plan vertical défini par cette ligne de terre L'T' ; le point a appartient par conséquent à cette droite.
2* Changeant de plan horizontal et prenant D"* pour nouvelle ligne de terre L"T", nous trouverons H.
S"* Si Ton fait tourner la droite D autour de Taxe Â, elle viendra prendre la position D'.
4* Enfin , si on la fait tourner autour de Taxe A', elle viendra prendre la position D".
11 est évident que Ton doit avoir :
ahz=zqbi:ssa!b=s ab*'^
ces quatre lignes représentant également la longueur de la droite D située dans l'espace.
133. Problème 35. D'un point m situé sur tm plan donné P, mener à ta trace horizontale de ce plan une droite de longueur donnée. On donne (fig. 1 18) la projection horizontale wi* du point m, on en conclut sa projection verticale m* (n* 29), en faisant passer par ce point une horizontale E du plan P. Cela fait : l*" Concevons la droite D placée sur le plan P, et faisons-la tourner autour d'un axe vertical A , jusqu'à ce qu'elle soit parallèle au plan vertical de projection , elle se projettera sur ce plan dans sa véritable longueur / (n** 56, V)y et, dans le retour, sa projection horizontale conservant toujours la même longueur, et devant se terminer sur H', le point o où le cercle C rencontre H' est un point de la droite dont la position le trouve ainsi déterminée. H y a une seconde solution en b. Il n'y aurait qu'une solution, si le cercle C était tangent à H^ liO problème serait impossible, si la droite A^ était plus courte que la perpendiculaire abaissée du point A'^ sur H'.
2* Il pourrait arriver (fig. 119) que la droite /, menée de m*", ne pût rencontrer LT qu'au delà des limites du dessin; dans ce cas nous remarquerons qu'on peut diviser la droite D en parties égales, et, si des points de division, on conçoit des plans horizontaux (qui seront équidi$tants), ces plans couperont la partie de Taxe A comprise entre le point m et le plan horizontal de projection eu un même nombre de parties égales, et le plan P suivant des horizontales équidistautes. Divisons, par exemple, la hauteur du point m au-dessus du plan horizontal de projection en deux parties égales , menons un plan horizontal X , qui coupe le plan P suivant l'horizontale R , et achevons par rapport à cette horizontale la construc* tion effectuée ci - dessus par rapport à la ligne de terre , en portant seulement [ l àvL point m' à la projection verticale R** de l'horizontale , nous obtiendrons les deux droites D et B, qui satisfont toutes deux à la question.
3* Ekifia, on peut résoudre la wérne question, ^en rabattant le plan P {fig. USO) sur le plan horizontal , ou en le prenant pour Tun des plans de projection , et oda par Tune des quatre méthodes connues ( n"" 76 ) ; «ous n'^Léoiiiei'ons ici que la seconde; il sera facile de tracer les épures des trois autres. Le point m vient se rat-battre en su', décrivant de ce point comme centre et avec un rayon égal à / un arc de cercle qui coupe H* en j; et y , joignant ces points a: et y avec m^, on aura les projections horizontales B^ et D^ des droites B et D qui satisfont k la question , on en conclut facilement leurs projections verticales ( n** 28 ).
434. On résoudrait ainsi la question suivante, savoir : Mener du point m à une droite donnée de position une droite de longueur donnée; car il suffirait de faire passer un plan par la droite donnée et par le point m , de rabattre ce plan , d'y rapporter le point m et la droite donnée , de construire la droite demandée sur ce plan rabattu et de revenir ensuite aux: prqjections de cette droite.
Enfin , on résoudrait de la même manière le problème : Mener par un point dornu* m une droite qui fasse un angle dotmé avec la trace liorizontale ou toute autre droite du pian P.
435. Pqoblème 36. Trouver la plus courte disiancs éun point à une droUe. C'est construire la perpendiculaire abaissée du point snr la droite.
4* On pourra donc résoudre ce problème, en faisant passer un plan P parla droite donnée D et le point donné m, rabattant leplanP sur le plan horizontal (n''76), puis abaissant de m une perpendiculaire N' sur D', on aura la distance demandée; si Ton veut avoir les projections de N' sur les plans primitifs, oo reportera le point x'y intersection de N' et D', en x sur D et par un mouvement en sens contraire du rabattement.
2^ Au lieu de rabattre le plan (D,m) (Jig. 121 ) sur le plan horiacontal, on peut le faire tourner autour de Tune de ses horizonlaJes A jusqu'à ce qu'il soit devenu horizontal ; nous ferons passer rhorizontale par le point m, donc A" passera par m" et sera parallèle à LT, elle rencontrera D" en un point b" , d^oà l'on conclut à" et par suite A^. Pour faire tourner le plan (D,m} autour de A comme axe, il faut d*abord prendre un nouveau plan vertical de projection L'T' perpendiculaire à cet ax^ (n'' 73)» nous trouverons sui' ce plantes projections m"' et D"' ; il est visible que les points m*'' et b""' coïncideront avec le point A"", projection verticale de l'axe ; on voit aussi que la droite ^a*' sera la trace horizontale H' du plan P. Faisanl ensuite tourner la droite D jusqu'à ce qu'elle soit devenue horizontale, le point 6 restera invariable, la projection verticale devra ôtne parallèle à L'T' et passer par 6^. Pour avoir la projection horizontale, nous prendrons surD un point quelconque n, qui, pendant la. rotation, décrira nn cercle C et viendra se plaoer après la rotation en n'; joignant n!^ avec ^ nous aurons D'^. Sî, maintenant, on abaisse de m* une
perpendicalaii*e.K' sur D'^, elle donnera eayraîe longueur la dîslatu;e du poiat m à kl droite D ; sîToa veirf. avoir les projectims sur les plana primitil&de la plus courte dJâtance, nous remarquerous que la perpeodicttlaire N' reftconlre D'^ eu ua poiot x^^ d'où Tou coudLoJt x^ par une parallèle à L'I', puis ou aura Qf\ ei joigoani le», prajection^ du point x à celle» du p'oîut m, nous aavoB& en vtai^ et en i«^oi? tes pro<jections de la plus courte distance N , dout ou a la véritable grandeojr eftI<'=f»V*. Remarquons que , si Ton prend sur le plan vertical L'T' les projections a:'*'' et 0^* des points a;' et x , on doit avoir , comme vérifications de Texactitude de la figure :
i»f 'x'«^ = m" V et M;«'' = ta:*'.
3"" On peut résoudre aussi ce problème par deux, changements de plans , ou deux mouvements de rotation ; pour cela remarquons que si la droite D Qî^;. f 22} était perpendiculaire au plan horizontal, la normale N serait horizontale, et par conséquent égale à sa projection horizontale (n** 56 , l"") ; îT faut donc la ramener dans cette position particulière. On y parviendra en prenant d^^abord un plan vertîtfcal parallèle à D ou passant par cette droite , puis un plan horizontal perpendiculaire à D; N'^" sera la distance demandée. Pour revenir ensuite aux projections de la droite N sur les plans primitifs , on remarquera que N*' dort être* parallèle à L'T^, elle rencontre D en un point x, dont on trouve de suite la projection horizontale X*, on en concFut o^ d'où résultent N* et N*. Ou exécutera facilement la figure ou épure en employant t* dieux mouvements de rotation ou 2* un mouve^ ment de rotation et un changement de plan de projection.
4"* Après avoir changé de. pian vertical de projectioiiL, pour r^uire la droite D parallèle à ce noiaveau plaia^ nous pouvoofi renuirquer que la. normale N et la droite D étant p8rpeBdkiiilaiFe& entre elles dans l'espace ,. et Tuoe d'elles D étant parallèle au plani vertical L'T'^ lenrs projections verticales N.""' et D*"' doivent être perpeodiculâîres entire elles ^ boiis taèiieroiie doue par le point mf ' une perpendie»laire flor D ^ ce sera ^\ elle vaieontre I> ea un point x dont nous eonsAraisona la projection horizontale x^ sur D^^ puis la projection verticale x^ suc D'',, et joignant Q^ avec vij, oS* avec v^y nous aurons, les j^ojeçtiona N'^ et N" da la plua courte distance demandée. Il reste à en trouver la vraie longueur,, ce qui. est facile en. vertu de ce qui a été dit (uM 31).
5* La perpendiculaire abaissée du point m sur la droite D (/gr. < 23 ) est située sur un pîah P perpendiculaire à I>, et passant par le point m ,• nous construirons donc ce plan (u** 83). Cherchant ensuite rîntersectfott x de ht droite B et dcr plan P au moyen d'un plan auxiliaire X (nM 1 0)^ et: joigKant xmr M«s^ aoronv la dlboite demandée , doat aouB t«oavereaa la vésitabte gr^^^or en N^*" (if i3A ^â^''}.
On pourrait faire passer le plan aaxiliaire X par ie point m y son intersection N avec le plan P ne serait autre que la droite demandée, dont la portion xm est la distance du point m à la droite D. On construirait ensuite la véritable grandeur de cette distance en N'^. Si les traces du plan auxiliaire X ne sont pas dans les limites du dessin , on le considérera comme donné par les droites D et D' , et Ton cherchera sou intersection avexî le plan P (n"* 1 H ).
136. Problême 37. Trouver la plus courte distance dtun point à un plan. V Cette distance est mesurée par une perpendiculaire N , abaissée du point donné m sur le plan donné P; or, les projections N^etN" sont respectivement perpendiculaires à H' et à V (n"* 81) ; elles sont donc connues. Cherchant Tinterseclion x de la normale N et du plan P (n"" 1 19), la portion mx de cette droite exprimera la distance démandée. On exécutera facilement la figure.
2^ Si le plan P était perpendiculaire au plan vertical , le point x aurait sa projection verticale x" sur V (n** 56, 2*), de plus la normale N serait parallèle au pian vertical , et par conséquent égale à sa projection verticale N% c'est pourquoi nous nous ramènerons à ce cas particulier par un changement de plan vertical de projection comme on peut le lire facilement sur làjig. (1 24).
3"^ On pourrait aussi employer à cet effet un mouvement de rotation comme le représente la fig. 1 25 , dans laquelle pour simplifier les constructions nous avons fait passer l'axe A par le point donné m. En revenant aux projections primitives , on trouve séparément a/" et x*", ces deux points doivent donc être sur une même perpendiculaire à LT (n* 8); ce qui sert à vérifier l'exactitude des constructions.
137. PaoBLiME 38. Trouver la plus courte distance de deux droites non situées dans le même plan. Si l'une des droites A {fig. 126) était perpendiculaire au plan horizontal , la plus courte distance N serait horizontale et par conséquent égale à N*. De plus N'^ sera dans ce cas perpendiculaire à B^ projection horizontale de la seconde droite donnée B, puisque N est perpendiculaire au plan vertical Y passant par la droite B dont la projection B'^ est en même temps la trace horizontale H'' ; on obtiendra donc facilement cette plus courte distance.
On peut se ramener à ce cas particulier par plusieurs opérations : 1* par deux changements de plan de projection ;
2* Par un changement de plan et un mouvement de rotation ;
3° Par un mouvement de rotation et un changement de plan de projection ;
4"" Par deux mouvements de rotation ;
Nous allons les exposer successivement.
1 "" Soient A et B {fig. 1 27) les deux droites dont on cherche la plus courte dis-
tance; pour ramener la droite A dans la position précédente, il fant choisir nn nouveau plan horizontal perpendiculaire à A; mais ce plan ne serait pas perpendilaire au plan vertical {prbnhif) de projection , c'est pourquoi il faut prendre d'abord un nouveau plan vertical de projection parallèle à celle même droite A ; pour plus de simplicité, nous choisirons son plan projetant, alors L'T' coïncidera avec A*; nous en déduirons les projections verticales A et B" (n"" 46). Nous prendrons ensuite un nouveau plan horizontal de projection perpendiculaire à A, en menant L''T" perpendiculaire à A , nous trouverons A**" et B*" ; puis abaissant de A'^" la perpendiculaire N*" et B*", ce sera la plus courte distance demandée ; elle se termine sur A et B aux points y et Xy dont on trouvera successivement les projections /" et a^'\ t/*' et x*", y" et a/', enfin y'' et x\ Par suite on aura N* et N^ '
2** Après avoir changé comme ci-des^sus de plan verlical de projection on peut faire tourner le système autour d'un axe perpendiculaire à ce nouveau plan vertical , jusqu'à ce que la droite A soit devenue perpendiculaire au plan horizontal qui ne change pas. Pour cela il conviendra de mener l'axe dé rotation par un point de la droite A; cette droite étant venue dans sa nouvelle position A' après avoir décrit l'angle a, il faut faire tourner la droite B du même angle a (n** 61) pour l'amener en B'; la perpendiculaire N'* abaissée du point A'* sur la droite B'^sersT la plas courte distance demandée; remarquons que N'"' est parallèle à LT; ayant oblenu les points x' et y' en lesquels la plus courte distance N' coupe B' et A', on ramènera ces points sur les droites B et A » en a; et y, ce qui donnera les projections N'^ et N" de la plus courte distance N.
3* Si nous faisons tourner les droites A et B autour d'un axe vertical coupant A,
jusqu'à ce que cette droite A soit venue danr une position A' parallèle au plan verlical de projectio*, elle aura décrit un angle «; faisaut donc décrire à la droite B le même angle, elle viendra prendre une position B'(n^ 59). Si ensuite nous choisissons un nouveau plan horizontal de projection perpendiculaire à A, la nouvelle ligne de terre L'T' devra être perpendiculaire à A'"*, la projection horizontale de la droite A' sera en un seul point A'*'; nous trouverons aussi B'*' (n** 46). La plus courte distance demandée sera donc la perpendiculaire N'*', abaissée du point A'*' sur la droite B'*'. Nous reviendrons comme précédemment aux projections N* et N*' de la plus courte distance N.
4* Pour résoudre le problème par deux mouvements de rotation , nous feron» d'abord tourner le système des droites A et B autour d'un axe vertical, comm« dans le cas précédent pour les amener en les positions A' et B'; puis nous ferons tourner le système des droites A' et B' autour d'un axe perpendiculaire au plaiï vertical, comme dans le quatrième cas.
U est évident qu'on pourrait également ramener la droite A à être perpendicu-
laire an plan vertical , en la rendant d*al)ord parallèle an plan iiorizonta). Il ^era facile d'exécater les figures de tous ces cas.
5* On peut encore résoudre directement le problème de la plus courte distance entre deux droites , sans changer ia position où elles ont été données et en conservant lés plans primitifs de projection. Pour cela , rappelons d'abord que l'on démontre , en géométrie élémentaire , qu'on peut toujours mener une perpendi-culaire commune à deux droites A et B {fig. 128) non situées dans un même plan 5 qu'on n'en peut mener qu'une, et que cette perpendiculaire est la droite la plus courte qui joigne un point de A à un point de B. On a vu que la construction consiste à mener par un point m de B une droite A' parallèle à A ; à faire passer par A' et B un plan qui est parallèle à A ; à abaisser par un point quelconque n de A une perpendiculaire K sur ce plan (B,A'); à faire passer un second plan par les droites A et K ; à chercher l'intersection I des plans (B, A') et (A, K) ; enfin à mener par le point x , intersection de I et B, une droite N parallèle à K et rencontrant A en un point!/; cette droite N mesure la plus courte distance demandée. Ce sont toutes ces constructions qu'il faut exécuter par le secours des projections.
Soient Aet B {fig. 129) les droites données, prenons un point quelconque wi sur B et par ce point menons une droite A' parallèle à A ; A'* sera parallèle à A*, et A'** sera parallèle à A**; faisons passer un plan P par A' et B, H' passera par les traces horizontales a et b de ces droites , et V passera par leurs traces verticales « et p ; prenons ensuite un point quelconque n sur A et de ce point abaissons une perpendiculaire K sur le plan P ; K* sera perpendiculaire à H' et K*" sera perpendiculaire à V'; faisons passer un plan Q par les droites K et A, H* passera par leurs traces horizontales A* et a, et V* par la trace verticale a et par le point où H" rencontre LT ; les traces de l'intersection I de ces plans P et Q sont en peiq; cAte droite I est donc connue, et comme elle est parallèle à A , il faut, si les opérations graphiques sont exactes que I* soit parallèle à A* et V à A'' ; enfin cette intersection 1 coupe B en un point x, d'où l'on mènera la droite N parallèle à K jusqu'à sa rencontre y avec A ; et l'on aura en N la plus courte distance demandée. Nous aurons la véritable longueur de cette plus courte distance N en la faisant tourner autour d'un axe vertical passant par le point i/, jusqu'à ce qu'elle soit venue dans la position N' parallèle au plan vertical de projection , de sorte que sa vraie longueur sera donnée par W".
La construction générale précédente n'est pas toujours possible, car il peut arriver que les traces du plan P n'aient aucun point dans les limites du dessin , mais comme on n'en a besoin que pour mener la normale K au plan P, on peut substituer à H' une horizontale quelconque que l'on obtient en coupant le système des droites A et B par un plan horizontal , et pareillement on peut substituer à y* une verticale du plan P que Ton obtient de m^e en coupant le système de ces
droites par an plda parallèle au plan vertical. On peut aussi considérer le plan Q comine suffîsamm^t ^onné par les droites  et K.
Mais il pourrait arriver que la normale commune sortit des limites du dessin, on ne pourrait alors la trouver qu'en se ramenant au cas particulier considéré dans les premières solutions'' données ci-avant; de plus, par les quatre méthodes que nous avons exposées tout d'abord, on pourra trouver la plus courte distance des deux droites, tant que les projections de cette plus courte distance ne sortiront pas des Iia4te6 du dessin, car on peut choisir les nouveaux plans de projection ou les axes de rotation de manière que les projections des droites A et B soient reportées aux extrémités de la feuille de dessin.
Ces méthodes sont encore préférables sous le point de vue graphique, en ce que, dans les changements de plans, on n'a que des ouvertures de compas à porter et des perpendiculaires aux lignes de terre à tracer ; et dans les mouvements de rotation, les lignes que Ton doit construire se coupent toujours sous des angles droits.
1 38. Problème 39. Étant données une droite A , la projection horizontale B^ d'une seconde droite B, et celle N'^ de la plus courte distance N entre A et B, trouver les pro^ jections verticales W et N** des droites B eiN^ et la vraie grandeur de la droite N. La plus courte distance devant être perpendiculaire à la droite A, qu'elle rencontre en un point x connu , nous déterminerons N** par la méthode exposée précédemment (n** 86) , puis cette même droite N devant aussi être perpendiculaire à la droite B, qu'elle rencontre au point y actuellement déterminé, la même méthode nous fera trouver B^ Enfin, connaissant les extrémités a: et i/ de la plus courte distance N entre les droites A et B, nous en conclurons sa véritable grandeur (n° 131).
139. Problème 40. Étant données^ une droite k^ la projection horizontale B^ d* une seconde droiée B, la vrcde longueur de la plus courte distance N entj^e tes deux droites A et B, ainsi que le point x oà elle rencontre la droite donnée A, trouver la projection verticale B*" de la droite B, et les deux projections de la plus courte dislance N (fig. 1 30). La droite N devant être perpendiculaire à A sera située dans un plan P, mené par le point X perpendiculairement à cette droite A (n"" 85) ; si nous rabattons ce plan P sur le plan horizontal, le point x viendra en x, et la droite N sera l'un des rayons d'une circonférence de cercle C décrite du point x comme centre et avec un rayon égal à la longueur donnée de la droite N. Si, en supposant la droite N entraînée dans le mouvement du plan P, on connaissait la position qu'elle occupe actuellement , sa nouvelle trace horizontale devrait se trouver sur le cercle C, et ferait connaitre la position de la droite N'; on aurait donc le point y', d'où Ton conclurait le point y ; mais puisque ce point y doit se trouver à la fois sur la droite B et sur la eircoaféreiice rabattue en G', cherdioas la projection C^ de cette circonférence, die coupe B'^ en deux points y^ et 2^, qui sont les projections horizontales de deux
points, salisfâisanl à la question proposée; nous aurons donc les deux projections horizontales N'^ et K*, d*où nous conclurons N** et K", et, py suite, nous connaîtrons if et a**; il n'y aura plus qu'à déterminer B" de manière à ce que la droite B, passant par le point a;, soit perpendiculaire à N ; ou bien nous déterminerons D"* de manière à ce que la droite D passant par le point z soit perpendiculaire à K (n* 86), et les droites ÎB et D satisferont à la condition d'avoir pour projections horizontales la même droite B*, et d'être à la distance donnée de la droite A»
440. La construction de la courbe C^ ne peut ici se faire que par pointa^ nous verrons plus loin que cette courbe est une ellipse, et que, par conséquent, elle ne peut couper B* qu'en deux points.
Si le point x n'était pas donné, on pourrait le prendre partout où l'on voudrait sur la droite A , et répétant pour chacun de ces points x la construction précédente, on obtiendra une série de plans P parallèles entre eux, les cercles C
égaux entre eux formeront donc une surface cylindrique de révolution ayant pour axe la droite A. Tous les points de B*, compris dans la projection horizontale de cette surface cylindrique, pourront représenter le point if. Nous reviendrons dan» un autre endroit de ce cours sur ce problème, pour la résolution complète duquel nous n'avons pas encore acquis les connaissances nécessaires. Mais si nous l'avons présenté ici, c'est pour faire comprendre la nécessité d'étudier ce qui est relatif aux courbes et aux surfaces avec tous les développements nécessaires, ainsi que nous l'avons fait pour le point, la droite et le plan«
140 [bis). Remarque, au sujet des problèmes relatifs : l'' aux angles que font entre eux les droites et les plans, et ^ aux plus courtes distances entre les points, les droites et les plans.
La méthode du changement des plans de projections n'est pas une innovation , les anciens appareilleurs et charpentiers en faisaient un fréquent usage. On ne peut ignorer que dans les applications on a sans cesse besoin de faire des coupes; or, qu'est-ce qu' une cowpe, si ce n'est un changement de plan de projection.
En fortification et en coupe des pierres, on est sans cesse obligé de recourir à ce que Ton appelle le plan de profil ^ or le plan de profil n'est autre chose qu'un nouveau plan vertical de projection auquel on est obligé de rapporter la position du système donné dans l'espace , pour pouvoir résoudre avec plus de facilité certains problèmes proposés sur ce système.
Quand il s'agit : 1* de l'angle de deux plans, ou 2* de l'angle d'une droite et d'un plan, il est souvent préférable de chercher dans ]e premier problème Y an^]e de deux normales aux plans donnés, et dans le second problème l'angle de la droite donnée et d'une perpendiculaire au plan donné; mais ne donner que ce seul mode de solution ne me parait pas être une bonne chose dans l'enseignement. 11 faut
cohnaitre toutes les méthodes qa'il est possible d'employer pourla solution d'an problème posé en toute sa généralité, et il faut ensuite savoir chercher entre toutes les méthodes celle qui doit êtpe préférée dans le cas particulier que Ton a à résoudre; les données du problème doivent déterminer ce choîlk.
Quant au problème de la plus courte distance entre deux droites, je dirais : La méthode donnée par Monge , dans son traité de géométrie descriptive, n'a été employée par lui que pour montrer comment la géométrie descriptive pouvait calquer les constructions graphique» successives sur la marche analytique, suivie en algèbre pour résoudre un problème de géométrie.
Il n'a opéré ainsi que pour faire voir l'accord parfait qui existe entre la langue algébrique et la langue graphique.
Mais on aurait très-grand tort de conclure de là que la* géométrie descriptive ne peut que construire graphiquement les résultats géométriques fournis par Y analyse. Cest une grave erreur qui a eu cours assez longtemps , et trop longtemps pour l'intérêt des services publics ^ et dont ont gémi les véritables ingénieurs, les seuls qui comprenent bien toute la puissance et toute l'ulilitéde la géométrie descriptive^ géométrie nouvelle qui, depuis Monge et grâce à lui, doit être reconnue comme étant une véritable science. Ne l'oublions pas, il y a l'art des projections; c'est ce que savaient et pratiquaient admirablement les anciens constructeurs de nos églises gotkiques ; mais depuis Monge , il y a /a science des projections , que tout ingénieur doit savoir et pratiquer.
