DES SURFACES ENVELOPPES

246. Une surface S est en général engendrée par le mouvement continu d'une ligne G droite ou courbe (n** 202) ; elle est alors dite le lieu géométrique des positions successives occupées dans l'espace par la ligne mobile G , et cette ligne est dite génératrice de la surface S. La génératrice y dans son mouvement , quitte Tune de ses positkms G pour venir instantanément en occuper une autre G', de sorte qu'en vertu de la loi de son mouvement ou du mode de génération de la surface H, il est impossible de placer sur cette surfece une position de la génératrice entre les deux G et G', ces deux génératrices sont dites , par cette raison , générar trices successives ^ elles comprennent entre elles une portion de la surface S qui est infiniment petite dans le sens du mouvement de la génératrice G. La surface se trouverait ainsi décomposée en une infinité d'éléments superficiels infiniment petits dans un sens. Mais en changeant le mode de génération de la surface, ou , ce qui revient au même , la loi du mouvement de sa génératrice , la surface se trouvera décomposée en un autre système d'éléments superficiels dont chacun sera également compris par deux positions successives de la génératrice dans ce nouveau mode de génération.

247. Au lieu d'engendrer ainsi la surface par le mouvement d^une ligne géométrique, on peut concevoir une surface S se mouvant également d'une manière continue, de sorte que cette surface quittera l'une de ses positions S pour venir instantanément en occuper une autre S', de sorte que S et S' sont deux positions successives de la suiface mobile , puisqu'on vertu de la loi de son moTïvement il n'y a pas de position de cette surface comprise entre les deux S et S'. Si nous considérons S et S' , non plus comme deux positions différentes d'une surface mobile , mffls bien commte étant deux surfaces distinctes , qui peuvent être ou n'être pas itientiques, ces deux surfaces se couperont suivant mie ligne €• Cotwîdérant une

troisième position S'" de la surface mobile, les surfaces S' et S" se couperont suivant une courbe C; en continuant de la même manière on déterminera une sériede courbes

C, C, C" Je dis que deux de ces courbes C et C consécutives sont telles

qu'on ne peut pas entre elles en placer une troisième en vertu de la loi par laquelle elles ont été produites; en effet cette troisième courbe C, , si elle existait, ne pourrait provenir que de Tintersection de Tune des surfaces S, S', S" avec une surface comprise entre S et S', ou entre S' et S", ce qui est impossible , en vertu de la loi du mouvement de la surface S , donc cette courbe G^. n'existe pas. On voit dès lors

que C, C, C" peuvent être considérées comme les positions successives d'une

courbe G, qui par son mouvement engendre une surface £. Gette surface serait le lieu géométrique des positions de la génératrice G j mais comme ce mode de génération n'est obtenu qu'à posteriori, et que la surface S est réellement engen*drée par le mouvement de la surface S , on dit que cette surface £ est Venveloppe des positions successivement occupées dans l'espace par la surface mobile S , et les surfaces S, S', S''.... qui ne sont que la surface S à divers instants de son mouvement, sont dites les enveloppées de la surface S. Les enveloppées successives se

coupent suivant les courbes G, G', G" que l'on nomme caractéristiques de la

surface enveloppe S. Enfin les caractéristiques successives se coupent en des points évidemment successifs en vertu de la loi qui les détermine , et forment , par conséquent, une couche F, qui est Varête de rebroussement de la surface S (n* 212), et à laquelle toutes les caractéristiques sont tangentes.

248. Venveloppe £ est tangente à une enveloppée quelconque S' en tous les points de la caractéristique G , intersection de cette enveloppée & et de l'enveloppée précédente S. En effet la caractéristique G intersection de S et S', et la caractéristique G' intersection de S' et S", sont deux courbes situées à la fois sur les deux surfaces S et S' ; si par un point m quelconque de G , on fait passer un plan sécant P, ce plan coupera G' en un point rn infiniment voisin de m et les deux points m et m' seront deux points successifs communs à la courbe K intersection du plan P et de l'enveloppe E , et à la courbe K' intersection du plan P et de l'enveloppée S', de sorte que ces deux courbes E et E' auront même tangente 0 au point m. Gela posé , le plan tangent en m à l'enveloppe £ est déterminé par les tangentes T et 0 aux courbes tracées G et E sur cette surface, le plan tangent en m à l'enveloppée S' est déterminé par les tangentes T et 0 aux courbes G et E' tracées sur cette surface ; donc le plan de ces deux droites T et 0 est tangent à la fois à l'enveloppe S et à l'enveloppée S' ; il en serait de même pour tout autre point de la caractéristique G , ce qui démontre le théorème énoncé.

11 résulte de ce théorème que si Ton veut mener un plan tangent à une surface que l'on puisse considérer comme l'enveloppée d'une autre surface à laquelle on

sache déjà meoer le plan tangent, on remplacera la sur&ice proposée par son enveloppée et Ton mènera le plan tangent à cette dernière surface.

249. L'on peut considérer deux modes principaux de mouvement, soit de la génératrice , soit de Tenveloppée qui engendre la surface £.

1 "^ La génératrice courbe 6 peut conserver identiquement la même forme , et se mouvoir parallèlement à elle-même de manière que Tun de ses points m parcoure une courbe donnée D, que Ton nommera la directrice du mouvement. Par ces mots se mouvoir parallèlement à elle-même on doit entendre que dans un instant infiniment petit, chaque point de la courbe 6 décrit une ligne droite infiniment petite, les lignes étant toutes égales entre elles et leurs directions parallèles; ainsi le point m décrit Télément rectiligne infiniment petit mm de la courbe D; il en sera de même de tous les autres pointe de la courbe génératrice G; en continuant à faire mouvoir celte génératrice, on trouvera que tous ses points décrivent des courbes identiques à la directrice D. En passant de la position G à la position successive G', tous les points de la génératrice G ont décrit des droites égales et parallèles, qui prolongées forment une surface cylindrique; de même en passant de la position G' à la position G", tous les points de la génératrice décrivent des droites égales, qui prolongées forment une seconde surface cylindrique , qui peut n*être pas ideutiq ue à la précédente , car les éléments mm' et m'm" de la directrice D peuvent fort bien n'être pas également inclinés sur G et G'; de sorte qu'après avoir superposé ces deux courbes, les génératrices des deux surfaces cylindriques ne coïncideraient pas, mais la surface cylindrique correspondant à une position quelconque G' de la génératrice G sera déterminée par cette courbe G' et la tangente D an point m', position actuellement occupée par le point m. Toutes les surfaces cylindriques ainsi formées se coupent successivement suivant les diverses génératrices G', G", elles sont les enveloppées de la surface £, que Ton pourrait par conséquent engendrer par une surface cylindrique se mouvant de manière à ce que ses génératrices soient parallèles successivement aux tangentes de la directrice D , et que toutes ses caractéristiques soient des courbes identiques et parallèles. Au lieu de considérer ces surfaces cylindriques on pourrait prendre des enveloppées de toute autre nature, pourvu qu'elles satisfassent aux mêmes conditions , mais il est essentiel de remarquer que toute surface ne peut pas être prise comme génératrice d'une surface donnée, tout en lui assignant une loi de mouvement convenable , car il faut que les courbes intersections des enveloppées puissent être placées sur la surface enveloppe.

3* La génératrice G peut rester semblable à elle-même et se mouvoir de manière que deux génératrices successives soient semblablement placées ^itre elles, un lK>int m de la courbe G parcourant une courbe directrice donnée D, Deux généra •

triées sBccêBsives 6 6t G" étant èextx coirrbes semblables et semblablement placées déterminent une surface conique comme nous te rerrons pins loin {Théorie de h, sifniikude) y dont le sommet serait à fintersection de la tangente menée en m à D et de la tangente menée en n à une autre courbe D' décrite par un second point ft de G. De même G' et G" déterminent une autre surface conique ayant son sommet à rintersection des tangentes en m' et en n' aux courbes D et D', et ainsi de suite. On voit donc qu'on peut toujours se donner les deux directrices D et D' servant à diriger le mouvement de la génératrice courbe G , avec la condition que cette cowrbe génératrice G reste semblable à elle-même et que la surface S sera complètement déterminée , si les courbes D et D' satisfont à la condition de pouvoir être situées sur une même surface cylindrique. Les surfaces coniques que nous venons de considérer sont encore les enveloppées de la surface 1 , et dans ce mode de génération les courbes 6, G', G", • en sont les caractéristiques. Dans ce cas

encore l'on peut substituer aux surfaces coniques d'autres enveloppées, pourvu qu'elles satisfassent à te condition de se couper suivant des courbes que l'on puisse placer sur la surface enveloppe S (*).

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