DAMS LES ARTS ET LES CONSTRUCTIONS

395. Si l'on suppose une courbe C et une tangente T à cette courbe, et que la droite T roule , sans glisser , sur la courbe G de manière à lui rester toujours tangente y un point quelconque m de T décrira une développante de la courbe G (n* 101). La construction de la développante est très-simple, car ayant fixé sur la courbe G un point o pour origine de la développante et le sens dans lequel on suppose que le développement doit s'effectuer, on mènera aux divers points de la courbe G des tangentes sur lesquelles on portera , à partir du point de contact et du côté de l'origine, des longueurs égales à l'arc de courbe {rectifiée) , compris entre ce point de contact et l'origine. La tangente à la développante n'offre aucune difficulté puis-

(*) On poarrait demander le lieu des points que doit occuper dans Tespace l'œil du spectateur pour que le cercle situé sur le plan horizontal ait pour perspective un cercle. Voyez à ce sujet, dans rouvrage qui a pour titre : Complëmeni de géométrie descriptive , le mémoire qui a pour titre : Des projections stéréoçraphiques , mémoire que j'ai publié pour la première fois dans le 26* cahier du Journal de rfScole polytechnique.

<}a'elle doit ^e perpendiculaire à la toi^nte à Ja 4A>ekppée at Aeoée parle poiat de <»>ii4aci proposé (n^'^l).

Maïs si Ton suppose que la tao^jeate X glîflse sur la OMiri>e C ea même temps f u'die roule wr oeUe courbe^ le point m eDgendrera uaa déi>el^^^uêe racœurde on rallémjfée soivaiit que T glissera dans le sens de son mouvement «or G ou en sens oMUiaiFe {*).

Deê Méêicen.

On appelle hélice toute courbe qui, tracée sur une surface dévdoppable , se transforme en une droite lorsque la surface est étendue sur un plan.

396. V Hélice que nous allons étudier est une courbe à double courbure tracée surim cylindre ^ révolution at dont la transformée est une ligne droite, on lui donne le nom di" hélice cylindrique et circulaire (**) . Il résulte de là que nommant C la base ou section droite du cylindre , et E l'hélice , si l'on développe la surface cylindrique (n" 373), et que l'on prenne sur la droite C transformée du cercle C des points également distants les uns des autres et que par chacun de ces points on élève des perpendiculaires à la droite C, ces perpendiculaires représentant au déve-. loppemeot les diverses génératrices de la surface cylindrique , elles iront couper la transformée E' de Thélice fi «n des points équidtstants entne eux et dont les ordonnées seront équidifférentes entre elles , d'où l'on conclut : que l'hélice tracée sur un cylindre de révolution est une courbe telle que ses ordonnées rapportées à une section droite G , du cylindre , sont proportionnelles aux abscisses curvilignes comptées sur G et à partir du point d'intersection des courbes G et E, point que l'on nomme Vorigine de l'hélice. On peut donc dire aussi que l'hélice tracée sur un cylindre de révolution serait engendrée par un pomt glissant le long d'une génératrice droite de la surface cylindrique pendant que cette génératrice tourne autour de Taxe et de telle mauière que le point s'^élève de quantités égales pour des angles de rotation égaux décrits , autour de Taxe du cylindre , par la généra^ trice droite.

Lorsque la génératrice droite aura fait un tour complet autour de Taxe du cylindre, elle reprendra sa première position et le point générateur se sera élevé d*une quautilé H que Ton nomme le pas de Ph&lice; la portion d'hélice comprise

O Voyez, pour les déwloppantes planes ^ cylindriques ^ coniques et tiyperboloîdiques d*un cercle, Toivmge gai a ponr titre : Théorie géométrique des engrenages^ etc. , publié ea 1842, Vcyez^ pcmr tes déveioffpanies rallongées et raccourcies ^ ie ciiapitre J*' de Taiivfage qui a |iOttr titre : Développe-^ nitfNti de géométrie deserîplive.

r*) Si kl section droite du cylindre était âne parabole , oa une ellipse « elc», on lui 40aneimt la nom d*hélice cylindrique et parabolique ^ ou cylindrique et elliptique, etc.

entre ce point rt V^ngime 8e noiane wm jfrire. Ëofin , les^ éléments rectiligpaes de rhéiiee foal tous le mièaie angle avec tes génératrices droéfes du cylindre. Désignons cet angle par x et par R le rayon du eerele C ; après le dévetopperoent , h portion de cylindre comprise entre le eerele C y une spîre de rhélic-e et la gêné* ntri» droite correspondant à Vorigb» de Thélice donsiie un triangle rectangle ayant pour base nne droite ^ale en kuignenr à SttR et pour hautenr une droite ^ale à H, Tangle an soimnet de ce triangle étant égale a ; noiâi aurons entre c» trois quantités 2irR, H el « la rdalion

ce qui montre que Thélioe est complètement déterminée quand on donne deux des trois choses a, R, H.

397.. Il résulte de ce qui précède un moyen très-simple de construire par points les projections d'une hélice.

Soient A (Jiff. 249) Taxe yertical d*un cylindre, B sa base^^ on donne le pas aa, de rhélice et son origine a; si Ton divise le cercle B en un certain nombre de parties égales à la hauteur nV, en nn même nombre de parties égales , par exemple en 8 ; que par les points de division dn cercle B , on élève des perpendiculaires à LT, et que par les points de division de aV, on mène des parallèles à LTy les droites menées par des points de division correspondants et portant dès lors les mêmes numéroê se couperont en des points qui appartiendront à E""; quant à la projection E'^, elle se confond évidanment avec le cercle B»

398. Soit proposé, de mener ta tangente 0 à rhélice E en un de ses potnl» m. La projection horizontale 0* est tangente à E* au point m* (aV2l7); elle est en même temps la trace horizontale d'un plan tangent au cylindre , et si Ton suppose que Ton fende la surface cylindrique le long de la génératrice passant par Forigine a de Thélice et qu'on la déroule sur le pian tangent en m , le point a décrira la développante D, et le point a viendra en un point k qui sera la trace do la droite transformée de Thélice y et par conséquent aussi la trace horizontale de la tangente B (n* 372) ; donc en projetant ce point b en V'y et le joignant avec m** nous aurons &. La même méthode devant donner la tangente en tout autre point de rhélioe^ nous voyons que la développante D du cercle B ayant même origine a que rhétîce E est le lieu des traces horinontales des tangentes à cette coorbe E , et par conséquent cette courbe D est la section faite par le plan horizontal dans la surftice développabie 2 , lien des tangentes i l'hélice ; nous reviendrons pins loin sur cette surface 2L

390. Qierclions mainteMmt le plan osculatenr à Phâice au point x pour lequel

le plan tangent au cylindre est parallèle au plan vertical de projection. Ce plan doit contenir la tangente au point a; et au point a/ successif et infiniment voisin du point X {a^ 198) ; or, la projection horizontale de la tangente au point x est parallèio à LT et rencontre la développante D au point c, qui sera un point de la trace horizontale du plan cherché ; la tangente au point x! successif et infiniment voisin de x rencontrera la courbe D en un point (f successif et infiniment voisin du point c, et par conséquent la trace horizontale du plan osculateur, devant passer par deux points successifs et infiniment voisins de la courbe D, lui sera tangente , elle sera donc perpendiculaire à ai'c (n* 395), et par conséquent à LT; donc le plan P sera perpendiculaire au plan vertical de projection , et par suite au plan tangent au cylindre. Si Ton cherchait le plan osculateur en un autre point m, on pourrait changer le plan vertical et prendre un nouveau plan parallèle au plan tangent au cylindre en ce point m , et Ton trouverait le même résultat que ci-dessus. Donc enfin tout plan osculateur à C hélice est normal au plan tangent mené au cylindre par le point de contact.

400. Si Ton fait glisser une droite surThélice cylindrique et circulaire E, cette droite se mouvant suivant une loi telle que chacun de ses points décrive une hélice, elle engendrera une surface, qui prend généralement le nom de surface héliçotde; cette surface est généralement gauche, mais pour certaines conditions imposées pour le mouvement de la génératrice droite , la surface sera déve. loppable; les héliçoïdes développables sont le cône hélicoïdal ^ et la surface lieu des tangentes à une hélice, surface que Ton désigne particulièrement sous le nom d' héliçotde dévetoppable; nous examinerons ces deux surfaces sans entrer dans tous les détails.

Du cône héliçaidaL

401 . Si par un point quelconque on mène une série de droites s*appuyant sur rhélice E , on formera un cône hélicoïdal , mais nous supposerons ici le sonmoet s {fig. 249) pris sur Taxe A. La trace horizontale de cette surface conique est une spirale hyperbolique ; en efiet par le point s menons un plan horizontal N venant couper rhélice en un point e que nous prendrons pour origine ^ et considérons les génératrices du cône passant par deux points quelconques m et a; de Fhélice E , leurs traces horizontales seront en p et 9, pour lesquels les rayons vecteurs sont op=fetoq=p'; désignons les angles mesurés par les arcs e^m^ par o et ef'af' par ù/i supposons que Ton fasse tourner les génératrices sp et sq autour de Taxe A pour les rendre parallèles au plan vertical de projection , les triangles «•©V'' ^^ *''»»"'*"^ sont semblables, ainsi que «"oV^ et «V*'% on a donc oV : oV ::»''*"':: fc'W* et oV : oV : : s^ld^ik'^x^^ d'où p:p' : : H/V : ifc'W; mais d'après la génération de

rhélice (n» 395) on a ^V:&'W :: e'^i^le^m*, donc p:p';;« : w d*oùp»=pV, c'esUà-dire que la base ou trace horizontale C du cône hélicoïdal est une courbe telle que pour chacun de ses points le produit du rayon vecteur p et de Tangle o) est constant , ce qui est le caractère de la spirale hyperbolique.

402. La tangente en un point p de cette spirale hyperbolique est la trace horizontale du plan tangent au cône hélicoïdal mené le long de la génératrice G; or y ce plan contient la tangente 0 menée au point ma Thélice directrice , et la trace horizontale de 0 est en b sur la développante D (n"" 398), donc bp sera la tangente demandée.

Si Ton veut avoir Tasymptote de la spirale hyperbolique C , nous remarquerons que la génératrice droite du cône hélicoïdal au lieu d*étre menée au point m de rhélice E doit passer par le point e de cette hélice E , car elle doit être horizontale ; il faudra donc mener à la courbe E^ la tangente «^r, et par le point r, où elle rencontre la développante D , mener une parallèle à «V ou une perpendiculaire à ^r, ou enfin une tangente à la courbe D (n** 395), et ce sera Tasymptote demandée.

403. Remarquons qu'en considérant toutes les génératrices droites du cône hélicoïdal , qui s'appuyant sur Thélice cylindrique et circulaire E passent par des points de cette hélice située au-dessous du point e , on voit qu'elles coupent le plan horizontal en des points qui s'approchent indéfiniment du point o sans jamais l'atteindre, et qu'il en est de même pour les génératrices rencontrant l'hélice E au-dessus du point e. Cette seconde nappe de la Burface conique hélicoïdale donnerait une seconde courbe identique à la courbe G mais placée dans une position symétrique; cette seconde branche de la spirale hyperbolique coupe l'hélice E en un point qu'on peut se proposer de déterminer; or, il est évident que si l'on fait tourner la génératrice passant par ce point pour la rendre parallèle au plan vertical , elle prendra la position «V, et le point où elle rencontre E sera venu se porter en y% nous le ramènerons en y; puis remarquant que ce point, situé au-dessus du plan N, est sur la partie antérieure du cylindre (donc audessous du point s) on voit que la génératrice du cône passe derrière le plan méridien parallèle au plan vertical de projection et que le point cherché est en a' à l'autre extrémité du diamètre mené au point t/". Le point o est dit : point asymptote de la spirale hyperbolique (^).

De la surface dite héliçaide développable.

404. La surface lieu des tangentes à l'hélice E est dite héliçtnde développable

{*) Voyez, dans Touvrago qui a pour titre : Dévetappemenls de géométrie descriptive, le chapitre II, où j*ai exposé en détail les propriétés des trois spirales, d'Â^rchimède , hyperbolique et logarithmique.

2* PAITIB. tt

et elle est coupée par te plan horizontaf de projection sarvant une déyeloppante D du cercle B' base du cylindre (n* 3f98), cette courbe apnt pour origine le poini «/ en lequel ce pfau coupe Hiélice. Mais si nous rapportions îa figure à un autre plan horizonlal de projection parallèle à l'ancien, il est évident qne la même proposition serait encore vraie, donc tons les plans perpenditultnrest à ftaxe dm cylindre coupent Vhéllçoide dévetappable stavani des développâmes du cercle qm est la base du cylindre sur lequel est tracée t hélice^ arête de rebroussemeni de la surface.

Il résuUe de là que si l'on fait mouvoir la développante D, de manière qne un plan reste perpendiculaire à Taxe A, et que son origine a parcoure rhéliee B, elle engendrera l'héliçoïde développable qui aurait été primitivement engendrée par la tangente 0 se mouvant de manière à rester toujours tangente à Vbâiee S.

405. Dans ce mouvement de la développante D on de la tangente 0, il est évi» dent que tous les points s'élèvent en même temps de quantités égales, et décriTent aussi en même temps autour de l'axe A des angles égaux , donc un point a parcourant «ne hélice E, tous les autres points de l'espace liés à ce point a et d'une manière invariable se mouvront sur des hélices concentriques et de même pas que l'hélice E ; donc Vhélïçoide développable est coupé par des cylindres de révolution y ayant même axe que celui sur lequel est tracée lliélice arête de rebroussemeni y stAvani des hélices de même pas que cette dernière. Mais la génératrice 0 ne serait tangente

à aucune de ces hélices ^ car R ayant augmenté, pour que la relation ~— = tang a

soit encore satisfaite, il faut augmenter aussi la valeur de «. Si donc on considérait une de ces hélices comme directrice de la surface , 0 serait assujettie à se mouvoir sur cette hélice de manière à conserver la même inclinaison a avec les génératrices du cylindre , et à rester constamment tangente à un cylindre de rayon moindre, de sorte que H et a étant connus, pour que l'héliçoïde fût développable, il faudrait déterminer R (rayon du cylindre auquel 0 reste tang^te) par la relation

27tR = Htanga,

et si les trois quantités H, a, R, sont données, on reconnaîtra que l'héliçoïde est développable on gauche suivant que ces trois quantités satisferont ou ne satisferont pas à Téquation précédente.

Toutefois nous remarquerons que dans le cas de l'héliçoïde gauche les sections cylindriques sont encore des hélices, ce que Ton reconnaîtra facilement; mais les sections faites par des plans perpendiculaires à l'axe ne sont plus des développantes. En effet , si H et R étant invariables , la valeur de a est plus grande que celle qui satisfait à l'équation de condition ^ la génératrice passe au-dessus de la tangente à l'hélice , et les points de la courbe de section sont en dehors de la dév©-

ioppaute^ cette courbe est alois une dévelappmie r allongée; û au cou traire la valeur de a est plus petite que celle qui satisfait à réquatiou de conditioa , la igéoératiioe paa&e au-dessous de la tangente à Thélice, et les points de la courbe de section sont çn dedans de la développante, cette courbe est alors une développante raccourcie.

Je ne m'étendrai pas davantage ici sur les propriétés relatives à certaines surfaces gauches , les propriétés dont jouissent en général les surfaces gauches ne |>euveat être données complètement que dans un chapitre spécial^ et qui sera Je chapitre XL C'est dans ce chapitre XI que nous étudierons les conoades^ la surface du bims-passé et les surfaces héliçoïdes gauches qui terminent et forment les £let8 des ms (carrée et trianjgulaire) ; Ten^oi de ces diverses surfaces gauches £8t fréquent dans les arts et les constructions.

406. Le plan tangent à Théliçoïde développable contient deux tangentes succeck .ai ves et infiniment voisines de Thélice Ë qui est l'arête de rebroussement de la surfacef il est donc osculateur à oeUte courbe , et par conséquent il est normal k la surface cylindrique sur laquelle elle est située (ji° 399). Ce plan coupe le cylindre suivant une ellipse F (n'' 287) , dont le petit axe est horizontal et passe au point de coutact^ mais les Arois points successifs jo, W^ m" de E étant sur le plan sécant appartiennent aussi à l'ellipse F , les courbes £ et F sont donc osculatrices au point m (n"" 1 97) , elles ODt doue au poînt m même cercle osculateur ; or ^ quelle que soit la position du point m le plan sécant sera toujours également incliné sur l'axe du cylindre , donc toutes les ellipses F. seront égales et elles auront pour demi-petit axe le rayon B et pour denû*

-grand axe ^ mais le rayon p du cercle osculateur à Tellipse F construit à Tex-

trémité du petit axe est égal au carré du demi-grand axe divisé par le demi-petit axe (*), on aura donc pour la valeur du rayon du cercle osculateur a l'héUce cylindrique et circulaire et len un point quelconque de cette hélice

^ COS*a

De là on peut conclure qu'en développant (ou étendant sur un plan) mie surface héliçeâide eft développable S , son arête de rebroussement se transformera en fin cercle du rayon p auquel les génératrices droites de la surface £ de\'îenéront tontes tangentes au développement. Les diverses autres hélices de te surface 2 , venant couper toutes les génératrices éroites de celte surface I en des points également

(♦) Voyez, dans l'ouvrage qui a pour titre: Complément de géométrie: descriptive, le mémoire qui

.a .pour litre : Construction du cercle o^OALateur en un point d'une jtection conique , mémoire que j'ai

publié pour la^premièceiûis dans le Journal de malbémaliques juires etiu^àU^uées, ^JiL JUlou ville.

distants des points de contact correspondants , auront toutes pour transformées des cercles concentriques.

407. J'ai employé la surface héliçoïde développable, ayant une hélice cylindrique et circulaire pour arête de rebroussement , pour former les dents de l'une des roues de Tengrenage destiné à transmettre le mouvement de rotation uniforme entre deux axes non situés dans un même plan (*).

Concevons la plus courte distance D des deux axes A et A' non situés dans un même plan {fig. 250), prenons sur la droite D un point m; considérons om et o'm comme les rayons de deux cylindres de révolution ayant respectivement pour axes A et A' , ces deux cylindres seront tangents au point m; considérant le plan du cercle C perpendiculaire à Taxe A comme un plan horizontal de projection , H' sera la trace du plan tangent commun à ces deux cylindres dont 6 et K seront respectivement les génératrices droites de contact. Dans le plan P, menons une droite 0 perpendiculaire au plan horizontal de projection , puis faisons rouler ce plan P sur le cylindre ayant A' pour axe ; la droite 0 , faisant toujours le même angle avec les génératrices E de ce cylindre (A') , restera tangente à une hélice E et formera un héliçoïde développable S. Faisons de même rouler le plan P sur le cylindre (A) ayant la droite A pour axe, la droite & restera toujours tangente à 6 et engendrera une surface cylindrique S ayant pour section droite la développante D dn cercle C décrite par le point z , trace horizontale de la droite 0.

Cela posé, le plan tangent T à ce cylindre S contiendra la génératrice 0 et la tangente H* à la développante D , et ces deux droites seront perpendiculaires à H' ; oe plan T sera donc perpendiculaire au plan P, ou normal au cylindre (A^ ; ce plan T sera donc tangent à Théliçoïde 2; les deux surfaces S et S sont donc tangentes le long de leur génératrice commune 0.

Si Ton imprime un mouvement de rotation au cylindre (A') autour de son axe A' de manière que la génératrice droite K^ vienne en K , le point y de Thélice E viendra eu y et la tangente en y k Thélice E viendra prendre une position verticale , car alors elle sera dans le plan P et parallèle à 0 et elle rencontrera dès lors H' en z'; la développante D aura été entraînée et sera venue en D% de sorte que les surfaces S et S auront pris de nouvelles positions S' et S^ ayant encore une génératrice commune 0' , et Ton démontrerait comme ci-dessus que ces deux surfaces sont tangentes Tune à Tautre le long de cette génératrice commune 0^.

Les deux surfaces £ et S étant employées pour les surfaces des dents de deux roues dentées ou roues d'engrenage , ces roues se conduiront uniformément et Ton

(*) Voyez Pouvrage qui a pour titre : Théorie géométrique des engrenages destinés à transmettre le mouvement de rotatim uniforme^ entre deux axes situés ùu non dans un même plan (iStôJ*

pourra ainsi transmettre à Taxe A un mouvement de rotation imprimé directement à Taxe A'.

Des cyclcides et des épicycUndes.

408. Si un cercle C roule, sans glisser, sur une droite D, un point quelconque du plan de ce cercle décrit une courbe, qu'on désigne en général sous le nom de cycloïde. Si le point générateur est sur la circonférence du cercle, on obtient la cycloïde parfaite , que Ton nomme simplement cycUnde; si le point générateur esl hors du cercle on obtient une cycloïde rallongée ; si le point générateur est dans lè cercle la cycloïde est raccourcie. Si le cercle se ment en restant toujours dans un même plan la cycloïde est plane , si le plan du cercle varie d'inclinaison par rapport à un plan fixe passant par la droite D pendant le mouvement de rotation du cercle C , la cycloïde est gauche. On peut se proposer de trouver les projections de cette courbe (cycloïde plane ou gauche) et de lui mener une tangente.

i09. Lorsqu'un cercle C roule, sans glisser, sur un autre cercle G fixe, un point quelconque du plan du cercle mobile décrit une courbe qu'on désigne en général sous le nom d'épicycloïde. Si le point générateur est sur la circonférence du cercle mobile , Ton obtient Tépicycloïde parfaite ; si le point est hors du cercle, Tépicycloïde est rallongée; s'il est dans l'intérieur du cercle, Tépicycloîde esl raccourcie ; si le cercle fixe et le cercle mobile sont dans un même plan pendant tout le temps du mouvement de roulement , l'épicycloide est plane ; si les deux cercles ne sont pas toujours dans un même plan , l'épicycloïde est gauche. Si lès deux cercles sont tangents l'un à l'autre et extérieurement, l'épicycloïde est extérieure; si les deux cercles sont tangents l'un à l'autre et intérieurement, l'épicycloïde est intérieure.

On pourrait généraliser le mode de génération des cycloxdes et des épicyclotdes en prenant le point générateur situé ou non dans le plan du cercle mobile, pourvu qu'on le suppose invariablement lié à ce cercle.

41 0« Lorsque les plans des deux cercles G et G' font un angle constant pendant tout le temps du mouvement de roulement de l'un de ces cercles G sur l'autre cercle G', on peut considérer ces deux cercles G et G^ comme les bases de deux surfaces coniques de révolution ayant même sommet et en contact par la génératrice passant au point de contact des deux cercles G et G', de sorte que tous les points des deux bases G et G' de ces cônes sont à la même distance du sommet commun à ces deux cônes , et par conséquent les deux cercles G et G' se trouvent sur une sphère ayant son centre en le point qui est le sommet commun. Tous les

foîfito de répîcycioïde sont ^lors^aés sui* celte «urfaoe sphérique, de là le nom d'épicyclaide spliérique sous lequel on la désigne (*).

411. Si le cône mobile se réduit à un plan tangent au cône fixe , et que le cercle situé sur ce plan tangent ait son centre aii sommet du cône fixe, Tépicycloïde engendrée par un poiut de sa circonférence prend le nom de développante sphérique. Le sommet dn cône de révolution, qui a pour base le cercle &%,% étant arbitraire , on voit qu'en général la développante sphérique sera «agendrée par un point d'une circanféreoce dont le centre serait situé en un point arbitrairement cèoki «UT aoe perpendicQlaine n^enée au plan du cercle fixe et élevée par le ceabre de ce cercle (**)•

Les coo0tnictioiid nécessaires pour trouver les projections de l'-éipicyGlaïde ciphériqne ordinaire et de la développante sphérique, étant identiquement les inàoies, ainsi que celles qoi co&iduiseat à la tang^ite à cette courbe, naos noiiB amtenleroQB de les «xécgtûr pour la développante sphérique qui donnera lieu à une remarque, qui loi est spéciale*

41 2« Prenons pour plan horizontal de projection le plan du cercle iixe B (^fig. 251 ) , et pour plan vertical de projection le plan passant par Taxe A du cône, et fàT le point a de contact dans la position actuelle des deux cercles ; la sphère (S) q«i conlient les deux cercles fi et C est coupée par le plan vertical suivant le gvAoA cercle S. Rabattons le plan P du cercle mobile C autour de H', le points sommet du cône fixe et centre du cercle mobile C, vient en s^ et le cercle C en C; soîto Toriginede Tépicycloïde ou développante sphérique^ il est évident qne le jp^int ffàaérateur de la développante sphérique, qui était priœitivament en o^ est distant maintenant du point de contact a d'un arc am! égal à Tare loa rectifié; ramenant ensuite jce point m' dans le plan P , il décrit un arc de cercle dans un plan parallèle au plan vertical de projection et vient se placer en m , puisque le plan P est perpendiculaire au plan vertical de projection.

Pour avoir la position du point générateur quand les cercles sont en contact au point 6, on pourrait changer de plan vertical de projection en prenant pour nouvelle ligne de terre le rayon «*6, mais ces nombreux changements de plans compliqueraient la figure ; c'est pourquoi nous adopterons la méthode des mouvements de rotation ainsi qu'il suit :

Concevotis qu'on fasse tourner le nouveau plan vertical de projection ayant s*6

(*) Voyez, dans l'ouvrage qui a pour litre: Développements de géométrie descriptive^ ce qui est relatif aux épicycloldes annulaires, chapitre V, page 219.

' O y oyez, daos l'ouvrage -qui a pour titre: Comptément de géométrie descripiive, le mémoire qui ftpour litres JOe la surfine emwlo^^e des, plans normaux à Cépic^cloïde sphériifue^ mémoiie que j*ai publié pour la première fois dans le 23* cahier du Journal de TÉCûle polytechnique.

pour lîgrie de terre ITT, autour dte Taxe A pour le ramener stwr Fancfen pïaii vertîcaî ayant LT pour ligne de terre , et qxre dans son moirveinent il entratiie toute la figure, le point de contact b viendra en a, et rabattant alors le cercle mobile en C, le point générateur se trouvera distant du point a d^un arc mr", qui rectifié sera égal à Tare ob rectifié ; ramenant le cercle C! dans le plan P, le pofnt n^ viendra en n\ puis pour ramener ce point n' dans la position n qu'il doit occtrper par rapport au plan vertical LT', il faut faire tourner le plan vertical LT autour de

Taxe A; dans ce mouvement le point n! décrira un angle égal kbs^a; mais remarquons que n'H' est la projection horizontale d'une perpendiculaire I abaissée du point n^'sur le plan vertical LT , cette perpendiculaire tournant en même temps que le plan vertical LT ne cessera pas de lui être perpendiculaire, donc en sa nouvelle position r sa projection horizontale sera perpendiculaire au rayon a^b ou L'T', et le point t' pîed de cette perpendienlaîre sor le plan vertical LT viendra en vn porni i pied de la nouTelle position V (de la perpendienlaire I) sar le plan irer* tical L'T', et ce point î sera tel que Ton aura :sH=^J%^; dès lors prenant iii*'=iV* nous aurons en n^ la projection horizontale du point n,. sa projection verticale doit être à la rencontre d'une perpendiculaire et d'une parallèle à LT, menées resfieetivement par les points n^ el n!\ On obtiendra de la même manière tant d'autres points que l'on voudra ^ et en les unissant par une courbe D , on aura la déveioppante spbériqae demandéer

113. IVoposons-iions maintenant de coostmife la tangente à cette courbe I> au point m. Pour cela remarquons que la développante sphérique D est située sur la surface sphérique (S) , donc sa tangente au point m est contenue dans ie plan tangent mené à cette sphère et au point m. Les deux cercles B et C, étant en contact par le point a-, ont deux points a et a^ successifs et infiniment voisina en commun, et lorsque le cercle C se meut, l'un de ces deux points, et ainsi n^ cesse de leur être commun, et ils ont alors en commun le second point a' et un* troisième point a!' successif et infiniment voisin de a, de sorte que pendant ua instant infiniment petit, le point générateur s'est mu autour du point a' ou a {*)^ et par conséquent est resté sur une surface sphérique S ayant son centre en ce point ^ donc l'élément rectiligne de la courbe D ^ élément rectiligne qui prolonge détermine la tangente T, étant sur cette surface sphérique, la tangente T sera située dans le plan tangent mené à cette nouvelle surface £ et au point m. Don^. enfin la tangente à la courbe D est l'intersection des plans tangents à deux surfaces sphériques, passant l'une et l'autre par le point m^et ayant respectivement

O Car Ton peut supposer que le cercle G, avant d'être en contact avee le cercle B par Télémeat rectiligne aà\ était en contact par rélément précédent.

pour centre les points s et a. Ces plans tangents étant perpendiculaires aux rayons qui passent par le point de contact m , la tangente en ce point m est perpendiculaire à ces mêmes rayons , et par conséquent à leur plan ; or le rayon R , de la sphère (S) , a sa trace horizontale en c , et sa trace verticale en s sur V', le point a est évidemment la trace horizontale et en même temps la trace verticale du rayon de la seconde sphère £, donc le plan N de ces rayons est connu, et dans le cas actuel il n'est autre que le plan P lui-même ; par conséquent H" est perpendiculaire à LT ; donc T^ est parallèle à LT, et par conséquent la tangente T est parallèle au plan vertical de projection ; T'' est perpendiculaire à la génératrice de contact sa, et elle fait avec la ligne de terre l'angle que fait la tangente T avec le plan

horizontal de projection , or cet angle m'^za est le complément de Tangle m^az que fait la génératrice du cône avec le même plan horizontal.

En opérant de même , par rapport à tout autre point de la développante sphérique, on trouvera toujours que la tangente en ce point et la génératrice correspondante du cône font avec le plan horizontal des angles complémentaires. Mais le cône étant de révolution toutes ses génératrices font avec le plan horizontal un même angle, donc aussi toutes les tangentes à la développante sphérique font avec le plan horizontal un même angle ; donc enfin la développante sphérique est une hélice cylindrique , en se rappelant la définition donnée (n* 396) pourThélice, et ainsi nommant hélice toute courbe tracée sur une surface développable et qui a pour transformée une droite. Il est évident que la propriété remarquable dont nous venons de démontrer l'existence pour la développante sphérique ne peut exister pour une épicycloïde sphérique quelconque ; d'ailleurs, il est facile de le démontrer ou mieux de s'en convaincre en exécutant Vépure soit pour une épicycloïde sphérique soit pour une développante sphérique et en lisant attentivement les deux épures.

ili. L'épi cycloïde sphérique est le cas général des épicycloïdes , des cycloïdes, et des développantes soit planes, soit gauches ou à double courbure ; car si Ton suppose que l'angle au sommet du cône mobile augmente jusqu'à devenir égal à deux droits , on obtient la développante sphérique ; si c'est le cône fixe qui dégénère en un plan, l'épicycloïde devient^ par rapport aux épicycloïdes sphériques ordinaires, ce qu'est la cycloïde plane par rapport aux épicycloïdes planes. Si Ton suppose que le sommet commun du cône fixe et du cône mobile s'éloigne jusqu^à l'infini, les cônes se transforment en cylindres, les deux cercles B fixe et G mobile sont alors dans un même plan , et l'on obtient l'épicycloïde plane. Si en même temps que le sommet s'est transporté à l'infini , le cône fixe a dégénéré en un plan , et si dès lors le cercle fixe B est devenu une droite fixe , alors

un point du cercle mobile C engendre la cycloïde ordinaire ; si c'est au contraire le cône mobile , qui devient un plan , le cercle mobile se réduit à une tangente au cercle fixe B , et par conséquent un des points de cette tangente décrit une développante de cercle.

415. Lorsque Ton considère deux courbes quelconques U et U' tangentes l'une à l'autre en un point a, elles ont en ce point un élément rectiligne en commun, et ainsi elles ont en commun deux points a et a! successifs et infiniment voisins. Si l'on suppose que la courbe U reste fixe et que la courbe U' se meuve d'une manière arbitraire, mais en roulant sur la courbe U, alors un point a", appartenant à la courbe U' et infiniment voisin du point a! viendra se superposer avec un point a" appartenant à la courbe U et infiniment voisin du point a\

Pendant le mouvement de roulement, la courbe U' pivote donc sur le point a' et pendant tout le temps nécessaire pour que les deux points a" et a!\ viennent se superposer. Dès lors, il est évident qu'un point x situé dans l'espace d'une manière arbitraire , mais lié à la courbe U' d'une manière invariable, décrira une courbe D et que pendant le temps infiniment petit et employé par le point a!\ à venir se superposer sur le point a'', le point x décrira dans l'espace un élément sphérique , ayant le point af pour centre et ayant pour rayon la droite a^x.

Ainsi , Ton peut dire que la courbe D aura son élément rectiligne xx situé sur une sphère S ayant le point a pour centre et ax pour rayon.

Et cela aura lieu, quelles que soient les courbes U et U' et quelle que soit la position du point x par rapport à la courbe mobile U', ce point x étant d'ailleurs (comme point générateur de la courbe D) supposé lié à la courbe U' d'une manière invariable , et quelles que soient les oscillations que fera la courbe U' en roulant sur la courbe U ; ainsi si Ton considère deux cercles C et C et que l'on imagine que le plan du cercle C soit tangent à une surface conique oblique 1 ayant le cercle C pour base, et que ce plan reste tangent à cette surface 1 pendant que le cercle C roule sur le cercle C , un point x fixé au cercle C engendrera une courbe D dont l'élément rectiligne xa/ sera sur une sphère S ayant pour centre le point a contact des deux cercles C et C et pour rayon la droite ax. Cette sphère S variera de position et de rayon , puisque le point a deviendra successivement chacun des points du cercle C.

Ainsi pour chaque point delà courbe D engendrée par le pointa;, on connaîtra une normale à cette courbe, et cela en vertu de ce que la courbe C roule sur la courbe C.

Il sera facile de mettre en projection les divers points de la courbe D , mais la construction graphique de la tangente en un point de cette courbe D ne paraît possible que pour des cas très-particuliers, et qui seraient tels qu'en vertu des don-

— sae —

née$ nous pourricHis reooDDaitre la nature géométrique ou le mode de génération d'une seconde surface A^ sur laquelle la courbe D serait tout entière tracée, ou sur laquelle se trouverait placé l'élément rectiligne de la courbe D correspondant au point en lequel on veut mener la tangente; car alors le plan tangent à la sphère mobile S et le plan tangent à la surface A (pour le point considéré sur la courbe D) 66 eouperaient suivant la tangente demandée.

Mais si les deux courbes U et U' sont planes et situées dans un même plan P, la courbe D engendrée par un point x situé dans le plan P et lié à la courbe U' d'une manière invariable engendrera une roulette plane D et pour le point x de la courbe D nous conuaitrons la normale ^ car elle sera la droite ax y le point a étant le point de contact des courbes U et U' à Tinstant où le point générateur de la courbe D se trouve occuper la position a; sw le plan P«

On conoallra donc pour ce point x la tangente à la courbe D, car il suffit de connattre la normale d'une courbe plane pour connaître sa tangente.

Mais pour une courbe à double courbure, il faut connattre le plan normal de cette courbe gauche pour connaître sa tangente, il faut dès lors connattre pour le point considéré sur cette courbe deux normales à cette courbe.

Toutes les fois que les deux courbes U et U' à double courbure pourront être placées sur deux surfaces développables roulant Tune sur l'autre, alors on pourra construire la tangente à la roulette gauclie D ; et en effet , concevons la surface développable Y sur laquelle se trouve placée la courbe fixe U et la surface développable T sur laquelle se trouve placée la courbe mobile U'; désignons par Ë et E' les arêtes de rebroussement des deux surfaces développables ; concevons les courbes U et U' en contact en un point a et les deux surfaces Y et Y' en contact par une droite G passant par ce point a et tangentes à E en 6 et à E' en 6'; il faudra pour que les surfaces Y et Y' puissent rouler l'une sur l'autre que les points b et b^ se confondent, il faudra donc que les arêtes de rebroussement E et E' soient tangentes l'une à l'autre et roulent l'iMie sur l'autre pendant que les courbes U et U' rouleront l'une sur l'autre. Dans ce cas on voit qu'un point x de l'espace et fixé d'une manière invariable à la courbe U' pourra être considéré comme lié d'une manière invariable à la courbe E' et dès lors le point x décrira dans l'espace une roulette gauche D dont l'élément rectiligne xx^ sera situé 1* sur une sphère S ayant son centre au point a contact des courbes U et U' , et 2* sur une sphère A ayant son centre au point b contact des courbes E et E'. Il est évident que l'élément rectiligne xx^ appartiendra au cercle S intersection des deux sphères S et A et que dès lors la tangente 6 au point x de la roulette gaucheD^ fera un angle droit avec la génératrice droite G suivant laquelle les surfaces développables Y et Y' sont en contact , puisque cette droite G unit les centres a et 6 des deux sphères S et A.

Il est facile de reconnaître que la développante sphérique est un cas particulier du cas général que nous venons d'examiner ; la surface développable Y est le cane fixe ayant pour base le cercle B qui remplace la courbe U , le plan du cercle mobile C est la surface développable V, le cercle mobile C remplace la courbe mobile U' et le sommet s du cône fixe qui est en môme temps le centre du cercle mobile C remplace les deux arêtes de rebroussement E et E'.

416. Lorsque (n* 44 4) nous avons construit graphiquement la tangente en un point de la développante sphérique , nous avons employé deux normales à cette courbe , mais cette méthode (dite par le plan normal) n'est pas la seule que Ton puisse employer; on peut construire la tangente en un point d'une épicyclaide sphérique par trois autres méthodes.

1" L'épicycloïde sphérique étant toute entière située sur une sphère A dont le centre est le sommet s commun aux deux cônes de révolution , savoir : l'un fixe ayant le cercle fixe B pour base et l'autre mobile ayant le cercle C mobile pour base, et l'élément rectiligne de l'épicycloïde sphérique, pour le point en lequel on veut mener une tangente à cette courbe, étant situé sur la sphère mobile S et de rayon variable (ci-dessus indiquée) , on voit que la première manière graphique de construire la tangente en un point de l'épicycloïde sphérique, consistera à mener au point x de cette courbe un plan T tangent à la sphère invariable A et un plan 0 tangent à la sphère variable S ; ces deux plans T et 0 se couperont suivant la tangente demandée. Cette méthode est la méthode générale, en ce sens qu'elle est celle qu'il faut employer pour mener la tangente en un point de P intersection de deux surfaces j quel que soit le mode de génération de ces surfaces.

La méthode que nous avons donnée (n° 21 i) et qui est connue sous le nom de méthode du plan normal^ rentre dans le cas où l'on a à construire la tangente à la courbe intersection de deux surfaces de révolution. Cette méthode doit donc être considérée comme une méthode particulière et devant dès lors être employée en vertu du problème particulier que l'on a à résoudre , parce qu'elle simplifie les constructions graphiques.

2* Si l'on se rappelle que Tépicycloïde sphérique a en chacun de ses points x un élément rectiligne situé sur la sphère invariable A et sur une des sphères mobiles S, on voit de suite que la tangente au point x à cette courbe sera la tangente au cercle d intersection des deux sphères A et S ; en exécutant les constructions graphiques d'après cette idée, la tangente se trouve très- facilement déterminée et de plus on reconnaît de suite que la projection de la tangente 0 à l'épicycloïde sphérique pour le point correspondant au plan Z qui passe par le sommet s commun aux deux cônes de révolution («, E) et («, C) et le point a de contact des deux cercles B et C, on voit, dis-je, que la projection, de la tangente 0 sur le plan Z est toujours

perpendiculaire à la droite sa quels que soient d'ailleurs les rayons des cercles B et G et Fangle compris entre les plans de ces cercles.

3"" La méthode de Raberval s'applique avec facilité et exactitude à la construction de la tangente en un point de Tépicycloïde sphérique {*) .