DES SURFACES GAUCHES
417. Une surface réglée est celle qui est engendrée par le mouvement d'une droite. Trois conditions sont nécessaires et suffisent pour déterminer, dans l'espace, le mouvement d'une droite.
Les surfaces réglées sont divisées en deux espèces : 1 * /es surfaces développables , pour lesquelles deux génératrices droites successives et infiniment voisines se coupent, et 2* les surfaces gauches ^ pour lesquelles deux génératrices successives et infiniment voisines ne se coupent pas.
Lors donc qu'une surface réglée est engendrée par une droite en vertu de certaines conditions auxquelles le mouvement de la droite génératrice est assujetti , il faut, d'après ces conditions, rechercher si la surface réglée est dévelappable ou si elle est gauche.
Ainsi par exemple, étant donnée une courbe à double courbure G , si l'on
conçoit les plans osculateurs successifs P, P', P", P'", de cette courbe C
et en ses points successifs m, m', m"^ et si l'on fait mouvoir un plan Q tan-
gentiellement à cette courbe G et prenant des positions dans l'espace telles que le plan Q tangent au point m à la courbe G soit perpendiculaire au plan P. Q' — m' — P'.
etc. , — etc. , — etc. ,
(♦) Voyez à ce 6^jet ce que j'ai dit dans les Développements de géométrie descriptive (chapiire V) touebaQt les épicyclaîdes annulaires.
Tenveloppe de l'espace parcouru par le plan Q sera une surface réglée S qui sera dévebppable.
Mais si Ton fait mouvoir une droite 6 sur la courbe C de manière à ce que ses diverses positions
G passant par le point m soit perpendiculaire au plan P. G' — m' — F.
etc. , — etc. , — etc. ,
la surface S, lieu des diverses droites G, G', G'^, sera encore une surface réglée,
mais qui sera gauche.
La surface S est une surface dévelappable , parce que les plans Q et (y se coupant suivant une droite R, les plana (y et Q"^ se coupant suivant une droite R',
et ainsi de suite; les droites R, R', sont les génératrices droites de la surface
réglée 2; mais R et R', se coupent, car ces deux droites sont situées dans le plan Q', donc la surface 1 est développable.
La surface S, est gauche , car la droite G' passant par le point m' de la courbe C est perpendiculaire au plan osculateur P passant par les points successifs m, m\ m", de cette courbe G , la droite G' est donc perpendiculaire à Vêlement rectiligne mm" de la courbe C. La droite G'' successive de G' et qui passe par le point m" de la courbe C est perpendiculaire au plan osculateur P' qui passe par les points successifs m', m" y m'" de cette courbe C , cette droite G'^ est donc perpendiculaire à Vêlement rectiligne m' m" de la courbe C; et ainsi de suite. Or, les deux génératrices successives G' et G^ de la surface réglée 2, , ne se rencontrent pas , puisqu'elles ont pour plus eotir te distance ^ l'élément rectiligne m' m" delà courbe directrice C.
418. On peut engendrer un grand nombre de surfaces réglées y soit développablest soit gauches , en variant les conditions du mouvement de la droite génératrice ; mais quelles que soient les conditions auxquelles se trouve assujetti le mouvement d'une droite lorsqu'elle engendre une surface réglée -gauche , on peut toujours considérer celte surface gaudie comme ayant été engendrée , en définitive , par l'un ou l'autre des deux modes ci-après exposés, modes de génération qui facilitent singulièrement la recherche et la démonstration de certaines propriétés fondamentales dont jouit une surface gauche y quel que soit d'ailleurs son mode primitif de génération.
Ces deux modes remarquables consistent en ce que l'on peut considérer toute surface gauche comme engendrée :
1"" Par une droite G se mouvant sur trois courbes directrices C, C\ G^;
2* Par une droite G se mouvant sur deux courbes directrices C et C, et parallèlement à un cône directeur à.
419. La surface gauche la plus simple que Ton puisse obtenir par le premier mode de génération est f hijperbolotde à une nappe qui est engendrée par une droite G se mouvant sur trois droites K , K', K".
420. La surface gauche la plus simple que Ton puisse obtenir par le second mode de génération est le paraboldide hyperbolique qui est engendré par une droite G se mouvant sur deux droites K et K' et parallèlement à un plan directeur P.
Du premier mode de génération d'une surface gauche.
42i . Étant données les trois courbes directrices C, C, C" à simple ou à double courbure, nous prendrons sur la courbe G un point a quo nous regarderons comme le sommet commun à deux cônes , savoir : Tun B' ayant la courbe C' pour directrice et l'autre B" ayant la courbe C" pour directrice. Ces deux cônes B' et B" se couperont suivant des génératrices droites puisque ces deux cônes B' et B'' ont même sommet a.
Je désigne par G Tune de ces génératrices droites , elle coupera la courbe C' au point a' et la courbe C'' au point a".
Prenons maintenant sur la courbe G , les points a^^a^^a^j etc., successifs et infiniment voisins , et^opérons pour chacun d*eux comme nous Tavons fait pour le point a , nous obtiendrons les génératrices droites G, , G, , G, , etc. , qui seront successives et infiniment voisines , car puisque par hypothèse le point a, est le successif du point a sur la courbe G, on ne peut placer entre les points a et a, un point qui approche plus près de a que a, n'en approche , dès lors on ne peut placer , d'après ce mode de génération , une droite qui approche plus près de G que G. n'eB approche; et dès lors G, coupant respectivement les courbes G' et Q" aux points a\ et af^ j il s'ensuit que d'après le mode de génération adopté, le point a!^ est le successif et infiniment voisin de ef sur la courbe C' et que le point af\ est le successif et infiniment voisin de a" sur la courbe C".
Ainsi la tangente 9 au point a de C ne sera autre que l'élément rectî ligne m, prolongé 9 et de même les tangentes 6' et B'^ aux points a' et a" des courbes G' et C ne seront autres que les éléments rectilignes aV. et aV^ (de ces courbes G' et G'^ prolongés.
Il est évident que les génératrices successives et infiniment voisines G et G, ne peuvent être dans un même plan qu'autant que les tangentes 0 , 6' et 0" seront ellesmêmes dans un même plan.
Nous pouvons donc dire :
La surface engendrée par une droite Xî se mouvant gfiir trois courbes G, Cf^ C"^ est gauche tout le long de chacune de ses génératrices droites G » car pour chacun des points de cette génératrice G te plan tangent à la surface change de position dans l'espace (n"* 417) puisque deux génératrices droites successives et infiniment voisines de cette surface ne sont pas dans un même plan«
Nous pouvons encore dire : Une surface gancbe peut, dans certains cas^ présenter une forme dévelojypabU tout le long d'une de ses génératrices droites G , et cela aura lieu lorsqu'on chaque point de cette génératrice droite G , le plan tangent à la surface sera le même.
Bu deuxième mode de génération iTune surface gauche.
42S!. Soient données deux courbes G et G' et un cône A ayant son sommet en un point m de l'espace et pour directrice une ligne M à simple ou à double courbure.
Prenons sur la courbe G un point a et joignons les points a et a par une droite D ; faisons glisser le cône A parallèlement à lui-même de manière à ce que son sommet 8 se transporte en a , en glissant sur la droite D ; le cône A prendra la posi-* tion A\
Gela posé :
Gonsidérons le point a comme le sommet d'un cône B' ayant la courbe G^ pour directrice^ les deux cônes A' et B^ se couperont suivant une ou plusieurs généra*^ trices droites, puisqu'ils ont même sommet a.
Je désigne par G l'une de ces génératrices droites , elle coupera la courbe G' en un point al et elle sera située sur le cône A^; en ramraanl le cône A' en sa position primitive A ^ la génératrice 6 prendra sur le cône A la position y qui sera une droite paraître à 6.
Gela posé :
Prenons sur la courbe G une suite de points a, , a, , a, , etc. , successifs et infiniment voisins j et opérons pour chacun d'eux comme nous l'avons fait pour le point a f nous obtiendrons les génératrices droites successives et infiniment voisines G, G, , Gj, G3, etc. f coupant la courbe G' aux points a\ a\, a^', , af^\, etc. , et étant parallèles aux génératrices droites successives et infiniment voisines y, 7, , 7, 9 y^ 1 6tc- 9 <lu cône A»
La surface engmdrée par la droite G sera gaudke tout le long d'une quelconque de ses génératrices droite» 6 ; mais si pour les points homologues a et a' les tangentes 9 et e^ aux courbes directrices G et C^ sont parallèles » ou si elles sont situées dans «0 même plan , la surface sera dételoppable tout le long de la génératrice par* ticulièreG(n*447>
423. Une sarface gaudhe £ est donc complètement définie ou déterminée j lorsque l'on se donne 4* les trois courbes directrices C, C, C' ou 2* les deux courbes directrices G et G et le cône directeur A , puisque Ton peut construire autant de génératrices droites G de la surface 2 que Ton voudra.
Mais il est utile de bien faire remarquer que ce n'est que par la pensée que Ton peut immédiatement considérer une surface gauche S donnée par Fun des deux modes précédents de génération , comme étant susceptible d'être aussi engendrée par C autre mode.
En effet :
<• Si la surface S est déterminée par trois courbes directrices C , C, C" , il faudra construire le cône directeur A qui doit remplacer la troisième courbe directrice Ç/^ ; et pour construire ce cône A , il faudra : 1* construire toutes les génératrices droites G, 6, , G, , etc. , de la surface S, puis 2"" il faudra, par un point s arbitrairement pris dans l'espace, faire passer une suite de droites y ^ y, » y, > y, , otc. , respectivement parallèles à ces droites G, G, , G, , G^ , etc. , enfin 3* il faudra couper , par un plan P ou une surface S, les diverses droites y , y, , y^^ y^ » etc. , et Ton obtiendra la directrice M du cône directeur A demandé.
2* Si la surface S est déterminée par deux courbes directrices C etC et un cône directeur A , il faudra construire la troisième courbe directrice G^ qui doit remplacer le cône A ; et pour construire cette courbe G\ il faudra avoir construit toutes les génératrices droites G, G,, G,, etc., de la surface 2, pour les coupant par un plan P ou une surface S obtenir cette courbe C".
On voit donc que lorsque l'on exécute une épure on ne peut considérer une surface gauche que comme étant donnée par Tun des deux modes de génération précédents, sans s'inquiéter de l'autre mode ; et que l'on ne peut, en examinant une surface gauche £, la considérer indistinctement comme étant le résultat de l'un ou de l'autre mode de génération que lorsque l'on se propose de trouver, par le raisonne-ment géométrique^ les propriétés dont peut jouir cette surfaces.
De la surface gauche en gendrée par une droite s'appuyant sur trois droites non parallèles
entre elles et non parallèles à un même plan.
/i2i. Dans l'ouvrage qui a pour titre : Développements de géométrie descriptive, j'ai démontré que la surface engendrée par une droite s'appuyant sur trois droites était doublement réglée; qu'elle avait un centre y un cône asymptote , qui avait pour directrice une section conique ; que tout plan , quelle que fût sa direction, coupait le cône asymptote et la surface gauche suivant deux courbes concentriques , semblables et semblabtement placées^ et que dès lors tout plan coupait cette surface
gauche (à laquelle on a donné le nom d' hyperbolo'ide à une nappe) suivant une section conique , ellipse^ parabole ou hyperbole^ et cela en vertu des trois positions que pouvait affecter ce plan sécant par rapport au cône asymptote {*).
Nous ne reproduirons donc point ici la démonstration donnée d'une manière complète dans Fonvrage cité ci-dessus, mais nous allons nous occuper en détail de Y hyperboloïde à une nappe et de révolution^ ainsi que nous Tavons annoncé (n*250)
425. Soient donnés un axe  perpendiculaire au plan horizontal de projection et une droite 6 obliqua au plan horizontal et parallèle au plan vertical de projection (fig. 252), Ces deux droites A et G ne se rencontrant point, auront pour plus courte distance une droite op qui sera horizontale et perpendiculaire au plan vertical de projection et les droites 6 et A feront entre elles un angle a qui sera écrit ou donné sur V épure par Tangle a que font entre elles les droites G** et A''.
Gela posé :
Faisons tourner la droite G autour de Taxe A , elle engendrera une surface de révolution S qui sera réglée.
C'est cette surface S qui a reçu le nom d' hyperboloïde à une nappe et de révolution.
426. Démontrons d'abord que la surface 1 est doublement réglée.
Par la droite G menons un plan Y parallèle au plan vertical de projection ; puis, par le point p pied de la plus courte distance op sur la droite G , menons dans ce plan Y les droites A' parallèles à A et K faisant avec A' l'angle a
Il est évident que les droites K** et A" feront entre elles l'angle a.
Si l'on fait tourner la droite K autour de l'axe A, elle engendrera une surface de révolution £', et je dis que les deux surfaces S et 1/ ne sont qu'une seule et même surface.
Et en effet: coupons tout le système par un plan X horizont^, ou, en d'autres termes, perpendiculaire à l'axe de rotation A.
Ce plan X coupera la droite G au point m, la droite K au point k, et l'axe A au point q; or, il est évident que les droites qn et qm sont égales en longueur; donc les points m et n décriront, pendant la rotation des droites K et G autour de l'axe A , un même cercle d.
On peut donc énoncer le théorème suivant :
V hyperboloïde à une nappe et de révolution est une surface doublement réglée. .
&27. Démontrons maintenant que la surface £ est gauche.
Si la surface £ est gauche, elle aura en chacun, des points de l'une quelconque de ses génératrices droites G, un plan tangent différent; en d'autres termes , elle
(*) Voyez la page 251 des Développements de géométrie descriptive.
ii*aura pas même plan tangent en chacun des points de la droite G , comme cela a Heu pour une surface développable.
Le plan tangent T au point m de la droite 6 passera par cette droite 6 et la tangente 9. au parallèle d; le plan tangent & au point p de la droite 6 pas&era par la tangente au cercle G et la droite G ; le plan tangent T, au point g, trace horizontale de la droite G , passera par la droite G et la tangente 6 au point g du cercle B (cercle qui est dit trace horizontale de la surface 2). Tous ces cercles C, 3, B étant horizontaux , leurs tangentes seront horizontales; et pour que tout le long de la droite G il existe un plan tangent unique (comme pour les surfaces développables), il faudra que ces tangentes soient parallèles entre elles, et que dès lors leurs projections horizontales soient parallèles entre elles. Or, il est évident que les tangentes au point p* du cercle C*, m* du cercle 3*, gr du cercle B ne peuvent être parallèles, puisque ces cercles sont concentriques.
Ainsi , Ton peut énoncer le théorème suivant :
La surface hyperbolakle à une nappe et de révolution est une surface gauche.
Du plan langent à l' hyper boloïde à une nappe et de révolution S.
428. Si Ton prend un point x sur la surface S , et si Ton fait tourner la génératrice G autour de Taxe A , enfin elle arrivera en G, passant par ce point x; de même en faisant tourner la génératrice K autour de Taxe A, enfin elle arrivera en K, passant par ce même point x.
On a donc deux génératrices droites G, du premier système G. . . . et E, du second système K,... se croisant au point x de la surface 2.
Le plan T tangent en a: à la surface £ sera donc déterminé par les deux droites G, et E, de systèmes différents se croisant au point x.
Construisons ce plan T.
. Soit donnée {fig. 253) la génératrice droite G, par ses projections G,* et G,*; prenons sur celte droite G, un point m, et cherchons la génératrice E, du second système qui passe par ce point m.
Toutes les génératrices droites du système G , ainsi que toutes les génératrices droites du système E , auront leurs traces horizontales g eXk situées sur le cercle B trace horizontale de la surface S.
Toutes les génératrices du système G et du système E se projettent sur le plan du cercle de gorge C suivant des tangentes à ce cercle ; dès lors , sur tout plan parallèle au cercle de gorge C , les projections G* et E* des droites G et E seront des tangentes au cercle C*. D'après cela , il nous suffira de mener par le point m* une tangente E,* à la projection C* du cercle de gorge C et nous aurons la projection horizontale de la génératrice E, passant par le point m.
La droite K,^ coupe le cercle 6 en deux points k^ et r, mais il est évident que si ron fait tourner la droite 6, dans le sens de la flèche/^ le point g viendra en r et la droite G, viendra pr^Qdre dans l'espace une position 6, telle qu'elle se projetterai horizontalement suiyant K,^ ; dès lors les deux droites G, et G, appartenant an syst^e G ne pourraient se couper, puisque les génératrices d'un même système (quelque rapprochées qu'on les suppose) ne peuvent se couper, la surface S étant gauche.
Ainsi la génératrice K, percera le plan horizontal au point /r, du cercle B. Le plan T tangent au point m à la surface S aura donc pour trace la droite H% qui unit les points^, et /t;.
En faisant varier la position du point m sur la droite G, « le plan T variera de position, car la trace H' passant toujours par le point 9, passera par un point ft, qui changera de position sur le cercle B, comme le montre la figure 315^9 en prenant le point m' au lieu du point m.
Ainsi j l'on pourrait, par la figure même et directement montrer que la surface £ est gauche , puisque par la droite G, on peut faire passer une infinité de plans et que chacun d'eux est tangent à cette surface 2 , en des points dififérents m j m\ ete*» et tous situés sur cette génératrice droite 6..
4S9. Parmi tous les plans tangents T menés à la surface 1 par l'une de ses génératrices droites G, il faut en distinguer deux, savoir : 4"* celui qui est vertical, ou, en d^autres termes , qui est parallèle à l'axe de rotation A et qui fait dès lors un angle droit avec le plan horizontal de projection, et 2" celui qui fait avec le plan horizontal de projection et avec Taxe A , des angles qui , complémentaires l'un de l'autre, sont respectivement égaux à ceux que la génératrice G fait avec le plan horizontal de projection et avec l'axe A«
Si par le point g^ on fait passer une suite de droites H^, H^', etc., chacune d'elles
représente la trace d'un plan tangentT, T' à la surface £en un point m, m\ etc.
de la droite G,.
Par le point g^ on peut faire passer deux droites particulières, l'une qui se confondra avec G*, et qui représentera la trace H^i, et l'autre H^ perpendiculaire à G,^ ou à H«».
Le i^an 0, et le plan 0 seront l'un et l'autre tangente à la surface S ; détermiaons leur point de ooi^ct avec cette surface 2.
Le plan 0, est le plan projetant borizontalemmt la droite G, ; ce plan 0, est pft> rallèle à l'axe A , et dès lors perpendiculaire au plan du cercle de gor^ G; ce phm 0, coupe donc la surface 2 suivant deux génératrices droites de systèmes différents E' et G, se coupant au point p en lequel la droite G, coupe le cercle de gorge G; ce plan 01 est doue tangent à la surface £ au point p.
On peut donc énoncer ce qui suit :
Tout plan tangent à l'hyperboldide à une nappe et de révolution , parallèle à Caxe de rotation est tangent à cette surface en un point situé sur le cercle de gorge.
Si par le point ^, nous menons une droite H® perpendiculaire à 6^. elle coupera le cercle B trace horizontale de la surface 1 en un point 4,, et menant par ce point A, une tangente K,* au cercle C* projection du cercle de gorge C , celle droite K/ sera évidemment parallèle à G,* et les deux droites K, et 6, seront parallèles dans l'espace.
Le plan O qui passera par K, et 6, passera par le centre o du cercle de gorge C et sera tangent à la surface £ au point en lequel K, et G, se coupent , e'esl-à dire à rinfiniy puisque ces droites K, et G, sont parallèles:
Or, il est évident que le plan O fait avec Taxe A un angle égala celui que G, fait avec ce même axe A.
On peut donc énoncer ce qui suit :
Tout plan passant par une génératrice droite du système 6 ou du système K et par le centre du cercle de gorge est un plan asymptote de C hyperboloîde à une nappe et de ré' volution ; et ce plan asymptote fait avec taxe de rotation un angle qui est égal à celui que font avec cet axe les diverses génératrices droites de la surface.
430. D'après ce qui précède, nous voyons qu'il sera toujours facile de résoudre graphiquement 9 au moyen des projections et en prenant Taxe A (de Thyperboloïde à une nappe et de révolution) vertical, ou , en d'autres termes, perpendiculaire au plan horizontal de projection , les deux problèmes suivants :
4* Étant donnés une génératrice droite G et un point m «tir cette droite , construire le plan tangent à la surface hyperboloîde.
2* Étant donnés une génératrice droite G et un plan © passant par cette droite j construire le point de contact m du plan 0 avec la surface hyperbotaide.
Et par suite il sera facile de résoudre le troisième problème suivant :
3^ Etant donnée une génératrice droite G (t un hyperbolaide à une nappe et de révolution £ , construire le plan tangent O qui passant par G , fait avec Caxe de révolution A un angle a.
Et en effet , pour résoudre ce troisième problème , on prendra le plan horizontal de projection perpendiculaire à Taxe A et dès lors le plan @ devra faire avec ce plan horizontal un angle 6 complémentaire deTanglea. On devra donc faire passer par la droite G un plan © faisant avec le plan horizontal an angle |3 (n** 183 et 124, 1~ partie de ce Cours).
Du cône asymptote de l^hyperbolaide à une nappe et de révolution.
431. Menons {fig. 255) deux plans verticaux Y et Y' parallèles entre eux et au plan vertical de projection et tangents au cercle de gorge C aux points p et p'. Le plan Y coupera la surface hyperboloïde S suivant deux génératrices droites et de systèmes différents 6 et K se croisant au point p; le plan Y' coupera la même surface S suivant deux génératrices droites et de systèmes différents G' et K' se croisant au point p\ Les droites 6 et K', 6' et K seront parallèles et le plan Q passant par 6 et K' sera un plan asymptote de la surface 2, tout comme le plan P passant par G' et K ; les deux plans P et Q auront leurs traces H' et H* parallèles entre elles et perpendiculaires aux traces H' et H" des plans Y et Y'.
Ces quatre traces H% H*», H% W\ se couperont deux à deux en un point et les quatre points ainsi obtenus g, k\ kj g^ qui ne sont autres que les traces horizontaies des droites G, K', K, 6' forment un rectangle dont les côtés kg et Ay sont tangents au cercle C* projection du cercle de gorge C.
Cela posé :
Si par Taxe A on mène un plan méridien M parallèle aux plans Y et Y', ce plan M coupera le plan P suivant une droite L, parallèle et équidistante aux droites K et G' ; ce même plan M coupera le plan Q suivant une droite L parallèle et équidistante aux droites G et K', et les deux droites L et L, se croiseront au point o centre du cercle de gorge C.
Cela posé:
Si Ton fait tourner tout le système autour de Taxe A , les droites G , G^ K , K', engendreront Thyperboloïde à une nappe et de révolution 2, et les droites L et L, engendreront un cône A ayant le centre o du cercle de gorge C pour sommet.
Et comme les plans P et Q sont perpendiculaires au plan méridien M j ces plans seront en leurs diverses positions tangents au cône A , et leurs lignes de contact avec ce cône A seront les positions respectivement prises pondant le mouvement de ro« tation par les droites L, et L. .
