o' : $o" : etc. :: o{\ o'f : o"f" : etc

proportions qui démontrent que le point $ et les points/,/,/', etc., sont en ligne droite.

Si donc deux ellipses, ou deux paraboles, ou deux hyperboles étant semblables et semblablement placées, le pôle de similitude est le foyer de Tune des courbes, il sera en même temps le foyer de la seconde courbe.

295. Une section conique quelconque peut toujours être placée sur une infinité de cônes de révolution , dont les sommets sont les différents points d'une autre section conique , comme nous allons le démontrer :

X"" Soit donnée une ellipse E (Jxg. <93), dont ab et ci sont les axes, /et/ les foyers; considérons le plan de la courbe E comme horizontal, et par Tun des foyers/ élevons la verticale /r sur Laquelle nous prendrons un point r quelconque; de ce point r, cooome centre, et avec le rayon /r décrivons un cercle G dans le plan vertical M passant par le grand axe affb de Tellipse E; puis des points a et 6 n]yeD0ns des tangentes à ce cercle, elles se couperont en un points, qui sera le sommet d'un cône de révolution A ayant êr pour axe, «a et sb pour génératrices droites situées dans le plan M. Sur ce cône A est plaoée rôUip&a E ; en effet , cette surface conique A sera coupée par le plan horizontal suivant une ellipse ayant même axe aA, et mômes foyer© /et/ que E , car en comparant la figure actuelle avec la figui-c i 90 , on voit que le cercle G est précisément celui qui par son point de contact/ avec a6 donnerait le foyer de la section; mais deux ellipses ayant même axe et mêmes foyers sont évidemment identiques , donc Tellipse E est placée sur la surface conique A que nous venons de considérer.

En choisissant un autre point r' sur la verticale , on obtiendra une autre surface conique A', ayant pour sommet un point s' ; on pourrait aussi élever la verticale par le second foyer/', et l'on obtiendrait ainsi une série de sommets «, «', etc. , tous situés sur une courbe (H, W) , que je dis être une hyperbole ayant pour sommets les foyers / et / de l'ellipse E , et pour foyers, les sommets a et 6 de cette ellipse. En effet , on a évidemment d'après la figure , pour un point quelconque $ de cette courbe (H, H') :

#6 — â(»=S9 4~9^^^'P — P* = H — ap = h{ — a/'= hf — hf = ff'

296. De ce qui précède on peut conclure différentes propriétés de l'hyperbole. On voit d'abord que si Ton construit un cercle C de rayon quelconque tangent

à l'axe transverse de l'hyperbole (H, BC) au sommet /, et que des foyers a et fr on mène des tangentes à ce cercle , ces tangentes vont se couper en un point 9 de l'hyperbole situé sur la branche qui passe par le sommet /, ce qui fournit mi moyen de construire par points une hyperbole dont 011 connaît les sommets et les foyers. Réciproquement si l'on mène les rayons vecteurs «a, sb d'un point quelconque s de l'hyperbole, et que Ton inscrive un cercle dans le triangle asb^ ce cercle touchera l'axe transverse au sommet / de la branche d^hyperbote sur laquelle est situé le point s.

Les points de contact des cercles ainsi construits et des rayons vecteurs aboti* tissant au même foyer a sont sur une circonférence de cercle décrite de ce foyer comme centre et avec la distance a/* pour rayon. Car pour tous ces cercles on a: ap = af comme tangentes issues d'un même point.

297. Si l'on suppose que le cercle C tourne autour de l'axe «r, il engendrera une sphère tangente à la surface conique le long du paraUMe A, dont le plan coupera Taxe 06 de l'eJlipse E en un point e appartenant à la directrice D de cette courbe (n® 289), on aura donc pour un point quelconque a: de E la proportion œfige:: af: ae. Si l'on prend un autre sommet s , sur la même branche H de l'hyperbole , qu'on fasse les mêmes constructions par rapport au nouveau cône , le plan du parallèle de contact A coupera ab en un point , que je désigne pour un instant par «, , et Ton aura xf:ge^::af:ae^; de ces deux proportions on tire ge:ae*,ig€^ i^e,^ êr^^^ — me^iae V.ge^ — ae^ '«^lî maisgre — a€=ag=ge^ — ae^j donc ae=ae^. Donc tous les plans de paraitèles de contact tels que A coupent te plan de l'ellipse E suivant la même droite D et ne déterminent ainsi qu'une seule directrice de celte courbe E. Si l'on considère les cônes ayant leurs sommets sur l'autre branche H' on obtiendra de la même manière la seconde directrice D' de l'ellipse E.

298. On démontre par Vanatyse appliquée à la géométrie que la tangente à l'hyperbole divise en deux parties égales l'angle des rayons vecteurs du point de

contact; or, l'axe sr du cône de révolution divise l'angle asb en deux parties égales, donc il est tangent à l'hyperbole (H, H') au point s. D'où Ton déduit cette propriété que les axes des cônes de révolution sur lesquels on peut placer une ellipse sont tangents à la courbe lieu de leurs sommets. Mais cette propriété se trouvera démontrée par la géométrie descriptive sans avoir besoin de recourir à V analyse ; car plus loin nous démontrerons directement la propriété suivante, savoir : la normale en un point d*une section conique divise en deux parties égales l'angle des rayons rectemrs afont te point considéré pour sommet.

En augmentant le rayon fr^ les tangentes ab et bq approchent du parallélisme; lorsque ces droites seront parallèles, le sommet s sera transporté à Tinfini, et le cône se transformera en un cylindre. On aurait un second cylindre en décrivant un cercle égal et tangent au point /', mais il est facile de reconnaître que ces deux cylindres sont superposables et qu'ainsi on peut placer sur un cylindre (n"* 287) de révolution Tellipse proposé E, de deux manières différente , cette courbe Ë affectant dès lors sur le cylindre deux positions que Ton obtient {fig. 188} en faisant tourner le plan P de Tellipse E autour de cd d'un côté ou d'autre et d'^n même angle.

Dans le cas que nous considérons , Taxe du cylindre passe par le centre o (fig. 193) de Ë et par le point de Thyperbole (H, H') situé à Tinfini, donc il sera Tasymptote de celte hyperbole, car nous démontrerons plus loin que les asymptotes de rhyperbole passent par le centre.

S99. 2'' Soit donnée une parabole P {fig. 194), dont a est le sommet et/ le foyer; considérons le plan de P comme horizontal, et par le foyer élevons la verticale /r sur laquelle nous prendrons un point quelconque r pour centre d'un cercle C tangent à l'axe infini de la parabole et au point/, puis ayant prolongé /r jusqu'en q , menons par les points a et 9 des tangentes à C , elles se couperont en un point «, qui sera le sommet d'un cône de révolution ayant /r pour axe, sa et ^q pour génératrices droites, et sur lequel est placée la parabole P. En effet, le plan horizontal, parallèle à la génératrice sq, coupe cette surface conique suivant une parabole ayant même sommet a et même foyer / que la courbe donnée P (n* 290), donc ces deux paraboles sont identiques. Donc, enfin, la parabole P est placée sur la surface conique que nous venons de considérer.

En prenant d'autres centroe r sur la verticale élevée au point/, on trouvera une infinité d'antres surfaces coniques, sur lesquelles sera également placée la parabole P, et je dis que les sommets s sont les différents points d'une parabole P' ayant son sommet en/ et son foyer en a. En effet, la figure montre évidemment que pour un point quelconque s de P' on a :

8a=zsp-\-paz=zsp -\-af=8p -^ fe'=^8q-\-ql = sl

300. On voit par ce qui précède que si l'on construit un cercle C d'un rayon quelconque et tangent à l'axe infini d'une parabole F au sommet/, que l'on mène une tangente à ce cercle C par le foyer a et une autre tangente à ce même cercle , mais parallèle à l'axe infini , ces deux tangentes se rencontrent en un point s de la parabole P', ce qui fournit un moyen de construire par points une parabole dont on connaît le sommet et le foyer. Réciproquement, si par un point quelconque s de la parabole V on mène le rayon vecteur et une parallèle à l'axe infin i

et extérieurement à la courbe P', le cercle tangent à ces trois droites touchera Taxe infini de la parabole F au sommet de cette courbe F.

Les points de contact des cercles ainsi construits et des rayons vecteurs sont sur une circonférence de cercle décrite du foyer comme centre et avec la distance a/ pour rayon y car pour tous ces cercles on a ap=af.

301 . Si Ton suppose que le cercle C tourne autour de l'axe «r, il engendrera une sphère tangente à la surface conique le long d'un parallèle A dont le plan coupe le plan de la parabole P suivant la directrice D (n* 290), de sorte que Ton a ae=a/; pour tout autre sommet Sj on trouvera un autre parallèle A dont le plan devra couper le plan de la parabole suivant la même droite D, puisque af est constant.

302. Par Vanalyse appliquée à la géométrie on démontre que la tangente à la parabole divise en deux parties égales Tangle du rayon vecteur et du diamètre, donc Taxe sr est tangent à la parabole P', on en conclut évidemment que la soustangente est double de l'abscisse, car on a nf^=q8; mais nous démontrerons directement cette proposition (n'^SSi), et ensuite nous démontrerons que cette môme propriété existe pour l'ellipse et l'hyperbole en la faisant passer de la parabole sur ces deux .courbes.

303. A mesure que le sommet s s'éloigne sur la parabole F, le rayon fr du cercle augmente indéfiniment, de sorte que le cône ne pourrait dégénérer en cylindre qu'en supposant fr infini , c'est-à-dire qu'une parabole P ne peut jamais être placée sur un cylindre de révolution. Donc aussi un cylindre de révolution ne peut pas être coupé par un plan suivant une parabole.

304. 3* Soit donnée une hyperbole (H, H') {fig. 195) dont a et 6 sont les sommets, / et/ les foyers; considérons le plan de (H, H') comme plan horizontal, et par l'un des foyers / élevons la verticale fr et d'un centre quelconque r décrivons le cercle G tangent en /à l'axe réel ou transverse afr, par les sommets a et 6 menons des tangentes à ce cercle , elles se couperont en un point s qui sera le sommet d'un cône de révolution ayant sr pour axe, m et sb pour génératrices droites et sur lequel sera située l'hyperbole (H, H ). En effet, cette surface conique sera coupée par le plan horizontal suivant une hyperbole ayant mêmes sommets a et 6 et mêmes foyers/ et/' que l'hyperbole proposée, et qui par conséquent sera iden* tique avec elle.

Mais en choisissant un autre point r, on trouvera par la même construction on autre sommet s d'un cône de révolution sur lequel sera située l'hyperbole proposée (H,H^; le lieu de ces sommets est une ellipse E ayant pour sommets les foyers/et/ de l'hyperbole (H, H^) et pour foyers les sommets a et 6 de cette byper-

t* PÀATIB. iO

bole; en effet, pour l'un quelconque de ces sommets «, on a évidemment :

$a-{-$b=:sp + pa'^qh — sq = ap-{'bq=^af-\-bf=bf -\'bf=ff'

308. Nous voyons par ce qui précède que si Ton décrit un cercle d'un rayon quelconque tangent au grand axe d'une ellipse E et en son sommet; que si des foyers a et 6 on mène des tangentes à ce cercle , elles vont se couper en un point s de l'ellipse E; ce qui fournit un moyen de décrire par points une ellipse dont on connaît les sommets et les foyers. Réciproquement, si l'on décrit un cercle tangent : 1** au grand axe d'une ellipse E, 2** à l'un des rayons vecteurs mené à un point x de cette ellipse et 3* au prolongement de l'autre rayon vecteur mené au même point a;, le point de contact avec l'axe sera au sommet de la courbe E.

Les points de contact des cercles ainsi construits et des rayons vecteurs aboutissant au même foyer a sont sur une circonférence décrite de ce foyer comme centre et avec la distance af pour rayon , car pour chacun de ces points on a toujours af=ap.

306. Si l'on suppose que le cercle C tourne autour de l'axe «r, il engendrera une sphère tangente à la surface conique le long d'un parallèle A , dont le plan coupera le plan horizontal suivant une droite D, directrice de l'hyperbole (H, H') (n* 292).

Si Ton construit donc des cônes ayant leurs sommets en chaque point de l'ellipse E et les sphères correspondantes, tous les plans des parallèles de contact se couperont suivant la même droite D.

307. On démontre par Vanalyse appliquée à la géométrie que la tangente à l'ellipse divise en deux parties égales l'angle supplémentaire des rayons vecteurs menés au point de contact. Or, l'axe $r du cône remplit cette condition, donc il doit être tangent à l'ellipse.

Plus loin nous démontrerons directement cette propriété , en démontrant que la normale en un point d'une ellipse divise en deux parties égales Taugle des rayons vecteurs passant par ce point.

Si le point s est au sommet du petit axe de Tellipse , l'axe sr du cône est parallèle à a6, ce qui est évident, car alors les angles sabj sba sont égaux, par suite la bissectrice de l'angle extérieur est parallèle à la base, donc dans ce cas particulier il est démontré que Taxe du cône est tangent à l'ellipse.

En augmentant encore le rayon/r, le sommet s se rapproche de /', et jamais le cône ne dégénère en cylindre ; donc une hyperbole ne peut jamais être placée sur

un cylindre de révolution. Donc aussi un cylindre de révolution ne peul jamais être coupé par un plan suivant une hyperbole.

308. Problème III. — Placer une section conique donnée sur un cône de ré-volution donné. V Si la section conique est une ellipse E {fig> 193) en pre*-

nant un point quelconque de l'hyperbole (H, H') on voit que l'angle ask peut varier de 180* à 0% donc on pourra placer la courbe E sur le cône donné quel que soit son angle au sommet; et pour placer la courbe E sur le cône^ ayant mçné un plan méridien de ce cône, il suiTira d'inscrire dans l'angle des génératrices extrêmes une droite ab égale au grand axe de Tellipse , ou autrement ayant construit comme ci-dessus (n" 294) la courbe (H, H'), puis sur ab et dans le plan de

cette hyperbole (H, H') ayant décrit un segment capable de l'angle a«6 (formé par les génératrices extrêmes du cône donné) , ce segment coupera l'hyperbole en deux points symétriquement placés , les unissant l'un et l'autre aux points a et b on aura deux triangles identiques; soit sab l'un d'eux, on coupera le cône donné par un plan méridien et l'on portera respectivement sur les deux génératrices qui y seront contenues les distances sa^sb, puis conduisant par les deux points ainsi obtenus un plan perpendiculaire au plan méridien , il coupera le cône suivant une ellipse identique à la courbe proposée.

2" Si la section conique donnée est une parabole P {fig. 1 94) , on construira encore la parabole P' (n"" 298); du sommet a, on mènera une droite faisant avec Taxe infini de la courbe F un angle supplément de l'angle au sommet du cône proposé, cette droite coupera P^ en un point s, portant la distance as sur une génératrice du cône , et par le point ainsi obtenu menant une parallèle à la génératrice opposée du cône , puis par cette droite un plan perpendiculaire au plan méridien correspondant , il coupera le cône suivant une parabole identique à la courbe proposée. Il est évident que cette construction est possible quel que soit l'angle au sommet du cône proposé. Donc une parabole quelconque peut être placée sur un cône quelconque de révolution, c'est-à-dire : quel que soit l'angle au sommet de ce cône.

3"' Si la section conique donnée est une hyperbole (H, H') {fig. <95), ayant construit l'ellipse E (n* 303), on décrira sur o6, et dans le plan de cette ellipse, un segment capable du supplément de l'angle au sommet du cône donné , il coupera E en un point s; prenant alors deux génératrices opposées du cône donné et sur ces génératrices, mais dans des nappes différentes pour l'une et l'autre, portant les distances sa,sb; menant ensuite par ab un plan perpendiculaire au plan méridien correspondant, il coupera le cône donné suivant une hyperbole identique à la courbe proposée. Il est évident que le segment décrit sur ab ne coupera pas tou-

jours Tellipse E, il faut que Tangle au sommet du cône soit plus grand que le supplément de Tangle des rayons vecteurs menés du sommet du petit axe de Tellipse E. Donc une hyperbole quelconque ne peut pas toujours être placée sur un cône quelconque de révolution, elle ne peut se trouver que sur un cône dont Tangle au sommet est au moins égal au supplément de celui d'un triangle isocèle ayant pour base Taxe transverse ab et pour côté la demi-distance des foyers ofde cette hyperbole.

Des focales des sections coniques.

309. Dans Tellipse chaque foyer peut être remplacé par un point quelconque de la branche d'hyperbole (n^ 29i) qui y passe et la propriété fondamentale de cette courbe (savoir : que la somme des rayons vecteurs menés à un point quelconque de la courbe est constante) est encore satisfaite. En effet, prenons les points s et «' (Jig. 193) respectivement situés sur les deux branches de l'hyperbole (H, H') et considérons un point x quelconque de l'ellipse E; les génératrices SX et s\x rencontrent les parallèles A et A' en les points t et e' et l'on a st=spj s*t!:=^s'p\ xt^=xf^ xi' = xf comme tangentes à une même sphère et issues d'un même point; donc l'on a :

SX'\-s'x=z9Î-\-tX-\-s'('{-i'x=^Sp + ^p'-\'Xf'\'Xf'^=:^ah + 9p-\'ilp'=^COÏ^^^

Donc ces points s et s' pourraient aussi être nommés foyers de l'ellipse E et soos ce point de vue, l'hyperbole (H, H') est le lieu des foyers de l'ellipse E, ce qui lui a fait donner le nom Aq focale de C ellipse.

Il est évident que si l'on prend les deux foyers sur la même branche de l'hyperbole (H, HO 9 on trouvera que c'est la différence des rayons vecteurs qui est constante et non leur somme, car on aurait dans l'expression de chaque rayon vecteur le terme xfow xf\ que l'on ne pourrait faire disparaître que par soustraction; et, en effet, en considérant le même foyer /, on voit que {xf-^xf) n'est plus constant, mais bien {xf — a/), puisque l'on ax/ — xf=0.

310. Si de même pour la parabole P on remplace le foyer f (Jig. 194) par un point quelconque s de la parabole F (n^ 298), et si l'on prend en même temps au lieu de la directrice D, une parallèle à cette droite et menée par le point où a/ est coupée par une parallèle à qp passant par le point «, on voit de suite qu'un point quelconque de la parabole P sera encore également distant du foyer s et de la directrice correspondante. En effet, on a :

xs=^xt'\-is=ixf'^sq^=:xg'\'gg^-=xg^

La parabole F est donc le liea des foyers de la parabole P, elle est dite pour cela la focale de celte courbe.

311. Enfin, si Ton remplace les foyers de l'hyperbole (HjHOC/jf. 195) par deux points quelconques s^s^ de Tellipse Ë (n"" 303), la différence des distances d'un point quelconque de Tbyperbole à ces deux points sera encore constante. En effet, considérons deux points m et m' de Thyperbole situés l'un sur une branche et l'autre sur l'autre branche de l'hyperbole , on sait que si la courbe E est le lieu des sommets des cônes de révolution sur lesquels on peut placer l'hyperbole (H,H% réciproquement la courbe (H, H') sera le lieu des sommets des cônes de révolution sur lesquels on peut placer l'ellipse E (n** 294 et 303), donc la courbe (H, H') sera la focale de la courbe E (n"* 308) et l'on aura :

sm-{-8ml=^i'm-\'ftfnl d'où m$ — mtf:=m'$' — m'<=constante

Si l'on prend deux points m et m!' sur une même branche de l'hyperbole, on aura (n'' 308) :

m$ — m"* = ma' — m'V d'où m"« — mV = m« — iiw' = constante

Donc l'ellipse E est la focale de l'hyperbole (H,H^.

Le mode de démonstration que j'ai employé pour obtenir les propriétés de» foyers et des focales des sections coniques a été exposé pour la première fois par MM. Dandelin et Quételet {*).

Diverses propriétés de l'ellipse.

312. Nous avons vu (n"* 286) qu'une surface cylindrique de révolution est coupée suivant une ellipse par un plan incliné à l'axe de ce cylindre, de sorte qu'en supposant cet axe vertical, la projection horizontale de l'ellipse sera un cercle. Cela posé, si Ton conçoit que toutes les droites tracées sur le plan horizontal soient les projections de droites tracées sur le plan de l'ellipse, il est évident que les cordes du cercle sont les projections de cordes de l'eHipse; quele milieu de la corde du cercle est la projection du point milieu de la corde de l'ellipse; que deux droites parallèles sur le plan du cercle sont les projections de deux droites parallèles sur le plan de l'ellipse; qu'une tangente au cercle est la projection d'une tangente à l'ellipse; que deux droites qui se coupent dans le plan du cercle sont les projections de deux droites qui se coupent dans le plan

(*) Voffez les Mémoires de rAcadémie royale des sciences de Bruxelles.

de l'ellipse. Mais Tangle des projections de deux droites n'est pas égal à Tangle des droites projetées, à moins que ces droites ne soient Tune une horizontale et l'autre une ligne de plus grande pente du plan de Tellipse , auquel cas ces droites dans Tespace et leurs projections sur le plan du cercle sont également perpendiculaires entre elles.