CHAPITRE VI
DES SECTIOIVS CONIQUES.
282. Problème 1 . Couper un cylindre de révolution par un plan. On peut toujours, par des changements de plans de projection, se ramener au cas où le plan horizontal est perpendiculaire aux génératrices du cylindre , et le plan vertical perpendiculaire au plan sécant P. Gela posé, le plan sécant P ne peut avoir que deux positions distinctes : 1"" il coupe toutes les génératrices de la surface; la section est alors une courbe fermée ; 2* il coupe la surface suivant deux génératrices situées à distance finie Tune de Tautre, ou infiniment petite, et dans ce dernier cas le plan sécant n'est autre qu'un plan tangent au cylindre.
Ije second cas n'a pas pas besoin d'être examiné. Dans le premier il est évident que la courbe de section E a pour projection horizontale E* [fig. 189) qui n'est autre que la base même du cylindre (n* 26), c'est-à-dire un cercle Cet pourprojec-
tion verticale E" qui est précisément la partie a' b^ de la trace Y' comprise entre les génératrices extrêmes do cylindre par rapport au plan vertical de projection.
La tangente T en un point m de la section E se projette évidemment en T^ tangente à E* ou au cercle C (n* 217) et en T, droite qui se confond avec V\
On se propose ordinairement de construire la section E en véritable grandeur; pour cela on pourrait la rabattre sur le plan horizontal en faisant tourner son plan P autour de H% ou sur le plan vertical en faisant tourner son plan P autour de V; mais puisque le plan P est perpendiculaire au plan vertical de projection, ce second procédé revient à considérer le plan P comme un nouveau plan horizontal de projection , la trace V étant prise pour nouvelle ligne de terre. Mais on donnera à la figure une disposition plus symétrique en faisant tourner le plan P autour de Taxe cd perpendiculaire au plan vertical , jusqu'à ce qu'il soit venu en F parallèle au plan horizontal.
Les points aeib viendront en a' et b'; les points c et d seront invariables , un point quelconque m viendra en m'y et la courbe E prendra la position E' , et elle sera donnée en véritable grandeur par sa projection horizontale E'^ (n* 56, l""). La tangente T rencontre Taxe cd au point $ qui reste invariable; le point de con* tact m est transporté en m\ donc elle viendra prendre la position T^
Remarquons que la projection horizontale avant le rabattement , est indépendante de rinclinaison du plan P, par conséquent^ la tangente T ira toujours rencontrer cd au même point s y quelque position que Ton donne au plan P , en le faisant tourner autour de cet axe cd.
283. La droite ab divise la courbe E en deux parties symétriques; car il est évident que toutes les cordes perpendiculaires an plan vertical sont coupées en deux parties égales par le plan M (n* 251 , 1*) , de sorte que si Ton pliait la figure le long de ab^ la partie antérieure irait exactement s'appliquer sur la partie postérieure. La droite cd divise aussi la courbe en deux parties symétriques ; car , de part et d'autre de cette droite , les cordes qui lui sont parallèles et à égale dis* tance , sont égales. Par cette raison ab et cd sont dites les axes de la courbe E Q ; ces droites étant données en véritable grandeur en a^b"" et en c^6^, il est évident que ab est > cd , c'est pourquoi on nomme ab le grand axe et cd le petit axe de la courbe E. La droite ab est évidemment plus grande que toutes les cordes qui lui sont parallèles, de même la droite c(/ est plus grande que toutes les cordes qui lui sont parallèles, de plus ae étant une ligne de plus grande pente du plan P, et a/
(*) Étant donnée une courbe plane quelcooqoe , on appelle diamètre de la courbe la droite qui divise en deux parties égales uo système de cordes parallèles entre elles , et ce diamètre prend le nom d*axe lorsquMl est perpendiculaire aux cordes.
une horizontale , et lontes les cordes qui passent p«r le point o intersection de ces droites ab ^ ed ayant évidemment le point g pour point milim et ayant des projections horizontales égales (puisque ces prq^lions sont les diamètres d*un même cercle), ab sera la plus grande et cd la phis petite d'entre dles. On donne le nom de diamètres à toutes tes cordes passant par te point a » tequel est dit centre de la section E (*).
SS8i. Problème S. Couper un cône de révolntUm pcar un plan. On peut toujours^ par des changements de plans, se ramener an cas où te plan horizontal est perpendicukiire à Taxe du cône et le plan vertical perpendiculaire au plan sécant. Cela posé, le plan sécant peut atifecter trois positions distinctes. En efifet , si par le som» met du cône on mène un plan Q paraUèle au plan sécant P : 1 * ce plan Q peut n'avoir que le sommet de commun avec la surface , il coupe alors toutes les génératrices droites et laisse une nappe du cône d'un côté et l'autre nappe de l'autre côté par rapport à lui , donc le plan P coupera aussi toutes les génératrices droites du cône et ne coupera qu'une nappe de la surface , la section est alors une courbe fermée; 2^ le plan Q peut être tangent à la surface, il laisse encore les deux nappes de côtés différents par rapport à lui; le plan P ne rencontrera donc encore qu'une nappe et il coupera toutes les génératrices droites du cône, excepté celle qui est sur le plan Q , ou mieux il coupera celle-ci à l'infini et les voisines à des distances d'autant plus grandes d« somaet qu'elles sont plus près de la génératrice de contact; la courbe de section s'étend donc à l'infini et d'un seul côté; 3° enfin, le plan Q peut couper la surface suivant deux génératrices; il laisse alors les deux nappes du cône , partie d'un côté, partie de l'autre, te plan P rencontrera donc tes deux nappes et coupera toutes les génératrices, excepté les deux situées dana te plan Q ; la section est alors formée de deux branches infinies et séparées.
Dans les trois cas , la projection verticale de la section est sur la partie de V , comprise dans l'intérieur des deux angles supplémentaires formés par les projections verticales des génératrices extrêmes du cône par rapport au plan vertical de projection*
On peut obtenir la projection horizontale de la courbe de section par deux méthodes : 1 "* en cherchant pour chaque génératrice droite G du cône le point où elle perce le plan P, point dont la projection verticale est l'intersection de G^ et de Y'; 2^ en cherchant pour chaque parallèle A les points où il perce le plan P« points dont les projections verticates sont à l'intersection de A" et de y^ Il est évident qu'on doit employer la première méthode pour les génératrices dont la
{*) Une courbe plane quelconque a un centre^ lorsqu* il existe sur son plan un point tel qu'il est le milieu de toutes les cordes qui passent par hu.
projection horizontale fait avec la ligne de terre un angle de 45*" ou un angle plus petit; et la seconde , lorsque cet angle est plus grand que 45% parce que les points sont alors déterminés par des lignes qui se coupent sous un angle d'au moins 45*. La seconde méthode peut seule fournir les points situés sur les génératrice» doat les projections sont perpendiculaires à la ligne de terre. Il sera facile avec oes indications de construire la projection horizontale de la section, pour las trois positions du plan sécant.
Si Ton veut mener la tangente en un point m de la section j on remarquera que cette tangente est évidemment dans te plan P de la courbe, et dans le plan tangent à la surface conique au point m {if 203), donc elle est Tintersection de ces deux plans.
On peut encore se proposer de construire la section dans sa véritable grandeur, pour cela on rabat le plan P sur le plan horizontal en le faisant tourner autour de H' (qui est perpendiculaire au plan vertical), alors le point m de la courbe de section vient en m\ la tangente T rencontre H' en un point a invariable pendant le rabattement , on aura donc en am^ la position T' de la tangente T rabattue.
On peut aussi rabattre le plan P autour de Y% mais comme ce plan P est per* pendiculaire au plan vertical , celte opération revient à changer de plan horizontal en prenant ce plan P lui-même pour nouveau plan horizontal de projection, et par conséquent V pour nouvelle ligne de terre LT; on trouvera donc facilement les différents points du rabattement de la section , et la tangente à cette section rabattue pour le point qui est le rabattement du point m.
285. Le plan méridien M parallèle au plan vertical coupe le plan P suivant une droite qui divise la courbe en deux parties symétriques et que Ton nomme axe principal de la courbe.
286. Dans le cas où la section possède des branches infinies, on peut demander de construire les tangentes dont le point de contact est à Tinfini, tangentes qui prennent alors le nom d'asymptotes de la courbe, et qui sont les intersections du plan P de la courbe avec les plans tangents au cône en ces points situées à Tinfini ; comme ces points sont sur les génératrices parallèles an plan P, il faut mener des plans tangents suivant ces génératrices et chercher leurs intersections avec le plan P; lorsque le plan Q est tangent à la surface conique, alors les deux plans dont il faut trouver Tintersection sont parallèles entre eux , donc la section conique formée d'une seule branche infinie n'a pas d'asymptote. Mais quand le plan Q coupe la surface suivant deux génératrices droites, les plans tangents menés au cône suivant ces génératrices ne sont plus parallèles au plan P, et par conséquent la section conique formée de deux brancbeft infinies a deux asffmptoies.
Il est évident que dans tous les systèmes de projection , la projection d'une asymptote d'une courbe est une asymptote de la projection de cette courbe.
287. Théorème. La section plane du cylindre de révolution est une courbe telle que la somme des distances dCun quelconque de ses points à deux points fixes situés sur le grand axe est constante et égale à ce grand axe. Soit un cylindre de révolulion coupé par le plan P (fig. <89) suivant une courbe E, concevons le plan méridien M perpendiculaire au plan P, il coupera le cylindre suivant les génératrices G, et G, et le plan P suivant une droite B qui est le grand axe de la courbe E (n* 282); construisons dans le plan M, de part et d'autre de B, deux cercles C et C tangents à cette droite B et aux génératrices G, et G,, faisons tourner ces cercles en même temps que les génératrices G, et G, autour de l'axe A du cylindre , ils engendreront des sphères S et S' tangentes au cylindre le long des parallèles A et A', et au plan P aux points /et/. Par la seule loi de symétrie, il est évident que les sphères S et S' sont égales, et que af=bf. Cela posé, pour un point quelconque x de la courbe E , je dis que Ton a : xf+ xf = const. = ab.
En effet, menons la génératrice G qui passe par le point Xj elle est tangente aux sphères S et S' aux points m et m' où elle rencontre les parallèles A et A', on a donc xj^^xm^ xf = xm' comme tangentes à une même sphère et issues d'un même point extérieur à cette sphère, d'où :
j?f + a?^ = arm + rem' = mm' =. constante puis on a ^
mm' =pp' = ap + ap' = af-\- of *= ***
La courbe qui jouit de cette propriété a reçu le nom d^ ellipse; les points /et/' en sont \es foyers f les extrémités a^byCjd des deux axes sont les sommets ^ le point o
est le centre^ la distance j(/^ est la distance /oca/e , le rapport ^ de cette distance au
grand axe est nommé en astronomie excentricité , les distances xf eX xf sont les rayons vecteurs du point x.
Les plans des parallèles A et A' coupent la droite B en les points e et 6', et si l'on élève par ses points les droites D et D' perpendiculaires sur B, ces droites sont dites les directrices de l'ellipse, et elles jouissent de cette propriété, savoir : que le rapport des distances d'un point quelconque de l'ellipse au foyer et à la directrice cor^ respondant à ce foyer est constant. En effet , faisons passer par x le parallèle E , dont le plan coupe le plan P suivant la droite xg perpendiculaire à B, on aura : ph=xm=xf et g^h' =xm':^=xfi eg et e'g seront les distances du point x aux droites D et ly, puis les triangles semblables eap, ahg donnent paieallahiagf
d*où phigellpaieai mais quel que soit le point x\ le triangle ^ap est constant, donc le rapport phige ou xfige est constant; de même xf ige' est un rapport constant. Donc les distances de chaque point de Tellipse à la droite D et au foyer/ voisin de D (ou de la directrice D correspondant au foyer/) ou à la droite D' et au foyer / voisin de D' sont dans un rapport constant, qui est celui à^acaj ou de be' : bf.
Nous reviendrons plus loin sur les propriétés de cette courbe, nous ajouterons seulement que la propriété fondamentale qui précède s'énonce en disant que : l'ellipse est une courbe dont la somme des rayons vecteurs de ctiaque point est constante et égale au grand axe.
288. Réciproquement une ellipse donnée peut toujours se placer sur une surface cylindrique de révolution. En effet, soient E'^ Tellipse donnée (fig. 188), a'*6'^ son grand axe, c'^d^ son petit axe« o^ son centre; considérons cette ellipse comme la projection horizontale d'une ellipse identique E' située dans un plan F parallèle au plan horizontal, et prenons le plan vertical LT parallèle au grand axe a^b'; décrivons sur le petit axe c^(f un cercle que nous prendrons pour base d'un cylindre vertical de révolution; enQn faisons tourner le plan P' autour de cd jusqu'à ce que le point a' soit venu en a sur G, , en même temps par la symétrie de la figure le point 6' sera venu en b sur G, et le plan P' aura pris la position d'un plan P perpendiculaire au plan vertical de projection , lequel coupe le cylindre suivant une ellipse E (n"" 286) dont : ab=:-a'b' et cd sont les axes; mais deux ellipses qui ont les mêmes axes sont évidemment identiques , donc l'ellipse E intersection du plan P et du cylindre ^ n'est autre que l'ellipse pro* posée E'*.
Remarquons qu'il n'existe qu'un seul cylindre de révolution sur lequel cette ellipse puisse être placée.
Il résulte de là : 1* qu'un cercle peut toujours être considéré comme la projection d'une infinité d'ellipses tracées sur le cylindre de révolution dont il serait la base; 2'' qu'il existe toujours un plan sur lequel la projection d'une ellipse est un cercle.
289. Théorème. La section faite dans un cône de révolution par un plan coupant toutes les génératrices est une ellipse. En effet, soit un cône de révolution coupé par un plan P {pg. 190) suivant la courbe fermée E, conduisons un plan méridien M parallèle au plan vertical de projection et perpendiculaire au plan P et qui coupe le cône suivant les génératrices G, et G, et le plan P suivant une droite B^ laquelle divise évidemment la courbe E en deux parties symétriques.
Gela posé, construisons dans le plan M deux cercles G et C' tangents à la fois aux trois droites B^G.yG,, et faisons-les tourner autour de l'axe A du cône, ils
t* PAETIl. 9
engendreront deux sphères S et S' tangentes au cône le long des parattètes A, A' et au plan P aux points / et /, qui seront les foyers de Tellipse E. Pour le déoioiitrer prenons un point quelconque a; de E , menons par ce point la génératrice G qui touchera les sphères S et S' aux points m et m! des parallèles A et A'; on
aura donc
xf=xmj xf=xm' d'où a;/'-f-j:f' =jîm + a:m' = mm' = constante puis on a :
xf+xf'=pp'=zqq' mais
pp'=ap + ap'=af+ar=^af+fr, qq' = bq + bq' = bf+br = Uf + ff'
Et puisque
pp' = qq' OU aura :
a/= bf
par suite :
pp'=af+af=2bf'^af' = ab et xf+xf^=^àb
Donc la section E est une ellipse dont / et/ sont les foyers , et ab le grand axe.
290. Les plans des parallèles A et A' coupent la droite B aux points e et e' qui sont tels que Ton a : ae = be^y car ap=^af=bf=^bq^ et pp' = gfl'; puis les droites parallèles ep et pV donnent pp':6e'::flp:ae, de même les droites parallèles ^ç et ^Y donnent qq^ : ee! :: bq[ : be\ les trois premiers termes de ces proportions sont égaux, donc ae = be\ ce qu'il fallait démontrer.
Cela posé , si par les points e et e' on mène les droites D et D' perpendiculaires à la droite B, ce seront les directncos do l'ellipse (n° 287). En effet, par le point x faisons passer un parallèle K coupant le plan M suivant le diamètre A/i', et le plan P suivant la droite xg perpendiculaire à B, de sorte que ge^i ge! seront les distances du point X aux droites D et D^ Les triangles semblables ahg^aep donnent Ap, ou xm^ ou xf: gellapiae; de même les triangles semblables gbh\b(^e! donnent h'q'^ ou xm\ ou xf : ge'ilbq' ibe'ilap: ae; donc les distances d'un point quelconque de la courbe E à un même foyer et à la droite D ou D' correspondant à ce foyer, sont dans un rapport constant. Donc enûn D et D' sont les directrices de l'ellipse E.
Si par le sommet s du cône on mène la droite si parallèle à la droite q^e', les
triangles bcfef et sbl sont semblables et donnent bq' : b^iibs: blj l'angle sbl est plus grand que asb^ donc si du point 6 on menait une parallèle à la génératrice G,, elle passerait dans F intérieur de Tangle sbl et couperait la droite si en un point J^ tel
que Ton aurait bi=b8^ mais la droite bl est plus grande que la droite Hy donc enfin bl est pins grand que bs ; d'où il résulte qu'un point quelconque x de Tel* lipse est plus près du foyer que la directrice qui correspond à ce foyer (en se rappelant que la directrice et le foyer qui lui correspond sont toujoun situés d*un même côté par rapport au centre de Tellipse).
291. THÉORinE. Tout point de la section conique ^ composée dune seule branche infinie, est également éloigné du foyer et de sa directrice.
Soit P {fig. 191 ) la section faite par un plan parallèle au plan tangent mené au cône par la génératrice G,, le plan méridien (A,GJ ou M sera perpendiculaire au plan sécant et le coupera suivant une droite B , qui sera Taxe de la courbe P et
qui sera parallèle à G,. Cela posé , inscrivons dans l'angle h'sh , situé dans le plan M, un cercle tangent aux trois droites G, , Gj,B, son centre sera sur l'axe A du cône
et sur la bissectrice de l'angle sag^ laquelle est perpendiculaire à l'axe A ; si Ton suppose que ce cercler tourne autour de A , il engendrera une sphère S tangente à la surface conique de. révolution le long du parallèle A et au plan de la section conique en /, point qui sera le foyer de la courbe P ; le plan du parallèle A coupe la droite Ben un point e; par ce point e, élevant la droite D perpendiculaire à B, on aura en cette droite D la directrice de la courbe P.
Prenons maintenant un point quelconque x sur la courbe P^ par ce point faisons passer un parallèle K, son plan coupe le plan de la courbe P suivant une droite xg perpendiculaire au méridien M , et par conséquent perpendiculaire à la droite B située dans ee plan M ; far ^oite xg est donc parallèle à D , et par conséquent ge mesure la distance du point x à la directrice D. Je dis que l'on a : ge=^xf] en effet y par le point x passe une génératrice G du cône, laquelle est tangente à la sphère S au point m , point en lequel cette génératrice G coupe le parallèle A , on a donc xf=xm=ph=pa'halif mais à cause que la droite B est parallèle à la droite G,, les deux triangles pae et gah sont isocèles et donnent pa=ae , ah=ag , l'on a donc xf=^ge.
Cette courbe P a reçu le nom de parabole j le pointa en est le sommet , et l'on a évidemment af=ae, La droite B est dite aie infini de la courbe.
292. Théorème. La différence des distances dun point quelconque de la section conique ^ composée de deux branches infinies^ à deux points fixes situés sur son axe transverse est constante et égale à la longueur de cet axe.
Soient (H, H') les deux branches infinies de la section faite par un plan parallèle à deux génératrices (fig. 182), coupons le cône par un plan méridien M parallèle au plan vertical de projection et perpendiculaire au plan sécant ; inscrivons deux œrcles C et G^, tangents aux droites B,G,y G, , situées dans le plan M ; supposons
-^ue ces cercles tournent autour de l'axe A et engendrent les sphères S et S' tangentes au cône le long des parallèles A et A' et au plan de la section aux points fetf.
Prenons un point quelconque x sur la courbe (H, H') , menons xf eixfy je dis que xf — xf=coïist.=ab. En effet, par le point x passe une génératrice G tangente aux sphères S et S' aux points m et m', où elle rencontre les parallèles A et A' ; on a donc
xf=^ xm , xf* = xm' d'où
xf — xf= xm' — xm = mm' = constante puis
mm' =pp' == çç' mais
pp'=ap'—ap = af—af=ab + bf'—af, qq' = hq—bq'z=hf—bf=ab + af—br donc
br—af=af—br d'où
<ïbf=^af et bf=:-af par conséquent pp', ou
xf —xf=af —bf =:zab
Cette courbe a reçu le nom d^ hyperbole j les points a et 6 en sont les sommets^ y et/ \es foyers, et le point o^ milieu de ab, en est le centre ^ ei par lo point o on élève une perpendiculaire à a6, on a la droite désignée en analyse sous le non> d'axe jma^matre de l'hyperbole, et la droite ab est Aii^axe réel on transverse de
rhyborbole.
293. Les plans des parallèles A et A' coupent l'axe B aux points a et e', et ces points sont tels que l'on a ae=bef. En effet, les triangles semblables ebq^bqfef et aep^ae'p' donnent be' : bq[ il ee' : qqf eiae: apW ee' : pp', mais b(f=bf=af=:apj qq'=pp^, donc 6e'=ae, ce qu'il fallait démontrer.
Cela posé , si des points e et e^ on élève les droites D et D' perpendiculaires à la droite B, ce seront les directrices de l'hyperbole, qui jouissent de cette propriété, savoir : que tes distances (Tun point quelconque de C hyperbole à un foyer et à la directrice voisine sont dans un rapport constant. En effet, par le point x faisons passer un parallèle K , son plan coupera le plan de la courbe (H, BC) suivant une droite xy perpendiculaire au plan méridien M, et perpendiculaire par conséquent à la droite B, et dès lors parallèle aux directrices D et D', donc ge et ge' sont les distances du point X à ces directrices D et D', et les triangles semblables hag , aep donnent
hp:ge:: ap: ae; mais hp = xm=xf^ donc xf :ge il apiae, de même les triangles semblables bgh^be'q' donnent h'c( \ge' :: bq' AV; mais h'(^^=ixnt!=^xf y bq^=apy be=aef donc xfige^ Il ap : ae , ce qu'il fallait démontrer.
L'angle eap est plus petit que psq, donc si par le point a on mène une parallèle à la génératrice G, du cône et rencontrant pe en t , on aura ai=ap et la droite ae
passera dans Tintérieur de Tangle pai , Ton aura donc ae plus petit que ap.
Dès lors, pour Thyperbole un point quelconque de la courbe est plus éloigné du foyer que de la directrice correspondante à ce foyer.
294. Un cône de révolution ne pouvant être coupé par un plan que suivant une ellipse, une parabole , ou une hyperbole, ces trois courbes ont reçu le nom commun de sections coniques , on les nomme aussi courbes du second degré parce que leurs équations sont du second degré. L'ellipse comprend le cercle, comme cas particulier, et Tellipse devient un cercle lorsque la distance focale est nulle ^ ou que ses deux axes sont égaux.
294 bis. Concevons un cône de révolution A dont Taxe de rotation A se trouve placé dans le plan vertical de projection et perpendiculaire au plan horizontal de projection. Désignons par s le sommet de ce cône et coupons-le par une suite de plans P, P', P'', etc. , parallèles entre eux et perpendiculaires au plan vertical de projection qui sera un plan méridien M du cône A.
Ce plan M coupera la surface A suivant deux génératrices droites G et G, et les plans P, P', P", etc. , suivant des droites parallèles entre elles , et qui ne seront autres que les traites verticcitx5& V% Y", V", de ces plans , lesquels couperont le cône A suivant des sections coniques semblables E,E', E", etc. (qui seront toutes des ellipses, ou des paraboles , ou des hyperboles," solvant la direction donnée aux plans sécants P, F, F', etc.).
Traçons dans le plan M des cercles C, C, C", etc. , tangents aux droites G et G, et aux droites V% V", V", etc. Ces cercles toucheront les traces V, V", V", etc. , respectivement en des points/,/,/', etc., qui seront les foyers homologues des sections coniques E, E', E'', etc.
Cela posé :
Je dis que le sommet s du cône et les divers foyers homologues/,/,/', etc. , sont en ligne droite.
Et en effet , fig. 1 92 bis.
Les rayons of^df.dJ\ etc. , des cercles C, C, C", etc. , seront parallèles entre eux , comme perpendiculaires aux tangentes parallèles entre elles V% V", V", etc.
De même les rayons op, dp\ o"p"j etc. , seront parallèles entre eux comme
perpendiculaires à la droite G, qoi est ane tangente commune aux cerclet
Kaj \j» f \jt ^ 6tC«
On aura doDC :
so : so' : 80" : etc. :: op : dp' : o"f : etc.
ou
