INTERSECTIONS DES SURFACES ENTRE ELLES

Lorsque l'on a deux surfaces 1 et 2', et que l'on veut construire leur intersection J, on doit examiner si, en vertu des lignes tracées sur les plans de projection et qui suffisent pour définir les deux surfaces, en ce sens que l'on peut

C*) Voyez dans l'ouvrage qui a pour titre : Développements de géométrie descriptive^ cbapilre V, page 289 et suivantes, ce qui est relatif à la construction d'une section conique donnée par cinq coaditicns (points et tangentes).

toujours construire les projections d'un point appartenant à l'une ou à l'autre des surfaces données, en ne s'appuyant que sur les lignes tracées et sur le mode de génération indiqué pour chacune des surfaces; il faut examiner, dis-je, si Ton peut immédiatement construire les projections des points appartenant à la ligne J.

La chose peut être faisable dans quelques cas , mais , en général , on ne peut pas déterminer immédiatement les points de la ligne J; dès lors on est obligé d'employer une série de surfaces auxiliaires X, X', X'^ etc., et de la manière suivante :

La surface X coupe la surface S suivant une ligne C, et la surface £' suivant une ligne Cy et les deux lignes G et C se coupent en un point m appartenant à la ligne J. Or, les ligues G et C' sont connues parce que Ton connaît leurs projections G'' et G^, G'" et G'^, et comme les courbes G et G' sont sur une môme sur* face X , si elles se coupent en un point m , les projections m* et m!" de ce point seront les points d'intersection 4es courbes C* et G'", G* et G'*.

Ainsi donc, ayant construit les courbes G%G* et G'%G'*, si le point en leqdel G* et G^' se coupent ne se trouve pas sur une même perpendiculaire à la ligne de terre avec le point en lequel G* et G'* se coupent, les courbes G et G' de l'espace ne se couperont pas, et l'on reconnaîtra que la surface auxiliaire X ne coupe pas, en la position qu'on lui a donnée par rapport aux surfaces S et H^ la ligne d'intersection cherchée J.

Ensuite , en supposant que la surface auxiliaire X coupe la courbe J , il faudra que cette surface X soit choisie, et quant à sa nature géométrique, et quant à sa position par rapport aux surfaces données £ et £', de telle sorte que la construction des courbes G et G' soit immédiatement possible. G'est ainsi que , pour deux plans dont les traces horizontales et les traces verticales se coupent , on obtient immédiatement les projections de la droite J d'intersection ; mais si les traces de ces plans ne se coupent pas , on ne peut plus obtenir immédiatement les projections de la droite J. Il faut recourir aux surfaces auxiliaires, et il est évident que l'on doit choisir des plans, et ensuite il faut diriger ces plans de manière à ce que leurs traces coupent les traces des plans donnés, pour pouvoir immédiatement construire les intersections G et G' de chacun des plans donnés avec chacun des plans auxiliaires.

Suivant la nature géométrique et le mode de génération des surfaces données 1 et £', on devra réfléchir au choix à faire pour les surfaces auxiliaires à em* ployer et à la direction à leur donner dans l'espace par rapport aux positions qu'aRectent dans l'espace les surfaces S et S', et cela par rapport aux deux plans de projection auxquels ces surfaces S et £' se trouvent rapportées.

V FAETIB. 19

Les sQrfoces dont on devra chercher rintersection sont ordinaireiBent des sur*^ faces coniques et cylindriques, et des surfaces de réYolutioii. On a souvent encere à combiner entre elles des surfaces développables et gauches, et aussi à les ooa«biner avec les surfaces coniques, cylindriques et de révolution : or, comine les surfaces développables et gauches sont des surfaces réglées , on voit de suite ^e les premiers problèmes à se proposer sont ceux où il s'agit de construire les points de rencontre on d'intersection d'une droite avec des surfaces coniques, cylnidriqoes et de révolution.

De C intersection des surfaces coniques et cylindriques.

349. Problèmb 4. Trouver les génératrices parallétes de deux surfaces ctmi^iÊes. Nommons s et s^ ]g8 sommets , B et BMes bases des deux surfaces coniques (ces bases étant sur le plan horizontal de {Nrojection , et dès lors n'étant autres que les traces horizontales des deux surfaces coniques).

Il est évident que si Ton fait mouvoir la surface conique {s\ B^ parallèlement à elle-même, son sommet parcourant la droite s's jusqu'à ce que ce sofivnel coïncide avec le sommet s de la surface (s,B), les génératrices parallèles, s'il en existe, se superposeront, et elles seront données par les points d'intersectioii des bases B et B''. La base B'' de la surface conique («',6'), après ce transport, sera semblable à la base B' (n* 262) , et se construira facilement au moyen de la nouvelle position d'une génératrice quelconque (n"" 263, 2""); d'ailleurs, on sait que le pôle de similitude des courbes B'^ et B' n'est autre que la trace horizontale de la droite ss\

350. Si l'on demandait la génératrice du cône («, B) parallèle à celles d'un cylindre, il suffirait de noener par le sonunet s une parallèle D aux génératrices du cylindre; si la droite D rencontrait la directrice B, ce serait la génératrice demandée; si elle ne rencontre pas cette directrice, c'est une preuve qu'il n'existe pas sur la surface conique de génératrice parallèle à cdies de la surface cylindrique.

351 . PaOBLÈifE 2. Trouver le point de rencontre dune drmie D et dune smjace conique ou cylindrique. Dans le cas d'une surface conique, il suffit évidemment de conduire un plan P par la droite D et le sommet du cône ; ce plan ne peut couper la surface que suivant des génératrices droites; les points d'intersecticm de ces génératrices et de la droite D donnée sont les points cherchés. Si le plan P est, par hasard, tangent au cône, la droite D est aussi tangente an cône ; et si le plan P n'a de commun avec la surface conique que le somnet de

cette surface 9 la droite D ne rencontre pas la surface conique , à moins qu'elle ne passe par le sommet de cette surface. Dans le cas de la surface cylindrique , on fera passer par la droite D un plan P parallèle aux génératrices droites du cylindre^ Ce plan P coupera la surface suivant des gâaératrices droites dont les rencontres avec la droite donnée D sont les points demandés. La droite D peut aussi être tangente ou sécante à la surface cylindrique, ou ne pas rencontrer cette surface.

352. Problème 3. Tramer Cinierseciion de deux surfaces coniques. Si les surfaces coniques avaient même sommet, elles ne pourraient se couper que suivant une ou plusieurs génératrices droites , que Ton obtiendrait en coupant les surfaces par un plan, et joignant les points communs aux deux sections planes '^considérées comme bases des cônes) avec le sommet. Mais si les surfaces n'ont pas même sommet, les intersections sont des courbes, généralemait à double courbure, et qu'on ne peut construire que par points; il est évident que des plans sécants , arbitrairement menés au travers des deux surfaces , comme nous venons de l'indiquer, feraient connattre chacun un certain nombre de points de l'intersection; mais les courbes de section des cônes par ces plaœ auxi^ iiaires sont en général difficiles à construire, et d'ailleurs la méthode qu'eUoB exigent pour leur construction ou la recherche de leurs points peut s'appli^* quer directement à la détermination de l'intersection des deux cônes donnés.

En effet , il suffit de remarquer que , par chaque point de l'intersection C des deux cônes donnés A et A', il passe une génératrice droite de chacune de ces deux surfaces A et A', et que ces génératrices sont situées dans un même plan passant à la fois par les sommets des deux surfaces coniques données ; donc il faudra mener une série de plans par les sommets des deux surfaces , ou par la droite qui les unit , chacun d'eux coupera les surfaces coniques A et A', suivant une ou plusieurs génératrices droites dont les intersections fourniront des points de la courbe C cherchée.

352 6». Si l'on donne une surface conique et une surface cylindrique, ce procédé se réduit à mener par le sommet de la surface conique une parallèle aux génératrices droites du cylindre, et par cette droite une série de plans auxiliaires.

352 ier. Si enfin l'on donne deux surfaces cylindriques , ce même procédé consiste à mener une série de plans auxiliaires parallèles aux génératrices droites des deux surfaces cylindriques données.

Des formes diverses et générales que peut offrir ta courbe-intersection.

363. Le procédé fort simple, exposé ci-dessus , a besoin de quelques précau* •tions pour unir convenablement les points obtenus; Ton doit aussi distinguer plusieurs cas dans la disposition relative des deux surfaces. Soient : 1' B et B' {fig. 225) les bases ou traces horizontales des deux surfaces coniques et a la trace horizontale de la droite qui unit leurs sommets s et s'j les traces horizontales des plans auxiliaires doivent toutes passer par ce point a et rencontrer les bases B et B' des surfaces coniques ; d'après cela il est évident que les traces H"" et H^ se* Tont les limites des traces horizontales des plans auxiliaires que Ton peut em* ployer. Dans le cas de cette figure 225 , la courbe d'intersection porte le nom de courbe d'arrachement. Pour la construire , supposons que Ton commence par l'un des plans limites Y ; il touche le cône {s\ B') suivant une génératrice droite et coupe le cône {sj B) suivant deux génératrices droites ; on aura donc deux points de rintersection G des deux cônes donnés , mais comme ces deux points n'appartiennent pas à deux génératrices droites voisines , je n'en considère d'abord qu*un y je combine ainsi les deux génératrices notées 1 , et j'obtiens un premier point que je numérote 1 . Prenant ensuite un plan Z' qui coupe les deux surfaces coniques suivant deux génératrices droites , je ne considère sur le cône (s, B) que celle voisine de 1 , et je la combine avec une seule des deux génératrices du cône B% j'obtiens ainsi un second point numéroté 2. Continuant ainsi en prenant des plans de plus en plus éloignés de Y, je parviendrai au second plan limite X , qui me donnera les génératrices 4 à l'aide desquelles j'obtiens un point que je marque 4. A la suite de la génératrice 4 du cône («,B) , en tournant toujours dans le môme sens , je trouve la génératrice 5 , qui est la seconde génératrice située dans le plan Z, il faut de nouveau la combiner avec la génératrice 3 ou S voi* sine de 4 dans le cône B', et j'obtiens ainsi un point 5 , et ainsi de suite, en prenant successivement les génératrices dans l'ordre des numéros , jusqu'à ce qu'on revienne sur les deux génératrices 1. Les points ainsi "^obtenus portent les mômes numéros qui indiquent les génératrices qui les fournissent et on les unit ensuite par un trait continu dans l'ordre des numéros.

2* Il peut arriver que les traces des plans limites soient tangentes à la même base B et sécantes à l'autre base B' {Jig. 226) , dans ce cas on dit qu'il y a pénétration. L'intersection se compose de deux courbes distinctes qu'on nomme , l'une courbe (Centrée ^ l'autre courbe de sortie. Les numéros placés aux pieds des génératrices montrent dans quel ordre les points doivent être obtenus et numérotés pour tracer ensuite les projections de la courbe d'intersection avec exactitude,

en remarqaant que les nnméros sans accent dans chaque base sont les traces horizontales des génératrices dont les intersections fournissent Tune des courbes on branche d'entrée ou de sortie^ et que les numéros accentués sont les traces horizontales des génératrices qui fournissent Tautre branche de la courbe d'intersection, branche de sortie ou d'entrée.

3*" L'une des traces limites peut être tangente à la fois aux deux bases {fig. %%1\ alors rintersection présente un nœud au point d'intersection des génératrices droites situées sur ce plan tangent commun. En effet , on obtient deux fois ce point en combinant les génératrices dans Tordre 3, i, 5 et dans l'ordre 9, 10, 14 , ce qui donne évidemment dans les deux cas des points voisins du point commun et différents entre eux. Ce cas donne encore une courbe à' arrachement ; mais offirant un point multiple.

4* Enfin , les plans limites peuvent être l'un et l'autre tangents à la fois aux deux surfaces coniques {fig. 2SS8), l'intersection se compose alors de deux courbes ou branches qui se croisent aux deux points d'intersection des génératrices droites situées sur ces plans tangents communs. On peut vérifier la position des points comme il a été dit précédemment. Dans ce cas, après avoir fait le tour complet des bases B et B', on revient sur les génératrices 1, et l'on n'a encore combiné que les deux génératrices 4 ou 3 ensemble, il faut aussi combiner la génératrice 1 avec 3 , ce qui conduit à faire le tour dans le sens des numéros accentués. Ce cas présente une courbe de pénétration , mais dont les deux branches se croisent en deux points. Il n'est pas inutile de faire remarquer que les projections des courbes d'intersection peuvent avoir des nœuds , sans qu'il en résulte que les courbes dans l'espace en aient; nous reviendrons plus loin sur ces nœuds que les projections d'une courbe de l'espace peuvent présenter.

354. L'intersection d'une surface conique avec une surface cylindrique présente exactement les mêmes circonstances : les figures restent les mêmes , le point a représentant alors la trace horizontale de la droite menée par le sommet du cône parallèlement aux génératrices droites du cylindre.

354 bis. Le cas des deux surfaces cylindriques offre aussi les mêmes circon-* stances , mais alors les traces horizontales des plans sécants sont parallèles à celle d'un plan mené par deux droites respectivement parallèles aux génératrices droites de chacun des deux cylindres : le point a est alors transporté à une distance infinie.

355. Pour avoir la tangente en un point de l'intersection , il suffit de remarquer qu'elle est à la fois dans le plan tangent, mené à chacune des deux surfaces, par le point considéré ; elle est donc l'intersection de ces deux plans que nous avons appris à construire (chap. 2).

356. Pour reconnaître ia mture (les sections planes d'une sQifaœ conique (ri* 284), nous avons mené par le sommet de ce cône un plan parallèle au plam sécant , ce qui revenait évidennnent à transporter le plan sécant parallèlement à lui-même jusqu'à ce qu'il passftt par le sommet de la surface conique proposée , €l nous avons ainsi reconnu que les courbes dlntersectton peuvent être de trow -espèces :

T* Courbes fermées on elliptiques ;

2"* Courbes à branche infinie sans asyniploie^ ou courbes ^paraboliques ;

'S"" Courbes à branche infinie avec asymptote , ou courbes hyperboliques.

Delix surfaces coniques peuvent aussi se couper suivant des courbes de Tune de ces trois espèces , ou qui peuvent participer à la fois des unes et des autres. Pour reconnaître la nature de Tintersection , nous transporterons Tune des surfaces coniques parallèlement à elle-même, jusqu'à ce que son sommet coïncide avec le sommet de l'autre surface (*) : 1* si , dans cette position , les deux surfaces (leurs l)ases étant des courbes fermées) n'ont aucune génératrice commune , elles se cotiperont suivant une courbe fermée , car alors les surfaces coniques proposées n'ont pas de génératrices parallèles , donc l'intersection n'aura pas de point situé à Tin" fini ; l'intersection est alors dite elliptique ; ^ si les deux surfaces ayant même sommet ont une génératrice droite de contact et par cofiséquent un plan tangeM 'commun , les surfaces proposées ont deux plans tangents parallèles menés le long de génératrices droites qui elles-^mes sont parallèles, et par conséquent l'intersection a une branche infinie sans asymptote , ou , en d'autres termes , Tîntersection est parabolique ; 3* si les deux surfaces ayant même sommet ont une génératrice droite d'intersection , les surfaces proposées ont deux génératrices droites parallèles entre elles et auxquelles correspondent des plans tangents qui se coupent, IHntersection des deux surfaces a une branche infinie avec asymptote (**) qui est 4ite hyperbolique; 4"" les deux suifaces coniques ayant même sommet peuvent arsroir à la fois des génératrices droites de contact «t des génératrices droites d'iti*tersection , la courbe d'intersection des deux surfaces coniques proposées présentera alors en même temps des branches parabMiques correspondant chacune à ane génératrice droite de contact, et des branches hyperboliques correspondant diacane à une généï'atrice droite d'intersection.

(*) Il faut bien remarquer que, pour reconnaître les formes divei'scs que rinterseclion de deux cônes peut présenter, nous employons le môme moyen que celui employé lorsque nous avoAs voulu recoimaltre les formes diverses de la section faite dans un cône par un plan, et cela dort être puisqu'in plan peut être rigooreusemeat coKiAéré comme une surface conique.

(**) Voyez dans le cb^^itre VII de Touvragequi a pour titre : Développements deçéométrie descriptive , ce qui est relatif à la manière d*ètre de la courbe , intersection de deux cônes , par rapport à son asymptote.

356 biê. CêMÊrucikm de la tangente en tm point 4e la courbe^mierseclion 4e dewti e§Undre$ , d'un cylindre et d'un cône , de deux canes. Désignant par B et B' les bases ou traces horizontales des deux sarfaces , et par x le point de la courbe d'interseçtioa C| à laquelle on veut construire la tangente , il suiEia de mener par le poiat x deux droites, Tune génératrice de la première snrfoca et perçant sa base B au point b-^ l'autre génératrice de la seconde surface^ et perçant sa base B' au point b\et de construire en b une tangente à la courbe B ^ laquelle portera le symbole H^ Gomma trace horizontale du plan & tangenJt en x à la première suriEsice „ et en b' une tangenie à la courbe B\ laqveUe portera le syn^ole H^^ comme trace horizontale du plan @' tangent en x à la seconde surface. Les droites H^ et H^' se couperont ei un point I, qui sera la trace horizontale de la tangente T demandée , laquelle sera Tintersection des dem plans 0 et 0\

Il est facile de voir que lorsque le plaa auxiliaire touche la première surface suivant une génératrice G et coupe la seconde surface suivant diverses génératrices Ky K^ K"^ etc. y il est facile de voir , dis-je , cpie ces droites K, K', K'', etc« , sont tan* gentes à la courbe d'intersection G des deux surfaces ea les points a, a^ a"^ etc. , en lesquels la droite G est coupée par les droites K, K', K'^, etc. ; mais lorsqu'un plan auxiliaire est tangent en même temps à la première et à la seconde surface , suivant les génératrices respectives G et K, lesq.uelle6 se coupent en un point a, qui ap* partient à la courbe d'intersection G des deux surfaces, et qui est tel , ce point a, ^ue deux branches de la courbe G s'y croisent ,, ce que l'on exprime en disant que la courbe G a en ce point a un point multiple y alors les méthodes ordinaires de la géométrie descriptive sont en défaut pour la construction des tangentes au point a^ puisque, dans ce cas, le. plan auxiliaire étant à la fois tangent à l'une et à l'autre surface , les deux plans tangents qui , menés au point a , devraient donnar par leur intersection la tangente demandée,, se confondent en un seul plan. La solution de eette question exige des connaissances plus avancées en géométrie de l'espace , on ne peut la résoudre que par la considération des surfaces osculatrices (^).

Mais il faut bien remarquer que lorsque nous disons que la méthode ordinaire est en défaut, nous employons une expression adoptée, qui veut dire que la mér tfcode ne peut s'appliquer à œ cas particulier ;, car , en vertu de la particularité de œ point , la géométrie n'est point en défaut. H ne se passe pour ce point que ce qui doit être en effet : au lieu d'une tangente en ee point, il en existe deux , et à^\xx plans ne peuvent déterminer deux droites distinctes; ces deux plans doivent donc

(*) Koyes à C6 sujet dans Touvraga qui a pour titre : Complément de géométrie de$criptm , le mémoire qui a pour titre : Construire la tangente en un point dCune courbe donnée par son tracé et dont on ignore C équation; mémoire que i*ai publié pour la première fois dans le 21* cahier du Journal de l^ole polytechnique.

86 confondre, puisque Ton et l'autre de ces plans tangents doit contenir les deux: tangentes qui existent pour ce point particulier, auquel on a donné le nom de p#int multiple.

357. Deux surfaces coniques qui ont pour base commune une section conique se cou^ pent suivant une seconde courbe plane. En effet, soit E (Jig. 229) la base commune des deux surfaces coniques ayant leurs sommets en « et s\ la droite D des sommets perçant le plan horizontal au plan a , les tangentes H' et H'^, menées de ce point a à la courbe E , seront les traces des plans tangents communs aux deux surfaces , et la droite A qui unit les points de contact p et p' est la polaire conjuguée du pôle a (n* 330). Si Ton conduit par la droite D un plan sécant quelconque R j il coupera les surfaces coniques suivant des génératrices droites G et G' qui se croisent en un point x de la seconde courbe d'intersection demandée , la tangente à cette courbe au point x est l'intersection des plans tangents aux surfaces coniques et menés le long des génératrices G et G% mais les traces H* et H*' de ces plans sont tangentes à la courbe E aux points 6 et 6^, et se croisent par conséquent en un point c de la droite A (n"" 330) , donc la tangente O rencontre la polaire A ; il en serait de même des tangentes en tous les autres points de la courbe cherchée , donc toutes ces tangentes forment une surface plane ; car si Ton consi-dère les points successifs Xj x^jx'^j x^"... de la courbe, et les tangentes correspon* danles O, O', 0'', &"\.. deux tangentes successives se coupent , et sont par conséquent 'dans un même plan. Mais toutes les tangentes rencontrent la polaire A en des points différents; donc le plan de deux tangentes successives quelconques contient cette droite tout entière ; donc le plan de 0 et 0' contient la droite A ; le plan de 0^ et 0'' contient aussi A , ces deux plans ayant en commun 0' et A se confondent donc ; il en sera de même de tous les autres (n* 21 3 bis) ; donc enfin toutes les tangentes à la seconde courbe d'intersection des deux cônes , sont dans un même plan , donc cette courbe est plane et elle est par conséquent une section conique (n** 346).

358. Cette seconde section conique passe évidemment par les points p et V ; elle aura donc avec la section conique E la corde pp' commune ; donc deux sections coniques non situées dans un même plan et ayant une corde commune, peuvent toujours être contenues ou enveloppées par deux surfaces coniques. Pour obtenir ces cônes , nous remarquerons que si , aux extrémités p et p' de la cordç commune, on mène des tangentes à la section E , elles vont se couper en un point a , les tangentes à la section Ë^ se coupent en un autre point a', ces deux points sont sur une droite D, qui contient les sommets des cônes cherchés; si donc, par cette droite, on fait passer un plan coupant les courbes E et E' aux points b et b\ x etxf j les droites bx et 6V seront deux génératrices droites de l'une des surfaces coniques,

<loDt elles détermineront le sommet s^ les droites b'x et ba/ seront deux génératrices droites de Tantre surface conique , et elles en détermineront le sommet s'. Si Ton prenait sur la droite D un troisième point s^ pour sommet d'une surface conique ayant pour base la même courbe E , elle couperait évidemment chacune des deux surfaces («, E) et {$\E)j suivant une section conique différente de E'; donc les deax sections E et E' ne peuvent être placées que sur deux surfaces coniques.

358 ùis. Ce qui précède nous permet de construire avec facilité les divers points d'une ellipse dont on donne le centre, la longueur de deux diamètres conjugués et rangle que ces diamètres comprennent entre eux.

Soit {fig. 2296i>)o le centre de l'ellipse et ses deux diamètres conjugués a6 et pç.

On sait que les droites 0 et 0' menées aux points a et 6 parallèlement au diamètre pq , seront tangentes en a et 6 à Tellipse E à tracer.

Sur pq comme diamètre décrivons un cercle G ; pour le point a la tangente T de •ce cercle sera perpendiculaire k ba. Du point o menons om perpendiculaire à ba^ joignons le point m du cercle C avec le point q.

Cela posé : menons par un point r arbitrairement pris sur la droite ba deux droites, Tune ry parallèle k og et Tautre rx parallèle à T, ensuite menons par le point X du cercle G une parallèle xy kmq^ la droite xy coupera la droite ry en un point y qui appartiendra à Tellipse E demandée.

Et en effet le cercle G peut être considéré comme la projection sur le plan horizontal d'une ellipse d coupant l'ellipse E aux points a et 6, les deux courbes d et E pourront donc être enveloppées par une surface conique , et il est évident que dans le problème qui nous occupe en ce moment, la surface conique sera un cylindre dont les génératrices droites se projetteront horizontalement suivant des parallèles à la droite mq.

D'après ce qui précède on peut résoudre les problèmes suivants.

Étant donné un système de diamètres conjugués d'une ellipse, construire mns tracer la courbe :

1* Par un point pris hors delà courbe la tangente e {fig. 229 ter). 2^j(Une tangente 0 parallèle ou faisant un angle donné avec une droite D (fig. 229 quater).

3* Les points d'intersection y et y' avec une droite B (fig. 229 quint. ).

359. Si l'on coupe les deux surfaces coniques par des plans différents ou par un même plan , les courbes que l'on obtiendra seront des sections coniques ; on pourra les prendre pour bases des deux surfaces et l'on en conclura que deux surfaces coniques à bases sections coniques et ayant deux plans tangents communs se coupent suivant deux courbes planes , qui sont par conséquent des sections coniques.

S* FAtTII. 20

n est facile de voFr qa*on parriendrait aux mêmes eonséquenceB en cliercbant rinterseetion d'une surface conique avec une surface cylindriqtie , ou de deux surfaces cylindriques.

Si Ton coupe une surface conique, à base section conique par deux plan»^ et qu'on prenne les sections ponr bases de deux autres surfaces coniques , dont les sommets seraient en ligne droite avec celui de la prenûère surface , on trouverait , par un raisonnement semblable à celui du n* 357 , que Tune des courbes d'intersection des deux dernières surfaces coniques est plane (*).

360. Mais la réciproque de cetle proposition n'est pas généralement vraie, c*e8t-à-dire que deux surfaces coniques ou cylindriques peuvent fort bien se coaper suivant deux courbas planes sans avoir pour cela deux plans tangents commons. En effet, supposons deux surfaces cylindriques ayant pour bases les paraboles P et P' {fig. 230) situées dans des plans verticaux perpendiculaires entre eux et dont les axes sont sur le plan horizontal. Si l'on coupe les deux cylindres par des plans

horizontaux X, ,.X, on aura (n" 328) no : ao' ::ap :ap' :: etc., do»c ics

points Ojèf'^c/'j sont en ligne droite, donc la courbe E intersection des deux

surfaces cylindriques est plane, quoique les deux surfaces n'aient pas de plan tangent oomaHin.

De rinterseetion des surfaces de révolution.

361 . Problème 4. Trouver l'intersection dune surface de révolution par un plan. On peut toujours par des changements de plans amener la surface de révolution en une position telle q^ue son axe soit perpendiculaire au plan horizontal. Cela étant, on doit employer des surfaces auxiliaires et choisir celles qui donnent les sections les plus simples ; ce sont évidemment des plans horizontaux, qui coupent chacun la surface de révolution suivant un parallèle ^ dont la projection horizontale est un cercle identique et qui coupent chacun le plan donné suivant une droite facile à obtenir ; les points de rencontre do ces deux lignes (cercle et droite) appartiennent à l'intersection demandée.

La tangente en un point de la courbe est l'intersection du plan sécant et du plan tangent à la surface en ce point, plan tangent que nous avons appris à déterminer (n^ 252).

Ce problème se résout toujours de la même manière, que la surface soit donnée

O Foyee aies roavnige qui a pour titre : CompLëmerU de géométrie descriptive , le mémoivi qui a pour titre : Propriétés des courbes du second degré considérées dans Cespace. Ce mémoire a été publié pour la première fois dans la Correspondance de mathématiques et de physique des Pays-Bas » rédigée par M. Quételet, vol. 5, n* 3.

par une courbe inéridàenne ou par une ligne généralrice droite ou courbe et quel* conque.

36S!. Problème 5. Trouver C intersection d'une droite et d'une surface de révoUttion. Il est évident quMI suffit de faire passer un plan par la droite et de chercher son intersection avec la surface ^ le point cherché est à la rencontre de cette intersection et de la droite donnée. Pour plus de simplicité on pourra employer Tun des plans projetants de la droite. Lorsque la droite donnée est dans on môme plan avec l*axe , il convient de choisir ce plan plutôt que tout autre , surtout lorsque la surface de révolution est donnée par une courbe méridienne.

Si la surface donnée est une surface sphérique^ on pourra conduire le plan par la droite et le centre de la sphère , parce qu'alors la section sera un grand cercle que Ton amènera à être dans la position parallèle à Tun des plans de projection y soit par des changements de plans, soit par des mouvements de rotation convenables.

363. Phoblème 6. Trouver (intersection d'une surface conique et d'une surface de révolution. Les plans menés par le sommet du cône le couperaient suivant des droites y mais ils couperaient la surface de révolution suivant des courbes qu'on serait obligé de construire par points (n" 361). Nous euiploierons encore des plans horizontaux coupant la surface de révolution suivant des parallèles et la surface conique suivant des courbes semblables à la base (n"" 262), et dont les projections pourraient par conséquent s'obtenir avec facilité , car elles seraient semblables à la base , et auraient pour pôle commun de similitude la projection horizontale du sommet (n"" 264) , mais on peut même éviter de construire ces courbes en employant la méthode suivante : Considérons un plan auxiliaire X , il coupera la surface de révolution suivant un parallèle C , et la surface conique suivant une courbeK semblable à la base B. On prend le para//è/e C pour directrice d'unesurface conique auxiliaire ayant même sommet s que la surface conique proposée, alors ces deux surfaces coniques se couperont nécessairement suivant une ou plusieurs génératrices droites passant par les points d'intersection du parallèle C et de la courbe K ; or la trace de cette nouvelle surface conique sera un cercle C dont on obtiendra immédiatement le centre et un point de la circonférence ; les points où ce cercle C coupera la base B de la surface conique donnée appartiendront aux génératrices droites d'intersection des deux cônes et celles-ci viendront couper le cercle ou parallèle G aux points demandés. En répétant la même construction pour une série de plans horizontaux , on obtiendra tant de points que l'on voudra de la courbe cherchée.

Si Ton proposait de chercher la courbe-intersection d'une surface de révolution et d*une surface cylindrique , aloi*s on considérerait le cercle ou paratlète G comme

la directrice d*iine surface cylindrique auxiliaire dont les génératrices droites seraient parallèles à celles de la surface cylindrique proposée {*).

363 bis. Dans ce qui précède , on a dû remarquer que la solution ne pouvait être obtenue par la construction graphique indiquée qu'autant que : 1* Taxe de la surface de révolution était perpendiculaire au plan horizontal (ou au plan vertical) de projection , et que 2!" Ton connaissait la section faite dans le cône ou cylindre par le plan horizontal (ou par le plan vertical) de projection , ce qui veut dire que cette section était située sur Tépure, sur la feuille de papier qui était à notre disposition et dont dès lors nous ne pouvions changer les dimensions.

Car il faut bien remarquer qu'il existe une grande différence entre la géométrie analytique (géométrie de Descartes) et la géométrie graphique (géométrie descrip* tive) , à savoir que Tespace indéfini appartient au géomètre avec la géométrie analytique, et que l'espace est limité avec la géométrie descriptive.

Dès lors les données du problème qui nous occupe en ce moment peuvent être telles que l'on ne puisse pas se procurer sur la feuille de papier la section entière du cône ou du cylindre par le plan horizontal ou vertical de projection, Taxe de la surface de révolution ayant été amené par des changements de plans à être perpendiculaire au plan horizontal ou vertical de projection. Ce cas particulier peut se présenter en coupe des pierres , lorsqu'il s'agit de pratiquer dans un dôme ellipsoïdal une lucarne conique ou cylindrique.

363 ier. La surface de révolution étant quelconque , la solution générale consistera à couper et la surface de révolution et le cône (ou cylindre) par un plan , de manière à ce que les projections de la courbe de section se trouvent situées sur la feuille de papier (sur V épure). Et faisons remarquer que nous supposons que le cône (ou le cylindre) sont donnés l'un ou l'autre par leur courbe directrice , c'est-à* dire par les projections de cette courbe directrice , lesquelles projections doivent nécessairement être situées sur la feuille de papier (ou épure) , car sans cela il n'y a aucune construction graphique possible. Cette solution générale exige donc que pour trouver un point de la courbe- intersection des deux surfaces données, on construise quinze ou vingt points de chacune des deux sections faites à travers ces deux surfaces par un plan auxiliaire, et dont la direction sera judicieusement déterminée. Mais dans les applications, la surface de révolution n'est pas générale « elle est ordinairement une surface simple. C'est ainsi qu'en coupe des pierres cette surface peut être un ellipsoïde allongé ou aplati de révolution , et le cône ou le cylindre peuvent avoir des formes générales , en ce sens qu'ils ne seront ni l'un ni l'autre de révolution.

(*) Voyez lo tome II*, page 437, de la Correspondance de CÈcole polytechnique publiée par Hachette.

Avec de telles données , il existe un moyen graphique de résoudre simplement ce problème , sans avoir recours à la méthode générale qui est longue et pénible. Ce moyen consiste à transformer Tellipsoïde de révolution en une sphère et le cône en un autre cône, et le cylindre en un autre cylindre, et de ramener ainsi le problème : de Cinlersection dun ellipsoïde de révolution par un cône ou un cytindrcj à la solution du problème : de rintersection d'une sphère par un cône ou un ajtindre.

Et Ton conçoit que Tellipsoïde de révolution ne pouvant être coupé suivant un cercle (ou parallèle) que par un plan perpendiculaire à Taxe* de rotation de cette surface, tandis qu'une sphère est toujours coupée suivant un cercle par un plan, quelle que soit sa direction, la solution du problème devient très-simple et d'une exécution facile (^). On voit donc ici Futilité, en géométrie descriptive, delà méthode dite : transformation d'une surface (ou d'un système de surfaces) en une autre surface (ou un autre système de surfaces).

364. Problème 7. Trouver rintersection de deux surfaces de révolution dont les axes sont sur un même plan. Si les axes se confondent, il est visible que les surfaces ne peuvent se couper que suivant un ou plusieurs cercles ou parallèles dé* crits par les points d'intersection des deux courbes méridiennes. Si les axes sont parallèles, on les rendra verticaux (par des changements de plans de projection ou des mouvements de rotation) , puis des plans horizontaux couperont les deux surfaces suivant des cercles , dont les projections horizontales seront des cercles identiques. Mais si les axes se coupent, on pourra toujours rendre l'un des deux vertical , et l'autre parallèle au plan vertical de projection ; dans ce cas les plans horizontaux couperont la première surface suivant des cercles ou parallèles ^ et l'autre suivant des courbes qu'on serait obligé de construire par points. Il faut donc choisir une surface auxiliaire qui coupe à la fois les deux surfaces propo* gées suivant des cercles ou parallèles , et pour cola il faut employer une surface de révolution qui ait môme axe de rotation que chacune des surfaces données. On voit de suit« qu'une sphère ayant son centre au point d'intersection des deux axes, remplit cette condition, et d'ailleurs la sphère est la seule surface de révolution qui ait une infinité d'axes de rotation, chaque diamètre étant un tel axe.

Nous choisirons donc une série de semblables sphères pour surfaces auxiliaires. Soient donc A {fig. 231) Taxe, M la courbe méridienne de la première surface;

(**) Vayez^ dans Touvrage que j*ai publié sous le titre : Applications de la géométrie descriptive : 1» aux ombres; 2* à la perspective; 5" à la gonomonique , et 4* aux engrenages^ ce que j*ai dit sur rintersection de deux surfaces de révolution dont les axes ne se coupent pas.

A' l'axe, M' la courbe méridienne de la seconde surface et s le point d'intersection des deux axes ; soit S" la projection verticale du grand cercle de Tune des sphères et parallèle au plan vertical de projection, S" coupe M*" et M'' aux points x" et x" desquels nous abaisserons sur A'' et A'" les perpendiculaires A" et A'" qui nous représenteront les projections verticales des courbes ou parallèles d'intersection des surfaces de révolution par la sphère auxiliaire ; A^ sera un cercle ayant son centre en A*, A'* serait une ellipse courbe plus difficile à construire, mais on n'en a pas besoin.

En effet les plans des parallèles A et A' sont perpendiculaires au plan vertical , leur intersection I est donc elle-même perpendiculaire à ce plan , et se projette au point V intersection de A*" et A'''; or les points d'intersection de A et A' se trouvent nécessairement sur I, donc leurs projections verticales se confondent avec le point P, et leurs projections horizontales sont en m* et m'*, aux intersections de A* et I^. Il est évident que Ton n'obtient des points d'intersection des deux surfaces qu'autant que V est dans l'intérieur du cercle S" ; dans le cas contraire , les points T appartiendraient encore à la courbe qui reçoit la projection verticale de l'intersection ^ mais ils n'auraient pas de projections horizontales (correspondantes. Ces points se trouveraient sur l'intersection de surface de même nature que les proposées, mais enflées, pour ainsi dire, suivant une loi telle que la projection verticale de leur intersection soit reçue sur la même courbe que la précédente, mais elle en embrasse un plus grand arc. Il est facile de voir que la courbe d'intersection doit être symétrique par rapport au plan des deux axes; de sorte qu'il existe toujours deux points situés de part et d'autre de ce plan qui ont même projection verticale ; c'est pourquoi la projection verticale semble se terminer brusquement aux points d'intersection des courbes M*' et M'% mais elle forme une courbe qui se prolonge au delà de ces points, comme nous l'avons dit ci-dessus , et les points situés sur le prolongement de la courbe dont un arc est la projection verticale de la courbe-intersection des deux surfaces de révolution données, se construisent par des opérations tout à fait identiques à celles qui nous ont fait connaître les points de la première partie de cette courbe , et ces opérations graphiques peuvent être et sont exécutées indépendamment de la figure ou système de l'espace.

365. Si les surfaces données sont deux surfaces coniques de révolution, on pourra remplacer les sphères auxiliaires par des plans passant par la droite qui unit les deux sommets; si l'on donne une surface conique de révolution et une surface cylindrique de révolution, on pourra employer des plans auxiliaires passant par le sommet do cône , et parallèles aux génératrices droites du cylindre. Si Ton donne deux surfaces cylindriques de révolution , on pourra em-

ployor dee plans anxiitaires parallèles aox génératrioes droites des deux surfaces. Si Van donne une sarface conique de ré?o)Qtion, et une surface sphérique, on povrra employer des plans auxiliaires passant par la droite qui unit le sommet do e6ne au centre de la sphère. Enfin pour one surface cylindrique de révolution et une surface sphérique on pourra faire passer par le centre de la sphère des plans luixiliaires parallèles aux génératrices droites du cylindre. Les motifs qui déterminent la direction spéciale à donner à ces divers plans auxiliaires suivant les surfaces dont on doit construire T intersection, sont évidents. Au reste, tous ces problèmes peavent se résoudre en employa»! des sphères pour surfaces auxiliaires lorsque les axes de révolution des surfaoea coniques et cylindriques se couperont ; dans le cas contraire on ne pourra employer que des plans auxiliaires. Lorsqu'on aura une sphère et un cône de révolution ou un cylindre de révolution , on pourra toujours employer des sphères auxiliaires , car il suffira de mener par le centre de la sphère donnée un diamètre coupant Taxe de rotation de la surface conique ou cylindrique, et de regarder ce diamètre comme Taxe de rotation de la sphère donnée.

866. I^a tangente en un point de Tintersection de deux surfaces de révolution dont les axes se coupent est, comme dans tous les problèmes de ce genre, Tintersection des plans tangents menés aux deux surfaces en ce point ; on est donc eonduit à construire pour chacune des surfaces de révolution le plan tangent an pomt donné (n* 252) , et à chercher l'intersection de ces deux plans tangents. La détermination du plan tangent à une surface de révolution peut facilement se déduire de la normale à laquelle il est perpendiculaire. Enfin on peut obtenir la tangente sans construire les plans tangents; car si Ton mène au point donné les normales à chacune des deux surfaces (et il est facile de reconnaître que pour une surface de révolution on n*a pas besoin de passer par le plan tangent pour construire la normale en un point de cette surface) , elles déterminent un plan qui est nn plan normal en même temps aux deux surfaces , et par conséquent normal à leor intersection. Donc la tangente demandée est perpendiculaire à ce plan des deux normales.

Si Ton considère les constructioiis qui doivent être effectuées sur le plan vertical pour avoir la projection verticale de la tangente, indépendamment de la fignre ou 99f$tème de Tespace , on en conclura un procédé de géométrie plane pour mener la tangente à cette courbe , et ce procédé sera exactement applicable aux points extrêmes de cette projection , pour lesquels les considérations précédentes seraient insuffisantes, II est évident, d'ailleurs, que ces opérations géométriques doivent donner cette tangente , puisqu'on peut enûer les <ieux surfaces de jMuière que -ces p<ûnte appArtiesnent tovjofirs à la projection verticale de l'inter-

section, mais n'en soient plus les points extrêmes. La considération d'enfler les deux surfaces pour que les points extrêmes par rapport aux deux premières surfaces, ne soient plus les points extrêmes par rapport aux deux nouvelles surfaces enflées, montre d'une manière nette et exacte que la méthode des normales, appliquée à un point quelconque de la projection verticale de Tintersection des deux surfaces , peut être rigoureusement appliquée aux points extrêmes de cette projection (*) .

De quelques propriétés dont jouissent deux ou plusieurs cercles tracés

sur une sphère.

367. Par deux cercles qui se coupent ou qui n'ont pas de points communs^ et qui sont situés sur une sphère ^ on peut toujours faire passer deux surfaces coniques. En effet, par le centre de la sphère, on peut toujours mener un plan perpendiculaire à rinterscction des plans des deux cercles, il coupera la sphère suivant un grand cercle G {fig. 232), et les plans des cercles A et A' suivant des diamètres D et D\ et si Ton unit les extrémités m, m', et n^n' par des droites, elles se coupent en un point s , qui est le sommet d'une surface conique sur laquelle sont placées les deux circonférences A et A'. Pour le démontrer, il sufiit de faire voir qu'une droite menée du point « à un point quelconque y de A, rencontre A\ Or, VIS et ns sont les traces de deux plans verticaux tangents à la fois aux deux cercles A et A' ; si l'on suppose que l'un de ces plans se meuve en restant toujours tangent à ces deux cercles , il engendrera par ses intersections successives une surface développable , qui est évidemment courbe. Si donc nous démontrons que toutes ses génératrices rencontrent une même droite, elles la rencontreront nécessairement au même point , et formeront par conséquent une surface conique (n"" 213 bis) ; or les plans de A et A' se coupent suivant une droite I, sur laqudle prenant un point Xj et de ce point menant les tangentes â:y, orz au cercle A, et les tangentes xy^y xz' au cercle A', xy et xy' déterminent une position du plan tangent, et donnent une génératrice j/y'; de même xz et xsf font connaître une autre génératrice %z\ et ces deux génératrices sont dans un même plan qui est la seconde position du plan tangent ; en prenant un autre point x\ on obtiendrait d'autres génératrices. Mais toutes les cordes xz se coupent en un même point o

(*) Lorsqu*on emploie la considération des influinient petits pour démontrer que la construction géométrique, employée pour un point courantde la courbe, s'applique exactement aux points extrêmes, il faut s'appuyer sur ce qu'une surface gauche peut, en vertu d*une génération toute particulière, présenter une courbure développable tout le long d'une ou de plusieurs de ses génératrices droites. Voyez à ce sujet l'cavrage qui a pour titre : Développement de géométrie descriptive , chap. V, p. 268.

(n* 331), toutes les cordes y% se coupent en un même point o\ donc tous les plans des génératrices yif\ %% se coupent suivant une même droite oo\ qui sera rencontrée ou coupée par toutes les génératrices de la surface développable enveloppe des plans tangents, donc cette surface est une surface conique (n"" SS13 bH»). On aurait une seconde surface conique en unissant les points m, v! et vii^n^ puis en combinant ensemble les tangentes xy^ x%\ et xy^^ xz.

La même chose aurait lieu si les deux cercles A et A' se coupaient.

Mais si les deux cercles A et A' étaient tangents, ce qui aurait lieu si, par exemple, les points n et nf se superposaient, il est visible qu'alors le point s^ coïnciderait aussi avec n et n , et par conséquent il ne resterait plus qu'une seule surface conique enveloppant à la fois les deux cercles A et A\

368. Il résulte de là que si une sphère el un cône se coupent suivant un cercle A, ils se coupent suivant un second cercle; car, par le sommet s du cône et par le centre de la sphère, faisant passer un plan perpendiculaire au plan du cercle A, il coupera la sphère suivant un grand cercle G, le plan du cercle A suivant un diamètre D , et la seconde courbe d'intersection en deux pointe n et n' ; si Ton conçoit par nn' ou D' un plan vertical coupant la sphère suivant le cercle A', les deux cercles A et A' sont sur une même surface conique, dont le sommet est au point d'intersection des droites mm' et nn!; mais ce point est précisément le sommet s du cône proposé , donc le cercle A' est situé à la fois sur la sphère et sur le cône, donc il est leur seconde courbe d'intersection. Tout plan parallèle à l'un des plans de ces deux cercles coupe la surface conique suivant un cercle ; on peut donc couper certains cônes obliques suivant des cercles par deux séries différentes de plans parallèles ; on les nomme sections anti-parallèles m sous<ontraires du cône oblique; mais il reste à démontrer que tout cône (non de révolution) ayant pour base une section conique, jouit de la propriété d'avoir des sections circulaires; c'est ce que nous démontrerons plus loin.

369. C'est sur cette propriété que repose la construction des mappemondes et aussi sur la proposition suivante , savoir : que si , dans un cercle , on tire un diœmètre y que par le milieu de tune des demi-^rconférences on mène deux cordes j elles coupent le diamètre et le cercle en quatre points qui sont sur une même circonférence de cercle j ce qui résulte immédiatement de la propriété des quadrilatères inscriptibles.

370. Problème 8. Connaissant les trois angles dièdres d'un angle trièdrcy construire, les trois angles plans. Prenons pour plan horizontal le plan de l'une des faces (fig. 233) et le plan vertical de projection perpendiculaire à une seconde face dont le plan désigné par P fera avec le plan horizontal, l'un des angles donnés p ; donc V fera avec LT cet angle (3. En choisissant le point a de H' pour

V PÀRTIB. 21

sommet de Tangle trièdre y il faut par ce point a mener un plan Q faisant avec le plan horizontal Tangle donné y et faisant avec le plan P Tautre angle donné a ; ce plan Q doit donc être tangent à deux surfaces coniques de révolution ayant leurs sommets au point a (n° 23C)^ dont Tiiue aura pour axe une verticale A et pour génératrice une droite G faisant avec le plan horizontal Fangle 7, et dont Tantre aura pour axe uue droite A' perpendiculaire au plan P et pour génératrice une droite G', faisant avec ce plan , l'angle a. Si Von coupe ces deux sorftwies conique& par une sphère ^ les paralièles à et 4' seront sur une troisième surfoce conique 2^ à laquelle le plan Q est aussi tangent, puisqu'il contient une tangente à chacun des cercles ou parallèles à et A' (n* 367) ; donc H* sera tangente à la base B de cette surface S, laquelle base B est un cercle semblable à À, et dont on trouve facilement le centre et le rayon, car on connaît le sommet de la surface conique S.

Ce problème admet évidemment deux solutions.

37 1 . Si une surface cylindrique coupe une surface Sfphérique suivant un cercle , elle le coupera suivant un second cercle de même rayon que le premier. Par le centre de la sphère y on peut toujours mener un plan R parallèle aux génératrices droites du cylindre et perpendiculaire au plan du cercle B intersection des deux surfaces. Si l'on pi^nd ce plan R pour plan horizontal de projection, la sphère sera coupée par ce plan R suivant un grand cercle C {fig, 23i), et le plan de la base B étant perpendiculaire au plan horizontal , B'^ sera une droite rencontrant le cercle C aux pcHnts a et 6, par iesqnds passent deux génératrices du cylindre, mais cœ génératrices devant être parallèles au plan horizontal et ayant chacnne un point dans ce plan y seront toutes entières; donc elles couperont la sphère ea des points a' et b' appartenant au cercle C.

Si Ton considère une génératrice droite quelconque G menée par un point x du cercle B , elle coupera la sphère en un second point x projeté en x"^, et je dîs que les trois points x\xl^j bf sont en ligne droite ; pour le démontrer : par le centre 0 de la sphère je mène un plan P perpendiculaire aux génératrices du cylindre, ce plan coupera en deux parties égales toutes les covAe^' aa' ^ bb\ xx de la sphère, qui lui sont perpendiculaires; donc H' divise aussi en deux parties égales les projec*» tiens ou', 66', a:*a:'* ; mais les points milieu a'^b^x"*", sont en ligne droite, ainsi que les points extrêmes a, 6, a:*; donc il en est de même des autres extrémités alyb'ysé^y ôq c^ drcHtes. La même chose aurait lieu pour toute autre génératrice y donc la projection de la seconde courbe d'intersection sera la dk*oi(e alb\ cette couiibe B' est donc plane, et comme elle est située sur uue sphère elle ne peut être qu'un cercle. Nous voyons de plus que les droites ou' et bb' étant parallèles, les cordes ab et (iV sont égales; mais ces cordes sont des diamètres des

deux cercles B et B', donc ces cercles sont égaux, de pins leurs plans sont per« pendiculaires à un même plan qoi est parallèle aux génératrices du cylindre et qui dès lors n'est antre que le plan R.

Notts pouvons donc généraliser le théorème énoncé et de la manière snivante : ^t un cylindre entre dans une splière par un cercle , il en son par un second cercle égal au premier ^ les pkms de ces deux cercles étant perpendiculaires à un même plan mené par le centre de la sphère parallèlement aux génératrices droites du cylindre.

Si Tun des cercles est nn grand cercle de la sphère, l'autre sera aussi nn grand cercle, et Ton voit aussi que par deux petits cercles égaux situés sur une sphère on pourra faire passer un cylindre et un cône si les deux cercles ne se coupent pas cm se coupent en deux points , et qu'on ne pourra faire passer par les deux cercles qu'un seul cylindre, si les deux cercles se touchent. Si les deux cercles sont des grands cercles de la sphère on pourra toujours faire passer, par eux , deux cylindres. On peat conclure de là qu'il existe des cylindres ayant pour base unedlipse (et n'étant pas de révolution), qui peuvent être coupés par deux plans de direction opposée suivant des cercles égaux , auxquels on a donné le nom de sections sous-oontraires ou anti-parallèles ; mais il reste à démontrer que tout cylindre ayant pour base une ellipse jouit de la propriété d'avoir des sectiùm^ circulaires j c'est ce que nous démontrerons plus loin (n" 373 ter).

374 bis. Étant données une sphère S et une droite I) extérieure à cotte sur faœ , on peut mener par cette droite D deux plans 0 et 0' tangents à ta sphère S , les points de contact étant m et m; la droite mm' que nous désignerons par D, est dite potaire réciproque de la droite D en vertu de la propriété suivante.

Si par la droite D on mène une série de plans P, F, P'', etc., coupant la sphère S suivant les cercles G,G',C% etc., ces cercles seront trais deux à deux par des cAnes dont les^sommets seront sur la droite D, ; ék réciproquement si par la droite D, on mène une série de plans P|,F,,P'\, etc., conpant la sphère S suivant les cercles C, , C, , G", , etc., ces cercles seront unis deux à deux par des cônes dont les sommets seront sur la droite D.

Nous alloos démontrer l'existence de cette propriété remarquable.

Par nne droite D extérieure à une surface sphérique S on ne peut mener que deux plans 9 et O^ tangente à cette sph^ S. Pour tronver les points de conta( t on prend deux points d ei df mr\a droite D et on les r^arde comme les sommets de deox cènes A et A' tangents à la sphère S suivant les cercles G et G', lesquels 86 coupent en denx points m et m' qui sont les points de contact demandés des plans 0 et 0'.

Et comme il n'existe qne deox plans tangents 0 et 0' passant ptr la droite D , îi s'ensnit que quelle que soit la position des points d et d* sur la droite D , on

retrouvera toujours les méiues points m et m'; on peut donc énoncer ce qui suit r

V Si Con construit une série de cônes A, A', A'', etc., tangents à une sphère S suivant les cercles Cj C\ C\ etc. y ces cônes ayant leurs sommets sitttés sur une droite D extérieure à la sphère S, tous ces cercles C, G', C, etc.^ se couperont en deux points m et nï\

Unissous les points m et m' par une droite D, , si Ton prend sur cette droite D, un point arbitraire (/, et qu'on le regarde comme le sommet d'un cône A, tangent à la sphère S suivant un cercle G,, je dis que le plan P, du cercle G, passera par la droite D.

Et en effet ;

Menons par la droite D, et le point d situé sur D un plan P, , il coupera la sphère S suivant un cercle G, ayant pour pôle le point d et pour polaire la droite tnm^ ou D,.

Or si d'un point cf, de D, on mène deux tangentes au cercle G, les points de contact et le point d seront en ligne droite , en vertu de ce qui a été dit (n* 331 ).

Dès lors , on voit que le plan P, coupera tous les cercles G, , suivant des cordes qui prolongées iront s'appuyer sur la droite D.

Le plan P, passe donc par la droite D.

De plus , le point p^ , en lequel le plan P, coupe la droite D, , sera le pôle du cercle G , ^ la polaire étant la droite D.

Ainsi , il se trouve démontré :

^ Que si ayant une sphère S et une corde mm' qui prolongée sera désignée par D, ^ ton construit une série de cônes A,, A/, A/', etc.j tangents à la sphère S, suivant les cercles G,, G/, G/', et ayant leurs sommets d,, d/, d/', etc.^ situés sur ta droite D,, les plans P^, P/, P/', etc., de tous ces cercles G^,G/, G,% etc.j passeront par la droite D, intersection des deux plans 0 et & tangents à la sphère S aux points m et m'.

Et de plus, ces plans P,, P/, P/', etc., couperont la droite D, en des points p,,p/, p/', etc., qui seront les pôles des cercles G,, G/, G/', etc., par rapport à leur polaire commune D.

Et comme il a été démontré (n*" 367) que si l'on avait deux cercles (qui ne se coupent pas) G, et G/ d'une sphère S, ces deux cercles pouvaient être enveloppés par deux cônes ayant leurs sommets sur la droite D, qui unissait leurs pôles p, et p/ par rapport à la polaire D qui est l'intersection de leurs deux plans, il s'ensuit que l'on peut énoncer ce qui suit :

3"" Étant données une sphère S et une droite D extérieure à cette surface ^ si ton fait passer par D une série de plans P, P', P", etc., coupant la sphère S siàvanî les

cercles C, C, C, etc.f les pôles p, p',p", etc., de ces cercles ^ par rapport à ta polaire D, seront sur une droite D, , e£ ces cercles pourront être enveloppés deux à deux par des cônes dont les sommets seront situés sur D, .

Et comme il a été démontré ci-dessus : 1 *" que si Ton avait deux cercles G et G', se coupant en deux points m et m' et situés sur une sphère S , ces deux cercles pouvaient être enveloppés par deux cônes dont les sommets d et d' étaient extérieurs à la surface S , et que les points m et m! étaient les points -de contact des deux plans tangents 0 et 0', qui se coupaient suivant la droite D qui unissait les points d et <t; ^ que tout plan P passant par D coupe la sphère S suivant un cercle G, et la droite mm! ou D, en un point p, y qui est le pôle de G, par rapport à la polaire D , il s'ensuit que ce plan P, coupe les cercles G et G' en quatre points q et nj (f et n' qui formeront un quadrilatère inscrit au cercle G, , et dont les diagonales se croiseront au point p,.

Dès lors, en vertu de ce qui a été dit (n"" 333) sur les quadrilatères inscrits à une section conique , les pôtés opposés qq[y nn' prolongés iront se couper sur la polaire D.

On peut donc énoncer ce qui suit :

4"" Si par une droite D, coupant une sphère S en deux points m et m', on mène une série de plans P,P', P", ete., coupant la sphère S suivant les cercles G, G', G", etc.^ ces cercles pourront être unis deux à deux par des cônes dont les sommets sei'ont situés sur la droite D , intersection des deux plans 0 et & tangents à la sphère S aux points m et m\