CHAPITRE IV
DBS 6URFàGE.S DE nÉrVOLimOll.
Constmciion du plan tangent.
aSO. Une mapce de révolution est une snrfoce engendrée par une ligne quelconque à simple ou à double courbure {plane ou gauche) , toornant atrtour d^une droite qu'on nomme axe de raiaikm ou axe de révolution de la surface.
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*) Voyez oaDS l'ouvrage qui a pour titre : Développements de géométrie descriptive^ le chapitre Vil \etu\et4 tftfi traite Uei iftfMmera petits en géométrie descriptive.
Dans cette rotatioa cha(;iue pomt à» la ligoe mobile décrit une circonférence de cercle, dont le plan est perpendiculaire à Taxe et dont le centre est sur Vaxe même, de sorte que Tod peut considérer comme caractère distinctif des surfaces de révolution d'être coupées suivant des cercles pai' des plans perpendiculaires à Taxe qui est le lieu des centres de tous ces cercles.
Parmi les surfaces de révolution , il faut remarqtier : 4"" /a surface conique engendrée par le mouvement d'une droite qui rencontre l'axe; 2'' la surface cylindrique engendrée par une droite parallèle à l'axe; S"" Ut surface sphérique engendrée par une circonférence de cercle tournant autour d'un de ses diamètres; 1° enfin nous aurons à étudier avec détail la surface engendrée par une droite tournant autour d'un axe non situé dans un même plan avec elle ;. on la détigae sous le nom de surface gauche de révolution , ou sous celui d' hifperbabïde de réviolutàon à une nappe.
La ligne quelconque , qui par son mouvement autour d'un axe. engendre une surface de révolution , est dite générairiee de la surface^
Tout plan conduit par Taxe de la surface porte le nom de plan méridien , et la courbe intersection de la surface par ce plan est dite courbe méridienne. Il est évident que toutes les méridieunes sont égales , car on peut les prendre pour génératrices de la surface, et alors daix méridiennes ne seront que deux positions différentes d'une même génératrice.
Les cercles , intersections d'une surface de révolution par des plans perpendiculaires à Taxe, sont dits les parallèles de la surface. Les parallèles d'une surface de révolution ne sont pas égaux entre eux , excepté pour la surface cylindrii}ue de révolution.
251 . Par un point m quelconque d'une surface de révolution S passent toujours une méridienne et un parallèle, si l'on mène des tangentes à ces deux courbes , elles seront dans un même plan , qui est le plan tangent à la surface £ au point t?u
Le plan tangent est perpendiculaire au plan méridien qui passe par le point de cou" tacU En effet soient A (/gr. 4 78) l'axe et M la méridienne d'une surface de révolution 9 considérant un point m de la courbe M et le parallèle G qui passe par ce point, le plan tangent en m contiendra la tangente T à la méridienne M et la tangente 0 au parallèle G ; les plans du parallèle G et de la méridienne M sont perpendiculaires entre eux, donc la tangente 0 qui est perpendiculaire à l'intersection de ces deux plans est aussi perpendiculaire au plan méridien \ il en est donc de même du plan tangent.
352. La tangente T étant dans le plan méridien rencontre Vaxe A en un point s , ei m l'on suppose que cette tangente T tourne autour de l'axe A en même temps <|Qe la méridienne M , elle engendrera un cône de révolution A ^ ayant avec la sur-
face £ (engendrée par la courbe M) le parallèle C de commun , je dis que ces deux surfaces A et 2 sont tangentes tout le long de ce parallèle. En effet pour un autre point quelconque n de ce parallèle G, le plan tangent à la surface de révolution £ contiendra la tangente 6' au parallèle G et la tangente à la méridienne M' passant par ce point n, tangente qui ne sera autre que la position T' qu'est venue prendre la droite T, en passant du point m au point n; or, ces deux droites Q' et T' déterminent aussi le plan tangent à la surface conique pour le point n; les deux surfaces A et £ sont donc tangentes en n, et par suite en tous les points du parallèle C.
253. Si par le point m on mène une normale N à la surface £, elle sera dans le plan méridien (n* 247), elle rencontrera donc Taxe  en un point s\ qui sera le sommet d'une surface conique de révolution ayant le parallèle G de commun avec la surface engendrée par la courbe M; il est évident que toute autre position N' de cette droite N sera encore normale à la surface S , Ton dit par cette raison que la surface conique engendrée par la normale N est normale à la surface engendrée par la courbe méridienne M et qu'elle lui est normale en tons les points du parallèle C.
254. Une surface de révolution admet six modes différents de génération , que Ton peut classer en deux séries de la manière suivante : 1 "^ Trois modes par le mouvement continu d'ane ligne j dont la surface de révolution sera le lieu géométrique, et trois modes par le mouvement continu d'une surface y dont la surface de révolution serait l'enveloppe ; 2* trois modes par le mouvement de rotation d'une courbe ou d*one surface autour de Taxe, et trois modes par le mouvement de transtalion d'une courbe ou d'une surface le long de l'axe.
Premier mode. Une ligne quelconque à simple ou à double courbure tournant autour de l'axe engendre la surface de révolution; on lui donne le nom de génératrice de la surface. Il est évident que pour engendrer une surface donnée , on pourra prendre une courbe quelconque tracée sur cette surface, pourvu toutefois que cette courbe rencontre tous les parallèles de la surface, lesquels doivent être reproduits par la rotation des divers points de la génératrice autour de l'axe.
Deuxième mode. La génératrice peut être une ligne plane située dans un même plan avec Taxe, c'est-ànlire une méridienne de la surface de révolution.
Troisième mode. On peut encore engendrer la surface par sa méridienne, en ne la donnant pas directement comme dans le mode précédent, mais en la faisant naître par l'intersection de deux surfaces. En effet par tous les points d'une méridienne M concevons des perpendiculaires à son plan, elles seront toutes parallèles entre elles et formeront une surface cylindrique S, mais chaque génératrice
droite G de cette surface cylindrique sera tangente à un parallèle P et au point x de ce parallèle en lequel il est coupé par la méridienne M , donc cette génératrice G passe par le point a! successif de x , les points x et a:' appartenant au parallèle P ; mais la série des points a;' ainsi obtenus forme évidemment une méridienne M' successive de M, laquelle est également contenue tout entière sur la surface cylindrique S. Si maintenant on opère par rapport à la méridienne M' comme on vient de le faire par rapport à la méridienne M , c'est-à-dire, si par tous les points de M' on élève des perpendiculaires à son plan , ces perpendiculaires forment une surface cylindrique S' identique à la précédente S et sur laquelle seront deux méridiennes successives M' et M", les deux surfaces cylindriques S et S' se coupent donc suivant la méridienne M'. En construisant une troisième surface cylindrique S" sur M", cette nouvelle surface coupera la précédente 2' suivant la méridienne M'', et ainsi de suite. Or toutes les surfaces cylindriques ainsi construites étant identiques , on voit que si , après avoir construit Tune d'elles , on la fait tourner autour de l'axe, elle occupera une série de positions telles que deux positions successives se couperont toujours suivant une méridienne de la surface de révolution , et par conséquent cette surface de révolution sera l'enveloppe des positions successives occupées par la surface cylindrique mobile.
Quatrième mode. Si l'on fait mouvoir un cercle de manière que son cenlr^ parcoure Taxe, que son plan reste perpendiculaire à cet axe et que son rayon varie comme les ordonnées de la méridienne rapportée à l'axe, dans chacune de ses positions il représentera un parallèle de la surface de révolution et par conséquent ce cercle mobile engendrera la surface de révolution.
Gnquième mode. Au lieu de se donner ainsi les divers parallèles on peut les engendrer par dés intersections successives de surfaces. Si par exemple en un point m de la méridienne M on mène la tangente T à cette méridienne (fig. 178) elle rencontrera l'axe en un point s sommet d'un cône de révolution A ayant pour génératrice T, mais cette tangente T contient les deux points successifs m et m' de M , lesquels décriront deux parallèles successifs G et G' communs à la surface de révolution et à la surface conique A (la figure ne montre que le parallèle G décrit par le point m) ; si maintenant on mène la tangente' T' à la courbe M au point m', elle passera aussi par le point suivant m" et elle sera la génératrice droite d'une surface conique A' ayant deux parallèles G' et G" communs avec la surface de révolution; ces deux surfaces coniques A et A' se coupent précisément suivant le parallèle G' de la surface de révolution; une troisième surface conique A", successive de A' et construite de la même manière, couperait la seconde surface coniane A' suivant le parallèle G", et ainsi de suite. Donc en faisant mouvoir dans t'espace une surface conique de révolution de telle manière qu'elle ait toujours pour axe la
