D'après cela nous conclurons facilement ce qui suit

1® Nommant diamètre d'une courbe une ligne qui divise en deux parties égales un système de cordes parallèles, les diamètres du cercle sont des droites, donc les diamètres d'une ellipse sont des droiêes.

2** Tous les diamètres d'un cercle passent par le centre et y sont coupés en deux parties égales; donc les diamètres dune ellipse concourent en un point ^ qui est leur milieu commun et qu'on nomme centre de rellipse.

y Les diamètres d'un cercle sont perpendiculaires aux cordes qu'ils divisent en deux parties égales; mais il n'en sera pas de même dans l'ellipse, excepté toutefois pour le diamètre dirigé suivant une ligne de plus grande pente du plan et pour le diamètre horizontal. Ces deux derniers diamètres sont nommés les axes de l'ellipse.

i^ De deux droites, qui ont des projections égales, la plus grande est celle qui fait avec le plan de projection le plus grand angle; or, tous les diamètres du cercle sont égaux, donc le plus grand diamètre de l'ellipse est celui qui est dirigé suivant la ligne de plus grande pente de son plan , et le plus petit est le diamètre horizontal; c'est-à-dire que les axes d'une ellipse sont ses diamètres maximum et minimum,

5'' On nomme diamètres conjugués doux diamètres, dont chacun est parallèle aux cordes divisées par l'autre en deux parties égales; dans le cercle les diamètres conjugués sont perpendiculaires entre eux ; mais il n'en sera pas de même dans l'ellipse, excepté pour les axes, qui forment le seul système de diamètres conjugués de l'ellipse perpendiculaires entre eux.

6"" Les diamètres du cercle qui font des angles égaux avec la projection de l'un des axes sont les projections de diamètres égaux de l'ellipse , car ils sont égale* ment inclinés sur le plan horizontal et ont des projections égales; mais ces diamètres ne sont conjugués qu'autant qu'ils font avec la projection de l'un des axes des angles demi-droits; donc il n'y a dans l'ellipse qu'un seul système de diamètres conjugués égaux.

7^ La tangente au cercle est parallèle au diamètre conjugué de celui qui passe par le point de contact ; donc aussi la tangente à l'ellipse est parallèle au diamètre conjugué de celui qui passe par le point de contact ; et par conséquent les tangentes aux extrémités d'un même diamètre sont parallèles.

8^ Od Domme cordes supplémentaires deux cordes qui partant d'un même point de la courbe aboutissent aux extrémités d'un même diamètre; or, dans le cercle les cordes supplémentaires sont perpendiculaires entre elles et par conséquent parallèles à deux diamètres conjugués; donc aussi dans Tellipse les cordes sup* plémentaires sont parallèles à deux diamètres conjugués, mais les cordes suppléa mentaires parallèles aux axes sout seules perpendiculaires entre elles.

9" Dans le cercle des tangentes aux extrémités d'une corde concourent en un point du diamètre conjugué de cette corde, c'est-à-dire en un point du diamètre qui passe par le milieu de la corde qui unit les points de contact ; donc aussi dans Tellipse les tangentes aux extrémités d'une corde concourent en un point du diamètre conjugué de cette corde ; et par conséquent si l'on mène des tangentes aux extrémités de tant de cordes parallèles que Ton voudra, ces tangentes -concourront deux à deux en des points situés sur le diamètre conjugué de ces cordes parallèles.

10° Si d'un point extérieur à l'ellipse on mène deux tangentes à celte courbe, ensuite la corde qqi unit les points de contact, et enfin une parallèle à cette corde, les portions de cette parallèle comprises entre les tangentes et la courbe sont égales entre elles (c'est évident d'a[)rès la figure).

31 4. Il résulte de ce qui précède les constructions graphiques de plusieurs problèmes , qu'il est utile de savoir résoudre lorsqu'une ellipse est donnée par son tracé.

V Pour trouver le centre d'une ellipse E il suffit de mener deux cordes parallèles C et C, de construire leur diamètre conjugué D qui passe par les points rf et df milieux de ces cordes C et C et de prendre le milieu du diamètre D.

2° Pour trouver les axes d'une ellipse E, on construit un de ses diamètres D quelconque, sur lequel , comme diamètre , on décrit une circonférence de cercle B, laquelle conpe lellipse en un point m que l'on unit aux extrémités du diamètre D ; on a deux cordes supplémentaires rectangulaires entre elles et auxquelles les axes de l'ellipse sont par conséquent parallèles (n"* 31 3, 8*).

3"" Les diamètres conjugués égaux sont parallèles aux cordes supplémentaires menées d'une extrémité d'un axe aux extrémités de l'autre axe.

i"" Pour construire la tangente en un point m d'une ellipse E , on mène le diamètre D qui passe au point fit, ensuite une corde G parallèle à D, enfin on unit les milieux des droites C et D par une droite D' à laquelle la tangente demandée est parallèle (n" 313, 7*) , car D etD' sont deux diamètres conjugués.

S"" On peut aussi construire la tangente de la manière suivante : on mène le diamètre D qui passe au point m , ensuite une corde C parallèle à D, enfin la corde C supplémentaire de C, et la tangente au point m est parallèle à la corde C (n* 31 7* et 8*).

6* Les mêmes opérations graphiques s'appliquent à la construction de la tan-

gente parallèle à une droite donnée, car on obtient le point de contact en menant un diamètre parallèle à la droite donnée, puis son conjugué.

315. La projection horizontale (Tune droite esi égale à la droite projetée mtdtiptiée par le cosinus de F angle qu'elle fait avec sa projection ; car la droite ab {fig. 496 ) est rhypotcnuse d'un triangle rectangle dont la projection ou une parallèle ac à cette projection est un côté de Tangle droit; ou a donc : ac=abXcos a.

La même relation existe entre la surface ou aire d'une figure plane quelconque et la surface ou aire de sa projection. En effet, soit 1* un triangle abc {fig. 197) ayant un côté ab sur le plan de projection , nous avons en représentant Taire du triangle cab par A et Taire de sa projection abd par A^ :

A=^a6xce, A'^r=ia6xed» mais ed=ceXcosa

donc

1'^= iofc X cex cosa = A X cos a

^ Soit le triangle abc {fig. 198) ayant un seul sommet a sur le plan de projection , prolongeons le côté opposé bc et sa projection de jusqu'à leur rencontre en / et joignons par la droite a/ les deux points a et/; nous aurons

abc=afc — ahfy ade=^afe — afd ^ mais a/'e=a/c xcosa, afd=afbxcos9,

donc

ade = abcxcosci

On peut toujours se ramener à ce dernier cas, en menant par Tun des sommets un plan parallèle au plan de projection.

Une autre figure plane peut toujours se décomposer en triangles de grandeur finie ou infiniment petite, et par conséquent la proposition précédente lui serait applicable. Donc, si en général on représente Taire d'une figure plane parK, par K'^ Taire de sa projection et par a, Tangle que fait son plan avec le plan de projection , on aura K^=E . cos «. On peut donc énoncer ce qui suit :

316. I*" Les quarrés circonscrits au cercle sont égaux, donc les parallélogrammes circonscrits à Tellipse, dont ils sont les projections, sont équivalents entre eux.

2* Les rectangles inscrit^ au cercle ont pour diagonales des diamètres; donc les diagonales des parallélogrammes inscrits à Tellipse sont aussi des diamètres.

3* Les quarrés inscrits au cercle sont égaux et leurs diagonales sont des diamètres conjugués; donc les parallélogrammes inscrits à Tellipse et dont les diagonales sont des diamètres conjugués, sont tous équivalents entre eux.

4* Nommant E Taire de Tellipse, a Tangle que son plan fait avec le plan du

cercle C projection de Tellipse E , et R le rayon de ce cercle C , on a tcR* =E . cos « ; et si A et B sont le demi-grand axe et le demi-petit axe de Pellipse , on aura : R=B=Acosa, et par suite tu.A.B. cosa=E. cosa; donc, enfin, E=7rAB. Ainsi Taire de Tellipse est égale à celle d'un cercle dont le diamètre serait moyen proportionnel entre les deux axes de l'ellipse.

317. Dans deux cercles concentriques les cordes sous-tendues par des angles égaux sont entre elles comme les rayons de ces cercles, et par conséquent proportionnelles entre elles. Si donc on considère ces deux cercles comme les projections de deux ellipses tracées sur un même plan , ces ellipses seront concentriques et jouiront de cette propriété , à savoir que leurs diamètres homologues et leurs cordes homologues sont proportionnels ; donc les axes de ces ellipses sont proportionnels et on dit que ces ellipses sont des ellipses semblables , semblablement placées et concentriques.

On pourrait transporter Tune de ces ellipses parallèlement à elle-même dans son plan, ou dans un plan parallèle; elle aurait toujours pour projection un cercle et resterait semblable et semblablement placée par rapport à l'autre ellipse.

Je dis que deux ellipses situées dans un même plan , ou dans deux plans parallèles , et qui ont pour projections des cercles , sont semblables et semblablement placées. En effet j soient R et R^ les rayons des deux cercles projections ; A et B deux diamètres de l'une des ellipses; A' et B^ les diamètres qui dans l'autre ellipse sont respectivement parallèles aux diamètres A et B; les droites A et A' feront avec le plan horizontal un même angle a , et aussi les droites B et 6^ feront avec le plan horizontal un même angle ^ , et par conséquent on aura

R = Acosa = Bcosp, R' = A'cosa = B'cos6

d'où A : B : : A' : B' ; donc les deux ellipses sont semblables et semblablement placées.

318. Pour mener la tangente au cercle C {fig. 199) par un point extérieur a on décrit sur oa comme diamètre un cercle C qui coupe le cercle C aux points de contact b eic des tangentes ab et ac, et si par le point a on mène une sécante quelconque, la partie df comprise dans le cercle C est coupée en deux parties égales

en e par le cercle C, car si l'on joint oe l'angle oca est droit. Donc pour mener la tangente à l'ellipse, dont le cercle C serait la projection, par un point projeté en a, il faudra exécuter les constructions suivantes (pour abréger le discours nous nommerons les projections au lieu des lignes projetées) , sur oa comme diamètre homologue de gfA, nous décrirons une ellipse C semblable à 1 ellipse C et semblablement placée , elle coupera l'ellipse C en deux points 6 et c , qui seront les points

3* PAtTlI. li

de ceti^act des tangeoles eb et ecy et -si Tcm Tsène fi» ffiécante quelcxMiqae , la partie c^ comprise dans Tellipse G est coupée en deuic {)arties égales ^en ^parT^ellipse C

319. Ce qui a été dit (if ^81), conduit à la méttiode suivanïte pmir mener la tangente en un point m d'une ellipse 'E. On construira le petit axe de l'ellrpse E et sur ce petit axe comme diamètre on décrira un cerde C. Du point m on abaissera sur ce petit axe une perpendiculaire qui coupera le cerdle C en n ; on mènera la tangente en n au cercle C , elle coupera le petit axe prdiongé en s ; joignant les points $ et m, on aura la tangente demandée.

On peut décrire le cercle sur le grand axe et opérer de la même manière ; mais auparavant il faut démontrer qu'un cylindre oblique est coupé pai- un plan suivant une ellipse , et que par suite un cercle se projette suivant une ellipse ; e^est ce que nous verrons plus loin.

320. Si dans un cercle C {fig. 200) on inscrit un hexagone dont .les côtés cfe, ef soient respectivement parallèles aux côtés opposés a6, bc^ je dis que les autres

côtés ed et .a/'sont parai lèles ; *en effet y tes anjgles «ofrc ^ert *def sont égaisx ceunne ayant tes côtés parallèles >et dirigés en sens ^contraires; dcmc iessvcsit^èdcti fabnd qfn'ils sous^tendent sont égausi donc teors^nppléannto à te cîrconlérenoe teiÉièrefeâ ^ abc BOfrt égaux ; si 4'<(!m prend les «milieux ^^et 1i des ares reiAante^^^et cd, on aura aussi Tare gabk=i Tare ^dh , donc gh ^est tin diamètre penpenoMcuteipe auK desx cordes xff et trd , <lonc nf et cd sont ^araflèles. >H en vésuUe qae si tUm» Mlifêe , ttonft le cercle G serait la projection , ^n inncnt un "hemagcme doni deum câêés màeÊÊ jamdléles à leurs opposés , les deux autres côtés seront parallèles entre eux.

321. Problème 4. Par un point extérieur mener une tangente à une ellipse dçnnée par seM axes. Soient ab et cd {fig.. 201) tes axes d'une ellipse £ et un peint m par lequel il faut lui mener une tangente. Prenons le plan de l'ellipse pour plan horizontal ^t te grand axe ab pour ligne de terre^ sur le petit axe cd décrivons ua cercle C que nous considérerons comme la base d'nn cylindre A vertical et de révolnlion ; Je plan du cercle restant fixe y supposons que le plan de l'elUpse tourne autooir de cd jusqu'à ce que l'ellipse soit placée sur le cylindre A (n"" 287) en E', le point m entrainé dans ce mouvement viendra en m', puisqu'il est sur le plan P' qui contient l'ellipse E' ; meiratït de m'* une tangente à E'*, pais rameniinl le pomt ai' en ,r par fin mouvement len ^ens contraire^iet joij^ant xm, nous anrons la tangente demandée. On eon^roira?t de raêrne la tangente imrafllète à une tïroîte donnée , -etc. ... en rmnenawt totijoars tes con*ruc5tïons % steflfechier par r»ppwt « wrcte C décrit sur te pcftit aice (cerdte'qni est la projectten "de T^elKpse V) , ffcns msuile en Teportant 'tes points SUT te plan 4e cette coaifieE'.

La DutoieopératiûDi graphique fera caimaitre les pointa d'intersection d'une dreite et d*une ellipse donnée par ses axes ;, car^ ayant amené Tellipse donnée dans la position E' et. la droite D en DV D^'^ coupera Ë''^ en deax points que Ton ramènera sur le plan horizontal. par un mouvement contraire; ils appartiendront à D et seront les points- demandée.

Diverses propriétés de la parabole.

3S2; Les propriétés de l'ellipse qui ne sont pas une conséquence de ce que la courbe est fermée s'appliquent également à la parabole, on peut les faire passer de Tune de ces courbes sur l'autre par la construction suivante : soient un cône de révolution (^, B) {fig. W2) , et P une parabole donnée par un plan sécant parallèle au plan T' tangent au cône le long de la génératrice «n\ En un point quelcanquam menons la tangente 0 et le plan tangent! le long^de la génératrice ^m; par le points menons une droite D parallèle au plan 0 , elle sera située dans le plan T et pat conséquent tout entière hors de la surface conique, et un plan R perpendiculaire au plan. tangent T conduit par D n'aura que le sommet s de commun avec le O'ône; si donc pan 0 on mène à ce plan R un plan parallèle Q , ce plan Q coupera le cône suivant une ellipse E., qui aura aus^ pour tangente 0. Cela posé, il est évident cpie si Ton fait passer desr plans par le sommet s et par une série de cordes de l'ellipse parallèle à 0 , ces plans couperont le plan de la parabole P suivant' une série de cordes- de cette courbe et toutes parallèles à 0 et le plan passant par le sommets et par le milieu (Jes cordes de l'ellipse passera aussi par les milieux^ des corde» de la parabole. Donc les diamètres de la parabole sont des droites.

Si par la droite D on construit un second plan tangent à la surface conique, il sera parallèle au plan de la parabole , car le plan T' tangent le long de sn' elle plan de 1» parabole P étant parallèles entre eux sont coupés par le plan T suivant deux droites parallèles ,. mais Tune de» intersections- est-0 , donc l'autre est parallèle à. ®, et comme elle) passe par le sommet s , elle n'est autre que D ; la génératri^:^. sn' coupe Tellipse en m! et le plan T^ coupa le plan de l'ellipse E. suivant une tangente & porailèle à D et par conséquent parallèle à 0 ; donc tum' est le diamètre de. l'ellipse conjugué' de la. tangente 0 ; la génératrice W étant parallèle à p^, le plan ^nn' coupe le plan de la parabole P suivant une parallèle. à>W ou p9,.donc le diasiàtce de la parabole passant par »n. est parallèle à l'axe pq^ En menant la tangente © ppir un autre point de la parabole, on arrivera à des conséquences semblables*,. donc tous les diamètres de la parabole sont parallèles à l'axe infini de cette courbe. Donc la parabole n^a pas de centre, ou , ce qui exprime la même idée, le centre de&la.pnmheïftiqst ^Uié. à une distança infinie.

Par ce qui précède , on voit de suite que la tangente à Textrémité d*un diamètre est parallèle aux cordes divisées par ce diamètre en deux parties égales.

Si on mène la tangente 0 au point p , elle sera horizontale , car les plans tangents au cône suivant les génératrices sp et sn^ ont leurs traces horizontales parallèles et se coupent par conséquent suivant une horizontale y cette tangente © serait donc perpendiculaire à Taxe pq ; dans tout autre cas la tangente fait avec le diamètre conjugué un angle différent d'un droit; donc Taxe de la parabole est le seul diamètre perpendiculaire aux cordes qu'il divise en deux parties égales.

On voit de suite: 1* que puisque les diamètres sont infinis, de deux cordes supplémentaires Tune est toujours parallèle à Taxe, et ^ que les tangentes aux extrémités d'une corde se croisent sur le diamètre conjugué de cette corde.

3S3. De là on conclut que pour trouver l'axe d'une parabole (donnée par son tracé) j il suffit de mener deux cordes parallèles, d'unir leurs milieux par une droite qui sera un diamètre de la parabole, de mener une corde perpendiculaire à ce diamètre et par le milieu de cette corde une parallèle au premier diamètre, et cette parallèle sera l'axe.

Pour mener la tangente à la parabole en un point m, on peut construire le diamètre D qui passe au point m, ensuite deux autres diamètres D' et D'' également distants de D , puis unissant les points m! et m" (en lesquels ces diamètres coupent la parabole) par une corde, elle sera divisée par D en deux parties égales et par conséquent cette corde sera parallèle à la tangente cherchée; la tangente demandée s'obtiendra donc en menant par le point m une parallèle à cette corde.

324. Dans la parabole la sous-Uoigenle est double de t abscisse* En effet, ayant construit {Jig. 194) la focale F de la parabole P et la tangente T au point m, si Ton abaisse l'ordonnée inn, que l'on dérive de a comme centre et du rayon an un cercle qui coupe la focale en « , ce point s sera le sommet d'un cône doutait est l'axe; élevant la verticale /7, qui coupe sn en r, puis décrivant le cercle C du centre r et du rayon r/, il sera tangent en môme temps à l'axe a/i, à la droite as et à la génératrice si parallèle à Taxe. Le plan tangent au cône suivant la génératrice sm a pour trace horizontale T et pour trace verticale «a", et comme il est aussi tangent à la sphère engendrée par le cercle C tournant autour de sn et qu'il est par consé: quent perpendiculaire au rayon qui passe par le point de contact (lequel point de contact se projette verticalement sur rs), la droite se" est perpendiculaire sur la droite sr ou parallèle à gpe^ donc les triangles ape et ase" sont semblables et comme ae=:apy on a

oe" =as = an , d'où ntf' = ^n

Mais les triangles égaux nrf et rqs donnent sq=fny donc ns est tangente à la

coarbe F (n* 302) , donc la tangente à la parabole divise en deux parties égales le supplément de l'angle du rayon vecteur et du diamètre, et par conséquent la normale divise en deux, parties égales Tangle du rayon vecteur et du diamètre.

Il résulte de là un moyen de construire une parabole dont on connaît Taxe A {fig. ;203), le sommet a et un point m ; car abaissant Tordonnée mp^ prenant aq=:apf mq sera tangente à la parabole ; donc le diamètre A' et le rayon vecteur R doivent faire avec mq, ou avec la normale N, des angles égaux ; R vient couper Taxe A au foyer /, prenant a^ = a/, et menant D perpendiculaire à A, ce sera la directrice; connaissant alors le foyer /et la directrice D, on peut facilement construire la courbe par points, ou par un mouvement continu.

Diverses propriétés de Chyperbole.

3^5. Parmi les surfaces coniques eu nombre infini sur lesquelles on peut placer une hyperbole donnée, il y en a une dont Taxe est parallèle au plan de la courbe, c'est celle dont le sommet est placé à Textrémité de Taxe vertical de la focale (n» 306).

Nous considérerons donc une hyperbole sur cette surface conique particulière et nous déduirons les diverses propriétés qui appartiennent à Thyperbole de celles que nous avons précédemment reconnues appartenir à l'ellipse , en d'autres termes nous ferons passer les propriétés de l'ellipse sur l'hyperbole et de la manière suivante :

i"" Soient (fig. 204) s le sommet et B la base d'un cône de révolution coupé par un plan P mené parallèlement au plan vertical de projection , la section sera une hyperbole K, rencontrant le plan horizontal en a et 6 et dont l'un des sommets se projette horizontalement en p\* pour avoir p", nous ramènerons la génératrice G, qui contient le sommet p en G\ dans le plan méridien M (parallèle au plan vertical de projection), p^ viendra en p'^; on en conclura p'*', puis on reviendra de là à p".

2* Le plan P étant parallèle aux génératrices G', et G,, les asymptotes de Thyperbole K seront les intersections du plan P et des plans tangents T et T, menés suivant ces génératrices ; or, ces plans sont perpendiculaires au plan vertical, et leurs traces verticales passent par s"" centre de Thyperbole K*' ; donc les asymptotes de l'hyperbole passent par le centre de cette courbe. (L'hyperbole K** étant identique avec l'hyperbole E, les propriétés de l'une appartiendront à l'autre.)

3° En un point m menons une tangente 0 à l'hyperbole, puis par cette droite faisons passer un plan Q perpendiculaire au plan vertical de projection, il coupera la surface conique suivant une ellipse Ë passant par met qui aura la même droite 0

pour tangente* en. ee point, mais le grand axe de K'^ est suf H" et parallèle à Qf'y dtàai^ mf" est Textrémité du petit axe et o^ le œntre de la courbe E^ *, donc o^ estlemiliau de la droite c^df" et par suite o*' ou m° est le milieu de c^'d^.donc le point de eoBlael divise en deux parties égales la portion de chaque tangente.à 1/hyperbole comprise artre les asymptotes^

4^ Soit une' corde C de TeUipseet parallèle à <s>^ elle reocoatre cette courbe aux points e et g^ et Ton sait que e^m!'=m!'g'' ; si par le» génératrices G, et G, qui pas* sent en ces points on conduit un plan, il coupera le pLau P suivant une droite A* p»» rallèle à @ et à C, et passant par les points k eiLde Thyperbole où. elle est.câiofée par G, et G,. Cela posé, menant la droite G*' par s'' et m*' elle coupe A^'en r**, et puisque e*'m*'=m*'j/% on aaussi k!'r''^=fP'^ donc G*' passe par les milieux de toutes les cordes parallèles à & ; c'est donc un diamètre de la courbe. Donc las diamètres de l'hyperbole sont des droites qui passent par son centre.

5*" Les tangentes aux extrémités d un diamètre sont parallèles aux cordes qu'il divise en deux parties égaies.

&" L'axe transverse est le seul diamètre perpendiculaire à ses cordes conjuguées (les- cordes coupant une seule branche de l'hyperbole). Si l'on mène des cordes coupant les deux branches de l'hyperbole , leurs milieux sont encore en ligne droite et l'on obtient ainsi d'autres diamètres, parmi lesquels un seul est perpendiculaire à se^ cordes conjuguées, c'est cTelui qui fait un angle droitavec Taxef tiansvei^se.

7'' Des diamètres conjugués de l'hyperbole ua seul couf^ala courbe^, llautrenerla rencontrejamais.

8** Chaque asymptote forme à elle seule un système de deux diamètres conjugoéar, car l'aogle de deux diamètres conjugués diminue indéfiniment àmesare que le point m s'éloigne, et cet angle finit par devenir nul quand ce. point est tranâpQrté.à« l'iiir fini sur l'une de& brandies de' l'hyperbole.

d"" Le& cordes supplémentainesf de l'hyperbole sont paraU^eS) ài deux dianètnefi conjugués.

1 0"" Les tangentes aux extrémités d'une;Gorde confioureat.eni un point desûfidier

mètre conjugué.

W"" Rei\'enons aux cordes CetÂ, nous avonsc*'m*'=f»''d% doncn? r*' =r*' gf, mÛB /cV=r''/% donc ?!.''&*'= Tç*". Donc les parties d'une oorde iiUecceptées^entre Ulèyperbole et ses a&ymptotes sont^ales..

3%6. D'après ce qui précède, lorsqu'une hyperbolû.est donnée pu; ^oskiùréitcéi:

V Pour avoir le centre, il suffit de mener deux, cordes parallèlafr etdluBÎr leui» milieux, puis de mener deux autoes cordes- parallèles et d'unir leui&milieiiat, on a ainsi deux diaiDàtres>qui.8e'G0upentâa centre de.nhyperbûJe.

^ Pour avoir; lesaKes^ ou.eoAstruîL un (Maaaàtre^ \xeBmmm. quftknmpie P»,aMr

— «ff ~

l^quel 'im •dâBittt icomme diamètre 'vne civconSéresme^ laqi^Ue eoupe rhyperboleen Hii>seooiui point ^que ron .unit à «obaoone des extFémitésdu diamètre D, et l'on a un 9jK8tèmc de cordes; sappiéiDûntaires rectangulaires entre «^es et .auxquelles les axâ0 sont parallèles.

3* Pour construire la tangente en un point m de rhyperbole, on mène le diamètre D qui passe au point m, ensuite une corde G parallèle à ce diamètre , on unit les milieux de ces droites et Ton a un second diamètre auquel la tangente est parallèle. Lorsque les asymptotes sont construites , désignant par o le point en lequel elles se coupent (et ce point o est le centre de la courbe) , on peut par le point m, situé sur Thyperbole, mener une parallèle à F une des asymptotes, elle rencontre la seconde asymptote en un point w, qui doit être un point milieu entre le point o et le point p en lequel cette seconde asymptote est coupée par la tangente. Il est donc facile de construire le point p et par suite la tangente au point m.

Qnpeut aussi employer les cordes supplémentaires.

Les mêmes constructions servent à mener une tangente parallèle à une droite donnée, car menant une corde parallèle à la droite donnée et construisant le diamètre conjugué de cette corde, ce diamètre coupe Hiyperlôle au point du contadt. On voit de suite que ce problème a deux solutions quand la corde ne rencontre qu'une branche de Thyperlole et quMl n'a pas de solution quand la corde rencontre les deux branches de l'hyperbole.

4* Lorsqu'on connaît les asymptotes d'une hyperbole et un point m de la courbe, on trouve tant d'autres points de la courbe que l'on veut en menant par ce point m

des droites B, B', B'', jcoupani; les asymptotes et prenant sur chacune de ces

droites B un second point n dont la distance à une asymptote et comptée sur cette droite B, soit égale à la distance du point m à l'autre asymptote.

5* L'hyperbole étant tracée , et connaissant son axe transverse et ses foyers, pour avoir ses asymptotes il faut sur la distance des foyers, comme diamètre^ décnre iiBe 'Circonférence de cercle G^ élever au sommet de Thyperhole des per^ndÎDiilainss à i'iote IcansvarsÊ^ ces perpendiculaires vont couper iâ circonférence C en «des points sypparienant aux asymptotes. £n effet, choisissant toujours pour le itèae^eirévoluliaB passant fiar l'hyperhole donnée, celui dont l'axe est parallèle au fian de l'hyperbole^ ^oit s (fig. 205) leisominet de ce cône ; prencms pour plan ver- UcaL de prcyeetioa le plan méridien M perpendiculaire au plan sécant P^ dersorte que y* soit parallèle à l'axe du cône^ l'asymptote A sera parallèle .à ia génératrice droite G suivant laquelle le cône est coupé par le plan méridien M ; soit G le cercle qui donne le foyer /, et «concepons «eu Bommet.a une qpevpendiculaire à l'axe ab de rhyperbole. Cela posé, si l'on rabat les plans M et P sur le plan vertical en les faisant totmaer^arriloiir ifle Seurs trsfces ^Fortreafles Tcspedtives, les liroitoB ^ anStÔleB'6 et

 se rabattront suivant des droit)es parallèles entre elles 6' et A' dont la première est tangente au cercle G ; cela posé, les triangles ops et acs sont égaux comme reo* tangles en p et c et ayant un côté égal chacun à chacun, savoir : op=^sc et Tangle

08p=sac^ donc sa = os =cf y mais cin'=sa, donc cin'=c/. Donc le point m' est l'intersection de l'asymptote, du cercle décrit du centre c avec le rayon efj et de la perpendiculaire menée par le point a sur l'axe de l'hyperbole.

327. Si de divers points de t hyperbole on mène des parallèles à ses asymptotes, on forme des parallélogrammes qui ont tous même aire, propriété qui est exprimée par Véquation xy = constante. En effet, soit le cône ($, B) [fig. 206), dont l'axe est parallèle au plan de l'hyperbole K (n* 304), prenons pour plan vertical de projection le plan méridien sab parallèle au plan de l'hyperbole, celte courbe se projettera suivant une hyperbole identique K'' ( n° 56, 1**) ayant pour asymptotes les génératrices sa, sb; si l'on coupe le cône par deux plans perpendiculaires à l'axe, on obtiendra deux cercles C et G rencontrant l'hyperbole K en des points m, n et m', n', dont les projections sont les intersections de K' par C et C". Cela posé, on a dans le cercle C, [nn'y=cn'xdn% et dans le cercle C, (/iV")'=cV'XrfV% mais wn*=wV% donc cn''Xdn''=cWxd'n'% ou c/i" : cV^ : : d'n'" : dn% mais si l'on mène h'e et n'^e parallèles à sa, on aura les quatre triangles csdy d^dl^ dn^'e, d nV qui seront semblables, et l'on en conclura les proportions :

cn^ : 5c :: rCi : it :: rCi : rfe' :: c'tT : te'

donc

cv!" : dfC :: se : se' :: ifC : dn* :: iliC : en* ou

se : se' : : eV* : en* d'où «e X en* =îéX ifn"

ce qui conduit à Téquation 0:1/= constante.

328. On conclut de ce qui précède que si Ton a plusieurs paraboles P, P',

Vy etc. (fig. 207), les abscisses des points ayant même ordonnée sont dans un

rapport constant. C'est-à-dire que si, après avoir placé toutes les paraboles de manière à ce qu'elles aient même axe A et même sommet a (ce qui est évidemment toujours possible), l'on mène des droites B, C, etc parallèles à l'axe A, lesquelles couperont les paraboles en les points m, m', m", et «, n% n\ etc.,

et que Ton abaisse les ordonnées de ces points, on aura

ap:ap'\ap"\ ::aq\aq[\aiii"\

En effet, toute parabole pouvant être placée sur un cône quelconque de révo-

lulion (n* 307, 2^) on peut concevoir les paraboles P, F, P^, conune obtenues

par des sections parallèles faites dans un même cône de révolution {fig. 208) ; si Ton coupe ensuite le cône par des plans parallèles au plan méridien scby ils détermineront les hyperboles B, G, qui rencontrent les paraboles en des points m, m\

n^n\... . en abaissant de ces points des perpendiculaires sur les axes A, Â',

elles seront en même temps perpendiculaires au plan méridien csbj par conséquent

les pieds ^9, p\ q\ etc., seront sur les projections des hyperboles

B, G, dont se et sb sont les asymptotes, on aura donc (n"" 327)

saxap = sol X a'f'=i etc et ja X oç = «rfx oY= etc.

Si Ton divise membre à membre ces deux séries d'égalités, on aura

Qp CL'p'

-i- r= -f-- == etc ou ap:ag::ay:aY:: etc

D'autres hyperboles donneraient des suites semblables liées entre elles par des antécédents comimuns, on aurait donc enfin

ap : a'p' : cfy : :: oj : rfç' : a"q" :

Il est facile de reconnaître que la figure 207 nous offre la projection de la figure 208 sur un plan perpendiculaire à la génératrice sb^ et qui est par conséquent perpendiculaire au plan méridien csb et aux plans des hyperboles, de sorte que ces courbes se projettent suivant des droites.

Les asymptotes de Chyperbole se croisent en son centre.

328 bis. Nous avons précédemment démontré que les asymptotes de l'hyperbole passaient par le centre de cette courbe, et cela en plaçant celte courbe sur le cône de révolution qui avait son axe de rotation parallèle au plan de l'hyperbole ; démontrons maintenant que, quel que soit le cône de révolution sur lequel l'hyperbole se trouve placée , les asymptotes se croisent toujours au centre de la courbe.

Mais au préalable, démontrons que 1 "" Ton peut toujours mener à l'ellipse deux tangentes parallèles à une droite donnée, quelle que soit la direction de celte droite dans le plan de la courbe;

2'' On ne peut mener à la parabole qu'une tangente parallèle à une droite donnée, quelle que soit la direction de cette droite dans le plan de la courbe ;

2* PÀRTIB. 12

â* Qoe Ton peut mener à Thyperboie cteux taBgales paraUèles à une droite dMiiée , mis que le problème n'^t possible qu'autant qw la dnoîte aflfecle eertaîDes directions dans le plan de la courbe. I*" Saluiian du problème pour Vettipêe.

Soit donné un cône de révolution à dont l'axe  est vertica) j apnt le potnt s poar aofliiiiet et le cercle B poor base oq traoe bonzoatate; coupons ce oboiQ par un plan P perpendiculaire au plan vertical de projection et de manière à dvofr pour section une ellipse E, plaçons dans le plan P une droite D qeelooiique, D"" ne sera autre que V et D*sera quelconque (c'est-à-dire qu'elle aura une position arbitraire par rapport à la ligne de terre LT). Cela posé (fig. 208 bis) :

Pour construire à la section E une tangente T paraîlèle à la droite D, il faudra mener par le sommet s du cône A une droite K parallèle à D, et dès lors K sera parallèle au plan P ; on aura donc K' parallèle à D' ou V* et passant par le point s" et K* parallèle à D* et passant par le point s*. Comme le plan P coupe toutes les génératrices du cône A (puisque la section E est rme ellipse), la droite K sera extérieure au cône et telle que l'on pourra mener par elle deux plans tangents 9 et 0' au cône A.

Le problème a donc deux solutions , puisque , qfuelle que soit la direction de la droite D et par suite celle de la droite K^ cette droite K étant toujours extérieure au cône A| les deux plans tangents existeront toujours.

Et les tangentes demandées T et T' seront données par l'intersection du plan P avec les deux plans tangents 0 et 0'.

2** Solution du problème pour la parabole.

Soit donné un cône de révolution A ayant son axe A perpendiculaire au plan horizontal de projection, ayant un point s pour sommet et pour base ou trace horizontale un cercle B.

Coapons ce cône par un plan P perpendiculaire au plan vertical de projection et de manière à avoir pour section une parabole E. Le plan méridien M parallèle au plan vertical de projection cotrpera le cône A suivant deux génératrices droites G elG, dont l'une G sera parallèle au plan P. Ainsi V* sera parallèle à G' et IP sera perpendiculaire à G\ Cela posé {fig. 208 ter) :

Si Ton place sur le plan P une droite D quelconque, on aura D* quelconque et D'^qui ne sera autre que V% et si Ton mène par le sommet 5 une droite K parallèle à la droite D on aura K"" qui ne sera autre que G"" et K* qui, passant par !e point «*, sera paraître à D*.

Or, par la droite K on pourra mener deux plans tangents au cône A, saTOtr : ©

et 6', Mais Vuu 'd'eux 0^ par exemple, s&ra Uogeat au eàae A nivant la droileG' et sera dès lors parallèle au plan P, et cela aura lieu quelle que soit la directi(Oii de la droite D daiifi le plan P, le plan 0 sera donc toi^yoors le même; il n'y aura que le plan 0' qui variera de position dans l'espace avec les changements de position de la droite D sur le plan P.

Par conséquent, des deux tangentes à la parabole E parallèles à la droite D, Tune existe toujours, c'est celle qui est l'intersection du plan P et du plan tangent 0', l'autre est tout entière située à l'infini , puisqu'elle est l'intersection de deux plans parallèles P et 0.

3** Solution du problème pour rhyperbole.

Soit donné un cône de révolution A ayant son axe A perpendiculaire au plan horizontal de projection et ayant le point s pour sommet et le cercle B pour base sur le plan horizontal.

Coupons les deux nappes de ce cône par un plan P, nous aurons pour section une hyperbole E ; si nous prenons le plan P perpendiculaire au plan vertical de projection, une droite D située dans ce plan P (et y ayant une direction arbitraire) aura sa projection D* quelconque, et sa projection IT ne sera autre que V : si par le sommet s on mène une droite K parallèle à D, la droite K sera dans un plan Q parallèle au plan P ; or, le plan Q coupera le cône A suivant deux génératrices droites G et G' parallèles au plan P, et les plans R et R', tangents au cône A, l'un suivantG et l'autre suivant G', couperont le plan P suivant deux droites X et X' qui seront les asymptotes ide l'kyperbole Ë»

Cela posé {fog. 208 fiMlar) :

Il pourra arriver trois cas, ou que l"" la droite K soit aitoéedans l'intériettrdu cône A, et alors les plans 0 et 0' menés par la droite K tangentiellement au cône A ne pourront exister, et le problème sera impossible ; ou que ^ la droite K soit située hors du cône A, et alors les deux plans tangents 0 et 0' existeront, et le problème aura deux solutions ; ou que 3"" la droite K soit située sur le cône Af auquel cas cette droite K ne sera autre que la génératrice G, ou ne sera autre que la génératrice G', et dès lors il n'y aura qu'une seule solution.

On voit de suite que si par le point x en lequel se coupent tes asymptotes X et X' on mène une droite D' parallèle à la droite D, il pourra arriver trois cas : ou 1^ la droite D' •eoapera niypeii)ole E, et alors ie pneèlème sera impossible; /Ht fi* la droite D' se confondra avec X on K', et alors le prcibièMe n'aura qa^cine solotiMi ; xm 3* la droite D' ne eoupera pae rhypeii)olè E y ^ alors 4e problème aura deox solutions.

328 ter. Démontrons maintenant que, quel que soit le cône de révolution sur lequel se trouve placée une hyperbole E (et par conséqiient quelle que soit la di-

reotion du plan de la courbe par rapport à Taxe du cône), les deux asymptotes se croisent toujours au centre de la courbe E.

Soit donné un cône de révolution A, dont Taxe A se trouve dans le plan vertical de projection et perpendiculaire à la ligne de terre, coupons les deux nappes de ce cône (fig. SOS, a) par un plan P perpendiculaire au plan vertical de projection.

L'axe transverse de l'hyperbole sera en ad sur le plan vertical, et le centre de rhyperbole sera en r milieu de ad; unissons le point r et le sommet s par une droite K, puis menons par le point a un plan Q perpendiculaire au plan vertical de projection et parallèlement à la droite K, on aura dès lors Y^ parallèle à E et H* perpendiculaire à LT.

Le plan Q coupera le cône A suivant une ellipse e, et si nous construisons à cette ellipse e deux tangentes T et T' parallèles à K, la droite qui unira les points m et m' contact de e avec T et T' sera un diamètre qai passera par le centre o de la courbe z.

Or, il est évident que les droites T et T' seront parallèles au plan vertical de projection, puisque K est parallèle à ce plan, par conséquent les points m et m! se projetteront sur le plan vertical au point o milieu de a6, car ab est le grand axe de la courbe e.

Les plans 0 et & tangents au cône A et menés par la droite K et qui , par leur intersection avec le plan Q, déterminent les tangentes T et T', auront pour génératrices de contact avec le cône A, les droites G et G' qui se projetteront verticalement suivant la droite bo.

Démontrons maintenant, qu'en vertu des constructions précédentes, la droite so est parallèle à V.

En effet :

La droite ab a été menée parallèle à K, et la droite K passe par le milieu r de ad^ donc l'on a : d8=isb.

Le point o est le milieu de ab, donc Ton a : oazuab; donc so est parallèle à a(/, donc le quadrilatère noa est un parallélogramme.

De ce qui précède on doit conclure que le plan des deux droites G et G' est parallèle au plan P ; les plans tangents 0 et 0' coupent donc le plan P suivant les asymptotes X et X' de l'hyperbole E ; mais les plans 0 et 0^ passent tous deux par la droite K, donc X et X' se croisent au point r centre de l'hyperbole E •

Dans les sections coniques ta tangente fait des angles égaux avec

les rayons vecteurs.

328 quater. On démontre facilement, ainsi qu'on Ta vu précédemment (n"" 324), que la normale en un point d'une parabole divise en deux parties égales Tangle des rayons vecteurs en ce point, et nous avons démontré Texistence de cette propriété dont jouit la parabole, en nous servant de sa /oca/e. Plus loin, nous démontrerons la même propriété sans recourir à la/oca/e. Toutefois, voyons si la même propriété subsiste pour Tellipse et l'hyperbole; voyons s'il ne nous est pas possible de faire passer la propriété de la parabole et sur l'ellipse et sur l'hyperbole.

Concevons un côùe de révolution A ayant son sommet en un point «, et pour axe une droite A et pour base un cercle C (fig. 208 b).

Coupons ce cône A par un plan P donnant pour section une ellipse E.

Désignons par /*et/ les foyers de cette courbe E.

Prenons un point m sur la courbe E ; faisons passer par ce point m une génératrice G du cône A, laquelle percera le cercle C en un point p.

Désignons par © le plan tangent au cône A le long de la génératrice G.

Désignons par X le plan méridien passant par la génératrice G et l'axe  du cône A.

Si du foyer / de l'ellipse E, on mène une perpendiculaire N au plan P de cette courbe ^ cette normale coupera Taxe A en un point q qui sera le centre de la sphère S tangente au plan P en le point / et au cône A suivant un parallèle d qui passera par le point n de la génératrice G , point que l'on obtiendra en abaissant du centre q une perpendiculaire R sur cette droite G.

Ainsi , on a /9 = qn , et la droite qn ou R est perpendiculaire au plan tangent 0.

Si par le point m de l'ellipse E et par la normale /^ ou N, on fait passer un plan Y , ce plan coupera le plan X suivant une droite L, passant par les points m et 9, et cette droite L jouira de la propriété suivante, savoir : si d'un point quelconque de la droite L , on abaisse deux perpendiculaires sur les plans P et 0 , ces perpendiculaires seront égales entre elles , et de plus leurs pieds sur les plans P et 0 seront situés , pour le plan 0 sur la droite G , et sur le plan P sur la droite /m.

On pourra toujours construire une infinité de cônes de révolution tangents au cône A suivant la génératrice G , et dont les axes seront situés dans le plan X.

Les plans des cercles ou parallèles de ces divers cônes de révolution étant assujettis à passer par la tangente 9 au point p du cercle C seront tous perpendiculaires au plan X, et leurs centres seront situés sur une demi- circonférence S tracée dans

le plan X et sur la partie so de Taxe A du cône A comprise entre le sommet ^r de ce cône A et le centre o de la base G.

Cela posé :

Si par le sommet s du cône A on mène une droite F, parallèle au rayon vecteur fin de Tellipse E ; et si par cette droite F, on mène un plan P, parallèle ati pten P de FellipseE ; et si par le point s on mène dans le plan X «ne droite L, parallèle à ïa droite L, cette droite L, jouira de la même propriété par rapport aux plans P, et &y dont jouissait la droite L par rapport aux plans P et 0.

Cela posé :

Si du second foyer/ de l'ellipse E, on mène une droite N' perpendiculaire au plan P , elle coupera Taxe A du cône A en un point ç^, et si Ton abaisse de ce point q' une perpendiculaire R' sur le plan 0, cette droite R' percera le plan 0 en un point n' situé sur la droite G, et Ton aura en ç' le centre de la sphère Jj tangente au plan P en le point/ et au cône A suivant un cercle ou parallèle Sf passant par le point n', et Ton aura : (ff'=icfn\

Cela posé :

Si l'on unit les points m et g' par une droite D, elle coupera la droite L, en un point r/, ; et si de ce point ç^ on mène deux perpendiculaires, l'une N, au plan P et l'antre R, au plan 0, les pieds de ces perpendiculaires seront sur le plan P en un point / et sur le plan 0 en un point n, ; et ces points/ et n^ seront évidemment situés , savoir : le point w, sur la génératrice G et le point/, sur la droite mf prolongée.

Cela posé :

La droite L, pourra être considérée comme l'axe d'an cône de révolution A, ayant le point s pour sommet et pour .génératrices droites les droites F^ et G, et poar plans tangents les plans P, tangent suivant la droite F, et 0 tai]\gent âaivant la droite G.

Or, comme la droite F, est parallèle au plan P, paisqu'elle est parallèle à la droite mf de ce plan , il s'ensuit que le plan P coupera le cône A, suivant une fisMbole y passant par le point m et ayant même tangente en ce point m que l'dlipME.

Et si l'on mène par l'axe L, du cône A, et par sa génératrioe F. im fiêm Y, (lequel, en vertu de ce qui précède, sera parallèle au plan Y), ce plan Y, ocmpera le frfan P suivant une droite D parallèle à la droite F, et à la droite mf^ et cette droite D «ra l'axe tofini de ia pdrri)ole y; cette drèite D passera 'donc |iar le f&ftv ée cette parabole y.

Cela posé :

On sait que pow déterminer le foyer àe la parabole y il fiiiit «heroher «nr l'axe

L, an c6ne A, «n point tel qoe ses distances 99 pfam P et à ia droite G (génératrice de contact des deux cônes A et A,) soient ^ales entre eltes.

Or y noDS avons vu précédemment que le point <f , était précisément ce point , et dt^plns il est fSicile de voir que le point/ est situé à Tintersection des deciic droites D et m/ prolongée. Ce point/, sera donc le foyer de la parabole 7.

Cela posé :

La parabole y ayant son foyer /, situé sur le rayon vectenr wf de Tellipse E , et ayant son axe infini D parallèle au second rayon veetenr mf de cette ellipse Ë et étant tangenle an point m à cette ellipse Ë , il s'ensuit qne les droites m/ et mf sont aussi les rayons vecteurs de cette parabole y , et sa normale (qvi sera en môme

temps celle de Tellipse Ë) , divisant en deux parties égales l'angle wi/, mf de ses rayons vecteurs, il se trouve démontré que : pour un point quelconque d'une ellipse sa normale divise aussi en deux parties égales l'angle de ses rayons vecteurs en ce point.

La même démonstration s'appliquerait mot pour mot à V hyperbole.

328 qmnL Nous avons vu ci-dessus que l'on pouvait toujours construire une parabole P tangente en un point m d'une ellipse Ë ou d'une hyperbole H , cette parabole étant telle que son axe infini serait parallèle à l'un des rayons vecteurs de la courbe Ë ou H et passant par le point tu, et que son foyer serait situé sur l'autre rayon vecteur passani par le même point m.

Démontrons maintenant que pour l'eltifxse S (fig. 208 c) toutes les paraboles tug^ntes en m et ayant ebamie leur foyer/ sur le rayon vecteur mf, ne pourront pvManr de l'intersection d'un cône de révolation par le plan de l'ellipse Ë don* née, qn'antant que «e foj&rf sera au delà du foyer/ de l'elUpee par rapport au point m.

Eneffist :

Llvfperbde (H, H') focate de l'ellipse donnée Ë se projette sur le plan de cette etiipee en les deox portions de drcHtes indéfinies fb et fa (marquées par un trmt fofi sur la fignre).

Le cône de révirfution qui sera coupé par le plan de l'ellipse Ë soivant une pa* rabole P tangente en m à cette ellipse Ë devra donc avoir son somnet 2 situé sur la focale (H, H') , et par conséquent z* sera sur la droite H'^.

Il ent donc dès lors évident que le foyer /de l'ellipse Ë sera le dernier point qvi y situé sur le rayon Tedeur mf, pourra être le foyer de la parabole tangente en m à fellipse B.

On anra deux séries de paraboles tangentes en m à l'ellipse Ë , la première série comprendra les paraboles P ayant leurs foyers situés sur le rayon ^eolear tirfj la

seconde série comprendra les paraboles P, ayant leurs foyers situés sur le rayon vecteur m/\ ainsi que l'indique la figure.

Démontrons maintenant que pour Thyperbole les foyers des paraboles tangentes en un point m de cette courbe, seront situés entre le point m et le foyer/ de l'hyperbole et sur le rayon vecteur m/, ou entre le point m et le foyer/ de l'hyperbole et sur le rgiyon vecteur m/'.

EieneSet(fig. 208 rf):

La focale de l'hyperbole H est une ellipse E qui se projette sur le plan de cette hyperbole suivant la droite j^ , le sommet z du cône de révolution qui doit être coupé par le plan de l'hyperbole H suivant une parabole tangente en m à cette courbe H, devra donc être situé sur la focale E, et par suite «*sera sur la droite /JT'.

La figure démontre que le foyer / de la parabole P tangente en m doit être situé sur le rayon vecteur mfet entre les points m et /.

On aurait encore comme pour l'ellipse deux, séries de paraboles tangentes au point ni , les unes ayant leurs foyers situés sur le rayon vecteur mf et leurs axes infinis parallèles entre eux et au second rayon vecteur mf ; les autres ayant leurs foyers situés sur le rayon vecteur mf et leurs axes infinis parallèles entre eux et au premier rayon vecteur mf.

Théorème. 328 sexto. La tangente en un point (fune section conique fait des angles égaux avec les rayons vecteurs passant par ce point.

Daas ce qui précède , nous avons démontré la propriété dont jouit toute section conique , savoir que sa tangente en un point (et par suite que sa normale en ce point) fait des angles égaux avec les deux rayons vecteurs passant par ce point , et cela , en nous servant de la focale de la section conique (n"* 328 quater) ; maintenant démontrons directement cette propriété remarquable , et ainsi , sans avoir besoin de recourir à la /oca/c.

Soit donné un cône de révolution 1 {fig. 208 x) ayant le point s pour sommet, la droite A pour axe et coupée par un plan méridien M suivant les deux génératrices droites G et G'. Coupons ce cône £ par un plan P suivant une ellipse E et soit ab son grand axe; construisant deux sphères, l'une S tangente au plan P en le point /et au cône S suivant le cercle ou parallèle det l'autre S' tangente au plan P en le point/ et au cône S suivant le cercle ou parallèle 3'.

Cela posé :

Nous savons que les points/ et/ situés sur le grand axe ab sont les foyers de l'ellipse de section Ë, et que si nous considérons sur cette ellipse un point m (quelconque) la génératrice droite G, du cône £ passant par ce point m touche la sphère S en un point p situé sur le parallèle 8 et la sphère S' en un point p' situé sur le parallèle i\

Noas sav<Mi8 encore que Ton a mp=^n}f et'mp'=^nif , car les droites tnp et m/, mp' et mf , sont des tangentes issues d'an même point extérieur ^ les premières à la sphère S et les secondes à la sphère S\

Cela posé :

Menons le plan 0 tangent au cône S suivant la génératrice G, , ce plan 0 coupera ie plan P suivant une droite 9 tangente en m à l'ellipse E et cette droite 9 coupera le grand axe ab (situé dans le plan M) en un point q.

Abaissons du point /une perpendiculaire sur 0 et la coupant au point (/, joignons les points pei d par une droite pd, cette droite pd sera perpendiculaire à 9. La droite /d sera dans le plan P et la droite pd sera dans le plan 0.

Les deux triangles pmd et fmd seront égaux et rectangles en d.

Si du point/ on abaisse une perpendiculaire sur 9 et la coupant au point d^ et si l'on joint les points p' et d' par une droite p'd' , celte droile p'd* sera perpendiculaire sur 9.

La droite fd^ sera dans le plan P et la droite p'd^ sera dans le plan 0.

Les deux triangles p'md' et/'md' seront égaux et rectangles en df. . Cela posé :

Il est évident par la figure que les angles pmd et p'md' (opposés par le sommet et donnés par les droites G, et 9 situées dans le plan tangent 0) sont égaux ; dès

lors les angles fmd et fma sont égaux. Donc j etc.

Il est évident que l'on démontrerait de la même manière que la propriété subsiste pour l'hyperbole, puisque l'hyperbole a deux foyers et que l'on aurait encore à considérer deux sphères S et S' tangentes en même temps et au cône de révolution £ et au plan sécant P.

Mais pour la parabole l'un des foyers est transporté à l'infini, et dès lors il n'existe réellement qu'un seul foyer et une seule sphère tangente à la fois et au cône de révolution £ et au plan sécant P.

Soit donné un cône de révolution £, ayant le point s pour sommet et la droite A pour axe (Jig. 208 y), et coupons ce cône d'abord par un plan méridien M suivant deux génératrices droites opposées G et G. , et ensuite par un plan P perpendiculaire au plan M et parallèle à la droile G ; la section sera une parabole Ë.

Imaginons la sphère S tangente au cône £ suivant un cercle ou parallèle i et au plan P en uu point /qui sera le foyer de la parabole de section E.

Cela posé :

Prenons un point m quelconque sur la courbe E , et traçons la génératrice droite

2* PAETIB. 13

G (da aàoe S) passant |mr œ paînt m^ «lie coapena le pmmUik i en aa poiai p, et noas MVKHks que l'on a :

mp=m/.

Menons la pdan 0 tangent au eàae S euivant la ^nératru» 6, , oe plan 8 coupera le plan P suivant «ne droite 9 qui sera tangente en m à la parabote 6 et eelle tangente 9 coupera Taxe infini o^ de la parajbole an an poiot q.

Joignons les points p et 9 par une droite pq.

Abaissons du point / une perpendiculaire sur la droite 6 et la coupant au point d.

Joignons les points p eid par une droite pd.

La droite fd sera dans le plan P, et la droite pd sera dans te plan G,

Les deux triangles pmd etfmd ( tous deux rectangles en d) seront égaux, puisque Ton a : pm =fm , les deux droites pm et fin étant égales comme tangentes à une même sphère et issues d'un même point extérieur.

Par suite les deux triangles pmq etfmq sont égaux.

Cela posé :

Menons par le point m , d'abord une droite mr qui , située dans le plan sécant P, soit parallèle à Taxe infini ab de la parabole £ ; ensuite une droite mr^ qui p située dans le plan tangent 0 , soit parallèle à pq.

Si nous faisons tourner le plan 0 autour de la tangente 9 comme charnière, pour le rabattre sur le plan P, le point p viendra se superposer sur le point/, et dès lorS lai droites pq et/q^ mr^ et mr se superposeront.

Or pour le point m les rayons vecteurs de la parabole Ë sont précisément m/ et mr^ puisque / est le foyer et que la droite tnr est parallèle à Taxe infini ab , de la parabole E.

Si donc Ton démontre que les droites pq et pm sont égales entre elles, on aura démontré que le triangle finq est isocèle, et Ton aura dès lors démontré que les angles

finq etfqm sont égaux et par suite que les angles ^9 et qmr sont aussi égaux ; ou

vice versa , si Ton démontre que les angles fqm et fmq sont égaux on aura démontré que le triangle /mg est isocèle. Or pour démontrer qu'en effet pq=pm, concevons un plan T tangent au cône 2 suivant la génératrice G. Ce plan T sera parallèle au plan sécant P, dès lors il coupera le plan 0 (langent au cône E tout le long de la génératrice G, ) suivant une droite sx parallèle à la tangente 6.

Les angles xsm et smq seront donc égaux et aussi les angles Gsx etfqm.

Mais le plan A du parallèle d coupe le plan T suivant une tangente Ç à ce cercle d

et au point r en lequel ce plan A coupe la génératrice drmte G , et ce même plan

A coupe la génératrice G, au point p et le plan 0 suivant une drckite l^ tangente en p au cercle d; or il est évident que ces deux tangentes l et 4' vont se couper en un point k situé sur la droite sx; et que Ton aura : kr=^kp.

Les deux triangles srk et skp seront égaux et dès lors les angles rsk et ksp sont égaux.

Oo a done :

nk^=srksp'i^wm^^flnq et

rsk =^fqfn

donc

fmq = fqm

donc^ le triangle,^ est isocèle, donc j^n=/f. Donc^ etc.

Des sections coniques considérées comme h UBU des^ poisUs^ égahmsni distanis»

d'mn piànlfixe ei (Sun cerele.

338 sepii. I. Étant donnés une ellipse E et ses foyers / et f (fiy. iOS. ^), » du foyer / comme centre et avec un rayon égal à R on décrit un cercle G' ; si d'un point m quelconque de Tellipse on mène les deux rayons vecteurs mf et mf et qu'on prolonge le rayon vecteur mf jusqu'au cercle C, on aura les deux pomlg n' et q\

(lela posé , désignant par A le grand axe de l'ellipse Ë , on aura :

d'où

mf + mfz=zk

et

mf:ss:A'^mf

et

mn'=R — mf

d'on l'on

déduit :

mç^R + mf

rnn' — mf*=:R — A

et

mq+mf^A^àc

Si R A , on aura :

mn'=m^

et

tiuj[ + m/ss ÎA

On peut donc énoncer les deux théorèmes suivants :

Théorème 1 . Étant donnés un cercle C ayant pour centre un point/ et un rayon égal à Â y et un point / situé dans Viniérieur au cercle C, le lieu des points également distants du cercle G' et du point fixe / sera une ellipse E ayant les points /et/ pour foyers et son grand axe égal au rayon A du cercle C

Ce théorème est pour l'ellipse l'analogue de celui qui existe pour la parabole, savoir : que , un point de la parabole est également distant du foyer et de la directrice droite.

Théorème 2. Étant donnés un cercle C ayant pour centre un point/ et un rayon égal à A , et un point/ intérieur au cercle C, le lieu des points dont la différence des distances au cercle G' et au point fixe /sera constante et égale au diamètre 2 A du cercle G', sera une ellipse E dont les points /et/ seront les foyers et dont le grand axe sera agal an rayon A du cercle G^

IL Étant donnés une ellipse E et ses foyers /et/, si de chacun des foyers comme centre et avec des rayons R et R', on trace les cercles G et C {/</. 208. e) et que par un point m quelconque on conçoive les rayons vecteurs m/ et mf^ lesquels prolongés seront tels que 1*" le rayon m/ coupera le cercle G en les points h et p et le cercle G' en les points /i' et p'; et 2** le rayon mf coupera le cercle G en les points n et 9 et le cercle G' en les points n' et q\

On aura :

mn'=K—mf' mq'=K-\-mf mh=R — mf mp =R +m/'

d'où l'on tire :

1^ wn' + m*=R + R'— (fn/'+m/") = R + R'— A = constante y mç' + mp=R + R' + (m/'+mn=R + R' + A = constante 3« mn'+mq' = W:

Si R = R' = A, on aura:

mn' + mh=-A

mj' + mp ==3A

mn' 4- »»?' = wA + m/> = 2 A

On peut donc énoncer le théorème suivant :

Si de chacun des foyers d'une ellipse , comme centre y et avec un rayon égal au grand axe de cette ellipse y on décrit un cercle y la somme des distances dun point quelconque de C ellipse aux deux cercles décrits sera constante.

Et cette somme sera encore constante lorsque les rayons des cercles seront inégaux entre eux et plus grands ou plus petits que le grand axe de Tellipse.

Et lorsque ces rayons sont nuls, ou en d'autres termes lorsqu'ils ont une longueur égale à téroy on retombe sur la propriété connue des foyers, savoir : que la sotnme des rayons vecteurs est constante et égale au grand axe de C ellipse (^).

328 octavo. I. Étant donnés une hyperbole H (fig. 208. h) et ses deux foyers/ et /, si du foyer/ comme centre et avec un rayon égal à R on décrit un cercle C ; si d'un point m quelconque pris sur la branche qui a pour foyer le point/ on mène les deux rayons vecteurs iw/et mf et qu'on prolonge le rayon vecteur mf jusqu'au, cercle C, on aura les deux points n' et q' .

Cela posé y désignant la longueur de l'axe transverse de l'hyperbole par A, on aura :

nf—mf'=k d'où

et

et

fw/=± mf + A mn' = R — mf

d*où Ton déduit :

i« mn'+m/'=R + A et

2° m?'— m/'==R— A SiR=A, on aura :

et

2» mq' = mf

On peut donc énoncer les deux théorèmes suivants :

Théorème i . Étant donnés un cercle C ayant pour cenlre un point/ et un rayon égal à A , et un point /exlm^iir au cercle C, le lieu des points dont la somme des distances au cercle C et au point fixe / sera constante et égale au diamètre 2A du cercle C, sera une hyperbole H dont les points/ et / seront les foyers et dont Taxe iransverse sera égal au rayon A du cercle C .

(*) On a fondé sur celte propriété la construction d'un compas à ellipse.

Théorème S. ÊIsnt (tomiéB ua oerde C ayant poor centre un point/' et an rayon égal à Ay et un point /situé en éekars du cerele C\ le lieu des points également distants du cercle G et du point fixe/, sera une hyperbole H ayant les points /et/ pour foyers et son axe trafosverse égal au rayon A du cercle G'.

Ce théorème est pour F hyperbole Tanaloguede celui qui existe pour la parabole^ savoir : que tout point de la parabde^est également distant du foyer et de la directrice droite. Pour la parabole, la direcUioe droite est un cercle de rayon infini, puisque son centre n'est autr» que le second foyer qui est situé à Tinfini (^.

H. Étant donnés une hyperbole H et ses deux foyers / et /, si de chacun des foyers comme centre et avec des rayons R et R' on trace lés cercles C et G' {fy. 208. t), et que pour un point mcprelconque on conçoive les rayons vecteurs m/ et mfj lesquels prolongés seront tels que le rayon mf coupera le oerde* G aux points n et p et que le rayon mf coupera le cerele G' aux points n' et f/y on aura :

mfi'=R' — mf mp'=K'-^n^ mn=zmf — R mp=iii/'+R

d'où Ton tire :

V mn-f-mp'=âR

y mn' + mn=:R'— R + (m/— m/') = R'— R + A=constante

y mp—mn=.3R

4® mp' — mn = R'4-R — A=: constante

Si R =R' = A , on aura ;

mn' -\- mp' =zmp — mn = 2A mp' — mn=A mn' -\- mn = A

On peut donc énoncer le théorème suivant :

Si de chacun des foyers dune hyperbole comme centre^ et avec un rayon égal à l'axe transverse de cette hyperbole , on décrit un cercle , la différence des distances dtun point quelconque de [hyperbole aux deux cercles décrits sera constante et égale à Caxe transverse lorsque les foyers seront Cun et C autre entre le point et les cercles^ etCon aura au contraire la somme des distances égale à Caxe transverse lorsque l'un des foyers seulement sera entre le point et le cercle correspondant y Cautre foyer étant au delà du point par rapport à son cercle.

{*) Sur cette propriété de Thyperbole on a fondé la construction d*un compas destiné à tracer cette courbe.

iSi Ton anppose tpm les nyons de» oeroto scmt ttuls^ alocs on retombe mr la

propriété connne des foyers, savoir : que la différence des rayons vecteurs estégrie à Taxe transverse de Thyperbole (*).

De la courbe lieu des perpendiaUcàres abamies dun foyer sur les tangentes

à une section conique.

9WS nme. V S chacnn des foyers d'une eUipse on dxAsse une ferpendkulaxre sur chacune des tangentes à cette courbe, le lieu des pieds de ces perpem&culaires sur les droites tangentes sera un cercle décrU sur le grand axe de l'ellipse cwnme diamètre*

Soient donnés une ellipse E ayant son centre en o et pour graod axe an^ et pour petit axe bb' (fig. S08 A) et ses foyers en /et/. Prenons un point m sur la courbe E et traçons la tangente nip en m à cette courbe E.

La normale mq divisant en deux parties égales l'angle finf des rayons vecteurs menés au point m (n"" 328 quater)^ il s'ensuit que si Ton prolonge le rayon vecteur wf d'une quantité mg^=^mfen unissant les points/ et 9 on aura une droitey^ perpendiculaire à la tangente mp, et le point n en lequel les droites fy et mp 9e coupent sera le milieu de^.

(*} On voit donc que si l'on a deux points f et o (/!g. S08 A) , et que du point o on décrive a^Bc un rayon op an cercle G , le point m égulemenl distant do cercle C et du point /sera sur une eilifise £ dont les points feio seront les foyers et dont le grand axe sera égal au raycm op du cercle C, car Ton a: cd=oa = op.

Si l'on mène la droite p/, et que du point m on abaisse une droite mq perpendiculaire à pf, cette droite mq sera la tangente en m à rellipse B: et en effet, puisque Von^ mp=mq et que les deux triangles pmq et fmq sont tous les deux rectangles , les Bxigïespmq eiqinf seroni égaux. Or, les droites m/' et mo sont les rayons vecteurs de Tellipse B pour le point m , donc, etc.

On pourrait, d'après ce qui précède» construire un compas à eUipse qui jouirait d'une propriété fort utile et qui n'a point encore été réalisée.

Tous les compas à ellipse construits jusqu'à ce jour ne permettent pas de diriger le bec du tireligne dans le plan de la tangente à la courbe. Par le procédé suivant, on obtiendrait ce résultat.

Soient trois régies À, B, D, fendues dans leur longueur; A et B tourneront autour des points / et o {fig. 208 B), le point p placé sur la règle B à une distance fixe op du pivot-centre 0 , pourra glisser dans la rainure pratiquée dans la règle A.

La règle D portera un pivot q qui pourra glisser dans la rainure de la règle A , mais la règle D sera tellement ajustée sur la règle A , qu'elle lui sera toujours perpendiculaire.

Le tire-ligne m glissera carrément dans la rainure pratiquée sur la règle D et portera un pivot qui pourra glisser dans la rainure pratiquée sur la règle B.

Par ce moyen, en faisant tourner la droite B autour du pivot-centre 0 , le point p décrira un cercle C , la règle A tournera autour de son pivot-centre f et le tire-ligne m , dont le bec aura son plan toujours parallèle à la régie D, décrira Fellipse E.

Or le point 0 est le milieu àéff, donc la droite m sera parallèle à fg et de plus on aura :

Or

fg=fm-\-fm=^aa'

Donc on=le demi grand axe de TellipseE.

Quel que soit le point m que Ton considère sur Tellipse E, on arrivera toujours au même résultat.

Ainsi le point n est sur un icercle G décrit sur le grand axe aa! de Tellipse E comme diamètre.

%"* Si de chacun des foyers d'une hyperbole on abaisse une perpendiculaire sur dmcune des tangentes à cette courbe , les pieds des diverses perpendiculaires abaissées sur ces tangentes , seront sur un cercle décrit sur l'axe transverse de C hyperbole pris pour diamètre.

Soit donnée une hyperbole E (Jig. 208 l) ayant le point o pour centre, les points /et/ pour foyers et dont aa' sera Taxe transverse.

Prenons un point m sur la courbe; la droite mp étant la tangente en ce point m ,

cette droite mp divise en deux parties égales Fangle frnf des deux rayons vecteurs menés en ce point m.

Abaissons du foyer/ une perpendiculaire sur la tangente mp ; cette perpendiculaire coupera la tangente mp en n' et le rayon vecteur m/ en g.

Or, il est évident que mg=mf.

Donc fg=mf — w/= l'axe transverse cra' de l'hyperbole donnée*

Le point n' est le milieu de la droite gf.

Le point o est le milieu de la droite j/.

Donc la droite on' est parallèle à^ et égale à la moitié de fg et par conséquent égale à la moitié de l'axe transverse aa' de l'hyperbole donnée. Or quel que soit le point m, le résultat obtenu sera le même; donc les points n' seront sur un cercle C décrit du point o comme centre et sur Taxe transverse aa' comme diamètre.

S"" Si du foyer d'une parabole on abaisse une perpendiculaire sur chacune des ton* gentes à cette courbe^ les pieds des diverses perpendiculaires abaissées sur ces tangentes seront sur une droite tangente au sotnmet de la parabole.

Soit donnée une parabole E ayant le point/ pour foyer, le point s pour sommet et la droite D pour directrice. Menons en un point m de la courbe E une tangente mp (fig. 208 m) à cette courbe.

Abaissons du foyer / une perpendiculaire sur cette tangente mp, elle coupera la

droite mpen an point n et la droite mq (parallèle à l'axe infini sfde la parabole) en un point g.

On aura : mef=mfei le point n sera le milieu defg.

Or la droite D étant la directrice de la parabole, on a : mq=^mf; donc les points 9 et 9 se confondent, et comme 8f=-sr et que le point n est le milieu dey^, on en conclut que le point n est situé sur la droite C menée par le sommet s de la parabole et parallèlement à la directrice D.

Et comme quel que soit le point m pris sur la parabole , on arrivera toujours au même résultat, on doit en conclure que les pieds des perpendiculaires abaissées sur les tangentes sont sur la droite C, tangente au sommet s de la parabole.

Propriété remarquable du tore irrégulier ou excentrique.

328 déci. Étant donné un cercle G sur le plan horizontal menons par un point p situé en dedans ou en dehors du cercle C une verticale Y ; menons par la droite Y un plan M coupant le cercle G en un point q , et traçons dans ce plan M un cercle i ayant le point q pour centre et pq pour rayon ; en faisant tourner le plan M autour de l'axe Y et supposant que le cercle 3 varie de rayon et que son centre parcoure le cercle G , ce cercle i mobile ( et variable de grandeur suivant une loi donnée) décrira une surface 2 (fui, en vertu de son mode de génération, sera coupée par tout plan passant par Taxe Y suivant deux cercles 5, et 3', de rayons inégaux , ayant leurs centres sur le cercle G et étant tangents Tun à l'autre au point p. La surface £ a£Fectera la forme d'un tore qui sera dit : irrégulier ou excentrique.

Je dis que cette surface £ peut encore être coupée par une seconde série de plans suivant des cercles.

Premier cas. Supposons que le point p est situé dans l'intérieur du cercle G, unissons le point p et le centre o du cercle G par une droite coupant {fig. 208 p.) ce cercle G en les deux points a et a', portons sur le diamètre a7 une longueur ay=apet regardons les deux points p et p' comme les foyers d'une ellipse E ayant son centre en o et la droite ac^ pour grand axe.

Faisons passer par la droite aa! un plan R perpendiculaire au plan horizontal sur lequel se trouvent tracées les courbes G et E, et traçons dans ce plan R la focale de l'ellipse E, on aura une hyperbole (H, H') ayant les points p et p' pour sommets et les points a et a' pour foyers (n* 309).

2* PART»» iA

'-.rf

Geia posé :

On sait T que si l'on prend un point x sur l'ellipse E et qu'on to regarde comme le sommet d'une cône X ayaai l'hyperbole H pour directrice , ce cône X est de révolution.

2* "Que si Ton prend un point z sur Thyperbole H et qu'on le regarde comme le sommet d'un cône 2 ayant l'ellipse E pour directrice , ce cône Z est de révolution.

S"» Que si l'on mène les tangentes 6 en a: à la courbe E et T en z à la courbe H, ces tangentes seront respectivement les axes de rotation des surfaces coniques X et Z ; ainsi S sera Taxe du cône X et T Faxe du cône Z.

Cela posé :

Si du point p foyer de l'ellipse E, on mène un plan M perpendiculaire à la tangente 9 , ce plan M coupera le cône X suivant un cercle i qui aura son centre au point q en lequel le plan M coupe la droite 6 , et ce cercle 3 aura pour rayon la

droite pq.

En considérant une suite de plans M ^ on aura une série de cercle i qui détermineront la surface 1 précédente et désignée par le nom de tare irré^fulier.

Construisons une sphère S tangente au cône Z et au plan de l'ellipse E au foyer p ; le cône Z touchera la sphère S suivant un cercle S. Et si l'on considère les divers points Zj z\ z\ etc., de l'hyberbole H, on aura une suite de cônes Z, Z\ Z'\ etc., et par suite une série de cercles 6, 6', 6", etc.

Tous ces cercles 6, g', 6", etc., engendreront une surface qui ne sera autre que la surface 2 précédente, et en effet :

Considérons la génératrice droite zx du cône X^ cette droite coupe le cercle g en un point n et l'on a xn=xp^ or tous les points du cercle d sont distants du sonuaet X d'une quantité égale kxp'j le point n est donc un point du cercle d.

Si Ton considère un second cercle 6' tracé sur un cône ayant le point z {Kmr sommet , \a génératrice xz' du cône X couperait le cercle 6' en un point n' et Ton aurait xn=xp ; ainsi le point n sera sur le cercle 3.

On trouverait de même que les divers cercles d, i\ d% etc., coupent respectivement, et chacun en un point, les divers cercles g, g', g", etc. Ainsi les cercles g, g', g", etc. , sont situés sur la surface 2 formée par les cercles à , d\ d^', etc.

Deuxième cas. Supposons que le point p est situé hors du cercle C

Menons par le point p et le centre 0 du cercle G une droite B^ et par cette droRe B un plan M perpendiculaire au plan du cende C ; cette droite fi coupera ie cerde <] en deux points {fig. 208 q)aei a\

Portons oy=ap et traçons : t* dans le plan M une ellipse E ayant les points p et p pour sommets et les points a et a pour foyers, et 2" dans le plan dn cen*e C une hyperbole (H, H') ayant les points p et p' pour foyers et les points a et a pour sommets , la surface engendrée par le cercle mobile d , dont te centre parcourt le cercle C et dont le plan méridien M passe toujours par la droite Y menée perpendiculairement au plan du cercle C par le point m, sera coupée par des plans perpendiculaires au plan de Tellipse E et normaux aux tangentes de cette ellipse suivant d*autres cercles 6, 6', S", ....

Troisième cas. Supposons qu'au lieu d'un cercle, on se donne une droite C {fig. 208 s) et ensuite un point p ; si Ton mène par ce point p une suite de divergentes coupant la droite C en des points o , o', o\ et si l'on considère chaque

point 0 comme le centre d'un cercle à situé dans un plan perpendiculaire au plan

(p, C) et ayant op pour rayon , la surface engendrée par les cercles 3 , 3', 3">

pourra être coupée suivant une seconde série de cercles 6, 6', 6", ...• Et en effet : abaissons du point p une perpendiculaire sur la droite G, on aura le point s] construisons dans le plan (p, C) une parabole P ayant le point s pour sommet et le point p pour foyer ; puis par la droite ps menons un plan M perpendiculaire au plan (p, C), et traçons dans ce plan M une parabole F ayant le point p pour sommet et le point s pour foyer.

La courbe P' sera la focale de P, et l'on trouvera , par des raisonnements aMk>gues à ceux employés dans le premier cas, que les plans de cercles 6, 6', S",.*** seront perpendiculaires au plan M et normaux aux tangentes de la parabole P.

La propriété dont jouit chacune de ces trois espèces de surfaces , d'être dcohio^ ment circulaire^ nous permet de construire avec facilité le plan tangent en un poÎBt de chacune d'elles.

En effet : étant donné un point m de cette surface, on mèn^a par ce point et par Taxe Y un plan, et l'on aura le cercle 3, et en menant par le point m et par la droite D par laquelle passent tous les plans des cercles S (n°* 299, 301 et 306 ; fig. 4 W, 194 et 195) un plan sécant, on aura le cercle S. Les tangentes aux deux eeri^ d et S se croisant au point m, détermineront le plan tangent en ce point m.

Lorsque le point p est précisément le centre du cercle C , alors la droite Y est précisément l'axe du cercle C , et dans ce cas on a pour surface le tore régu-liery surface qui est de révolution et engendrée par un cercle J de rayon constant et égal à celui du cercle C -, dans ce cas , la surface est coupée suivant une seconde série de cercles 6 par des plans parallèles entre eux et perpendiculaires à l'axe Y.

Or , l'axe Y est la focale de cercle G , on voit donc que ['analogie srimrte eok%

les quatre surfaces que nous avons examinées, savoir : les trois tores irréguliers et Xetore régulier (*).

Du pôle et de la polaire (Cune section conique.

329. Dans toute section conique , si Ton trace une série de cordes parallèles et qu'on mène les tangentes aux extrémités de chaque corde, elles concourent en des points qui sont tous situés sur le diamètre conjugué de ces cordes. Réciproquement si par tous les points d'un diamètre d'une section conique on mène des tangentes à cette courbe y les cordes qui unissent les points de contact des tangentes issues d'un même point sont toutes parallèles au diamètre conjugué du diamètre donné (n«* 312, 9^321; 324).

330. Soient une section conique E (Jig. 209) et une droite quelconque?, qui la coupe en deux points q etr, les tangentes en ces points concourent en un point Pf et je dis que si par un point quelconque x cfe P , on mène les tangentes xy et xz à la section conique Ey la corde yz prolongée passera par le point p. En effet, soit s un point de la focale de la conique E , prenons-le pour sommet d'un cône A de révolution sur lequel la courbe E soit placée, joignons sp et sx et menons les génératrices droites sq^sr^sy^sz du cône A. La droite sp étant tout entière hors de la surface conique , un plan Z qui lui sera parallèle coupera toutes les génératrices du cône et donnera par conséquent pour section une ellipse E'; pour simplifier la figure nous tracerons cette ellipse à part (Jig. 210), les points </', r', t/', z' sont les intersections de ce plan Z avec les génératrices sq^sr^sy^sz; cela posé, les plans tangents {srp) et (spq) coupent le plan Z qui contient la courbe E% suivant des tangentes à E' en les points r' et q^ et parallèles à sp, donc q^r^ est un diamètre de K\ et comme il est dans le plan {sqr) qui contient la droite sxj il coupera cette droite en un point a;'; puis les plans tangents (sxy) et (sxz) coupent le plan Z aussi suivant les droites t/V et sV tangentes à la courbe E' et aux points y' et z' , et ces tangentes concourent aux points x', intersection des trois plans Z, (sxy) et {sxz); donc la corde (i/V) est parallèle à «p, elle rencontre le plan horizontal en un point p' situé sur la droite yz puisqu'elle est dans le plan {syz) , et comme ce plan {syz) contient aussi spj la droite yz passe nécessairement par le point p.

Réciproquement si par un point p (Jg. 209) extérieur à une section conique on mène tes deux tangentes pq et pr et tant de sécantes py que ton voudra ; qu'aux inter-

(*) Plus loin , nous verrons que Ton peut transformer les quatres tares circulaires en des tores elliptiques ; ces nouvelles surfaces jouissent de la propriété d'être coupées par une suite de plans passant par Taxe Y, suivant des ellipses^ et par une suite de plans passant par la droite D , suivant d'autres ellipses.

sections y et z de chaque sécante et de la courbe on mène des tangentes û cette courbe , ces tangentes concourent en des points x situés sur la droite P , laquelle joint les points de contact qetr.Le point p est dit le pôle conjugué de la droite P, et la droite P est dite la polaire conjuguée du pôle p. Si Ton prend le point x à Tinfini , les tangentes sont parallèles à la droite P, la corde qui unit les points de contact est un diamètre passant par le point p , donc le pôlep est sur le prolongement du diamètre qui est le conjugué du diamètre qui est parallèle à la polaire P.

331 . Si par un point p (Jig. 21 1 ) intérieur à une section conique E on mène tant de cordes que Con voudra » et qu'aux extrémités de chaque corde , on construise les tangentes à la courbe Ë , elles concourent en des points situés sur une droite extérieure à la section conique Ë. En effet , par le point p menons trois cordes ab^ ab', a"b"y les tangentes en a et b se coupent en un point r , celles en a et b^ se coupent en / , enfin celles en a^^ et b^' se coupent en r"; deux de ces trois points r et r' déterminent une droite P. Il faut démontrer que cette droite P passe par le point /' ; pour cela concevons la focale de la courbe E et le cône A qui aurait son sommet en un point s de cette focale j menons les génératrices soj sby sa\ sb\ sa!\ sb" du cône A et les droites sr , sr\ sr" ; le plan («, P) n'ayant que le sommet s de commun avec le cône A , un plan Z qui lui sera parallèle coupera ce cône A suivant une ellipse E' , que pour plus de clarté nous construisons à part (Jig. 21 2) et il coupera aussi les plans tangents {sar)^ (sbr) suivant deux droites tangentes en les points a et |3 à la courbe E' et ces tangentes seront parallèles à «r; donc a|3 est un diamètre de l'ellipse E', et il est situé dans le plan (sab)^ de même le plan sécant Z coupe les plans tangents (sa^r^, {sb'r') suivant des tangentes en a et Ç/ à la courbe E' et parallèles à «r'; donc aÇ! est aussi un diamètre de Tellipse E^ et il est situé dans le plan {sa'b^ ; mais les plans {sab) et {sa'b^ se coupent suivant la droite «p, qui contient par conséquent le point d'intersection tt des diamètres a(3 et^^', ou le centre de l'ellipse E^

Cela posé :

Le plan {sa!'b") coupe le plan Z de la courbe E' suivant un diamètre ol'Ç/\ donc les intersections du plan Z (sur lequel est tracée l'ellipse E^ et des plans tangents {sa"r") , {sb"r'^ sont des tangentes en a et (3" à l'ellipse E' et parallèles entre elles et par conséquent à l'intersection sr" des deux plans tangents; donc sr" est située dans le plan {s^ P) parallèle au plan de lellipse Ë' ; donc enfin le point r'^ est sur la droite P.

Réciproquement si par chacun des points d*une droite P {fig. 211) extérieure à la section conique E , on mène deux tangentes à cette courbe et qu'on joigne les points de contact par une corde , toutes ces cordes se croiseront en un point p intérieur à la section conique E.

La droite P est la polaire du pôle p. Si l'on prend le point r à l'infini , les tangentes

à la courbe B aox points a et b seront parallèles entre eUes et à la droite P ^ donc ta corde qui unira les poiats de contact a et 6 sera un dianèlre passant par le point f. Donc le pôle p est sur le diamètre conjugué du diamètre parallèle à la polaire P.

Des propriétés de certains polygones inscrits à une sec6on conique*

332. Si Von prolonge les côtés opposés d'vn hexagone abcdef (Jig. SI 3) inscrit dans une section conique , ils se coupent en trois poinis r, r', r^ qui sont en ligne éreite. En effet, concevons la focale de la section conique E , soit s un point de cette foeak que nous prendrons pour sommet de Tune A des surfaces coniques de révoiutioii sur lesquelles la courbe E peut être placée; menons les génératrices mi, «6, «c, ^/, scy sf du cône A et les droites «r, sr'^ sr" ; les points r et / déterminent une droite D, qui passe par le point r^\ Pour le démontrer coupons la surface conique par un plan Z parallèle au plan (^^D), la section sera une ellipse E', les intersections de ce plan sécant Z avec les plans {saf) , (scd) sont deux cordes a'f et c^d! parallèles à «r ; le même plan Z est coupé par les deux plans (sfe) , {sbc) suivant deux autres cordes /e' et 6V parallèles à sr^', enfin les intersections du même plan Z (qui con« tient la courbe E') avec les plans {sad)^ (sab) sont deux autres cordes cfdf et aV, qui avec les quatre préc^entes forment un hexagone inscrit dans Tellipse B' ; et puisque les quatre premiers côtés sont parallèles deux à deux , les deux derniers côtés sont aussi parallèles entre eux (n"" 320) et par conséquent parallèles à Tmtersection sr" des deux plans , donc cette intersection est située sur le plan (# , D) parallèle au plan Z de la courbe E^; donc enfin le point r'' est sur la droite D.

C'est la propriété connue sous le nom d' hexagratnme de Pascal.

Il résulte de là un moyen de construire une section conique par points , car si Ton donne les cinq points n, 6, c, d, e, on mènera les droites a6, bc, cd qui seront trois côtés d'un hexagone inscrit dans la section conique cherchée , puis ta quatrième côté ed ira couper ab en un point r". Pour trouver un point compris entre les points e et a, Ton mènera donc une droite er^ , qui rencontrera ab au delà db pointa, Ton joindra les points r^' et r^ par une droite D coupant ed en un point r, que Ton joindra avec a , les droites ra et r'e se croisent en un point / qui appartiendra à la section conique passant par les cinq points donnés. On obtiendrait de même des points compris entre deux quelconques des points donnés et autant qu^on en voudra.

L'un des côtés ed, par exemple, pourrait devenir infiniment petit, la propriété de rhexagone inscrit n'en serait pas moins vraie ; ntais alors la droite er^'j ou Tun des côtés de l'hexagone étant prolongé, deviendrait tangente à la courbe B. On conclut donc de là que pour mener la tangente en un point m d'une section co-

nique, il fenl d'abord inscrire un pentagone dont Tnn des sommets soit en m, anmiile prolonger le côté opposé au point m et les qnatre autres côtés jusqu'à la raacontre des côtés non adjacents^ et. enfin unir les points de concours par une draile qui ira couper le côté opposé au point m en un point x et menant la droite xm^ on aura en cette droite la tangente demandée.

333. Soient abcd {fig. 244) un quadrilatère inscrit dans une section conique quelconque , p et </ les points de concours des côtés opposés ; les diagonales ac et Mseeoupeoieii un point o, joignant ce point o aux points p et q par les droites Q et P , je dis que le point p alie pôle conjugué de la polaire P , et que le point q est le pâle conjugué ée (a p^ire Q, c'est-à-dire que si du point p on mène les tangentes pe^pf, à la courbe Ë, la droite P passera par les points de contact « et /de ces taagentes ; et de mène si du point q , on mène les tangentes qg et qli , la droite Q passera par les points de contact 9 et /i de ces tangentes avec la courbe E. En effet concevons Isc focale de la section conique Ë et soit s le sommet de Tun A des cônes de TOvolatioa , sur lesquels on peut placer cette courbe E ; menons les génératrices Ma, êbj scy sd du cône A et les droites «p, «</, puis coupons tout le système par un plan Z parallèle au plan {spq), la section conique sera une ellipse Ë', et la pyramide sabcd sera coupée suivant un parallélogramme a'b'c*d' (n** i 56) , dont les côtés ab' et c'd' sont parallèles à *p et dont tes côtés 6V et a'rf' sont parallèles à sq; donc cfe^ et 6'd' sont des diamètres de TeHipse E' (n* 346 , ?•) , le point 0' en est le centre ât ae trouve sur ia droite 90 intersection des plans {sbd) et {sac). Les cordes nV et i^i/ SOU supplémentaires (n* 31 S, S"*) et par conséquent parallèles à des diamètres GMfiigués ; or les plans tangents (sep) et {sjp) sont coupés par le plan Z de Tellipse E' suivant des tangentes parallèles à sp et par conséquent parallèles à o'fr^, doM le dianiètre qui unit les points de contact est parallète à 6V (n* 31 3 , T) ou à jiy I mais oe diai&ètre est dans le plan [sef) , donc ce plan contient aussi sq , mais ii eoBiîeat $0 ^ doDC les quatre points e,fy g^ o sont sur la trace horizontale P de ce plan isef) et par conséquent en ligne droite; donc enfin le point p est le pâte conjugué de la polaire P. De même les plans tangents (sqg) et {sqli) sont coupés pu* le plan Z suivant de& taiBgentes à ia courbe E' et parallèles à frV et par une siitto de raisonaeaiettts semUaUes à ceux ci-dessus on conclura que le point q est le pôle conjugué de la polaire Q.

Si ntcd est un trapèee {fig. 24 &) les côtés parallèles ab et cd se couperont à riafiaî 9 alors la |M>laire Q aéra parallèle aux côtés <i6 et cd du trapèze et elle coupe la courbe £ aux points ^^à; menons en ces points des tangentes à la courbe E , elles iront concourir en un point du diamètre conjugué de Q, qui se sera autre que lofaûit do cottOMBftf des ofiités non parallèles teet orf , et le pokit^ est évidemment le milieu de ^A*

Oo déduit de là un moyen simple et facile pour mener une tangente en un point donné d'une section conique ; en effet, soit la section conique Ë à laquelle on veut mener la tangente au point A, par ce point menons une droite quelconque Q, prenons le milieu o de la corde ghj par ce points o menons deux sécantes quelconques ae^ bd qui coupent la courbe £ en les points a et «, b et (/, joignons les points a et d, b et e^ par des droites qui se coupent au point q^ traçons la droite 9/1, on aura la tangente demandée.

333 bis. L On peut regarder un quadrilatère inscrit à une section conique, comme étant un pentagone inscrit en considérant la tangente à la courbe en Tun des quatre sommets. Alors le cinquième côté du pentagone est Télément rectiligne de la courbe au sommet du quadrilatère par lequel passe la tangente.

II. On peut regarder un quadrilatère inscrit à une section conique, comme étant un hexagone inscrit en considérant deux tangentes à la courbe, en deux des quatre sommets. Alors le cinquième et le sixième côté de Thexagone sont les éléments rectilignes de la courbe en les deux sommets du quadrilatère, par lesquels passent les deux tangentes.

Soient donnés une section conique E et un quadrilatère inscrit a^ b^ c^ dy et au point a la tangente T à la courbe £ (fig. 21 5 bis) :

Le pentagone aura quatre côtés de longueur finie, ad^ dc^ cb et 6a, et le cinquième côté sera aa' , infiniment petit rectiligne.

Dès lors si Ton voulait construire la tangente au point b de la section conique E, on devrait considérer cette tangente comme étant le prolongement du sixième côté d'un hexagone, ayant en a un côté infiniment petit aa' et en b un côté infiniment petit bb'.

Dès lors les côtés opposés de Thexagone étant ad, bb' et cb, aa' et cd, b'a\ le côté cb prolongé coupera la tangente T (ou aa prolongé) au point r .; les droites cdet ab' (qui n'est autre que ab) étant prolongées se couperont en un point r; unissant les points r et r' par une droite D, elle coupera ad prolongé en un point r'', et la droite r"b sera la tangente T' demandée.

On peut donc par cette méthode construire la tangente en un point b d'une section conique donnée par son tracé, lorsque l'on connaîtra une tangente T à celte courbe et le point de contact a de la tangente T.

On peut toujours inscrire à une ellipse £ un rectangle dont les côtés soient respectivement parallèles aux axes de la courbe , et si Ton construit aux quatre sommets du rectangle des tangentes à la courbe , on aura un rectangle circonscrit ; or (fig. 21 5 ier)j il est évident :

P Que les diagonales du rectangle inscrit sont parallèlles aux côtés du rectangle circonscrit ;

ST" Que chaqae côté du rectangle circonscrit étant prolongé coupe les côtés du rectangle inscrit qui lui sont opposés en deux points, en sorte que Ton a huit points marqués sur la figure par les lettres p, p', p", p"', p*^, p^, p^^ p^".

Ces points sont deux à deux sur quatre droites qui forment un rectangle 9, (\\ q\ </"', dont les sommets sont situés sur les diagonales du rectangle inscrit.

Chacun des 8 points p se trouve en ligne droite avec Tun des 4 points q et Tun des 4 sommets/ du rectangle circonscrit;

3* Les diagonales du rectangle circonscrit se coupent au point 0 en lequel se coupaient les diagonales du rectangle inscrit.

Il est évident que si Ton construit un parallélogramme inscrit à une ellipse et le parallélogramme circonscrit , on obtiendra les mêmes relations indiquées par la fig. 215 ter y seulement les lignes rectangulaires entre elles dans le cas du rectangle ne le seront plus dans le cas du parallélogramme ; mais , celles qui sont parallèles resteront parallèles et les points qui étaient en ligne droite , resteront en ligne droite.

Cela posé:

Étant donnés une section conique E et deux quadrilatères Tun inscrit et l'autre circonscrit , il est facile de trouver les propriétés qui existent entre ces deux quadrilatères, car il sufQra de prendre un point « sur Idi focale de la courbe E, de regarder ce point comme le sommet d'un cône A ayant la courbe E pour base, ce cône sera de révolution ; en le coupant par un plan Z parallèle aux deux droites unissant le sommet s avec les points de concours des côtés opposés du quadrilatère inscrit, on obtiendra une ellipse E' dans laquelle on aura deux parallélogrammes, Tun inscrit et l'autre circonscrit, comme l'indique la fig. 215 (er. Si donc par le sommet s du cône A et par chacun des points de la fig. 21 5 ter (figure que l'on suppose maintenant sur le plan Z) on fait passer des droites , et si par ce même sommet s et par chacune des droites de la fig. 21 5 ter on fait passer des plans, ces droites perceront le plan de la courbe E en des points et ces plans couperont le plan de la courbe E en des droites, qui seront telles que toutes les relations existant sur la figure située dans le plan Z, subsisteront sur le plan de la courbe E , seulement les droites qui mnt parallèles dans la première figure située sur le plan Z, concourront en un point pour la figure tracée sur le plan de la section conique E.

Un triangle inscrit dans une section conique peut être considéré comme un quadrilatère inscrit, ou comme un pentagone inscrit, ou comme un hexagone inscrit.

En le considérant comme un hexagone inscrit , on est conduit à considérer en même temps {fig. 215 quaier) et le triangle inscrit donné et le triangle circonscrit qui est formé par les tangentes à la courbe aux sommets du triangle inscrit.

S* PARTIS. i5

Alors rbexagone inscrit a trois côtéB infiniment petits asij bU^ ed et trois c6tés finis qui sont ceux du triangle inscrit,

Oq déduit de ce qui précède la propriété suivante , savoir : ri ton prolonge chacune des trois tangentes menées à une section conique en chacun des trois sommets d*un triangle inscrit et le côté du triangle inscrit , on obtient trois points de concours s^ s\ s^^ qui sont nécessairement en ligne droite.

Cette propriété permet de construire la tangente en un point d*une section conique lorsque la courbe est donnée par son tracé et que Ton connaît deux tangentes à cette courbe et les points de contact de ces tangentes.

En effet :

Soient tracés la section conique E, les deux tangentes ar et br, et les points de contact a eiby proposons-nous de construire la tangente au point c de la courbe E.

On tracera le triangle inscrit abc , les droites ra et bc prolongées donneront le point s; les droites rb etac prolongées donneront le point s'; on unira les points s et 5' par la droite («, «') , laquelle sera coupée au point «" par la droite ab prolongée ; unissant les points c et /, on aura la tangente demandée.

333 ter, L'hexagramme de Pascal démontre : .

1 "* Que cinq points déterminent une section conique et n'en déterminent qu'une seule;

2"" Que deux sections coniques ne peuvent s'entre-couper en plus de quatre points sans se confondre ;

3"" Que deux sections coniques qui ont un point de contact ne peuvent se couper au plus qu'en deux autres points ;

4*" Que deux sections coniques qui ont deux points de contact ne peuvent avoir d'autres points communs.

333 quat* Les propriétés ^ employées pour la construction d'une tangente en on point d'une section conique, dont jouissent l'bexagCHie» le pentagone» le qua* drilatère et le triangle inscrits à cette section conique j démontrent :

1 "" Que cinq points déterminent une section conique ;

S"" Que quatre points et une tangente déterminent une section conique ;

3"" Que trois points et deux tangentes déterminent une secticm conique;

4^ Que deux points et trois tangentes déterminent une section conique > et que dans les quatre cas on ne peut construire qu'une seule section conique.

Mais il faut ajouter que parmi les points donnés il £aut toojoors qu'il y en ait un situé sur chaque tangente, et qu'il soit donné coimme point de oMtaot de la tan* gente à la seettoo conique à ecmstrmre par pcinis.

— H5 — Des quadrilatères inscrits à une section conique et conjugués entre eux.

333 qmni. D'après ce qui précède on peut énoncer ce qui sait :

1* Étant données une section conique E {fig. 215 a) et an» droite X, et ayant déterminé le ptf/e o de la polaire X.

Si de deux points s et s^ pris sur la polaire X on mène des tangentes sp 9 sq et «y, «Y à la courbe E , on sait que les points «', p, 9, sont sur une droite Z et que les points Sj p\ fjf sont aur uue droite Y et que les deux droites Z et Y se coupent au pâle 0.

Les droites Z et Y ont respectivement pour pôle les points s et s'^ en sorte qae Ton peut donner au triangle oss^ le nom de triangle polaire de la courbe E.

Si Ton inscrit dans la section conique £ un quadrilatère abcd^ dont les côtés opposée prolongés passent par les points s et s\ les diagonales de ce quadrilatère 86 croiseront au pôle o.

Si du point s on mène une sécante quelconque , coupant la courbe £ aux points af et 6' ; si Ton mène la droite b'o coupant la courbe £ au point d' ; si Ton mène la droite sd coupant la courbe £ au point c' ; les points s\ y et d seront en ligne droite, ainsi que les points si y d! et al , ainsi que les points a^ 0 et c'.

Les deux quadrilatères inscrits abcd , afb'c'df , seront dits conjugués et ils auront pour triangle polaire le triangle ss'o.

a* Étant données (/ijf. 315 6) la section conique £, la droite X, et ayant construit le pâleo (dont la droite X est la polaire) y et le quadrilatère inscrit abcd; 91 Ton prend deux points arbitraires s et s/ sur la droite X^ et que Ton construise le quadrilatère inscrit aWd'y les deux quadrilatères cAcd et àb^cfd pourront encore être dits conjugués; mais ils auront seulement même pôle o et même polaire X; le premier aura pour iriangte pokùre le triangle ss^o j et le second aura le triangle s^fi pour triangle polaire.

3* Si l'on a une série de quadrilatères conjugués par un triangle polaire , ainsi que le sont les quadnlatàrea abcd et aWd' {Jig. 215 a),

Les diagonales du petit quadrilatère a'b^ab se croiseront en un point situé sur la droitQ Z; les tangentes en les points a' et b* se couperont sur la droite Z ; les tangentes en les points a et 6 se croiseront sur la droite Z.

On peut donc énoncer ce qui suit ;

Si Ton a une section conique E et que Ton ait construit le pôle s et la polaire Z , si dopéfo s on mène une suite de divergentes , D, D', ï)\ etc. , coupant la courbe E j savoir : D en«et», D" eno" et ^'^ D'' en a" et b\ etc.

1* Les tangentes à la eourbe E y pour les poîutoaet ^,a'et^S af^ et V\ etc., se

couperont sur la droite Z; 2* les diagonales unissant les sommets des quadrilatères donnés par deux divergentes quelconques se croiseront sur la droite Z.

Et réciproquement 3** si d'un point arbitraire de la droite Z on mène deux tangentes à la courbe E , la corde de contact étant prolongée passera par le pôle s.

Nous trouveront, pour les surfaces du second ordre, une propriété analogue. Mais alors les quadrilatères seront remplacés par des troncs de pyramides quadrangulaires.

Des sections coniques semblables entre elles et semblablement placées sur des plans

parallèles entre eux.

334. Si Ton coupe un cône de révolution par deux plans parallèles , les sections seront des courbes semblables ayant pour pôle commun de similitude le sommet du cône (n'' 262), et ce sommet sera un pôle de similitude directe ou de similitude inverse suivant que les deux plans couperont la même nappe ou des nappes différentes du cône (n"" 559); si les sections sont des ellipses ou des hyperboles, les centres de ces courbes sont des pôles conjugués de similitude (n"" 360) ; ces courbes peuvent dès lors être situées sur une seconde surface conique (n<> 261) {Jig. 216) ; enfin les sommets s et ^ des deux surfaces coniques sur lesquelles peuvent être placées en même temps les ellipses ou hyperboles E et E^ semblables et sembla* blement placées sur deux plans parallèles , et les centres o et o' de ces courbes sont sur une même droite, intérieure aux deux surfaces coniques lorsque les courbes £ et E' sont des ellipses , et extérieure aux deux surfaces coniques lorsque les courbes E et E' sont des hyperboles.

Les points s et s' doivent se trouver en même temps sur les focales des courbes E et E' (n"" 295, 304, 309, 311), pour que les surfaces coniques soient de révolution ; mais comme deux hyperboles ou deux ellipses se coupent généralement en quatre points, on pourrait croire que, pour une position donnée de deux ellipses ou de deux hyperboles semblables et semblablement placées , il y a quatre surfaces coniques de révolution capables de les contenir en même temps; mais dans ce cas les focales des courbes proposées ne se coupent qu'en deux points comme le montre le raisonnement suivant.

Si Ton fait mouvoir Tune des deux courbes parallèlement à elle-même , de manière que son centre parcourt la droite oo\ les cônes sur lesquels elles seront placées auront encore leurs sommets sur la même droite oo* , mais en des points autres que 5 et s'; or la focale de Tellipse ou de l'hyperbole ne pouvant être rencontrée par une droite qu'en deux points , de toutes les surfaces coniques ainsi obtenues , deux seulement seront de révolution , les autres seront des cônes obliques. D'où

Ton pourrait cODclare qu'un cône oblique peut être coupé par un plan suivant une ellipse ou une hyperbole.

Les paraboles n'ayant pas de centre , deux paraboles semblables et placées sur deux plans parallèles ne peuvent être situées que sur une seule surface conique dont le sommet «sera au delà des deux paraboles, si elles ont leur courbure dirigée du même côté , on si elles sont semblablement placées , et entre les deux paraboles dans le cas contraire , c'est-à-dire si elles sont inversement semblables. Si Ton fait mouvoir l'une des deux courbes parallèlement à elle-même , de manière que l'extrémité a! d'un diamètre parcourt la droite (a, a^, le sommet $ de la surface conique changera de place eu restant toujours sur la même droite aa\ mais là focale de la parabole ne peut être rencontrée qu'en deux points par une droite ; donc de toutes les surfaces coniques ainsi obtenues j deux seulement pourront être de révolution (ce qui ne veut pas dire que nécessairement il existera deux cônes de révolution) , les autres seront obliques i on pourrait conclure de là qu'un cône oblique peut être coupé suivant une parabole.

335. Si les deux sections coniques sont identiques y les droites qui unissent deux points homologues quelconques sont parallèles , et le cône se transforme en un cylindre. Donc deux sections coniques identiques peuvent toujours être placées sur une même surface cylindrique.

336. Deux paraboles quelconques sont deux courbes semblables, car si l'on fait coïncider les foyers de ces paraboles , et si l'on mène un rayon vecteur quelconque qui les coupe en a; et a;' , les diamètres et les rayons vecteurs de ces points sont parallèles, donc les bissectrices des angles de ces droites sont aussi parallèles; mais ces bissectrices ne sont autres que les tangentes aux paraboles (n* 324), donc les deux paraboles ont leurs tangentes parallèles et sont par conséquent deux courbes semblables (n"" 259) ayant pour pôle commun de similitude leurs foyers communs; si l'on déplace ces paraboles de sorte qu'elles n'aient plus même foyer, leurs foyers deviennent alors des pôles conjugués de similitude.

337. Lorsqu'un cône est coupé par deux plans parallèles suivant des ellipses E,E' (fig. 216) , on peut faire mouvoir l'une d'elles de manière que son centre parcourt la droite oo' jusqu'à ce qu'il vienne coïncider avec le centre de l'autre; on a alors deux ellipses semblables y semblablement placées et concentriques , de sorte que les diamètres homologues se confondent en une même droite. Il en résulte que si l'on mène une tangente à l'ellipse intérieure et prolongée de part et d'autre jusqu'à l'ellipse extérieure, on aura une corde et le point de contactsera le milieu de cette corde , car il appartient au diamètre conjugué de cette corde (n* 313, ?•), et si Ton coupe les deux ellipses p^r une sécante quelconque, les parties de cette droite, interceptées entre elles, sont égales, c^r le même point est le milieu de la corde corres-

pondant à chaque ellipse. Les cordes sapplémentaires, par rapporta deax diamètres homologues, et issues de points homologues, sont parallèles ; les parallélogrammes ayant pour diagonales des diamètres homologues ont leurs c6tés parallèles et sont semblables. Des propriétés analogues existent pour deux hypeii>oles semblables, semblablement placées et concentriques. Deux paraboles qui jouissent des mêmes propriétés ne sont plus deux courbes semblables, mais bien deux paraboles identiques , qui coïncideraient si , en leur conservant même axe , on les amenait à avoir même sommet.

On peut conclure de là que ri deux courbes jouissent de cette propriété , que les parties d'une sécante quelconque, comprises entre les deux courbes, sont égales , et que le point de contact d'une tangente à la courbe intérieure soit le milieu de la portion comprise dans la courbe extérieure, si Tune des deux courbes est une ellipse ou une hyperbole , Tautre sera une ellipse ou une hyperbole semblable, semblablement placée et concentrique, et si Tune des deux courbes est une parabole , l'autre sera une parabole identique ayant même axe infini que la première.

338. Si l'on coupe une surface conique de révolution par deux plans parais lèles de manière que les sections soient des hyperboles ; on peut , par le sommet , faire passer un plan parallèle aux plans sécants, il coupera la surface conique suivant deux génératrices, et l'on sait (n" 326, 5*) que ces génératrices sont parallèles aux asymptotes des hyperboles, donc les asymptotes de l'une des hyperboles sont parallèles aux asymptotes de l'autre byperiiole. Si, par conséquent, on fait mouvoir l'un des plans sécants parallèlement à lui-même, de manière que le centre d de l'hyperbole correspondante se meuve sur la droite wt et vienne coïncider avec le centre o de l'autre hyperbole , les asymptotes de la première hyperbole viendront s'appliquer sur les asymptotes de la seconde, et l'on reconnaîtra facilement que les deux courbes se trouveront situées dans les mêmes angles de leurs asymptotes communes.

Les asymptotes des deux hyperboles et les génératrices parallèles de la surfoce conique déterminent deux plans , dont l'intersection passe par le sommet du cône et par les centres des hyperboles ; il est évident que les deux hyperboles sont situées dans les mêmes angles dièdres opposés de ces deux plans.

Si donc on conçoit deux plans parallèles P et P', dans le plan P deux droites A et B et une hyperbole H dont ces droites seraient les asymptotes, dans le plan F deux droites Â' et B' respectivement parallèles à A et B, et une hyp^bole H' semblable à H, et dont A' et B' seraient les asymptotes, et si l'on imagine les plans (A, A') et (B,B') ils se couperont suivant une droite I passant par les centres des deux hyperboles. Cela posé , si les courbes H et H' sont dans les

mômes angles dièdres opposés des plans (A, A') et (B^Bf), ces deux hyperboles pourront être placées sur deux surfaces coniques ayant leurs sommets sur I ; mais si la courbe H est située dans deux angles dièdres opposés, et que la courbe H' soit dans les deux autres angles dièdres aussi opposés , ces deux hyperboles ne peuvent être situées en même temps sur aucune surface conique. Cependant, dans ce dernier cas , si Ton unit par une courbe les extrémités des diamètres imaginaires de Tune des hyperboles H' on aura une nouvelle hyperbole H', qui pourra se trouver avec H sur deux surfaces coniques; de même Thyperbole H,, dont les diamètres réels seraient les diamètres imaginaires de H , pourra être située avec la courbe H' sur deux autres surfaces coniques , et les sommets de ces quatre surfaces coniques sont tous sur la droite L Les hyperboles telles que H et H, ayant mêmes asymptotes et qui sont telles que les diamètres imaginaires de Tune sont les diamètres réels de Tautre et réciproquement, peuvent être nommées corn* plémenunresy nous remarquerons que chaque asymptote d'une hyperbole forme à elle seule un système de diamètres conjugués (n"" 325 , 8*").

Il résulte de ce qui précède que si Ton donne deux hyperboles semblables H et H' ayant leurs asymptotes parallèles, et situées dans deux plans parallèles, ces deux hyperboles et leurs complémentaires H^ et H', déterminent quatre surfaces coniques ayant leurs sommets sur la droite qui unit les centres des hyperboles proposées,

339. Si Ton a deux cerdes Goncenlriqnes C et C' (fig. 217) ; qae Ton mène au cercle intérieur C les tangentes parallèles ab,cdj terminées au cercle extérieur C ; que Ton tire les cordes or, bd; qne du centre o , on mène le diamètre ef parallèle aux tangentes ab et ed, il coupera les cordes ac et bd en leurs milieux g et A, et il est évident que tons les points gei h ainsi obtenus sont sur une circonférence de cercle C' concentrique à C et C. Si l'on considère ces trois cercles comme les projections de trois ellipses tracées sur un même plan , nous savons (n* 317) qne ces ellipses ne peuvent avoir pour projections des cercles qu'autant qu'elles sont semblables et semblablement placées; il est évident de plus que dans ce cas-ci elles sont concentriques. Donc si l'on a deux ellipses C et G' semblables, semblablement placées et concentriques , qu'on inscrive dans la plus grande un parallélogramme dont denx côtés soient tangents à la plus petite , les deux autres c6tés seront tangents à une troiâène ellipse C" semblable, semblablement placée et concentrique aux deux {»emières.

340. Si l'on a deux cercles concentriques G et C, qne l'on mène deux tangentes ab^ np au cercle intérienr G et aux points k^ ta, les cordes on, mk^ bp sont parali^es; car l'on a Jrp=mp,.tt=:tm et par conséquent ia=in. Donc si l'on considère ces cercles covwne les projections de deux ellipses semblables, semblablement pla*

cées et concentriques , on en conclura que dans de telles ellipses deux tangentes à Tellipse intérieure coupent Tellipse extérieure en quatre points liés deux à deux par deux cordes parallèles à celle qui unit les points de contact. De plus si Ton menait les cordes bn^pa^ il est évident qu* elles iraient se couper sur la droite oi, donc aussi cela aurait lieu dans les ellipses. Il est évident que les réciproques de cette proposition et de la précédente ne sont pas généralement vraies.

341. Si l'on a deux cercles concentriques C et C" {fig. 217), que Ton construise le rectangle abcd (n** 339) , les diagonales adj bc seront des diamètres du cercle C; si Ton construit sur le diamètre kl les cordes supplémentaires km et /m, elles font entre elles un angle droit, si des extrémités a et d du diamètre ai on leur mène des parallèles a/i, c/n, elles feront aussi entre elles un angle droit et se couperont par conséquent en un point n de la circonférence C; de même si des points 6 et c on leur mène des parallèles bp^qp, elles se couperont en un point p de la circonférence G'; et les trois points n, m, p sont sur une ligne droite tangente en m au cercle G. En effet, les droites pc^dn étant parallèles, les arcs dp^nc sont

égaux et dès lors les cordes dp et ne sont égales et Ton a pdc=^pncj donc les triangles pcd^npc sont égaux et l'on a np = cd, donc la droite np est tangente an cercle G. De plus joignant onij on, op, nm, les triangles rectangles onm et odl sont

égaux, car om=ol etod=o/i, donc onm=^odly mais ond=odny donc dnin=ndl^

mais ndc=dnpj donc dnm=^dnp^ donc les droites nm et pn coïncident ^ donc la tangente pn passe par le point m qui est le point de contact. Si Ton avait mené les droites an', dn' et bp', q)'j parallèles à Im et km^ on aurait obtenu pV tangente au cercle G en un point m' diamétralement opposé au point m, de sorte que les droites pn et p'n' sont parallèles. Les droites np\ pn' seraient tangentes au cercle G" {n' 339).

En considérant les cercles G et G' comme les projections de deux ellipses semblables , semblablement placées et concentriques , on transportera la propriété des cercles sur les deux ellipses^ seulement les cordes supplémentaires ne seront plus perpendiculaires entre elles.

342. Si deux courbes semblables et semblablement placées E et E' {fig, 218) sont telles que les parties d'une sécante quelconque comprises entre les deux courbes sont égales , et qu'une tangente quelconque à la courbe intérieure E et terminée de part et d'autre à la courbe extérieure E' est divisée par le point de contact en deux parties égales; les deux courbes E et E', sont deux sections coniques semblables , semblablement placées et concentriques.

En effet soit o le pôle commun de similitude des deux courbes E et E', menons une tangente quelconque e'f à la courbe E et ayant le point a pour point de con-

tact avec E , on aura , par hypothèse , oe' = af ; menant les rayons vecteurs oe' et of qui coupent la courbe E en e et/, la corde ef sera parallèle à e'f à cause de la similitude des courbes E et E', donc la droite oa , qui divise e'f en deux parties égales , divise aussi ef en deux parties égales , et puisque et =/(j>' on aura mt=^m(s^'\ prenant sur la tangente e'f à la courbe intérieure E deux points quelconques u^Vj tels que au = ai;, si Ton mène les rayons vecteurs ou^ovy puis les cordes gh, g'h'^ ces dernières sont parallèles à uv, car o étant le centre de simi« litude , on a

og' \(M\ og :: oh'iov: oh :: op' :oa:op

donc la droite oa^ passant par le milieu de uv, passe aussi par les milieux de g' h' et de gh. En prenant d*autres points u' et v' on trouvera d'autres cordes parallèles à e^f^ et dont les milieux seront situés sur la même droite oa; on trouverait de même que les cordes parallèles à une autre tangente ont leurs milieux en ligne droite. Or cette propriété, savoir : que toutes les lignes diamétrales sont des droites, appartient exclusivement aux sections coniques, car exprimée analytiquement elle conduit à une équation du second degré (nous démontrerons directement cette proposition, n* 342 ter^ sans avoir besoin de recourir à l'analyse). Les courbes E et E' sont donc deux sections coniques semblables et semblablement placées, et comme deux sections coniques ne jouissent de la propriété d'être coupées par une sécante quelconque de manière à ce que les parties interceptées soient égales entre elles, qu'autant qu'elles sont concentriques, on en conclut que les deux courbes proposées E et E' ne sont autres que deux sections coniques semblables et semblablement placées et concentriques.

Théorèmes relatifs aux sections coniques concentriques et semblables.

342 bis. 1* Si l'on coupe deux surfaces S et S' par un plan P et qu'on obtienne deux courbes 6 et 6, telles que l'on sache que la courbe g est une section conique et que l'on ait démontré que la courbe 6^ jouit de la propriété suivante, savoir : que menant une tangente quelconque 6 à cette coui4)e 6,, et coupant la section conique 6 en deux points q et ^, le point m de contact des lignes 9 et S, est le milieu de la corde qtf^ alors on peut affirmer que la courbe 6, n'est autre qu'une section conique concentrique et semblable à la section conique 6.

Dans ce cas la section conique 6 enveloppe la courbe 6, ou , en d'autres termes, lui est extérieure.

2* Si l'on coupe deux surfaces 1 et 2' par un plan P et qu'on obtienne deux courbes 6 et 6. telles que l'on sache que la courbe g est une section conique et que

la courbe S, jooit de la propriété suivante , savoir :• que si Ton mène une t&ngente* (Quelconque 9* à la section conique Ç, cette droite 9 coupe l'a courbe 6; en dteux points p et p' tels que désignant par m le point de contact* dbs lignes 9** eV & on a» pm=p^tn; alors on peut affirmer que là- courbe S, n'est autt^ qu'aine sectionconique concentrique et> semblable à la courbe 6; dans* ce cas la> section ceniqueff est enveloppée par la courbe g, on, en d^àutres termes, Ib section- conique S^^est intérieure par rapport à la courbe 6,.

Premier cas. Considérons divers points m, m,,??»,, de la courbe 6, et lès tangentes à cette courbe 6,, savoir :

9 tangente en m et coupant 6 aux points p et p', 9, tangente en m, et coupant 6 aux points p, et p/, 0,, tangente en m^ et coupant 6 aux points p^ etp/, etc., etc., etc.

par hypothèse on a :.mp,=:.mp' jymfi^^=.m^p^\m^p^=m^p^' yeto.

Cela posé :

ûo pourra prendre le oentne o delà section oonique 6 {fig. 21.8 a) et oonslruire une section conique 9 tangente en m à la. droite 9. et concentrique et semblable à la courbe S,

On pourra évidemment construire une série de sections conique» â,, d,,. eto.^ tangentes fespectivament aux droites 9,, 9,, etc. ,. en le» points nespectifam;, m^, etc., et concentriques et semblables à la courbe & On aurai donc une: série de section» cqniques d, df^d^., ^tc.^ concentriques^ et semblables» et tangentes à. la courbe. 6,,. cette courbe 6, sera donc l'enveloppe des diverse» courbes d, d,, d^, eto.

Et comme la courbe 6, existe, elle doit impérieusement être C enveloppe des diverses courbe» 5, 3„ 3,, etc.; ces courbes 3, â^jâ,, etc-, doivent donc forcément être telles que cette condition se trouve remplie.

Or il est évident que cette condition ne peut être remplie ^ qu'autant, que les diverses sections coniques, â, £i,d^, etc.,. ne sont qu'une seule et même, section conique d,, concentrique et semblable à* la. section conique 6; et cela devient d'autant plu» évident que l'on sait que les enveloppées successives d^d^àiv-*' d'une enveloppe 6, doivent se couper deux, à deux en des points qui appartiennent à cette enveloppe 6,. Or (dans le cas actuel.) les courbes â, 3,,d,, etc., ne peuvent se couper puisqu'elles sont concentriques et semblables.

La courbe 6, n'est donc autre que la section conique S ; donc , etc.

Deuxième cas. Considérons un point quelconque m {fig. 218 A), de la section conique 6. La tangente 9 en m coupe la courbe 6, en les point» q, et.qf> et par hypothèse on. R\ :. mq =:nu/l ; et cda subsiste pour tous: le» peint»* m delà caurbe^; prew

nons le centre ode la section conique €; menons la droite 09^ elle coupera 6 en / ; •menons/rViparallèleit qo[^ die ooupaFa 6 en r'\ joignons les points o et m, on an«ra

une droite om coupant la corde rr' en un point « qui sera le milieu de rr'*^ unissons les pointe o»et r, on auna tme droite or coupant la droite 6 an un point 9,, et

comme sr=^', on aura mq*:=^mq^.

Mais par hypotlièse m(^=^mq; donc les points qçX 9, se confondent.

Or Ton a : or\oq \\ or': oq' (et cela aura lieu pour tous les points m de la courbe 6) , donc les courbes'^S et 6, sont semblables et concentriques.

Or la courbe semblaTjle à une section conique est une section conique du même genre.

Donc les deux courtes 6 et ê, sont deux sections coniques, concentriques et -senïblables.

3^ Traçons sur tm plan deux hyperboles H'' et H' concentriques dt semblables ; ces courbes auront pour centre commun le point 0 «et pour asymptotes commtrBes les droites A et B ; d'un point s de l'hyperbole extérieure H" menons deux tangentes à l'hyperbole intérieure H', on aura la corde de contact mn et le poitft x («nilieude la corde nrn), le point s et le centre 0 eev&iA sur un diamètre commun aux courbes H" et H' et coupant l'hyperbole H' au peint p.

Cela posé ^{fig. SU 8 c) :

Prenons sur la courbe H'', un point s' successif et infinimeiït voisin du point ^. Le diamètre oê' sera le successif du diamètre os et coupera l'hyperbole H' en un point p' suooessif du point ^.

Si du point s' on mène -deuiL tangentes à la courbe H'^ la corde m'n' sera la suo •cessive de la corde mny, et dès lors son milieu x' sera un point successif du point « milieu de la corde m». Si doac l'on unit les divers points so,, x\ etc., on aura une courbe H. Démontrons qae les cordes mn, m V, etc., sont des tangentes successives de la courbe EL

Puisque $ et 8^ sont des points successifs , ils donnent l'élément rectiligne de k courbe H", élément qui proloAgé donnera la tangente G" à cette courbe H" au premier point ^.

Or l'on sait que la tangente 9'' et la corde mn sont parallèles.

Puisque les points p et p' sont successifs ils donnent l'élément reotiligne de la oowbe B!„ élément qui proloia^ 4onfl6r« la tai^ente 6' à cette courbe H' et au proBÛer poînt |».

Or l'on sait que la corde m», et les tangentes 6' et C'' sont parallèles; le diamètre os' coupera donc la corde mn «n un point a:' qai sera le ^successif du points?.

Si l*on prenait un troisième point n" sur H'' et successif du point ^^ on aurait uue corde viJ^nl' successive de vnlv! et la coupant en un point d' successif du point x' .

Et comme le point ^ serait le premier point de Télément rectiligne ^fl\ il s'ensuivra que le diamètre q%" coupant l'hyperbole H' en un point p'^ le point p' sera le premier point de Félément rectiligne p'p'^ et dès lors le point a/' en lequel se coupent les cordes successives vnlvl et vitl^n!^ sera le successif du point oé et le point 0?' sera le premier point de l'élément rectiligne xV.

La courbe H sera donc déterminée par ces divers points x^x'^od'^ etc., et les cordes mn^ m'u', m"n\ etc. , lui seront des tangentes successives. Donc, etc.

Or. comme nous avons démontré que lorsque Ton avait deux courbes H' et H telles que H' étant une section conique, les tangentes mn, mV aux points x^a/j etc., de la courbe H, donnent xm=^xn,x'm'=^x!n\ etc. (n* 342 bis 1' et 2*), la courbe H est une section conique concentrique et semblable à la section conique H\ nous pouvons énoncer ce qui suit, car la démonstration précédente peut évidemment s'appliquer et aux ellipses et aux paraboles.

1 . Si l'on a deux sections coniques concentriques et semblables E'' et E', si de chacun des points de la courbe extérieure E^', on mène deux tangentes à la courbe intérieure E', la courbe enveloppe des cordes de contact sera une section conique E concentrique et semblable aux courbes E'' et E'.

2. Si l'on a deux sections coniques E et E' concentriques et semblables , si l'on

mène des tangentes 0, 6^ à la courbe intérieure E coupant la courbe extérieure

E' en les points m et n, m' et n', etc. , et si l'on mène aux points m et n des tangentes Ç et Ç, à la courbe E', ces tangentes Ç et ^, se coupant en un point «; et si l'on mène aux points m', n' des tangentes $' et Xx à cette même courbe E' , ces tangentes il et i!^ se coupant en un point $'\ et ainsi de suite.

Les divers points 5, «', etc. , seront sur une section conique E'' concentrique et semblable aux courbes E et E'.

Les théorèmes précédeiîts peuvent se démontrer pour l'ellipse et la parabole sans avoir besoin de recourir à la théorie des infiniment petits comme nous venons de le faire ci-dessus.

Et en effet :

1* Étant données {fig. 218 d) deux cercles concentriques G' et C, si d'un point s du cercle extérieur C" on mène deux tangentes au cercle C, la courbe tangente à la corde de contact pq sera un cercle C concentrique aux cercles donnés C" et C.

Si donc l'on regarde les cercles concentriques C, C, C" comme les bases de trois cylindres de révolutions, 2', E", ces cylindres seront coupés par un plan P suivant

trois ellipses concentriqueg et semblables E^ Ë', E^' {fig. 218 e) qui jouiront de la même propriété dont jouissent les cercles concentriques C,C',C''.

2* Si l'on a deux paraboles concentriques et semblables P'et P (Jig. 218/) et que Ton mène une tangente au point m à la courbe F, cette tangente coupera la parabole extérieure F en deux points p et q. Menant par le point m un diamètre commun aux paraboles P et F et qui dès lors sera parallèle à Taxe infini Z de ces deux paraboles, ce diamètre coupera la parabole F en un point n, et Ton sait que la tangente 9 en n à la courbe F est parallèle à la corde jhj.

Cela posé :

Si l'on mène aux points p et ^ des tangentes à la parabole P' , elles se couperont en un point s situé sur le diamètre mn prolongé.

Or l'on sait que prenant un diamètre mn pour axe des abscisses et la tangente 6 pour axe des ordonnées , la sous-tangente ms est double de l'abscisse mn ^ comme il sera démontré ci-après (n"" 344 bis). On a donc mn=^ns et ce résultat aura lieu quel que soit le point m pris sur la parabole P.

Or comme P et F sont des paraboles identiques ou superposables , puisqu'on a établi pour condition, qu'elles étaient deux paraboles concentriques et semblables, il s'ensuit que si pour tout autre point m' de P on fait les mêmes constructions, on aura : m'n'=^n'8' et comme on aura : mn = mV= etc. ,

Il s'ensuit que la courbe P^' lieu des points s , 8\ etc. , sera une parabole concentrique et semblable aux paraboles données P et F. Donc , etc. , et il se trouve en même temps démontré que les trois paraboles P, F, P^' sont équidistantes entre elles.

342 ter. Sans avoir recours à Yanalyse on peut démontrer rigoureusement que toute courbe dont les diamètres sont des lignes droites , n*est autre qtCune section conique.

Et en effet :

1"* Étant donnée une courbe G, dont on ignore la nature géométrique, mais qui jouit de la propriété d'avoir pour lignes diamétrales des lignes droites , je dis que cette courbe a nécessairement un centre situé à distance finie ou à l'infini.

Pour démontrer cette proposition , menons deux cordes parallèles mn^pq^ leurs milieux seront sur une droite A et le milieu de toute corde parallèle à mn sera situé sur A.

Menons deux autres cordes parallèles m'fi' et p'q\ leurs milieux seront sur une droite A' et le milieu de toute corde parallèle à mV sera situé sur A'.

Les deux diamètres {fig. 218 bis) A et A' se coupent en un point o; si par ce point 0 on mène une corde M parallèle à mn , ce point o en sera le milieu , et si par ce point o on mène une corde M' parallèle à nW, ce point o en sera aussi le milieu ;

or la corde M coupe la courbe G en deux pointe a el 6., et.la^otde M' ooupe la courbe C en deux points d et 6', les cordes ad ûi bb\ a6'ôt'^^,.fie^ont donc parallèles., leurs milieux seront donc sur deux droites Pet.P' se croisant au ipoint o, dt toutes les cordes parallèles à aa' auront leurs milieux.surP^et tûntes les cordes parallèles à ab' auront leur milieu-sur F.

Mais comme.les quatre points. a, al^ bj b'^ forment un parallélogramme, il s'ensuit que le point o en est Le centre et que les droites P^et P'rsont respectivement parallèles aux côtés parallèles aa', 66^ et ab^a'by par conséquent la droite P coupe la courbe C en deux points « et r et le point o est le milieu de la corde «r , la droite F coupe la courbe C en deux points s^ et r\ et le point -o test leimilieu de :la corde sV; les quatre points s^s^ r^r' forment un parallélogramme dont le point o est le centre., les milieux des côtés parallèles seront donc sur deuK droites R et K se coupant au point o et en leur milieu , et ainsi de suite.

Ainsi lorsque deux diamètres A et A' se coupant, le point .o de leur rencontre est le centre de la courbe C.

Si les droites A et A' arbitrairement choisies étaient parallèles et si dès lors le point 0 était situé à rin&ni , les droites A et A' ne perceraient chacune la courbe C

qu'en un point, et dès lors toutes les droites, P, P' et R,R', etc., seront pars^

lèles entre elles et aux droites A et A'; et en effet lorsque deux diamètres se croisent en un point o , nous avons démontré que tous les diamètres ,passaient par ce point 0. Si donc deux diamètres se coupent à Tinfini , tous les .autres diamètres les couperont à l'infini , ou en d'autres termes leur seront parallèles.

2° Trois points et le centre déterminent une ellipse ou une hyperbole; désignons les •trois points par a, b^jc et le centre par o; sur les droites aoybojco, prenons des points a'yb'ydy tels que Ton sâi 'a!o=ae^b'o=bojC*o^=^co, les six points ^e, a', bjb'yCyd détermineront une ellipse ou une hyperbole, en eflfet : prenons dans l'espace un point 5, menons les droites «a, «a', s6, sb'^ scj sc'^ et coupons la pyra- 3Q[iide qui a pour sranmet le point s et pour base l'hexagone abcdb'c'j dont les côtés opposés sont parallèles , par un plan Z., on aura un hexagone irrégulier a^b^cfi! fo\c\ dont les côtés opposés iront se couper en trois points situés en ligne droite.

On pourra donc faire passer une section conique Ë et une seule par les six points a^b^cfi\b\c\ puisqu'ils satisfont à la condition de l'hexagrantme cle Pascal , le cône A qui aura pour base la section conique E et pour sommet le point s sera doftc coupé par le plan Z suivant une section conique E' ^ssaot par îles six points abca'b'c' y donc, etc.

Mais il faut admettre que tout cône ayant pour 4)ase une isectton conique E, (ce cône n'étant pas de révolution), est toujours :00i]f)é par un (plan suivant une sectiou conique , proposition que nous .démontrerom un peu ^us Ion.

3^* TfTHS poiniÊ e^Ux étreelUm de P axe' infinvdélerminent une pambeie; dé»gnons par a» b^ Cj les tbois- points donnés et par  là^ droite à* laquelle Taxe infini de la parabole doit être parallèle,, déaignonô par X. le plan sur lequel se tmuvent placés Ia< droite A ett les trois points; Prenons un point $* hors du plan X. et menons par ce point s une droite 6 parallèle à  et les trois droites m, sbj se, et par la> droite 6' un planQ parallèle tau* plan X. Coupon» les quatre droites par un planZ, nous aurons les quatre points g^ cl^ b\d\ ce plan Z coupera en outre le plan Q suivant une droite '0 'passant parle point g\ les quatre points et la droite 0 détermineront une section conique (et une seule) E passant par ces quatre points^ et ayant @ pour tangente au point g (n'^'SS-Si qmtter) et le cône A (oblique et non de révolution) ayant E pour base ei s pour sommet sera coupé par le plan X suivant une parabole passant par les points a^ by c^ et ayant son ase infini parallèle à la génératrice 6i du cône A, ainsi que nous le démontrerons plus loin (n*" 346).

Ce qui précède étant posé,, démon trous, la. proposition énoncée, savoir : qu'une courbe C , qui a des droites pour lignes diamétrales et un centre o , n'est autre qu'une section conique, ellip$e ou hyperbole.

Prenons sur la courbe C trois points a, A, c, unissons les points a et 6 et par le point c menons une parallèle à la corde ab et coupant la courbe C au point rf. Par hypothèse (en tant que considérant la courbe C) les points milieux des cordes parallèles ab et cd et le point o sont en ligne droite.

Mais par les trois points a, b, c, on peut faire passer une section conique E ayant le point 0 pour centre , le point d seTa donc sur la courbe E , puisque les courbes E et C ont même centre o et même diamètre par rapport à la corde ab. Si par les trois points a, 6 et cf on fait passer une section conique E' ayant le point o pour centre, elle ne sera autiB qne*E/ puisque E et Ë^ ont même centre o et trois points communs a, b^ d. Uniseant les points a et d et menant par le point b une parallèle à la corde ad , cette parallèle coupera la courbe C en un point e , et les milieux des cordes ad et ba seront en ligne 'droite avec le centre o, le point e sera donc ausû un point de la section conique E laquelle passe dès lors par les cinq points abcde de la courbe C ; en continuant de la même manière on voit que la section conique E passera par tous lès points de la courbe C , que cette courbe C n'est donc autre qu'une section conique ayant un centre, elle n'est donc autre qu'une ellipse ou une hyperbole.

Sk la courbe C'avait tons' ses diamètres parallèles entre eux, elle ne serait autre qu'une paraBolèri ef en effet; désignon» par A la droite à laquelle se trouvent parallèles tous lë9 diamètres rectiligoea de la courbeC et prenons sur C trois pointsa,6,c.

Par ces troi&* point» nous pourrons faire passer une parabole P ayant son axe infini parallMeè' A;

Joignons les points aeib^ menons par le point c une parallèle à la corde ab , la droite passant par le point c coupera la courbe C au point c' , les milieux des cordes ab et cc'f seront par hypothèse (en tant que considérant la courbe G) sur une droite parallèle à Â , le point c' appartiendra donc eu même temps à la courbe C et à la parabole P.

En prenant les trois points a^b^c^ et joignant ac' et menant par 6 une parallèle bb* à ac^ et coupant la courbe G au point o , on aurait une parabole P' qui ne serait autre que P , et Ton trouverait que la section conique P a en commun avec la courbe C les points ayb,c', et ainsi de suite.

La parabole P passe donc par les divers points de la courbe G, donc, etc.

La proposition précédente nous servira lorsque nous chercherons les propriétés' dont jouissent les surfaces du second ordre.

De la transformation cylindrique (Tune section conique en une autre section conique.

343. Soit une ellipse E {fig. 219) comprise entre les tangentes parallèles T, T, ; coupons ces tangentes par une droite quelconque a'6'; par les divers points c, rf, OjC^gy du diamètre afr (conjugués des tangentes T etTJ menons des parallèles à T et qui coupent a'fr' aux points c/, d', o', a', gf'; par ces points et sous un angle quelconque menons des droites parallèles entre elles sur lesquelles nous prendrons des longueurs telles qu'on ait

ch : c^h! :: dk : d'K :: ol : o'i' ::

Par tous les points a^hl^k^ faisons passer une courbe E', je dis que celte

courbe est une ellipse. En effet soit une droite quelconque rs passant par le centre o , les transformés des points r', o, s, sont r', o\ «', points qui sont en ligne droite ; et en effet , les triangles roij soj sont égaux j donc oi = oj , donc aussi

o'i'=io'j\ mais ir=js et îr:tV::js:jV, donctV'=jV; de plus r^i'o^=s^jWy donc

les triangles o'iV et o'jV sont égaux, par conséquent r'o'i'=^s'o'j', donc entin les droites rV et oV ne forment qu'une seule et même ligne droite, et de plus on a o'r' = oV.

La même démonstration s'applique évidemment à tous les autres diamètres de l'ellipse E, donc le point o' divise en deux parties égales toutes les cordes de E' qui y passent. Soit maintenant une droite pcq parallèle au diamètre rs , les points p, c, q se transforment en p', c', q' et je dis que ces points sont en ligne droite, car les triangles semblables cup, cvq donnent cul cv :: up : vq; mais

eu : cv : : c'u' : t/v* et up:vq:: uy : vY ; donc cV : cV : ; uy : r Y ; d'ailleurs les angles

pV? et c'r'^ sont égaux, donc les triangles p'uV et qfVc' sont semblables, donc

pVi? = 9'cV, et dès lors pV et cY sont en ligne droite. Je dis de plus que pY est parallèle à rV, en effet les triangles ori et cpu sont semblables et donnent oi'.cu: : ir : up ; mais oi : cm : : o!i' : c'u' et ir : iip : : iV : tt'p' ; donc o'i' : c'u' : : i'r' : tt'p' ;

de plus dir^=^(!vîp*\ donc les triangles dr'ï et c'u'p' sont semblables et r'o'i'=^p'c'u\ et par conséquent /«' et p'9' sont parallèles. Donc toutes les cordes parallèles entre elles de l'ellipse E se transforment en des cordes parallèles entre elles de la courbe E' et les tangentes de E se transforment aussi en des tangentes de E' parallèles au diamètre conjugué de celui qui passe par le point de contact.

Par ce qui précède , on voit de suite que l'on pourra faire passer sur la courbe E', toutes les propriétés de l'ellipse E, qui ne sont pas métriques; ainsi on pourra faire passer de la courbe E sur la transformée E' toutes les propriétés de relation de position ; ainsi ayant démontré qu'une droite D se transforme en une droite D' et que deux droites A et B se coupant en un point 0, se transforment en deux droites A' et B' se coupant en un point 0' qui est le transformé du point o, on voit de suite que toutes les propriétés de l'hexagramme de Pascal subsisteront pour la transformée E' comme pour la courbe primitive E. Dès lors si Ton prend cinq points arbitraires sur la courbe E' on pourra, au moyen de l'hexagramme de Pascal, retrouver un sixième point appartenant à cette courbe E'.

Les deux courbes E et E' sont évidemment de même espèce et par conséquent la courbe E' est une ellipse.

Il est évident que des raisonnements semblables seraient applicables si la courbe E était une parabole ou une hyperbole. Donc la transformée d'une section conique est une section conique de même espèce.

Il n'est pas nécessaire que les droites aa' et bb' soient tangentes à l'ellipse Ë , on peut les mener sous telle inclinaison que l'on voudra , pourvu qu'elles soient parallèles entre elles (/îj. 220). Si Ton prend une corde quelconque zy conjuguée du diamètre ab et le coupant en un point x , si l'on mène xai parallèle à mt! et coupant la droite quelconque cib' en x' et menant par x' la droite yV sous tel

angle que l'on voudra et prenant a^y[\xy\\dc'\oc\\ ; si partons les points

ciyy\c\b\d!y on fait passer une courbe E', on démontrera encore, comme

précédemment, que cette courbe E' est une ellipse, et si au lieu de l'ellipse E on prenait une parabole ou une hyperbole , on trouverait aussi que la courbe E' est une parabole ou une hyperbole.

Remarquons que rien dans la démonstration ne suppose que les droites de transformation soient dans le plan de la courbe E, il suffit que la courbe E' soit plane 2* PÀRns. n

et qae les droites de transformation soient parallèles entre elles j on peut donc construire la transformée E^ partout où Ton voudra dans Tespace.

344. Ce qui précède permet de démontrer le théorème suivant relatif à la parabole.

Étant donnée une parabole P (fg. 220 a) ayant pour sommet le point s et pour axe infini la droite Z, si de chaque point m de la parabole P on abaisse une perpendiculaire mp sur Z, si en chaque point m on mène une tangente T à la parabole P et coupant Taxe Z au point r, si ensuite on mène par chaque point p des droites parallèles entre elles et faisant avec mp un angle arbitraire «, et si

sur ces droites on prend des points m, tels que l'on ait ^— î- = constante=K, tous

pm

les points m, donneront une parabole P^ passant par le point s sommet de la parabole P et la tangente T en m à P sera transformée en une tangente T, en m, à P, et T, coupera Taxe Z au point r en lequel la tangente T le coupait.

Et la tangente 9 au sommet s de la parabole P, laquelle tangente était parallèle à mpj sera transformée en une droite 9, parallèle à pm^ et tangente en * à la parabole P, ; or pour la parabole P, on a démontré (n* 324) que Ton avait pr=2.ps, la même chose aura lieu pour la parabole P, en vertu du mode de transformation cylindrique, on peut donc énoncer ce qui suit :

Etant donnée une parabole P, et un de ses diamètres Z la coupant au point », ayant construit pour le point « la tangente 9^, si Ton prend un point m, sur cette courbe P, et que Ion mène l'ordonnée pm, parallèle à 9, (la droite Z étant Taxe des abscisses) ; si ensuite on mène en m, la tangente T, à la courbe P, et coupant Taxe Z des abscisses au point r; on aura : pr = 2.p5; ce que l'on exprimera de la manière suivante :

La sous-tangente pr est double de l'abscisse ps.

Ainsi se trouve démontré par fa méthode des projections ^ le théorème que la sous-tangente est double de l'abscisse pour la parabole , que cette courbe soit rapportée à des coordonnées rectangulaires ou obliques , l'axe des abscisses dans le premier cas étant Taxe infini , et^dans le second cas un diamètre de la courbe, et l'axe des ordonnées étant la tangente conjuguée de l'axe infini dans le premier cas et la tangente conjuguée du diamètre dans le second cas.

344 6w. Comme cas particuliei- on peut supposer les droites ad^xod

perpendiculaires au plan de la courbe E , db' ayant d'ailleurs telle inclinaison que

Ton voudra sur ce plan; on peut aussi diriger les droites «y, d^ sous telle

inclinaison que Ton voudra, mais de manière que les droites yy'yzz\cd soient

encore perpendiculaires au plan de la courbe E , l'on obtiendra de même une ellipse E', mais alors Tellipse E sera la projection orthogonale de l'ellipse E'. Si

la courbe E, an lieu d'être une ellipse, était une parabole ou une hyperbole, la courbe transformée Ë' serait aussi une parabole ou une hyperbole. Donc la projection orthogonale (sur un plan) d'une section conique est une section conique de même espèce.

Les droites aa! ^ xx' ^ yy[ peuvent cesser d'être perpendiculaires au plan

de la courbe Ë, mais rester toujours parallèles entre elles, la courbe Ë sera alors une projection cylindrique oblique de Ë^ Donc toute projection cylindrique (sur un plan) d'une section conique est une section conique du même genre.

345. Il résulte encore de là qùun cylindre à ba$e sectUm conique est Umjours cotipé par un pUm^ mivant une section conique du même genre que la base {*).

(*) De ce qui précède on peut conclure ce qui suit :

l** Si l'on a un cercle C, si Ton trace un diamètre B de ce cercle, si de chaque point m de ce cercle on abaisse une perpendiculaire N sur le diamètre B et le coupant en un point p , et si Ton prend sur la droite N un point m , tel que Ton ait :

Prth

tous les points m^ ainsi obtenus détermineront une cfmtbt E qui sera nne ^ipsa

L'ellipse £ aura son grand axe égal au diamètre B du cercle G , si K est < 4 ; et si au contraire K est > 1, le diamètre B sera le graud axe de cette ellipse E.

T Si Ton a deux cercles Cet G' situés sur un même plan, ou dans des plans parallèles, ou dans des plans se coupant suiTant une droite D : si Von mène dans cbaqve cercle un diamètre perpendiculaire à la droite D et ainsi un diamètre B pour le cercle G et le diamètre B' pour le cercle G'.

Les ellipses £ et £', transformées cylindriques (par des droites parallèles à D) des cercles G et G\ seront semblables.

5** Si Ton a un cercle G tracé dans un plan M et un plan P coupant le plan M suiiranl une drorteT, si de chaque poiflt m du cei^ G oa i^taisse sur le plan P une perpendicolaûre N et le perçant en un point p.

Si sur la droite N on prend un point m^ tel que Ton ait ~- = K , le lieu de tous les points m^

sera une ellipse E dont le plan M^ passera par la droite Y.

En vertu de ce qui vient d'être énoncé, on peut transformer facilement le tore régulier circulaire (n* 328 déd, page 100) en un tore régulier elliptique^ et les trois tores irréguliers cireutaires (ù* 5t8 dédy V\ 2% 3* cas) en trois nouveaux tores irréguliers elliptiques.

Et en effet :

En nous rappelant le mode de génération des tores circulaires et en conservant la même notation (n* 528 déci,) , Ton voit : ft" qire les cercles situés dans les plans passant par Taxe Y se transformeront en des ellipses dont les plans passeront tous par ce même axe Y , le plan de chaque ellipse étant diMrent du plan du cercle dont elle est la transformée cylindrique.

Et 2* que les cercles situés dans les divers plans qui se coupent suivant la droite D se transformeront en des ellipses toutes semblables entre elles et chacune d'elles étant située dans le plan du cercle dont elle est la transformée'eylliitfrique. Maris H ne fa«t pai9 Mbiicvque les droites^ de lr«nft)rm(ition tmea perpeadicolamsatt plan mené par Taxe Y perneadicataHreflMDt à. la dnîl»l>.

345 bis. Concevons sur le plan horizontal (fig. 220 bis) une ellipse E dont le grand axe soit perpendiculaire à la ligne de terre LT. Regardons cette courbe E comme la section droite d'un cylindre vertical S et coupons ce cylindre S par un pian P perpendiculaire au plan vertical de projection, ayant soin de prendre pour trace H' le grand axe de l'ellipse E.-

D'après ce qui précède , le plan P , quelle que soit son inclinaison sur le plan horizontal , coupera le cyliudre S suivant une ellipse E' qui se projettera sur le plan horizontal en la courbe E. Parmi tous les systèmes de diamètres conjugués de E% il en existera un et un seul dans lequel les diamètres conjugués seront rectangulaires entre eux et seront dès lors les axes de l'ellipse de section E' ; or il est évident que si Ton fait passer deux plans verticaux et respectivement par les axes de l'ellipse E , ces deux plans Q et Q' couperont le plan P (quelle que soit l'inclinaison de ce plan P) suivant deux droites  et A' qui seront rectangulaires entre elles.

Or si par les extrémités des axes de l'ellipse E , on fait passer des génératrices droites du cylindre S et que l'on mène les quatre plans tangents au cylindre 1 passant respectivement par ces quatre génératrices, ces plans tangents couperont le plan horizontal suivant quatre droites formant un rectangle circonscrit à l'ellipse E et dont les côtés seront tangents en les sommets de cette ellipse E ; et de même ces plans tangents couperont le plan P suivant un rectangle circonscrit à l'ellipse E' et dont les côtés seront deux à deux parallèles aux droites A et Â^ et ce rectangle aura ses côtés tangents à l'ellipse E' en les quatre sommets de cette courbe E'.

Cela posé , on peut demander si le plan P ne peut pas avoir sur le plan horizontal une inclinaison a telle que la section E' soit un cercle.

Pour que E' soit un cercle il faut que ses deux axes soient égaux en longueur.

Or, en désignant par a et 6 les demi-axes de Tellipse E (a étant le demi grand axe) et par a. et 6, les demi-axes de l'ellipse E' (a, étant le demi grand axe) et par a l'angle que le plan P fait avec le plan horizontal , on a :

a=^a^ et 6 = b^cosa.

Pour que Tellipse E' soit un cercle il faudra que Ton ait 6, = a, = a et dès lors

on devra avoir :

C08ot = -

L'angle a pourra donc être construit de la manière suivante.

Faisant passer un plan vertical M par le petit axe de Tellipse E , ce plan coupera

le cylindre S suivant deux génératrices droites G et G' ; si du centre o de Tellipse E et avec un rayon égal à a (ou au demi grand axe de la courbe E) on décrit dans le plan M un cercle 3, ce cercle coupera la droite 6 en deux points x eia/ également distants du plan horizontal et Tangle que la droite xo ou x'o fera avec le plan horizontal sera Tangle a demandé.

Ceci démontre qu'un cylindre qui a pour section droite une ellipse, peut être coupé suivant un cercle de deux manières différentes par un plan. Ces sections sont dites tes sections circulaires du cylindre elliptique, ou sections anti-parallèles.

Ayant déterminé Tangle a que doit faire le plan P avec le plan horizontal pour que ce plan P puisse couper le cylindre elliptique I suivant un cercle , on peut faire tourner ce plan P autour de H' comme charnière pour le rabattre sur le plan horizontal ; alors le cercle de section E' se rabattra en un cercle E, tracé sur le grand axe de l'ellipse E comme diamètre, et Ton pourra construire la tangente en un point m de Tellipse £ en regardant cette ellipse comme la projection horizontale du cercle E' rabattu en le cercle E,.

Et les constructions seront identiquement les mêmes que celles que nous avons effectuées lorsque nous avons considéré un cercle C comme la projection d'une ellipse E, le petit axe de cette ellipse étant un diamètre du cercle C, car il suffît de remplacer le cercle C section droite du cylindre de révolution par Tellipse E section droite du cylindre oblique et Tellipse C section du cyUndre de révolution par le plan P par le cercle E' section du cylindre oblique par le plan P.

On pourra donc par cette nouvelle considération (du cercle tracé sur le grand axe d'une ellipse comme diamètre) , résoudre les problèmes suivants.

1 "^ En un point m d'une ellipse E construire la tangente {fig. SlSO ter) .

2'' Par un point p pris hors d'une ellipse E construire les deux tangentes à l'ellipse (fig. 220 quat.).

S"" Construire une tangente à une ellipse E parallèle à une droite donnée D (ou faisant un angle a avec une droite donnée) {fig. 220 quint.).

345 ter. Soit donnée une ellipse E sur le plan horizontal , désignons le demi petit axe oi par b et le demi grand axe ok par a; prenons deux lignes de terre, l'une LT parallèle au grand axe, et l'autre LT parallèle au petit axe de l'ellipse E.

Décrivons sur le petit axe comme diamètre un cercle C et sur le grand axe aussi comme diamètre un cercle C ;

Cela posé,

Considérons le cercle C comme la section droite d'un cyUndre vertical de révolution £ et l'ellipse Ë comme le rabattement sur le plan horizontal de l'ellipse

de section faite dans la cylindre S par un plan P passant par le petit axe 26 de Tellipse £.

Considérons Tellipse Ë comme la section droite d'an cylindre vertical et noA de révolation 11 et le cercle G', comme le rabattement snr le plan horizontal du cercle de section faite dans le cylindre l' par un plan R passant par ie grand axe SadeTellipseE.

Cela posé,

Je dis que les plans P et R font avec le plan horizontal des angles égaux ; et en effet :

Pour le plan P on aura cosa=- et pour le plan R on aura :

COSa'=-, donca=a^

Prenons un point m sur Tellipse de section située dans le plan P , m^ sera sur le cercle C et m*" sur V\

Du point m^ abaissons deux perpendiculaires Tune ni' sur le demi graïkl axe ok et Tautre m^p sur le demi petit axe de Tellipse E , on aura :

"qn? or

COSa==-z= OU C06«=:==:

o^ni" o'ni'

Rabattant le plan P sur le plan horizontal , le point m viendra se placer en m' sur Fellipse E et les trois points 9 , m^ et m' seront en ligne droite.

Abaissons du point m'y une perpendiculaire m^q sur le demi grand axe ok de l'ellipse E , on aura oq=^6*nfj donc on peut écrire :

or

ùq

Considérons maintenant le point tu' de Tellipse E comme la protection horizontale fi'^ d'un point n situé sur le cercle de section du plan R et du cylindre oblique S^

Le point n après le rabattement du plan R sur le plan horizontal viendra €A n' sur le cercle C section, circulaire (rabattue) du cylindre S' et le& trois points q y n^ (ou m') , et n' seront en ligne droite.

Or on a :

C(>Sa=

Et comme n^q=:m^r

Et queo''n"'=ii'qr, on pourra écrire :

mr

cosa =

On a donc la proportion :

mV or

nq oq

Par conséquent les trois points o, m* et n' sont en ligne droite. De là on déduit une construction simple et par points d'une ellipse dont on connaît les axes et qui est la suivante :

Etant donné le centre o de l'ellipse et ses deux demi-axes oi et ok , ayant tracé les deux cercles concentriques C et C sur chacun des axes comme diamètre , on mènera un rayon quelconque par le centrer, ce rayon coupera le cercle C au point n et le cercle C au point nf.

Du point n on mènera une perpendiculaire np au petit axe , du point n' on mènera une perpendiculaire n^q au grand axe de l'ellipse E à tracer , ces deux perpendiculaires se couperont en un point m qui appartiendra à l'ellipse E.

î5i l'on mène en n et n' les tangentes aux cercles C et C on aura deux droites parallèles entre elles comme étant perpendiculaires au même rayon onn\ La tangente au cercle C coupera le petit axe (prolongé) de l'ellipse E au point s ; la tangente au cercle G coupera le grand axe (prolongé) de l'ellipse E au point s' et la droite as* sera tangente au point m à l'ellipse E.

345 quaier. Si Ton a une série d'ellipses E, E', E'', etc. (fig. 220 a) , ayant un diamètre commun qr et leurs diamètres conjugués de qr, situés sur une même droite A, ces ellipses auront évidemment même centre o; de plus elles auront en les points ^ et r mêmes tangentes. Cela posé : si l'on mène une droite B parallèle à la droite A, et coupant les courbes en les points m, m', m", etc. , et si l'on mène en chacun de ces points une tangente à chacune des ellipses , je dis que toutes ces tangentes iront se couper en un seul et même point p situé sur le diamètre commun qr prolongé.

Et en effet :

Nous pouvons concevoir l'ellipse E comme la base sur le plan horizontal d'un cylindre oblique et elliptique S dont les génératrices droites se projetteront horizontalement suivant des droites parallèles à A ; la droite B pourra donc être considérée comme étant la projection G* de la génératrice G passant par le point m de la base E.

Chacun des points m', m!% etc. , pourra être considéré comme la projection hori-

zontale des points a/, y, etc. , en lequel la droite G est coupée respectivement par des plans sécants X, X', X", etc. , ayant pour trace horizontale commune le diamètre qr.

Or tous ces plans X, X', X", etc. , coupent le cylindre oblique suivant des ellipses 5^, 3", à"\ etc. , qui se projetteront sur le plan horizontal suivant des ellipses E\ E", E"', etc. , et la tangente 9 au point m de la base E du cylindre S peut être considérée comme la trace H' du plan T tangent à S tout le long de la droite G.

Dès lors les tangentes 9', 9", 9'", etc. , aux points m', m'\ m'", etc. , des ellipses

E', E", E'", etc. , peuvent être regardées comme les projections horizontales des

tangentes aux points j?', x", od" ^ etc. , des ellipses de l'espace 5', 3", 3'", etc. , donc elles doivent se couper au point p.

Si Ton avait une série de paraboles P, P', P", ayant même diamètre (\r {Jig. 220 b) et au point q une taugente commune G*", la même propriété subsisterait : il suffit de regarder Tune des paraboles P (par exemple) comme la base d'un cylindre oblique et parabolique S dont les génératrices droites seront projetées horizontalement suivant des parallèles à la tangente commune G*, et de regarder le diamètre commun qr comme la trace horizontale commune d'une série de plans sécants X, X', X", etc., coupant le cylindre 1 suivant des paraboles 3', ô'', ô'", etc., projetées horizontalement en les paraboles données P',P'', P'", olc.

Si l'on avait une série d'hyperboles ayant un diamètre réel en commun, la même propriété subsisterait; mais dans ce cas on aurait à considérer un cylindre oblique et hyberbolique.

Si {fig. 220 a) on mène une droite sx coupant l'ellipse E en les points x et yei que par chacun de ces points on mène des droites parallèles à la droite A coupant les ellipses E',E", ©te., en les points x\y\ et a:", j/", etc., il est évident que les COI des ^y et x"tfy etc., prolongées iront toutes passer par le point s en lequel le diamètre commun qr est coupé par la droite sx. Et en effet : on pourra considérer la droite sx comme la trace H* d'un plan sécant R coupant le cylindre 1 suivant deux génératrices droites ayant leurs traces horizontales respectivement en les points a: et j/, etc.

La môme chose aura lieu pour une série d'hyperboles ayant un diamètre réel commun; la même chose aura lieu pour une série de paraboles ayant un diamètre commun (fig. 220 6).

345 quint. Concevons une ellipse E tracée sur le plan horizontal et deux tangentes T et T' à cette ellipse, ces tangentes étant parallèles entre elles.

En un point m de E menons à cette courbe une tangente R.

Gela fait : concevons la courbe E comme la base ou la trac^ horizontale d'un cylindre 2 ayant ses génératrices droites G projetées horizontalement suivant dos

parallèles aux tangentes T et T'; il est évident dès lors que ces droites T et T' pourront être considérées comme les traces H^ et H®' de deux plans verticaux 0 et 0' tangents au cylindre 2.

Par la droite R faisons passer une série de plans X',X", X'", etc., lesquels couperont le cylindre S suivant des ellipses E',E",E'", etc., qui évidemment se projetteront sur le plan horizontal en des ellipses E'*, E"*, E'"\ etc., qui passeront toutes par le point m et auront en ce point m la droite R pour tangente commune et de plus ces ellipses seront tangentes aux droites T et T'.

Cela posé, il est évident par tout ce, qui précède que :

1* Si Ton mène une droite Y parallèle aux droites T et T' et coupant le» courbes E'\E"\E'"\ etc., en les points : e',^, et e!\^\ et e!\^\, etc., les tangentes à la courbe E'* en les points e' et e', , les tangentes à la courbe E"* en les points e'' et e!\ , et ainsi de suite , iront toutes concourir en un point p situé sur la droite R.

2* Si Ton mène deux droites Y et Y, parallèles aux droites T et T', et coupant les ellipses E'*, E"*, E'"*, etc., en des points situés respectivement, savoir :

1/', ai et y/, xl sur la courbe E'*, /, a:" et i//', x," sur la courbe E"*, f, x'" et y;% x!" sur la courbe E'"*, etc. etc. etc.

les cordes {('t/^a/a:/ et y"y"jx"xl' et y'"y!%x'"x'\ etc., prolongées, iront se couper en un même point q situé sur la corde R.

La même chose aura lieu pour une série de paraboles et aussi pour une série d'hyperboles.

345 sex. Concevons une ellipse E, deux tangentes à cette ellipse et parallèles entre elles, savoir : T et T' et une droite R coupant l'ellipse E en deux points T et r', de telle sorte que la droite n^ se trouve être une corde de la courbe E.

D'après ce qui précède, il est évident que si Ton a une suite d'ellipses E'\ E"*, E'"*, etc., tangentes aux droites T et T' et passant toutes par les points r et r' :

1* Si Ton mène une droite Y parallèle aux droites T et T', et coupant : E'* en les points e' et «/,

E''* — e" et e,\

W'^ — e'"' et e:%

etc. — etc.

les tangentes en les points c^, e/,e",e/', etc., iront toutes concourir en un même point p situé sur la droite R ;

s* PAITII. 18

t"* Qne si Ton mène deux droites Y et Y, , parallèles entre elles et aux droites T et T', ces droites coupant, sayoir :

Y la courbe E'* en les points t/ et a/,

Y. - ~ y: et x:,

Y la courbe E''* en les points t/' et x*, Y. - - y; et x:, etc. -^ — etc.

les cordes i/'y/, y"i//', etc., et les cordes «'a;/, a:^a:/', etc., prolongées, iront concourir en un même point q situé sur la droite R , ou , en d'autres termes , sur la ccrde rr^ prolongée et commune à toutes les ellipses E, E'*, E"*, etc.

La môme chose aura lieu pour une série de paraboles , et aussi pour une série d'hyperboles; mais lorsqu'on aura une série d'hyperboles , il faudra que les points r et r' soient : 4** tous deux situés sur une même branche de chacune des hyperboles; ou 2' situés , l'un r sur une branche et l'autre r' sur l'autre branche, et cela pour toutes les hyperboles.

345 sept. Les propriétés que nous venons de démontrer exister pour une série d'ellipses, ou une série de paraboles, ou une série d'hyperboles (n*** 345 quaier, quint, et sex.) existent encore pour d'autres courbes entre lesquelles subsiste une condition particulière et qui est la suivante :

Concevons une courbe plane C arbitraire et une droite X située dans le plan de la courbe G et dans une direction arbitraire par rapport à cette courbe C.

Concevons une seconde droite Y dans le plan de la courbe C et coupant la droite X sous un angle arbitraire a.

De chacun des points m de la courbe C , menons une parallèle à la droite Y et coupant X en un point p, prenons sur la droite X un point o arbitraire; désignons pm par y et op par x, nous connaîtrons les diverses abscisses .r et les diverses ordonnées y de la courbe C.

Cela posé :

Considérons deux points quelconques m et m' de la courbe C, nous connaîtrons les coordonnées x et y du point m, x' et y' du point m'. Unissons les deux points m et m' par une droite L, elle ira couper la droite X en un point /.

Cela posé :

Prenons sur y ou mp un pomt m, tel que — ^=:.J Prenons sur i/ ou m^p un point m/ tel que —^=3

La corde m^m\ prolongée ira couper la droite X au même point t; de là on peut conclure ce qui suit :

Étant donnée une courbe arbitraire C , si Ton construit une courbe C, telle que pour les mêmes abscisses comptées sur la droite X et à partir de la même origine 0, les ordonnées correspondantes des courbes C et C, sont dans un rapport constant, les cordes mm' de C et m^m/ deC, passant par des points ayant mêmes abscisses iront concourir en un même point situé sur la droite X.

Et il est évident que cette propriété subsistant, quelle que soit la difiérence qui existe entre les abscisses a; et a/ des points m^ m, et m', m/ des courbes C et C, , elle subsistera encore lorsque les points m et m! seront successifs et infiniment voisins > et que par suite les points m, et m/ seront aussi successifs et infiniment voisins.

Si Ton a donc deux courbes G et G, telles que leurs ordonnées sont dans un rapport constant , pour deux points m de G et m, de G, ayant même abscisse x^ les tangentes menées en les points m et m. à ces deux courbes G et G, iront concourir en un même point situé sur Taxe X des abscisses.

34& octavo. Nous savons que lorsque Ton a deux sections coniques de méaue espèce E et E' et ainsi deux ellipses ou deux paraboles ou deux hyperboles qui ont même axe ad {fig. 220 c) , et dès lors en leurs soounets a et a' mêmes tangentes 6 et 9' pour une même abscisse ay , les ordonnées gy et gy' sont dans un rapport constant, et que si d'un point s arbitrairemeiU pris suf Taxe commun W prolongé on mène des tangentes $kf si aux courbes E et £', les points de contact k eil sont sur une perpendiculaire ii la droite aa!s.

Il est évident que la droite kl prolongée (que nous désignerons par Y) est la polaire commune aux deux courbes Ë et E', le pôle étant le point $.

Gela posé : si par le point x , en lequel se coupent les droites Y et aeij on mène une droite quelconque xq coupant la courbe intérieure E en les points ^ ed m , et si l'on mène la droite qs coupant E en p et la droite mn coupant E en i», le quadrilatère pqmn ne sera autre qu'un trapèze régulier dont les c6téB fm ^ qm seront parallèles et coupés par la droite aa! en leurs milieux v et h.

On peut toujours circonscrire un cercle C à un trapèze relier.

Construisons ce cercle C coupant la droite Y aux pointa / et f.

Je dis que les droites #< et «f seront tangentes en / et en f au oerole C»

Et en eOet : le point s sera le pôle et la droite Y la polaire par rapport au cercle C, en vertu de la propriété des quadrilatères inscrits à une section conique.

D'après ce qui vient d*être dit , on voit qu'il sera donc toujours possîMe de

construire une section conique E' (de même genre que E) ayant même axe âi7 que Ë et tangente en / et /' au cercle C.

Nous ferons usage de cette propriété, lorsque (chapitre XII) nous chercherons les sections circulaires des surfaces du second ordre.

La section plane du cône oblique est une section conique.

346. Un cône, non de révolution, à base section conique est toujours coupé par un plan de direction arbitraire suivant une section conique. En effet , soit s le sommet d*une surface conique {fig. 2SS1 ) ayant pour base Tellipse £ , et soit un plan sécant P; on peut toujours choisir le plan vertical de projection perpendiculaire au plan P. Gela posé , menons à Tellipse E deux tangentes perpendiculaires à LT et construisons une transformée E' de l'ellipse E de manière qu'elle ait son grand dixea^b^ parallèle à LT; par le point s y abaissons une perpendiculaire au plan vertical de projection et coupant le plan vertical élevé sur a'b' en un point s\ et considérons le cône ayant son sommet en s^ et pour base l'ellipse E' ; ce cône est coupé par le plan P suivant une courbe C, qui se déduit de la courbe C, intersection du cône («, E) par le même plan P, de la même manière que E' se déduit de E , car les deux surfaces coniques sont comprises entre deux plans tangents communs perpendiculaires au plan vertical de projection , donc les courbes G et G' sont comprises entre deux tangentes perpendiculaires à ce plan ; de plus , tout plan mené par la droite ss^ coupe le plan P et le plan horizontal suivant des parallèles à cette droite , et les cordes des courbes G et G' sont proportionnelles aux cordes des ellipses E et E', mais toutes les cordes de ces ellipses situées sur des mêmes droites perpendiculaires à LT sont dans un rapport constant ; donc aussi les cordes correspondantes des courbes G et G' sont dans un rapport constant.

En outre, construisons l'hyperbole (K,K') focale de l'ellipse E'; par le pointa, menons une parallèle à la ligne déterre et coupant cette focale en / et considérons le cône de révolution ayant pour sommet ce point / et pour base l'ellipse E'; prenons deux points quelconques m% ni/ de la base commune E', et conduisons les génératrices G' et 6/, 6" et G/' des deux surfaces coniques et aboutissant en ces points 9n' et m/, les premières sont coupées par le plan P aux points x' et a:/, appartenant à la courbe G^ ; par ces points , menons des parallèles à LT ou à s's" jusqu'à la rencontre de G" et G/' aux points a/^ et x/'; les projections verticales x"'' eta;/'% sont sur une ligne droite passant par p (n* 105), on peut donc considérer cette droite comme la trace verticale d'un plan F perpendiculaire au plan vertical de projection , et coupant le cône de révolution (/, E') suivant une courbe

C" déterminée par des points tels que oé' et x" . Cette courbe C" se déduit de C par le procédé général de transformation indiqué ci-dessus et dit transformation cylindriqucj elle en est la transformée, ou réciproquement G' est la transformée de G^', mais G'^ est une section conique (*) , donc G' est aussi une section conique. Enfin G' est la transformée de G , ou réciproquement G est la transformée de G', donc G est une section conique ; les trois sections coniques G, G', G^' sont de même espèce ; mais G'' peut être une ellipse , une parabole , ou une hyperbole suivant la direction du plan sécant F, donc aussi G peut être une ellipse , une parabole ou une hyperbole. Si maintenant on conçoit dans un cône à base elliptique une section parabolique et une section hyperbolique, il est évident que Ton pourra prendre l'une quelconque de ces trois courbes pour base et les autres pour des sections planes ; donc en général les sections planes d'un cône à base section conique sont des sections coniques qui peuvent être de Tune des trois espèces , ellipse , parabole ^ hyperbole, quelle que soit la nature de la base.

Il résulte de là que ta projection conique (tune section conique quelconque est encore une section conique y mais elle n^est plus nécessairement de même espèce que la section conique projetée.

346 bis. Concevons un cône oblique S ayant pour trace horizontale ou base sur le plan horizontal une section conique E, et pour sommet un point s de l'espace, et concevons que le point s soit tel que sa projection ^ soit en dehors de la courbe E , de sorte que l'on puisse de ce point «* mener deux tangentes 6 et 6' à la courbe E, les points de contact étant désignés par q et r.

Par la droite ^r, faisons passer une suite de plans X',X'',X''', etc., chacun de ces plans coupera le cône £ suivant une section conique d^, y\ i"\ etc. , qui se pro* jettera horizontalement suivant une section E',E'',E'^\ etc., de même nature, c'està-dire que si d'est une ellipse, E' sera une ellipse; si d^' est une parabole, E'' sera une parabole ; si d''' est une hyperbole , E''' sera une hyperbole.

Or il est évident que toutes les projections E', E^', E"\ etc. , passeront par les point (]f et r , et auront en ces points pour tangentes communes les droites 9 et 9\ car ces droites 6 et 0' peuvent être considérées comme les traces horizontales de deux plans verticaux T et T' tangents au cône £ , le premier suivant la génératrice droite sq^ et le second suivant la génératrice sr.

Gela posé :

Si l'on mène par le sommet s un plan sécant et vertical Y , coupant le cône S suivant une génératrice G ayant pour trace horizontale le point m de la base E du cône S et pour projection G* la droite s*m {Jig. 221 6t«), cette droite G sera coupée

(*) Puisqu'elle est la section d'un cône de révolution par un plan.

par les plans X', X\ X"\ etc. » en des points qui se projetteront en les points m\ m'\ m'" y etc« , en lesqnds les sections coniques E', E^, E^', etc. , sont coupées par la droite ^m. Et dès lors , il est évident que les tangentes mpj wlp, wfp, etc. , menées aux points m, m\ wl^j etc. , des courbes E, E', E^, etc. , iront se couper en un point p situé sur la droite qr prolongée, car ces tangentes ne seront autres que les projections horizontales des intersections des plans X^X^'^^X^, etc. , avec le plan tangent mené au cône £ par la génératrice 6*

D'après ce qui précède , il est évident que si Ton mène une droite arbitraire coupant la courbe Ë aux points x et y et la droite qr prolongée au point /, et si Ton mène les droites ^o: et s^y coupant les courbes E', E'^, E^, etc. , aux points txf, j!\ etc. , et }i^yl\ etc., les droites 3!tf\x"y"^ etc. , étant prolongées passeront toutes par le point /.

346 ter. Concevons une section conique E (ellipse , f^rabole ou hyperbole) et deux tangentes T et T' à cette courbe , ces deux tangentes se coupant en un point «* et touchant la courbe £ la première T au point i et la seconde T' au point t!.

Menons une droite R arbitraire et tangente à B en un point m.

Gela posé :

Concevons une série de sections coniques E^, E'^*, E'^'^ , etc. , tangente à R au point m et ayant pour tangentes les droites T et T'. Je dis que si Ton mène par le point ^ une droite K coupant les courbes E^E'^E''^, etc., en les points e, e, et e', e\ et e% é\ , etc. , les tangentes à Ë en les points e et e,

E'* — e'ete',

etc. , — etc. ,

iront toutes concourir en un même point p situé sur la droite R qui est une tangente commune et en le point commun m aux diverses sections coniques E , E'^, Ë''\ £///A^ Qt(^^ ^quî pourront éire indistinctement des ellipses , des paraboles , et des hyperboles) .

Et en effet :

La courbe E pourra être considérée comme la base ou trace horizontale d'im c6ne S ayant pour sommet dans Tespace an point « ayant ^ pour prqjectioB ho rizontale ; les tangentes T et T' pourront être considérées comme les traces if^ et H^' de deux plans verticaux 0 et Ql tangents au cône £ suivant les génératrices droites ^ et ^'; la droiie R pourra être considérée comme la trace boriaontale W,W\W\ etc., dune série de plans X, X% X", etc., coupant te cône ïrespectivement suivant des aeclions coniques E', E^', B'^ etc. , ayant povr projection horizontale les courbes E'^, Ë^'^, Ë''^^, etc. , qui devront évidemment satisfiiire aux conditions suivantes , savoir : passer tootes par te point m ; avoir toutes en ce

point m , la droite R pour taogefite ; et être tangentes aux droites T on He , T ou H^'. La droite E peut être considérée comme la projection horizontale 6^ et 6,^ de deux génératrices droites G et 6. du cône 2; dès lors la propriété énoncée d» dessus n'est qu'une conséquence de la construction connue et employée lorsqu'il s'agit de mener la tangente en un point d'une section faite dans un cône par un plan.

Par la même raison , si par le point s'' on mène deux droites Y et Y, coupant les courbes E^ E'^, B'^^, etc. , savoir : Y la courbe E en les points y ^ x

Y, — y. et^,

Y la courbe E'^ en les points y^ et acf Y, - 1,/eta^/

etc. , — etc. ,

les cordes yy^ , xx^ et j'y/, ^a?/» etc. , étant prolongées iront concourir en un point q de la droite R.

346 quater. Concevons une section conique E (ellipse, parabole ou hyperbole) , deux tangentes T et T' à cette courbe et en les points teiif; menons une droite R coupant E en les points r et r' ; traçons une série de sections coniques E'*, E"*, E"^, etc. (ellipses, paraboles et hyperboles) , passant par les points r et / et tangentes aux droites T et T' ; je dis : 4 ' si par le point s*" en lequel se coupent les droites T et T' on mène une droite Y coupant les courbes E'*, E"*, E'"*, etc. , en les points y' et a/, y'' et a/', y'" et x'^\ etc. , les tangentes en ces divers points aux courbes sur lesquelles ils sont situés , iront concourir en un même point p situé sur la droite R, et 2** si par le point «* on mène deux droites Y et Y, coupant les courbes E'\E"\E'''\ etc., en les points y', a/ et y\ , x/; y", a;" et y'\, x\; y'\ txl" et i\,3é\\ les cordes yY,, a;V.; yV,j a;V, ; y'Y',j a;V, ; etc., iront (étant prolongées) concourir en un point q situé sur la droite R, ce qui est évident d'après ce qui a été dit (n* 346 ter.).

ComiTucixon d^une section conique miisfaisant à certaines conditions.

347. Pour construire une section conique {fig. 222) tangente à deux droites données A et B en les points a et 6 et passant par un point m compris dans l'angle des parties des droites  et B qui contiennent les points de contact , nous la considérerons comme la trace horizontale d'une surface conique ayant pour directrice un cercle C construit sur ab comme diamètre et situé dans un plan vertical , A et B étant les traces horizontales de deux plans verticaux tangents à cette surface , de sorte que la projection horizontale du sommet est en ^. La génératrice G de cette surface conique passant par le point m, coupe le cercle G en un point Xy dont

on trouve la hauteur au-dessus du plan horizontal en rabattant le plan du cercle C y d'où Ton déduit x^^^ et joignant x^m*' nous aurons la projection 6' sur laquelle se trouve s'' ; connaissant alors le sommet $ et la directrice G de la surface conique il sera facile d'en construire autant de génératrices droites que Ton voudra et d'avoir les traces horizontales de toutes ces génératrices ; et ces traces seront autant de points de la section conique demandée qui pourra être Tune des trois sections coniques.

Si les droites A et B (fig. 223) sont parallèles , le point «* est transporté à Finfiiii , dès lors le cône est transformé en un cylindre , et G^ est parallèle aux droites données A et B; du reste les constructions sont les mêmes que dans le cas précédent , mais dans le cas actuel la courbe est nécessairement une ellipse. Lorsque le point m est hors de l'angle désigné, on peut remplacer le cercle G par une hyperbole équilatère dont ab sera l'axe transverse ; car dans ce cas la section conique demandée est nécessairement une hyperbole.

348. On déduit de là le moyen de décrire une ellipse sur deux diamètres conjugués y ab et mn (fig. 224) , car si des extrémités a et ^ , du diamètre ab, on mène les droites A et B parallèles à mn, ces droites seront tangentes à l'ellipse (n* 313, T) en a et 6 , on est conduit à construire une ellipse tangente en a et 6 aux droites parallèles A et B et passant par le point m, elle passera nécessairement par l'autre point n (*).