DES ANGLES TRIÈDRES ET DES PYRAMIDES
441. Problème général. Étant donné un angle trièdre ^ Jrouver par une construe^ tion plane les plans et les angles dièdres qui la composent.
Prenons une des faces de l'angle trièdre pour plan horizontal (en supposant cette face prolongée indéfiniment), puis coupons cet angle par un plan vertical
qoelconcpie, de sorte que les planB des deax anirei faces soient P et Q (fiy. 1 SI ) et l^iir iutersectioQ I; Tan des an^es plans sera demie en A (angle (fae (orA entre elles les drok^ H' et'H^), nous aurons les demc autres angles, celui qneibnt entre elles le^ droites I et ^H' et celai que font entre elfes les . droites I et H^ en rabattaiit les deux faœs P et Q sor le fdan horisontal ( n"* 76 ) en les faisant tourner respectivement autour de leur traoe horizontale, savoir : H' et H*^. Nous prendroB>s les nouveaux plans verticaux de ppojections passant par la trace verticale b de rintersection I , de sorte qoe les lignes de terre L'T' et L"T' passeront Tune et l'autre par bf" projection horizontale de la trace verticale b de Tintersection I; cette intersection I se rappoFte sur les plans rabattus en V et en I". Il est évident que ab'=:ab'\ puisc^ue ces deux longueurs représentent égaleHient la portion ab de rintersection I. Si Ton* tire des droites pb' et qb'\ elles représentent les traces verticales pb et qb déjà données en véritable grandeur : on doit donc avoir
pb' = pb et qb"^=:qb. Il est évident qu'on a les trois angles plans A = paq, "B^zpab'j
C = qab". Le plan P étant perpendiculaire au plan vertical L'T' et Q au plan L"T", les angles de ces plans avec le plan 4iorizontal ou les angles dièdres 7 et (3 sont
donnés respectivement en 6pV et bfl'b*". Il reste à trouver l'angle a, que font entre elles les faces B et C ; mais cet angle est mesuré par l'angle de deux perpendiculaires passant par un même point de la droite I et tracées dans chacun des deux plans P et.Q ; ces perpendiculaires rapportées sur ce s plans rabattus seront perpendiculaires à l' et V et en des points m et m'' également distants du point a trace horizontale de la droite I; elles vont rencontrer H" et H" aux points a; et y ; si on joint ces deux points, il est clair que la droite xy représentera la trace d'un plan perpendiculaire à I; elle doit donc être perpendiculaire à P; et si l'on rabat ce plan autour de sa trace xy, le sommet de l'angle cherché ne sortira pas du plan vertical dont I* serait la trace, ses côtés se rabattront en véritable grandeur : donc si des points x et t/, avec les rayons xm et ym\ on décrit des arcs de cercle, ils devront se croiser en un point s situé
sur P que l'enjoindra aux points x et y, et ysx sera l'angle a demandé.
142. Ce problème général établi, il est facile de résoudre les divers problèmes particuliers sur l'angle trièdre : ils sont au nombre de six. Nommant toujours A, B, C les trois angles plans , et a, (3, y les angles dièdres qui leur sont respectivement opposés, on peut avoir les six combinaisons suivantes :
données. ineonnses.
données. inconnoes.
Les trois derniers cas se rainèaent aux .trois- premiers ^ an moyen* de Fan^e • Irièdre supplémentaire. On sait en effet, (^e, si d'un point ppis dans Tintéri^ir * d'un angle trièdre on abaisse des perpendiculaires sur les faces de cet angle et que l'on fasse passer des plans par ces droites, on forme un second angle trièdre dont les angles plans sont les suppléments des angles dièdres opposés dxvïrièdre proposé, et dont les angles dièdres sont les supplément^ des angles plans opposés de ce même trièdre proposé. C'est cette relation qui a fait.donaer à ces deux angles trièdres le nom d'angles trièdres supplémentaires. . '
D'après cela , nommant A', B'^ C les angles plans , et <%', PS y l^s angles dièdres du second angle trièdre, on aura :.
A'=1»0'' — a,B/=180:— P,G'=180r— y; a'=180' — A, P' = 180*^ — b/y'^ISO*»— C.
Donc si r.on donne, par exemple, a, |3,' 7, on en conclura les angles plans A', B', C^ à l'aide desquels on déterminera ûl\ Çj\ 7', comme nouis allons l'indiquier, puis on en conclura A, B, C. Il en serait de môme des deux autres cas. Avec ce que nous savons, Ton peut directement et sans employer l'angle trièdre supplémentaire, rér soudre cinq des six problèmes proposés, mais celui où l'on donne les trois angles dièdres est le seul qui échappe aux méthodes enseignées précédemment ; nous le résoudrons ailleurs,
143. Problème 1. Étant donnés les trois angles plans y qui composent un angle trièdre , trouver les trois angles dièdres.
1° Nous prendrons toujours le plan de Tune des faces pour le plan horizontal , les côtés del'angle A (/y. 1 32) situé sur celte face (supposée prolongée pour former le plan horizontal de projection ) représenteront les traces horizontales H" et H'^ des plans des deux autres faces, que nous supposerons rabattues sur le plan • horizontal et en les angles B et C, placés de part et d'autre de l'angle A (n** i41). Leur intersection sera donnée en V et I" et an point quelconque b de cette intersec- . tion se sera porté sur V et I" à la même distance du point a ; si donc on prend ab^-zziab'' et que par U et b" on mène des perpendiculaires à H'' et H', ce seront les lignes de terre L'T' et L"T" du problème général ( n** 141); elles se croisent en un point b^y qui appartient à P ; le point h est donné sur les deux plans verticaux de projection en 6 et 6 , car il doit se trouver sur une perpasdiculaire élevée du point ^ à LT ou L'T', et sur le cercle décrit du centre Â^ avec 6*6' ou 6*6" pour rayon, n faut évidemment que 6*6=6*^. On est ainsi ramené au problème général , car on pourrait trouver V et V* sur un plan vertical quelconque LT.
2* Si deux des trois angles plans sont égaux j les denx angles dièdre» opposée
iont aussi éganx; en effet, prenons pour plan horizontal celui du. troisième angle A, et construisons les deux angles égaux Bet C à gauche et à droite de A^ comme précé^ demmenl; il est évident que, dans rhyfothèse actuelle, les trianglQd ap'6' et aq'b*^ sont égaux, puisqu'ils ont l'hypoténuse égale et un angle aigu égal, donc b'pzzib^ q"] puis les triangles rectangles p'hbf" et q'bb^ sont égaux , car pb=:q"b et bb^:=bb''j
dond 7 = (3.
3"" Si, de plus, les angles égaux Bet C sont droits, les angles dièdre&'opposés P et y sont aussi droits. En effet, dans ce cas il est facile de voir que LT et L'T' se confondent respectivement avec F et 1"; par suite, les points a, p\ q'\ b^ coïncident, les droites 6*A et 6*^ se portent respectivement sur H' et H% les points b
et -^ se trouvent sur ces mêmes droites, et, par conséquent, les angles bpb*':=.a, et
bq"b^.'=z^ sont droits.
V" Si les trois angles A,B,C, sont égaux, les trois angles dièdres «,^.7, sont aussi
égaux; car, à cause de A=:B on aura a=|3, puis B = C donne |3 = 7, donc
5*" Si les angles A, B et C sont droits, les angles «, /3, 7, seront aussi droits, on le prouverait de la même manière que ci-dessus.
6" Mais il est facile de reconnaître que l'un des angles A , B ou C étant droit ne détermine rien de particulier pour l'angle dièdre opposé.
\ 44. On sait par la Géométrie élémentaire que les angles A, B, C ne peuvent être les trois angles plans d'un angle trièdre qu'autant que leur somme est moindre que quatre angles droits, et que chacun d'eux est plus petit que la somme des deux autres. La construction précédente conduit aux mêmes conditions. En effet :
1^ Dans le problème général, LT et L'T' [fig. 131 ) ne pouvant se couper qu'au
point 6*, r et I" laissent toujours un angle b'ab" qui n'entre pas dans la somme ( A + B 4- C), donc cette somme est moindre que quatre angles droits ;
2" Si Tun -des angles A était plus grand que la somme des deux autres, le point 6* serait en dehors des deux circonférences et par conséquent les perpendiculaires élevées par ce point sur les lignes de terre LT et L"T" ne les rencontreraient jamais.
\ 45. Problème 2. Connaissant deux angles plans d'un angle ttièdre et t angle dièdre compris, trouver le troisième angle plan et les deux autres angles dièdres. Prenons toujours le plan de l'une des faces connues, celle de l'angle plan A par exemple, pour plan horizontal, et supposons {fig. 132) l'autre face donnée B rabattue autour de H'; ayant pris LT' perpendiculaire sur H', la trace V" sera connue, car elle doit
■Hi
faire avec US' Tangle dièdre y donné, donc le point 6' dans le retour de ce plan P se porterait en A, dont la projection horizontale est A* ; on aura donc I*, et par conséquent on rentre de nouveau dans le problème général (n*" 1 41 ), car on connaît H* et prenant une ligne de terre quelconque passant par 6*, on trouvera le point b par lequel doit passer V*.
146. Problème. 3. Connaissant une face d'un angle trièdre et les angles dièdres adjacents j trouver les deux autres angles plans et le troisième angle dièdre. Prenant pour plan horizontal celui de la face connue A (fig. 133), les côtés de cet angle seront les traces H' et H° des plans des deux autres faces, que nous rapporterons à deux plans verticaux L'T' et L'T' qui leur soient respectivement perpendiculaires, de sorte que V' et V"* feront chacune avec la ligne de terre correspondante les angles dièdres connus p et y. Tout consiste à trouver la projection I* de Tintersection de ces deux plans, ce que nous avons appris à faire (n** 101). On est ainsi ramené au problème général (n** 1 41 ).
1 47. Problème 4. Connaissant deux faces d'un angle trièdre et C angle dièdre opposé à (une d^elleSy trouver l'autre face et les deux autres angles dièdres (fig. 134). Prenons pour plan horizontal celui de la face connue A adjacente à l'angle (3 , menons L"T" perpendiculaire à H^ , Ton connaîtra V"" ; et prenons aussi L'T' perpendiculaire à H'. Si l'on conçoit que le plan P tourne autour de H' pour prendre la position qu'il doit occuper dans l'espace , un point quelconque b' de Y se mouvra dans le plan vertical L'T' en décrivant un arc de cercle C, et viendra au point où cet arc est coupé par le plan Q, point que nous obtiendrons en cherchant V* (n** 47) ; on trouve généralement deux points d'intersection é et c dont les projections horizontales sont en 6* et c!^ et déterminent deux projections horizontales I* et J* de Tintersection des plans P et Q ; il y a donc deux angles trièdres possibles avec les mêmes données ; il n*y en aurait qu'un si V'^ était tangente au cercle C et il n'en existerait pas si V'** ne rencontrait pas le cercle C.
148. Problème 5. Connaissant un angle plan^ l angle dièdre opposé et un angle dièdre adjacent^ trouver le troisième angle dièdre et les deux autres angles plans. Prenons pour plan horizontal celui d'une face inconnue A {fig. 135) et menons LTT' perpendiculaire sur H% dès lors V'fera avec L'T' l'angle donné y adjacent à B: si l'on suppose que le plan P revienne dans la position qu'il doit occuper dans l'espace, le point b se portera en b , ayant pour projection horizontale b^ ; on connaîtra donc I*; pour construire H% supposons que le plan Q tourne autour d'un axe vertical (passant par 6) jusqu'à ce qu'il soit devenu perpendiculaire au plan vertical L'T', à cet instant sa trace verticale V'*' fera avec L'T' l'angle (3 connu et çpposé à B, et H"' sera perpendiculaire à L'T' ; si l'on suppose que ce plan revienne ensuite à sa
position 5 le point p' décrira, autour de 6* comme centre , un arc de cercle auquel la
trace horizontale H"^ sera tangente; elle doit d'ailletirs passer fmr 1c point a , donc elle est déterminée , et Ton rentre encore dans ie problème générai (n* 4 41 )•
.U9. Problème 6. Rédmre nn angie à l'horizon {fig. 136). C'est la construction d'nn angle trièdre dont on connaît les trois angles plans, mais on peut donner à la figure une disposition particulière. On connaît l'angle que font entre elles deux droites, et les angles qu'elles ftmt l'une et l'autre avec la verticale. Soient a le sommet de l'angle , N ia verticale passant par ce sommet , D l'une des droites {aisaut avec N l'angle connu B. Prenons pour plan vertical de projection le plan des droites N et D , et soit E' l'autre droite rabattue sur ce plan vertical -et faisant avec
N l'angle connu C, formons l'angle dae^'zzzA angle que font entre elles les deux droites, prenons ae"=:ae'j puis décrivons deux arcs de cercle l'un du centre a!" avec aV pour rayon et l'autre du centre d avec le rayon de\ ils se coupent en e; joignant a*e, on aura le second côté E* de l'angle cherché «. Les motifs de toutes ces constructions seront faciles à concevoir, sans qu'il soit nécessaire de les développer ici.
150. Problème 7. Inscrire vne sphère dans une pyramide iriangutaire. On divisera en deux parties égales (n° 128) trois angles dièdres dont les arêtes ne concourent pas au même sommet , et le centre de la sphère sera au point d'intersection des plans bissecteurs , puis son rayon sera la distance de ce centre à une fece quelconque (n* 1 36) de la pyramide.
151 . Problème 8. Grcomcrire une sphère à une pyramide triangulmre. On élèvera des pians perpendiculaires sur les milieux des U*ois arêtes /n'' 83) non situées sur une même face de la pyramide et le point où ils se couperont sera le centre de la sphère demandée , on aura le rayon de la sphère en unissant ce o^atre à l'un des sommets de la pyramide.
1 52. PnOBLÈME 9. Sur un triangle acutangle donné j construire une pyramide tritectangle et en trouver la hauteur. Prenons pour plan horizontal celui du triangle donné {fig. 137), et pour plan vertical un plan perpendiculaire à l'un des côtés, par exemple au côté ab. Concevons la pyra mide construite et désignons son sommet par s ; rabattons sur le plan horizontal la face sab, dont le plan est perpendiculaire au plan vertical de projection , elle sera inscrite dans un demi-cercle ayant ab pour diamètre, et comme l'arête se est perpendiculaire à cette face et par conséquent parallèle au plan vertical de projection, sa projection horizontale s^c doit être perpendiculaire à ab, donc le point e se rabat en s\ et la fece sob en sab. Si maintenant on suppose que cette face revienne en sa position dans l'espace, le point s décrira un arc de cercle C dont le cen tre est en o sur «6, et auquel l'arête se est nécessairement taagente. La projection verticale s'"" décrira ua cercle identique au cercle C et auquel la droite <V doit être tangente; or cette tangente est toujours
possible^ ear le rayon on est toujours moindre que oc, donc c* est toujours extérieur à la circonférence C ; on obtient ainsi la projection «*' du sommet s de la pyramide, d'où Ton déduit «*, et par suite la pyramide est connue , son sommet s étant connu puisque Ton connaît ses deux projections. Si Ton joint aç*, on aura la projection horizontale de l'aréle as perpendiculaire à la face bsd , donc as* est perpendiculaire kbc; de même bt/" est perpendiculaire à ac.
La hauteur de la pyramide est donnée en s^p. Si Ton rabat les trois faces , elles seront inscrites dans des demi-cercles , dont les cordes adjacentes à un même sommet du triangle sont égales.
f53. Le problème précédent conduit aux conséquences suivantes :
1 "* Sut un triangle acutangle quelconque pris pour base , on peut toujours construire une pyramide trirectangle.
i"* Les perpendicmlaires abaissées des semtuets d'un triangle quelconque sur les côtés opposés j concourent en un même point; car on vient de le démontrer pour un triangle acutangle. Mais s'il s'agit d'un triangle obtusangle abc [fig. 138), abaissant des sommets 6 et c des angles aigus des perpendiculaires sur les côtés opposés , elles se croiseront nécessairement en un point d extérieur au triangle abc et formeront un autre triangle bcd évidemment acutangle , et dans lequel les droites bc et cb' sont perpendiculaires aux côtés cd et bd » donc aussi la droite da sera perpendiculaire sur bc^ donc enfin les droites adj bb\ cc\ abaissées des trois sonmiets du triangle abc perpendiculairement sur les côtés opposés concourent en un même point d, in* térieur ou extérieur^ selon que le triangle est acutangle ou obtusangle.
154. Problème 10. Couper une pyramide trirectangle y de manière que la section s(At un triangle acutangle donné. Ayant rabattu comme ci-dessus les trois faces de la pyramide donnée (Jig. 439 ) , soit {fig. 140) a^y le triangle auquel la section doit être égale ; ce triangle pourra être considéré comme la base d'une pyramide trirectangle ; nous développerons cette pyramide , et nous obtiendrons ainsi ses faces a ap, a'cxr/y a "(îy que nous reporterons respectivement sur les triangles s'ab (fig. 1 39), sac, s'"bc, puis rapportant les points a" et a\ b" et 6'", c" et c" en ti\ b'\ c* sur les projections des trois arêtes, nous aurons la projection horizontale du triangle de section , on en aura faciiement la projection verticale , et par conséquent son plan sera parfaitement déterminé ; on peut d'ailleurs trouver facilement les traces de ce plan si on le désire.
4 55. PnoBLlaiE 1 1 . Couper une pyramide quadrangulaire ayant pour base un trapèze par un plan de manière que la section soit un parallélogramme (fig. 141 ). Prenons pour plan horizontal celui de la base ahed de la pyramide et désignons par s le commet de cette pyramide dont s*" sera la projection horizontale, et donnons-nous
la hauteur du sommet s au-dessus de la base ; on n'a pas besoin de plan vertical de projection.
Prolongeons les côtés non parallèles ad et bc de la base jusqu'à leur intersection en 0, les plans des faces sad et $bc se coupent suivant la droite D , qui passe par les points s et Oj et les plans des faces sab et scd dont les traces horizontales sont parallèles se coupent suivant une horizontale de ces plans menée par le point s. Cela posé , nommant P le plan de section , nous dirons : puisque ce plan P coupe les faces sab et scd suivant des droites parallèles entre elles , ces droites seront aussi parallèles à l'intersection des plans de ces faces, donc hab, cd et H', donc H' doit être parallèle à aé (on peut d'ailleurs prendre cette trace H' partout où l'on voudra sur le dessin, pourvu qu'on la mène parallèle k ab). Puis le plan P coupe les faces sad et sbc suivant deux droites parallèles entre elles et par conséquent à D, et passant par les points a; et t/; si l'on mène par ces points des parallèles à D coupant ^*a, «*6, A, «*d aux points a*, b'\ c'\ d'* et si l'on joint a%'\ c'^'d"' la figure a^^'^d'^ sera la projection horizontale de la section et devra par conséquent être un parallélogramme.
On déduit facilement de ce qui précède : T Les côtés a*6"^ et a!H'^ étant respectivement parallèles à aô et à D*, pour que le parallélogramme a *6W* soit rectangle, il faut et il suffit que D* soit perpendiculaire sur ab. 2* Pour que la projection a''b\'^d!^ soit un losange, remarquons que tout plan parallèle à P couperait aussi dans ce cas la pyramide suivant un parallélogramme ayant pour projection horizontale un losange; nous pouvons donc prendre ab {fig. 142) pour la trace du plan sécant et alors ab sera un côté du losange. L'autre côté devant être égal à ab, du point a comme centre et avec un rayon égal à ab, nous décrirons une circonférence de cercle sur laquelle doit être pris arbitrairement le point d'*, puis menant du point 0 une parallèle à ad'*, elle vient couper ddf" au point «* ; on aurait pu de même décrire la circonférence du centre b. 3** Enfin la projection a'^b'^d^d!^ sera un quarré si l'on a en même temps d'^ sur la circonférence précédente et D* perpendiculaire sur ab.
156. Problème 12. Couper une pyramide quadrangulaire à base quelconque par un plan de manière que la section soit un parallélogramme {fig. 143). Prenons pour plan horizontal le plan de la base abcd, nous ne construisons par la projection verticale, il serait facile d'en avoir une si on le désirait. Prolongeons les côtés opposés ab et cd jusqu'à leur rencontre en o et joignons o«*, ce sera la projection horizontalei 1* de l'intersection des plans des deux faces sab^ scd. Prolongeons de même les côtés opposés ad, bc jusqu'à leur rencontre en tù et joignons w/, ce sera la projection horizontale J'^ de l'intersection des plans des deux faces sab^ sbc. Enfin la droite oco sera la trace horizontale du plan (I, J) ou X. Cela posé, le plan sécant ft
devant coaper les faces opposées suivant des droites parallèles entre elles et par conséquent parallèles à leur intersection , doit être lui-même parallèle à la fois aux deux droites I et J et par conséquent à leur plan , donc H' doit être parallèle à H* ; on peut d'ailleurs prendre pour W une droite quelconque remplissant cette condition. Puis menant par les points x et y, en lesquels H' coupe ab et cd^ des parallèles à I\ et par les points u et «, en lesquels H' coupe ad et bcj des parallèles à J*, ces droites se croiseront en des points situés sur les projections des arêtes et donneront la projection horizontale d^b\'^d!^ de la section , qui doit par conséquent être un parallélogramme.
La projection horizontale a'*é'V*d'* serait un rectangle, si les projections I* et J* des intersections étaient perpendiculaires entre elles, c'est-à-dire si le point «* {fig. 1 44) appartenait à la circonférence de cercle décrite sur oo) comme diamètre.
Comme cas particuliers, on peut indiquer les deux suivants :
1* La projection a*AW* sera un losange, si le triangle o^tù {fig. 145) est isocèle, et si en menant par le point a une parallèle R à la droite ow, le point m est le milieu de la longueur de la droite rr interceptée sur R par les droites oc et (ùc. Dans ce cas, le trapèze abcd est tel , que les côtés cd et c6, ad et ab sont égaux entre eux , et, dans ce cas encore, la droite cs^ passe par le sommet a du trapèze.
2*" Les conditions indiquées ci-dessus étant remplies, si le triangle isocèle est rectangle, ou, en d'autres termes, si le point s^ est sur la circonférence d'un cercle dont ow serait le diamètre, alors la projection a'*6V*d'* sera un carré.
Désignons par D la droite qui unit les points de concours o et co des côtés opposés du trapèze B, base de la pyramide; désignons par s le sommet delà pyramide, et par H' une droite qui, tracée sur le plan du trapèze (plan que nous prendrons pour plan horizontal de projection) sera parallèle à D.
Si , par le point /, on mène une verticale Y, et si l'on prend sur cette droite une suite de points «, s, s'\ etc., et qu'on les regarde comme les sommets d'une suite de pyramides Z, Z', Z'\ etc., ayant toutes pour base commune le trapèze B; si par H' on mène une suite de plans P, P', P", respectivement parallèles aux plans («, D), («', D), (5",D), etc., ces plans couperont les pyramides suivant des parallélogrammes qui se projetteront tous sur le plan horizontal , suivant un seul et même parallélogramme E*.
Ainsi : le plan P coupera la pyramide Z suivant un parallélogramme Ë
etc. — etc. — etc.
et tons ces parailélograminea^ E, E', E", etc., seront situés sur un priBme droit ayant le parallélogramme E^ pour base. Et comme la position du sommet s peut varier arbitrairement sur. T, et qu'ainsi on peut faire croître ou décroître à volonté la hauteur du sommet ^ au-dessus du pian horizontal , ou voit que Ton peut supposer celte hauteur nulle; alors le plan sécant Pet la pyramide Z se confondent avec le plan horizontal, et Ton n'a plus^ qu'un système de lignes toutes tracées sur un plan , et non plus un système de lignes-* dont une partie est sur lé plan , et dont l'autre partie est la projection de certaines lignes situées dans^ l'espace.
Nous pouvons donc énoncer ce qui suit :
Cn système situé sur un plan , ou , comme on le dit , un système plan , peut être regardé comme la projection sur son plan de divers systèmes situés dans Tespace , étant tous du môme genre comme étant tous soumis à une certaine et môme bi de formation.
Et comme , dans un système plan , on pourra regarder certaines lignes comme étant dans le plan , et certaines autres comme étant la projection sur ce plan de lignes situées dans l'espace , et que le choix des lignes regardées comme étant sur le plan pourra être souvent arbitraire, pourvu que ce choix conduise à un système pouvant exister dans l'espace, on peut dire qu'un système plan peut être regardé comme la projection de divers systèmes de l'espace et de genres différents.
Ainsi dans la fiy. 1 45 , qui empoche de regarder les points a et 5* de la figure plane comme étant sur le plan de cette figure, et de considérer les points 6,c,d du trapèze comme étant les projections de points de l'espace? alors on aurait une pyramide dont Tarête sa serait seule dans le plan de la figure , et ce système serait bien différent de celui où l'on regarderait le trapèze abcd comme étant dans le plan de la figure , et le point / comme étant la projection d'un point s de l'espace, puisque, dans ce cas, on aurait xme pyramide ayant sa base sur le plan de la figure.
Et de plus dans le premier système, celui où l'on considère les quatre points Qyb^Cjd comme étant les projections de quatre points de l'espace, on pourra établir que ces quatre points de l'espace sont les sommets d'un quadrilatère plan ou les sommets d'un quadrilatère gauche.
Dans le premier cas , les points o et a> seront les projections de deux points de l'espace; dans le deuxième cas, ces points o et « devront être considérés comme les projections de deux droites verticales , perpendiculaires au plan de la figure , sur chacune desquelles s'appuient les côtés opposés (et supposés prolongés) du quadrilatère gauche.
D'après ce qui précède , on voit que lorsqu'on a sur un plan un système de
lignes , et que l'on veut découvrir les pfopriétés géoinéir.iques dont ce «ystème plan peut jouir^ on doit chercher à conatruire dan& l'espace un système deligaes ayant le système plan pour projection , et chercher parmi tous les systèmes de Tespace constructibles celai qui permettra de décoavrir facilement, et le plus facilement, les propriétés du système plan donné; et réciproquement, lorsqu'on a un système de lignes dans Fespace, on doit proj.eter ce système sur nn plan, et rechercher les propriétés du système de l'espace , en vertu des propriétés dont jouit \e systèmeplan-projection ; on doit donc, parmi tous les plans de projection, chercher celui qui sera tellement situé par rapport au système de l'espace, que la projection, sur ce plan , du système de l'espace nous permettra de découvrir facilement , et le pins facilement possible , les propriétés du système-plan-projection , pour en conclure les propriétés du système de l'espace.
Ce mode de recherches, qui consiste à passer du plan dans t espace y et réciproquement de Fespace sur le plan^ est fécond en géométrie descriptive, et il est tout à fait dans l'esprit de cette science, puisqu'il n'est évidemment qu'une conséquence de la méthode générale des projections, méthode qui est la base de la géométrie descriptive.
Soit donné le quadrilatère abcd sur le plan horizontal {fig. 1 45 bis) , dont les côtés opposés étant prolongés se coupent aux points o et w , soit s* la projection du sommet s de la pyramide ayant le quadrilatère abcd pour base.
Menons parle point a une droite H' parallèle à la droite (o, w) et regardons cette droite comme la trace horizontale d'un plan'P, lequel sera parallèle au plan («,0,0) ; ce plan P , coupera la pyramide suivant un parallélogramme qui se projettera suivant un autre parallélogramme a'^ôV^tf*.
Cela posé :
Par le point r en lequel H' coupe la droite eo menons nne droite quelconque rc'*, coupant la droite p6V* en un point c"*. Joignons les points c et c'*par une droite coupant la ligne ù)S^ en un point s^^, la pyramide qui aura pour base le quadrilatère abcd , et pour sommet un point ayant «'* pour projection horizontale , sera coupée par un plan P' ayant H' pour trace horizontale (ce plan.P' étant, parallèle au plan «'oci>), suivant un parallélogramme ab"c"d" qui se projettera suivant un autre parallélogramme ab'\'^^d"^^ ces deux parallélogrammes étant tels que les cinq points p,6'*,c'*,fr"*,c"* seront en ligne droite. Il est évident que les deux parallélogrammes de section ab'cd' et ab"c"d" sont -situés sur un prisme oblique dont les arêtes sont parallèles à la droite s'stù. Nous aurons donc, dans ce cas, une suite de pyramides ayant même base et coupées par des plans P, P' P"., etc.,. ayant même trace horizontale H% suivant des parallélogrammes se projetant (sur le plan de base) en des parallélogrammes difEérents, distincts, et non plus suivant le même parallélogramme,
comiDe dans le cas où les divers sommets #, s', s" y etc., des pyramides étaient situés sur une perpendiculaire au plan de base.
Dès lors on pourra demander de trouver la position que doit occuper le sommet *' pour que la projection du parallélogramme de section jouisse de certaines propriétés; on pourra demander, par exemple, que cette projection soit un losange, ou que les côtés adjacents soient dans un rapport donné, etc. En désignant le trapèze de base par B, on peut dire que le système formé par la pyramide («, B) et le plan P a été transformé en le système formé par la pyramide (s' B) et le plan P'.
Le mode de recherche qui consiste à transformer une figure plane en une autre figure plane, un système de Tcspace en un autre système de l'espace (et il existe bien des modes différents de transformation) est très-fréquemment employé en géométrie descriptive ; on s'en sert pour transformer un système 1 en un autre système E', tel que Ton puisse facilement reconnaître ses propriétés géométriques, et Ton passe alors des propriétés reconnues sur le système S' à celles qui doivent exister sur le système primitifs', en faisant subir aux propriétés du système transformé S' , les modifications que le mode de transformation employé pour repasser du système H au système S doit leur faire éprouver.
Ce mode de recherche n'est encore qu'une conséquence de la méthode des projections, mais une conséquence plus générale que ne Test le mode précédemment exposé. Dans la seconde partie de ce cours, nous aurons plus d'une fois Toccasion d'employer l'un et l'autre de ces deux modes de recherche.
Maintenant, proposons- nous de chercher quelle doit être la position du point s'' sur la droite ws'^, pour que, fig. 145 bis y le parallélogramme afr' V^^d"* soit un losange. Pour que ce parallélogramme soit un losange, il faut que l'on ait ad"*=a6''*.
Or, en supposant que la droite ad!"^aL été menée arbitrairement, il faudra que la droite rô"* soit parallèle à la droite ad"^y ce qui ne pourra avoir lieu évidemment que pour certaine direction particulière donnée à la droite ad'"^. En examinant de près le problème proposé , on voit qu'il se réduit au suivant :
Étant donnés {fig. 145 ter) deux droites parallèles A etBy un point a sur  et un point r hors des deux droites , mener par le point r une droite D telle que , coupant tes droites A etB aux points b"* et c"\ on ait: ab"*=b''*c"\
Or ce problème se résout facilement de la manière suivante :
Concevons par le point r une suite de droites R, R', R", etc., dont l'une, R, passe
par le point a et coupe la droite A aux points a, A'*, 6"*, 6'"*, etc., et la droite B
aux points p, c'*, c"*, c"'*, etc.
Portons sur ces droites R, R', R", etc., et à partir des points a, 6'*, ^'"^, etc., et
du rftto de B les distances du point a à chacune de ces droites R, R', R", etc., ces
distances étant comptées snr la droite A , on anra les points a, y\ y'\ y"', etc., qui détermineront une courbe d, laquelle sera évidemment composée d^une branche infinie passant par le point a et coupant la droite B en deux points c, et c, ; les droites rc^ et rc^ résoudront le problème, qui aura toujours deux solutions. On donne à cette courbe d le nom de courbe d erreur. Or, il est évident que la courbe (terreur est un lieu géométrique , et qu'ainsi , en employant en géométrie descriptive une courbe (terreur, nous faisons identiquement ce que Ton fait lorsque Ton applique l'analyse à la géométrie , et que Ton cherche un point situé à la fois sur deux lieux géométriques.
Dans le problème précédent, les lieux géométriques sont la droite B et la courbe d.
L'emploi des courbes (Terreur est très-fréquent en géométrie descriptive-
Donnons un second exemple de l'emploi des courbes d'erreur.
Étant donné (Jig. 145 6w), un quadrilatère abcd comme base d'une pyramide, cherchons la position que doit occuper le sommet s de cette pyramide pour qu'un plan P, parallèle au plan («, o, w) , la coupe suivant un parallélogramme qui se projette sur le plan horizontal, ou, en d'autres termes, sur le plan de base suivant un carré. Les droites o«* et a>«* devront être rectangulaires, le point «* devra donc être situé sur un cercle G décrit sur oa> comme diamètre.
Par suite, faisant passer le plan P par le point a. H' sera parallèle à oa>, le point c'* devra donc être situé sur un cercle 6 décrit sur rp comme diamètre ; et il faudra évidemment que ce point c'* soit tel que menant la droite rc'', et abaissant du point a une perpendiculaire ab'i' sur cette droite, on ait: ab'^z=zb'^c^. Il faudra donc {fig. \ 45, quaier) , construire une courbe d'erreur y de la manière suivante :
Du point r nous mènerons une suite de droites R , R', R", R"', etc., coupant le cercle C aux points c^, c'*, c"*, c'"*, etc. ; du point a nous abaisserons des perpendiculaires L, U, L", L"', etc., sur les droites R, R', R", etc., et les coupant respectivement aux points M, A'*, A"\ 6'"*, etc.
Puis nous porterons sur R, et à partir du point A*, une longueur 6*y=ft*a; sur
R', et à partir du point 6'*, une longueur fr'*y' 7=^a , et ainsi de suite.
Les points y , y\ etc. , détermineront une courbe y qui passera par le point a et qui coupera le cercle C en deux points c, et c, qui seront évidemment situés sur une perpendiculaire à la droite rp.
Unissant le point c avec c, par une droite J et ce même point c avec c, par une droite J', ces deux droites J et J' couperont le cercle G en deux points %^ et s'^ situés sur une perpendiculaire à la droite oûTet ces points ^ et 9'^ seront les
pTOjectioHs des diVen commets & et dés divers scimnets s des Avemes» p jna^k» qui y ayant le qtrardrilatère <7^^e/ potir base , serofff coupés par ua plan psrallèle an plan ($9 09 û)) on au plan (s' o, o») suivant iift paraH^ogranuiie 96 pit^etaiii, sur le plain de base, suivant tm c«nrr^.
