SECONDE PARTIE

DC0 CeVRBKS BV 1»B« MVBVACBS COVWBB0, BV BB IPABVICVIilBB DBB BBCnOBB

COBIQIJBB BT DBB BVBBACBB DV BBC«B1> ^IMMIB,

CHAPITRK PREMIER.

DES COURBES ET DES SUftPACBS EN GÉNÉRAL.

1 93. Une ligne est en général engendrée par un point se mouvant d'une manière continue 9 suivant une loi donnée, et laissant dans Tespace les traces de ses diverses positions successives. On peut aussi engendrer une courbe par le mouvement d'une droite dont les positions successives se coupent deux à deux, de sorte que la série des points d'intersection forme une ligne. Enfin on peut à la droite substituer un plan mobile, dont les positions successives se coupent successivement deux à deux suivant des droites qui, elles-mêmes se coupent deux à deux en des points dont l'ensemble forme en général une ligne. Il est évident que ces trois modes de génération rentrent l'un dans l'autre, et qu'en réalité, c'est toujours par le mouvement d'un point qu'une ligne est engendrée.

La ligne engendrée par le mouvement d'un point est dite le lieu géométrique des

positions successives occupées par le point mobile. Lorsqu'elle est engendrée par

le mouvement d'une droite ou d'un plan, on dit qu'elle est Yenvetoppe des posi- Û' Partis. I

lions successivement occupées par cette droite ou par ce plan. Il est bien évident que toute ligne et toute surface pourraient engendrer une ligne, qui serait également l'enveloppe de leurs positions successives, et cette ligne ou celte surface généiali'ice prend le nom d'enveloppée. On ne considère presque jamais les lignes comme engendrées par le mouvement des surfaces, mais très-souvent comme provenant de rintersection de deux, surfaces.

494. On distingue deux sortes de courbes : les courbes planes et les courbes gauches; tous les points des premières se trouvent dans un même plan, que Ton obtient en le faisant passer ))ar trois quelconques d'entre eux; tous les points des dernières ne peuvent jamais se trouver dans un même plan. On les nomme aussi respectivement courbes à shuple courbure et courbes à double courbure. Pour entendre ces dernières dénominations, considérons une droite D (fig. i70), supposons qu'on la brise en un point m et que la partie à droite de ce point vienne en D', qu'on brise encore cette droite en m" pour faire prendre à la partie de droite la position D'' sans qu'elle sorte du plan déterminé par les fragments de droite D et D' et ainsi de suite , la ligne D cesse d'être droite et acquiert une seule courbure , tous les brisements étant faits suivant une même loi; mais si maintenant on supposait que la partie m ni 'm'" m" tournât autour de D' pour venir prendre une

position voisine, qu'ensuite la partie m"m'" m'extournât autour de D", que

in"V^ m" tournât autour de D'", et ainsi de suite, la courbe C acquerrait une

seconde courbure résultant des brisements successifs de son plan le long des droites D', D", D'", etc.

i 95. Lorsqu'un point se meut et décrit une courbe C , trois positions successives du point ne sont pas généralement en ligne droite, mais deux le sont toujours, de sorte que chaque point forme avec celui qui le suit immédiatement une droite infiniment petite, composée de deux points juxta-posés ou successifs y c'est-à-dire tels qu'entre deux de ces poinis considérés comme étant successifs et infiniment voisins on ne peut pas placer un troisième point, en vertu de la même loi de mouvement, ou du même mode de génération qui sert à déterminer ou à engendrer la courbe C considérée. Quelquefois il se rencontre plus de deux points successifs en ligne droite, mais alors la courbe offre des affections (*) particulières. Cela posé, on peut évidemment considérer une courbe comme un polygone formé d'un nombre infini de côtés infiniment petits. Deux points juxtaposés forment la plus petite ligne que l'on puisse concevoir, et que, par cette raison, nous nommerons

(*) Fayez dans le chapitre VFI de Touvrage qui a pour titre : Développements de géométrie descrvpiive^ et que j*ai publié eo 1843 , les paragraphes dans lesquels on traite De la manière d^envisa'^ gei^ les infiniment petits en géométrie descriptive.

élément rectUigne , ou infiniment petit rectiligne on enfin peint Hgne. Il eit évident que les éléments reclilignes ne sont pas égaux dans les diverses courbes , ni même dans une même courbe, et qu'ainsi une môme courbe peut être remplacée par divers polygones infinitésimaux , chacun d'eu?^ répondante un mode particulier de génération de la courbe.

Si Ton considère trois points successifs, non en ligne droite, ils forment le plus petit arc de cercle que Ton puisse concevoir, et que nous nommerons élément ou infiniment petit circulaire. Cest en même temps l'élément de toutes les courbes , quoique Ton pàt pousser cette distinction aussi loin qu'on le désirerait, nous \^ nommerons donc élément curviligne. Les éléments curvilignes diffèrent Qn|.r@ (3u^ comme les éléments rectilignes.

196. Cela posé, si par un point m d'une courbe C on conduit une droite ou une autre courbe qui ne contienne pas le point m' de la courbe C successif du point m , ces deux lignes sont dites sécantes au point m; mais si elle passe en même temps par le point m' successif de m , ces deux lignes sont dites tangentes au point m. La droite tangente ou simplement la tangente à une courbe est donc le prolongement d'un élément rectiligne de la courbe.

La tangente peut avoir deux positions distinctes à l'égard de la courbe :

i*" Elle peut laisser la courbe d'un même côté de part et d'autre du point de contact ;

S"" Les portions de courbes situées de part et d'^ntrç du point de contact peuvent se trouver l'une d'un côté, l'autre de l'autre côté de la tangente; dans ce derniep cas le point de contact est ce que l'on nomme un point dCinJlex'ion. Enfin dans les deux cas la tangente en un point m peut couper la courbe en un poipt n situé à distance finie; elle est alors tangente en m et sécante en n; elle pourrait être tangente en plusieurs points (*) .

Lorsqu'une courbe a des branches infinies, la tangente au point situé à l'infini prend le nom d'asymptote; mais cette tangente n'existe pas toujours, ou plutôt elle est quelquefois rejetée tout entière à l'infini ; de là, la distinction des branches infinies des courbes, en branches avec asymptotes et branches sans asymptotes, ou en branches hyperboliques et branches paraboliques. Nous verrons plus loin le motif de ces dernières dénominations.

197. Une droite ne peut pas être assujettie à passer par plus de deux points.

{*) Voyez dans le chapitre VII de Fouvrage qui a pour titre : Développements de géométrie des^ criptive, les paragraphes dans lesquels on traite Des diverses espèces de points singuliers (fuHme courbe plane peui présenter dam son cours.

mais il n^en est pas de même d'ane courbe; il faut au moins trois points pour la déterminer; on peut donc assujettir une courbe à avoir trois, quatre, etc. points communs avec une autre courbe suivant sa nature; on peut donc avoir des courbes qui aient entre elles des contacts plus ou moins intimes. Cela posé , on dit que deax lignes ont un contact de premier ordre lorsqu'elles ont deux points successifs m et m' communs, ou un élément rectiligne mm commun; qu'elles ont un contact de deuxième ordre lorsqu'elles ont trois points successifs m , m\ m" communs ou deux éléments rectilignes mm', mW communs, et ainsi de suite; l'ordre du contact de deux lignes étant toujours déterminé par le nombre de leurs éléments rectilignes successifs communs. Le contact du second ordre prend le nom d'oscu" lation, et les courbes qui ont un pareil contact sont dites oscutatrices. Deux courbes qui ont un contact d'un ordre plus élevé sont aussi osculatrices entre elles, de là, plusieurs ordres d'osculation.

198. Par une tangente à une courbe, on peut faire passer une infinité de plans qui sont tous dits plans tangents à la courbe, mais un plan assujetti à contenir deux tangentes successives ou trois points successifs de la courbe est déterminé de position dans Tespace, et prend alors le nom de plan osculateur. Il est évident que , lorsque la courbe est plane , tous les plans osculateurs se confondent avec le plan de la courbe , mais dans les courbes gauches deux plans osculateurs successifs font entre eux un angle infiniment petit que l'on désigne par le nom d'angle de flexion.

199. Concevons une courbe C {fig. 170) engendrée par le mouvement d'une droite D, deux positions successives D et D' de la droite mobile seront telles qu'on ne pourrait placer entre elles une troisième droite en vertu de la même loi de mouvement de la droite D, ou du même mode de génération de la courbe C; si (^onc on les coupait par une transversale quelconque, les points de section seraient deux points successifs; il est évident que la droite D dans toutes ses positions est tangente à la courbe C, dont elle est l'enveloppée (n* 193); D et D' sont deux tangentes successives de cette courbe, elles font entre elles un angle qu'on nomme angle de contingence. Cet angle infiniment petit n'est pas le même dans toutes les courbes, ni en tous les points d'une même courbe, et comme il mesure la quantité dont la ligne a tourné pour cesser d'être droite et acquérir une courbure , il était naturel de le prendre pour la mesure de la courbure de la courbe. Mais la construction de cet angle est graphiquement impossible, il était donc essentiel de trouver un autre moyen de mesurer la courbure d'une courbe; or, si par le milieu de l'élément rectiligne mm* on élève une perpendiculaire N , à la droite D, et si par le milieu de l'élément rectiligne m'm'* successif de l'élément mm', on élève une perpendiculaire N/ à la droite D'; ces

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droites N, et N/ se couperont en un point o, et feront entre elles un angle égal à Tangle de contingence. Ce nouvel angle ne serait pas plus facile à construire que celui formé par deux tangentes successives; mais remarquons que le point o, peut être pris pour le centre d'un cerclé $ passant par les trois points successifs m , m', m", ou ayant avec la courbe C les deux éléments rectilignes mm et m'm" communs , de sorte que la courbure de la courbe G au point m est la même que celle de ce cercle 3; mais il est évident que la courbure d'un cercle est la même en tous ses points , et que les courbures de divers cercles sont en raison inverse de leurs rayons, donc les courbures des courbes en chacun de leurs points sont en raison injgrse des rayons de leurs cercles osculateurs en ces points (n* 197). C'est àCause de cette propriété que le cercle osculateur eu un point d'une courbe, son centre et son rayon sont nommés cercle de courbure , centre de courbure et rayon de courbure.

La détermination graphique du rayon de courbure ne serait pas plus facile que celle de l'angle de contingence.

Si au lieu d'élever les perpendiculaires N, et N,' sur les milieux des éléments rectilignes wm' et m'm'\ on élève au point m une perpendiculaire N à la droite D et au point m' une perpendiculaire N' à la droite D', ces deux droites N et N' se couperont en un point o, et si l'on élève au point m' une perpendiculaire à D et au point m" une perpendiculaire à D', ces deux droites N, et N/ se couperont en un point o,, et les trois points Oy o,n o^ peuvent être pris l'un pour l'autre, car les trois perpendiculaires N, N,, N^à la droite D peuvent être considérées comme n'étant qu'une seule et même droite, et il en est de même des trois perpendiculaires N', N/, N/ à la droite D'.

Cela posé, si en chaque point d'une courbe donnée C on conçoit une perpendiculaire à la tangente correspondante , deux perpendiculaires successives se couperont en un point qui sera le centre d'un cercle osculateur ; trois perpendiculaires successives donneront évidemment deux centres successifs formant l'élément rectiligne d'une courbe S , lieu des centres des cercles osculateurs et qui sera Y enveloppe des perpendiculaires à toutes les tangentes de la courbe C.

Cette courbe S peut se construire approximativement , en menant des perpendiculaires à des tangentes voismes, mais non successives, de la courbe C, ou en d'autres termes en menant en divers points de la courbe C , ces points étant situés à distance finie les uns des autres, des normales à cette courbe C, et inscrivant une courbe S au polygone fini déterminé par les intersections de ces normales prises successivement deux à deux.

200. La perpendiculaire N à la tangente D (fig. <70) est dite normale à la courbe C au point m , l'on ne peut pas dans le plan de la courbe et par le point m

meper une seconde normale, mais ii y en a une infinité d'autres situées hors de C0 plan ; elles sont toutes sur un même plan perpendiculaire à la tangente D, et que Ton nomme plan normal. Quand on parle d'une normale menée à une courbe C en un point de celte courbe , sans la désigner particulièrement, oq entend toujours la normale située dans le plan de la courbe, si la courbe est plane ou située dans le plan osculateur de la courbe au point considéré, si cette courbe est gauche.

201 . L'enveloppe des normales à une courbe plane C (n° 1 99) est une courbe C, qui a reçu le nom de développée de C; et C est dite alors la développante de C, Les normales à la développante sont tangentes à la développée , ce qui permet de construire l'une d'elles quand on connaît l'autre. Ainsi quand on donne la développante, on en conclut la développée par une série de normales très- rapprochées; et si l'on donne la développée, en lui menant une série de tangentes voisines les unes des autres, la développante devra les couper à angle droit.

Si l'on conçoit un fil enroulé sur la développée et tendu de manière que son prolongement soit tangent à cette courbe , et que l'on prenne sur ce fil le point où dans sa première position il va rencontrer la développante, et qu'on déroule le fil en le tendant toujours de manière qu'il reste tangent à la développée , ce point décrir£( évidemment la développante qui pourra être considérée comme formée par une série d'arcs de cercles infiniment petits , ayant successivement leurs centres située sur la développée (n"" 199).

Tout autre point de la tangente décrirait de la même manière une développante de la courbe proposée , donc une développée plane a une infinité de développantet dans son plan^ et deux développantes de la même développée sont partout également distantes , leur distance constante est celle des deux points générateurs de la tangente primitive. Au contraire la développée d'une courbe plane étant déterminée par les intersections des normales successives de cette} courbe^ il est évident qu'une développante plane na qu'une seule développée dans

son plan.

Il résulte de là que si l'on mène plusieurs tangentes à la développée, et qu'oq les prolonge jusqu'à leur rencontre avec la développante, les longueqrs de ces droites diffèrent entre elles d'une quantité égale à l'arc de développée compris entre les deux points de contact. Et si la développante va couper la développée sous un angle droit en un poiqta, si l'on mène en un point quelconque m de la développée une tangente et qu'on la prolonge jusqu'à sa rencontre au point fi avec la développante, on aura toujours mn= l'arc an rectifié. C'est d'après cette considération que l'on peut construire par points une développante d'une courbe donnée.

Safin H0U8 ajouterons que toutes les développantes d'une même courbe plane

ne sont pas {*) généralement des courbes de même tiature et de même forme géométrique, excepté les développantes d'un cercle, qui sont toutes des courbes identiques ou superposables.

20S. Toute ligne qui se meut dans Tespace en y laissant les traces de ses positions successives , engendre une surface ; sous le rapport de cette génération , on distingue les surfaces en plusieurs classes ;

4" Les surfaces réglées^ ou qui peuvent être engendrées par une droite, et 2° les surfaces courbes proprement dites, qui n'admettent pas de génératrices rectilignes ;

Parmi les surfaces réglées^ on doit remarquer les surfaces développables^ et parmi les surfaces courbes on doit remarquer les surfaces de révolution, qui sont engendrées par une ligne quelconque tournant autour d*un axe.

203. Par un point d'une surface on peut toujours faire passer une infinité de courbes qui soient toutes tracées sur la surface donnée; si une droite menée par ce même point est tangente à quelqu'une de ces courbes , elle est dite tangente à la surface , dans le cas contraire , elle est dite sécante.

Nous allons démontrer le théorème suivant qui est fondamental en géométrie descriptive , les tangentes à toutes les courbes situées sur la surface et passant par un point m de cette surface sont contenues dans un même plan , que Con nomme plan tangent à la surface en ce point m , qu'on dit point de contact.

Si toutes les tangentes laissent chacune la courbe à laquelle elle est tangente d'un môme côté et de part et d'autre du point de contact , le plan tangent laissera la surface tout entière d'un même côté. Une telle surface est dite convedce tout autour du point de contact ; mais elle pourrait cesser d'être telle à une certaine distance de ce point. Si quelqu'une des tangentes laissait au point de contact la courbe qui lui correspond, partie d'un côté, partie de l'autre, le plan tangent laisserait au^si la surface partie d'un côté, partie de l'autre, et il serait en même temps tangent et sécant. De là la distinction des surfaces en deux classes relativement au plan tangent , et il faut démontrer le théorème énoncé pour chacune de ces deux espèces de surfaces.

(*) Lorsque nous disons que deux courbes ne sont pas de même nature géométrique , nous entendoDs dire par là que les équations de ces courbes ne sont pas du môme degré et qu'ainsi toutes les développantes d'une même développée ne seront pas coupées par une droite en le même nombre de points; et lorsque nous disons que deux courbes n'ont pas la môme forme géométrique, nous entendons que lés unes peuvent présenter des points singuliers, que les autres ne peuvent offrir. Ainsi, prenant la développée de l'ellipse, parmi toutes les développantes de cette développée, Tellipse est la seule qui soit du second degré , et plusieurs de ces développantes présentent des points de rebiDussement,

204. I"* Pour les surfaces convexes; supposons que Ton coupe une pareille surface par un plan suivant une courbe C {fig. 171), qu'en un point m de cette

courbe C on lui mène la tangente T, et concevons d'autres courbes K, K'

tracées sur la surface et passant par le point m j elles iront couper la courbe C en

des points n^ p, et les courbes mn^ mp seront toutes dans un même plan

avec la tangente T. Si Ton fait tourner le plan sécant autour de la tangente T de

manière que les points d'intersection avec les courbes K, K' se rapprochent

du point m et viennent par exemple en n\p la tangente T et les sécantes

mn, mp'y seront toujours dans un même plan, et cette condition sera toujours

remplie lorsque le plan sécant coupera la surface successivement suivant les courbes C, C", C", Donc à la limite, lorsque les points n^'p^ seront devenus les successifs de m, et que par conséquent les sécantes fim, mp seront

devenues des tangentes aux courbes K, K' elles seront encore toutes contenues dans un même plan , ce qu'il fallait démontrer.

S"" Dans les surfaces non convexes, on peut toujours trouver en un point quelconque une tangente telle que tous les plans sécants menés par cette tangente coupent la surface suivant des courbes telles que C (fig. 17S1). Si par le point de

contact m on fait passer d autres courbes K, K', elles couperont C en des

points n, p, et les sécantes mn, mp, seront toutes avec T dans un même

plan. Si l'on suppose que le plan lournc autour de T de manière que les points

n, p se rapprochent de m, les sécantes mn, mp, et la tangente T pour

chaque position du plan sécant seront toujours dans un même plan; il en sera donc encore de même lorsque ces points seront devenus les successifs de m ^ et que par conséquent les sécantes seront devenues des tangentes aux courbes E, K' , ce qu'il fallait démontrer.

205. Il suit naturellement de là que pour mener le plan tangent en un point d'une surface , il faudra faire passer par ce point et sur la surface deux courbes , mener les tangentes à ces deux courbes, puis le plan de ces deux tangentes. On doit, dans chaque cas, choisir les courbes les plus faciles à construire, ou celles auxquelles on sait mener les tangentes rigoureusement; par exemple des cercles, quand la nature de la surface le permet , ou bien des droites parce qu'elles sont à elles-mêmes leur propre tangente. Le plan tangent en un point d'une surface réglée contient donc toujours la génératrice droite qui passe par le point de contact. Et ces surfaces se distinguent en deux classes suivant la manière d'être du plan tangent à leur égard. Dans les unes le plan tangent en un point d'une génératrice droite est tangent en tous les autres points de la même génératrice, dans les autres le plan tangent en un point d'une génératrice droite n'est tangent en aucun autre point de cette même génératrice.

806. En effet 9 1* consirnisons un plan T {fig. 173) et dans ce plan trois droites G , mi^ ni non parallèles , puis en dehors du plan T deux courbes G et G' qui aient pour tangentes les droites mi j m' aux points m et n où elles rencontrent G , enfin supposons qu'une surface réglée 1 ait pour génératrices les droites G, G^ , G„ G,,.. . s'appuyant sur les deux courbes C et G'; le plan T contenant la génératrice G et la tangente fui à G est dès lors tangent à la surface 2 au point m ; de même ce plan contenant la génératrice G et la tangente m' à G' est aus^i tangent à la surface 1 au point n ; je dis que dès lors le plan T est tangent à la surface 2 en tous les autres points de la même génératrice G.

Pour le démontrer, menons la génératrice G' successive de G ; elle rencontrera les courbes C et G' en des points m' et n successifs de m et n , et par conséquent appartenant aux tangentes mt et nt\ et par suite au plan tangent T, donc G et G' sont dans ce même plan T ; coupons maintenant la surface 2 par un plan quelconque déterminant la courbe K , qui rencontre G et G' aux points successifs p et p qui sont dans le plan T, la tangente pô à la courbe K est donc dans le plan T; donc enfin le plan T est tangent à la surface 2 au point p arbitrairement pris sur la génératrice G , et par conséquent en tout autre point de cette génératrice.

Deux génératrices droites successives de ces sortes de surfaces étant dans un même plan, déterminent une petite surface plane, qui est Y élément AeXdi surface, infiniment petit dans le sens de la largeur, mais indéfini dans le sens de sa longueur. Si Ton fait tourner Tun de ces éléments autour d'une génératrice droite pour le ramener dans le plan de l'élément suivant , puis si ces deux éléments réunis tournant autour de la génératrice suivante pour les ramener dans le plan du troisième élément, et ainsi de suite, la surface sera tout entière déroulée sur un plan mm déchirure ni duplicaiure ; cette propriété les a fait nommer surfaces développables.

2* Ayant comme ci-dessus un plan T, et dans ce plan , trois droites G , nw , r«, nous construirons hors du plan deux courbes, Tune C ayant mt pour tangente au point m, l'autre C' à laquelle ns sera sécante au point n , de sorte que la tangente nt' à G' sera située en dehors du plan T.

Cela posé, si Ton conçoit une surface réglée 2 ayant pour génératrices des droites G, G,, G,, G,, ... qui s*appuient sur les deux courbes C et C, le plan T contenant la génératrice G et la tangente mt à la courbe C sera tangent à la surface 2 au point m ; mais aa point n ce plan ne contenant pas la tangente itf' à la courbe C' ne sera pas tangent à cette surface 2. Je dis que dès lors le plan T n'est tangent à la surface 2 en aucun autre point de la génératrice G. En effet, la génératrice G' successive de G rencontrera C au point m' successif de m, et par conséquent appartenant à la tangente mt et aussi au plan T ; de même G' rencontre C' au point n' successif de n, appartenant par conséquent à la tangente m', et par suite situé

— fO —

hors du plan T , donc la génératrice 6' n'a que le point w! sur le plan T ; cela posé, ei Ton coupe la surface par un plan suivant une courbe E , rencontrant 6 et 6' aux points successifs p et p\ le point p appartiendra au plan T et le point p' sera horp de ce plan ; donc le plan T ne contient pas la tangente pO à la courbe K ; donc il n'est pas tangent à la surface au point p.

L'élément superficiel compris entre deux génératrices successives G et G' n'est plus plan , de sorte que la surface ne peut plus se dérouler sur un plan ; on nomme ces surfaces , des êurfaceê gaiêches. Remarquons que les génératrices successives G et G' ne sont pas dans un même plan , et cependant il est impossible d*en placer entre elles une troisième , circonstance difficile à admettre â priori, et sur laquelle la démonstration précédente ne peut laisser aucun doute.

207. Il résulte de ces démonstrations que dans une surface réglée : 4* si le plan tangent en un point d'une génératrice droite , est tangent en tous les autres points de la même génératrice y deux génératrices success^yes sont dans un même plan ;

2* Si le plan tangent en un point d'une génératrice droite n'est tangent en aucun autre point de la même génératrice, les deux génératrices successives ne sont pas dans un même plan.

208. Les réciproques de ces propositions sont également vraies, c'est-à-dire que dans une surface réglée , 4"* si les génératrices successives sont dans un même plan j le plan tangent en un point d'une génératrice est tangent en tous les points de la même génératrice ; 2* si les génératrices successives ne sont pas dans un même plan , le plan tangent en un point d'une génératrice n'est tangent en aucun autre point de cette génératrice.

En effet, 1* si nous considérons la série des tangentes G, G^ G", {fig. 174)

à une courbe gauche C , elles formeront une surface , et deux génératrices successives de cette surface seront dans un même plan osculateur de la courbe G. Considérons une génératrice quelconque G , et menons les plans tangents à la surface en deux points n et p ; pour cela sur la surface et par le point n nous ferons passer une courbe K qui rencontrera G' en un point n' successif de n , et l'élément nn' prolongé donnera la tangente T à la courbe K, le plan tangent en n déterminé par les droites G et T contiendra les trois points n, m', n', donc il contient les deux génératrices successives G et G' ; de même sur la surface et par le point p faisons passer une courbe X , elle coupera G' en un point p' successif de p, et l'élément pp' prolongé donnera la tangente 0 à la courbe X , le plan tangent en p déterminé par les droites G et 0, contiendra les trois points p, m', p' ; donc il contient les deux génératrices successives G et G'. Les deux plans tangents en n et p se confondent donc, et il en est évidemment de même des plans tangents en tous les autres points de la génératrice G.

2* Scdent G et G' {fig. 1 73) deux génératrices sueçessivea d'une aurfS»^ réglée «l non situées ddns un même plan , prenant deux points qqetconques m et n sur Tune 4*eiles G j par ces deux points et sur la surface laenons deux courbes C et G' couliant G' aux pointa m' et n' successifs de m et 9 , de sorte que les éléments mm' et nu prolongés donneront les tangentes mt et ni aux courbes G et G' ; le plan tangent en m est déterminé par les droites G et ml ; il contient le point m' de G ; mais Te point n' est en dehors de ce plan, donc »{ n'est pas dans ce plan tangent ; mais cette droite est dans le plan tangent au point 11 , dQnc ces deux plans tangents sont distincts Tun de Tautre.

209. On déduit de tout ce qui précède les deux caractères distinetifb des deux espèces de surfaces réglées , savoir :

V Toute surface réglée dont deux génératrices successives sont dans un même plan , est développable ; toute surface réglée dont deux génératrices successives ne sont pas dans un même plan est gauche.

* 2* Toute surface réglée , pour laquelle le plan tangent en un point d*une génératrice est tangent en tout autre point de la même génératrice, est développable ^ toute surface réglée pour laquelle le plan tangent en un point d'une génératrice n'est tangent en aucun autre point de la même génératrice , est une surface gauche. On doit aussi se rappeler que réciproquement :

S"" Dans toute surface développable , deux génératrices successives sept d^ns^ un même plan, et le plan tangent en un point d'une génériitrice çst taugept eq toius les points de la même génératrice ;

4^ Dans toute surface gauche , deux génératrices successive^ uq sont pas dan% un même plan , et le plan tangent en un point d*pae génératrice n'est (angept e^ aucun autre point de la même génératrice.

Nous avons répété ici ces principes , qu'il faut bien se graver dans Is) fpémoire , parce qu'ils sont d'un usage continuel dans 1^ théorie des surfaces réglées ; noqs ajouterons encore que plusieurs surfaces sont ^aucl^e^, suivant certaines généra* tiens , et développables suivant d'autres génératrices , c'est ce que nous reconnaîtrons plus facilement en ayant recours au second caractère, quoique le premier soit celui que l'on adopte pour définir les deux espèces de surfaces réglées.

21 Q. Tout plan conduit suivant une génératrice droite G d'pne surlïice gauche est un plan tangent, car il coupe la surface suivant une courbe G, dont il contient la tangente au point »i (eu lequel la courbe G coupe la gép^r^trice G) en même temps que cette génératrice G. On peut donc se proposer sur les surfaces gauches les deux questions réciproques suivantes :

1° Par un peint d'un^ surface gauche Sûre passer aa plan langent ; ee plan est

déterminé par la génératrice et la tangente à une courbe quelconque tracée sur la surface et passant par ce point ;

2" Étant donné un plan P passant par une génératrice G , trouver son point de contact ; c'est celui où la courbe d'intersection G de la surface par le plan P coupe la génératrice 6.

' 81 1 • Une surface développable peut être engendrée de bien des manières différentes f parmi lesquelles nous distinguerons les suivantes :

1* Par un plan roulant sur deux courbes , c'est-à-dire restant toujours tangent à Tune et à l'autre ; . 9^ Par un plan roulant sur une courbe et sur une surface ;

3* Par un plan roulant sur deux surfaces ;

4* Par un plan assujetti à se mouvoir en restant toujours normal à une courbe ;

5» Par un plan tangent à une courbe et restant toujours perpendiculaire au plan osculateur ;

6* Par un plan se mouvant sur une courbe en lui restant toujours osculateur.

Ces six modes de générations peuvent se comprendre sous ce seul énoncé : Tout plan se mouvant suivant une loi détenninée engendre , par ses intersections suc^ cessivesj une surface développable. Il ne faut donc pas que le plan se meuve parallèlement à lui-même.

7* Enfin , par une droite mobile demeurant toujours tangente à une courbe à double courbure.

Lorsque ta surface est engendrée par le mouvement d'un plan , on dit qu'elle est Venveloppe des positions successives du plan , qui prend le nom di enveloppée. En général , une surface mobile j qui en engendre une autre , prend le nom de surface enveloppée , et celle qu'elle engendre et qui lui est tangente dans toutes ses positions a reçu le nom d'enveloppe.

Lorsqu'une surface est engendrée par le mouvement d'une droite, on dit qu'elle est le lieu des positions successives occupées dans l'espace par cette génératrice droite. Les six premiers modes de génération rentrent, au reste, dans ce dernier, car les plans mobiles se coupent suivant des droites , qui sont précisément les génératrices de la surface , et celles-ci se coupent en des points dont la série forme une courbe à laquelle les génératrices droites sont toutes tangentes.

212. Le lieu des intersections successives des génératrices droites d'une surface développable est une courbe à double courbure , à laquelle Monge a donné le nom d'arête de rebroussement. La courbe à laquelle la génératrice droite reste toujours tangente dans le septième mode de génération (n*211) est précisément l'arête de rebroussement de la surface engendrée par cette droite.

Toute surface développable est séparée par l'arête de rebroussement en deux

parties ou ttappes^ qui vont en s'évasant à mesure qu'elles s'éloignent de cette courbe , de sorte que la surface éprouve un rétrécissement le long de Taréte de rebroussement. Mais pour que la courbe , le long de laquelle une surface est ainsi rétrécie , soit une arête de rebroussement , il faut qu'elle soit produite par les intersections des génératrices successives , lors même que ces génératrices ne se* raient pas droites. On doit donc définir d'une manière générale Tarête de rebrous* sèment d'une surface , la courbe enveloppe des génératrices de la surface. Toute autre ligne, suivant laquelle une surface éprouve un pareil rétrécissement, se nomme ligne de gorge.

On a aussi des rétrécissements produits par les intersections de génératrices , situées à distance finie les unes par rapport aux autres , ou plus généralement , par rintersection de deux nappes de la surface , on les nomme alors lignes (f intersection.

812 bis. Je crois devoir placer ici une démonstration très -générale de la pro* priété dont jouit le plan tangent, sans avoir besoin de distinguer deux manières d^être d'une surface par rapport à son plan tangent, comme nous l'avons fait art. 204 ci-dessus.

Démonstration de la propriété dont jouit le plan tangent , savoir : que le plan tangent en un point d'une surface j quel que soit le mode de génération de cette surface^ con^ tient les tangentes à toutes les courbes qui , tracées sur la surface , se croisent au point de contact.

Une surface £, quelle qu'elle soit, peut toujours être considérée comme engendrée par le mouvement d'une ligne C , et de plusieurs manières différentes.

Ainsi : 1* on peut prendre sur la surface £ un point m, faire passer par ce point m un plan R coupant la surface £ suivant une courbe C y mener à la courbe C et au point m la tangente G et supposer que par la droite 0 on fasse passer une série de plans R , R', R", R'", • . . coupant dès lors la surface £ et respectivement suivant les lignes C , C, C'\ C'\ . . . qui seront évidemment toutes tangentes entre elles et au point m, la tangente qui leur est commune en le point m étant la droite 9.

On peut donc supposer la surface £ engendrée par le mouvement de rotation de la ligne C autour de la droite 9, cette ligne G changeant de forme pendant son mouvement de rotation et prenant successivement les forunes C, C, C", ...

2* On peut mener une suite de plans R/, R/', R/", ... parallèles entre eux et au plan R et coupant la surface £ et respectivement suivant des courbes ou lignes C/, C/', €/",.•• c^ l'oïï pourra considérer la surface £ comme engendrée par le mouvement de la courbe ou ligne G qui, se mouvant parallèlement à elle-même, se déforme successivement pour prendre successivement les formes G/, G/', G,'", ...

3* On peut mener une droite D coupant , perçant la surface S en un point ou

p]i3iftieuP9 points m » et faire passer par cette droite D une suite de pldU9 R, , R/ , R/\ R/", • , • coupant la surface S et respectivement suivant les liffnes C, , C/ , C/', G,'",. . . qui toutes se croiseront y se couperont en le point m , ou en les divers points m-

fÀ Ton pourra supposer que la surface S est engendrée par la rotation de la courbe C, autour de la sécante D , cette courbe G, prenant successivement les former

Au lieu d'engendrer la surface S par des courbes ou lignes planes , on pourrait sans peine la supposer engendrée par des courbes à double courbure.

Cela posé :

I^a démonstration du théorème relatif au pUm tangent , savoir : que le plan tangei^t en un point m d'une surface S contient les tangentes à toutes les oourbes qui, tracée^ ^ur cette surface , se croisent en ce point m » doit varier suivant que Ton considère tel ou tel mode de génération de la surface S.

Ci-dessus (art. 203) , nous avons considéré la surface £ comme ei^geudrée par le premier mode indiqué ci*dessus^ et le tbéorèine a été démoptré direotenieiit, eu ce sws que nous n'avons pas eu besoin d'établir, au préalable, ce tbéorèum pour une surface simple, et ainsi pour une surface développable , pour ensuite le faire passer sur la surface générale £.

Ici , nous allons supposer que la surface £ est déterminée par le second mode de génération e&posé ei*dessu8 , et nous ferons passer le théorème du fdm im^Ml , de dessus une surface développable , sur cette surface générale £, et cela de la mMÎèpe suivante :

On sait qu^ii n'y a rien de plus facile que de démontrer le théorème peiatîf au ]^n tangent pour une surface développable.

Et en effet :

Rappelons-nouft qu'une surface développable K peut être engendrée de émx manières prÙÊcipales : ou 4 "^ au moyen de son arête de rebrous^roent ( dont toutes les tangentes forment les génératrices droites (ou les caractéristiques) de la sur-r face K; ou S^ au moyen d'un plan 0 roulant tangentiellemont sur detiK pourh^ (Hredrioeê B et B,.

Si l'on considère le premier mode de génération de la surface dévdoppable K ^ nous pourrons considérer une génératrice droite G de cette surface, laquelle sera une tangente à Taréte de rebroussen^ent g.

La position voisine de 6 sera 6' ; et dès lors en menant par un point m de G une suite de pkau ou de surfaces quelconques , on coupera la surface K suivant des oourbes planes ou à dwble courbure C, G', G'',... qui se croiseront au point tu et qui couperont l£| génératrice G' et respectîvemmt aux points n , n'y n"y . . .

Or il e^t évident que mn , mn^ mn'y . . seront les éléments rectilig^s des courbes

G , G'^ G'', . . . Ges éléments rectilignes prolongés donneront les tangentes 9 y 9\ 9"^ . . . à ces courbes G , G\ G", . • * P^^^ '^ P^i^^ ^ / ^^ comme les génératrices droites suc • ceesives et infiniment voisines G et G^ se coupent en uu point qui appartient à la courbe $> il s'ensuit que toutes les tangentes 9, 0\ 9'V-* sont situées sur un même plan @ qui passe par les droites 6 et G', et c'est ce plan 9 qui a reçu le nom de plan tangent.

Ainsi y le théorème relatif au plan tangent en un point m d'une surface dé?eloppable K se trouve démontré , lorsque l'on considère cette surfoce K comme étant donnée par son arête de rebroussement l , comme étant dès lors engendrée par une ligne droite G assujettie , par la loi de son mouvement dans l'espace , à être tangente en toutes ses positions successives à une courbe donnée (.

Cela posé :

Le théorème relatif au plan 6 , tangent en un point m d'une surface dévdoppable E , étant démontré pour un certain mode de génération de la surface K , subsistera , qud que soit le mode de génération de cette surface K.

Par conséquent , si nous supposons que la surface K est engendrée par un plan 6 roulant tangentiellement sur deux courbes directrices B et B, tracées sur cette surface K, le théorème subsistant toujours, nous pourrons en conclure ce qui suit :

Si la courbe B se meut sar la surface K en changeant de forme pour arriver à la forme et en la position B, (le changement de forme et la loi du mouvement étant déterminés) , on conçoit sans peine que la courbe B passera en une position infiniment voisine B' (B' ayant une forme modifiée), et que la surface K sera tout aussi bien engendrée par le plan 0 roulant tangentiellement sur les courbes B et B, (situées à distance finie) , que par le plan 6 roulant tangentiell^nent sur les courbes B et B' (situées à distance infiniment petite).

Cela dit :

Les courbes G y G', G",,., couperont respectivement la courbe B' en les points p , p\ p",.*. qui , en vertu du nouveau mode de génération de la surface K, seront des points successifs et infiniment voisins du point m ; en sorte que mp , fnp\ mp*% . . . seront dans ce nouveau mode de génération les éléments rectilignes des courbes G / G , C ,•.. (*).

Or ces éléments rectilignes prolongés donneront les tangentes B , 9', 9'^, . . . aux courbes C, G', G",.-» «t nous savons, à priori j par ce qui a été démontré plus haut (en nous servant du premier mode de génération de la surface développable K) , que toutes ces tangentes sont situées dans un même plan , qui n'est autre que le plan 0 tangent en m à la surface E.

(*) Voyei le chapitre VII des Dévetopfiemenis de géomé4He descripiive.

Cela posé :

Si nous considérons une surface générale S et un point m sur cette surface, nous pourrons tracer sur celte surface une courbe B ^ laquelle passera par le point m ; puis supposer que cette courbe B se déplace sur la surface £, en vertu d'une certaine loi de mouvement 9 et qu'elle arrive , en changeant de forme, en la position B' infiniment voisine de B.

Les deux courbes infiniment voisines B et B' comprendront donc sur la surface £ une zone élémentaire et superficielle.

Si nous faisons rouler un plan 0 tangentiellement aux deux courbes B et B', nous obtiendrons une surface développable K.

Si ensuite nous faisons passer par le point m une suite de plans ou de surfaces arbitraires P, P', P'\... ces plans ou surfaces couperont la surface £ suivant des courbes d , d', d", ... et la surface K suivant des courbes A , À\ A", ... et les courbes i et A , d' et A' . . . passeront toutes par le point m , et de plus couperont la courbe B' et respectivement deux à deux en les mêmes points p, p',... Par conséquent, ces courbes d et A , d' et A',. • • auront mêmes tangentes 6, 6 V • • ^u point m, puisqu'elles auront deux à deux même élément rectiligne mp, mp\ mp\...

Or nous savons que les tangentes 9, B\.,. aux diverses courbes A, A',,., de la surface K sont dans un même plan ; donc nous pouvons affirmer le théorème suivant :

Théorèm R. Si l'on trace une série de courbes C , C, C, . • • '«'* ^tne surface quel* conque £ , toutes ces courbes se croisant en un point m , les tangentes menées au point m à ces diverses courbes sont toutes situées dans un seul plan , auquel on donne le noni de PLAN TANGENT OU poiut m de la surface S.

Cette nouvelle manière de démontrer le théorème relatif au plan tangent offre l'avantage suivant :

Ce que nous avons dit pour un point m de la courbe B tracée sur la surface générale S peut se dire de tout autre point de cette même courbe B. » Par conséquent, la surface développable K jouit de la propriété d'avoir en commun avec la surface £ la zone élémentaire et superficielle comprise entre les deux courbes successives et infiniment voisines B et B', et aussi d'avoir en chaque point de la courbe B même plan tangent avec la surface £, propriété que l'on énonce en disant que la surface développable K engendrée par un plan 0 roulant tangentiellement à la surface S et sur la courbe B, est tangente à la surface S tout le long de la courbe B.

En nous servant, ainsi que nous venons de le faire, d'une surface simple (une surface développable) pour démontrer l'existence d'un théorème pour une surface

générale, noDS avons employé ane méthode très-familière à la géométrie descriptive et qui est très-féconde. En effet : lorsque l'on voudra plus tard chercher la construction des divers points d'une certaine courbe X tracée sur une surface générale S 9 et de manière à satisfaire à certaines conditions , on tracera sur la surface £ une série de courbes a, a, a",... d'après une loi donnée, et l'on cherchera sur ces courbes au moyen des surfaces développables A, A', A",.- tangentes à la surface S suivant ces courbes «, a', a',.-* ^^ points en lesquels ces courbes a, a , a",... coupent la courbe X.

Ce ne seront pas toujours des surfaces développables que l'on emploiera , mais ce seront toujours des surfaces plus simples que la surface S proposée , et pour chacune desquelles on pourra facilement et presque immédialement résoudre le problème proposé pour la surface S.

On en trouve un exemple remarquable dans la construction par points de la courbe de contact d'un cône ou d'un cylindre avec une surface de révolution quelconque S. Alors, pour chaque parallèle de la surface de révolution S, on remplace cette surface de révolution £ par un cône A (surface développable la plus simple) ou par une sphère S (surface de révolution la plus simple), ces surfaces A ou S étant tangentes à celte surface de révolution S tout le long d'un parallèle.

Or il est utile, dans l'enseignement, d'employer le plus possible les mêmes idées y pour ne pas surcharger la mémoire des élèves.

Je pense donc que la manièl*e de démontrer le théorème relatif au plan tangent, telle que je viens de l'exposer, doit être préférée, puisque les idées géométriques que l'on emploie dans cette démonstration se reproduisent plus tard dans la solution de divers problèmes importants où l'on fait usage du plan tangent.

213. Nous allons démontrer deux théorèmes relatifs aux surfaces développables et dont nous aurons besoin plus tard.

Théorème 1 . Étant donnée une surface développable 1 par son arête de rebroussement G , si toutes les tangentes T à la courbe G s'appuient sur une droite B , la surface développable 2 est un p&m, et la courbe G est dès lors une courbe plane.

En eflfel :

Prenons trois éléments rectilignes successifs mm' et m'm" et m' W de la courbe G, ces éléments prolongés donneront les tangentes successives T, T, T" de la courbe G, et ces tangentes seront des caractéristiques ou génératrices droites successives de la surface 2.

T^es deux droites T et T' déterminent un plan 0 ; traçons dans ce plan une

droite B ; les deux droites T et T" déterminent un plan 0'; si la droite T" s'appuie

sur la droite B y les trois droites T\ T" et B seront dans le même plan 0' ; mais

la droite B est déjà tout entière dans le plan 0, il faut donc que les deux plans O 2* PAETu. s

et & se confondent ; il faot donc que les trois âéineiits rectitignes de la courbe C soient dans un même plan. On démontre donc de cette manière que si toutes les tangentes à la courbe G s'appuient sur la droite B , elles sont toutes situées dans un même plan , et que dès lors tous les éléments rectiiignes de la courbe C sont situés dans un même pian ; la courbe C est donc plane.

Théorème 2. Lorêqu'onfmi ronler un phn P «tir deux cmaées G et C, C enveloppe de t espace parcouru par le plan P est une surface développoMe 1 , et qui évidemment n'est pas plane ; si toutes les génératrices droites de la surface 2 s^appment sur une même droite B , elles doivent nécessairement toutes la couper en un même pointh.

En effet ; soient les positions saccessives P, P', P", P'", etc., de Tenveloppée P ; P coupe F suivant la génératrice droite G ; P' conpe P" suivant G' ; P" coupe P"' suivant G", etc. Les droites G , G', G", etc., sont des génératrices successives et infiniment voisines de la surface 1 ; dès lors G coupe G' en un point m , G' coupe G' an un point m', etc., et les points m, m', etc., sont des points successifs et infiniment voisins qui déterminent la courbe G , arête de rehroussemenî de la surface 2 , et nmi en est l'élément rectiligne.

Supposons maintenant que toutes les droites G, G', G'\ etc., s^appuient sur une droite B.

G coupera B en un point b , G' coupera B en un point &', G" coupera B en un point b"j etc.

Or, G , G' et B seront dans un même plan P' ; G', G'' et B seront dans un même plan P", etc.

Il est donc évident qu'il faut , pour que les plans f et P" ne se confondent pas (ce qui ne peut être , puisque la surface 2 ne peut être un pian en vertu de son mode de génération) , et que cependant ce qui vient d*être établi subsiste , il faut , dis-je , que les points b , b\ 6", etc., se confondent en un seul point b ;

Ou , en d'autres termes , il faut que la surface développable 2 soit une surface conique dont b est le sommet.

Parmi les surfaces développables , nous étudierons d'une manière spéciale les surfaces coniques et cylindriques.

Une surface conique est engendrée par le mouvement d'une droite assujettie à passer constamment par un point fixe qu'on nomme le sommet (point qui dans certains cas est le cenire de la surface), et à s'appuyer constamment sur une courbe donnée que l'on nomme la directrice de la surface. Varête de rebroussement de cette surface se réduit à un seul point , qui est le sommet , lequel divise la surface en deux nappes. Ce point joue en môme temps le rôte de ligne ^intersection et de ligne de gorge.

Une surface cylindrique est engendrée par le mouvement d'une <lroite s'appuyant

cODstarnooent rar uae eourbe donnée , qra est la directrice combe de la surface , et restant toujours paraUèle à une même droite , qui prend , elle , le nom de directrice droite de la surface.

On pourrait remplacer la directrice courbe des surfaces coniques et cylindriques par une surface à laquelle la génératrice droite devrait rester tangente ; mais ces données ne diffèrent pas des précédentes (sous le point de vue théorique), car on peut , à la surface directrice , substituer la courbe , lieu des points de contact de toutes les génératrices droites avec cette surface.

214. Il résulte de là que les surfaces projetant horizontalement et verticalement une courbe (n** 25) sont des surfaces cylindriques ; il en serait de même de la surface qui la projetterait obliquement (nM 58) ; c'est pourquoi les deux systèmes de projection ^ orthogonale et oblique , ont reçu le nom de projections cylindriques (n^ 4 59) .

' Dans le système des projections orthogonales qui est le plus usité , une courbe est donc toujours Tintersection de deux surfaces cylindriques dont les génératrices sont perpendiculaires pour l'une au plan horizontal et pour l'autre au plan vertical de projection. En général , une courbe est l'intersection de deux surfaces , et au lieu des deux surfaces cylindriques projetantes , on pourrait donner deux autres surfaces quelconques se coupant suivant cette même courbe , qui serait également déterminée , mais on se la représenterait plus difficilement. Toutefois une courbe plane ne peut être définie d'une manière exacte qu'en choisissant son plan pour l'une des surfaces, car on pourra toujours alors retrouver la seconde projection , tandis que deux courbes arbitrairement tracées sur les deux plans de projection sont rarement les projections d'une courbe plane de l'espace.

Deux cylindres se coupent ordinairement suivant plusieurs courbes ; pour savoir par conséquent quelle est celle dont on a les projections , il ne sutiit pas de donner ces projections y il faut encore fixer quels sont les points de la projection verticale qui correspondent aux divers points de la projection horizontale , lorsque la même perpendiculaire à la ligne de terre rencontre les deux projections chacune en plus d'un point. Lorsque Ton ne fixe pas cette correspondance , le problème de trouver la courbe dont on a les projections , admet plusieurs solutions ; quelquefois on peut et Ton doit même les adopter toutes , d'antres fois on reconnaît facilement celles d'entre elles qui doivent être répétées ou acceptées.

215. Dans la théorie de la perspective ou des projections polaires (n"" 159) la surface qui projette une courbe sur le tableau est une surface conique ayant son sommet au point de vue, c'est ce qui nous a fait donner à ces projections le nom de projections coniques ; mais la projection sur le géométral étant toujours orthogonale , et par conséquent cylindrique , la courbe est dans ce cas l'intersection

d'une surface conique avec une surface cylindrique. Ici encore ces deux surfaces se coupent généralement suivant plusieurs courbes , de sorte que le problème admet plusieurs solutions lorsque les données ou la nature de la question ne font pas connaître celle de ces courbes qu'il faut seule conserver.

216. Les courbes 9 projections d'une courbe de l'espace, peuvent comme telles se terminer en des points , au delà desquels elles se prolongeraient si on les considérait dans leur plan et indépendamment des courbes projetées. On dit alors que ces courbes reçoivent les projections des courbes de l'espace, lorsque les projections semblent se terminer brusquement en certains points par des motifs que nous aurons l'occasion d'étudier plus tard.

21 7. Les projections dune tangente à une courbe sont tangentes aux projectiotis de la courbe. En effet , soit une courbe G et sa tangente T au point m ; les points successifs m et tn appartiennent à la fois à C et à T (195), donc m* et m'* se trouvent en même temps sur G* et sur T* ; mais il est évident que m^ et m'* sont deux points successifs (1 94), car si l'on pouvait placer un troisième point entre eux , en élevant par ce point une verticale , elle serait placée entre les verticales élevées des points m^ et m'^, et irait couper la courbe G en un point placé entre les points m et m\ qui par conséquent ne seraient pas des points successifs , contrairement à notre hypothèse. Donc T^ est tangente à C^ au point m*, projection du point de contact m de T et G. On montrerait de même que T*' est tangente à G" au point m".

La réciproque est évidente , car si T^ est tangente à G* en m^, et T** tangente à G* en m^j les points successifs m et m' seront communs à T et G ; donc T sera tangente à G au point m (^).

218. Supposons un fil enroulé sur une courbe G à double courbure et que l'on tienne ce fil tendu (afin qu'il reste toujours tangent à la courbe); en le déroulant, il engendrera par ses positions successives une surface développable (n"* 21 1 , 7*) et un point quelconque de ce fil engendrera une courbe , qui sera une développante de la courbe proposée G. Donc une développée à double courbure a une infinité de développantes situées sur la surface développable , dont cette développée est l'arête de rebroussement (n"" 21 1).

219. Si par chacun des points d'une courbe plane G on mène à cette courbe et dans son plan une normale, toutes ces normales déterminent par leurs intersections suc-

(*) Ce théorème n'est vrai qu'autant que la tangente T, au point m de la courbe C. n'est pas perpendiculaire au plan de projection. Lorsque la tangente T est perpendiculaire au plan de projection horizontale, par exemple, alors T* est un point qui se confond avec m*. Dans ce cas particulier, la courbe C^ offre au point m* un point de rebroussement^ et sa tangente, au point m/k, est la projection sur le plan horizontal de la normale au point m de la courbe G et qui est située dans le plan osculateur en tn à cette courbe C.

ceesives la seule développée plane C que puisse fournir la courbe G (n° 201). Mais considérons la série des plans normaux à la courbe G ; par leurs intersections successives, ils forment une surface cylindrique A (n"" 213)^ car tous les plant normaux étant perpendiculaires au plan de la courbe G, leurs intersections sont perpendiculaires à ce même plan j et par conséquent parallèles entre elles.

Cela posé) concevons par le point m de la courbe G une normale N non située dans le plan de cette courbe , elle sera sur le plan R normal à la courbe G au point m et rencontrera les génératrices droites successives G et G' de la surface cylindrique A aux points n et n' ; si au point ni successif du point m de la courbe G on mène une normale N' passant par le point n\ cette normale N' successive de la normale N sera située dans le plan normal R^ successif du plan R et rencontrera la génératrice G" du cylindre A en un point n'; pour le troisième plan normal R^' successif de R' on aura de môme une normale N'' successive de N' et coupant la génératrice G"' du cylindre A au point «"' ; la série des points n , n\ n\ «'", . . . forme une courbe G" à laquelle les normales N, N', N'\ de la courbe G sont tangentes, G" est donc une développée de la courbe G (n* 201). On en conclut qu'une courbe plane ou qu'une développante plane a une infinité de développées à double courbure situées sur le cylindre enveloppe des plans normaux à cette développante*

220. Toutes les développées à double courbure d'une développante plane G, sont des hélices ayant la développée plane pour projection commune sur le plan de la courbe G. La dernière partie de la proposition est évidente, puisque toutes les génératrices du cylindre sont perpendiculaires au plan de la développante. Quant à la première partie, on nomme hélice une courbe tracée sur une surface cylindrique, et telle que tous ses éléments rectilignes ou toutes ses tangentes font le même angle avec les génératrices du cylindre sur lequel la courbe dite hélice est tracée.

Gela posé , soit une normale de direction arbitraire dans Tespace (fig. 1 75) et menée au premier point m de la courbe plane G , elle rencontre les génératrices successives G et G' sous un certain angle 6, et aux points m" et n"; joignant le point it, successif du point m, avec le point n" on aura une normale successive nn\ et je dis que cette seconde normale coupe les génératrices successives G' et C sous le même angle 6 , etc. En effet, la courbe G' étant la développée plane de G , Tare mn est un élément circulaire ayant son centre en n', donc mn'=nn! et les triangles rectangles mn"n' et nn"n' sont donc aussi égaux ; par conséquent on a : mn"v!^=^nn"n ;

on démontrera de même que np"f! = pp^f!, et ainsi de suite. Donc , etc.

221 . A regard d'une développante à double courbure G , l'enveloppe de ses plans normaux n'est plus une surface cylindrique, mais elle est toujours une surface

développable 2^; si Ton mène ane normale N de direction qaeleonqae dans Tespace et au point m de la courbe C , elle est située dans le plan normal en ce point , et rencontre par conséquent en un point n la génératrice 6 de la sarface dévetop^ pable 2 ; si Ton joint «m', cette seconde normale N' coopéra 6' en un point n*; joignant encore nm", cette troisième normale N" coupera G" en n", et ainsi de suite,

les normales N, N', N", etc par leurs intersections successives déterminent

une courbe C à laquelle elles sont tangentes , et qui est par conséquent une développée de la courbe C. Donc une développante à double courbure a une infinité de dévehppées à double courbure situées sur la surface développable y enveloppe des plans normaux à la courbure C.

Chacune de ces développées est Tarôte de rebroussement d'autant de surfaces développables contenant la développante à double courbure proposée (n*" SI 7) Donc une courbe à double courbure peut toujours être placée sur une infinité de surfaces développables. Il en est évidemment de même d'une courbe plane.

Remarquons que pour les courbes planes , le lieu des centres des cercles oscu* lateurs aux divers points de la courbe est précisément sa développée plane : dans les courbes à double courbure le lieu de ces centres forme encore une courbe , mais die n'est plus une développée de la courbe proposée , car les normales à la courbe à double courbure ou gauche donnée C , qui sont respectivement situées dans les plans osculateurs de cette courbe , forment une surface gauche (*).