THÉORIE GÉNÉRALE DE LA SIMILITUDE

De la simWitude , directe et inverse , des polygones et des courbes.

258. Les propriétés de la similitude des triangles ôtaiàt supposées coaaues par les éléments de géométrie , nous pourrons établir le théorème suivant :

iSt deux pùlyganes plmis sitmé^ dwm ma même pUmi &ui doM des. plans parallèles ou deux polygomeê gaucbeê oni leurs côtés paraUèles eu pr^porûotmeU , les droites qui unissent leurs sommets homologues ceneoureni en un même point. Dans deux, polygones semblables^, on nomme sommets homolagues les sommets des angles égaux ; côtés homologues^, ceux qui unissent des somaietâ homologues; points homologues, les poiuts dont les distaficea aux sommets homologues sont proportionnelles; enfin droites homologues, les droites qui unissent des points homologues. Cela posé : les droites (fig. 181) aa', bb\ se coupant au point o, il faut prouver que cc^ passe aussi par ce point ; or : les triangles semblables abo , c^b'd donnent ab : ab' ::bo:b'o; nommant pour un instant o' le point de concours de bb' et ce, les triangles semblables bco\ b'c'o' donnent bc : b'c' :ibo' : b'o' ; mais on a afr : db' :: bc : b'c ; donc bo :b'o:: bo' : 6V ; d'où bo — b'o : bo : : bd — b'o' : bo' ; or : bo — *'o^= bo' — b'o'=bb'\ donc bo=bo'i donc les points o et d coïncident; donc ce' passe

par le point o. On démontrera de même que toutes les autres droites dd\

passent par ce même point o. Les polygones abcd et db'dd' sont donc semblables et semblablement placés , le point o étant leur centre ou pôle commun de similitude.

Dans cette figure le pôle commun est au delà des deux polygones , si les polygones sont situés sur un même plan et au delà des plans des polygones , si ces

polygones sont sitaés sur des plans parallèles ; on dit alors qae ces polygones sont directement semblables et le point o peut être nommé pôle externe de similitude. Les droites oa, oby...... sont dites rwjons vecteurs des sommets ou points du polygone abcd 9 et les droites oa', ob\ sont dites rayons vecteurs des sommets

ou points homologues du polygone ab'c'd' , et l'on voit que dans ce cas les

rayons vecteurs homologues sont sur une même droite et dirigés du même côté

du pôle commun o. Si ron fait glisser le polygone ab'cd' parallèlement à

Inî-méme de uiaoïière que le sommet a' vienne coïncider avec son homologue a , les côtés a'b' et ad[ viendront se placer sur les côtés homologues ab et ad y et en général toute droite partant du point a' viendra se placer sur son homologue ,

et le point a sera le pôle commun de similitude des deux polygones abcd

et a'b"c'd" (le polygone a"b"c"d!' étant la nouvelle position du polygone dVc'di ).

259. Mais il peut arriver que les droites aà^ bb\ ce' {jig. 482) , qui unissent

les points homologues des deux systèmes abcd ab'c'd' se croisent en un

point 0 compris entre les deux polygones et que par cette raison nous pourrons nommer pôle interne de similitude , on dit alors que les deux polygones sont inversèment semblables. Dans ce cas les rayons vecteurs homologues sont encore en ligne droite, mais dirigés de part et d'autre du point o et par conséquent sur le prolon*

gement Tun de l'autre. Si Ton fait glisser le polygone a'b'c'd\ parallèlement

à lui-même jusqu'à ce que le sommet a' vienne coïncider avec son homologue a^ les oôlés a'b' et a'e' viendront se placer sur le prolongement de leurs homologues ab ei ae^ et en général toute droite menée du point •«r' viendra se placer sur le pro* longement de son homologue; et le pointa sera alors le pôle interne de similitude des deux polygones.

260. Deux polygones semblables et semblablement placés n'ont en général qu'un pôle commun de similitude externe ou interne; mais dans quelques cas chaque sommet de l'un des polygones peut être considéré indifféremment comme l'homologue de deux sommets différents de l'autre polygone ; alors les deux polygones ont dejrx pôles communs de similitude, l'un externe o {fig. 183), l'autre interne o\ Mais dans ce cas , la droite a'b' ou d V étant indifféremment l'homologue de ab et de de , ces deux côtés sont parallèles; il en est de même de bc et efj de cd et fa. Donc les angles a et rf, bet e,c et /sont égaux. Je dis de plus que les diagonales qui unissent les sommets des angles égaux se coupent en un même point et que ce point divise chacune d'elles en deux parties égales ; en effet ab et ed étant parallèles sont dans un même plan,. donc les diagonales homologues a'd' et b'e ou a'b" et b"e' se coupent en un point p' homologue de p , soit que Ton considère le polygone ab'c'd^e'f directement semblable au polygone ^àcdef ou te

polygone a b c d e f inversement semblable au môme polygone abcdef; on aura donc les rapports égaux

ap : pd : : a'p' : p'd' : : ay : p'd' d'où a'p' + af'p' : p'd' + p'd" : : ap : pd

maAsap +a!'p'=pd' + p'd"^=:a'd\ donc ap^npd; on démontrera de même que le point p est le milieu de be; puis les côtés bc et ^/ étant parallèles sont dans un même plan et par suite les diagonales be et cf se coupent, et comme on verrait encore qu'elles doivent se couper en deux parties égales , elles se couperont au point p. Le point p est dit le centre du polygone abcdef et par la même raison p est le centre de l'autre polygone ab'cd'e'f. La démonstration ci-dessus montre encore que les quatre points p^ p\ o^ o sont sur une même droite, car p et p étant deux points homologues des polygones semblables abcdef et olb'cd'ef^ la droite p/p passe par le pôle externe de similitude o de ces deux polygones; de même ces points p et p étant des points homologues dans les polygones abcdef et d'b"c'd['e"f'j la droite pp* passe par leur pôle interne de similitude o\

261 . Par le pôle commun de similitude o (fig. i81 et 182) de deux polygones semblables et semblablement placés , situés dans un même plan ou dans des plans

parallèles, menons une droite quelconque D, joignons un point quelconque p de

cette droite avec tous les sommets de Tun des polygones abc , menons par le

sommet a' du second polygone (ce sommet a' étant l'homologue du sommet a du premier polygone) une droite a'p' parallèle à ap et coupant dès lors la droite D en un point p ; et joignons ce point p' aux autres sommets du second polygone; je dis que les droites qui unissent les points p et p' à deux sommets et en général à deux points homologues, sont parallèles. En effet ap et ap' sont parallèles par construction , donc les triangles semblables aop , a'op' donnent

ao : a'o ::po: p'o mais ao:a'o::ho: b'o donc bo :b'o::po: p'o

donc pb et b'p sont parallèles; on démontrera de même que q) et cp', dp et d'p'

sont parallèles. De plus les distances des points p et p aux sommets homologues sont proportionnelles, car les triangles semblables abpy a'b^p' donnent api a'p' :: bp : b'p\ de même les triangles semblables frcp, b'c'p donnent bp : b'p :: cp : c'p' et ainsi de suite ; donc

ap : a'p' ::bp: b'p' : : cp : tfp' ::dp: ip' ::

La droite D est dite axe de HmilUude des deux polygones , et les points p et p sont des pâles conjugués de similitude.

Ces deux pôles sont situés da même côté da point o , quand ce point est un pôle de similitude externe {fig. 181); ils sont Tun d'un côté et l'autre de Tautre côté, lorsque le point o est un pôle de similitude interne. Dans le cas où les deux polygones ont deux pôles communs de similitude {fig. 1 83) , toute droite menée par Tun des points o ou o' est un axe de similitude et les pôles conjugués sont placés sur chacun de ces axes comme dans les cas précédents. La droite oo' qui unit les deux pôles est à la fois un axe de similitude externe et un axe de similitude interne 9 et les deux centres p eip sont deux pôles conjugués de similitude, situés, comme on le voit, du même côté par rapport au pôle externe o, mais de côtés différents par rapport au pôle interne o'. Si Ton prend un point quelconque x , qu'on l'unisse avec les deux pôles o et o', on aura deux axes de similitude A et A'; si l'on joint le point x avec tous les sommets de l'un des polygones abcdef par des droites et que des sommets homologues du polygone ab'c'de'f on mène des parallèles à ces droites , elles se couperont toutes en un point t/ de A et les points x et y seront des pôles conjugués de similitude des deux polygones ; mais si l'on mène les parallèles des sommets homologues du polygone a^ft'Vd'Vy", elles se couperont en un point y de A', et x et y' seront aussi des pôles conjugués de similitude des deux polygones proposés. Donc dans le cas qui nous occupe, à un pôle de l'un des polygones correspondent toujours deux pôles pour l'autre polygone, situés avec le précédent sur deux droites passant l'une par le pôle commun externe, et l'autre par le pôle commun interne de similitude des deux polygones.

Toute droite menée par le pôle de similitude sera un axe de similitude , et un point quelconque étant pris sur cet axe pour pôle de l'un des polygones, on en conclura un pôle conjugué pour l'autre polygone. Deux pôles conjugués de similitude sont toujours placés sur une même droite passant par le centre (n** 260) , c'est-à-dire sur un axe de similitude. Enfin sur un même axe D, les pôles conjugués p et p' sont d'autant plus éloignés l'un de l'autre qu'ils sont plus distants du point 0, car on a toujours

pp' pp'iap' : : aa! : oa d'où — = constante '^'^ '^ op

par conséquent pp' croît avec op' et dans le même rapport.

262. Si l'on fait mouvoir la figure pWb'c' (fig. 181 et 182) parallèlement à

elle-même jusqu'à ce que le point p' coïncide avec le point p, les pôles conjugués p et p ainsi réunis deviendront un pôle commun de similitude des deux polygones dans leurs nouvelles positions relatives , et ce sera un pôle de même espèce que le pôle o, c'est-à-dire un pôle externe lorsque les deux pôles p et p' sont du

néflie €tÉé âm point d, et ua p6le iotene lonqve <m deux pôteaamt de part et d'aiitre ém point o*

Si les p(riy90iiesaAa(...M db'cé.... sont plane, les figeres poiici/. ••«, polVc'd!...^ sent dee pyraœîéee semblables ^t senJ^teUement placées. Dans tous les cas, le point 0 pent être considéré <^omme le somiort d'un angle polyèdre sur le contour duquel s<Mit tracés tes polygones ebed...^^ dhléd. Deux polygones semblables ne peuvent en général être situés que sur le contour d'un angle polyèdre, mais ils peuvent être situés ^xl même t^oups sur le contour de deux, angles polyèdres <l«and ils ont deng^ pâles communs de skniliUide, c'est-à*dire quand ils ont un centre (n'' 260).

X)n conelut de ce qui précède que deux polygones semblables peuvent toujours être placés dans Tespace de telle manière que les droites qui unissent leurs sommets hmaologues concourent en un m^e point; mais la réciproque n'est pas vraie, à laains que Ton n*i\)oute que tes distances des sommets homologues à ee point de ooncours sont propottionndtes, ou que les côtés homologues des polygones sont proportionnels, au que kss polygones cmt leurs angles égaux, eto*

263* Les propositions précédentes sont indépendantes du nombre et de la grandeur des càtés des deiux polygones , elles seront donc applicables à deux courbes , puisque ime courbe pent être rigoureusement considérée comme un polygomB infiniiéêUnal ; mais il est nécessaire d'ajouter quelque explication; et en effet, comment doit-on entendre que deux courbes ont des côtés parallèles et proportionneb (u* 264)? Puisque Ja tangente à une courbe n'est que te prolongement d'un élément de celte courbe, on doit entendre par deux courbes qui ont leurs éléments ou côtés parallèles , deux courbes telles que les tangentes de Tune soient parallèles aux tangentes correspondantes de Tautre. Quant à la seconde condition, remarqucsis que de U pr(q[>ortionnalité et du parallélisme des côtés das deux polygoBe^, i) est facile de condure te pwallâisme des diagonales ou de deux droites homologues quelconques, et d'établir que les diagonales homologues sont dans le même rapport que les côtés ; or, dans une courbe , tout point peut représenter un sommet du polygone infinitésimal, par lequel on peut remplacer cette coiurbe; si donc, par deux points homologues des deux courbes, on mène des cordes parallèles entre elles, tes cordes parallèles doivent être dans un rapport constant.

Les courbes peuvent étro directement semblables et avoir un pôte de similitude extern^ o {fig» 184), ou être inversement semblables et avoir un pôle de similitude interne o (Jg. 185). Enfin tes deuix courbes peuvent être telles qu'un point .de Tune d'elles soit à la fio» l'homologue de deux points de l'autre; elles ont

alors deux pôles comoauns de similiUide o et o' (Jif. 186)^ Tini ^exterfie et Tantre interne. Dans ce dernieccas, les droites ag, bh^ ci^..^ uaissatti deu:

points, ayant ponr hcmiolagues les deux points, al ou 9% V ou h\ d ou t% se

coupent toutes en un poinJt p {pt 256) qui divise chacune d'eltos en 4eux partêes égales } les droites homologues dans Tautre courbe se coupent en un point p', et les quatre points o, o', p» p' sont en ligne droite. Les points p et p' sont les centres des courbes proposées^ et ces courbes sont telles q^ie les tangentes menées aux extrémités d'une cerde ou diamèire passant par leur centre sont parallèles entre elles.

264. Toute droite D menée par un pôle commun de similitude de deux courbes semblables C et G {fif. 174 et 185) est un axe de similitude de ces courbes (n"" 261); et si Ton prend un point p sur cet axe, qAi'on Tuniase avec tous les points de la eourbe C, qu'ensuite, par les points homologues <le la courbe C^ on mène des parallèles à ces droites , elles concourront toutes eu un point p' du même axe D, et les points p et p' seront les pôles conjugués des deux caurbes. En effet, les droites D et pa déterminent un jrian contenant la droite aa^ : donc , si du point e! on mène une parallèle à ap, die sera tout entière dans ce plan, et rencontrera par conséquent D en un point p\ mais les droites <iV et alp^ étant respectivement parallèles kacetap^lea plans ip'a'd) et {pac) sont parallèles. Donc, si de c' on mène une parallèle à cp^ elle sera tout entière dans le plan {p'dc') et aussi dans le plan {dqpp') , elle rencontrera donc encore la droite D au point p\ On fera voir de même que la parallèle k ep^ menée -du point e\ renicontre D au point p^ et aififii des autres, ce qui démontre le théorème énoncé* Nous remarquerons encore que les pôles conjugués petp' sont du même côté du point 0, si ce point est un pôle externe de similitude , et de côtés différents , si ce point est un pôle interne de similitude. Dans le cas où les deux courbes ont deux pôles <KMnmuns de similitude {fig. 186), la droite o^^ qui unit ces^ pôles, eat à la fois un axe de similitude externe et un axe de similitude interne ; les centres p et p' des deux coui^bes sont deux pôles conjugués (n"" 257) ; et un point quelconque a; ,, considéré c^mme un pôle de Tune des courbes G, aura toujours deux pôles y et y' qui lui cornespon* dront pour l'autre courbe C, et qui seront situés avec x sur deux droites passant , Tune par le pôle externe de similitude 0, Tautre par le pôle interne d. Toute droite menée par on pôle commun de similitude,. est ikn axe4e similitude. Enfin, sur un môme axe, les pôles coi^ugués sont d'autant plus éloignés Tun de l'autre qu'ils sont plus distants du pôle conunun.

265. Si Ton fait mouvoir la figure (p', C) {Jig. 184 et 185) parallèlement à elle-même^ jusqu'il ce que le point p' soit venu coïncider avec le point p^ ce point

deviendra un pôle commun de similitude externe ou interne des courbes 4a«s leur

nouvelle position , suivant que le point o sera lui-même un pôle commun de similitude externe ou interne.

Si les courbes G et C ne sont pas situées dans un même plan avec Taxe de similitude D, les figures (p, C) et (p', C) sont deux surfaces coniques, semblables et scmblablement placées , en supposant les rayons vecteurs indéfiniment prolongés ; ces deux surfaces seront alors identiques, car après avoir transporté le point p' en p, évidemment elles coïncideront, d'oii Ton conclut que deux courbes semblables peuvent toujours être placées sur une infinité de surfaces coniques, puisque le sommet o est entièrement arbitraire.

Mais pour une position donnée des courbes semblables ou semblablement placées C et C, lorsqu'elles sont gauches et dès lors non situées dans un même plan , ou lorsqu'elles sont planes et non situées dans un même plan , les droites qui unissent les points homologues forment une surface conique qui contient à la fois les deux courbes, et qui a ton sommet au pôle commun de similitude. Les courbes C et C ne peuvent donc en général être situées en même temps que sur une seule surface conique , et les deux courbes se trouvent sur la même nappe, si elles sont directement semblables, et chacune sur des nappes différentes, si elles sont inversement semblables. Mais dans le cas où les courbes ont deux pôles communs de similitude, elles peuvent être situées en même temps sur deux surfaces coniques dont Tune les contient sur la même nappe et l'autre sur des nappes différentes. Il ne faut pas oublier que ce cas a lieu pour des courbes qui possèdent un centre (n* 259) , c'est-à-dire un point qui est le milieu de toutes les cordes qui y passent , parce que cette remarque nous sera utile dans la théorie des sections coniques. Ajoutons que, dans le cas des courbes planes, ce centre est évidemment sur le plan de la courbe.

266. Réciproquement, si l'on coupe une surface conique par deux plans parallèles, les sections sont des courbes semblables; en effet elles ont toutes leurs tangentes homologues , parallèles entre elles, et leurs cordes homologues, parallèles et proportionnelles entre elles, et leur rapport constant est celui des distances des plans sécants au sommet du cône.

Si, par le sommet du cône on mène une droite quelconque, elle coupera les deux plans sécants en deux points qui sont des pôles conjugués des deux courbes, car les distances de ces deux points aux points homologues des deux sections sont proportionnelles, et toutes ces droites sont deux à deux parallèles. Si Ton fait mouvoir le plan de l'une des courbes parallèlement à lui-même , son pôle parcourant Taxe de similitude jusqu'à ce qu'il soit venu coïncider avec le pôle de l'autre courbe, ce point sera le pôle commun ou le centre de similitude des deux courbes dans leur nouvelle position.

Si 9 an lieu de couper un cône par divers plans parallèles, on suppose que le c6ne se meuve parallèlement à lui-même, les intersections de ce cône avec un plan fixe seront des courbes semblables ei semblablement placées, ayant pour pôle commun de similitude la trace sur le plan fixe de la droite parcourue par le sommet du cône.

367. Il résulte de ce qui^ précède un moyen très-simple de construire par points une courbe semblable à une courbe donnée.

V Soient donnés la courbe C (Jig. i 84 et 1 86) et deux points o' et b^ homologues des points, aeib, de sorte que a^b^ soit parallèle à afr , en joignant ac^ et bb' par des droites qui se croisent au point Oj ce point sera le pôle commun de similitude

des deux courbes : on mènera donc les rayons vecteurs oc^od^ oe^ de la

courbe donnée C; puis les cordes aCj ad, ae, et les parallèles aV, a'd\a^e\

à ces cordes; les points a', b\ c\ d', e\ appartiendront à la courbe cherchée G' qui sera directement ou inversement semblable à G , suivant que le point o se trouvera situé au delà des points homologues a et a', ou situé entre ces deux points.

3* Si Ton ne donne que le point a', on mènera la droite aa!y et si le pôle commun de similitude n'est pas fixé , on le placera en un point quelconque de cette droite aa' ; et, parles mêmes constructions (que ci-dessus), on obtiendra une infinité de courbes semblables à G et passant toutes par le môme point a'j et dont les unes seront directement et les autres inversement semblables à cette courbe G.

3* Si Ton donne le pôle o et le rapport des rayons vecteurs, on en conclura le point a' y tel que oa et oa! soient dans le rapport donné. Mais si Ton donnait simplement le pôle commun o, on pourrait choisir le point a! arbitrairement, et, par conséquent , on aurait une infinité de courbes semblables et semblablement placées entre elles, ayant toutes le point o pour pôle commun de similitude. Dans tous les cas , on peut prendre le point a' du même côté que le point a par rapport au point 0, ou du côté opposé, et Ton obtient ainsi des courbes directement ou inversement semblables à la courbe proposée.

268. Les projections de deux courbes semblables sur un même plan sont des courbes semblables. En efiet, les sections parallèles de la surface cylindrique projetant Tune des courbes sont des courbes identiques (n"" 232) , de sorte que si le plan de projection ne passe pas par le pôle commun de similitude o des courbes proposées G et G', on pourra par ce point lui mener un plan parallèle , et les projections de courbes sur ce nouveau plan , que nous supposerons horizontal pour fixer les idées, seront identiques aux projections de ces courbes sur le plan primitif.

Cela posé, si Ton considère une série de points a, ft, c,...,. de la courbe G, et

leurs hûmologaeft <i\ b\ v!^.^.. de ta oowbe CV le» perpeadîcidaijpas abaÎBsées des points hamok>giies s«ir le i^aa hodzcMilal seroot dans «a môiifte plan vertical pœsaot par le pokut o y déporte que J" et «'\ H" ei V\ ^ ei^V**** Mnt gur des droîte concoaraAt ^m point 0 : de plus les tcian^^ seiBbkbtes otf^o et iiV^# ^ 66^0 et ^'6'*o , c(^o et £/c%^ donnent les séries de proportions

mais les courbes C et C étant seoiblables et ayant pour pôle commun de similitude le point 0, on a la suite de rapports égaux oaioa!:: ob:Qb':ioc:4)^:i donc

aussi 00*: oa'*:: 06*; 06'*:: oc*: oc/* :u,... et, par conséquent, les courbes C* et C* sont semblables et oat pour pôle commun de similitude le point o. Si Ton reporte cette construction sur Tancien plan de projection , le pôle commun de similitude des projections C* et C^ sera alors la projection 0* du pôle commun de similitude o des courbes C et G'.

On voit facilement que le point 0* sera un pôle commun de similitude externe ou interne des courbes G* et G'*, selon que le point o sera lui-même un pôle commun de similitude externe ou interne des courbes projetées G et G'.

âl6d. Deux courbes C, C (fi^. 18â), semblables à la. même courbe G, sont semblables entce elies^ et leur pâte coBunun de similitude V^ est sur la droite D, qui unit tes pôles eoaaflcuuis de sicailitude » et o' des courbesC et G'^ G et G''. En effet :

i "" Les points €^ et a'' étant les homologues du naéme point a et les points b\ b" étant les homologues du même pointa, ^^ cordes û!b' et a!'b^^ sont parallèles entre elles; U en est de même des cordes aV et aV, 6V et ^V et de toutes les autres 9 donc les courbes G' et G'' sont semblables et semblablement placées (n- 2S4).

2"" Les droites m^i/^iy qui se croisait au point a sont dans un même plan qui contient la droite D et la droite aV*^ de ttéme les droites ob et o'b sont dans un même plan contenant encore la droite D et la droite b'b" : donc les droites uW et b'b'^ sont dans deux plans ayant pour intersection commune la droite D , et comme elles se coupent au point e" pôle commun, de similitude des courbes G' et G'', ce pôle of^ ne peut être que sur la droite D.

Celte démonstratioA.suppose que les courbes G,.€', C ne sont pas planes, mais si elles étaient planes on pourrait concevoir une courbe à double courbure C, dont G serait la projection.,. et considérant le cône qui aurait cette courbe G, pour

directrice et son sommet en o, les verticales élevées des points a!^ b', dj de G'

seraient parallèles aux verticales élevées par les points a, 6, 0, de G, et cou-

— espéraient tes génératrioes an ébne en des points qm formeraient «ne coorbe à deubie eooiiiare C/ ayant pour projertion C% et qui serait sendrfabie à la coaii>e C, dont C est )a projection, le point o étant léor pMe eommnn de similitude. De même les courbes G et C^ seraient les projectîonB de deux couii)es semblables ayant ^ ponr p6le oomBimi de snnilitude , et , par snite , C et C^^ seraient les projections de denx courbes semblables , ayant leur p6le commun de snnilitude o'' sîtoé sur la droite D; les drax courbes C et C^ seraient aussi sembtaUes fn"* 964) et auraient pomr pôle commun de similitade ce même point o'' de la droite D laquelle passe par les centres de similitude o et o' des courbes C et C\ C et C^. La droite D est un axe tvmmmm ée mmfUuàe des trois couii)es, et e^est le seul qu'elles aient, tant que ces courbes n*ont deux à deux qu*un p6le commun de similitude.

Si Ton pose :

on aura :

fin effet , on a les proportions :

d'où , en ittull»(diMit leme a terme ,

oa'xo'a:aaxoV::a'6':a'V::ç:p, mais oV:oV::a'6':';a"6", donc o"a':o''a"::p:q d'où

270. Il est facile de reconnaître que si o et o' sont deux pôles communs de siuûiitode externe, le point o" sera encore un pôle de similitude externe {fig. 1 87 ) , car dans oe cas les courbes G et C^ sont toutes deux du même côté que C par rapport à Taxe commun D et par conséquent une droite telle que ûfa!\ par exemple , qui unît deux points faonMdognes ne peut couper D qu'au delà des deux courbes.

Si les deux points o et </ étaient deux pôles internes , le point of' serait encore un pôle externe , car alors ebacune des courbes C et G^ étant du côté opposé de C par rapport à D, ettes seront encore situées du môme côté de cet axe D.

Mais si les pôles eosmians de similitude o et </ sont Tun externe et l'autre interne.

le poiut o" sera un pôle interne , car alors Tune des courbes C^ est du même côté que C par rapport à Taxe D et l'autre CI' est du côté opposé, ou vice versa , de sorte que D est un axe interne par rapport aux courbes semblables C et C^', donc aussi le point o" est un pôle interne de similitude.

En résumé si les courbes G' et C" sont toutes les deux directement semblables ou toutes les deux inversement semblables à la courbe C j elles sont directement semblables entre elles; si des deux courbes G et C Tune est directement semblable et Tautre inversement semblable à la courbe C , elles sont inversement semblables entre elles.

271 . Si les courbes G et G' ont deux pôles communs de similitude, elles auront chacune un centre (n° 259) , et par conséquent G" en aura un aussi, de sorte que G et G'^ auront aussi deux pôles communs de similitude; donc G' et G'' qui sont des courbes semblables possédant un centre auront aussi deux pôles communs de similitude ; et Ton voit facilement par ce qui précède que les six pôles communs de similitude o, o', o", », co', «'', sont sur un même plan et trois à trois en ligne droite , (nous indiquons par o, o', o" les pôles externes , et par o), w', (ù" les pôles internes de similitude) , ainsi on aura les quatre droites oo'o"^ owV, oW, o'W, qui sont quatre axes communs de similitude des trois courbes proposées. Si les courbes G^ G', G" sont trois circonférences de cercles , les points o, o', o" seront les intersections des tangentes communes et extérieures à G et G', G et G", G' et G" et les points w, w, w" sont les points d'intersection des tangentes communes et intérieures à ces mêmes circonférences. Ayant donc mené ces six couples de tangentes communes et obtenu leurs six points d'intersection , nous en conclurons que les trois points extérieurs sont en ligne droite et que de même chaque point extérieur est en ligne droite avec les deux points intérieurs correspondants aux deux autres combinaisons de circonférences.

Gette proposition nous fait encore voir que si Ton mène à deux circonférences de cercles les quatre tangentes communes possibles , les deux tangentes extérieures et les deux tangentes intérieures se couperont en deux points qui seront sur la ligne des centres des deux circonférences données.

272. Si l'on considère une quatrième courbe G"' semblable à G , et dont le pôle commun de similitude soit en un point &> non situé sur la droite D , celte droite D et le point o) déterminent un plan P ; or les courbes G' et G"' sont semblables et ont leur pôle commun de similitude a>' sur la droite (m et par conséquent sur le plan P , les courbes G" et G'" sont semblables et ont leur pôle commun de similitude V' sur la droite o'co et par conséquent sur le plan P, donc les six pôles communs de similitude de quatre courbes semblables et semblablement placées sont sur un même plan P, auquel je crois qu'on peut donner le nom de plan de similitude; tant

qae les qoatre courbes n*ont deux à deux qu'un pôle commun de similitude » elles n'auront aussi qu'un plan commun de similitude.

En considérant les courbes C" et G" comme étant semblables à C, leur pôle commun de similitude &>' devra se trouver sur la droite oV, mais il se trouve aussi sur 0 w, donc à Tintersection de ces deux droites. De même , le pôle commun de similitude de C et G" se trouve à Tinterseclion de o"(ù" et de o&>. En résumé, les pôles communs de similitude o, o\ o" des courbes C, C, G\ ceux o, w, J des courbes C, C, G\ ceux o, w, »" des courbes C, C", G% et ceux o\ w', o)"" des courbes C, C", C", sont en ligne droite; ou, en d'autres termes, les six pôles communs de similitude o, o', o", w, &>', w", des quatre courbes C, C, C" et C"', sont trois à trois sur une même droite*

273. Si les pôles communs de similitude o,o',a) de la courbe G, avec chacune des autres courbes , sont des pôles externes , les trois autres pôles o'\ a>^ tù" sont aussi des pôles externes (n*" 266) , et le plan P peut être dit plan externe de similitude.

Si , les pôles communs o et d étant externes , le pôle o était interne, le pôle o^ serait externe et les deux pôles o)^ et tJ' internes; si, le pôle o étant externe, les deux pôles cl et co sont internes , le pôle tù" sera externe et les pôles o" et o)' internes ; enfin, si les trois pôles Oyo'^fMï" sont internes, les trois autres o^^tn/jtù" seront externes. Cest-à-dire que si les trois pôles communs de similitude o, o\ ci> de la courbe C avec chacune des trois courbes C',C'', C" sont de même espèce , les pôles communs de ces trois courbes C, G\ G" (combinées deux à deux) sont externes; si, des trois premiers pôles, deux sont d'une espèce et l'autre de la seconde espèce, réciproquement des trois derniers pôles, deux seront de cette seconde espèce et un de la première ; de sorte que trois pôles communs de similitude sont toujours externes, et les trois autres sont en même temps externes ou internes. Et des quatre axes de similitude , l'un est toujours externe par rapport aux trois courbes qui lui correspondent et les trois autres sont de même nature entre eux.

274. Dans ce qui précède, nous avons supposé des courbes n'ayant deux à deux qu'un pôle commun de similitude; mais si la courbe G a un centre p, les courbes G', G", G"' auront nécessairement aussi des centres p', p", p'". Alors les quatre courbes auront deux à deux deux pôles communs de similitude; nous aurons donc en tout six pôles communs de similitude directe et situés trois à trois sur quatre droites et six pôles de similitude inverse situés deux à deux en ligne droite avec un pôle de similitude directe, les trois pôles provenant d'un système de trois courbes. I..es six pôles de similitude directe seront sur un même plan et nous aurons en outre une série de plans passant par trois pôles de similitude directe et

f PABTIB. 8

trois pâles de similitude inverse , en combinamt ces pMes coome si tes courbes ne

possédaient qu'une espèce de similitude (n'' 269 ).

De ta simUitude des surfaces.

275. Les points a^b^c^dy (Jig. 181) et leurs homologues aljVjdjd!,.,^.

peuvent former deux surfaces ; si par deux points homologues quelcooques de ces surfaces on fait passer deux plans parallèles , ils les couperont suivant des courbes semblables et semblablemeut placées par rapport au point o, et dont les tangentes seront par conséquent parallèles ; si Ton fait passer par les mêmes points deux autres plans également parallèles , les courbes d'intersection auront encore leurs tangentes parallèles; on peut donc énoncer le théorème suivant : les plans tangents en deux points homologues de deux surfaces semblables et semblablement placées sont parallèles et le point 0 de concours des droites qui unissent deux à deux les points homor logues des deux surfaces est leur centre ou pôle commun de similitude.

276. Il est évident que si un rayon vecteur oa est tel qu'il soit tangent à Tune des surfaces en un point a, il sera tangent à l'autre surface en un pointa' (les points a et a' étant deux points homologues) ; alors la droite oa se trouvera à la fois dans les plans tangents aux deux surfaces aux points homologues a et a', mais ces plans sont parallèles (n*" 259) , donc ils se confondent.

Si l'on fait mouvoir le rayon vecteur oa autour du point o de manière qu'il reste toujours tangent à la première surface , il sera aussi toujours tangent à la seconde surface et dans chacune de ses positions il correspondra à une position d'un plan qui sera tangent à la fois à l'une et à l'autre surface; d'où l'on conclut que si ton fait rouler un plan de manière qiCil reste toujours tangent à deux surfaces semblables et semblablement placées y il passe toujours par un point fixe qui est le pôle commun de similitude des deux surfaces , et les deux courbes de contact sont situées sur une même surface conique ayant son sommet en ce point. En effets cette surface conique n'est autre que celle engendrée par le mouvement du rayon vecteur oa; d'ailleurs les points de contact de chaque plan avec les deux surfaces sont des points homologues.

277. Si l'on considère une droite quelconque B, un plan P tangent à la première surface S et parallèle à la droite B , un plan F tangent à la seconde surface S' et parallèle à la droite B, si l'on fait rouler respectivement les plans P etP' sur les surfaces S et S' de manière que ces plans restent toujours parallèles entre eux et à la droite B , les courbes de contact G et G' seront encore sur une surface conique ayant son sommet au pôle commun o de similitude des deux surfaces S et S\ car ces deux courbes sont les lieux géométriques de points homologues de ces deux surfaces.

278. Toute droite menée par le point o sera un axe de similitude des systèmes

de points a^b^c^d et a\ b\ c\ d\.*..^ c'est-à-dire des deux surfaces S et S^ et

les points p et p' (n* 254) seront deux pôles conjugués de ces surfaces. Si le rayon vecteur pa de la surface S est tangent à cette surface au point a y le rayon vecteur conjugué pW de Tautre surface S' sera tangent à cette surface au point a! et ils seroiot situés sur les plans tangents en a et a' aux deux surfaces , lesquels plans sont parallèles (n"* 259). Si Ton fait mouvoir le rayon vecteur pa de manière qu'il reste tangent à la surface S et le rayon pV de manière qu'il soit toujours parallèle au rayon pa et par conséquent tengent à la surface S\ dans toutes leurs positions conjuguées ces rayons vecteurs seront situés sur des plans parallèles et tengents aux deux surfaces , d'où l'on peut conclure que si C on fait rouler un plan P «tir Fune de$ surfaces S^ de manière qu'il passe toujours par un ptAnt fj et sien tnême tetnps on fait router sur C autre surface S' un plan P' parallèle d P , fe plan P' dans toutes ses positions passera par un même point p' et les trois points o , p , p' seront en ligne droite. Il est évident que les courbes C et C contact des deux surfaces S et S' et des deux cônes engendrés par les plans P et F sont deux courbes semblables et sembla*^ blement placées par rapport au pôle commun Oj et qu'elles ont pour pôles conju* gués de similitude les deux points p et p'.

279. Les systèmes de points homologues qui forment deux surfaces semblables et semblablement placées peuvent avoir deux pôles communs de similitude, ou être en même temps directement et inversement semblables ; il y a alors deux manières de faire rouler un plan tangent à la fois aux deux surfaces , et par conséquent ces surfaces peuvent être enveloppées par deux cônes ayant leurs sommets aux deux pôles communs , tandis qu'en général elles ne peuvent l'être que par un seul.

Les propriétés générales démontrées pour les cas où les points homologues forment des courbes peuvent encore s'éteblir lorsque ces points forment des surfaces j de sorte que dans le cas qui nous occupe , les droites qui unissent les points de cbaque surface pour lesquels les plans tangents sont parallèles, se coupent toutes en un même point et en deux parties égales : ce point sera donc un centre. Ainsi deux surfaces semblables, qui n'ont pas de centre, n'ont qu'un pôle commun de similitude; deux surfaces semblables, qui ont un centre, ont deux pôles communs de similitude; ces deux pôles et les deux centres sont en ligne droite.

280. Deux surfaces S', S^', semblables à une même surface S, sont semblables entre elles , et les trois pôles communs de similitude sont en ligne droite. Si les snrfiM)es S' et S'^ sont directement ou inversement semblables à S , elles sont di- Tectement semblables entre elles; mais si l'une est directement et l'autre inversement ten^lable à S , elles sont inversement semblables entre elles. Enfin si l'on^

— codes surfaces a un centre, il en sera de même des deux autres; ces trois surfaces donneront alors six pôles communs de similitude, trois internes et trois externes, distribués trois à trois sur quatre droites contenant un ou trois pôles externes, et situées toutes les quatre sur un même plan.

281 . Si l'on a quatre surfaces semblables et dépourvues de centre , elles donneront lieu à six pôles communs de similitude qui seront tous externes , on dont trois seront externes et trois internes, et ces six pôles seront situés sur un même plan; si les quatre surfaces ont des centres, elles fourniront douze pôles communs, six externes et six internes , les six externes seront sur un même plan ; trois pôles externes et trois internes convenablement choisis formeront des groupes de six pôles et chacun de ces groupes sera situé dans un même plan, et ainsi les douze pôles seront distribués six à six sur cinq plans.