CHAPITRE V

DBS DirrÉveirrs stsitns dc ^uo$è€^iom%.

' <57. Dans ce qui précède, nous n'avons considéré que des projections orthogonales sur deux plans perpendiculaires entre eux ; en généralisant la même idée on peut nommer projection d'un point sur un plan , le point où une droite quelconque passant par le point donné rencontre ce plan , mais le système de projection étudié ci-dessus est le plus usité, non-seulement parce qu'il est le plH» commode à employer pour les constructions graphiques à exécuter pour la solution des problèmes géométriques proposés, mais aussi parce qu'il conduit à des épures à l'aide desquelles il est plus facile de construire le relief. Cependant on emploie quelquefois d'autres systèmes pour lesquels on ne fait plus usage que d'un seul plan de projection , et, parmi ceux-là^ le plus simple est celui qui constitue les plans cotés et nivelés. Un point est déterminé dans ce système par sa projection orthogonale sur un plan , qu'on nomme plan de comparaison , et que l'on choisit ordinairement au-dessus de tous les points du système projeté, et par un nombre écrit à côté de la projection du point et qui en fait connaître la distance au plan de comparaison . Ce nombre prend le nom de cote du point. Les cotes des points situées au-dessus du plan de comparaison seraient négatives, et si Ton prend le plan de comparaison tel qu'il passe au-dessus de tous les points du système , ou en d'autres termes tel que tous les points du- système soient situés au-dessous de lui , c'est afin de n*avoir aucunes cotes négatives, ce qui serait gênant dans les diverses op^tions

à ^C0eto^ pour la sdMabn des problèmes propaséa. Oa voit que ce système matre dans le système général , car, à l'aide des cotes de chaque poiot du système projeté, on pourrait ea obtenir la projection sur un plan quelconque, mais per* pendiculaire au plan de comparaison ^ en choisissant uae ligne de terre arbitraire et en abaissant de la projection eonnœ de chaque poiat une perpendiculaire sur cette ligne ^ et en portant ^isuite do côié eonvenabie (par rapport à la ligne de terre) des distances égales aux cotes de ces points (n"* S).

Dans ce système une droite est déterminée par les projections et les cotes de deuK do ses points (a* 18), et un plan par sa ligne de plus grande pente par rapport au plan de comparaison (n"* 38), ligne qui porte le nom à! échelle de pente du pàflffi.

Ce système de projection est fréquemment usité , surtout dans les dessins re« iatifs auK fortifications et anx travaiix de déblai et remblai^ tels que routes, eanaux, etc.

Comme Ton ne peut pas ordinairement avoir une feuille de dessin assez grande pour représenter les corps dans leurs grandeurs naturelles, on réduit les dessins ou épures que l'on désigne aossi sous le nom de pUim à une échelle déterminée ^ui d^t être anne&ée au dessin et sur laqudle on c(m)pte les longueurs horizon* taies , les cotes sont ioujonro indiquées dans leurs grandeurs naturelles ; il faudrait les réduire à la même échelle ^ si Ton voulait faire la pr<^ection verticale du corps sur un plan vertical de projection. Nous verrons cependant que^ pour des motifs qu*il n'est pas temps encore d'expliquer, on ne réduit pas ordinairement les deux projections è la ménse échelle.

158. On nomme projeciiom obliques j celles qui sont détermiaées par des droites inclinées par rapport au plan de projection , mais toutes parallèles entre elles. Pour pouvoir obtenir la projection oblique d'un pcMut, il faut connaître la direction et rinctinaison de la droite projetante par rapport au plan de projection ; on la donne ordinairement par sa pente , c'est^-dire par le rapport de la hauteur à la base du Iriangle rectangle formé par les droites projetant orlbogpnalement et obliquement le point et par celle qui unit ces deux projections. Le point est alors déterminé par sa projection orthogonale et une projection oblique sur le môme plan, car la projection orthogonale fait connaître une droite sur laquelle le point est situé, et la distance des deux projections conjointement avec le rapport connu de la hauteur a la base du triangle rectangle, ci-dessus désigné, fait connaître la distance du point an plan de projection. Lorsque les lignes projetantes sont inclinées à 45° sur le plan de projection , le triangle rectangle eêt isocèle , sa base est égale à sa hauteur, et par conséquent la distance du point au plan de projection est égale à celle de ses projectîona^ rncie ortbog^maleet Tiiubpe oblique i»ur le plan horizontal.

Dans la théorie des ombres, cette seconde projection est ce qa'on nonune Yonibre portée du point snr le plan de projection , qni est ordinairement le plan horizontal pour la partie du dessin (ou de V épuré) que Ton nomme le plan géoméiral et le plan vertical pour les couper et les élévations.

Une droite est de la même manière définie par sa projection orthogonale et une projection oblique sur le même plan, et un plan par les deux mêmes projections de sa ligne de plus grande pente. Ce que Ton nomme perspective militaire n'est autre chose qu'une projection oblique ; on s'en sert aussi dans les travaux d'arts des ponts et chaussées, pour mieux faire voir les détails d'assemblages des parties intérieures des constructions.

159. Les projections orthogonales et obliques que nous venons d'indiquer portent le nom commun de projections cylindriques. Il existe encore un système de projections que nous nommerons projections coniques j et auxquelles on donne aussi le nom de projections centrales ou polaires. Dans ce système , les droite pro-> jetantes passent toutes par un même point fixe , qu'on nomme centre ou pôle des projections.

Dans ce système, on emploie deux plans recta ugulaires , Tun nommé géométral^ sur lequel on projette orthogonalement le système proposé ; l'autre nommé tableau ^ sur lequel on effectue la projection conique ou la perspective de ce même système. La ligne de terre prend, dans ce cas-ci , le nom de base du tableau.

Un point est déterminé dans l'espace , quand on connaît sa projection orthogonale sur le géométral , sa perspective , la base du tableau et le centre des projections ou point de vue. Mais on peut aussi définir la position d'un point dans l'espace par sa perspective , sa cote de hauteur au-dessus du géométral ; la projection du point de vue fait connaître la base du tableau.

160. Mais lorsqu'on ne cherche que des relations de position sur un plan , on peut donner une seule projection du système de points et de droites composant un système de l'espace , la position du système dans l'espace reste arbitraire ; alors on en choisit un entre tous , et l'on choisit le plus simple pour arriver à la démonstration des théorèmes de relations de position énoncés; c'est ce que nous avons déjà fait dans quelques questions du chapitre IIL

Des plans cotés et nivelés.

1 61 . Dans tout cet article nous mesurerons les distances horizontales sur une échelle au centième ou de 0"'.01 pour I^.OO, représentée (fig. 1 46); les décimètres y sont exprimés par des millimètres. Si l'on voulait avoir des distances moindres

que les décimètres , par exemple les centimètres , on disposerait Téchelle comme il sait. A Tune des extrémités a (Jig. 1 47) de la droite ab , on élève une perpendicalairOy sur laquelle on porte 1 0 fois une longueur arbitraire ; par tous les points 1 j

ij 3, 10, on mène des parallèles à abj puis divisant la dernière parallèle en

millimètres y nous joindrons les points 1 et 1 0', 2 et 1 ', 3 et 2', . . . 10 et 9' des deux parallèles extrêmes , et il est évident que toutes ces nouvelles droites sont parallèles, et qu'elles interceptent sur les parallèles à ab des parties égales à O'^yOOOl,

0-,0002,0-,0003, 0"",0009, 0"*,001 ; en effet, considérons la partie «p comptée

sur la parallèle menée du point 7, les triangles semblables 1 0 — a — p et 1 0—9' — 1 0' donnent 1 0 — 1 0' : 10— ^:: 9'— 10': «(3. Or 10— 10' contient 10 des parties dont (10 — (3) en contient 7, et 9' — 1 0'=0",001 ; donc cette proportion peut se changer en celle-ci : 10:7:: O'^jOOl : a6=0",0007 ; on trouverait de même la valeur des parties comprises sur les autres parallèles. Cela posé, supposons qu'on veuille mesurer sur cette échelle une longueur de 7"',64, on prendra sur la parallèle à ab , menée du point 4, la longueur yd, qui sera la droite demandée , réduite à Téchelle. En efiTet, cette droite yd se compose de ye=0",07, de 3Çc=;0",006, et de la partie eÇ=:0'',0fli)4 : donc en tout y3=0"*,0764, ce qui représente, à l'échelle convenue, la longueur donnée de 7",64.

162. Problème 1. Sur une droite donnée trouver la cote d'un point quelconque dont on se donne la projection {fig. 1 43). Concevons le plan projetant la droite donnée D sur le plan de comparaison que nous considérerons comme horizontal , et prenons-le pour plan vertical de projection , de sorte que D* deviendra LT, on aura D fen portant sur des perpendiculaires à LT des longueurs m^m et m'W, respectivement égales aux cotes données y et y' (^) , des points m et m' appartenant à la droite D de l'espace ; élevant la perpendiculaire ni'^m\ sa longueur exprimera précisément la cote cherchée y" du point m'\ Pour en avoir l'expression numérique en fonction des cotes connues y et y'j menons la droite ml parallèle à LT, nous aurons : m'*/=m''^ft=:m^fn=y, et les triangles semblables mlm'j mkm'\ donreront :

ml: mk :: Im' :hm" ou

n^'^ : mhn"'' : : m!hn' — mHn : m"*ifi" — m^ ou enfin

{*) Nous ayons désigné les longueurs horizontales, dont on connaît la grandeur au moyen de Téchelle par x, a/^ etc., et les distances des points au plan de comparaison (distances données par les cotes) par y, y', etc., pour conserver la Dotation dont on a l'habitude, lorsque Ton applique l'algèbre à la géométrie.

dioùi

et

Soit , par exemple , la droite D (fig. i 49),. et demandons la cote da point m". Portons sur Téchelle (fig. 1 46), les distances hori2Qnta]es n^m^ et nJ'm'^j je suppose qu'on les trouve respectivement de 0",02 et O^jOi 5, ce qui donne pour ces distances ramenées à leur grandeur naturelle a;' = 2™ et «"=!'", 5 (n^ 161); nous avons d'ailleurs i/ = 5",20 et j/'zr:9",00 ; substituant ces valeurs dans la fojmule précédente, nous trouverons :

„ 5,2x(2— l,5) + MXi,5 5,2x0,5 + 9,6x1,5 2,6t) + lû,a0 17 ^ 2 2 2T

ou enfin

163. Problème 2. Sur une droite donnée trouver la projection if un point dont on connaît la cote {Jxq. 148). Ayant tracé comme ci-dessus la droite D, je prends sur m'^m' une longueur m'Y', égale à la cote donnée t/" et menant /'m" parallèle à LT, le point m sera le point cherché , dont nous aurons en m"* la projection horizop taie ; mais il faut avoir la distance au point ni" ; pour cela ayant obtenu comme ci-dessus la proportion :

4r^:;aif'::y'-— îMy"-^y.

noiui eu tir^iQQS :

Soit, par exemple, la droite D (^fig. 150), sur laquelle on demande de trouver le point ayant pour cote S"*. Ayant porté la distance m^nt!*' sur l'échelle {fig. 1 46), supposons qu'on la trouve de 0™,005, ce qui donnea:'=0",5 (n** 161), on a en outre : y = 1 6-^,30, y'= 1 3^,70, y"— 8~,00.

D'oùy"— y=8'"— 16'-,30=8"S30ety'— y = 13'",70 — 16"S30=:2'",60;ces valeurs étant substituées dans la formule précédente , leur signe ( — ) disparaîtra , mais, on peut l'éviter à priori , car si dans la fig. 1 48 la cote y eût été supposée plus grande que la cote y' et que la cote y" y il est facile de reconnaître que les mâmes

constructions auraient conduit à la formule a;"=— ^^ — ^ dans laquelle il faut

substituer à (y — y") et à (y— ^V) les valeurs pooitivas S'^ySO et 2",60; on a alors :

ou à très*peii près, x"2^4'^j60'y réduite à Téchelie, cette valeur devieil'0''yf6. Nous la prendrons sur Téchelle, et, la portant de m^ en m"'' du côté des cotes décroissantes, le point m^ sera le point demandé. Si Ton demandait la trace de la droite sur le plan de comparaison ou le point

ayant pour cote zéro, il suffirait de faire t/"=:0* d'où x"s=s ■■^- ■■■, U feutikivœr mu

de porter les distances négatives d'un côté opposé à celui sur lequel on porte les distances positives.

164. Problème 3. Trouver CmcUnaison (Cune droite sur le plan de comparcàtn. On sait que cette inclinaison est mesurée par Tangle de la droite avec sa projection sur le plan, elle sera donc donnée parla j!^. (448) de laquelle on tire :

-f^ /m' \f—y tang Imm ^ --- =& . »

Si nous supposons quMl s'agisse de la droite D (fig. 1 49) , nous aurons :

y ' — y = 4«,/i0 , et af — 2^00

donc posant :

Imm = a , on a : tang « = ——— = 2",20

d'où

log tang a = log 2,20 =s: 0,3424227 ^ log tang (65% 33', 22")

donc : a = 65% 33', 22".

165. Problème 4. Trouver sur une droite donnée la distance de deux points. Im triangle rectangle mlm! (fig. 1 48) donne :

mtfi

' = \^mr + lm" ou A = I/o;* + (y — y')*

Soit demandée, par exîemple, la distance des points m et m' (fig, 1 49), nous avons

(n* 162) x'^iiT^y' — yss 4", i ; ces valeara, sobetitaées dans la formole, donneront mm' ou

A = K2'+(ft,4)'= |/4 + 19,36 = l/ïîjè

ou enfin A =4", 8382.

166. PaoBLÈMB 5. Trouver sur une droite donnée un point ^tant d'un point donné, iune quantité déterminée. Supposons que m" soit le point demandée, il faut connaître mW* on x" et m"'^m" ou y" ; pour cela nous avons déjà trouvé ( n" 1 62 )

puis le triangle rectangle mm"k donne :

d'où

* = .. , . , rr et a? =

puis (n^ 462):

Soit demandé de porter sur la droite D {^fig. 151 ) et à partir du point m une longueur égale à 6". Ayant porté la distance horizontale m^m^ sur l'échelle (Jig. 1 46), supposons qu'on l'ait trouvée de 0",027, d'où a; =2",70 ; on a d'ailleurs j/=1 8",00 et j^'r=:25™y00. en substituant ces valeurs dans les formules précédentes, elles donneront

V(1ylT+0y V/56,29 56,29 56,29 5629

Portant donc de part et d'autre de m* une longueur 0",0215, mesurée sur l'échelle {fig. 147), on aura deux points m"* et m'"* qui seront les projections horizontales des points satisfaisant à la question ; pour en avoir les cotes , puisque nous connaissons x\ nous emploierons la formule

~ 105 — qai donne

donc'la cote du point m" sera y"F3 23",57, el celte du point m'" sera 5"'= 12", 43, à très-peu près.

n y a deux vateurs égales et de signes contraires de x'\ parce que i*on peut prendre le point m"* de part et d'autre de m*» et les deux valeurs de y" répondent respectivement à ces deux points qui, évidemment, doivent avoir des cote9 différentes.

167. Pour que deux droites soient parallèles, il est évident que leurs projections horizôÂtales doivent être parallèles, les cotes de leurs points doivent croître dans le même sens, et les distancés horizontales de^eux points de chaque droite doivent être propocCip^neHês ftux diffl^ences de letfrs cotes (n"" 22).

Réciproquement, si ces conditions .sont remplies, les diroites sont évidemment parallèles. Ifeajt donô/acilei^de mener par un point donné ufte droite parallèle à une droite donnée. . • ,

468. Problèiéë 6. Trouver P angle de deux droites. Si les droites proposées ne se coupent pas, on leut mènera, par un point quelconque, des parallèles (n"" 167), dontrangle sera celui demandée Pouf avoir eet angle, on peat employer plusieurs procéééa; ains>, par exemple, on peut :

1\Prendre sur. Tes deux dco^ A et B {Jign 152), deux points ayant mêmes cMei; pour* cela on cherche sur la droite BJe point p, dont la cote est égale à la cote connue^ du '{Joint m 'de la droite" A, la droite mp est alors horizontale et par conséquent égale à sa projection mV (ï^* 56, 4"),. Si Ton' cherche. les longueurs P et M (n"" 1B3) des portions dm et dp des droites A et B, on connaîtra les trois côtés 'du triangle dmpj on pourra donc conclure Tangle cherché mdp. Soient 1"* la droite A donnée -par le point d ayant la cote (3", 5) et par le point m ayant la cote (2",g3> et supposons que d*m*=i: 0",02, et 2"* la droite B donnée par le point d ayant la eore (3",^j.et par le point n ayant la cote (1 ",24), et supposons que rf^n* = 0",045. Nous aurons d'abord le point p* par la formule (nM 63 ) :

Puis nous aurons (nM 65 ) :

La trigonométrie donne ensuite les formules :

V/SfS— D) . ■. K(S — M)(S— P)

'^°^-'^= MP ^^^g^'^- S(S-D)

en désignant par d l'angle des deux droites et en faisant S = ■ *

En substituant lea valeurs précédentes M=:1"*,56, Vs^iT^M^ Ji^^i^^iOf nous aurons ;

(Toù

^' 5^4xM(i donc > . ■ . .

log tang id=i log 0,98 -}- 1 log 0,42 + ^ comp' log 2,54 -|- i comiJ' loè 1,14 = î,995«1804 + -fî,811«2ft64-t-M9T58314 + 4,97154757 «s 9,8763684 = logtaiig(20«W 27") '

donc

2* On pourrait, sur les deux côtés A et B de l'angle cherché ,^ prendre des longueurs égales; pour cela on prendra sur. A* un j^int m*^ on cherchera laC vraie longueur de la droite dm. (n* 165), puis on .déterminera sur B* «n point u* Id ^e dbi=r(/m (n* 166), et joîgnanl mV, on cherchera encore la vraie lon^eur de mn^ ou connaîtra les trois côtés du triangfe dmn , on calculera, donc Tangle d par les formules que fournît la trigonométrie; je n'appliquerai pas cette méthode à un exemple , on pourfa facilement s*y exercer. . . , .

469^ Problème 7. Étant donné m plan par spn échelle de pente et la projectioif (Tun point de ce plan , trouver m cote (fig, 1 53) . L'échelle de pente étant détermi* née par sa projection E*,.et les cotes de deux points m et n étant pour le premier (3-,54), et pour le second (8",1Sl), etl'intervalte in^a* étwl égala 0-,05, on cherchera d'abord deux points p et q dont les cotes soîent respectivement les nombres entiers 3 et 8 (tf 1 62) , on mesurera l'intervalle p*9*, et , divisant cet intervalle en cmq parties égales , on cotera les points de divisions 4^ S, 6i, 7^ il Mra dès lors facile de prolonger ces divisions et de trouver tel point que Ton voudra ; mais on peut se dispenser t, si Yom vesit, de ftm cette opértHion |unéaI4>i0f 3 suffira de

remarqua* que le pointa eet âtoé sur use horizositale du plan dont la projection P est perptodiQukire à Ë*, elle coupe Ë en un point r dont nous chercherons k oito (n"" 4 63) I elle seca en même temps celle du ppint eu SOppoflohe , p<r exemple , que r^ tombé entre les points in\ h\ et que Von ait

iïi*>^=:0",036; dans la formule {n* 162) tr=:y+ ^^ , ^^ , nous connaissons :

difnc en substétiatent nonsaufons ; - : ' ^ . '

donc enfin la ccfte cherchée du point a est y/3=; 6",8à76. .

On écrit Féchelle de pente d'un plto) {>ar ^enx .initia parallèles très**rapprochés , et OQ k divise toujours en parties égales de manière que les cotes- des points de division fonnet^ k' série dés nombres [entiers , parce qu'il est ak>rs plus facile de trouver les*eo(e« des d^ers points du pkn.

470. PaoBLÈim 8. Trouifer tinierseetton de deux plans. Ce problènie a été résolu (nT 4 00) à l'aide de deux projections , nous suivrons donc les mêmes constructions en remplacent les projections verticales par des cotes.

4* Si les projections E* ef E'* (fig. 154) des échelles de pente ne sont pa's parallèles, nous prendrons deux poin(;^ m et n sur E dont les cotes soient les nombres entiers 8r et 3*" (n^ 163) , et nous mesurerons la distance horizontale wf'n^ que je suppose de 0*,072; nous chercherons sur E' deux points m' et ri ayant les mêmes cotes S^ et 3*" et nOQs mesurerons la distance horizontale tnf^'n^ que je suppose de 0*",043; puis des pofnts m et m nous conduirons deux horizontales K et E' se coupant en un point k ayant la cote S*', et ce point k appartiendra à Tintersection t cherchée ; des points n et n' nous conduirons deux autres horizontales 6 et Gr' se coupant en un second point. ^ ayant la cote 3*^ et qui appartiendra encore à Tintersectîon I , des deux plans ; Tintarsection I est ainsi déterminée.

2" Sî les projections E* et E'* {fig. 155> sont parallèles, alors K'^ et K'\ G^ et G^ ne se coupent plus , mais dans ce cas P doit être parallèle à E'^ et E''^ puisqu'elle doit passer par leur point de concours situé à Tinâni ; pour en avoir un point ,

nous prendrons sur E et E' deux points arbitraires k^ et k' que nous unirons par une droite A, puis sur 6 et 6' novtt appliqueront uane droite B parallèle à A , ces

droites A et B seront dèax ^horizontales d^nn troisième plan coupant les plans pro* posés suivant les droites gh^t gk' lesquelles se coupent en un point x de Fintersection I demandée* Menant par le poipt a^ une parallèle aux projections dfiè horison* taies des deux plans donnés (ou y une perpendiculaire à leurs échelleà de pente quf sont parallèles ) , on aura P ; pour avdir la cote du point x j on peut Ja calculer sur 1 oiae des droites gk et g'k! ; on peut aussi remarquer que l étant harLBOntale'rençojitre E et E' en des points qui doivent avoir la mépe coiéj laqpelU sera celle du, point x.

3* Il est évidQpt qu'en menant d'autres dcoites guelcoûques telles que À et F, on peut trouver autant de points que Ton veut \ie I , de portjp, que cette solution conviendra encore au cas oà les projections* E^ et È'^,' sans être parallèles , fout un angle très-petit, auquel cas les droites K*'et K'*,«G*j6t G'* ne se croiseijj. qu'au delà des limiteç du dessin ; on trouvera deux pohxts tomme dans le* second cas , on les unit Qt l'on à ï* ; pour avoir les cotes des points x et «'ou peut par ces points mener des horizontales de l'un des plans ^ et chercher le» cote» des points où elles ren(X)ntr&kt l'échelle de pente du plau considéré.

174. Problème 9. Trouver Cinieriecjionulme droite et tCun^plm {fig. 56). Par un point de la droite donnée D, menons une droite quelconque K-, que nous considérerons comme* une horizontale d'un plan passant' par la dfoiteD/puis dans le plan donné ^ menons une horizontal^ G ayant la.içôme cote que là droite, K j les droites E et G seront dans un plan horizontal y :eV se couperont en un point a de l'intersection I du plan donné et du plan (D^E). Menant deux autres horizontales Kr et G' ayant alissi même cote y eHes se couperont en un second j^ojnt a' de cette intonjpction I, qui sera ainsi déterminée ; la droite I ira couper ja droite D, en un point z , qui sera le point demandé.

i72. Problème 10; Par un point donné abaisser une perpendiculaire sûr ^ plan donné. La projection de la perpendiculaire N devant être perpendiculaire à celle d*une horizontale du plan P, sera parallèle à E* (en désignant par E l'é'chdle de pente du plan donné P). Déplus, les cotes des droites Net E croilront en sens inverse, et les inclinaisons . de ces mêmes droites seront complémentaires. En effet , par le point où la normale N perce le plan, concevons une ligne de plus grande pente A ♦ le plan (A,N) sera verticaJ ; prenons-le pour plan vertical de projection (Jg. 157) A* et N* seront situés sur LT, les droites A et N se coupent en un point a et sont perpendiculaires entre elles : donc les angles qu'elles font avec LT sont complémentaires. Ou aura donc tang 6==cot «, mais ayant abaissé sur LT la perpendiculaire ac/" et mené les horizontales pt, 119, on a :

pi ^ XQ

^*"^a/* ^ nq

donc Ton a :pl: al :: xq : nq; de sorte que si on prend i»/=a/, on aura aq:=pL Si donc on a spr E^ {Jig. 158) la distance mW^rrrî^yôS (en la prenant sur l'échelle) et la différence des cotes y' — 2^= 5"", prenant à la môme échelle sur N^ la distance p*y*=*5"'^ on auray,~i//=?325',65etparoon8éqaent;y/=y,--2l»,65=7",18 —

173. Problème 1 1 • Par un point donné mener une perpendiculaire à une droite donnée^ Par le point p je mènerai d'abord un plan perpendicsnlaire à la droite donnée

*D^ son échelle^ de pente aura sa projection E* parallèle à D*. Cherchant ensuite rinté^ôtioB a de la droite J) et du plan , ce sera le pied de la perpendiculaire demandée : ddbc cette perpendiculaire .sera la droite qui unira le point trouvé a au point donné p. *

174. Probcèhç 12. Trouver C angle (F une droite et d^un plan. Par un point de la droite y on abaissera une perpendiculaire sur le plan (n"" 172), puis, cherchant 4-angle dç cette nora\9le et de la droite donnée ( n"" 1 68 ) , il sera le complément de l'angle chèrché*( n* 1 1 9, 2^ ).

1 75. PROBL]foiE 1 3. Trouver C angle de deux plans. Par un point arbitraire m, nous abaisserons des perpendiculaires liet P (n"* 172) sur chacun des deux plans donnés , et l'angle de ces perpendiculaires ( n* 1 6'8 ) mesuvera l'angle des deux plans (tf157,8").

1 76. pROBLàiOE -1 4. Par unB droite donnée .mener un plan qyi fasse avec le plan de tomparaison un angle donné. L'inclinaison d'un plan syc le plan de comparaison' est ^ale à. celle 'de son échielle de pente sur le même plan de comparaison. Soit donc 7 l'inclinaison donnée du plan cherché sur le* plan de comparaison , si par le pomt m {fig. 1 59 ) on mène une ligne de plus grande pente du plan cherché, et si l'on suppose que Ton connaisse la trace Ijorizontale a de cette ligne de plus grande pente , on aura un triangle ommMiems lequel mm'' : am'^ : : 5 : 4 ; or , mm''=: 1 3", donc 2im'^=1 0,4. Cette distance réduite- à l'échelle convenue ( n* 1 61 ) sera de 0"',1 04 ; il faudrait donc du point m* comme centre et avec un rayon égal à 0"',104 décrire une birconférenc^ de cercle ; puis sachant que la trace horizontale du plan doit passer par les tracés horizontales de la droite donnée et de la ligne de plus grande pente , et que de plus elle doit être perpendiculaire à la projection horizontale de la ligne die plus grande pente , elle ne pourra être autre qu'une droite tangente au cercle ci-dessus tracé, et passant par la trace horizontale de la droite D. Or, il peut arriver que cette trace horizontale soit hors des limites du dessin, et aussi que le rayon du cercle soit trop grand ; mais on peut rapporter la figure à un plan parallèle au plan de Comparaison, et choisir, par exemple, celui qoi passe parle point n, dont la coie est 7'',00 ; alors la cote du point m rapporté à ce nouveau [dan ne sera

qrie : 48"'«>*-7'"=r6"y ce aéra la hauteur k do trianglo rectangle, on aura donc la bace ^ de ce triante ou le rayon du cerda par la proportton :

puis le plan mené par Te point n coupant le plan cherché , suivant une hore^ûnn taie dont la *'projectien horizontale doit être perpendiculaire à celle de la ligue de plus grande pente , si du point m^ comme centre et avec un rayon, égal à O'^jOiS on décrit une circonférence de cercle C*, que du point n* on luitnçne une tangente qui* la touche en p^, la droite m^* sera la projection da l'échelle de pente du plan cherché. Du point n on peut mener une secondo tangente «ai) cercle C*, et sî Ton joint le point de contact p^ au pomt tn!' on aura la projeclîçu. de Téchelle de pente d'un second plan qm résout pareillement le problème pro*

posé. ' •.*''.•*

Si le point n'hélait sur le cercle, c'est-à-dire si mV était égal à 0*^,48 ,'

il n'y aurait qu'une solution : la droite D serait elle-même l'échelle de pente du

plan. En effet, dans ce cas, la pente de la droite D serait exprimée par le ràp*-

II n*y aurait pas de solution si n* était flans le cercle , ou si mV était moindre que O^^OiS ; en effet alors la penie de la droite D serait plus grande que { et ^ar, conséquent elle ne pourrait se trouver sur un «plan dqpi la ligne de plus grande pente n'aurait sur le plan de comparaison qu'une inclinaison égaie à.;.

Des projéctUm oblique» ei de$ ombreê p&rtéei.

471. Si Ton projette un point de l'espace orthogonalement et obliquemeiàt sur ou plan ^ la droite qui unit les deux projections est évidemment la projection orthogonale de la droite qui projette obliquement le point Si donc on a dans l'es* pace nu système de points , les droites qui les projettent obliquement étant pa«' rallèlés, leurs projections sont aussi parallèles : donc les deux projecticms de diaque point du système sont sur des droites qui sont toutes parallèles entre eBesw Cela posé ^ conmassant les projections d'une droite , et sur ces projections celles d'un poiiili il sera facile de trouver les projections de tout autre point de Mtte droite.

II est évident que la trace d'une droite sur le plan de projection , que wms considérerons comme horizontal, doit se trouver à la fois sur les deux projections de la droite^ et par conséquent elle est au point ou ces deux projections se croî» sent*

Lorsqu'une droite est horizontale ses deux projections sont parallèles; si la droite 'est vjertîcale, la projection orthogonale se réduit à un point, mais la projection oblique est une di^oite passant par ce point et parallèle aux droites qui unissent les deux projections d*un même point; si la droite était parallèle à la droite projetant obliquement un point , sa projection oblique se réduirait à un point , et sa projection orthogonale serait une droite passant par ce point et paral^^lèle aux drdites qui unissent les deux projections d'un même point.

En&n y si deux droites %ont parallèles^ leurs projection de même nom sont parai- J^Ies. ,,'•..

178. La trace horizontale d'un plan est perpendiculaire à la projection ortho^ gonale de sa ligne de p}us ^ande pente ^ et les dau^ projectiojis d'une horizontale de ce plan soni parallèles à cette trace (n* <75) j d'après cda on peut résoudre If .. problème suivant- ; •

FRO«Làii£ 1 S« Ètafit cÔwêm la profectiàn orthogonaU d^im pm9i ^Uué sur m plm^ Jrvuver saptnjectiim MUfHc wr^elprpquement {fig» 460) (*)•

l"" Soient A Ia Ugne dé pli)s grande pente d'un plan , o un point de cette droite (ce j)oiaC n'ejt >éyfdemKient déterminé datas Pespace que lorsqu^on oonnâtt , oe qa'il faut toujours supposer, rinclinaison des lignes projetantes obliques), et x^ kt projection orthogonale d'un point x du plan) par ce point et dans le plan on peut concevoir une horizontale B; sa projection borizontalo B'^ passera par a^ et sera * perpendicnlaire à D^ ; les droites B et l)^tant di^QS un même plan se coupent en un point m dont la projectipn orthogonale est en m^ à. l'intersection de D^ et de B^ ; . donc si de m^ on mène une parallèle à la direction cl'U' des lignes projetantes obU<qiws, le ppint vpP où elle rencontrera Tf sera la projection oblique du point m de la droite B , mais cetto droite 6Mtnt honacmtale , B*" sera parallèle à B* (n* 4 76) { puis le point prêtant sur la droite B, si de x^ on iBène une parallèieà«V, eHeeou» pera B* au point demandé of.

^ Soient D la ligne de plus grande pente du plan , a un point de cette droite , et ûd* la projection oblique d'un point x situé sur ce plan ; par le point x passeTioe

(*) Nous désignons la projection oblique d'an point m par m** et d*une droite D par D* (cette projection cMique étant située sur le plan bortnmlal des prc^ections orOtogondes}*

horizontale B du plan, le& deux projections (l'une orthogonale et l'autre oblique) de cette horizontale sont parallèles et B* est perpendiculaire à D*; donc B"" est aussi perpendiculaire à D^ et passe par le point x"" ; puis les droites B et D étant dans un même plan, se coupent en un point m dont m'' intersection de D" et de B^ est la projection oblique, on en conclut m'*; menant ensuite par ce point n)^ une parallèle à B"", on aura B^; enfin, menant de x"" une parallèle àaV, elle viendra couper B^ au point cherché o^.

179. Problème 16. Connaissant les projections orthogonales (Tun point j la ftbrec^ lion et rinclinaison des droites projetantes , trouver la projection pblique de ce fotn£., «tir le plan horizontal (fig. 461). Par le point donné m il faudi^ jnefaer une droite B parallèle à la droite donnée D (n"* S 4) et en chercher la trace horizontale qui seraT la projection m!" demandée. On pourrait aussi par un changement de plan se ramener au cas où D serait parallèle au plauivertical et Toi^peut faife casser la po«r velle ligne de terre par m^ ; alors la droite B sera dans le plsKi \ertical , elle fera avec L'T' l'angle que D fait avec le plap horizontal, et elle coupera LT'^au point m^ demandé.

Cette dernière solution est celle que l'oi^ e^t obli^ d'employer quand oû. donne le point m par sa projection horizontale et sa cote de hauteur ^g. 162) et qu'en même temps la droite D est donnée par sa prqjeetion horizontale eC son inclinaison a, ou par les cotes de deux de ses points, d'où l'on peut conclure cette inclinaison a ; alors de m^ on mène B^ parallèle à D^, on élève m^m perpçndicuTaire à B^ et égala à la cote du point m réduite à l'échelle convenue (lor^u'on n'e^cute pas un«dessin de grandeur naturelle), du point m on mène une droite BL faisant avbc B^ un'^gle a, et le point m"* intersection de B et B* est la projection oblique demandée. »

Si la droite D représentait la direction d'un rayon, de lumière ^ ce -point m^ sera t ombre portée du point m sur- le plan horieontal. On aurait de même son ombre portée sur le plan vertical. ; -^

180. Problème 17. Connaissant la projection et C ombre portée dfuh point , et-Vmclinaison du rayon de lumière j trouver la cote de hauteur du point (fig. 162 )• Si l'ôa joint les projections m'' et m"" du point m] par une droite, eHe représentera la projection orthogonale de la droite B projetant obliquement le point m; donc si au point m^ on mène une droite B faisant avec B* l'angle a égal a l'inclinaison connue du rayon de lumière , et si de m^ on élève une perpendiculaire à B^ jusqu'à sa rencontre m avec B, la droite m^m sera égale à la cote de hauteur cherchée du point m.

181. Problème 18. Trouver C ombre portée d'un polyèdre quelconque sur le plan horizontal. Soit, par exemple, un tronc de pyramide à bases non parallèles (Jig. 1 63) dont on demande l'ombre portée sur le plan horizontal. Supposons que le plan horizontal soit précisément le plan de la base abcde de la pyramide , les points de

la flection peuvent être donnés par deox projections orthogonales j ou simplemmt par leurs projections horizontales et leurs cotes de hauteur , et comme ces dernières données conduisent immédiatement à la détermination de la projection verticale , je suppose le tronc pyramidal donné par ses deux projections et de plus je prends le plan vertical de projection perpendiculaire au plan de la section , cas auquel on pourra toujours se ramener par un changement de plan vertical ; puis donnant la droite R (direction des rayons de lumière) par sa projection R^ et son inclinaison a sur le plan horizontal , nous en conclurons sa projection verticale R*. Gela posé , nous déterminerons les projections obliques (n*1 79) des sommets a'j b\ c\ d'y c'y de la base supérieure du tronc de pyramide et unissant ces projections par des droites, nous aurons la projection oblique de cette base supérieure; unissant de même ces projections respectivement aux sommets correspondants de la base abcdey nous obtiendrons les projections obliques des arêtes du tronc de pyra* mide et par suite les projections des diverses faces de ce tronc.

Pour trouver maintenant l'ombre portée du tronc de pyramide sur le plan horizontal , remarquons d'abord que tous les rayons lumineux étant parallèles à R , ceux qui passent par les divers points de l'arête bb' forment un plan dont bb'"" est la trace horizontale y de sorte que bb'^ est l'ombre portée de cette arête ; de même A'^a'"* et 00!"" sont les ombres portées des arêtes b'd et aa y et la droite ab étant sur le plan horizontal , est à elle-même son ombre portée ; il résulte évidemment de là que l'ombre portée d'un point quelconque de la face abb'ci est toujours dans le quadrilatère aby^'d^'y ou, en d'autres termes, que ce quadrilatère est l'ombre portée de la face abb'd\ on verra de même que aa'^c'^e, eeW, dtfW, cc^'^'b sont les ombres portées des faces ade'ey ee'd'dy ddîccy ccb'by et que a'^éW^e'* est l'ombre portée de la base supérieure db*cd!e* ; mais comme l'ombre portée doit être évidemment au delà de la pyramide , il est évident qu'elle sera comprise dans l'espace bacdd''e''aL''b'''b , en supprimant des quadrilatères ci-dessus les portions comprises dans la base abcde.

Mais dans la théorie des ombres , outre l'ombre portée , on se propose encore de

découvrir quelles sont les parties de la surface du corps proposé qui reçoivent

des rayons de lumière ou qui sont éclairées, et celles qui n'en reçoivent pas ou qui

sont dans l'ombre, et, par suite, de déterminer la ligne de séparation de ces deux

parties et que l'on nomme ligne de séparation d ombre et de lumière. Or y dans notre

exemple , il est facile de reconnaître que si l'on mène des rayons lumineux par

tous les points du contour de la face bb'dcy ce qui formera quatre plans ayant pour

traces horizontales les droites bcy 66'*, 6'V*, ce'*, tout rayon de lumière mené dans

l'intervalle compris entre ces quatre plans rencontrera la face bb'cc; donc cette

face est éclairée ; il en est de même des deux faces cc'rf'd, a'b'cde ; mais les rayons

lunîaeax menéapar le» divens pointa des aréteft bU efc 6V , pasmit «t deHu di lt< facea6ÀV, cette face est d&og Tonibre, il ea eai do méiiie^te» deuv «elnss/ Anaii aa^'e et ee(£4 y a'est poarqiioi nous le&avons ombfnies; enflalaligoe brisée bb-aVd'd^ forme la ligne, de séparatioa d'ombre et de lumière de la surface: piv^osée.

Remarquons que la série des plans formés par les rayons luimneox menés par les divers points de la li^ie brisée bb'aed'dy le plan horizontal et les dens faces bb'cc et ec'd'dj déterminent un polyèdre qui cache les droites «ro!Wa;"'6V, «V"* , que nous avons, par cette raison, ponctuées ; de sorte que Tombre portée de la lîgee de séparation d'ombre et de lumière a seule été tracée en %iie plebuê. C'est toujonie: ainsi que l'on doit ponctuer quand on résout une question d'onibm portée; mais si l'on s'était proposé une simple question de projection, alors les autres lignes étaaft les projections de lignes vues , auraient dû aussi être tracées en plein.

182. Si Ton connaissait la projection horizontale et l'ombre portée d'un po-lyèdre sur le plan horizontal , en même temps qae Tinclinaison des payons lumi^ neux, il serait facile de trouver la. projection verticale du polyèdre, ou les cotet de hauteur de tous ses sommets, et par conséquent le polyèdre serait complètement connu. En effet, soient données la projection horizontale atocfea'*é'*e*d'*e'* d'un tronc de pyramide pentagonale , son ombre portée l>aedd!''e''a%% sur le plan ho** rizontal, et l'inclinaison a du rayon de lumière; prenant R'^ parallèle à a^a^ oa à b%''' , etc. . . , celte droite nous représentera la projection horizontale du rayon de lof mière ; menant la droite R, faisant avec R^ l'aDgle a , on aura ce rayon dans son plan vertical projetant, nous pourrons en conclure sa projection R" sur un plan vertical quelconque LT ; puis les points 6'% a'% e'% d"" étant les traces horizontales de droites parall^es à R et menées respectivement par les sommets 6', a', e , d' dn trône de pyramide, si on les projette sur la ligne de terre en |3, a, e, d, et si^ de ces points on mène des parallèles à R% les points 6'% a'% c% d'" seront les intersections de ces droites et des perpendiculaires à LT , abaissées des points 6'\ a\ e'*, d'*. Poiir avoir le cinquième sommet c, nous remarquerons que si l'on connaissait c'** on trouverait c*" comme on a trouvé les projections verticales des autres sommets; on peut se procurer ce point c'"*, car il est évident que les droites on'^, W*, dd'^'y ec'% projections obliques des arêtes de la pyranxide, concourent en un point s"" , projection du sommet ^ de ce polyèdre ; donc c"* doit être sur la droite es"" ; il est d'ailleurs sur une parallèle à R* et menée de c'*; donc il est à l'intersection de ces deux lignes. Le point ^""y que nous avons considéré, sera souvent hors des limites du dessin et la construction précédente ne fournira plus dès lors œ point c'"* ; maie dans ce cas, menons, par c'^ une parall^e kcbel rencontrant Afr'* ea oo point ^^ la droite cf'a/' sera la projection, horizon taie d'une droite c'^^ située dans le plant de la face bccV et parallèle h bc^et par conséquent d!ane horizontale de. ee plau:;'el

nm ptBùA la ^ivoleclimi oblique af an poiat x {t^ i7T), «t «i de x* cm BÎène parallèiBè^(/^tHi à 6c, cette droite sera la projection obliq«e de ârc' (n** t7?), elle contiendra donc le point c'% qui setroave anssi eor mie parallèle à R^ menée eu fMDi c^. On trouverait de la même inaDière la projection oblique de tout antre •«nBiiBet:noD situé sur la ligne de Bépmaûm d ombre tt ée^ lumière.

Si l'on suppose que le rayon de lumière est iaebiié à 45' snr le plan borizoïilal, Jtî pDOÎeatioo oithogonale sur ce pbm et TofiBlnre portée sur œ même plan d'un po- ^(yèdre^itiié dans l'espace, sufiiseiit pour fixer la position de ce corps; et Ton pevt i4n»*fnBÎk8Dent trouver -au -moyen de Gesdeux projections snr on même 'pkm, «la whttilswrîdô^aeon des sonuDets du polyèdre au-dessus de œ plan de projection , pMsçfue '.œlte bauteiir aeca égale à la distanee de la ^wojectîon offtbogmuib-d^mi nMamit'àîaa projectiou < oblique.

On a -deoc dan& ce ^sième de projecthm oblique <quelq«e cfaose qai offre de l'analogie avec le s^Btàmà des plans cMSfOb Toii ii'.a aussi qu'un Mnl^ifatmaor m mak pémiÂlepi^ygciioB.

fSmymjMioas wnùfMn^l de lapenfmeikm*

iSSL ËUAt .donné .un point £xeo dasis l'espace, et on .point quelconque m, b <dioiio^m.8ûra une ligne prqjetaate dUipoint m., et le point où elle ira rracontrer ;an ;plan donné sera la projection coAiçue^ ou eenisoU, ou poUàre diu point m, <le point 0 étant le eattire ou le pdiedes prc^ections.Si Ton projette de même tous les points d'un corps, la projection conique ainsi obtenue sera l'ombre portée du izocps sur le plan de projection , si le point a est un poini iaotmenx, et elle en sera Jki .perspective, si le poini.o estXœil d'un observateur. Jl faut cependant, pour avoir l'ombre portée, que le corps éclairé soit placé entre le point luminenx et le plan de projection , sans quoi ce serait une simple projection conique. Dans la théorie de la perspective , le plan qui reçoit la projection conique et que l'on nomme tableau^ est ordinairement placé entre le corps et l'œil de l'observateur, mais ûen n'empâcberait de le placer au delà du corps projeté coniquement sur ce plan.

184. Les droites jprojelaat coniquement les divers points d'un système, passant 4oQtespar le pôle a, il estévident que les projections orthogonales dexes droites sur Ifàféomélral {if 159), que .nous considérerons comme plan horizontal de projection, «passeront toutes j[)ar le point (^, et leurs projections sur le la^leoii passeront toute&par '^ C)y pî^d de la perpendiculaire abaissée du point 4^ surie plan.sermat dfà^iablem.

(*) Désignant par op la projection polaire ou centrale sur le plan du tableau, ou, en d*aatres lemes, ia perspeciWe «u poiM^ de l^spses, tt^r^H» la fn-ô^ien H3e«tra)eMrai>olaire, ou, en

4'aatres termes» la perspective d*une droite D de l'espace sur le même plan t c'efiMMire; wrie UMeau .

Les projections horizontale et polaire d'an point m sont telles, qae si Ton joint m* et 0^ par une droite D^, elle ira rencontrer la base da tableau aa pied de la per* pendiculaire abaissée de nF sar cette base.

185. La projection conique d'une droite est une droite qui est Tintersection da tableau et du plan mené, par la droite donnée et le point o. Tous les plans projetants passant par le point o se coupent , donc si Ton a deux droites parallèles D et D' leurs plans projetants se couperont suivant une droite K parallèle à D et D\ qui ira rencontrer le tableau en un point b , par lequel passeront les intersections de ces plans et du tableau ; donc les projections coniques ou les perspectives de deux droites parallèles se coupent. Quel que soit le nombre des droites parallèles, leurs plans projetants se couperont tous suivant une même droite K, et par consé* quent les perspectives de toutes ces droites passeront par un même point 6, que Ton nomme point de concoure ou point de fidte. Si Ton a plusieurs systèmes de droites parallèles, il existe un point de concours pour chaque système.

Si les droites parallèles sont perpendiculaires au tableau , la droite E est aussi perpendiculaire au tableau, et le point de concours b n'est autre que o^. Si les droites proposées sont parallèles au tableau, la droite K est aussi parallèle au ta* bleau, et le point b est transporté à l'infini; donc les perspectives de droites parai* lèles entre elles et au tableau sont parallèles. Si les droites données sont inclinées à 45^ sur le tableau, la droite E fera aussi un angle de 45* avec le tableau, et elle le percera en un point b , de sorte que le triangle ob(fj rectangle en o**, sera isocèle, et Ton aura o''b=o<f. Enfin si dans ce cas les droites parallèles sont de plus horizon-^ taies, la droite E sera aussi horizontale, le point de concours b et le point (f seront donc sur une même parallèle à la base du tableau, et dans ce cas le point de concours prend le nom de point de distance. Il y a deux points de distance situés de part et d'autre de o^, parce que l'on peut mener deux droites E et E' horizontales et inclinées à 45* sur le tableau.

186. Un plan indéfini est déterminé par ses traces sur le géométrat et sur le ta^ bleau^ comme nous allons le démontrer en résolvant le problème suivant :

PaoBLÈME 1 9. Connaissant la projection orthogonale d'un point situé sur un plan donné par ses traces^ trouver sa projection conique y et réciproquement {fig. 164).

1* Soient H* et P* (*) les traces d'un plan R, et a^ la projection d'un point de ce plan sur le géoméiral; par ce point x passe une horizontale D du plan R , sa pro* jection D* est parallèle à H", et elle perce le plan du tableau en a, ce point a est un point de D**; pour connaître la seconde projection de la droite D, il suffirait

n Noos désignons par P la trace d*im plan sur leroMeo»; le plan étant désigné parRiSa trace sur le tableau sera P*.

d'avoir le point de concours des horizontales dn plan B; or, parmi ces horizontaies, il y en a une D' située avec le point o sur un plan horizontal , et dont la projection D"* est par conséquent parallèle à LT ; elle perce le plan du tableau au point a qui se projette en d^, d*où Ton conclut D'^; pais les plans projetants de D et D' se coupent suivant une droite K qui leur est parallèle, et coînme elle passe par le point o^ elle est tout entière dans le plan (D', o), menant donc E^ parallèle à D^, et K'' parallèle à LT, la trace 6 de cette droite K est le point de concours demandé; puis joignant a et b par une droite, on a ly. Si maintenant on unit d" Qiaf par une droite B^, et qu'on la prolonge jusqu'à LT en a, que par ce point a on élève une perpendiculaire à LT jusqu'à sa rencontre avec D' , on aura a^.

Bemarquons que si l'on joint (fetaf^ par une droite B*", les deux droites B* et B^ seront les projections orthogonales l'une sur le géométral et l'autre sur le tableau de la droite B, qui projette coniqnement le point x.

%"" Si l'on donne af'y pour avoir a}" nous remarquerons que par ce point x passe une horizontale D du plan B ; D*^ doit passer par le point de concours des projections polaires des horizontales du plan » nous le construirons comme précédemment; puis unissant cfb^ nous aurons la projection conique IM" de Thorizontale D ; ly rencontre P*" au point a, trace de la droite D sur le tableau ; projetant ce point a sur la base du tableau en a^, et menant par d" une parall^e à H*, on aura D^; le point cherché a^ se trouve sur cette droite D* et aussi sur la projection horizontale B'^ de la droite B qui est menée du point o au point x ; mais cette droite B perce le plan du tableau au point a?, qui se projette en a sur LT ; joignant ad'\ on aura une droite coupant D^ précisément au point s^.

187. Problème 20. Connaissant les projections ortlwgonales (Cun point et celles du pôle, trouver la projection conique du premier point sur un plan donné (fig. 1 65). Soient oie pôle, m le point donné, et supposons le plan du tableau perpendiculaire à la ligne de terre et rabattu sur le plan horizontal. La projection du pôle sur le tableau doit toujours être orthogonale , nous la trouverons par un simple changement de plan vertical (u"" 44) en o*^, puis la question proposée revient à mener la droite om , et à chercher sa trace sur le plan dn tableau , cette trace a pour projection horizontale le point a dont la hauteur verticale est égale à iV ; élevant donc par a^ une perpendiculaire à L'T^, et prenant al'vffzrzto!'^ on aura le point cherché nf.

Si les points o et m étaient donnés par leurs projections horizontales et leurs cotes j on chercherait sur la droite om la cote du point qui se projette en J" (n"" 1 62) , et l'on prendrait aiW égale à cette cote.

4 88. PnoBLàHE 21 . Connaissant les prtjectums horizontale et conique d^un point et celles du pôle , trouver la projection verticale du premier point. Le tableau est un plan vertical sur lequd la droite am est projetée orthogonalement (n* 186 1*); or

oa conaait les iMrûjeetîons horBontales V et t^ de demL pûiilB de «Ile droite, et leoTB hauteurs a>V et al'm^j donc abaisaaiit de o^ et de a^ des peqpendiculaireB LT^et prenant (a9''s=ttV,î«*==ct^m%et joi^DttBt oV, il n'y aura plus qa*à de «n^ uee perpendiculaire sur LT» eteUe ira couper B** an point dierchém*.

489. PBOBLiiifi 22. Trouver laperêpediae d*M folyèére qmitmêqm. Soît demandéD iaperspective da polyèdre {fig. 166) cempoeé d'nn paraUéMpipède reetai^le Teriîoal sannonté d'une pyramide quadrangulaire. Supposons le tableau perpendiculaiie à LT, et rabattons -le sur le plan vertical en le fusant tonraer autour de n trace verticale Y^ ; ce qui revient à prendre le pian vertical de projectîen pour la géoméiral. Pour obtenir ensuite la perspective demandée^ nous diercherons h j^rtyeclion du point de vue sur le taJDiean e& abaiaaant du point e sur le ftai F une perpendicolaire qui viendra le couper an poètt o' ; pu» iorsqne le >pkan 9 tourne autour de V, ce point o' reste éiridenunent à la a^ne distance la''' da plan horizontal et à la même distance aussi zo" de Taxe Y'^ no» pcendroos donc jttr oV^ une kmgueur >o'V.=:W^^ et noua aurons le point o' demandé; on voit qfie eda revient à décrire :dtt eenlre s et du rayon W^ an arc de cercle ipd "vîMt couper LT au point a et à élever par ce point .une perpandîeulaire a îLT jnsqn^àte rencontre de oV" ; tous les anties poînlfi's'eblÎBnBMit de la tnâme manJère. 9<mr le point o, on pouvait aussi effectuer un ainiple changenkentr de (dan bonaoalal en considérant Y'. comme la nonvdle ligne de terre.

La droite oa rencontre le tableau en un point « que nous ramènerons comme le point o sur k perspective, en menant par. a'*' une parallèle a LT, et prenarit a''(fz=^%a^^ on obtiendra de même tons les autres .points If y (f^... de la persp«otive. Ayant obtenu les perspectives cF AV des pûînts a et b, la droite €plf sera la perspective de la droite eb et ainsi des autres. Nous avons ainsi en efififéf la perspective de la base inférieure du paralléiipipède, en àftfp^^ b^<^{fP^ ^^^^^ cPdFFé^ les perspectives de ses quatre laces bttérales verticales, et en ^f^^V la pspapective de sa base supérieure ; puis on a en ykfVwF la perspective de la base de la pyramide et en ^/A^, $^VP, f^PmFy ^aff les perapectives de ses quatre faces»

U est évident que Tc^iservateur plaoé eno ne .peut voir que la face ùbfe dn paraliélipipède, toutes les arêtes qui n'appariieaaent pas à cette face lui sont c»chées y c'est pourquoi nous les avons pmc/uéra.Biur la figure. Quant a la pyramide, il est évident que Tarôte 9^ est entièrement vue et Taréte ai entièrement cacbée , mais les arêtes. afc et «m sont vues au-dessns de leurs points d'interseetien par te plan {efo)j points dont nous n'avons représenté que ks projections ^rorticales ^ et if tet dont les pecapectivea sont éûdamme^t .aux .îoierseclioas ^iP t^t ^ des droiles ^in' et ê^P, avec e^ ^

Bemarquttis encMe que ^lea admîtes 4aAt »a(^ ^y ^gi dtant èoiiBeitfilaB <et

an taM^nr, iMr» pcriyw<ivw cfV\ ^Nt^ «^, /^f^cjbi^eaf étiv pttnl-^ à LZ fn* 1^)7 t^^ droites aif, bûj rf^j^ étant perpendicalaires au taèleaa^ perspectif» ^i^^i*^, 6V, «'F, /'j^ doivent concourir au point o*'; par la méjoie les poiDtBj^y./^ 0^ doivent être ^en ligne droite; il est évident que les cMés jk^ Uy tm^nq éa\9L base de là pyramide sont inclinés à 45** sur le tablean et que ta» côtés opposés sont parailètes ; si donc on prend p^r''=dV* (de sorte que r^ sera: on poînc ife dfeinnoe)* les perspectives /m'' et k^V des c6tés jm et kl iront concoorir «■ poifit r'^; les perspectives /fc*" et fm^ des deux autres côtés iraient concourir en «D antre point r'^ situé de- Tautre côté de 0^ et à une distance égale à o^r*.

Bnfin , nous terminerons par cette dernière remarque : par chaque point que V<m veut mettre en perspective , on peut concevoir deu% horizontales , i*une per^ pencKculaire au tableau , et Tautre inelmée à 4>S^ ; on les prolonge jusqu'à leurs iotecseetions avec le tableau , et il est évident que ces points appartiennent res^ pectivement aux perspective de ces herizontates ; donc , en unissant le premier de ces points aveco^, et Taulre avec le point de distance correspondant , ces deux dnntes se croiseront à la perpective du point donné. Cette manière de trouver la perspective d'un point est en général très-prompte.

490. Ordinairement pour rendre la figure j^us intelligible , on ne construit pas la perspective au lieu où nous l'avons placée , mais avant de rabattre le tableau, on le suppose transporté à une certaine distance , ou bien on prend sur le tableau devx axes perpendtcuiaires entre eux , et l'on peut prendre ces deux traces sur une autre feuille de dessin que celle oà l'on a tracé X^gémkéiralj et l'on rapporte tas^jbstMces de chaque point de la perspectiiw à ces axes» C'est ce que nous allons montrer clairement dans le problème suivant.

Problème 23. Trouver la perspective d'un polyèdre et de son ambre portée sur le plan horizontal (Jg. 167). Connaissant les projections du polyèdre et celles du rayon de luaîère, nous trouverons d'abord l'ombre portée (n"" 181) et la ligne de s^aration d'ombre et de lumière ; par suite , nous connaterons les faces éclairées et les faces qui ne reçoivent aucun rayon de lumière. Ces choses étant obtenues, soit le plan P du tableau perpendiculaire à LT, en menant par le point de vue Oy ésB rayons visuels aux divers sommets d« polyèdre proposé , ces rayons rencontreront le tableau P en des points dont nous fixerons la position en les rapportant à deux axes rectangulaires situés dans ce plan, et pour plus de simplicité , nous choi« SNToas les traces mêmes du plan pour axes , nommant X l'axe horizontal H', et T l'axe vertical Y'; et nous construirons à p»rt la figure située sur le tableau P, ou la perspective du^ polyèdre. Menons paro^deux horizontales D^ et D'^ inclinées à iS^'sur H^f elles iront couper c^te trace en deux points r^ et r^, projections horizontales des deux poinî9 ée J&sêmiœ; ayant donc construite les axes.X et Y, nous prendrons

:^o/s=sio^, nous élèverons au point a/ une perpendicolaire sor X, et nons prendrons u^o^ssonV et nous aurons le point de vue; puis menant par o' une parallèle à X y et prenant o'r'' = o V s= o V*, nous aurons les deux points de distance.

Cela posé , considérons d*abord la face abcd par laquelle le polyèdre repose sur le plan horizontal ; pour avoir la perspective du point a , concevons par ce point deux droites horizontales, l'une perpendiculaire au tableau et l'autre inclinée à 45^ sur le tableau ; la perspective de la première passera par le point o^j celle de la seconde par le point r" ; de plus , la première perce le tableau en un point distant du point z d'une quantité aa^j et la seconde en un point distant de % de la quantité za ^ et comme ces deux droites sont dans le plan horizontal , si nous prenons sur Y les longueurs zV =:aa'', z^a^:=^zoLy et si nous menons les droites a^o^j oL^r^f elles se croisent au point aF qui sera la perspective du point a. La droite ob perce le tableau en un point b' distant de l'axe Y de la quantité z6'^, et de l'axe X de la quantité z6'^; prenant donc z^b*^z=L%b'^ et élevant sur Taxe X la perpendiculaire bH''=^ zb''^f le point b^ sera la perspective du point b. Pour avoir le point c^^ nous prendrons z^y'^ = cd'y et nous joindrons y^o^ ; et Ton aura la perspective d'une perpendiculaire abaissée du point c sur le tableau ; puis la droite oc perce le tableau en un point c élevé verticalement de la quantité ic''' ; prenant donc z^c''=z «c'' et menant par c'** une parallèle à X , elle va couper la droite y'^o' au point c' demandé. Quant au point cC", la droite cd étant horizontale et parallèle au tableau, il se trouvera à l'intersection de la même horizontale et de la droite Po^^ perspecpective d'une perpendiculaire au tableau et menée par le point d.

Passant à la face cdefg^ nous avons obtenu les perpectives des trois sommets ^9 /? 9) P^i* d^s constructions identiques à celles employées pour trouver la per« spective du point b.

Pour le sommet t de la face bcgi^ nous avons mené deux horizontales îky tk' inclinées à 45** sur le tableau : leurs perspectives passent respectivement par les points de distance r^ et r'^ et se croisent au point t'' cherché ; pour obtenir la perspective de iXj il faut prendre sur Y, à partir de z^j une longueur égale à (î% mener par le point ainsi obtenu une parallèle à X , prendre sur cette parallèle et en arrière une longueur égale à zX^, puis joindre ce dernier point avec r' ; mais si l'on conçoit que toute la construction descende verticalement d'une quantité égale à Çf, nous aurons à prendre z'X' = zX*, zy = $t% à joindre X'p', et il né nous restera plus qu'à mener par r^ une parallèle à p'^'' ; on construira de même Ta perspective de ïk\ et ces deux perspectives se croiseront au point i'.

Les perspectives des trois sommets de la face ade étant connues, et toutes les autres faces concourant au point s^ il ne nous reste plus qu'à trouver la perspec* tive de ce sommet s du polyèdre; pour cela, remarquons que la droite os coupe le

tableau en un point «', dont la hauteur verticale est égale à ««'% prenant z^s^ = %s'* et menant par s^ une parallèle à X, cette parallèle contient s^, puis concevant par $ une perpendiculaire au tableau , elle le percevra en un point dont les distances aux axes X et Y sont as"* et a«* ; prenant donc %^o^ = es"', menant par a'* une parallèle à X, et prenant a'^'a'* = (j«* et joignant o^o^^ cette droite contient ausal le point $^y qui se trouve ainsi déterminé.

Ayant obtenu les perspectives de tous les sommets du polyèdre, il n'y a plus qu'à les unir par des droites pour avoir la perspective demandée. Pour avoir maintenant la perspective de l'ombre portée {as^^fg^'cda), nous obtiendrons celle du point s"" en prenant d'abord la perspective ^V d'une perpendiculaire au tableau abaissée de ce point comme nous l'avons déjà fait plusieurs fois , puis remarquant que la droite os"* coupe le tableau en un point l' distant de Y d'une quantité z^'*, il faudra chercher sur ^^o^ le point situé à cette distance de Y, ce que l'on obtiendra évidemment en prenant «''^''=z^'*, et menant par l'^ une parallèle à Y, elle ira couper $V au point cherché, que nous aurions dû noter <^, d'après les conventions précédentes, et que, pour plus de simplicité, nous notons seulement s'^. Nous obtenons de même le point y^ , en remarquant que la droite «y» doit être parallèle à X ; enfin , nous avons obtenu le point j« de la même manière.

Nous avons varié dans cette épure les moyens employés pour obtenir les per* spectives de tons les sommets du polyèdre , afin d'enseigner toutes les méthodes connues, laissant au dessinateur le choix de la méthode qu'il jugera préférable dans chaque cas particulier.

191 . Il nous reste à faire quelques observations sur la ponctuation de la figure. Remarquons d'abord que la projection d'un corps sur un plan est la perspective de ce corps pour un observateur dont l'œU serait placé à l'infini sur une droite perpendiculaire à ce plan de projection ; on sous un autre point de vue géométrique, chaque projection sera V ombre portée pour une direction de rayons lumineux perpendiculaire au plan de projection ; les faces du polyèdre concourant au point s seraient seules vues : donc , sur la projection horizontale , les droites qui forment le contour de ces faces , devront être pleines ; les autres lignes sont ponctuées , et la ligne brisée abigfea serait pour cet observateur le contour apparent du polyèdre.

Pour un observateur dont l'œil serait placé à une distance infinie sur une perpendiculaire au plan vertical , on trouvera facilement que le contour apparent est la ligne brisée absfedoj de sorte que ce contour et les lignes sa, se, ae, doivent être tracées en lignes pleines.

€eite poicUiation des cteax projections eet sans pr^ndice des parties eachées pur les plâms de projecticm ^ ce qui poiirrail obliger d'écrire en ^e pemctuée (|UQl(|iiea portions de celles qm nous Tenons d'indiquer comme devant être pleines. Les principes préoédents, appliqués k tons les corps que nous considérerons dans kl snite de ce cours, complètent ce qui concerne la ponctuation des projections des figures de l'espace que Ton vent représenter , et dont la partie la {dus simple a été exposée précédemmeait (a"" 46)«

Relativement aux ombres , le polyèdre porte ombre sur la partie adcg'^f8''a du plan borizontal, de sorte que si le corps était enlevé et que Fombre restât, elle aurait la forme représentée {Jig. ^68), mafe pour l'observateur regardant la projection korizontale, le corps cache une partie de cette ombre, et elle lui parait avoir la forme a^f'kg'^f's''a; c*est pourquoi nous n'avons haché que cette partie du plan par les hachures affectées à Fombre portée. Quant aux faces ombrées » 3 est faeile de reconnaître que la ligne brisée abcgfsa est la ligne de séparation d'ombre et de lumière; donc, les faces abcdj edefg^ efsy ade, aesy sont dans fombre. Mais Tobservateur ,, qui regarde la projection horizontale, ne voit que tes faces sef^ sae\ c'est pourquoi nous n'avons ombré que ces deux faces sur la projection horizontale , et nous avons eu soin de diriger les hachures dans des sens différents. L'observateur qui regarde la projection verticale ne voit que les feces seff adej sae; ce sont donc les seules faces que nous ayons dû ombrer en projection verticale.

Enfin , sur la perspective , il évident que pour l'observateur placé en o le contour apparent du polyèdre est abiseda; il ne voit donc que les faces sab^ sbi, sae y adey les deux premières éclairées, les deux autres ombrées. Les droites, qui forment le contour des quatre faces , sont seules tracées en lignes pleines. Enfin , il fSwt hacher toute la partie de la perspective de l'ombre portée , qui est située en dehors de )a perspective du polyèdre.

494 {bis). Les Anglais ont imaginé un genre particulier de projection auqud ife ont donné le nom de projection isométrique. Dans les ouvrages publiés en Angleterre sur la technologie , on fait un usage presque constant de ce genre de projection lorsqu'il s'agit de représenter des machines. D'après les Anglais, ce genre de dessin, ou plutôt ce mode de projection a été adopté par les Allemands. La projectioa isométrique est une projection orthogonale sur un certain plan. Elle déforma les dsgets d'une manière désagréable pour le lecteur qui a un dessin de ce genre soos les yeux , et l'avantage que ce système de projection présente peut facilement être obtenu dans la perspective oblique dite militaire, et les dessins en perspective mi-

iitaire sont^ personne ne peut affirmer le contraire^ très-Uâibles et bien aatreBaent agréables à l'œil que les dessins isométriques (*).

Projection isométrique (**).

I. Concevons trois axes rectangulaires entre eux X , Y , Z , se coupant en un point 0 {fig. 168 a.).

Etant donné un point m dans l'espace, on aura ses trois coordonnées xtraa, y:=:b, z=c^ et le point m sera complètement déterminé de position dans l'espace, en supposant que cette position est rapportée aux trois axes fixes X<, Y, Z.

Cela posé :

Menons par le point o un plan P de position arbitraire par rapport aux trois axes X, Y, Z. Nous pourrons tracer dans le plan P et par le point o deux droites X', Y' quelconques, faisant entre elles un angle quelconque, et dès lors nous pourrons regarder ces droites X', Y' comme étant les projections obliques sur le plan P, des axes X , Y. Dès lors faisant passer par les droites X et X' un plan X, et par les droites Y et Y' un plan Y, , ces deux plans X, et Y, se couperont suivant une droite D passant par le point o. Nous pourrons donc dire que les axes X et Y sont projetés sur le plan P en les droites X' et T par des plans parallèles à la droite D.

Dès lors la projection Z' du troisième axe Z sur le plan P n*est plus arbitraire, il faut la construire, et elle sera donnée par un plan Z, passant par Taxe Z et la droite D.

Nous aurons donc sur le plan P , et passant par le point o, trois axes X*, Y, Z', dont deux sont arbitraires, mais dont le troisième a une position déterminée ep vertu deTangle que les deux axes, arbitrairement choisis, font entre eux.

Cela posé :

(*) Prenons aux Anglais ce qui est bon , mais point d*engouement, et rejetons oe qui chez eux est manraiS'OU médiocre. £n Angleterre on n*étndie pas la géométrie descriptive comme scieDoe^ on ne renseigne que dans un petit nombre d'écoles et encore n*y enseigne-tt-^n que les élémeats*; t^est .une science ignorée de la plupart des ingénieurs et mal connue de ceux qui s'ea servent, car, pour eux, elle n'est pas encore autre chose que l'art des projections. Th. 0.

r*) î>e système de projection, connu sous le nom de Perspective isométrique^ u été proposé par M. William Farish, ncumné, en 18t3, piofesseur à l'Université de Cambridge Omort <en A857). iLe professeur Farish a publié son Mémoire sur la perspective isométrique .dans le vûlum^ I^'.des trau^ actions de la Société philosophique de Cambridge ( Transactions of the Camin^idge philosofiàical vxHety),

On trouve dans Y Aide mémoire général des ingénieurs (3 vol. in-8*) un résumé du.ttémoire de H. Farish , et des développements que l'auteur n'a pas donnés et qui tendent à faciliter Jes tracas de ce mode de projection.

(Cette note m*a été oonmiuntquéa par$l. 7om fliebard.) Ta. O.

Si l'on porte respectivement et à partir de Torigice o sur les trois axes X , Y , Z les distances

les trois points n^ p^ q seront respectivement projetés obliquement et parallèle* ment à la droite D , en les points n', p' q' sur les axes X', Y', Z', tracés sur le plan P.

On aura donc

Dès lors les coordonnées rectangulaires du point m rapportées aux axes rectangulaires X, Y, Z étant x, y, z, et les coordonnées de la projection m! du point m sur le plan P étant x\ y\ z, on aura :

X = ax'j y = ^\/j x^i-ix'.

oc, 6, y étant des coefficients constants et dépendants de l'inclinaison du plan P par rapport aux axes X, Y, Z, et de l'angle que deux des trois droites X', Y', Z' font avec ces mêmes axes.

On conçoit donc qu'étant donné sur le plan P, un point m', on aura ses trois coordonnées x\ y\ «' (toutes trois situées sur le plan P), et dont on pourra conclure les trois coordonnées x, y^ z du point m de l'espace en le supposant rapporté à trois axes rectangulaires entre eux et vice versa.

II. Dans les constructions graphiques on sera obligé de se servir d'une échelle , et l'on voit que pour passer des coordonnées planes x\ y', z' aux coordonnées rectangulaires et dans l'espace x, y, z, il faudrait trois échelles; l'une réduisant les

coordonnées x au moyen du rapport a, l'autre réduisant les coordonnées y

au moyen du rapport 6 , la troisième enfin réduisant les coordonnées z au

moyen du rapport y.

Il serait donc avantageux de choisir X', Y' sur le plan P , et par suite de conclure Z' de manière à ce que l'on eût a =6 =7.

C'est ce que l'on obtient en supposant que le plan P est perpendiculaire à la diagonale d'un cube construit sur les trois axes X, Y, Z comme arôt^ se coupant au sommet 0 de ce cube ^ et dès lors la droite D est la diagonale de ce cube , et le plan P est perpendiculaire à cette diagonale D.

Par cette hypothèse les trois axes X', Y', Z' tracés sur le plan P font entre eux

des angles égaux, et l'on a )fr===rZ^=Y?^=120^

Par cette hypothèse , on peut prendre sur les axes X' , Y' , Z' les coordonnées x', y\ J de la projection m' du point m égales aux coordonnées réelles x^ y, z

de ce point m de l'espace. En sorte qu'ayant sur le plan P une suite de points m'y a' y b\.... on aura tout de suite, par de très-simples opérations graphiques, la longueur des coordonnées rectangulaires x^y^z des divers points mya^by.... de Tespace, par hypothèse les points m'ja\b'.... sont supposés être les projections non plus obliques mais orthogonales sur le plan P (^)»

Et c'est parce que par ce choix des axes X', Y\ Z' et de la direction du plan P, on a : ac=s6c=y, que Ton a donné à ce genre de projection le nom de prqjeciion isoméirique.

III. Mais dans la projection oblique, dite perspective militaire ou cavalière y on peut obtenir des résultats analogues , et en effet : dans ce genre de projection , étant donné (Jig. 4 68 b.) les trois axes rectangulaires entre eux X , Y, Z auxquels on rapporte la position des divers points m.... d'un relief y on prend le plan (Z, X) pour le plan P de projection et l'on trace dans ce plan les trois axesX, Y', Z, tels que X et Z sont deux des axes rectangulaires primitifs et le troisième Y^ qui passe

par l'origine o divise en deux parties égales l'angle Z , X.

Il s'ensuit, évidemment, que les faces d'un cube construit sur les trois axesX, Y, Z comme arêtes et ayant l'un de ses sommets à Torigine o, se projettent sur le plan P ou (Z, X) de telle manière que les carrés*faces situés dans des plans parallèles au plan P ou (Z, X) se projettent sur ce plan suivant des carrés et que les carrés ou faces parallèles au plan ( Z , Y) ou au plan (X , Y) se projettent sur le plan P suivant des losanges de mêmes dimensions y et étant par conséquent superposables.

Tandis que dans la projection isométrique y les faces d'un tel cube se projetteraient toutes suivant des losanges identiques.

lY. La droite D , dans le système de projection militaire est telle : Que si l'on prend (Jig. 168 b.) sur l'axe Y un point p tel que l'on ait op = y et si l'on prend sur l'axe Y' [situé sur le plan P ou (Z, X)] un point p' tel que l'on ait op' =.t/r=:i/', en unissant les points p et p' par une droite D', la droite D (qui passe par l'origine o) sera parallèle à D'. Il est évident que la droite D' est inclinée sous l'angle de 45*" par rapport au plan (Z, X), on a donc sur ce plan (Z, X) une projection oblique ; ainsi la projection militaire est une projection oblique , et la projection isométrique est une projection orthogonale.

Imaginons un cube ayant Tun de ses sommets au point o origine des^axes

rectangulaires X, Y, Z et ayant ses arêtes respectivement parallèles à ces trois axes.

Traçons sur les faces de ce cube des cercles inscrits aux carrés qui déterminent

(*) Nous verrons plus loin que les points m\ a\ b\ ne sont pas réellement les projections

orthogonales des points m, a, b, de Tespace.

«6 facm. On «ara %\x cerdes de mène rayon et atvés donc à den dan des plan paraHèies aii!^ plans { 2^ X) , {£^ Y) et t(X^ ¥).

En ppeiKust la TJnjeaâm ismnéttique , oes six onoles n pmjdttBat ma le pUn P!, frdvvDt ^hc «llipses identiques tracées chacune sor son sysbèfme de <âianètreB «mjugués égaux ; ces diamètres oonjagaés seroiit égaux en Jangaear et an diainèÉre Au cercle /et canprendrantenftre 'eux xm angle de 'GO* on 4S)0V

En pnenant, au tconoftrafire, ia frejecAên militmre, deux, des six cercles «e proîi*teront sur le plan P ou (Z, X) suivant des cercles égaux et de même raymiet ies quatre autres cercles, savoir : les deux parallèles au plan .(Z, Y) et les deux paraËèles an plan (X, Y) suivant des eUipses identiques et construiies chaicuae sur sonsystèaie de diamètres conjugués ^égaux^ ces dianaètres conjugués seront égaux ^qb longueur et au diamètre du cercle', et comprendront entre eux «n angle ^de iS"" ou 135*,

y. Jusqu'à préseut nous ne voyons pas que l^uprojectionimméiri^ue r.eii^orte.flv la fr-qjeotitm nnUudrs.

La direction des axes de £ ellipse isométrique comme ceux de f ellipse militaire ae construisent facilement, puisque pour Tune et Vautre, cette direction est donnée par les diagonales du losange circonscrit à Feiripse et dont les côtés sont respectif vement parallèles, et deux à deux, aux diamètres conjugués égaux de cette einpse.

Les avaiitages dont pourrait jouir Telfipse isométrique par rapport à Tellipse militaire, ne peuvent donc dépendre que de ceci , savoir : que pour la première ellipse, les diamètres conjugués égaux se coupent sous un angle de 60% tandis que pour la seconde ellipse , les diamètres conjugués égaux se coupent sous un angle de45*n.

Mais examinons la question sous un point de vue plus général.

VL II est évident qu'*ayant un soViie à trois dimensions , et dont les divers points «ont rapportés à trois axes X, Y,Z rectangulaires entre eux ou non , on veut^ au moyen d'un seul dessin ou d'une seule projedion sur un plan , pouvoir reconduire ce solide.

On veut donc n'employer , pour ce mode de projection , qu'un «eul dessm au lieu'de deux , et non comme on le feit dans le système ordinaire où Ton nnne projection liorizontale (ou ptoi), etune projection verticale (ou élévation).

Pour arriver à n'avoir qu'un seul dessin (ou une seule prc^ectiori), on supposeqm

(•) Hais la projccfion milîtaire permet âe construire *très-fccîîement1es sonnnets BeTelHpse/oar \^. VOS â. ) <0D -voit '916 les «ommecs de Tellipse projeetioa sur le [dan (Z, X) 4xk oenle tracé sur la Aice du cube qui est.parallèle au plan (Z, T) sont donnés par les quatre points en lesquels les diagonales de la face carrée située sur le plan (Z, X) coupent le cercle inscrit à ce carré , et cela au moyen de imrâlfèles àiadlagtmaleduiosaBgeprojeotioa^ur l6i>lft0 (E,7C) Ae'lafaorcanrêie âavttiB sltoéa snr le plan (Y, X).

Iw trois MLCB reetangutaires o» non X, Y, Z (qui forment mt sjsl^so solide) y aonl prijetés sur un pfam P en des axes X'', Y', ï\ qui forment dès lors un sjsièrae flmm.

Ném. Cette idée- a de Tanalogie avec ceHe qui fait recoucher le plan Tertical de projection sur le plan horizontal de projection , pour arriver à bransformer le pro-» blême solide en un problème plaH.

VII. Concevons , d'après ce qui précède , un dessin B' tracé sur un plan P , et chaque point de ce dessin B' étant rapporté à trois axes X', Y', Z' tracées sur ce pfetn P et se coupant en un point o.

Nous pourrons par le point o mener une droite D , qui , située hors du plan P, lui sera oblique ou orthogonale, et nous pourrons mener par le point o une droite arbitraire Y dans le plan (D, Y) , une droite arbitraire X dans le plan (D,X), et enfin une droite arbitraire Z dans le plan (D, Z).

An moyen de b projection B' nous pourrons coostniire dans l'espnce les divers points d'un solide B , chacun de ces points étant rapporté aux trois axa» X^ Y, Z (qui forment un système solide).

Or , Ton peut faire varier la position des axes X, Y, Z d'une infinité de manières en conservant la même droite projetante D.

Or, l'on peut faire varier d'une infinité de manières la direction de la droite projetante D , par rapport au plan P.

On voit donc que la figure B' pevt être considérée comme étant la projection cylindrique sur le plan P d'une infinité de systèmes B solides.

Ainsi : nne fignre B' tracée sur un plan P peut être la projection cyliitdrique d'une infinité de systèmes <oii(/e« B situés dans l'espaoe.

Ainsi : un système solide B , situé dans l'espace , peut avoir une infinité de

projections planes B' en changeant, soit la direction du plan P, soit la dire^

tion de la drc^te D , ou Tune et l'antre en même temps.

NotM retrouvons encore ici le principe énoncé précédemment : H faut savoir rgwuMer dupUm dams l'espaee et descendre de l'espace sur le plan.

ViH. Se noQs reprenons les trois axes rectangulaires entre eux. X, Y, Z se coupanien un point o> et si noos reprenons le plan P passant par le point o, les trois axes X', Y', Z' tracés sur ce plan , et la droite D qui projette obliquement un relitf anr le plan P, nous devons nous rappeler qu*un point m du relief ayant pour coordonnées rectangulaires a:=a, 9=69 «=c, a sur le plan P pour projecticm oblÀ^ne un point m ayant pour coordonnées â/ = aor, y'zrrgjf, a'=7«, en sorte fn'en définitive les coordonnées du point ut' rapportées aux trois axes X', Y', V (tracés snr le plan P), sont : x'=:««, y'=êfr et z=y€.

Si donc snr le plan P on trace nn dessin B' tel que pour chacun de ses points nij mx fovte snr les aoLesX', Y',Z% ncm les valeurs ci-dessus trouvées pour

sl^ y' et 2' 9 mais les valeurs des coordonnées x^ t/, z da point m (lequel point appartient au relief B) , la figure B' ne sera pas la projection oblique sur le plan P du relief B, mais celle d'un autre relief B, dont Tun des pointe m, aurait pour coordonnées rectangulaires

De sorte que si le relief B est une surface ayant pour équation /(a;, y, 2)=^, le relief B^ sera une surface ayant pour équation

Ainsi j si par exemple le relief B est une sphère ayant son centre en 0 ^ et ayant dès lors pour équation

le relief B, sera un ellipsoïde à trois axes inégaux , et ayant pour équation