COS CL

l'angle que la droite I fait avec le plan Q ; et Ton obtiendra ainsi deux points appartenant l'un à la branche K' et l'autre à la branche K^' dont se compose la courbe K.

6" Si le plan Q était perpendiculaire à la droite D , alors le cercle X serait horizontal et les points x eX od seraient situés sur une horizontale I perpendiculaire à la tangente T en o à la courbe directrice G. Dès lors il suffira pour avoir les points de la courbe K , de porler à droite et à gauche du point o"" sur la normale P menée à G* en ce point o*, une longueur égale au rayon R.

On voit donc que la considération des sphères enveloppées nous a conduit à simplifier la construction de la courbe K, et de plus le cas particulier qui vient d'être résolu nous permet de conclure ce qui suit, savoir : que lorsqu'on a une

suite d'ellipses EyE'yE'', successives et infiniment voisines , dont les centres

sont situés sur une courbe G'^ et que ces ellipses sont telles que leurs axes dirigés suivant des normales à la courbe G'^ sont égaux entre eux (quel que soit le rapport qui existe entre leurs axes dirigés suivant les tangentes à la courbe G^) , ces ellipses se coupent deux à deux en des points qui sont situés sur des normales à la courbe G'^, en sorte que Venvebppe de ces ellipses est une courbe K parallèle ou équidistante de la courbe G^; en d'autres termes les courbes K et G^ sont des développantes d'une même développée.

383 ter. Si la surface est donnée par des sections horizontales, qu'on désigne sous le nom de courbes de niveau et que l'on veuille par une droite D mener un plan tangent à cette surface, il faudra toujours , par un point s de cette droite donnée , mener un cône tangent à la surface, puis mener par la droite D un plan tangent à cette surface conique ; mais pour déterminer le cône tangent il s'agit de construire sa courbe de contact avec la surface donnée. Pour cela, par le points, on fait passer une série de plans verticaux qui coupent les diverses courbes de niveau en des points et Ton unit par une courbe continue tous les points fournis par un même plan sécant, et Ton mène par le point s une tangente à cette courbe, le point de contact est un des points de la courbe cherchée. Ordinairement on se propose seulement de déterminer le point de contact ; on construit alors les courbes de contact de deux surfaces coniques (ayant leurs sommets en deux points s et s' de la droite donnée D) avec la surface donnée ; le point de contact devant se trouver à la fois sur les deux courbes sera à leur intersection. Mais dans ce cas qui donne la solution du problème de fortification , qui a pour but de trouver le plan de site et par suite le plan de défilement ^ on emploie les plans cotés (^).

n Voyez dans la première partie de ce Cours ce qui a été dit relativement aux plans cotés et nivelés.

Soient donc {fig. 239 ) la surface du terrain donnée par des sections horizontales équidistantes et D la droite par laquelle doit passer le plan de site , ce plan devant dès lors être tangent à la montagne ; pour mettre à couvert les hommes et les travaux placés derrière le parapet à élever dans la direction de la droite D, il faut par une droite IV, position que la droite D prend en s'élevant verticalement d'une certaine hauteur A , mener un plan tangent , non au terrain , mais à la surface £ que Ton obtiendrait en supposant que le terrain est relevé verticalement de la hauteur h. Le plan passant par la droite D' et tangent à la surface £ est dit plan de défilement; en sorte que les plans de site et de défilement sont parallèles entre eux.

Cela posé, pour résoudre le problème proposé, on coupe le terrain par une série de plans verticaux P passant par un point s de la droite D ; on rabat chacun des plans P autour de son intersection avec le plan de comparaison , intersection qui est parallèle à H' (nM57) (je prends ici une droite K qui lui est parallèle et ayant pour cote 4°* } , puis par les points d'intersection de H' avec les projection& des courbes de niveau, on élève des perpendiculaires jusqu'à la rencontre de K, et on porte les distances 6'6= 5" — 4" = 1 ", c'c=2", etc.. .j^g=b'' ; par le point s

de la droite D, on mène une tangente à la courbe a!bcd et on projette sur le

plan horizontal le point de contact m , et Ton trouvera ainsi tant de points que Ton voudra de la projection horizontale G" de la courbe de contact C du terrain avec une surface conique ayant son sommet au point s de la droite D , ce point s ayant pour cote 9".

Dans les applications sur le terrain , il arrive très-souvent , et presque toujours , que la courbe a!bcd. .... est assez aplatie , de sorte que la position du point de con -

tact m de la tangente menée à cette courbe a'bcd par le point Sj peut offrir

quelque incertitude ; pour obvier à cet inconvénient on décuple l'échelle des hauteurs verticales, et dès lors on construit une courbe d ayant mêmes abscisses que

la courbe oibcd mais dont les ordonnées sont dix fois plus grandes que celles

de la courbe de section afbcd le point de contact n de la tangente menée à la

courbe S par le point s aura même projection horizontale que le point m

(n* 345 sept ). Or, il est évident que les inflexions insensibles de la courbe a^bcd

deviendront d'autant plus sensibles sur la courbe d, que le rapport entre les ordonnées des courbes d et a!bcd sera plus grand.

Prenant le point s' situé sur la droite D et dont la cote est 7"" pour sommet d'une seconde surface conique , nous construirons de la même manière la courbe de contact G' de ce second cône avec le terrain , et le point d'intersection x des deux courbes de contact G et G' sera le point de contact demandé. Pour avoir la cote de ce point x, nous pouvons faire passer un plan vertical par ce point et le

Or , il est évident que les deux génératrices intersection du cône par tout plan passant par l'axe A , feront entre elles un angle plus petit que Tangle G, G' et plus

grand que Tangle K^ K^

Abaissons du centre o de Tellipse E deux perpendiculaires om et aw! sur les droites G et G% et aussi deux perpendiculaires on et 01/ sur les droites K et K'; il est évident que Ton aura om=om!^ on=^on\ et que Ton aura aussi om> on.

Décrivons du point 0 comme centre et avec le rayon om une sphère S. Cette sphère S sera coupée par le plan M et W suivant deux cercles C et G' de même rayon om.

Le cercle G sera tangent aux droites G et G' en les points m et m' , et le cercle G^ coupera la droite K en les points p et q et la droite K^ en les points f' et (/.

Gela posé :

Les plans M et M' sont des plans de symétrie par rapport au cône et à la sphère ; par conséquent la courbe i suivant laquelle le cône et la sphère se coupent sera symétrique par rapport à ces deux plans M et M^ Gette coarbe d passera par les poinls m, m', p, 7, p', q[ : elle se projettera sur le plan LT suivant deux lignes q'^^m'^y^ et ç""m'"p*". Or , je dis que ces lignes ne sont autres que des lignes droites.

Et en effet :

Goncevons la sphère S du rayon om et ayant son centre en 0 coupé par les deux plans M et M' suivant les cercles G et G' ; du point s menons dans le plan M^ les deux droites K et K^ coupant le cercle G' en les points p et q^ p^ eiq'.

Unissons les points q et p' par une droite et considérons cette droite qp^ comme la trace V" d'un plan R perpendiculaire au plan vertical LT, et coupant dès lors la sphère S suivant un cercle d projeté verticalement sur le plan UI' en la corde

Imaginons un cône S ayant le point s pour sommet et le cercle d pour directrice. Ge cône £ coupera la sphère suivant un autre cercle y qui se projettera sur le plan

/Vf

vertical L'T' en la corde p'^q

Les deux cordes q^y^ et q"'y se couperont en un point qui sera la projection verticale a?""' et a/"" des deux points xeia/ en lesquels se coupent dans l'espace les deux cercles d et y.

Or ï il est évident que les points xeta/ seront situés sur le plan M ; et il est encore évident que les droites sx et sxf qui sont des génératrices du cône £ y seront situées dans le plan M et tangentes au cercle G section de la sphère S par ce plan M.

Ges droites sx et sa/ se projetteront donc sur le plan vertical LT suivant les droites G* et G'\

Le cône S sera nécessairement coupé par le plan horizontal suivant une ellipse £' qui aura pour centre le point o, centre de la sphère S, et pour axe aa' et bVj les points a eXol ^ b eXb' étant ceux en lesquels le plan horizontal coupe les génératrices droites K , K', sx ou G , «a:' ou G' , de ce cône S,

Or , Tellipse donnée Ë a pour centre le point o et pour axes les mêmes longueurs aa! et bb'; donc les ellipses E et E^ se confondent; donc le cône S n^est antre que le cône proposé ; donc le cône proposé coupe la sphère S suivant deux cercles i et d'; donc les points a: et or' ne sont autres que les points m et m' ; donc les points fj m"', p'^' et qf"", m*', p'' sont en ligne droite.

Donc enfin, tout cône oblique à base section-conique jouit de la propriété d*étre coupé par deux séries de plans (parallèles entre eux et également inclinés à Taxe , mais en sens contraire) suivant des cercles; et de plus il est démontré que les plans des sections circulaires du cône oblique sont perpendiculaires au plan M' qui passe par le petit axe de l'ellipse E section du cône oblique par un plan perpendiculaire à Vaxe intérieur A de ce cône oblique.

385. Problème 4. Construire un angle trièdre dont on connaît les trois angles dièdres. Ayant choisi pour plan horizontal de projection le plan de Tune des faces, et un plan vertical perpendiculaire à l'une des arêtes , cette arête H* sera en même temps la trace horizontale du plan de l'une des autres faces , donc V doit faire avec LT

l'un des angles dièdres donnés y, le plan Q de la troisième face doit faire avec le

plan horizontal un angle donné ^ et avec le plan P un autre angle donné a. Pour construire le plan Q y nous prendrons une sphère de rayon arbitraire R , ayant son centre sur LT au point de rencontre des traces du plan P , elle sera coupée par le plan horizontal suivant un grand cercle G et par le plan vertical suivant un autre grand cercle C', qui rabattu se confond avec C. Prenant ensuite une surface conique S dont l'axe K soit vertical et dont la génératrice droite G fasse avec le plan

horizontal l'angle ^ , cette surface conique S étant tangente à la sphère , le plan Q devra être tangent à ce cône 22 , il sera de même tangent à une seconde surface conique 1/ y tangente à la sphère S , l'axe K^ de ce cône 1/ étant perpendiculaire

au plan P et ses génératrices droites G' faisant avec ce plan P l'angle «t ; la trace ¥• devra donc passer par les sommets s et s' des deux cônes S et S' et être perpendiculaire à R% puis H* doit être perpendiculaire à R*. Il est évident que ce problème est susceptible de plusieurs solutions que l'on obtiendrait en variant les positions des génératrices G et G' par rapport à LT. Ce problème ne diffère du précédent qu'en ce que le plan vertical de projection est remplacé par un plan P ayant une direction oblique dans l'espace.

2« PARTUb î6

Ce pnAlème a déjà été résolu (n'' 370) , maïs la solntion précédente montre CMDmeot, k mesure que Ton avaace dam la science dite : géométrie ée9crlplwe^ on fArrieal à simplifier certaines qvestioiis.

Conêirmiion <fun€ sectUm conique doimée par diverses eonditioms^

ttme de ces conéUtions étant un fo^.

385 Us. Étant donné le foyer d'une section conique , combien de conditions , droites-tangentes et points ^ peut-on se donner pour qae cette section conique soit complètement déterminée?

Puisque Ton sait que pour tout cône de révolution £ coupé par un plan P soi* vant une section conique E ^ la sphère S tangente à ce c6ne £ et au plan P , tonche ce plan P en un point / qui est le foyer de la courbe E, on voit de suite que le sommet s du cône £ sera déterminé par trois conditions et que par conséqnent on peut énoncer les problèmes suivants, dont les données sont dans un plan.

1 . Étant donnés le foyer f et trois droites D, D% D'\ construire la section conique tangente à ces trois droites.

% Étant donnés le foyer fei deux droites D et D'et un point m, construire la section conique passant par le point m et tangente aux droites D et IV .

3. Étant donnés lefoyerfei une droite D et deux points m et m', construire la section conique passant par les deux points m et m' et tangente à la droite D.

4. Étant donnés lefoyerfet trois points m^m^m", construire la section conique passant par les trois points m « m'y m".

5. Étant donnés lo foyer f et deux droites D et D^, et un point a sur la droite D , construire la section conique ayant pour tangentes les droites D et D^ et pour point de contact avec D le point a.

6. Étant donnés lefoyerfei une droite D et on point a sur D et un point m hors de Dy construire la section conique passant par le point m et tangente à la droite D au pointa.

Lorsque Ton exige que la section conique soit une parabole , alors on ne peut se donner y outre le foyer f, que deux conditions, droite-tangente ou points parce que le sommet s du cône S doit être sur un plan T mené tangentiellement à la sphère S et parallèlement au plan P de la section conique (parabole). On peut donc se proposer les problèmes suivants.

7. Étant donnés le foyer f et deux droites D et D% construire la paraMe tan* geote à ces deux droites.

8. Étant donnés le foyer /et une droite D et un point m , hors de cette droite construire la parabole passant par le point m et tangente à la droite D.

9. ÉUrat doDDég le fà^ f et deux points m rt m^ caortnàre la porafrafo {Misant ]Nur en deux points.

40. Btant donoéa le jbyrr fj une droète D et «n point a sur D, oraetroire la

parabole tangente à la droite D et au point a.

Solution des dix problèmes précédents.

Pour tous les problèmes proposés nous construirons préalablement une sphère S d'un rayon arbitraire et tangente en un point / au plan P sur lequel les données sont tracées.

Problème 4 . Par chacune des droites D^ D^ IV', nous mènerons des plans 0, Qt^ %\ tangents à la sphère S. Ces trois plans se couperont en un point s qui sera le sodk met du cône £ qui tangent à la sphère S sera coupé par le plan P, suivant la see* tion conique demandée. Le problème est toujours possible.

Problème 2. Par chacune des droites D et D' nous mènerons le plans 0 et Qf tangents à la sphère S y ces deux plans se couperont suivant une droite I ; par le point m donné et par la droite I nous ferons passer un plan qui coupera la sphère S suivant un cercle d; du point m nous mènerons deux tangentes au cercle I, lesquelles coupercmt la droite I en deux points s et s' qui seront les sommets de deux cônes S et ^ qui tangents à la sphère S s'entre-couperont suivant deux courbes planes dont Tune sera située sur le plan P et sera la section comque demandée»

Le problème aura toujours une solution , car la possibilité du problème dépend seulement de la condition de pouvoir mener du point m une tangente au cercle i p or le point m étant sur le jdan P et ce plan P étant tangent en / à la s[diôre S^ le point m sera toujours hors de la sphère S et dès lors extérieur au cercle ^.

Problème 3. Par la droite D nous mènerons un plan 0 tangent à la qphère S, pnis nous regarderons chacun des points m et wl comme le sommet de deux eônes À et A' tangents à la sphère S; ces deux cônes de révolution A et A^ s«t>nt coupée pnr le plan 0 suivant deux sections coniques 6 et S' qui ne seront jamais des paraboles puisque le plan 0 n'est pas paiallèle au plan P qui est respectivmneni tangent aux cônes A et A' snivant les génératrices droites de ces cônes >Wr et jisî7.

Ces courbes 6 et S' se couperont donc en éeum on ^otre points ou n^anront anenn point commun.

Chaque point d'intersection sera le sommet s d'mi cône £ qui tangent à la sphère S sera coupé par le plan P snivant nne section conique E (ellipse on hyperb(^) saiisftosanl à In question proposée.

Problème 4. Ou regardera chacan des points donnés m, m\ m"^ comme le som* met de trois cônes A, A', A^', tangents à la sphère S ; ces cônes considérés deux à deax , auront deux plans tangents communs , ils se couperont donc suivant deux courbes planes ou sections coniques.

Ainsi les cônes A et A' se couperont suivant les courbes <x, a

— " A' et A'' — — 6, e'

— A et A'' — — y y y'

Nous désignerons par A et A^ les plans des courbes a et a

— B et B' — 6 et e'

— K et K' — y et /

Les six courbes « , a y 6, 6', y y y combinées trois à trois s'entre-couperont en huit points qui ne seront autres que ceux en lesquels se couperont trois à trois les plans A, A', B, B', K, K', ces plans étant combinés de la manière suivante :

(A,B,K), (A',B,K), (A,B',K), (A',B',K) (A,B,KO, (A',B.KO, (A,B',KO, (A', B', KO-

Chacun des huit points pourra être considéré comme le sommet s d*un cône S qui j tangent à la sphère S, sera coupé parle plan P suivant une section conique E satisfaisant au problème qui en général parait admettre huit solutions.

Problème 5. Par chacune des droites D et D^ nous mènerons deux plans 0 et O' tangents à la sphère S ; ces deux plans se couperont suivant une droite I ; par le point a et la droite I nous mènerons un plan qui coupera la sphère S suivant un cercle i et par le point a nous mènerons une tangente 0 au cercle d^ laquelle droite 9 coupera la droite I en un point s qui sera le sommet d'un cône £ qui, tangent à la sphère S , sera coupé par le plan suivant la section conique demandée. Le problème est toujours possible.

Problème 6. Par la droite D nous mènerons un plan 0 tangent à la sphère S; nous considérerons les points a et m comme les sommets de deux cônes A et A' tangents à la sphère S ; ces deux cônes A et A' auront deux plans tangents com«muns et se couperont suivant deux courbes planes ou sections coniques a et a', et comme le plan G est tangent au cône A ayant le point a pour sommet (puisque ce point a est situé sur le plan 0) , il s'ensuit que le plan 0 touchera chacune des courbes a et a en un point, et ces deux points seront les sommets de deux cônes £ et 1/ qui tangents à la sphère S seront coupés par le plan P , chacun suivant une section conique E et E' résolvant le problème proposé.

On aurait pu résoudre le problème en considérant un cylindre ^ tangent à la sphère S suivant un grand cercle G^ les génératrices de ce cylindre ^ étant parai-

lèles à la droite J unissant les points a et m ; ce cylindre ip sera coupé par le plan 0 suivant une ellipse y.

Menant par le point a deux tangentes à la courbe y , les points de contact seront les sommets des deux cônes S et £' précédents.

Il sera facile de reconnattre sur-le-champ , dans les six problèmes précédents , si la section conique E , qui résout le problème, doit être une ellipse ^ une parabole ou une hyperbole , car il suffira de mener un plan X tangent à la sphère S et parallèle au plan P sur lequel la courbe Ë doit être tracée : si le sommet s da cône £ (qui tangent à la sphère S doit être coupé par le plan P suivant la courbe Ë de* mandée) est au-dessus du plan X y la courbe Ë sera une ellipse ; si le point s est sur le plan X , la courbe Ë sera une parabole; si le point s est entre les plans X et F, la courbe E sera une hyperbole.

D'après ce qui vient d'être dit , on voit que » pour résoudre les quatre problèmes 7*, 8*, 9* et 1 0*, où Ton se propose de construire une parabole y dont le foyer f est donné, il faudra que le sommet s du cône S, tangent à la sphère S , soit situé sur le plan X, qui tangent à la sphère S sera parallèle au plan P de la courbe cherchée.

Problème 7. Par les droites D et D' on mènera deux plans 6 et & tangents à la sphère S ; ces deux plans se couperont suivant une droite I , laquelle percera le plan X en un point s qui sera le sommet du cône S.

Problème 8. Par la droite D on mènera un plan 3 tangent à la sphère S ; les deux plans 0 et X se couperont suivant une droite L ; par la droite L et le point m on mènera un plan coupant la sphère S suivant un cercle i ; par le point m on mènera une tangente 0 au cercle 3, laquelle coupera la droite L en un point s qui sera le sommet du cône S.

Problème 9. On construira deux cônes A et A' tangents à la sphère S et ayant pour sommet respectif les points donnés m et m' ; ces deux cônes A et A' seront coupés par le plan X suivant deux paraboles 6 et 6' ; la première a son axe infini

parallèle à la droite m/, la seconde aura son axe infini parallèle à la droite m/,

car ces droites m/ et m/ sont des génératrices situées respectivement sur les cônes A et A' et parallèles au plan X et elles sont situées dans le plan P qui est tangent à la fois aux deux cônes A et A'.

Ces deux paraboles pourront se couper en deux ou quatre points ; autant il y aura de points d'intersection , autant il y aura de paraboles Ë satisfaisant à la condition d'avoir le point f pour foyer et de passer par les deux points m et m\

Problème 10. Par la droite D on mènera un plan @ tangent à la sphère S; les plans 0 et X se couperont suivant une droite L ; les deux droites L et D seront parallèles, il suffira donc de mener une droite G par le point a et le point i en

lequel le plan e touche la spbète S» et cette droîto G conpefa la droite L en on

point s qui sera le sommet du cône S.

ÀpplicaHan amx ambres.

386. La détermination de la partie éclairée et de la partie dans Tombre d'nn €M7f« donné est une conséquence immédiate de ce qui a été dît précédemment snr les surfaces tangentes entre elles par une courbe ; car si Ton suppose le corps éclairé par un point lumineux , il suffira de mener par ce point un cône tangent «t corps donné ; si le corps est terminé par des surfaces planes , celles-ci seront eUes-mômes limitées par des droites ou des courbes par lesquelles et par le point donné on fait passer des plans ou des surfaces coniques ; les parties de ces surfaces comprises dans Tintérienr d'autres portions de surfaces ne donnent aucune partie de la courbe de séparation d'ombre et de lumière. Dans le cas où le point édairant est à Tinfini , les rayons lumineux doivent tous être parallèles à une même droite donnée de direction , et le cône tangent dégénère en un cylindre dout les génératrices sont parallèles à cette même droite donnée.

La détermination de Tombre portée est encore une application directe d'un problème déjà résolu (chap. YI) » car il s'agit seulement de trouver rinterseclion du cône ou du cylindre lumineux avec la surface sur laquelle on suppose que le corps porte ombre. Nous pouvons remarquer aussi que cette ombre portée n'est autre chose qu'une projection conique ou oblique du corps, de sorte que le corps est complètement déterminé par sa projection horizontale , par exemple , et son ombre portée sur le plan horizontal (n"" 1 58 et 1 59) ^ quand d'ailleurs on connaît la position du point lumineux , ou la direction et l'inclinaison des rayons de lumière si le point lumineux est supposé à l'infini.

Nous avons indiqué (1" partie, chap. V) comment on trouve la ligne de séparation d'ombre et de lumière et l'ombre portée d'un polyèdre sur le plan hori* zontal ; nous allons donner ici quelques exemples de surfaces courbes.

387. PaoBLftME 5. Trouver Combre (Tun cône de révoluîian dont Vaxe est vertical. Soient (fij. 241) s le sommet et B la base de ce cône, R la direction des rayons lumineux et supposés parallèles, il est évident que si l'on mène au cône deux plans tangents parallèles aux rayons R (n* 228) , les génératrices de contact G et G' formeront la ligne de séparation d'ombre et de lumière ; de sorte que le secteur ^acb sera la projection horizontale de ki partie du cône qui ne peut recevoir aucun rayon de lumière ; mais en projection verticale la partie csb est cachée , de sorte que l'on ne doit marquer dans l'ombre que a Vé''. Enfin te triangle mixtiligne pacb est évidemment l'ombre portée du cône sur le pbw horizontal.

3S8. Problève 6. Trouver Cambre cTun trom-âe-loup au puits militaire. Nons considérons le trOQ prolongé jasqaau sommet du cône; soient donc A (fiy, 242) Taxe vertical , B la base et $ le sommet de la sarface coniqae , R la direction des rayons lumineux. L'ombre sera déterminée par la surface cylindrique lumineuse ayant pour base B , nous sommes donc conduits à chercher Fintersection d'une surface cylindrique avec une surface conique (n*" 352). Pour cela, par le sommet Sj nous mènerons une parallèle K aux rayons de lumière R , puis par la trace boritontale c menant une série de droites , elles seront les traces horizontales de plans auxiliaires coupant les deux surfaces suivant des génératrices droites ; mais si BOUS remarquons que la partie du cercle B située du côté du point a peut seule porter ombre , nous verrons qu'il faut prendre a pour trace horizontale de la gé^ nératrice D du cylindre lumineux, et le point o pour trace horizontale de la génératrice G de la surface conique , ces deux génératrices se coupent en un point x de la courbe cherchée et qui sera Tombre portée sur la surface conique du creux. Si Ton roulait construire en ce point la tangente à cette courbe d'intersection des surfaces conique et cylindrique , il faudrait mener des plans tangents à ces deux surfaces et leurs traces horizontales seraient des tangentes à B aux points a et b; ces tangentes ne sont pas parallèles , elles se couperont donc en un point qui sera la trace horizontale de la tangente cherchée.

Si l'on voulait avoir le point de la courbe pour lequel la tangente est horizontaie, on remarquerait qu^elle doit être donnée par Fintersection de deux plans tangents ayant leurs traces horizontales parallèles (n* 90), et par conséquent tangentes à B aux extrémités d'un même diamètre ; il faudrait donc mener le plan F tel que H'' passe par le centre du cercle B , a' et b' seront les traces horizontales des génératrices D^ et G' qui se couperont au point a/ demandé.

389. Problème 7. Trouver t ombre de ta niche. Une niche est un creux demi* cylindrique pratiqué dans un mur et recouvert par un quart de surface sphérique.

Soient pqr9 {fig. 243) la base du mur dans lequel la niche est pratiquée, B la base du cylindre de révolution , C le grand cercle horizontal et C le grand cercle vertical de la sphère, L la direction des rayons lumineux supposés parallèles, nous prenons pour plan horizontal de projection le plan de la base du cylindre et pour {rilan vertical de projection le plan du parement du mur; mais comme les projections horizontales et verticales se confondraient en partie, nous supposons qu'on ait reculé toutes les constructions relatives au plan vertical de manière que la ligne de terre LTsoit venue dans la position parallèle LT et que les points correspondants se trouvent encore sur une perpendiculaire commune aux droites LT et LT , en sorte que dans nos oonstructions toute projection horizontale devra être rapportée à la ligne de terre primitive LT et toute projection verticale à la ligne de

terre transportée LT. Cela posé , si par les points de Faréte vive ou saillante A on mène des parallèles à L , elles formeront un plan P dont la trace H^ donne un segment de cercle qui forme Fombre portée sur le plan du cercle B, et qui coupe le cylindre suivant une génératrice droite G , qui forme la ligne de séparation d*ombre et de lumière dans le cylindre creux de la niche et jusqu'au point b^ où elle rencontre le rayon lumineux R mené du point a le plus élevé de Taréte A; à partir de ce point, si Ton continue à mener des rayons lumineux par tous les points du cercle C\ ils formeront une surface cylindrique , dont Tintersection bx avec le cylindre de la niche donnera la continuation de cette ligne de séparation d'ombre et de lumière. Cette intersection s'obtiendra facilement (n* 352), en menant diverses génératrices du cylindre lumineux , et cherchant leurs intersections avec le cylindre de la niche.

Nous remarquerons que la courbe bx a pour tangente au point b la génératrice G f car en ce point b les plans tangents aux deux cylindres sont verticaux , puisqu'ils doivent passer, l'un par la génératrice verticale G et l'autre par la tangente verticale du cercle G' au point a, de sorte que G est leur intersection. A partir du pointa;, le cylindre lumineux coupe le quart de sphère; or, ce cylindre pénétrant dans la sphère par un grand cercle C ne peut en sortir que par un autre grand cercle E (n* 371), donc la projection verticale sera une ellipse. Pour la construire, remarquons que les cercles C et E^ ce dernier cercle étant l'intersection du cylindre lumineux et de la sphère , sont perpendiculaires à un même plan parallèle aux rayons lumineux , et que nous prendrons comme un nouveau plan horizontal de projection , de sorte que L'T^ doit être parallèle à L" ; la sphère se projette sur ce plan suivant un grand cercle C^'^. Le rayon lumineux R, passant par l'extrémité o du diamètre de ce cercle parallèle à L^T', se projette suivant R*', que Ton a en prenant o*'flf ' = oV et joignant o^'d*', il coupe le cercle C" en un second point e qui détermine le petit axe oe de l'ellipse E*", ol étant le grand axe , car il est le seul diamètre du cercle, donné en vraie grandeur, et par conséquent le plus grand diamètre de la courbe E".

Les courbes bx et E vont se croiser en un point x du cercle C , que l'on peut obtenir directement; en effet, ce point appartient à l'intersection du plan S du cercle C et du plan Q du cercle E ; or le plan S est perpendiculaire au plan vertical de projection et le plan Q est perpendiculaire au second plan horizontal de projection, donc leur intersection I a ses projections respectivement situées sur H'^ et sur Y' ; pour avoir sa projection horizontale sur le plan horizontal de projection primitif, nous prendrons un point m sur cette intersection I , et ayant abaissé m^'i perpendiculaire sur LT, nous prendrons im''=ii^m^j l'intersection I des deux plans passe d^ailleurs évidemment par le centre de la sphère , donc on con-

natt 1* ; le point x devant se projeter à la fois sur I* et sur C*, on connaît a:*, d'où Ton conclut x". La droite A et le cercle G se raccordant (étant tangentes l'une à l'autre) au point a , il est évident que C et 6V doivent se raccorder au point V* et de même b^'x^ et E* doivent se raccorder au point x^.

390. Réciproquement , étant donnée une niche ombrée , on peut se demander de trouver la direction des rayons lumineux. Pour cela , remarquons que la génératrice 6 fait connaître immédiatement R^, et par suite L^^ puis le point / donne Taxe ol de l'ellipse E*", auquel R*' ou L*" est perpendiculaire.

Gela posé, la projection verticale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière peut affecter six formes différentes : 1"" elle peut être composée d'une droite G* et de deux arcs de courbe b^x* et afl ayant leur convexité tournée du côté de l'ombre ; 2" elle peut être composée d'une droite G*', d'un arc de courbe A'o ayant sa convexité tournée du côté de l'ombre, et enfin d'une autre droite ol; 3* on peut avoir une droite G"*, un arc de courbe tel que b^'x" ayant sa convexité tournée vers l'ombre , et un arc d'ellipse ayant au contraire sa concavité tournée vers l'ombre; dans ces trois cas, le rayon lumineux est dirigé comme dans la figure 243 , seulement il est plus ou moins incliné sur le plan vertical de projection ; 4"" la projection verticale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière peut se composer d'une droite G* et d*un arc d'ellipse x'^l ayant sa convexité tournée vers l'ombre; 5** elle peut se réduire à nne seule droite passant par o; 6"* elle peut être formée d'une droite G*" et d'un arc d'ellipse ayant sa concavité tournée vers l'ombre ; dans ces trois cas, les points b* et x^ coïncident, l'axe ol de E*" est perpendiculaire à LT, et le rayon lumineux est parallèle au plan liorizonfal de projection. On pourrait varier la forme de la niche, et l'on parviendra par des méthodes analogues à la détermination de l'ombre portée.

391. Problème 8. Construire la ligne de séparation d^ ombre et de lumière sur la sphère. Soient o {fig. 244) le centre de la sphère, C le grand cercle parallèle au plan horizontal , C' le grand cercle parallèle au plan vertical , R la direction des rayons lumineux.

La série des rayons lumineux tangents à la sphère forme un cylindre de révolution, et la courbe de contact ]^est un grand cercle dont le plan est perpendiculaire à R ; les projections de la courbe E seront donc des ellipses ( n"" 3 1 4 ).

Cherchons d'abord E^ : les projections des diamètres de E sont des diamètres de E*, et un seul, le diamètre horizontal ab, se projette en vraie grandeur, a*6* sera donc le grand axe de E*. Pour avoir le petit axe, remarquons que si par le centre o on mène une droite A parallèle à la droite R , cette droite A sera Taxe du cylindre lumineux, et si l'on suppose que le plan projetant horizontalement A tourne autour de l'horizontale passant par le centre o , A viendra se rabattre en A' et le

s* PARTI!. 27

rayon ce , dont la projection borizonUle est le petit aie cherché, se rabat en cf^e' ; revenant ensaile de ce rabattement aux projections^ lo point e' 8e projettera en ^ ; décrivant une ellipse sur les deux demi-axes oV et oV, on aura E* ; la portion œh^ étant tracée sur la partie supérieure de la sphère , est seule vue, et ea projection horizontale on ne doit ombrer que la partie a^e*6*eV.

Nous opérerons de même pour obtenir £", c'est-à-dire que nous ferons tourner le plan projetant verticalement la droite A autour de la verticale passant par le centre o , Â viendra en A^^, le rayon 4ff dont la projection verticale est le petit axe de E*" se rabat en 6"/"^ d'où Ton condut la projection f ; d'ailleurs, le diamètre cd deB parallèle au plan vertical de projection se projette seul en vraie grandeur et donne par conséquent le grand axe c^éT de £^ ; on pourra donc tracer celte ellipse. Nous remarquerons que la partie c6d, située sur la moitié antérieure delà sphère, est seule vue , ce qui fixe la portion que Ton doit ombrer sur le plan vertical de projection.

Ajoutons en passant que si Ton demandait de mener par la droite R un plan tangent à la sphère » la chose serait facile , car ayant construit comme ci-dessus la courbe de contact E d'un cylindre tangent dont les génératrices sont parallèles à R, il n'y aurait plus qu'à mener par R un plan tangent à ce cylindre, ce qui s'effectuerait (n"" 235) en prenant l'intersection de la droite R et du plan de la courbe E ; menant par ce point deux tangentes à E, l'on obtiendrait les points de contact (^).

392. La détermination du point x dans l'ombre de la niche conduit à la solution du problème suivant : ÊUmt donnée deux diamètre$ conjugués d'une ellipse^ en trouver les axes en direction et en longueur. En effet le cylindre lumineux est coupé par le plan S suivant une ellipse dont on peut facileipent 'obtenir deux diamètres conjugués , car le plan langent au cylindre le long de la génératrice passant au point / est perpendiculaire au plan vertical , sa trace sur le plan S est donc perpendiculaire à y et par conséquent parallèle à od; elle est d'ailleurs tangente à l'ellipse au point y où le rayon lumineux R, coupe le plan S; donc oy est un demidiamètre ayant son conjugué dirigé suivant od; pour avoir la longueur de celui-ci , il suffit de faire passer par od et une parallèle aux génératrices droites du cylindre, un plan qui coupera ce cylindre suivant la génératrice R, donnant od pour la longueur du second demi-diamètre. Remarquons œsuite que a, 6, x sont des points de l'ellipse.

Cela posé, soient yy^ et d^ (fig. 246) deux diamètres conjugués d'une ellipse,

C*) Toyez , au sujet des courbes d'égales teintes réelles et apparentes, et des points et lignes briitantes , le chapitre lU de Touvrage qui a pour titre : Dévekoppemems de géométrie descriptive.

du centre o menons ab perpendiculaire sur le diamètre dd! , concevons sur ce dia* mètre un cercle vertical rabattu en G' et faisons passer la droite ab sur le plan de ce cercle 9 il suffit évidemment de mener j/i, puis de mener d'un point quelconque k les droites knetkp respectivement parallèles à yi et yo^ puis pu perpendiculaire à ddf et la droite ou sera la droite ab ramenée dans le plan du cercle , et elle le cou* pera en un point z d'où menant xb parallèle kyi^ on déterminera le point b qui appartiendra à Tellipse.

Ce point b étant obtenu , si Ton décrit un cercle du rayon ob , et que Ton trouve le point j; en lequel il coupe Tellipse, bx et ax seront deux cordes supplémentaires rectangulaires auxquelles les axes sont parallèles (n"" 31 4^ S""). Pour obtenir ce point il faut faire les constructions indiquées dans Tombre de la niche ; afin qu'on en suive mieux l'analogie nous prendrons trois cercles C\C\ Q!'' (Jig. 247), représentant les cercles G^, G', G^^'^ de la figure 243 , ces trois cercles superposés donnent le cercle G de la figure 248 dans laquelle chaque lettre marque les points portant les mêmes lettres dans la figure 247 et qui se sont superposés. U faut donc abaisser j/ perpendiculaire sur ^6, u^ener la tangente /Z, qui correspond à la projection verticale du rayon lumineux , mener les diamètres al et oc ^ d'un point quelconque j de ab abaisser jt perpendiculaire sur oc, et rencontrant oceam^ élever j/c perpen* diculaire sur a6 et prendre jk=im, enfin joindre ko qui coupe le cercle G au pointa; deoiandé ; menant alors les cordes supplémentaires oa:, te et du centre o des parallèles à ces cordes , on aura les directions des axes de l'ellipse; pour en trouver les sommets , il faudrait faire passer ces axes dans le plan du cercle G' (Jg, 246) et opérer comme on Ta fait pour déterminer le point ^ , on trouverait ainsi les points nelq d'où l'on conclurait les points ;? et r et par suite les longueurs np et qr des axes de l'ellipse (^)«

O Cet articte aurait dû être placé après ks théorèmos relatiis à deux oerdes qui Iracés sur woù sphère sont enveloppés par une surface conique.

Mais j*ai préféré le mettre après Tombre de la niche, parce que c'est en examinant de près cette épure que j*ai Ml que la recherche du point particulier x de Tombre portée , eondaisait à la solutioa da problème, Étata dmmé UHSifHèmedediamiîretomi9i§uéi dunke eUipse^ trmner (adireclimiH la grsndeur des urnes de cette courbe , et à ce sujet je ferai les réflexious suivanles»

Il faut, en géométrie descriptive, apprendre à lire Vépure qui donne la solution d'un problème particulier, de manière à en déduire tout ce qu'elle peut nous enseigner. Ainsi en analyse, lorsque Ton est parremi à ï Équation qui donne la solution d'un proMèiM, ilfiMit interpréter cette équaiioii et en tirer tous les résultats qu'elle reoiarxne et non passeuiemeni celui qui était Pobjet de la question proposée; il faut« si je puis m*exprimer ainsi, inten-oger C équation finale pour en tirer tout ce qu'elle peut apprendre. Il en est de même en géométrie descriptive , une épure peut renfermer , non-seulement la solution delà question spéciale pour laquelle elle a été construite, mais encore la solution de plusieurs autres questions, qui paraissent n avoir aucune connexité avec la première; il faut donc savoir interroger une épure et en tirer tout ce qu'elle peut apprendre. Nous en avons donné plusieurs

y^pplication à la perspective.

393. Dans toute qaestion de perspective on a deux problèmes à résoudre :

1"* Trouver le contour apparent d'un corps; il suffit pour cela de mener par Vœit ou par le point en lequel on le suppose placé , et que Ton nomme point de vue (a"" 1 59) j un cône tangent au corps proposé (n* 377) ; dans ce. cas , comme dans la théorie des ombres, si le corps est terminé par des arêtes saillantes , il faut par chaque aréte droite et par le point de vue faire passer un plan , et par chaque arête courbe faire passer une surface conique dont Vœil est le sommet, et ne conserver pour contour apparent que les lignes répondant aux plans ou aux cônes les plus extérieur.

2* Trouver la perspective d'un objet proposé ; c'est tout simplement trouver Fintersection par le tableau des rayons visuels menés du point de vue à chacun des points de Tobjet.

394. pROBLÈHE 9. Trouver la perspective d^un cône de révolution ayant son axe vertical. Nous avons donné (l" partie, chap. V) la manière de mettre un polyèdre en perspective, nous n'ajouterons ici que cette question simple, elle suffira pour indiquer les procédés graphiques que Ton doit suivre. Soient B {fig. 245) la base et s le sommet de la surface conique , LT la ligne de terre ou base du tableau , que nous supposerons transporté parallèlement à lui-même en LT; soient v le point de vue ; ou projection orthogonale de Tœil sur le tableau , d et (f les points de distance , la droite H est la trace sur le tableau d'un plan horizontal , mené par l'œil , on la nomme ligne d horizon.

Pour avoir la perspective de la base B , on lui inscrit et circonscrit des carrés ayant chacun deux côtés perpendiculaires et deux côtés parallèles à LT ; pour avoir la perspective du carré circonscrit abce , nous remarquerons que les diagonales sont inclinées à 45"" sur LT, si donc on prolonge ab ,et ce jusqu'à leur rencontre avec LT et qu'on joigne ces points a et t/ avec v , si l'on prolonge ca jusqu'à LT , qu'on projette ^ sur LT, et qu'on joigne les points 6 et c(, cette droite 6d coupera av et yv aux points of^eicF par lesquels menant les horizontales oFe^, (fb^ puis les droites à!*b^ et c'^c^, nous aurons la perspective du carré abce , les diagonales cfif et b^^ se croisent au point (f par lequel on mènera une horizontale et la droite c^v , pour avoir les perspectives des points de contact du cercle B avec les quatre côtés

fois l'exemple dans ce cours; ainsi lorsque nous avons cherché CintersectUm de deux plans donnés chacun par U7ic trace et un point , nous en avons déduit plusieui*s théorèmes relatifs aux transversales ; lorsque nous avons construit la section droite d'un cylindre, nous en avons déduit le problème qui fait le sujet du n* 373 bis,- plus loin , de Yinlersection de deux surfaces coniques , nous déduirons diverses propriétés relatives à deux sections coniques situées sur un même plan^ etc. , etc.

du carré. Si nous prolongeons les côtés du carré inscrit perpendiculaires à LT jusqu'à LT , et si nous joignons les points de rencontre au point Vf nous obtiendrons les perspectives des points d'intersection du cercle B avec les diagonales du carré. Pour avoir la perspective du sommet , il faut encore par ce sommet mener deux horizontales, Tune perpendiculaire au tableau et l'autre inclinée à 45*; leurs perspectives sont $v et odj elles se coupent au point «'• Pour avoir la perspective du contour apparent , il faudrait par Tœil mener deux plans tangents au cône (n* 225) et chercher comme ci-dessus les perspectives des traces des génératrices de contact et les joindre avec s^ (*) .