CHAPITRE II
PLANS TAHGBNTS AUX SUBFAGBS COMIQUES W CYLINHUQUIS.
222. Une surface conique est engendrée par une droite assujettie à passer toujours par un point dit sommet et à s'appuyer sur une courbe dite directrice (n* 21 3). Si on la coupe par une série de plans parallèles, on obtient des courbes de grandeurs différentes , que l'on peut considérer comme des génératrices de la surfSace.
(*) A ce sujet, voyez les dernières pages du Traité de géométrie descriptive de Moicgb.
Une sarfoce conique adnet donc une seule génératrioe constavte de forme, qui est la lingue droite , et rme infinité de génératrices courbes, dont la forme cm la grandeur varie dans chacune de leurs positions.
H est évident que Ton peut prendre pour directrice une coarbe quelconque, tracée sur la surfece et rencontrant toutes les génératrices droites ; si parmi toutes ces directrices, il en est une qai soit un cercle, et si dans ce cas le sommet et le centre du cercle sont sur une même droite perpendiculaire au plan du cwde , le cône prend le nom de cône droit , et la droite menée du sommet au centre du cercle est dite axe du cône. Remarquons que les anciens géomètres donnent à (*ette droite le nom d*axe, même quand elle n'est pas perpendiculaire au plan du cercle (*) .
223. Une surface conique est déterminée par son sommet « et sa directrice C , c'est-à-dire que ces données suffisent pour fixer complètement un point m , de la surface conique dont on donne une projection , par exemple , m^ ; en effet par ce point m passe une génératrice droite G, dont la projection C passe par ^ et m*, elle rencontre la courbe C* en un point n* que l'on projette verticalement sur C <în n" ; unissant rf et s"" on aura 6' qui contient m".
On pourrait se donner le point n^ et chercher à déterminer n*, de manière à ce que le point n fût situé sur la surface conique; pour déterminer w*, on unirait les points «• et n' par une droite G/ laquelle couperait la courbe G* en un point (f\ on déterminerait qf* sur la courbe C* et Ton aurait la droite G,* en unissant les points (f et «*, le point n* serait sur la droite G/.
Ainsi Ton voit que les constructions à effectuer pour trouver le point m", s'étant donné m*, ou le point n*, s'étant donné n^, les points m et n devant être situés sur la surface conique , surface qui est écrite graphiquement au moyen des projections de son sommet et des projections de la courbe directrice du mouvement de ses génératrices droites, que les constructions, dis-je, n'exigent pas autre chose (pie ces projections, en se rappelant toutefois que toutes les génératrices droites d'une surface conique passent par le sommet du cône et s'appuient sur la directrice courbe, ou, en d'autres termes, en se conformant, dans les constructions à exécuter, au mode de génération qui définit la surface considérée.
Lorsque Ton considérera une surface quelle qu'elle soit, il y aura deux choses à considérer : 1 "^ le mode de génération de cette surface , mode qui la définit , et f ta représentation graphique de cette surface, représentation qui sera dite
(•) Abaissant du sommet s d'un cône oblique une perpendiculaire Y sur le plan du cercle C base de ce cône, et unissant le sommet $ avec le centre o du cercle C par une droite  (dite axe), les anciens géoaètns appelaient le plan (Y, A) plm de Vaxe.
complète au moyen des projections de certains points et de certaines Ugnes appartenant à la surface , lorsque l'on pourra résoudre graphiquement le problème suivant, élani donné un point m^ ou un point n' déterminer la position que le point m^ ou le point n^ doit avoir pour que les points m et n de C espace soient en effet situés sur la surface considérée j et il faudra que la détermination ou construction de ces points m* et n^ puisse s'effectuer au moyen de tracés ou constructions graphiques n'exigeant pas autre chose que la connaissance des projections des points et des lignes dites 9 seules nécessaires pour la représentation ou définition graphique complète de la surface , et eu se conformant d'ailleurs dans ces constructions au mode de génération indiqué comme étant celui qui appartient à la surface.
Lors donc que par la suite nous examinerons une surface, nous commencerons par l'écrire graphiquement et par vérifier, au moyen de la solution du problème précédent, si en effet la surface donnée est bien complètement écrite : cela fait, nous pourrons nous livrer à la recherche de la solution des divers problèmes que Ton pourra se proposer par rapport à cette surface.
224. Problème 1. Mener un plan tangent à une surface conique par un point pris sur la surface. Le point ne peut être donné que par l'une de ses projections, par exemple m!"; on détermine sa projection verticale comme ci-dessus (n** 222). La surface conique étant développable , le plan tangent au point m est tangent en tous les points de la génératrice droite G (n* 209, 3") qui passe par ce point, et par conséquent au point n où elle rencontre la directrice C ; il doit donc contenir cette 'génératrice G et la tangente T menée au point n à la courbe C. Le plan tangent est complètement déterminé par ces deux droites.
Si la directrice C était la trace horizontale de la surface, c'est-à-dire son intersection par le plan horizontal (et alors la courbe C peut être dite base horizontale du cône), la tangente T ne serait autre que la trace ff du plan tangent T ; on trouverait facilement la trace verticale Y% puisqu'on connaît deux droites H^ et G situées sur ce plan T.
Si la directrice C était une courbe plane donnée par l'une de ces projections C* et par son plan (n*" 214), on aurait 9^ tangente à G^ et l'on en conclurait 9'' par la condition que la tangentes doit être dans le plan de la directrice, et en outre 0" devrait passer par la projection n'' du point de contact.
Dans tous les cas , on est conduit à mener une tangente en un point d'une courbe donnée par son tracé , la nature géométrique de cette courbe étant inconnue; ce problème présente de très-grandes difficultés et ne peut se résoudre qu*à un degré d'approximation très-loin d'être satisfaisant. Je suis parvenu à résoudre ce problème d'une manière générale pour un point simple ou multiple d'une courbe
dont on ne conuatt pas Téquaiioa (*) ; Hachette Tavait déjà résolu pour un point simple; mais les méthodes que nous employons reposent sur des considérations trèa-élevé6& et conduisent à des constructions très-compliquées et ne donnent en définitive qu'une solution approximative; de swte qu'une semblable recherche est plus curieuse sous le point de vue géométrique, en ce sens qu'elle sert à déinontrer que la géométrie descriptive a comme science une puissance qui lui est propre, et qu'elle est réellement utile.
Lorsque pour la solution graphique d'un problème on sera conduit à construire la tangente en un point d'une courbe C^ ou d'une courbe D% on devra dire que le problème est résolu sous le point de vue géométrique , mais non sous le point de vue graphique , si la courbe C^ ou la courbe D"" est telle qu'on ne sache pas construire rigoureusement la tangente en un de ses points; et lorsque Ton ignore la construction de cette tangente , on devra chercher à modifier la solution de manière à la faire dépendre de la constructicMi d'une tangente menée à la courbe C ou à la courbe D*' par un point extérieur à cette courbe ^ car alors il n'y aura que trèspeu d'incertitude sur la position exacte du point de contact (la tangente étant menée à vue et au moyen de la règle), tandis que dans le premier cas, la tangente étant menée à vue et au moyen de la règle , il existe une très-grande incertitude sur sa véritable direction ; en sorte que si l'on doit employer pour la suite des constructions un point assez éloigné du point de contact et situé sur la tangente , ce point pourrait avoir une position trèa-différente de celle qu'il devrait occuper réel lement sur le dessin.
Ainsi nous admettrons à l'avenir comme solution graphique sufiisamment approximative, toute solution dépendant de la construction d'une tangente menée par un point extérieur à une courbe inconnue et seulement donnée pai* son tracé , M d'une tangente menée parallèlement a une droite donnée de position par rap* port à la courbe. Maiâ nous rejetterons comme ne pouvant avoir une approximation suffisante toute sc^ution graphique dépendant de la tangente esi un point d'une courbe donnée par son tracé „ et dont on ignore la nature géométrique et par suite la consfaruction rigiMreuse et géométrique de la tangente*
225. Problème 2. Mener tm plan iangeot à une êwtface conique par uu point situé hors de la surface^ Soient une sur£9K:e conique donnée par son sommet # et sa directrice C , et un point m d/d la surface , le: plan tangent T devant contenir une gé-
(♦) Voyez dans l'ouvrage qui a pour titre : Complément de géométrie descriptive, le Mémoire qui
a pour titre : Construction de la tangente en un point d^une courbe plane dont féquation est inconnue.
Ce Mémeire a été publié pour la première ton dans le W caMer du Journal éa YÈc^ pc^TyMeh-'
néralrice droite de la surface , passera par le sommet s ; donc la droite D , qui unit les points s et m, y sera contenue tout entière; mais le plan T contient en outre la tangente 0 à la directrice C, au point où elle est coupée par la génératrice de contact 6, les droites D et © se coupent, donc la droite D coupe la surface développable, lieu des tangentes à la courbe C; cherchant ce point d'intersection n et menant par n la tangente 0 à C, puis la génératrice G passant par le point (le contact a; 9 nous aurons trois droites D, 0, G situées dans le plan T, il sera donc déterminé.
226. Pour obtenir le point n, il faut par la droite D faire passer un plan auxiliaire quelconque X, chercher son intersection I avec la surface développable formée par les tangentes à la courbe C ; elle contiendra évidemment le point n , qui est par conséquent à la rencontre de cette intersection I avec la droite D. Mais cette construction se simplifie beaucoup , lorsque la courbe C est une courbe plane y car alors la surface lieu des tangentes à cette courbe n'est autre chose que son plan P, et l'on a seulement à trouver l'intersection de la droite D et du plan P (n- m à 113).
227. Dans le cas d'une directrice gauche ou à double courbure C, il est plus simple de couper la surface conique par un plan quelconque déterminant une courbe E que Ton substitue à la courbe C; et pour plus de simplicité , on peut chercher la base sur le plan horizontal ou vertical de projection de la surface conique, lorsque cette base ou trace se trouve dans les limites du dessin. Cette construction s'effectue facilement et sans erreur sensible, car les génératrices droites de la surface conique peuvent toujours s'obtenir exactement ; il n'en est pas de même des tangentes à la courbe C, ainsi qu'on Ta dit ci-dessus (224).
228. PaoBLiiiE 3. Mener un plan tangent à une surface conique parallèlemetit à une droite donnée. Le plan tangent devant contenir une génératrice droite passera par le sommet s de la surface conique; cela posé, si par un point quelconque d'un plan parallèle à une droite B, l'on mène une parallèle à cotte droite, elle est tout entière dans le plan j donc si par le sommet s on mène une parallèle D à la droite donnée B , on sera conduit à construire un plan tangent passant par la droite D , ce qui est précisément le problème 2 précédent.
229. Pboblèmb 4. Mener un plan tangent commun à deux surfaces coniques ayant même sommet. Si les deux surfaces coniques sont données par des directrices à double courbure, ou par des directrices planes, mais non situées dans le môme plan , on les coupera par un même plan P, et l'on considérera les courbures G et C' d'intersection comme les directrices des deux surfaces. Gela posé, le plan tangent doit contenir une génératrice droite de chaque surface et les tangentes aux courbes G et G' aux points où elles sont rencontrées par les génératrices de
contact, mats ces deux tangentes étant Tune et l'autre dans le plan P et dans le plan tangent se confondent en une seule droite intersection de ces deux plans. Il faut donc mener une tangente commune O aux courbes G et G', puis les génératrices 6 et G', qui passent par les points de cootact, et le plan tangent devra cod-tenir ces trois droites.
Si Ton prend les bases ou traces horizontales des surfaces coniques , leur tangente commune sera la trace horizontale du plan tangent.
Si les deux courbes G et G' sont extérieures Tune à l'autre , ou si elles présentent des parties saillantes et des parties rentrantes, il sera généralement possible de leur mener plusieurs tangentes communes, qui détermineront autant de plans tangents communs. Mais si les deux courbes G et G' sont convexes et que Tune d'elles soit intérieure à l'autre, il sera impossible de leur mener une tangente commune, et par suite les deux surfaces coniques proposées n'auront pas de plans tangents communs.
Remarquons en passant que si l'on coupe les deux surfaces coniques par an plan quelconque , les courbes d'intersection présenteront toujours les mêmes circonstances, ce qui est évident.
230. Les plans tangents à un cône droit font tous le même angle avec m plan perpendiculaire à Vaxe du cône. En effet, soient so {fig. 1 76) l'axe, d'un cône droit, perpendiculaire au plan horizontal , et le cercle G base de ce cône sur ce plan ; le plan T tangent le long de la génératrice sa coupe le plan horizontal suivant la tangente 9 au cercle G, mais le rayon oa étant perpendiculaire à 0, l'oblique sa est aussi perpendiculaire à 0 , donc l'angle dièdre formé par le plan T avec le plan horizontal est mesuré par l'angle sao formé par la génératrice de contact sa avec le rayon ao , ou avec le plan du cercle G ; mais toutes les génératrices du cône (en vertu de ce que son axe est perpendiculaire au plan horizontal) font le même angle avec le plan du cercle G, donc aussi tous les plans tangents à ce cône font le même angle avec le plan perpendiculaire à l'axe du cône.
231 . Problème 5. Mener à une surface conique un plan tangent faisant un angle donné avec un plan donné.
Soient s {fig. 1 77) le sommet et B la base ou trace horizontale de la surface conique £ proposée , cherchons Vun plan tangent à la surface conique et faisant avec le plan horizontal un angle a. Gonsidérons un cône droit A ayant son sommet en s et ayant son axe A vertical , et tel que ses génératrices droites fassent avec le plan horizontal l'angle a ; la projection verticale V de la génératrice F du cône A , laquelle sera parallèle au plan vertical , fera avec la ligne de terre l'angle (x, et elle rencontrera te plan horizontal en un point a déterminant le rayon d'à de la base
circulaire on trace horizontale C du côoe A. Tout plan mené par le poiat $ et faisant avec le plan horizontal Tangla a sera tangent à ce cône droit A, donc le plan demandé doit être tangent à la fois à la surface conique proposée S ou (#, B) et an cône droit A ou (s^ C); sa trace H^ sera donc tangente à la fois aux deux bases B et C qu'elle touche aux points p etq, d'où Ton conclut les génératrices de contact G et T; la trace verticale Y^ devra passer par le point i intersection de H* et de LT, et par les traces verticales des deux génératrices de contact ; lorsque ces points sont hors des limites du dessin , on trouve un point 6 de V^ par une horizontale K du plan T et menée par le sommet s , ou par tout autre point de 6 ou F; ou encore par une droite quelconque s'appuyant à la fois sur deux des trois droites H', G et F d^ connues dans le plan T. Dans la figure 177, outre le plan T construit, il en existe trois autres, car les deux bases B et C ont quatre tangentes communes; nous n'en construisons qu'une pour ne pas embarrasser la figure.
S*" Mener à une surface conique un plan tangent faisant avec le plan vertical tm angle |3. On devra considérer un cône droit ayant son sommet en s sommet de la surface conique donnée et ayant son axe perpendiculaire au plan vertical et tel que ses génératrices feront , avec le plan vertical , l'angle ^ ; puis mener on plan tangent commun à ce cône droit et à la surface conique proposée.
S"" Mener à une surface conique un plan tangent faisant un angle y avec un plan dattné P. On devra considérer un cône droit ayant même sommet s que la surface conique proposée et ayant son axe perpendiculaire au pJan P et dont les génératrices feront avec le plan P l'angle y, puis mener un plan tangent commun à ce cône droit et à la surface conique proposée.
232. Si Ton coupe une surface cylindrique (n* 213) par une série de plans paiallèles , les courbes ainsi obtenues sont toutes égales entre elles (c'est-à-dire superposables), et Ton peut concevoir que l'une d'elles engendre la surface en glissant parallèlement à elle-même, de sorte que la surface cylindrique a une infinité de génératrices courbes toutes constantes de forme et de grandeur.
233. Une surface cylindrique est déterminée par ses deux directrices, Tune courbe et l'autre droite ^ c^est^-dire que ces données suffisent pour fixer complètement un point m de la surface, dont on donne une des projections, par exemple, m^. En efiet, par ce point m passe une génératrice droite G de la surface, sa projection verticale G** passe donc par tri" et elle est parallèle à la projection verticale D* de la directrice droite D de la surface ; elle coupe la projection verticale C de la directrice courbe en un point n'', projection verticale du point n d'intersection de C et G; on en conclut la projection horizontale n'^ sur C^, puis G'' menée par »* parall^oment à D^ ; et la projection horizontale m^ doit être sur G^.
On voit par là qu'un point m'' du plan vertical ne peut être la projection verti-
cale d'un point de la sorrace cylindrique , qu antaut qu'il satisfait aux conditions suivantes :
1* Qu'une droite G* menée par ce point paraltèl^nent à ïf rencontre (? en un point »•; 2* que la perpendiculaire abaissée du point «• sur la ligne de terre rencontre C*. Quand ces conditions sont remplies, il y a généralement plusieurs points qui ont la même projection verticale. Il en serait de même si l'on se donnait d'abord la projection horizontale m* et que l'on se proposât de déterminer fn« de manière à ce que le point m de l'espace fût réellement situé sur la face cylindrique.
D'après ce qui précède , on voit qu'une surface cylindrique est écrite graphiquement et d'une manière complète , lorsqu'on se donne les projections de la directrice couii)e et de la droite à laquelle toutes les génératrices droites doivent être parantes (n* 224).
234. Problème 6. Mener un plan tangent à une surface cylindrique par un point pris sur la surface. Le point ne peut être donné que par l'une de ses projections m* ou m* on trouve l'autre projection nf ou m* comme ci-dessus (n* 233) . La surface cylindrique étant développable , le plan tangent au point m est tangent en tous les points de la génératrice droite 6 qui passe par ce point , et par conséquent au point n on G rencontre la directrice courbe G ; le plan tangent doit donc contenir cette génératrice G et la tangente T au point n à la courbe G, Le plan tangent est déterminé par ces deux droites.
Si la directrice courbe C était la base ou trace horizontale de la surface cylindrique, la tangente T à cette base ne serait autre que la trace H' du plan tangent.
235. Problème 7. Mener un plan tangent à une surface cylindrique par un point situé hors de la surface.
Soient une surface cylindriqne donnée par ses deux directrices C et D, et un point m situé hors de la surface; le plan tangent devant contenir une génératrice droite G , si par le point m on mène une parallèle A à cette génératrice G , elle sera tout entière dans le plan tangent T, mais ce plan T contient en outre la tangente €) menée à la directrice courbe C au point où cette courbe est coupée par la génératrice de contact G; les droites A et 6 situées dans un même plan se coupent, donc la droite A rencontre la surface développable lieu des tangentes à la courbe C ; cherchant ce point d'intersection n , et menant par le point n la tangente 0 à la courbe C , pais la génératrice G passant par le point de contact x et nous aurons trois droites A , 6 , G, situées dans le plan tangent T.
Lorsque la courbe C est plane , le lieu de ses tangentes n'est autre que son plan P , et le point n est alors l'intersection de la droite A et du plan P. Mais si la courbe C est à double courbure , la d^rmination du point n serait très-com-
plîquée. Dans ce cas , on peut couper la surface cylindrique par un plan quelconque P, on obtient ainsi une courbe plane K que Ton peut prendre pour direc* trice courbe de la surface ; et plus simplement encore on cherche la trace horizontale ou base de la surface cylindrique, alors le point n est la trace horizontale de la droite A , et la tangente 0 devient la trace horizontale H* du plan. tangent T.
236. Problème 8. Mener un plan tangent à une surface cylindrique parallèlement à une droite donnée.
Si la surface cylindrique est donnée par une directrice à double courbure, on la coupera par un plan P suivant une courbe plane C , que Ton prendra pour di* rectrice de la surface; ou mieux, si les limites de la feuille de dessin le permettent , on construira la base ou trace horizontale de la surface cylindrique donnée. Gela fait , si par un point m quelconque de la droite donnée A on conduit une droite B parallèle aux génératrices droites du cylindre , le plan Q de ces deux droites A et B sera parallèle au plan tangent T demandé , car il contiendra deux droites parallèles à ce plan et non parallèles entre elles ; donc son intersection I avec le plan P sera parallèle à Tintersection 0 des plans P et T ; or cette dernière droite 0 doit évidemment être tangente à la directrice C , donc menant à la courbe G une tangente 0 parallèle à I, puis menant la génératrice droite G appartenant au cylindre , laquelle passe par le point de contact , ces deux droites 0 et G détermineront le plan tangent demandé T.
237. Problème 9. Mener un plan tangent commun à deux surfaces cylindriques ayant une même directrice droite. Si les surfaces cylindriques sont données par des directrices courbes à double courbure , ou par des directrices courbes planes non situées dans le même plan , on les coupera par un plan P suivant des courbes G et G', que Ton prendra pour les directrices courbes des deux surfaces; ce plan P coupera le plan tangent T, suivant une tangente commune aux deux courbes G et G' ; construisant donc cette tangente commune 0 , puis les deux génératrices droites G et G' passant respectivement par les points de contact de 0 avec G et G', on aura trois droites 0, G et G' situées dans le plan tangent demandé T.
238. Problème 10. Construire à une surface cylindrique un plan tangent faisant un angle donné avec un plan donné P. Soit donnée la surface cylindrique par sa base ou trace horizontale B et par sa directrice droite D ; prenons un point s quelconque pour sommet d'une surface conique A de révolution , * dont Taxe soit per* pendiculaire au plan P et dont les génératrices fassent avec ce plan Tangle donné «; par le sommet s menons une droite K parallèle à D , puis par cette droite E un plan Q tangent à la surface conique A ; ce plan , sMl n'est pas tangent à la surface cylindrique , sera parallèle au plan tangent demandé T, donc H"" doit être parallèle à H^ et tangente à la courbe B. On voit que le problème sera possible chaque fois
que la droite K ne percera pas le plan P en dedans do cercle y base de la surface conique de révolution , et dans ce cas il y aura généralement plusieurs solutions.
939.. Problème 1 1 . Construire ut plan tangent commun à deux surfaces coniques ayant une même directrice et des sommets différents. Soient C la directrice courbe gauche et commune aux deux surfaces , s eis^ les deux sommets ; le plan tangent passera par les deux sommets , et par conséquent il contiendra la droite D qui les unit ; il contient en outre une tangente 0 à la courbe G j dont on trouve le point n d'intersection avec D en cherchant Tinterseclion de D avec la surface développable, lieu des tangentes à la courbe G. Gette construction est très-simple quand la courbe G est plane ; dans le cas contraire , on peut couper les surfaces coniques par un plan P, suivant des courbes K et K', chercher Tintersection m de ce plan et de la droite D , et menant de m une tangente à la courbe K ^ on est assuré qu'elle est en même temps tangente à K' ; cette tangente et la droite D déterminent le plan tangent. Il est évident que le problème serait impossible si le point m était intérieur à Tune des courbes K ou K'.
240. Problème 12. Construire un plan tangent commun à deux surfaces cylindriques ayant une même directrice courbe. Le plan tangent devant contenir une génératrice droite de chaque surface ^ si par un point quelconque m on mène des droites A et A' respectivement parallèles aux génératrices droites des deux cylindres donnés , puis le plan P déterminé par ces droites A et A', le plan tangent cherché T sera parallèle au plan P ; on coupera donc les cylindres et le plan P par un plan Q ; on aura sur les cylindres les courbes K et K' et la droite I sera Tintersection des deux plans P et Q ; on mènera aux courbes K et K' une tangente G commune , e comme vérification 0 sera parallèle à la droite I ; puis on mènera les génératrices droites de contact 6 et 6', et Ton aura trois droites du plan tangent demandé T, savoir 6 , 6' et 0.
241 . Problème 13. Construire un plan tangent commun à une surface conique et à une surface cylindrique ayant même directrice courbe. Ge plan doit passer par le sommet s du cône et contenir une droite D menée par ce sommet parallèlement aux génératrices droites du cylindre, Ton rentre donc dans la construction d'un problème déjà résolu (n* 228).
Il est évident que Ton devrait effectuer les mêmes constructions si l'on donnait deux surfaces coniques , ou deux surfaces cylindriques , ou une surface conique et une surface cylindrique ^ qui n'auraient pas de directrice courbe commune , mais dans ce cas le problème est généralement impossible , excepté dans des cas particuliers , qu'il serait facile de concevoir, d'après ce qu'on vient de dire (n^* 239 , 240,241).
242. Probité 4 4. Meaer des^ fions UmgenU parallèles enire eux , à deux surfaces coniques de sùmmels différents. Soient s et s' les aonuoets , B et B' les bases oa traces horizontales des deux surfaces coniques ; concevons les plans tangents T et T' construits et supposons que le c6ue {s\ B') se meuve parallèlement à lui-même jusqu'à ce que son sommet s' vienne cc^cider avec le sommet s du cône (« , B) ; à ce moment les plans tangents et parallèles entre eux T et T coïncideront. Si donc nous construisons la base ou trace horizontale B" du cône {s\ B') dans sa nouvelle position 9 ce qui se fera facilement en menant par le sommet s des parallèles aux diverses génératrices de ce cône j il restera à mener un plan tangent T commun aux deux cônes (« , B) et {sj B") qui ont un même sommet (n** 228) , puis à me* ner par le somo^t s' un plan T parallèle à œ plan T.
On voit qu'il y aura autant de solutions qu'il existera de tangentes communes aux deux bases B et B'' ; si Tune de ces courbes est enveloppée par l'autre , il sera impossible de mener des plans tangents , parallèles t»itre eux y aux deux surfaces coniques (s , B) et (s\ li!) , à moins cepœdant que les courbes B et B" ne présentent des parties saillantes et des parties rentrantes , auquel cas elles pourraient encore avoir quelques tangentes communes.
243. Problème 45. Mener deux plans tangents y parallèles entre eux, à une surface cmique et à une surjace cylindrique. Un plan tangent T' à la surface cylindrique devant contenir une génératrice droite de c^te surface^ si par le sommet s de la surface coniqiie on mène une droite D parallèle aux génératrices de la surface cylindrique , elle doit être entièrement située dams le plan tangent T qui doit être parallèle à T' ; on est donc conduit à mener par cette droite D un plan tangent T à la surface conique , puis un plan T' tangrat à la surfoee cylindrique et parallèlement au plan T (n' 236).
244. PawLàifS 46. Mener des pUms tangents ^ parallèles enlre eux^ à deux sur* faces cylindriques. Un plan tangent T à la première surface doit contenir une génératrice droite G de cette surface ; un plan tangent T' à la seconde surface doit contenir une génératrice droite G' de ostte surface ; Â dooe par un point quiconque m de l'espace on &it passer deux droites D et D' respectivement parallèles à ces génératrices G et G' et un plan P par ces deux droites D et D', il n'y aura plus qu'à mener des plans respectivement tangents aux surfaces proposées et qui soient parallèles à ce plan P.
24&. PAOBLÉaiB 47. Mener une normale eomname àdanx swtfaees camquesj ou à une surface conique et à une suffixe cylmériqm , on enfin à deux surfaces cylindriques. Une normale à une surÊK» en un point m de cette surface est perpendicalaire an plan tangent à la svface en ce point ; une normale commune à deux surfaces en des points m et n respectivement situés sur ces surfaces , est perpendiculaire à la
fois aox plans tangents menés aux deux surfaces en ces points m et n , donc ces plans tangents sont parallèles ; pour résoudre le problème actuel , il faut donc construire les plans tangente ^ parallèles entre eux , aux deux surfaces proposées (n** 242, 243 , 244), trouver les génératrices droites de contact, et la droite qui mesure la plus courte dislance de ces deux génératrices de contact (n* 1 37) est la normale commune demandée.
245 bis. Lorsque nous considérons le plan tangent T à une surface conique (s, C), dont le point s est le sommet et la courbe G la directrice , et que nous disons : le plan T est tangent au cône suivant une génératrice droite G de la surface, nous employons une expression particulière pour abréger le discours ; car si nous concevons la droite G , elle coupe la courbe C en un point m , et si en ce point m nous menons la tangente O à la courbe G , le plan T est déterminé par les droites G et 0 ; or la tangente 0 contient les deux points successifs m el m' de la courbe G , dès lors le plan T contient les deux génératrices successives G et G' du cône , la première passant par le point m, et la seconde passant par le point tn, de telle sorte qu'en réalité le contact n'est pas une seule droite G (entre le cône et son plan tangent), mais bien deux droites successives G et G', ou en d'autres termes l'élément superficiel et angulaire compris entre les deux droites successives G et G'.
Il en est évidemment de même pour une surface cylindrique , son plan tangent contient aussi deux de ses génératrices droites successives ; mais pour abréger le discours , nous disons la droite de contact au lieu de dire l'élément superfidel commun au cylindre et à son plan tangent.
Lorsque deux cônes 1 et 2' ont une génératrice commune G , et leurs sommets s et. s situés sur cette droite G , si on les coupe par un plan P on obtient deux courbes G et G' ayant en commun le point m en lequel la droite G est coupée par le plan P.
Si les deux courbes G et G' se croisent au point m , les deux cônes £ et £' s'entrecoupent suivant la droite G , mais si les deux courbes G et G' ont une tangente commune 0 au point m , alors les deux cônes S et £' sont tangents l'un à l'autre suivant la droite G, c'est-à-dire qu'ils ont un plan tangent commun T déterminé par les droites G et 0.
Mais la droite 0 ayant en commun avec les courbes G et G", les deux points successifs m et m'i il s'ensuit que le plan T a en commun avec le cône £ les deux droites successives («, m) ou G et («, m'), et que le plan T a en commun avec le cône S' les deux droites successives («', m) ou G et {s\ m').
De sorte que l'élément superficiel de contact du cône £ et de son plan tangent T, n'est pas le même que Télément superficiel de contact du cône l! et de ce même plan T; en d'autres termes, les deux cônes £ et £' n'ont pas en commun
deux géDératrices droites successives, mais seolement en commun une partie des deux éléments superficiels formant leur contact avec le plan T. Tandis que» lorsque deux cylindres sont en contact suivaut une génératrice droite G, ils ont toujoars en commun deux génératrices successives G et G'«
On pent rendre compte de ce qui se passe entre deux cônes et deux cylindres tangents entre eux suivant une génératrice droite , de la manière suivante :
V Un plan peut être engendré par une droite passant par un point fixe, et s*appuyant dans son mouvement sur une droite; dans ce cas le [dan a le même mode de généra tion que le cône.
i!" Un plan peut être engendré par une droite se mouvant parallèlement à ellemême en s'appuyant sur une droite; dans ce cas, le plan a le même mode de génération que le cylindre.
Or, lorsque Ton considère on cône et son plan tangent suivant la génératrice G, QB. peut supposer le plan engendré par la droite G passant par le sommet s du càae, €& se mouvant sur la tangente @ à la directrice courba G de ce cône; les éeax surfiM^es, cône et plan, ont donc le même mode de génération*
Maïs si Ton a deux câaes £ et £' tangents entre eux suivant une droite G , et ayant des sommets différents s et s' situés sur le plan T tangent au cône H suivant G , ce plan T devra être considéré comme engendré par la droite G , s'appuyant anr la tangente 0 à la coorbe G en passant toujours par le point «, et ce même plan T comme tangent au cône £' devra être considéré comme engendré par la même droite G s'appuyant sur la même droite O tangente à la courbe G' (prâqoe les courbes G et C' sont par hypothèse tangentes Tune à F autre), osais en passant constamment non pkis par le sommet «, mais au contraire par le somme! s\
En sorte que le plan T n'a pins le même mode de génération lorsqu'on le considère comme tangent d'abord am cône S et ensuite au cône S'.
Les éléments superficie!» de contact ne sont identiquement les mêmes que pour deux surfaces ayant identiquement le même mode de génération, ainsi pour deux cônes ayant nuème soounet ou deux cylindres ayant leurs génératrices droites parallèles (*).
(♦) Voyez dans le chapitre VII de l'ouvrage ayant pour titre : Développements de géométrie descriptive , les paragraphes d^nB lesquels j'ai exposé les divers* modes de géfiération ées surfaces.
