DES SURFACES TANGENTES , APPLICATION AUX OMBRES ET A LA PERSPECTIVE

877. Deux surfaces sont dites tangentes l'une à l'autre en un point m, lorsqu'en wpoint le plan tangent à Tune des surfaces est en même temps tangent à l'autre. 9w% -surfaces seront dites tangentes l'une à l'autre le long d'tme courbe C, lorsifoi'en^acun des points de cette courbe les deux surfaces auront même plan tangent. Si donc l'on coupe les deux surfaces par un plan passant par un point de oontact , les couAes d'intersection auront en ce point même tangente. Si rtme des surfaces est réglée, on peut mener le plan sécaiït par la génératrice droite 6 passerot par le point m contact des deux surfaces données; cette génératrice 6 sera donc tangente à l'autre surface.

D'après cela, on voit que pour construire une surface conique ayant pour sommet un point donné s et qui soit tangente à une surface donnée S , la méthode générale consisterait à conduire par le point s une série de plans sécants coupant respectivement la surface S suivant des courbes B, B'... et à mener par ce point s

des tangentes à chacune de ces courbes de section B, B' et ces tangentes

seront les génératrices droites de la surface conique demandée.

Si la surface S est une sphère , on fera passer les plans sécants par le point s et par le centre de la sphère; dans ce cas, la surface donnée est de révolution , et le pcmt 8 est sur l'un des axes de rotation de cette surface, dont le cône tangent sefra de dévolution et aura même axe que la surface proposée , et il touchera la sphère teut te long d'un cercle ou parallèle (n** 248).

Plus loin nous verrons comment la méthode générale, indiquée ci-dessus, doit être modifiée suivant le mode de génération particulier de la surface S donnée.

37"8. La série des points de contact de chaque génératrice droite du cône tangent à une surface quelconque S forme (sur cette surface S) une courbe G , qm fvettd en général le nom de courbe de contact.

Mais si l'on sa^fK>se que le poînt « est «n fomt iuminevm^ il est évident que tcmte

la partie de la sarfece S comprise dans i'iaténieur de la surface conique et dtri($ée vem le sommets sera éclairée, et que Tautre partie sera, dans Foiobrey car cdle qû pourra recevoir aucun» rayon de lumière ; c'est pourquoi ^ dans ce^ cas , la couiim G prend le nom de ligne de séparation d'ombre et de lumière {n^ 481). Si la surAuce conique, qui prend le nom de cône lunùneuxj est prolongée et coupée par imh plan ou une surface quelconque S' suivant une courbe G\ il est clair qu aucum point de cette surface compris dans la courbe d'intersection G' ne peut recevair db rayons lumineux , le reste de* la surface étant éclairé ; l'existence de celte ombre provient donc de l'interposition de la surface S , et l'espace de la snrfaoe S' renfermé par la courbe G^ prend le nom d!omhre portée de ta surfttoe S mt la surface &.

Si l'on suppose que le point s soit Vœil d'un observateur regardant la surface S, chaque génératrice du cône prend le nom de ra^on visuel ^ aucun rayon vkiiBl ne pouvant parvenir à l'œil de l'observateur des divers points situés au delà de la courbe G, la surface semble pour l'observateur terminée à cette courbe, qui prend par cette raison le nom de contour apparent. Si l'on coupe la siu^face conique par une autre surface qu'on nomme tableau (laquelle est généralement un plan situé entre l'œil s et la surface S) , tous les rayons visuels viendront peindre sur le tableau l'image des divers points de la surface , de sorte que si l'on enlevait te corps lui-même y mais en conservant l'image ainsi peinte sur le tableau , l'œil de l'observateur placé en s éprouverait encore les mômes sensations; celte image a reçu le nom de perspective de la surface S.

379. Si le point s s'éloigne à l'infini, la surface conique dégénère en une surfiEK^ cylindrique tangente à la surface S le long d'une courbe G, qui prend encore les noms de courbe de contact^ ligne de séparation Nombre et de lumière, conêmr apparent^ suivant que l'on considère la question sous l'un des trois points de vue précédents, savoir : l"" point de vue purement géométrique ou 2* et 3" point dfr vite d'application aux ombres et perspective. Mais au point de vue géométrique,, si l'on prolonge la surface cylindriqne tangente et qu'on la coupe par un plaa perpendiculaire aux génératrices, l'intersection prend le nom de projection oom^ piété de ta surface S (n'' 494 ).

379 bis. U faut établir d'une manière nette et précise la différence qui existe , lorsque l'on emploie la langue graphique, entne, dire : qu'une surface est complètement définie et écrite, ou dire : qu!une surface est complètement projetée sur l'un, des plans de projection.

Pour résoudre les problèmes proposés sur une surface, il n'est point nécessaire que cette surface soit complètement projetée, mais il faut toujours qu'elle soit complètement dessinée et écrite.

Nous Tavoiis déjà dit, une surface est complètement dessinée et écrite, lor^ qu'elle est donnée par les projections de certaines lignes qui suffisent pour pouvoir déterminer les projections d'un point quelconque situé sur cette surface.

On désigne par le nom de projection complète sur un plan P d'une surface donnée S , la projection sur ce plan P de la courbe de contact de la surface S et d'un cylindre qui, ayant ses génératrices perpendiculaires au plan P, serait tangent à cette surface 1.

Les deux projections complètes d'une surface étant données sur le plan horizontal et sur le pian vertical de projection ne peuvent donc évidemment suffire pour représenter complètement la surface , pour la définir, car évidemment plusieurs surfaces différentes entre elles peuvent avoir les mêmes projec* lions complètes , puisque l'on peut sans peine concevoir plusieurs surfaces tan • gentes en même temps à deux cylindres donnés de forme et de position dans l'espace.

Aussi , la projection complète d'une surface sur l'un des plans de projection horizontale ou verticale ne peut être utile que lorsqu'il s'agira de connaître les points du plan horizontal ou du plan vertical de projection qui sont nécessairement les projections horizontales ou verticales de points appartenant à la surface donnée.

D'après ce qui vient d'être dit, on voit que la projection complète d'une surface sur l'un des plans de projection est une courbe qui renferme sur ce plan un espace tel que chacun de ses points est nécessairement la projection d'un point de la surface donnée.

Lorsque l'on veut donner une représentation complète d'un corps, on est obligé de construire la projection complète de ce corps.

Lorsque l'on cherche les intersections de plusieurs surfaces entre elles , il est utile de projeter complètement ces surfaces, parce que les projections des courbes d'intersection peuvent être plus facilement déterminées, lorsqu'elles doivent être tangentes aux courbes dites projections complètes des surfaces, ce qui arrive lorsqu'elles ont des points communs avec ces courbes ; et d'ailleurs il est évident que cela doit être, car désignons par 1 et S' deux surfaces se coupant suivant une courbe C; désignons par J et J' les courbes de contact des surfaces 1 et l' avec les cylindres tangents et projetant complètement ces surfaces sur le plan horizontal de projection , on aura les courbes C*, J*, J'*.

Si la courbe C coupe les courbes J et J', la première au point m et la seconde au point m', on aura w!' situé à la fois sur C^ et J^ et m'^ situé aussi à la fois sur e et J'\

Mais il est évident que le plan T tangent en m à la surface 2 sera perpendicu-

laire aa plan horizontal de projection , donc H^ sera une droite tangente à la fois à C* et y et au point m^ ; il en sera de même pour le point m^* commun aux courbes C* et J'\

Les points tels que m^ et m'*, en lesquels les projections horizontales des contours apparents J et J' sont tangentes à la projection C^ de la courbe G intersection des deux surfaces données , sont dits points limites de la projection C* ; on obtiendrait de la même manière les points limites de la courbe C

380. On a vu dans ce qui précède que le problème de mener un cône tangent à une surface peut être résolu sous trois points de vue différents : 1* comme problème de géométrie descriptive, c'est-à-dire sous le point de vue théorique; 2* comme problème d*ombre, il est alors lié à la détermination de Tômbre portée ; S"* comme problème de perspective y il doit alors être accompagné de la détermination de la figure tracée sur le tableau. Nous allons l'examiner sous ces trois faces y mais nous ferons tout d'abord remarquer que dans le dernier cas , la surface tangente est nécessairement une surface conique y et que dans les deux premiers, on peut supposer que la surface tangente est une surface cylindrique, ou , en d'autres termes, est un cône dont le sommet est transporté à Tinfini sur une droite donnée de direction.

Problème de géométrie théorique.

384. La méthode générale (n* 377) ne doit pas toujours être préférée, il faut se guider sur la nature particulière de la surface S. Une surface peut toujours être considérée comme engendrée par le mouvement continu d'une ligne ; cela posé, on peut distinguer trois modes principaux de ce mouvement.

1* La surface S étant engendrée par une courbe C se mouvant parallèlement à elle-même, un de ses points m parcourant une courbe gauche D sera l'enveloppe d'un cylindre mobile A ayant pour génératrices des droites successivement parallèles aux diverses tangentes de la directrice D. Cela posé , si Ton conçoit le cône t angent S demandé , ce cône étant tangent à la surface S suivant une courbe K

{à construire par points) y cette courbe K ira couper en divers points p,p' la

courbe C dans ses diverses positions; pour chaque point p d'intersection, la surface E, la surface cylindrique A et la surface conique S sont tangentes entre elles , et ont par conséquent même plan tangent ; or le plan tangent à la surface conique S doit passer par son sommet «; si donc par ce point s on mène le plan tangent à la surface cylindrique A (n* 235), la génératrice droite de contact ira couper la courbe C en un point p, qui sera par conséquent un point de la courbe K ; en répétant cette construction pour un grand nombre de positions de la courbe C ,

2* pàrtib. 24

en obtiendra autant de points p que Ton voudra de cette courbe de contact K , laquelle, avec le sommet «, déterminera complètement la surface conique domandée S.

S"" La surface £ peut être engendrée par une courbe G se mouvant parallèlement à elle-même , de manière à changer de grandeur en restant toujours semblable et semblablement placée, Tun de ses points m parcourant une courbe gaucho D. La surface S est alors l'enveloppe d'un cône mobile A, et si l'on conçoit le cône S tangent à la surface S^ la courbe de contact K.du cône S et de la surface S coupera respectivement la courbe C en chacune de ses diverses positions; désignons par p^p^ les points de rencontre de la courbe K et des diverses positions C, C de la courbe mobile et génératrice C; pour chaque

point p d'intersection, la surface S et les deux surfaces coniques A et S sont tangentes entre elles, et ont par conséquent même plan tatogent. Or, le plan tangent à la surface conique S demandée doit passer par son sommet s. Si donc par ce point 8 on mène le plan tangent à la surface conique A déterminée par deux positions successives de la courbe génératrice C (n* 225), la génératrice droite de contact ira couper la courbe C en un point p, qui sera par conséquent un point de la courbe K. En répétant cette construction pour un grand nombre de positions successives de la courbe C, on aura autant de points que l'on voudra de la courbe K, qui, avec le sommet «, fera connaître la surface conique demandées.

3* Enfin, la surface S peut être engendrée par une courbe plane C, se mouvant de manière que l'un de ses points m parcoure une courbe gauche D, et que son plan reste toujours normal à cette courbe D. Deux positions successives P et P' du plan de la courbe génératrice C se coupent suivant une droite A perpendiculaire au plan osculateur à la courbe D et au point m, en lequel le plan P coupe celte courbe directrice D; dans le mouvement infiniment petit à effectuer pour passer de la position P à la position P', la couibe C peut être considérée comme tournant autour de l'axe A et engendrant dès lors une portion infiniment petite de surface de révolution ; de sorte que dans ce cas la surface S peut être considérée conune composée d'une infinité de portions infiniment petites de surfaces de révolution $, dont les méridiennes sont toutes égales à la courbe C et dont les parallèles sont des cercles tangents aux courbes analogues à D parcourues par les divers points de la génératrice C. La surface S est alors l'enveloppe de cette surface de révolution mobile $.

Si l'on conçoit le cône tangent S demandé, la courbe de contact K de ce cône et de la surface donnée S coupera la courbe C en chacune de ses positions

C,C', C" et respectivement en les points pyp'jp" pour chaque point pla

surface S, la surface de révolution $ et la surface conique S sont tangentes,

c'est-à-dire qu'elles ont même plan tangent j mais le plan tangent à la surface conique S passe par son sommet s; si donc par le point s on mène un plan tangent à la surface der révolution $ , le point de contact sera un point de la courbe K. Mais par un point extérieur à une surface de révolution $, on peut mener une infinité de plans tangents à cette surface qui auront pour enveloppe un cône tangent à cette surface $. Il faudra donc dès lors par le point Sj comme sommet, construire un cône M tangent à la surface de révolutiou 0 ; la courbe de contact B des deux surfaces $ et M ira couper la courbe C en un point qui appartiendra à la courbe K (*).

382. Problème 1. Construire à une surface de révolution S un cône S tangent el ayant son sommet en un point donné. On donne le sommet s de la surface conique S , elle sera donc entièrement déterminée , si l'on trouve sa directrice ou sa courbe de contact K avec la surface de rcvolulion 2 ; or, par chaque point de cette courbe K passe un parallèle et un méridien de la surface de révolution ; on pourra donc déterminer cette courbe K de deux manières : 1"" en cherchant sur chaque cercle ou parallèle les points qui appartiennent à cette courbe K de contact; 2*" en faisant la même recherche pour chaque courbe méridienne de la surface de révolution £•

1* Pour employer la première méthode, dite méthode du parallèle^ nous remai*quons que la surface de révolution peut être considérée (n° 250, 6" mode) comme l'enveloppe d'un cône mobile ô ayant son sommet sur l'axe de la surface de révolution donnée S et dont les génératrices droites font avec cet axe un angle variant suivant une loi déterminée (loi qui est ordinairement écrite graphiquement au moyen de la courbe méridienne de la surface S). Si par le point s on mène un pl^n tangent k chacune de ces sXirfaces coniques d que Ton doit considérer comme des enveloppées de la surface S, les génératrices droites de contact iront couper le parai* lèle correspondant en un point de la courbe K. La méthode exposée (n** 225) pour construire ce plan tangent exige que Ton connaisse le sommet du cône ày mais on peut y suppléer comme il suit :

Soit {fig. 237) A Taxe, C la courbe méridienne de la surface de révolution donnée et A le parallèle sur lequel nous cherchons les points appartenant à la courbe de contact K. Le parallèle A coupe la méridienne G en un point m; en menant en ce point m la tangente 0 à la courbe C, on aura la génératrice droite de Y enveloppée conique particulière d à laquelle on doit mener le plan tangent ; pour cela , par le point s on fait passer un plan horizontal, qui coupe les droites A el €^ en des points o et p , et la surface conique d suivant un cercle y ayant son centre en o et pour rayon op; puis par le point s on mène de& tangentes à ce

(•) Vo^ez pour plas amples détails sur les divers modes de génération d'une surfkce , l'omirage (pi a peur titre : Déveioppeinent de géométrie descripHm , chapilce VU et dernier.

cercle ; on unit les projections horizontales des points de contact avec le point A^, qui est en même temps la projection horizontale du sommet du cône d, et Ton a les génératrices de contact des plans tangents menés par le point «, elles vont couper A* en des points a/^ et a;'* que Ton projette verticalement en a:" et a:'% et l'on a ainsi deux points x et x' de la courbe K cherchée.

V Quant à la seconde méthode dite méthode du méridien, on remarque qu'un plan méridien coupe tous les parallèles en des points tels qu'en menant en ces points des tangentes à ces parallèles , ces tangentes sont parallèles entre elles et perpendiculaires au plan méridien ; elles forment donc une surface cylindrique € qui (ayant une courbe méridienne C pour base) est tangente à la surface de révolution S et tout le long de cette méridienne G ; si donc par le point s, on mène un plan tangent à cette surface cylindrique 6, lequel plan sera perpendiculaire au plan méridien correspondant à la courbe C , la génératrice droite de contact cou* pera la méridienne C en un point de la courbe K cherchée. Ici encore on peut avantageusement modifier la méthode générale. En effet, si Ton fait tourner autour de l'axe A {fig. 238) le système formé de la surface de révolution S, du cylindre tangent 6 et du point s^ jusqu'à ce que le plan méridien M soit venu en M' parallèle au plan vertical de projection , le plan tangent T à la surface cylindrique 6 sera alors venu en T' perpendiculaire au plan vertical de projection (n^ 247), donc «'• se trouvera sur V ; de même, l'intersection 0' de ce plan T' par le plan méridien M' se projettera sur V" ; mais 0' est tangente à la courbe méridienne située dans le plan M' ; donc si du point s''' on mène une tangente 0'*' à la projection verticale de cette méridienne, le point de contact x' représentera le point X de la courbe cherchée, ce point x étant ramené en x' dans le plan méridien M', qui est parallèle au plan vertical de projection ; si donc on ramène la tangente 0' dans sa position naturelle, à savoir celle où elle passe par le point s, le point xf viendra prendre la position a;, et ce point x sera un point de la courbe K cherchée ; en répétant la même construction pour d'autres courbes méridiennes , on aura tant de points que l'on voudra de la courbe de contact K demandée. Je ferai remarquer que dans le mouvement de rotation le point s décrit un cercle B , et pour avoir la position «', il suffit de prendre sur B* l'arc s^s^''=aa\

Si l'on voulait avoir le point situé sur le plan méridien passant par a'^ il faudrait prendre «*«"* = a V, et ainsi de suite. I-,es points a, a'', elc étant les intersections du cercle B^ par des diamètres de ce cercle B^, sont aussi bien déterminés que possible , c'est pourquoi je crois la méthode que je viens d'expliquer préférable (sous le point de vue graphique) à celle que Ton donne ordinairement et qui conduit à décrire le cercle B. sur le diamètre AV et à prendre ses intersections p^ avec les traces horizontales des divers plans méridiens, le plan p étant

alors le pied d'une perpendicolaire au plan méridien M et dès lors ce point p appartient à la tangente 0.

382 bis. Les deux méthodes précédentes employées pour la solution du problème proposé : construire la courbe de contact (Tun cône et (Cane surface de révolu* tioAy donnent lieu à des remarques importantes sous le point de vue graphique.

On sait que Ton ne peut admettre en géométrie descriptive une solution comme suffisamment exacte, si elle est fondée sur la construction de la tangente en un point d'une courbe inconnue. Tandis que Ton admet très-bien toute solution fondée sur le tracé (au moyen de la règle et de I equerre) d'une tangente à une courbe inconnue (géométriquement parlant, mais donnée par son tracé)^ cette tangente étant assujettie à passer par un point fixe ou à être parallèle à une droite fixe ; parce qu'alors l'erreur commise n'existera que sur la position réelle du point de contact de la courbe et de la tangente et que le point de contact sera toujours suffisamment approché de la position géométrique qu'il devrait réellement occuper. Or dans la première méthode pour obtenir chacun des cônes enveloppés de la surface de révolution, on considère un point m sur la courbe méridienne M de la surface de révolution, on mène en m une tangente 6 à la courbe M, laquelle vient couper l'axe A de la surface de révolution en un point cf et ce point d est le sommet d'un cône tangent à la surface de révolution tout le long du parallèle A engendré par le point m.

Si la tangente 6 est menée au moyen d'une règle et à vue par rapport à la courbe M, on ne sera pas assuré de la position du point d, car le point m étant a une distance assez grande de Taxe A, la tangente 8' que l'on aura tracée pourra, n'occupant pas la position rigoureuse et géométrique 9 , quoique faisant avec elle un angle excessivement petit, couper Taxe A en un point d' distant du point d (que l'on aurait dô avoir) de plusieurs millimètres, de telle sorte que la droite d^s (qui unit le point d et le sommet s du cône dont on veut construire la courbe de contact avec la surface de révolution) coupera le plan du parallèle A en un point (/ assez éloigné du point q en lequel ce plan serait coupé par la droite ds laquelle serait la position géométrique de la droite unissant le point s et le sommet d du cône enveloppée de sa surface de révolution par rapport à la caractéristique A. Dès lors la tangente V menée du point (f au parallèle A donnera un point de contact xf très* différent du point x contact de la tangente T qui aurait dû être menée du point q.

Le point a/ pourra donc être entaché d'une grave erreur en sa position sur Vépure. On est donc conduit à prendre sur l'axe A un point d, à mener par ce point une tangente 9 à la courbe méridienne M , et Terreur commise sur la position du point de contact m ne pourra être sur t'épure que d'un demi-millimètre environ. On aura donc une incertitude sur la position du parallèle A, mais il est

évident que le point x que Ton construira sera entaché d'une erreur graphique qui ne pourra pas s'élever à plus d'un millimètre.

La première méthode devra donc être modifiée ainsi que je viens de le dire , . lorsque Ton ne saura pas construire géométriquement une tangente en un point de la courbo méridienne.

Au lieu de se donner le parallèle A pour construire approximativement la position du point {/, on se donne le point d pour construire approximativement la position du parallèle A.

Quant à la seconde solution, on voit de suite qu'elle peut être employée, soit que Ton sache construire géométriquement une tangente à la courbe méridienne , soit qu'on ne le sache pas (*).

383. Pboblème 2. Par une droite donnée mener vn plan tangent à une surface donnée. Il est évident que le problème est quelquefois impossible suivant la nature de la surface et la position de la droite par rapport à elle. Si, par exemple , la surface est développable , le plan tangent doit contenir une génératrice droite de la surface ; si donc la droite donnée, et qui sera contenue dans ce plan tangent, est parallèle à cette génératrice, ou la coupe, elle sera nécessairement tangente à la surface donnée, dans le premier cas en un point situé à Tinfini sur la génératrice de contact, ou dans le second cas en son point d'intersection avec cette génératrice; il faudra donc par la droite donnée faire passer un plan de direction arbitraire et coupant la surface donnée suivant une courbe y ; si la droite est tangente à cette courbe y en un point g , on construira la génératrice droite G de la surface passant par le point de contact 9, et le plan de cette génératrice et de la droite donnée sera le plan tangent demandé; mais si la droite donnée coupe la courbe d'intersection y le problème sera impossible.

Si la surface est gauche , on cherchera le point où elle est percée par la droite donnée , on construira la génératrice droite 6 de la surface gauche passant par ce point ; cette génératrice G et la droite donnée détermineront un plan qui sera nécessairement tangent à la surface en un certain point de cette génératrice G (n** 210); dans ce cas, le problème est toujours possible et généralement susceptible de plusieurs solutions lorsque la droite donnée rencontre la surface.

Si la surface est de révolution , le problème n'est pas toujours possible ; dans le cas où le plan tangent existe, on peut l'obtenir par les diverses méthodes suivantes :

V Par un point quelconque s de la droite donnée D, comme sommet, on con-

(*) Les réflexions précédentes s*appliquent évidemment au problème : Construire la courbe de contact d*une surface de révolution et d'un cylindre dont les génératrices sont farattèies à une droite donnée.

stniit une surface conique tangente à ia surface de révolnlion (n"" 382) ; tout plan tangent à cette surface conique sera en même temps tangent à la surface de révolution et au point où la génératrice droite de contact da cône et du plan tangent coupe la courbe de contact des deux surfaces ; le problème sera donc possible chaque fois que par la droite D on pourra mener un plan langent à la surface conique.

2' Le point s peut être choisi à l'infini sur la droite D, alors la surface conique dégénère en une surface cylindrique dont les génératrices sont parallèles à la droite donnée D ; menant donc par cette droite D un plan langent à cette surface cylindrique , on aura le plan tangent demandé.

3^* Le cylindre employé dans la seconde méthode serait déterminé, si Ton connaissait sa courbe de contact C avec la surface de révolulion ; or, cette courbe rencontre un parallèle A de la surface de révolution en un point par lequel passe une génératrice droite, qui appartient en même temps à une autre surface cyliur drique ayant pour directrice ce parallèle A et pour génératrices droites des parallèles à la droite D, et il est évident que ces deux surfaces cylindriques auront même plan tangent suivant leur génératrice commune, puisque Tune et l'autre auraient en ce point même plan tangent que la surface de révolution, ce plan étant déterminé pour Tune par la génératrice et la tangente à la courbe C , pour l'autre par la génératrice et la tangente au parallèle A ; donc les bases de ces surfaces cylindriques sont tangentes. En faisant donc passer par tous les parallèles de la surface de révolution des surfaces cylindriques ayant leurs génératrices droites parallèles à la droite donnée D , puis traçant une courbe B qui enveloppe toutes leurs bases horizontales, celte courbe B sera la base horizontale d'un cylindre tangent à la surface de révolution; dans l'cxéculion, on ne pourra construire qu'un certain nombre de cylindres enveloppées et la courbe B enveloppe de leurs bases tendra d'autant plus à se confondre avec la véritable base du cylindre tangent que l'on aura employé un plus grand nombre de parallèles; il faudra ensuite mener par la droite D un plan tangent à la surface cylindrique- ayant pour base cette courbe B et pour génératrices droites des parallèles à D; il sera facile de trouver le point de contact avec la surface de révolution , en cherchant le point où elle est rencontrée par la génératrice droite de contact , ou encore en construisant le parallèle directeur du cylindre qui est V enveloppée correspondante.

4' Enfin, Mange a résolu le problème en concevant une seconde surface de révolution engendrée par la droite D tournant autour de l'axe A de la surface de révolution proposée; cette seconde surface est gauche, de sorte que le plan cherché passant par la génératrice D , sera un plan tangent à cette surface, et par conséquent ce sera un plan tangent commun aux deux surfaces de révolution. Si l'on

cherche la courbe méridienne de celte seconde sorface, et si Ton construit une tangente commune aux deux courbes méridiennes situées dans un même plan méridien , cette tangente , en tournant autour de l*axe A , engendrera une surface conique de révolution tangente à la fois aux deux surfaces de révolution précédentes (n"* 248). Si par la droite D on peut mener un plan tangent à cette surface conique y ce sera le plan demandé; dans le cas contraire, le problème est impossible.

383 bis. Si la surface est engendrée par un cercle B de rayon constant R, dont le centre parcourt une courbe gauche G, le plan du cercle mobile étant normal en toutes ses positions à la courbe direcirice G , cette sucface prends le nom de surfacecanal^ et Ton pourra, pour la solution du problème : Mener un plan tangent par une droite D â une surface-canal, employer la méthode indiquée ci-dessus (paragraphe 3*), et en effet :

Imaginons dans l'espace un cercle B du rayon R et ayant son centre o sur une droite  et son plan P étant perpendiculaire à la droite A , concevons ensuite une droite D faisant un angle quelconque a avec la droite A.

Cela posé : concevons que le cercle B est la directrice d'un cylindre 1 dont les diverses génératrices droites G seront parallèles à la droite D, et coupons co cylindre 1 par un plan quelconque Q.

Ce plan Q coupera le cylindre oblique £ suivant une ellipse E. Or si nous traçons sur le cercle B deux diamètres M et N rectangulaires entre eux, ils seront projetés obliquement sur l'ellipse E par des plans parallèles au cylindre I en des diamètres M" et N"" qui seront conjugués entre eux. Parmi les systèmes de diamètres rectangulaires M et N du cercle B on peut choisir celui pour lequel le diamètre M est horizontal ; alors sa projection oblique M'' lui sera égale en longueur et le diamètre N étant une ligne de plus grande pente du plan P sera projeté obliquement sur le plan Q, par un plan X parallèle à la droite D, suivant une droite N" parallèle à la projection orthogonale D^ de la droite D sur ce plan Q (considérant le plan Q comme un plan horizontal de projection) et la longueur de N''

N sera égale à -; — en désignant par « l'angle que le plan P fait avec le plan Q.

COSoc

De plus, le diamètre M"* qui est parallèle au diamètre M et égal à 2R, sera didirigé perpendiculairement à la projection orthogonale A'^ de la droite A sur le plan Q.

Cela posé : on devra pour résoudre le problème énoncé, projeter orthogonalement la courbe G en G" sur le plan horizontal et G* sur le plan vertical , et encore obliquement en C sur le plan horizontal par des droites parallèles à la droite D ou par un cylindre oblique A.

Les cercles B seront projetés obliquenoent par des cylindres obliques S et pa* rallèlement à la droite D saivant des ellipses E j qui auront leurs centres sur la courbe C et dont un système de diamètres conjugués sera donné par une droite

N* parallèle à D* et égale à (« prenant des valeurs différentes , ou , en d'autres termes , variant suivant les inclinaisons des plans des cercles B sur le plan horizontal ) et par une droite M"" perpendiculaire à la projection T'^ de la tangente T à la courbe G au point o centre du cercle B considéré et cette droite M"* étant égale à 2R ou au diamètre du cercle B.

V On voit donc que pour les diverses ellipses E, E', E", etc., on aura un diamètre constant 2R , mais variable de position par rapport à la ligne de terre ( puisque les tangentes T, T', T", etc., à la courbe G se projettent nécessairement suivant des droites T*, T'*, T"*, etc., qui ne sont point parallèles entre elles), et un

2R diamètre de longueur variable (puisque l'angle a varie, les tangentes T, T',

T", etc., de la courbe C ne faisant pas un angle constant en général ^ avec le plan horizontal de projection) , mais de direction constante puisqu'il sera toujours parallèle à la droite D*.

Ayant construit une série d'ellipses E, E', E'^, etc., on les enveloppera par une courbe E, et en menant par la trace horizontale de la droite D une tangente à la courbe K on aura la trace H^ du plan 0 demandé.

2^ La construction des ellipses E, E', E'^, etc., serait longue, car ce sont des ellipses différentes entre elles, mais si la courbe C était plane et de plus horizontale, et que l'on eût, par exemple, une surface comme le tore ou surface annulaire ^ alors les constructions seraient simplifiées, car toutes les ellipses E, E', E'', etc. , auraient non-seulement leurs diamètres M"" égaux entre eux , mais encore les diamètres N"", puisque l'angle a serait constant, étant égal à un angle droit pour chaque cercle B. Mais les diamètres conjugués M"" et N"" de l'ellipse E , ne comprendraient pas entre eux le même angle que les diamètres M'^ et N'"" de l'ellipse E^ en sorte que quoique les constructions se trouvent simplifiées , la solution graphique en définitive exige toujours la construction séparée de chacune des ellipses E, E\ E^', etc. , chacune de ces ellipses étant donnée par un système de diamètres conjugués.

3* Mais si le plan Q ou plan horizontal de projection était perpendiculaire à la droite D, le plan du cercle C lieu des centres des cercles B de la surface annulaire étant oblique à ce plan Q, alors les diverses ellipseff E , E', E'', etc. , etc. , seraient données par leurs axes et non par un système de diamèto*es conjuguées.

£t en effet :

ProjetODS orthogonalement le cercle C sur le plan Q on aura O^ le centre o d'un cercle B se projettera en cf" sur le plan Q, et le diamètre horizontal M de B se projettera en une droite M* égale à 2R et normale à la courbe C*. Le diamètre N de B et perpendiculaire à M sera une ligne de plus grande pente du plan P de ce cercle B ; il fera donc avec le plan horizontal un angle a qui sera celui que le plan P fait avec le plan horizontal Q, et cet angle a variera pour chaque cercle B puisque le cercle C n'est pas horizontal ; mais ce diamètre N sera perpendiculaire à la tangente T menée au point o au cercle C , et le plan (T, N) sera perpendiculaire au plan Q, il ne sera donc autre que le plan projetant T en T'^, T* étant tangente en o* à C Par conséquent le diamètre N se projettera sur T*; or T* et M* sont perpendiculaires entre eux, ils seront donc les axes de Tellipse E ou B\

Il est évident que toutes les ellipses E, E^ E^', etc., que Ton obtiendra sur le plan Q, auront toutes leurs axes (normaux à la courbe G^) égaux entre eux ; mais leurs axes dirigés suivant les tangentes à cette courbe C* seront inégaux parce que Tangle a varie en passant d'un cercle B à son voisin B'.

Il faudrait donc tracer une suite d'ellipses sur des axes inégaux , ce qui serait assez long , puis envelopper ces ellipses par une courbe K.

4" Si le cercle C était horizontal, la droite D étant verticale, alors tous les cercles B se projetteraient sur le plan horizontal Q suivant des lignes droites normales à C*, et C* ne serait autre qu'un cercle identique à C.

Dans ce cas particulier la courbe E serait facile à tracer, car il suffirait de mener par chaque point o* de la courbe C* une normale Z à cette courbe et de porter sur Z à droite et à gauche du point o^, le rayon R du cercle B, on aurait deux points z et z' qui appartiendraient à la courbe K ; et Ton voit de suite que dans ce cas la courbe K est formée de deux branches K' et K" parallèles et équidistantes de la courbe C*, en sorte que les trois courbes K', K'', C* ont même développée.

5* Mais la courbe K peut être très-facilement construite dans tous les cas précédemment examinés, si l'on remarque que la surface engendrée par un cercle B de rayon R constant et dont le centre parcourt une courbe gauche G, son plan étant normal à cette courbe direcirice G , peut être considérée comme l'enveloppe de l'espace parcouru par une sphère de rayon constant dont le centre parcourt la courbe directrice, gauche ou à double courbure G (*).

Gar, étant donnée une sphère S du rayon R , concevons son centre en un point o

n Voyez dans Touvrage qui a pour titre: Développements de géométrie deseripttve, ce que nous avoDS dit dao8 le chapiu^ VU et dernier au sujet des surfaces des cammx.

d'une droite T ; si la sphère S passe en une position successive et infiniment voisine S^, le centre sera placé au point d qui sur la droite T sera le successif et infiniment voisin de o.

Les deux sphères S et S' se couperont suivant un grand cercle B ( dès lors du rayon R) et dont le plan sera perpendiculaire à la droite T et dont le centre sera le point o ou le point o', suivant que l'on marchera de gauche à droite sur la droite T ou de droite à gauche sur cette droite.

Cela établi :

Considérons une sphère S du rayon R ayant son centre en un point o de la directrice C , la caractéristique de la surface sera le cercle B du rayon R dont le plan sera perpendiculaire au point o à la tangente T menée en o à la courbe directrice C.

En sorte que la surface peut être considérée comme engendrée ou par son enveloppée sphérique S ou par sa caractéristique circulaire B.

Cela posé :

Si nous concevons un cylindre A tangent à la surface et dont les génératrices droites seront parallèles à la droite D, ce cylindre touchera la surface suivant une courbe S et sera coupé par le plan Q suivant la courbe K.

Si nous concevons un cylindre A, tangent à la sphère S et dont les génératrices droites soient parallèles à la droite D , ce cylindre touchera la sphère S suivant un grand cercle X dont le plan sera perpendiculaire à la droite D. Si par le cercle B on mène un cylindre A, , dont les génératrices droites soient parallèles à D , ce cylindre sera coupé par le plan Q suivant une ellipse E.

Or les deux cylindres A^ et A, se couperont suivant deux génératrices droites passant par les points x et xf en lesquels se coupent les deux cercles X et B ; la droite xxf passera par le centre o et sera perpendiculaire au plan Y mené par la tangente T en o à la courbe C et parallèlement à la droite D , puisque le cercle X est perpendiculaire à D et que le cercle B est perpendiculaire à T.

Et je dis que les deux cylindres A, et A^ se touchent parce que nous avons démontré ci-dessus que les cylindres A, et A se touchaient et qu'il est évident que les cylindres A, et A se touchent; et les points x et a;' ne peuvent être autres que ceux en lesquels les trois courbes X, B et 3 se croisent.

Par conséquent en menant par les points xet xf des droites parallèles à D, elles iront couper le plan Q en des points qui appartiendront à la courbe K.

Mais comme les points x et x' sont sur une droite I perpendiculaire au plan qui passant par T est parallèle à D , plan que nous désignerons par (T) , il s'ensuit qu'il faudra mener par la projection oblique o* du point o de la courbe C une droite P perpradiculaire à la trace horizontale (sur le plan Q) du plan (T) et

porter à droite et à gaache du point &" sur Y une longueur égale à , a étant