DÉVELOPPEMENT DES SURFACES CYLINDRIQUES ET CONIQUES

372. Si nous imaginons une série de plans tangents menés à une surface réglée et développable par toutes ses génératrices droites, tous ses plans (que nous supposons successifs et infiniment voisins) se couperont deux à deux suivant

des droites , qoi ne seront autres que les diverses génératrices droites on coroo térisiiques de la sarface déveioppabie, et en nnaginant que diacaii tomne nespeotivement autour de chacune de ces droites poar venir s'appliqoer «Kcessive^ ment sur celui qui le précède ^ on voit qu'en ne coasemot de chacun de ces plans que Téiément de la sarface qui y était contena , tous les élémenis de la surface courbe se trouvent rapportés et étendus sur un même plan ; tontes les courbes tracées sur la surface développable se transformeront snr le plan du développement en d'autres courbes. On obtiendra ainsi ce que Ton nomme la transformée d'une courbe C à double courbure et tracée sur une surface dévek)^ pable. Il est à remarquer que si nous supposons une tang^ite 6 à la courbe C en un certain point, elle sera encore tangente à la transformée C, après le développe* ment effectué sur le plan tangent T mené par la tangente 9 , car Vêlement reetiligne que la tangente 6 avait de commun avec la courbe C n'a pas cessé d'être commun à la tangente 0 et à la eourbe C,. Si dans le pian tangent T^ sur lequel on effectue le développement de la surface développable, on suppose une perpendiculaire à la tangente 6 , elle est aussi perpendiculaire à la courbe C. avant et après le développement , donc la tangente n'a pas cessé d'être tangente par le mouvement des plans tangents^ et la normale entrabée dans le même mouTement ne cesse pas d'être normale.

D'après cela , il sera bien facile de rapporter sur le développement d'une sur^ face développable une courbe et sa tangente , ce qui est presque toujours la but qu'on se propose. Au lieu de construire tous les plans tangents pour les rabattre successivement, et les recoucher les uns sur les autres pour ne former qu'un seul plan, on coupe la surface proposée par une autre surface qui soit perpendiculaire à toutes ses génératrices, ou bien on cherche sur la surface une courbe dont la transformée s'obtienne immédiatement (ou en d'autres termes une courbe dont la forme de la transformée soit connue d'avance), dont la longueur ou le développement soit facile à trouver et qui soit telle que l'on connaisse facilement l'angle que fait chaque génératrice droite de la surface avec cette courbe. Ainsi, un cylindre et un cône droits à bases circulaires peuvent se développer facilement, car le premier ayant toutes ses génératrices perpendiculaires à la circonférence de sa base et parallèles entre elles, après le développement de la surface ces génératrices resteront parallèles et seront perpendiculaires à la transformée de la base , de sorte que l'on aura le développement du cylindre en prenant une droite égale en longueur à la circonférence de sa base et lui élevant (par les divers points de cette droite) des perpendfcuHaîrw»

Le cône de révolution a tous les points de la circonférence de sa base également distants du sommet , et cette circonférence coupe sous l'angle droit toutes les géoé-

ratrices éroîtea d« cèoe; il suffira donc de la développer sar une antre circonférence de onrcle décrite smsc un rayon égal à cette distance ou kV apothème du cône droit donné.

La générfftimi de l'héKce prouve que sa transformée est une ligne droite et se confond par oonaéquent avec sa tangente en chacun de ses points ; c'est même la considéralkm dont on se sert pour construire la tangente à l'hélice cylindrique , comme nous le verrons au chapitre X. On pourra donc employer l'hélice cylindrique, au lieu de la stction droite, pour développer un cylnidre, puisque l'on sait que la transformée de l'hélice est une droite ; mais il faudra alors connaître à prwri la longueur d'une gpire de cette courbe et Vangle sous lequel elle coupe tes génératrices droites du cyKndre.

Nous n'e^amiDerims ki que le développement des surfaces cylindriques et coniques génénU^^

3?&. Déffetêfpemmt if un ctftmdre. Cette question peut se déccoaposer en plusieurs autres que naos attoms' distinguer, pour rendre l'c^iération pins simple et plus facile à saisir.

1 *" Comftmwe ta wmtion érviie (f kh cifimdre. Il faut couper le cylmdre par une surface normale à toutes ses génératrices ; la courbe de section est ce qu'on nomme la secHen drtnle du cylindre; il est évident que le plan est la surface qui satisfera à la condition demandée , puisque toutes les génératrices droites d'un cylindre sont parallèles.

Première méthode. Soit A {fig. 33S) la directrice droite du cylindre et B sa base , soit H' la trace horizontale du plan de section droite , elle est perpendiculaire aux projections horizontales des génératrices droites du cylindre (n* %\ ). Nous n'avons pas besoin des projections de cette section^ il nous suffit d'en trouver le rabattement (puisque nous devons construire «ne ligne droite égale en longueur au périmètre de cette courbe êecAorn cfrotle); pour cela nous remarquons que les plans qui projettent horizontalement les génératrices rencontrent le plan P suivant des droites perpendiculaires aux génératrices correspondantes , donc pour la génératrice 6 , par exemple , rabattons son plan projetant, en le faisant tourner autour de sa trace horizontale ou 6* prise comme axe de rotation ; au moyen du point m qui se rabat en m*^, G sera rabattue ai G', l'intersection du plan projetant G et du plan P sera rabattue en la droite mV perpendiculaire sur G^ et n' sera le rabattement d'un poittt m de la seetion droîle- Pour déterminer tous les autres points, il suffit d'observer que toutes tes génératrices font le même angle avec le plan horizontal, OQ, ce qui est la mônM chose, avec leurs projections horizontales, donc dans les rabattements des divers plans {H*ojetauts , toutes ces génératrices sont parallèles et il en sera de même de leurs perpendiculaires, il suffira donc de répéter poitr

chacune les constructions faites sur G, et nous déterminerons une coorbeK% qui n'est pas le rabattement de la section droite, mais qui servira à la construire.

En effet la droite rrt'n est perpendiculaire à H% puisqu'elle est sur un plan perpendiculaire à la fois au plan P et au plan horizontal , et par conséquent à leur intersection , elle sera donc le rayon de rabattement du point n , qui se portera en n''. On déterminerait de la même manière tous les points du rabattement C de la section droite C.

Deuxième méthode. La construction se simplifierait en prenant un nouveau plan vertical de projection parallèle aux génératrices droites de la surface cylindrique, et ensuite en rabattant le plan de section droite , sur le plan horizontal ou en considérant le plan de section droite comme un nouveau plan horizontal de projection.

^ Développer lé cylindre. . Puisque toutes les génératrices sont perpendiculaires à la section droite, prenons-en la transformée rectiligne aW^ puis élevons des perpendiculaires M, a^^a!' aux extrémités de cette transformée rectiligne , elles comprendront entre elles la surface cylindre développée ; en supposant toutefois qu'on n'effectue le déroulement du cylindre qu'une seule fois.

3"" Rapporter sur le développement une courbe située sur le cylindre et dont on conr naît les projections. Les constructions précédentes nous conduisent directement à 1^ transformée delà base du cylindre; en effet, nous avons construit les rabattements de toutes les portions des génératrices comprises entre cette base et la section droite ; si donc ayant ouvert le cylindre en un point a de la section , ou suivant la génératrice droite G, qui y passe, nous prenons sur la transformée de la section droite des parties M=an'', et en assez grand nombre, ensuite que par tons les

points ainsi obtenus nous élevions les perpendiculaires a'a',ny,yV, qui nous

représenteront les génératrices G, , G , il n'y aura plus qu'à porter sur elles les

distances comprises entre la base et la section droite , dislances qui sont données en pn' , la courbe B' qui passe par les extrémités de ces droites est la transformée de la base du cylindre.

Au moyen de la transformée de la base du cylindre , on obtient facilement les transformées de toutes les autres courbes tracées sur le cylindre , et cela en portant sur les génératrices au développement et en partant des divers points de la transformée de la base des longueurs égales aux parties comprises entre cette base et la courbe dont on cherche la transformée.

4"" Enfin mener la tangente en un point de la transformée. Observons que la tan* gente au point m , doit être sur le plan tangent dont l'intersection avec le plan de section droite est une tangente à la section droite. Menons la trace du plan tangent , elle rencontre celle du plan P en t , mais la tangente à la section droite , qui est l'intersection de ces deux plans, rencontrera le plan horizontal en ce même

point i y qui ne variera pas pendant le développement ^ donc cette tangente sera donnée en &. Or , dans le développement , la tangente à une courbe lui demeure tangente , donc 0' se confondra avec aV , le point i se trouvera toujours à une distance kf de point n vers le point a, i\ faudra donc prendre nH*=nHy joindre Vp'j ce sera la tangente 0 rapportée sur la transformée.

373 bis. Nous avons indiqué deux méthodes (n*373, 1*) pour construire la section droite d'un cylindre, celle que Ton doit préférer est sans contredit la seconde qui consiste à changer de plan vertical de projection , ce qui est facile , lorsqu'il s'agit d'un cylindre donné par sa base ou trace horizontale et les projections de la droite D à laquelle ses génératrices droites sont parallèles , puisqu'il sufiSt de connaître la projection D*"^ de la droite D sur le nouveau plan vertical de projection dont la ligne de terre LT' est prise parallèle à D^.

Mais si nous avons exposé la première méthode , c'est qu'elle nous permet de montrer une application du principe dont nous avons parlé dans la première partie de ce cours (n* 456), et qui consiste, lorsqu'il s'agit d'un problème plan^ à faire passer dans l'espace une partie du système plan pour arriver souvent avec facilité à la solution du problème proposé sur ce système plan.

Laifig. 235 nous en offre un exemple remarquable.

Et en effet : soient données (fig. 235 bis) une courbe B et quatre droites A, K, L et D , telles que A soit dirigé arbitrairement par rapport à la courbe B , et que les droites A et K soient rectangulaires ou non entre elles , et que les droites L et D soient aussi rectangulaires ou non entre elles.

Gela posé :

Menons par un point b' de la courbe B une droite 6V coupant la droite A au point a' y et par ce même point b' une droite 6'ef parallèle à la droite D /puis par le point af une droite a'd' parallèle à la droite L , les droites b'df et a'cf se couperont en un point d'.

Faisant la même construction pour chacun des points 6, 6', b", etc., de la courbe B , on trouvera une suite de points dydiyd", etc. , qui détermineront une courbe B' ; on demande : la courbe B étant une section conique y quelle sera la courbe B'?

La courbe B' sera une section conique de même espèce que la courbe B , ainsi une ellipse, si B est une ellipse, une parabole si B est une parabole, etc.; et en effet :

Désignons la droite A par H% la droite D par 6^, la droite K par H'', la droite L

par I* et le point d par a:*, et la courbe B' par C* ; il est évident que la courbe C*

est la projection horizontale de la courbe C section faite dans un cylindre ayant

la courbe B pour trace horizontale et ayant ses génératrices droites projetées

horizontalement suivant des parallèles à G^ , par un plan P coupé par les plans 2* pàrtu. ià

auxiliaires X.... (parallèles eotre eux et passant par les génératrices G.... ém cylindre) suivant des droites L... parallèles entre elles et projetées sur le plan ho* rizontal en des parallèles à la droite I^.

Quelle que soit la nature géométrique de la courbe B , la courbe B' sera éb même nature , car si la courbe B a une asymptote , la courbe B^ aura une asymp-^ tote ; si la courbe B est fermée , la courbe B' sera fermée ; si la courbe B est coupée par une droite, en n points , la courbe B' sera aussi telle qu'elle sera coupée p«r une droite en n points.

De certaines propriéiés dont jouU le oflindre à hase seciion'^amque»

373 ter. Tout cylindre oblique (non de réTolation) ayant poar sectios Énoite une ellipse ou une hyperbole jouit de la propriété d'avoir un axe et le cylnére dliptique est le seul des trois cylindres obliques qui paisse éire coupé par deax plans de directions contraires suivant des cercles.

i* De Vaxe du eytindre etliptique au hyperbolique.

Concevons une droite A parall^ aux génératrices d'on cylindre ayant pour base une section conique E quelconque , faisons pass^ par la droite A une suite de plans M» M', M'^^ eta , chacun de ces plans coupera le cylindre suivant deox gêné* ratrices droites*

Ainsi , le plan M suivant les droites G et G. ,

— M' — G' et 6/,

— M" — G'' et G,%

— etc. — etc.

Si la droite A est entre les couples de droites G, G, et G", G/', etc. , et si de |Mw elle est équidistante de chacune des droites dans diaque couple, on dit ipie la droite A est Vaxe du cylindre.

Concevons la section droite d'un cylindre oblique, cette sectios sera nae ellipse E , ou une hyperbole H , ou une parabole P. Or , si Toa prend le ]^n de section droite pour plan horiaontal, la droite A sera verticale; et pour q«e la droite A soit un axe, il faudra que sa trace horizontale a soit le milieu de toales les cordes des courbes E ou H ou P passant par elle.

Or» il est évident que cela ne peut avoir liea qu'autant que le point a sera le centre de la section droite.

Ainsi, il est démontré que parmi les trois cylindres obliques, deux asale* ment, savoir : Telliptique et l'hyperbolique, peuvent avoir et ont eoeffel

qui est la droite passant par te centre de la section droite et parallèle aox géné-^ caAfîees droites dn cylindre; et il est évident que toute section faite par «tt plan quelconque à travers Tun ou f autre de ces deux cylindres, a«ra son centre sur Vaxe.

2** Sections circulaires du cylindre elliptique.

Lorsque Ton cherche si une surface peut être coupée par un plan suivant un cercle, il faut nécessairement partir de cette idée géométrique que le cercle est une tXàpse dont les deux axes sont égaux.

Comme dans un cercle tous les systèmes de diamètres conjugués sont rectan^ gttiaires entre eux , il faut alors faire passer le plan (dont Tinclinaison doit être calculée de manière à obtenir une section circulaire) par une tangente 0 à la surface et par une droite R perpendiculaire à cette tangente 6, cette droite R étant telle qu'elle puisse contenir le centre du cercle à construire.

Gela posé :

Si l'on coupe par un plan P quelconque un cylindre elliptique, on sait que la section Ë aura toujours pour centre le point o en lequel Vaxe du cylindre est coupé par le plan P.

Cela posé :

Si Ton prend un point m sur le cylindre S et si Ton construit le plan T taa-* gent en m à celte surface Xy il faudra que le plan (m, A) passant par le point m et Taxe A dn cylindre S soit perpendiculaire au plan T, pour que menant par le point m un plan P quelconque coupant le plan T suivant une tangente 0 et le plan (m, A) suivant une droite R, les deux droites R et 6 soient rectangulaires entre elles, puisque la droite R doit contenir le centre du cercle C, section faite dans la surface S par le plan P.

Il est donc évident qu'ayant construit la section droite E du cylindre elliptique, le point m devra être l'un des quatre sommets de cette ellipse £!•

Cda posé :

Désignons par a et a! les extrémités du grand axe et par b et b' les extrémités du petit axe de la section droite Ë , et construisons les quatre plans T, T^ 0, & respectivement tangents au cylindre £ en chacun des sommets a, a! y by b' de TeUipse Ë.

Ces quatre plans détermineront par leurs intersections deux à deux un prisme droit à ayant pour section droite le rectangle circonscrit à l'ellipse E et construit sur ses axes.

Pour obtenir une section circulaire il faudra couper le prisme A par un plan P dirigé de telle façon que la section soit un carré.

Or l'on ne peut couper deux plans verticaux T et © rectangulaires entre eux , suivant deux droites perpendiculaires entre elles , que par un plan perpendiculaire à Tun des plans donnés T ou 0.

Le plan P qui donnera une section circulaire dans le cylindre elliptique 2 devra donc passer par Tun des axes de la section droite E ou être parallèle à Tun de ces axes.

Cela posé :

Il est évident que pour que la section faite dans le prisme rectangulaire A soit un carré y il faut que le plan sécant soit parallèle au grand côté du rectangle base de ce prisme A.

Dès lors désignant par a le demi-grand axe et par b le demi-petit axe de Tellipse E et par a Tangle que le plan P passant par le grand axe de Tellipse E doit faire avec le plan de cette courbe E , on devra avoir :

cosa = -

Pour que le plan P coupe le prisme A suivant un carré , ou le cylindre E suivant un cercle G ayant son rayon égal à a.

373 quater. Des plans diamétraux conjugués du cylindre oblique à base section^ conique.

Il est évident qu'un cylindre étant coupé par des plans parallèles suivant des courbes identiques, ou en d'autres termes superposables , si l'on conçoit une série de cordes parallèles dans un cylindre S ayant pour section droite une ellipse ou une hyperbole ou une parabole, les milieux de toutes ces cordes seront sur un plan qui prend le nom de plan diamétral du cylindre 1 oblique et à base section-conique; et les cordes dont les milieux sont sur le plan diamétral, sont dites cordes conjuguées du plan diamétral , ou le plan diamétral est dit : plan diamétral conjugué des cordes parallèles.

A chaque plan diamétral correspond un système de cordes conjuguées, et réciproquement à chaque système de cordes parallèles correspond un plan diamétral conjugué.

Gela posé :

Goncevons, dans le cylindre S, un système de cordes parallèles, Y, Y', Y'', etc., et le plan diamétral P conjugué de ces cordes.

Traçons dans le plan P une droite quelconque D , et imaginons , dans le cylindre 2, une suite de cordes X,X',X'', etc., parallèles à D, les milieux de ces cordes seront sur un plan Q qui sera le plan diamétral conjugué de ces cordes Ay J\ , Jv , etc.

Cela posé : 1* Les deux plans P et Q se couperont suivant Taxe A du cylindre 2.

Et en effet. Nous pourrons toujours mener un plan Z parallèle aux cordes Y et X ; ce plan Z coupera le cylindre £ suivant une section conique E' dont le centre sera sur Taxe A si le cylindre £ est elliptique ou hyperbolique , et ce mén^e plan Z coupera les plans P et Q suivant deux droites Y, et X. res^ pectivement parallèles aux cordes Y, Y', Y'', etc., et X, X', X'', etc. En vertu

de ce que le plan P est diamétral par rapport aux cordes X la droite Y,

passera par le milieu de la corde X, , et en vertu de ce que le plan Q est

diamétral par rapport aux cordes Y la* droite X, passera par le milieu

de la corde Y, ; les deux cordes X, et Y, se croisent donc au centre de la courbe ellipse ou hyperbole E'; les deux plans P et Q se coupent donc suivant Taxe A.

De plus les diamètres X. et Y, sont évidemment des diamètres conjugués de la courbe E^ : donc dans le cas où E' est une ellipse , les plans tangents T et T' au cylindre £ et parallèles au plan diamétral P et les plans tangents O et ©^ au même cylindre 2 et parallèles au plan diamétral Q seront coupés par tout plan sécant Z , suivant un parallélogramme circonscrit à la section E^ donnée par ce plan Z dans le cylindre elliptique £•

Et dans le cas où la courbe E' est une hyperbole, les plans diamétraux P et Q sont coupés par tout plan Z suivant les diamètres conjugués de la section E\

Mais nous avons mené dans le plan P une droite D arbitraire; pour chaque position nouvelle D^ de la droite D , on aura un système différent de cordes parallèles Xo9 Xo^ X/, etc.; mais évidemment les milieux de toutes ces cordes parallèles au plan P , quelle que soit leur direction , seront toujours sur un seul et même plan , qui sera le plan Q.

Les plans tels que P et Q sont dits plans diamétraux conjugués. Pour un cylindre parabolique, on verra facilement que tous les plans diamétraux sont parallèles entre eux et que deux plans diamétraux ne peuvent être conjugués entre eux ; mais à chaque plan diamétral P correspondra une infinité de plans Q, Q^, Q^', etc. , parallèles entre eux et passant chacun par une des cordes parallèles entre elles et conjuguées au plan P ; en sorte que le plan P coupera les plans Q, (/, Q^, etc., suivant des droites parallèles entre elles et aux génératrices droites du cylindre parabolique £; et tout plan Z coupera : IMe cylindre £, suivant une parabole E', 2* le plan P suivant un diamètre Y, de E' et 3' les plans Q, Cy, Q'', etc., suivant des cordes de E' et conjuguées du diamètre infini Y,.

Si Ton considère la section droite du cylindre £ , on aura une ellipse ou une hyperbole , ou une parabole , et il est évident que parmi les divers systèmes des

plws diamélraaK coi^ugués P etQ, daus le cas du cylindre elliptique <m hyperbolique, ou parmi les systèmes composés d'un plan diamétral P et de plansK^ordm

QyQ'yQ^ 6tc. (les plaos PetQ, Q'^ éLmt conjugués entre eux) dans le cas

en cylindre paraboliq<ie, il «.istera toujours un système rectangulaire, qui 8era 4onDé : V par les plans diamétraux P. et Q, passant par les axes de Tellipse ou àtà rhyperbole section droite, ou 91^ par le pian diamétral P, et les plans-cordes Q^yQ[^yQ'\y ctc, passaut le plan P. par Taxe infini de la parabole section droite, et les plans-cordes Q,, Q'.vQ^, etc., par Jes coudes conjuguées de Taxe infini, Mrdes qui seront dès lors perpendiculaires à cet axe infini de la parabole sectkMt •dnûîte;

On donne au plan P. le nom da plan principal^ ainsi qu'au plan Q, , quand ee plan Q. est un plan diamétral.

Ainsi les cylindres elliptiques et hyperboliques ont deux plans diamétraux prinéfnmx^ et le cylindre parabolique n'a qu'un seul plan diamétral principaL

Mtïsi Pon peut dire que Le plan diamétral principal est celui qui coupe leetangulairemeot le système des ooréei parallèles entre elles et qui lui sont oanjttguées.

Du déuelappement d'un cône quelconque.

371. Dévelappemmt d'un cône. Nous décomposerons cette question , cenme la précédente relative au cylindre , on cinq parties.

1* Section droite. Toutes les génératrices droites d'un c6ne concourant en un même point qui est le sommet du cône, une sphère d'un rayon arbitraire, mais ayant pour centre le sommet du cône proposé résoudra la question partielle qni nous occupe. Soit s le sommet et B la hase du cône {fiy. 236); du sommet*, avec un rayon quelconque, décrivons une sphère : elle coupe le cône suivant une courbe qu'on déterminiS focileoieat. £n effet , M étant le plan méridien principal de la sphère, pour avoir le point où la génératrice droite G du cône rencontre la sphère, on suppose le plan vertical projetant horizontalement cette génératrice, et on le fait tourner autour de son intersection avec le plan M, jusqu'à ce qu'il soit devenu parallèle au plan vertical de projection, ou en d'autres termes, jusqu'à ce quil soit venu se confondre avec le plan M; ators le point m se porte en .m\ et sa projection verticale est en m\ la génératrios draîta G prend la position G' et rtencontre en »' la section méridienne principale de la sphère; dans le retour du plan (que nous venons de considérer), le point n' conservera la même hauteur au*dassus du plan horizontal de projeo*tion et sera toujours le point ds mncontre de la droite G (pendant son mouvement de rotation) avec laspbàre. Donc cette rencontpe aura lieu en. n; an itmk-

verait ainsi tous les autres points de rint«rsection G des deux surfaces conique et sphérique.

2** Trouver te développement de la seciion droite. La courbe C que nous venons de déterminer étant à double courbure, on ne peut pas en obtenir la vraie grandeur par un rabattement; dès lors* on la suppose tracée sur un cylindre vertical ayant pour base sa projection horizontale C*, et on développe ce cylindre par le procédé que nous avons indiqué ci-dessus, en observant que la base C^est alors la section droite de ce cylindre; la droite «,«/ est égale au périmètre de la courbe G* rectifiée; la transformée de la courbe à double courbure C s'obtient en prenant des perpendiculaires égales aux hauteurs itf de ses divers points n audessus du plan horizontal. La courbe G/ donne la vraie longueur de la section droite et sphérique G.

3"" Développer le cane. Tous les points de la section droite sont situés sur la surface sphérique, et par conséquent également éloignés du sommet du cône^ donc celte courbe se développera sur ua arc de cercle décrit du même rayon que la sphère et tracé en a!nW\ La nappe supérieure du cône serait donnée, au développement, par le secteur compris entre les prolongements des rayons extrêmes sW et <V lesquels comprennent le développement de la nappe inférieure du c6ne.

i"* Décrire la transformée d'une courbe quelcotique X située sur te cône. Il faut par les divers points de G', mener des rayons qui représenteront les génératrices droites du cône au développement, et prendre sur eux des longueurs égales à la partie comprise entre le sommet s du cône et chacun des points de la courbe X tracée sur ce cône, puis joindre les extrémités de ces longueurs ainsi portées par une ligne qui sera la transformée X' de la courbe X ; nous obtiendrions ta transformée de Ta base oei trace horizontale du cône donné par la construction précédente, en remarquant que pour chaque point, on a

5* Metfer la tangente à la transformée. La tangente à la traiisfcrmée au poittt m' n'est autre chose que îa position que vient prendre égt le plan du développe* ment la tangetite mp à la base, or cette tangente et la taïigente an poitit n à M courbe G sont dans un même plan tangent à la surface conique le long de la géiié^

(*) La transformée d*uDe courbe tracée sur une surface cylindrique ou conique el en générât sur une surface développable peul présenter des points d'inflexion , voyez à ce sujet dans l*ouvrage qui a pour titre : Complément de gé&métrit d^seripHv^, le «lémoire quîa poiur titre : CmstrucH&n: des points d'inflexion de la transformée d'une courbe plane ou à double courbure tracée sur une surface développable. J'ai publié pour la première fois ce mémoire dans le 22* cahier du Journal de i*Éco)e polytechBiqTie.

ratrice droite 6 , et cette tangente est l'intersection de ce plan tangent avec le plan tangent à la sphère au point n. Nous pouvons construire ce dernier plan de deux manières : l"" en considérant la sphère comme une surface de révolution ayant pour axe son diamètre vertical, menant donc (n** 252) la tangente en n' au cercle A , cherchant sa trace horizontale j/, la ramenant en p et menant H'' perpendiculaire à /n'^, ce sera la trace horizontale du plan tangent cherché. %"" Le plan tangent à la sphère est perpendiculaire à l'extrémité du rayon , qui aboutit au point de contact , nous sommes donc conduits à mener par le point n un plan perpendiculaire au rayon m (n"" 83), mais comme nous ne cherchons ici que la trace horizontale du plan tangent, nous construirons au point n une verticale du plan , puis par la trace de cette droite menant une perpendiculaire à ^n^ , on aura H". Les traces H' et H'' se coupent en un point p, et la droite pn* sera la projection horizontale T* de la tangente T à la courbe C au point ii , on en conclura T"". Gela posé, on a dans l'espace un triangle mpn rectangle en n, or le côté mn est construit sur le développement en mV, la tangente T à la courbe C vient se porter en T' tangente à C, puis la longueur de l'hypoténuse étant donnée en mpy si du point m' comme centre et avec un rayon égal à mp on décrit un arc de cercle coupant T' en p% la droite m^ sera la tangente demandée. Il faut avoir soin de prendre le point p' du côté convenable par rapport au point vf , et pour cela il suffît d'examiner si le point p se trouve du côté de la génératrice droite suivant laquelle on aurait fendu le cône ou du côté opposé*

Remarquons que le plan qui donne la section droite du cylindre est ce que devient la êphère employée dans le problème actuel , quand le sommet du cône s'éloigne à l'infini.

374 bis. Toute surface conique oblique [à base-section conique) jouit de la propriété d^ avoir un axe.

Menons par le sommet s d'un cône £ ayant pour trace sur le plan horizontal une section conique E , une droite A située dans l'intérieur de ce cône ; par cette droite A menons une série de plans M, M', M'', etc., le plan M coupera le cône suivant deux génératrices droites 6 et 6, , le plan M' suivant 6' et G'. , le plan M^ suivant Gi\Q'\ et ainsi de suite.

Si la droite A est telle qu'elle divise en deux parties égales les angles 6, 6.

et G', G', et G", G", , etc., alors cette droite A sera dite axe du cône S.

Examinons donc si une semblable droite A peut exister.

Le cône 2 peut toujours être coupé par un plan P suivant une ellipse E. Prenons ce plan P pour plan horizontal de projection , menons par le sommet s du

cône une droite D extérieure à ce cône et coupant dès lors le plan P en un point rf extérieur à Tellipse E.

Par ce point d menons (fig. 236 bis) deu?L tangentes à i' ellipse E et désignons par m et m! les points de contact.

Par la droite D faisons passer une suite de plans Q, Q', Q", etc. , les traces H^, jjQ/^ £jû7^ Q^^ ^ passeront toutes par le point d et chacune de ces traces coupera TelUpse E en deux points , ainsi :

H* coupera E en les points q et q^ H«' — q' et q\

H«'' — q" et q\

eiCa • -^— cic»

Divisons en deux parties égales les angles qsq^ , q'sq^^ , 9"V'i > ^^' > P^^ '^^ droites I , I', V, etc. , qui viendront couper respectivement les cordes qq^^ q^q'^, ql^(^\ , etc. , de l'ellipse E en les points j,/,/', etc.

Il est évident que les points m^jj^j'^ etc. , et m! seront sur un arc de courbe y.

Cela fait :

Par la génératrice droite sm du cône S faisons passer une suite de plans R, R', R", etc. , les traces H% H'*, H*", etc. , de ces plans passeront toutes par le point m et chacune d'elles coupera l'ellipse E en un second point r, r', r", etc.

Divisons les angles rsm , /«m , r^^sm , etc. , en deux parties égales par les droites L, L', L", etc. , ces droites couperont les cordes rm, r^niy r^m, etc. , dé l'ellipse E, respectivement en les points /, /', T, etc. , et tous ces points formeront évidemment une courbe fermée $ passant par le point m et tangente en m à l'ellipse E.

Or , il est évident que les deux courbes 3 et y , en vertu de leur forme et de leur construction, se couperont en deux points , dont Tun sera le point m et nous désignerons le second point par a.

Je dis que la droite sa est Caxe du cône S. Et en efTet :

Menons un plan Y perpendiculaire à la droite sa , comme cette droite sa est évidemment dans l'intérieur du cône S, ce plan Y coupera le cône suivant une ellipse B.

Maintenant : si nous menons par les droites D et sa un plan , il coupera le cône suivant deux génératrices droites G, et 6/ et la droite sa divisera en deux parties

égales l'angle G,«G/.

Si nous menons par les droites sa et sm un plan, il coupera le cône suivant deux

génératrices droites K et K' et la droite mi divisera en deux parties égales l'angle KsK'.

Cela posé :

Le plan Y coupera la droite sa en un point o et les droites G^, G', et K, K' en les points g^g^ kjk\ et Ton aura évidemment en ligne droite les points ^^^^ et o^ A, ft' et 0, et de plus, évidemment aussi on a go=:g^b et ko=k'o.

Le point o est donc le centre de Tellipse B.

Dès lors, il est démontré que la droite sa est Vexe du eôoe S, et en même temps il est démontré que tout cône à base-section conique jouit de la propriété d'avoir un axe.

Des plans diamétraux conjugués du cône oblique à baêe-section conique.

374 ter. Puisque toute surface conique à base-section conique possède un axe A, nous pouvons représenter une surface conique par sa base elliptique E et son axe A mené par le centre o de cette ellipse et perpendiculairement au plan de cette courbe que nous prendrons pour plan horizontal de projection ; le sommet s du cône sera situé sur Taxe A.

Cela posé :

Menons une droite D coupant fa nappe inférieure du cône en deux points d et d'; supposons une suite de droites D', D^'D"', etc., parallèles entre elles et à la droite D: prenons les mîLieax p des cordes interceptées par la nappe infértevre et la nappe supérieure sur chacune de ces droites parallèles; tous les points p seront sur une sur£ace A passant par le sommet s du cône.

Cela posé^ je dis que la surface à n*est autre qu'an plan.

Et en effet :

Menons une suite de plans X, X', X'', etc. , parallèle entre eux et aux cordes

D , ces plans couperont le cône respectivement suivant des sections coniques

J,y, 3", etc., qui seront semblables et semblablement placées. Toutes les cordes de 3 parallèles à D auront leur milieu sur un diamètre « conjugué de D ; toutes ks cordes de y parallèles à D auront leur milieu sur un diamètre a conjugué de D , et ainsi de suite.

Or, en vertu de la théorie de la similitude, il est évident que tous les diamètres Ut a y a" 9 etc. , sont parallèles entre eux et dans un plan P passant par le sommet s du cône.

Ainsi, te cône à base-section conique a une infinité de plans diamétraux.

Concevons un plan diamétral P et le système de cordes D.... qu'il divise en deux parties égales , on dit que les cordes D. ... et le plan P sont conjugués entre eux.

€eb posé :

fitant doiiDés un plan diamétral P et le syalème de cordes D qut lui 9<Mat

OMJQgoéa, menoas dans île plan P (qui est iatériear au cône et le coupe suivant deux génératrices droites) deux droites arbitraires , Tune B coupant la nappe iafiériewe du cône en deux points ^ et Tautre K coupant la nappe inférieure et wpé* riasve du cône et ohacune en un point.

Toutes les cordes parallèles à B auront un plan diamétral conjugué Q et qui sera intérieur au cône , et toutes les cordes parallèles à E auront un plan diamétral conjugué R et qui sera évidemment extérieur au cône.

Ces trois plans P, Q, R, sont dits plans diamétraux conjugués^ et ils se coupent deux a deux suivant trois droites X\ Y\ Z^, qui sont dites diamètres conjugués du

Trois plans diamétraox conjugués d'un cône jouissent donc de la propriété suivante;

Savoir : que les diamètres conjugués X', Y', Z\ suivant lesquels ils se coupent desx à deux ^ sont respectivement parallèles aux systèmes de cordes parallèles entre elles et divisées chacune en deux parties égales par les plans diamétraux conjugués.

Si nous faisons passer par Taxe A deux plans P et Q coupant Tellipse E suivant des diamètres conjugués de cette courbe, le plan R sera perpendiculaire à Taxe A , et par conséquent perpendiculaire aux plans P et Q ; si les plans P et Q coupent le plan de l'ellipse E suivant les axes de cette courbe, les trois plans conjugués ^t 9 Oi 9 ^i (ainsi déterminés) seront rectangulaires entre eux et ils se couperont deux à deux suivant trois droites A , X , Y, qui seront rectangulaires entre elles.

Ainsi, un cône admet une infinité de systèmes de pians diamétraux conjugués obliques et un seul système de plans diamétraux conjugués rectangulaires; ces derniers prennent le nom de plans diamétraux principaux.

Ainsi , une surface conique jouit de la propriété d'avoir trois plans diaméêraux frinoipuux.

Les droites X , Y , rectangulaires entre elles et à Taxe A jouissent évidemment de la même propriété que cet axe A , savoir : que tout plan mené par chacune d'efles coupe la surface conique suivant deux génératrices droites dont l'angle formé par les parties situées pour Tune sur la nappe inférieure et pour l'autre siir la nappe supérieure du cône est divisé en deux parties égales par cette droite X o«i Y.

Ainsi , une sucface conique à base-section conique jouit de la propriété d'avoir troM axes rectangulaires entre eux, dont l'un A est dans rintérieur du cène et 'Amt les deux antres Z et Y sont extérieurs au cône.

Il suit encore de ce qui précède que si Ton a un système -de diamètres conjugués X', Y', 2! (le diamètre Tl étant intérieur au cône) , si Ton mène par X' deux plans T et T' tangents au cône suivant des génératrices droites 6 et G', les trois droites G, G^, TI seront dans un plan diamétral P passant par Y'.

Et de même, si par la droite Y' on mène deux plans 0 et 0'" tangents aa cône suivant des génératrices droites K et K', les trois droites K,K', Tl seront dans un plan diamétral Q passant par X', et les trois plans (Z', X') ou Q , (Z', Y') ou P et (X',Y') ou R seront trois plans diamétraux conjugués du cône.

374 quaier. Les plans diamétraux principaux P, , Q, etR, d'une surface conique 2 à base section-conique, coupent chacun cette surface en deux parties symétriques; dès lors, si Ton décrit du sommet « du cône comme centre avec un rayon arbitraire une sphère S , les deux surfaces S et S se couperont suivant une courbe X , laquelle sera symétrique par rapport aux deux plans diamétraux principaux P, et Q, qui se coupent suivant l'axe intérieur A du cône 2.

Si donc on coupe la courbe X par un plan R' parallèle au plan R, , on obtiendra sur cette courbe quatre points n , w', n", ri" ^ qui seront les sommets d'un rectangle; et si l'on construit en chacun de ses points une tangente à la courbe \ , on aura les tangentes : 9 en n , 0' en n' , ^" en vl\ ^"' en ri".

Or , en vertu de ce que la courbe X est symétrique par rapport aux plans P et Q, il est évident que ces tangentes se couperont deux à deux en des points situés sur les plans P, et Q, , de telle manière que les quatre tangentes 6 , 9', 9", 9'", formeront un quadrilatère gauche.

Si par deux tangentes qui se coupent, ou, en d'autres termes, si par deux côtés adjacents du quadrilatère gauche on fait passer un plan , on aura quatre plans passant respectivement par quatre côtés du rectangle (n, n', ri\ ri") et qui seront chacun tangent en deux points à la courbe X.

Dès lors, on voit que si l'on fait rouler un plan sur la courbe X de manière à ce qu'il soit tangent à cette courbe et en deux points de cette courbe, on obtiendra pour surface enveloppe un cylindre ; et comme l'on peut faire rouler un semblable plan de deux manières différentes sur la courbe X, on pourra toujours placer cette courbe X sur deux cylindres ^ et ^j;', dont l'un aura ses génératrices parallèles à Vaxe X et dont l'autre aura ses génératrices parallèles à Vaxe Y du cône 2.

De sorte que les deux cylindres ^ et ^' sont rectangulaires entre eux.

Mais si l'on remarque que la courbe-intersection de la sphère S et du cône S se compose de deux branches X et X' : l'une X située sur la nappe inférieure, et l'autre X' située sur la nappe supérieure du cône S, on voit de suite que ces deux branches X et X' sont symétriques par rapport à chacun des trois plans diamétraux

— iSi —

principaux P, , Q, et R, , et que l'on peut faire rouler de deux manières différentes un plan tangent à Tune et à l'autre de ces branches ; en sorte que par les branches X et X' on peut faire passer trois cylindres dont les génératrices seront respectivement parallèles aux trois axes A, X, Y du cône S,

Des nœuds que peut offrir Cune des projections de la courbe-iniersection d'un cône

et d'une sphère.

375. Il arrive quelquefois que la projection verticale de l'intersection d'une surface conique par une sphère concentrique possède un nœud, sans que la courbe dans l'espace présente cette circonstance. Cela doit évidemment arriver lorsque le plan mené par le sommet du cône parallèlement au plan vertical coupe à angle droit et en deux parties égales une corde de la base du cône ; car si Ton unit les extrémités de celte corde avec le sommet du cône, on aura deux génératrices droites de la surface conique symétriquement placées par rapport à ce plan méridien , de sorte qu'elles ont même projection verticale , et elles vont dès lors couper la sphère en deux points situés aux extrémités d'une corde perpendiculaire à ce plan méridien et qui ont par conséquent même projection verticale, donc la projection verticale de l'intersection présentera pour ce point un nœud qu'il est facile d'après cela de construire directement. On conçoit que si cette symétrie se présentait plusieurs fois, la projection offrirait autant de nœuds. Enfin si la base de la surface conique est une section conique ayant un axe sur la trace de ce plan méridien, la projection verticale sera une courbe non fermée, parce que la courbe dans l'espace est divisée par ce plan en deux parties , qui ont même projection verticale.

376. En général , ayant deux surfaces S et S' qui se coupent suivant une courbe C, on peut se proposer de déterminer les nœuds des projections de celte courbe d'intersection G, si toutefois ces nœuds existent. Cherchons, par exemple, les nœuds de la projection verticale C"; pour cela, dans l'une des surfaces S,. nous mènerons une série de cordes perpendiculaires au plan vertical de projection , et nous ferons passer une surface 2 par les milieux de toutes ces cordes ; dans l'autre surface S' nous mènerons de même une série de cordes perpendiculaires au plan vertical de projection et nous ferons passer une surface 1/ par les milieux de toutes ces cordes, et la projection verticale de l'intersection des deux surfaces £ et 2' passera par les nœuds de C , s'il en existe; on trouverait de même les nœuds de C* (*).

n Voyez l'ouvrage qui a pour titre : Développements de géométrie descriptive , chap. III , p. 150.