PARTU

droite A et que l'une de ses génératrices droites soit toujours tangente à la méridienne M 9 les intersections de ses positions successives engendreront la surface de révolution.

Sixième mode. Si au point m de la noéridienne M , on mène une normale , elle ira rencontrer Taxe A en un point «', et si de ce point comme centre et avec s m pour rayon, on décrit un cercle K {que nous n'avons pas tracé sur la figure) ce cercle sera situé dans le plan méridien donnant la méridienne M et sera tangent à cette courbe M. Il contiendra par conséquent le point m et le point successif m de cette courbe M, et en tournant autour de Taxe A, ce cercle K engendrera une sphère II ayant en commun avec la suiface de révolution engendrée par M les deux parallèles G et C décrits par les points m et ni. En opérant de même par rapport au point m'y c'est-à-dire élevant une normale par ce point m' à la courbe M, laquelle normale ira rencontrer Taxe A^en un poin W qui sera le centre d'une seconde sphère II' ayant en commun avec la surface de révolution les parallèles Cet G", de sorte que les deux sphères n et n' se couperont suivant le parallèle G' j une troisième sphère II" construite de la même manière coupera la seconde sphère n' suivant le parallèle G", et ainsi de suite ; de sorte que la surface de révolution peut être considérée comme le lieu des intersections successives d'une sphère mobile dont le centœ parcourt Taxe A et dont le rayon est toujours égal à la normale abaissée des divers points de Taxe sur la méridienne M.

25 S. Problèmb i. Étant donnée une des deux projections d'un point dune surface de révolution j trouver ia seconde projection de ce point. Par des changements de plans , on peut toujours se ramener au cas où Taxe de la surface est vertical et où le plan vertical de projection est parallèle au plan de la méridienne donnée (lorsque la surface est donnée par une méridienne) .

Gela posé :

\ "" Soit la surface donnée par l'axe vertical A {^fig. 1 79) et par la méridienne G située dans le plan méridien M parallèle au plan vertical de projection.

Gonnaissant la projection ni" d'un point m de la surface, pour trouver sa projection verticale nC remarquons que par ce point m passe un parallèle A dont le rayon R est donné en véxitable grandeur par A^m'^j ce parallèle A raicontre la méridienne G en un point n , dont la projection n^ est à l'intersection de A'^ et de G^, OQ en conclut »^, par suite A^ et enfin m*'. Si l'on donnait m*', on tracerait la droite A*" parallèle à la ligne de terre LT et rencontrant G'' en n% on en déduirait n'^, par suite A'^ et enfin nJ". Il est évident qu'à la même projection m^ ou m" peuvent correspondre plusieurs projections nf ou m^ différentes, car dans la figure 1 78, par exemple, la perpendiculaire abaissée du point n* sur LT rencontre G" en deux points, que l'on peut prendre inditféremment pour n*'; on aurait donc deux droites, représen^

tant rooe oa Tautre A'^, et enfin on aurait deux point» qui seraient également m*" et il est évident que Ton pourrait avoir sur la surface de révolution un plus grand nombre de points, ayant tous la même projection horizontale tn^. Si Ton donne m* la droite A*' peut rencontrer C** en plusieurs points qui tous étant projetés rar C fe« ront connaître les rayons d'autant de parallèles sur lesquels on peut supposer que le point m se trouve situé; ^isuite, ayant , pour chacun de ces parallèles, construit la projection horizontale A^^ la perpendiculaire abaissée de m^ sur LI rencontrera cette projection A'^ en deux points syméfariquement placés par rapport à H'' ; le plan M étant vertical ^ il en résulte que les deux pQuitft du parallèle A qui se projettent au même point nf sont symétriquement placés par rapport à ce plan méridien ; donc le plan méridien parallèle au plan vertical divise la surface de révolution en deux parties symétriques , et comme tout plan méridien peut être amené dans cette position par un changement de plan vertical de projectiou, nous pouvons énoncer cette propriété générale : Tout plan méridien dvne surface de révolution divise la surface en deux parties symétriques.

Il en résulte aussi qu'un plan méridien divise en deux parties égaler toutes les cordes de la surface qui lui sont perpendiculaires. Et si Ton remarque que les directions de ces cordes sont aussi perpendiculaires à la direction de Vame de révo* lution y on pourra énoncer le théorème précédent de la manière suivante : les nûlieux de tout loi système de cordes parallèles entre elles et dirigées perpendiculairement à l'axe de révolution , sont sur tui plan méridien de la surface de révoluti<m.

%"" Soit la surface donnée par Taxe vertical A (^fj^. 480) et une génératrice quelconque C non située dans un plan méridien.

Connaissant la projectioa ni^ d'un point m de la surface , on en conclura la projection m." en remarquant que ce point est situé sur un parallèle A, rencontrant la courbe G en un point ». Les constructions se lisent facilement sur la figure. On voit de même comment de m" on conclura m^.

Dans ce cas, comme dans le précédent, à la même projection horizontale peuvent correspondre plusieurs projections verticales, et réciproquement;, c'est-àdire que plusieurs points de la surface peuvent avoir une même projection horizontale,, et que plusieurs points de la surface peuvent avoir aussi même projection verticale; ainsi les premiers seront situés sur une même perpendiculaire au plan horizontal^ et les seconds soc une même perpendiculaire au plan vertical de projectioa.

256. PaoBLàKE 2. Par un point dHune surface de révolution mener wi plan tangent à cette surface. Le point de contact m étant donné par une da ses projections m^^ on cherchera d'abord la seconde projection m'' (n^ ââl) {fig. 179 ei 18Q) de ce point m en vertu de ce qnil doit être réellement sur la surface, puis le plan tan-