Le cône A est dit cône asymptote de Thyperboloïde
Et en effet : le plan P étant tangent au cône A tout le long de la droite L, lui sera tangent au point situé à Tinfini sur L. ; mais le plan P étant tangent à la surface £ en un point situé à l'infini sur les droites parallèles K et G' et ce point situé à rinfini étant le même que celui considéré sur la droite L, puisque les trois droites G', K, et L, sont parallèles, il s'en suit que le plan P est tangent à Tinfini et à la surface 1 et au cône A ; le cône A et la surface S sont donc tangents l'un à l'autre en un point situé à l'infini sur la droite L,.
Or ce que l'on vient de dire pour la droite L, on le dira pour chacune des positions prises par cette droite L, pendant qu'elle tourne autour de Taxe A ; les deux surfaces S et A sont donc asymptotes l'une à l'autre; et ainsi se trouve démontré, savoir : que le cône A touche là surface S, suivant un parallèle oucercle d'un rayon infini , ce cercle étant situé à l'infini et ayant son centre situé à l'infini sur l'axe A.
Ainsi l'on peut énoncer ce qui suit :
Tout plan tangent Q au cône asymptote A suivant une génératrice droite L, passe par le centre o du cercle de gorge C de Vhyperboloide S et coupe cette surface 2 suivant deux génératrices droites de systèmes différents et parallèles entre elles et à la droite L.
Des sections planes de Vhyperboldide à une nappe et de révolution.
433. Démontrons maintenant que tout plan, quelle que soit sa direction , coupe rhyperbole S à une nappe et de révolution suivant une i^ection conique.
Coupons la surface 2 et son cône asymptote A par un plan quelconque X , ce plan coupera le cône A suivant une section conique E (puisque ce cône est de révolution) et il coupera la surface 1 suivant une courbe E, qui enveloppera évidemment la courbe E , puisque le cône A est enveloppé par la surface S.
Cela posé :
Prenons un point quelconque x sur la section conique Ë et menons par ce point un plan 0 tangent au cône A suivant une génératrice droite L , ce plan 0 passera par le centre o du cercle de gorge C et coupera l'hyperboloïde S suivant deux génératrices droites de systèmes différents K et 6 parallèles entre elles , et la droite L sera éqoidistante de ces deux droites 6 et K.
Le plan 0 coupera le plan X suivant une droite 9 tangente en a; à la section conque E, et cette droite 6 coupera la courbe Ë, en des points jp et k qui ne seront évidemcneiii autres que ceux en lesquels les droites 6 et K coupent la courbe Ë,.
Or comme la droite L est équidistante des droites K et 6 , et qu'dle est située avec elles dans le plan 0, il s'rasnit que ce point x est le milieu de la corde
En vertu de ce qui a été dit (n* 342 bis) la coorbe E, n'est donc autre qu'une teûdon conique^ et les deux courbes E et E, sont dès lors deux sections coniques concentriques , semblables et senblablement placées.
Ainsi Ton peut énoncer ce qui suit :
Tout plan , quelle que soit sa direction coupe F hyperboldide d une nappe et de révo-^ lution suivant une section conique ^ qui sera une ellipse ^ une parabole ou une hyperbole ^
suivant que ce plan coupera le cône asymptote suivant une ellipse, une parabole ou u$ie hyperbole
43&. Démontrons maintenant que tout plan méridien M coupe rbyberbololde à une nappe et de révolution S suivant une hyperbole ayant pour asymptotes les droites suivant lesquelles ce plan M coupe le cône asymptote de la surface S.
Menons par Taxe de rotation A un plan méridien M, ce plan coupera le oône asymptote et de révolution A suivant deux génératrices droites L et L, qui se croiseront au point o sommet du cône A et centre du cercle de gorge C de rhypeii)oloïde à une nappe et de révolution S.
Ce plan M coupera la surface S suivant une courbe £ évidemment composée de deux branches infinies , symétriques : V par rapport à Taxe A , et 2* par rapport à la droite Y suivant laquelle le plan M coupe le plan du cercle de gorge G ; cette droite Y passe par le centre o du cercle G.
Les points t; et v' en lesquels le cercle G est coupé par la droite Y seront les sommets de la courbe E, car la droite V coupera en deux parties égales les cordes de la courbe E qui sont parallèles à Taxe A.
Cela posé :
Prenons sur la courbe E un point quelconque x et menons par ce point o; et dans le plan M une suite de droites divergentes Z, Z', Z'', etc.
La droite Z coupera la courbe E aux points
— etc. , —
La droite Z coupera les droites L et L, aux points
— etc., . — — Si nous démontrons que Ton a :
^=^, ^=7/\, ^'=zfl\y etc.
en vertu de ce qui a été dit (n^ 235, 4"") il sera démontré que la courbe E est une hyperbole ayant pour asymptotes les droites L et L,.
Or: menons par les droites Z, Z', Z*, etc., des plans U, U', IF, etc., perpendiculaires au plan M.
Le plan U coupera le cône A suivant une section conique S^ et lliyperboloïde £ suivant une section conique g; les courbes € et 6, sont concentriques, semblables et semblablement placées, donc en vertu de ce qui a été dit (n"" 342 bis) ,
X et y
X et t/'
X et y"
etc.,
ints / et /.
r et l\
Tet l\
etc.
Ton a xl=yl^\ le plan U' coupera le cône A suivant une section conique 6/ et rhyperboloïde S suivant une section conique € concentrique, semblable et semblablement placée par rapport à g/; on a donc :
Et ainsi de suite: donc, etc.
On peut donc énoncer ce qui suit :
Un hyperboloîde à une nappe et de révolution S peut être engendré par un hyperbole E tournant autour de son axe non transverse  , les asymptotes L et L, de F hyperbole E engendrent le cône A asymptote de la surface S.
Construction des projections de la section faite par un plan dans C hyperboloîde
à une nappe et de révolution.
435. Construisons maintenant les divers points de la courbe de section d'un hyperboloîde à une nappe et de révolution S par un plan P.
Un hyperboloîde à une nappe et de révolulion S est connu, c'est-à-dire complètement déterminé 9 lorsque Ton connaît 1*la longueur N de la plus courte distance existant entre Taxe A de rotation et la génératrice droite G qui par son mouvement de rotation autour de Taxe A engendre la surface 2 , et 2^ Tangle a que font entre elles les droites A et 6.
Nous pourrons donc prendre le plan horizontal de projection perpendiculaire à Taxe A et le plan vertical de projection parallèle à la droite G.
Dès lors Taxe A se projettera horizontalement en le point A^, et la génératrice G se projettera horizontalement en la droite G^ parallèle à la ligne de terre et à une distance du point A^ telle que la perpendiculaire abaissée du point A^ sur la droite G'^ sera égale à N ; de plus la droite G se projettera verticalement en la droite G" faisant avec la ligne de terre un angle S complémentaire de Tangle donné « {fig. 252).
Cela posé :
On peut construire un point de la courbe E intersection de l'hyperboloïde à ur.e nappe et de révolution 1 par un plan P , en se servant de quatre méthodes diiïérentes que nous allons exposer successivement.
Première méthode. On peut regarder la surface 2 comme une surface de révolution. Dès lors coupant le système par un plan horizontal X {fig. 252) ce plan X coupera la génératrice G en un point x qui décrira un parallèle D de la surface 1 , ce plan X coupera le plan P suivant une droite I perpendiculaire au plan vertical de projection ; le cercle D et la droite I étant contenus dans un même plan X , leurs
projections I* el D*, T et D** se couperont respectivement en deux points y*, y" et jf" j y" qui seront les projections des points y et y[ en lesquels les liyne^ I et D se coupent dans Tespace {fig. 252).
Deuxième méthode. On peut regarder la surface S comme étant une surface réglée. Des lors on construira les projections horizontales et verticales G*, G" et G'*, G'" et G''*, G"\ etc. , des diverses génératrices droites G, G', G", etc. , delà surface S , et Ton déterminera les projections y*, tf et i/'*, y"" et y''*, t/"% etc. , des points y, y\ j/'\ etc. , en lesquels les diverses droites G, G', G", etc. , percent respectivement le plan sécant P.
Troisième méthode. Le plan P coupant l'hyperboloïde S et son cône asymptote A suivant des courbes E et E, concentriques, semblables et semblablement placées, les projections E* etE,*, E** et E,"" seront aussi des sections coniques ^ concen* triques , semblables et semblablement placées.
Ayant donc construit les projections E,^ et E/ de la section E, da cône A par le plan P 9 il nous suffira de connaître les projections d*un point y de la courbe E pour construire ses divers points , ou, en d'autres termes, pour construire les divers points de ses projections E* et E**.
Quatrième méthode. On pourra , par le point % en lequel le plan sécant P coupe Taxe A, mener une série de droites B , B', B'% etc. , toutes situées dans le plan P , et chercher les projections des points en lesquels chacune de ces droites B , B' , B^', etc. , perce la surface S. Le problème est donc ramené au suivant.
Étant donnés un hyperboldîde à une nappe et de révolution £ et une droite B s'appuyant sur son axe A , construire les projections du point y en lequel la droite B perce la surface £.
Ce problème n'est qu'un cas particulier d'un problème plus général et qui s'énonce ainsi :
Trouver les projections du point ou des deux points en lesquels une droite B de direc* tion arbitraire perce un hyperboldîde à une nappe et de révolution.
La droite B peut affecter trois positions par rapport à l'axe de révolution A de la surface S.
1 • La droite B peut couper l'axe A.
2* La droite B peut être parallèle à l'axe A.
3** La droite B peut n'être pas située dans un même plan avec l'axe A.
De ^intersection dun hyperboloîde à une nappe et de révolution par une droite.
436. Nous allons résoudre le problème , dans chacun des trois cas énoncés ci-dessus , et la solution du premier cas nous donnera la solution du problème
proposé précédemmenf , savoir : Trouver tes projections de la courbe E section (Cun hyperboldîde à une nappe et de révolution 1 par un plan P.
Premier cas. La droite B coupant l'axe A.
Lorsqae deux surfoces de révolution ont même axe de rotation A, si elles se coupent, elles ne peuvent se couper que suivant des cercles (des parallèles) engendrés par le mouvement de rotation autour de Taxe commun A des points en lesquels se coupent leurs courbes méridiennes situées dans un même plan méridien. Si donc on Tait tourner une droite B coupant Taxe A en un point z , cette droite B engendrera un cône S, ayant le point z pour sommet et la droite A pour axe de révolution.
Les deux surfaces conique S^ et hyperboldide à une nappe 2 se couperont donc ( si eHes se coupent) suivant des parallèles ou, en d'autres termes , suivant des cercles dont les plans seront perpendiculaires à Taxe A.
Désignant par i un de ces parallèles , on voit que ce parallèle i sera complètement connu si Ton connaît un de ses points, puisque son centre doit être sur Taxe A et que son plan est perpendiculaire à cet axe A.
II nous suffira donc , pour connaître complètement les parallèles 3 suivant
lesquels les deux surfaces Z et S, se coupent, de déterminer un point de chacun
d*6IEX.
Cela posé :
On peut déterminer un point d^un des parallèles i suivant lesquels le cône S, et tk^perboloîde £ se coupent, ou I* en cherchant V intersection d'une des génératrices droites du cône S, avec la surface 2 , ou 2' en cherchant Vintersection d'une des génératrices droites de Thyperboloïde 2 avec le cône 2,.
Jusqu'à présent nous ne savons pas trouver les points de rencontre d*une droite coupant Taxe A avec un hyperboloïde à une nappe ayant cet axe A pour axe de révolution , car c'est précisément le problème à résoudre.
Mais nous savons (n* 351) trouver les points de rencontre d'une droite, quelle qne soit sa position dans l'espace , avec un cône.
C'est donc en ramenant le problème proposé , savoir : Trouver les points de rencontre d'une droite B coupant taxe A avec C hyperboloïde à une nappe S au problème : Trouver les points de rencontre d'une génératrice droite G cf tm hyperboloïde à Mne nappe et de révolution E avec le cône S, engendré par une droite B coupant taxe A au point z et tournant autour de cet axe A , que nous pourrons résoudre avec facilité le problème proposé.
Et pour le résoudre , nous n'aurons qu'à faire passer par le sommet z du cône S, et la génératrice G de l'hyperboloîde 2 un plan Q ; ce plan Q coupera le cône S, suivant deux génératrices droites B, et B, , lesquelles couperont la droite G en
deax points A, ^^ ^s 9 et ces points engendraront par lenr rotation autour de Taxe A deux fMt&Uélei d« et d, , lesquels couperont la droite B en deux points y et tf' qui seront ceux en lesqneis cette droite B perce Thyperboloïde à une nappe et de Tévolution S«
Dbuxièhb CAt« La éroile B étant parcdlête à Vaxe A.
La droite B étant parallèle à Taxe  engendre par son mouvement de rotation autour de cet axe A un cylindre de révolution S, ; on aura donc à construire les points en lesquels la génératrice droite G de l'hyperboloïde 2 perce ce cylindre S, (n^351).
Troisième cas. La droite B n étant pas située dans un mêmejÀan avec l'axe A.
Si Ton fait tourner la droite B autour de Taxe A, elle engendrera un hyperboloïde à une nappe et de révolution H, , et dès lors on aura à chercher les*points de rencontre de la génératrice droite G de l'hyperboloïde 2 avec Thyperboloïde S^ on bien on aura à chercher les points de rencontre de la génératrice droite B de Thyperboloïde ^3 avec l'hyperboloïde S.
Le problème à résoudre est donc, dans ce troisième cas, toujours le même.
Cependant par on mtifice particulier , on peut ramener le problème proposé à celui où il s*agit de trouver rinteraection d*une droite et d'un cône de révolution.
Et en effet : si par la droite B nous faisons passer un plan Q oûupant Thyperboloîde £ el son cône asymptote A suivant deux sections coniques E et E, , les points 9 et 9^ en lesquels la courbe E sera coupée par la droite B seront ceux en lesquels cette droite B perce la surface hyperboloîde £.
Or , nous pouvons toujours par Taxe A mener nn plan méridien M parallèle à la droite B; ce plan M coupera le cône A suivant deux génératrices droites L et L\ et à la manière d'être de la trace Y* du plan Q par rapport aux droites L et L^ (en prenant le plan M pour plan vertical de projection) , on reconnaîtra (n* 28i) si te pian Q coupe le cône A suivant une eltipêe on une parabole oti une hyperbole ; on saura donc qu^le espèce de section coniqtre on a pour E et IS..
Cdaposé :
Imaginons la droite B et les sections coniqued fi et E, concenlf iqueâ , getnbkbtèé et semblablement placées; cette droite B coupe la courbe E aux points y ^ly'i joignons chacun de ces points y et y' avec le centre 0 commun aux deux courbes E et E, ^ on aura deux droites qui couperont E, t^rsi pointa y, ^ i/^, ; tinlston^ ces points y, et y/ par une droite B, ^ il est évident qne les droites B et B, seront pa* rallèles.
Si donc nous pouvons facilement déterminer un point de B, , il suffira de mener par ce point une droite parallèle à B pour avoir B, ; par suite il sera facile de Construire directemeiit (sans avoir besdiii dé construire la courbeË J les points y, et
y\ en lesquels B, perce le cône A; puis, comme il est facile de déterminer le centre 0 de la courbe E, sans construire cette courbe , il suffira de mener les droites <^, et oy/ qui viendront rencontrer la droite B aux points cherchés y et ^.
Or, il est très-facile de se procurer un point de la droite B,; et en effet, ayant construit le centre o de la courbe E (point o qui est au milieu de la portion de Y* comprise entre les droites LetU), on pourra construire un point m de la courbe Ë , section de Thyperboloïde 1 par le plan Q, puis chercher le point m, en lequel la droite om perce le cône A.
Et le rapport entre les rayons vecteurs homologues des courbes semblables et
semblablement placées E et E, sera connu , car il sera égal à — = a.
Si donc on prend sur la droite B un point arbitraire p, et que Ton joigne les points p et 0 par une droite , on pourra toujours sur op prendre un point p, compris
entre o et p, et tel que Ton ait — = a.
Menant parle point p, une droite parallèle à B, on auraB,.
437. Cependant la solution précédente pourrait offrir quelques difficultés, dans le cas où les courbes E et E, seraient deux hyperboles concentriques, mais inversement semblables; c'est pourquoi on cherchera à diriger d'abord le plan Q (mené par la droite B) de manière à avoir pour les sections E et E, deux courbes sem* blables et semblablement placées , ce que Ton pourra toujours faire quelle que soit la position de la droite B par rapport à Thyperboloïde S, et Ton prendra le plan M perpendiculaire à ce plan Q, dès lors le plan M ne sera plus parallèle à la droite B.
Toutefois , si le plan Q passant par la droite B était dirigé par rapport à Thyperboloïde S de telle manière que les courbes E et E. fussent deux hyperboles con» centriques et inversement semblables, voyons si dans ce cas la solution précédente ne peut pas encore être employée , au moyen de certaines modifications.
Mais avant de résoudre cette question , examinons les sections hyperboliqueê que Ton peut obtenir dans un hyperboloïde à une nappe et de révolution en le coupant par un plan.
Des hyperboles obtenues en coupant un hyperboloïde à une nappe et de révolution
par des plans parallèles.
438. Si Ton mène par le centre o (ou par le sommet o du cône asymptote A) d'un hyperboloïde à une nappe et de révolution 1 un plan P coupant le cône A suivant deux génératrices droites L et L', on sait que si Ton mène un plan T
tangent au cône A suivant la droite L , il coupera Thyperboloïde S suivant deux génératrices droites 6 et K de systèmes différents qui sont parallèles entre elles et à la droite L.
On aura de même deux génératrices droites de systèmes différents G' et K' de rhyperboloïde £ en menant un plan T' tangent au cône A suivant la droite U.
Les droites G et K, G' et K' se couperont en des points p et jj! qui seront sur une droite Y passant par le centre o de la surface S. Nous savons encore que le plan 0 tangent en p à la surfaces sera parallèle au plan 0' tangent en p' à la même surface I et les plans O et 0' seront parallèles entre eux et au plan P.
Cela posé :
Tout plan F parallèle au plan P coupera le cône A suivant un hyperbole E, et rhyperboloïde £ suivant une hyperbole E qui auront même centre situé au point o' en lequel le plan P' coupe la droite Y ou (p, p'), et dont les asymptotes Z et Z' seront respectivement parallèles, la première aux droites G, K et L, et la seconde aux droites G', E' et U, car elles seront les intersections des plans T et T' par le plan V.
Cela posé :
Il pourra arriver 1* que les courbes E et E. soient situées dans les mêmes angles opposés par le sommet et formés par les droites Z et Z\ et alors ces courbes seront concentriques, semblables et semblablement placées, et c'est ce qui aura lieu toutes les fois que le plan sécant P^ sera situé entre les plans 0 et 0^; ils pourra arriver 2** que les courbes E et E. soient situées dans les angles adjacents formés par les droites Z et Z', et alors ces courbes seront concentriques et inversement semblables , et c'est ce qui arrivera toutes les fois que le plan sécant V sera situé au delà de Tun ou de Vautre des plans 0 et 0^ et cela par rapport au centre o de la surface 2.
439. Lorsque les hyperboles E et E, sont placés comme l'indique \^fig^ 255, les points homologues sont ceux en lesquels ces courbes sont coupées Tune et l'autre par une droite menée par leur centre commun.
440. Mais lorsque les hyperboles E et E, sont placées comme l'indique la fig' 256, comment doit-on construire leurs points homologues?
Menons (Jig. 256) une droite quelconque mais parallèle à l'asymptote 1' et coupant l'asjmptote Z au point /, la courbe E au point m' et la courbe E, au point na/, les points m' et m\ seront dits points homologues-
Menons une seconde droite parallèle à Z' et coupant Z au point r, la courbe E au point m et la courbe E, au point m,, en vertu de ce qui a été dit (n** 327 ) nous aurons:
m'i^Xor^=imrXor
et
d'où
mV my
mr m^r
On sait que si Ton unit les points m et m', m, et m/ par des cordes , ces cordes prolongées iront se couper en un point t situé sur Fasymptote Z, et si Ton mène les tangentes 9 en m' à la coube E et 9, en m\ à la courbe E,, ces tangentes 9 et 0, iront se couper en un point t' situé sur i^asymptote Z.
Maintenant joignons le centre o avec les points homologues m' et m',, la parallèle niiîi, à Z' coupera la droite B ou ( o, m') au point a?, et la droite B, ou (o, m\ ) au point X, et je dis que Ton aura :
Et cela est évident puisque Ton a : — ^,=fr et que les droites mm, et m'm', sont
parallèles.
Cela posé ;
441. Étant donné un hyperboloïde à une nappe et de révolution S et son cône asymptote A et une droite B^ si pour déterminer les points w! et m" en lesquels la droite B perce la surface £, on obtient (par le plan Q passant par cette droite B) pour sections 1 "" dans la surface S un hyperbole E et ^ dans le cône A une hyperbole E^y ces hyperboles étant telles qu'elles soient inversement semblables, on devra opérer de la manière suivante pour obtenir les points m' et m".
On déterminera les asymptotes Z et Z' des courbes E et E. ; on construira un
point quelconque m de la section E faite dans Thyperboloïde £ par le plan Q; par
le point m on mènera une droite R parallèle à Tasymptote 7J et Ton cherchera le
point m, en lequel cette droite R perce le cône A; ce point m, étant déterminé ^ on
remarquera que la droite R coupe Tasymptote Z en un point r et la droite B en
un point x, on déterminera sur la droite R ou (m ^ m,) un point x, satisfaisant à la
proportion :
mr'.m^wrxirx^
On unira le centre o des hyperboles E et E, avec le point x, et Ton aura une droite B, située dans le plan sécant Q; on déterminera le point m\ en lequel le cône A est percé par la droite B,; ce point m', étant déterminé , on fera passer par m', une droite R' parallèle à Z' et R' coupera la droite B en un point wl qui sera celui en lequel cette droite B perce Thyperboloïde £.
La droite B, coupera toujours le cône A en deux points n/, et m'^ puisque si l'hyperbole Ë était construite, il est évident que la droite B, en vertu de ce qu'elle passe par le centre o de Thyperbole E, couperait cette courbe en deux points.
Chacun des points m\ et m!\ servira donc à déterminer sur la droite B un point , et ainsi on obtiendra sur B les deux points m! homologue de m\ et m" homologue dem'V
442. Le problème : trouver les points en lesquels une droite B perce un hyperboUnde à une nappe et de révolution £ , F axe  de la surface 2 et la droite B n^ étant pas situés dans un même plan , peut être facilement ramené à la solution du problème : trouver les points en lesquels une droite W perce un hyperbolotde à une nappe et de révolution Z', la droite B et taxe A' de la surface H étant dans un même plan.
Et en effet :
Concevons un hyperboloïde à une nappe et de révolution 1 ayant son centre en un point o et ayant pour axe de révolution une droite A.
Menons par le centre o un plan P perpendiculaire à Taxe A^ nous couperons la surface 2 suivant son cercle de gorge C , et si nous faisons passer par Taxe A un plan méridien M et que par le centre o nous menions une droite N perpendiculaire au plan M, cette droite N percera le cercle C en un point 9; et si par le point f nous menons un plan T parallèle au plan M, ce plan T sera tangent au point q à la surfece 2 et la coupera suivant deux génératrices droites 6 et K de systèmes diffé^ rents et qui feront avec une droite Y (menée parallèlement à Taxe A par le point q) des angles égaux « Tun à droite et Fautre à gaudie, en sorte que les deux droites 6 et K comprendront entre elles un angle égal à %x.
Si nous coupons la surface 2 par un plan Q parallèle au plan M (ce plan Q étant situé entre les plans T et M), ce plan Q coupera le plan P suivant une droite D qui coupera le cercle de gorge C en deux points cf et (f , et ce plan Q coupera la surfaos 2 suivant un hyperbole E ayant les points d et d' pour sommets , et ses asymptotes Z et Z' seront respectivement parallèles aux droites 6 et K.
Cela posé :
Si dans le plan P nous traçons une série de cercles C, C% C^^ etc., coupant le cercle C aux points d et (f et ayant dès lors leurs centres o', of, o*', etc., situés sur la droite N ou ( 0 , qr) et si par ces centres nous menons les droites A' , A^, A'", etc. , parallèle à Taxe A et si par les points </, 9*, tfj etc. , en lesquels ces cercles sont coupés par la droite N, nous menons les droites G' et K', <y et K", G"' et K'", etc., respectivement parallèles aux droites G et K, les droites G', G", G'^, etc., ou K', K*', K", etc., en tournant respectivement autour des axes A', A",
A^, etc., engendreront une suite d'hyperboloïdes à une nappe et de révolution l'j l"j lU'y etc, qui s'entre-couperont tous suivant l'hyperbole E.
Gela posé :
Si Ton a une droite B située dans le plan Q , cette droite percera Thyperboloïde 2 en deux points ^ et y, situés sur Thyperbole E (si la droite B était parallèle à Tune des asymptotes de la courbe E , elle ne percerait évidemment la surface 2 qu'en un seul point).
Par conséquent la droite B percera les divers hyperboloïdes £', S", S'", etc. , aux mêmes points ^ et t^,.
Si donc on prend parmi les hyperboloïdes ï', 2", S'", etc. , celui £' dont le cercle de gorge Çl a la droite dfH pour diamètre , la droite B coupera Taxe A' de cet hyperboloïde S'; et en déterminant les points t/ et y, en lesquels la droite B perce cette surface Yl ovl aura les points en lesquels elle perce la surface S.
Mais il faut remarquer , que le plan Q peut être en dehors du plan T par rapport au plan M , et que dès lors Thyperbole E n'aurait pas ses sommets situés sur le cercle de gorge C puisque la droite D , suivant laquelle le plan P serait coupé (dans ce cas) par le plan Q , serait extérieur à ce cercle C.
443. Si ce qui vient d'être dit ci-dessus arrivait , nous ferons remarquer que pour obtenir la solution du problème , il sera toujours facile de mener par l'axe A un plan P. perpendiculaire au plan Q et le coupant suivant une droite D, ; on pourra facilement déterminer les points d, et cf', en lesquels la droite D, parallèle à Taxe A perce l'hyperboloïde £; ces points d, et <// seront les sommets de Thyperbole E, suivant laquelle la surface S est coupée par le plan Q.
Dès lors décrivons dans le plan P, et sur la droite d,c(', comme diamètre un cercle G. , ce cercle aura son centre o, sur la droite N intersection des plans P et P, ; cette droite N percera le cercle G, aux points 9, et q^ , et nous pourrons par le point 7, mener une droite G. parallèle à G; la droite G, fera avec la droite D intersection des plans P et Q des angles complémentaires de ceux qu'elle fait avec la droite A , puisque les deux droites A et D sont rectangulaires entre elles.
En faisant tourner la droite G, autour de la droite D, prise pour axe de rotation , elle engendrera un hyperboloïde à une nappe et de révolution 2', qui coupera l'hyperboloïde S suivant l'hyperbole E, ; dès lors la droite B située dans le plan Q percera les deux hyperboloïdes £ et S' en deux points j/' et t/\ qui seront situés sur la courbe E et nous aurons ainsi ramené le problème au cas simple où la droite B coupe l'axe de révolution D de l'hyperboloïde à une nappe et de révolution 2',.
Reconnaître »i V liyperbolaide donné par trois droites directrices sera ou non de révolution.
444. Prenons un hyperboloïde à une nappe et de révolution £, ayant une droite
A pour axe de révélation. Sur cette surface S prenons une génératrice G du pre^ mier système et sur cette droite 6 une suite de points mjtnfj m" ^ m"' j etc. Imaginons les génératrices droites du second systètne K passant par m
K' — m' K" — m' etc. , — etc.
les droites G et K font entre elles un angle aigu a et un angle obtus 6 , et l'on a : (a-h6 = 190*).
Si nous menons les plans Tjt\V', etc., tangents à la surface £ aux points nij m\ m"j etc. , et si nous menons par chacun des points mjtnff m" , etc., deux plans S et S, , S' et S', , S'' et S", , etc. , perpendiculaires aux plans T , T', T", etc., et tels que les plans S divisent en deux parties égales les angles a que font entre elles la droite G et les droites K y et que les plans S, divisent en deux parties égales les angles 6 que font enlre elles la droite G et les droites K , les plans S passeront tous par Taxe A et les plans S. se couperont deux à deux suivant des droites qui formeront une surface développable (.
445. Si donc on donue trois droites K, K% K'' dans Tespace , et si Ton construit une droite G s' appuyant sur ces trois droites et les coupant respectivement aux points m y m% m" j il faudra, pour que ces trois droites K, K% K'% appartiennent à un hyperboloïde à une nappe et de révolution 1 , que la série des plans S , ou la série des plans S, se coupent tous suivant une même droite A qui sera l'axe de la surface S.
En sorte que si nous désignons par J les droites d'intersection des plans T par les plans bissecteurs S des angles a et par J, les droites d'intersection des mêmes plans T par les plans S, bissecteurs des angles 6, toutes les droites J s'appuieront sur l'axe A , et toutes les droites J^ seront parallèles à un plan Q perpendiculaire à l'axe A , ou vice versd.
Transformation de C hyperboloïde à une nappe et de révolution en un hyperboloïde
à une nappe et non de révolution.
446. Imaginons un hyperboloïde 2 à une nappe et de révolution. Désignons par A son axe ^ par G son cercle de gorge et par G et K ses génératrices droites de systèmes différents.
Menons par l'axe A un plan méridien M et supposons deux génératrices droites G et K parallèles au plan M et se coupant dès lors en un point p situé sur le cercle de gorge C; le plan (G, K) sera perpendiculaire au plan du cercle G et le coupera suivant une droite 0 tangente en p à ce cercle G.
s* rARTiE. 32
Noos pourrons transformer Thyperboloïde à une nappe el de névohition £en un hyperboloide à une nappe et non de révolution l^ de diverses manières et en employant toujours le Mode de trernsfonnaëên ctfimdrique; et en efiét, coupons tout le système par une suite de plans X, X' , X" , etc. , perpendiculaires à Taxe A.
Chaque plan X coupera Taxe en un point q y la droite 6 en un point m j la droite K en un point n , la surface 2 suivant un cercle D ayant le point q pour centre et son rayon étant égal kqmaukqm^ car on a : 9m =f», le pian M suivant une droite B.
447. Premièrti transformation. Par un point quelconque x du cercle D menons
une perpendiculaire N au plan M, cette droite N coupera la droite B en un point b.
xb Prenons un point x^ sur N tel que Ton ait —r= constante = a^ .
xfi
Tous les points x^ seront sur une ellipse D, ayant le diamètre du cercle D situé sur le plan M pour Tun de ses axes ; et cet axe sera le petit axe de Tellipse D, si Ton a ; a, < 1 et il sera le grand axe de Tellipse D, si Ton a : a, >1 .
Toutes les ellipses D, situées respectivement dans les divers plans X, X' formeront une surface 2, qui sera la transformée cylindrique de la surface S.
Je dis que la surface S, sera un hyperboloïde à une nappe et non de révolution ^ et qu*ainsi elle sera une surface doublement réglée , et en effet :
Si Ton avait pris le point m de la droite G et abaissé de ce point m une perpendiculaire B, sur le plan M, cette droite B, aurait percé le plan M au point 6,; et
h tn
prenaat mut B. un point m, tel que Ton ait 7-^— =11,, le point m, serait situé sur
Téllipse D, .
Dès lors on voit que toutes les droites 6 , comme toutes les droites E , seront transformées en des droites G, et en des droites K. situées sur la surface £,.
Le cône asymptote A de la surface de révolution 2 sera transformé en un cône non de révolution A, ayant la droite A pour axe , et ce cône A, sera asymptote de la surface 2, tout comme le cône de révolution A Tétait de la surface 2.
Et par le mode de transformation cylindrique employé , il est évident que le plan (G, K) perpendiculaire au plan du cercle C sera transformé en un plan (G, , KJ aussi perpendiculaire au plan du cercle C, et que le cercle de gorge C sera transforiné en une ellipse de gorge C, ; et que la tangente 6 au cercle C et au point p sera transformée en une droite 9, tangente à Tellipse C, au point p, , le point p, étant le transformé du point p.
448. Deuxième transformation. Par diacaiie des droites B, B', B'^, etc. , menons
des plans X, , X\ , X'', , etc. y parallèles entre eux, les plans X et X, , X' et X\ ,... comprenant entre eux. un angle constant mais arbitraire 6.
Cela fait :
Par un point quelconque x du cercle D menons une perpendiculaire N au plan M , cette droite N percera la droite B au point b et sera située dans le plan X \ menons par le point b dans le plan X, une droite N, perpendiculaire à la droite B et prenons sur N, un point x, tel que Ton ait
— ' = constante =a.
Tous les cercles D seront transformés en des ellipses D, qui formeront
une surface 2, qui sera doublement réglée comme la surface 2.
449. Tromème iransfornwUion. Par un point quelconque x du cercle D ayaitf
mené une droite N perpendiculaire à la droite B et la coupant en un point b , nous
mènerons par ce point b une droite N, située dans le plan X (dans le plan du cercle
D) et faisant avec N un angle arbitraire a y. et nous prendrons sur N, un point x,
tel que Ton ait :
tet
hx
= constante = a.
tous les points x^ ainsi déterminés , formeront une surface 2, doublement réglée comme la surface 2.
450. Quatrième transformatiim. Par un point quelconque x du cerde D ayant mené une droite N perpendiculaire à la droite B et la coupant au point b, now mènerons par ce point b une droite N. située dans le plan X, et faisant avec la droite B non un angle droit , mais un angle arbitraire y j puis nous prendrons sur N, un point x^ tel que Ton ait :
-r-i = constante = a.
hx
tous les points x, formeront une surface 2^ qui sera doublement réglée comme la surface 2«
Ainsi les quatre surfaces 2, , 2^ , 2, , 2^ , en lesquelles on peut transformer par le mode de tramjormation cylindrique ^ Thyperboloïde à une nappe et de révolution 2, sont elles-mêmes des hyperboloïdes à une nappe et non de révolution , jouissant des mêmes propriétés que la surface 2 , sauf les modifications que le mode de transformation peut et doit apporter à chacune de ces propriétés.
La transformation cylindrique dun hyperbolaide à une nappe et de révolution en un hyperbolotde à une nappe non de révolution conduit à la solution du problème : trouver
les points de rencontre d'une droite et d*un hyperboMde à une nappe non de révolution. 451. Si l'oD se donne sur le plan horizontal une ellipse E comme trace d'un hyperboloïde 2^ à une nappe et non de révolution , si par le centre o de cette ellipse Ë on élève une verticale A qui sera l'axe de la surface 1^ , si Ton mène un plan horizontal X coupant Taxe A en un point o' et que sur ce plan X , on construise une ellipse E' ayant le point o' pour centre et qui soit semblable et semblablement placée à Fellipse E , prenant cette ellipse E' pour Tellipse de gorge de la surface 2, et faisant mouvoir utie droite G, sur E et E' et de telle manière que G,* soit tangente à E'^, on aura les diverses génératrices droites de la surface 1,.
Cela posé :
Si l'on a une droite B, et que l'on demande de construire les points en lesquels elle perce la surface S^ , on pourra transformer la surface S, en un hyperboloïde à une nappe et de révolution £ ayant pour cercle de gorge le cercle G décrit sur le petit axe de l'ellipse E' comme diamètre, et pour opérer cette transformation^ désignons par D le petit axe de l'ellipse E^ on abaissera d'un point m, de la courbe E' une perpendiculaire sur la droite D, laquelle coupera la droite B en un point b et le cercle C en un point m , on connaîtra donc le rapport
bm
Cela fait, on prendra deux points g, et g\ sur l'une des génératrices droites G, de la surface 2, , on abaissera de ces points des perpendiculaires sur le plan M déterminé par l'axe A et la droite D, ces perpendiculaires perceront le plan M aux points p et p' ; on prendra sur la droite pg^ un point g et sur la droite p'g/ un point gf j tels que l'on ait :
et les points g et g détermineront la génératrice droite G de l'hyperboloïde 1 ayant la droite A pour axe de rotation et le cercle C pour cercle de gorge.
Nous transformerons de la même manière la droite B, en une droite B (en vertu de la transformation cylindrique , il ne faut pas oublier que les droites B et B, se couperont en un point qui serei forcément situé sur le plan M). Il suffira ensuite de construire, par l'une des méthodes exposées ci-dessus, les points a: et j^ en lesquels la droite B perce l'hyperboloïde à une nappe et de révolution 1 pour connaître les points X, et y, en lesquels la droite B, perce l'hyperboloïde à une nappe et non de révolution £,»
Construction directe d'un kyperbolmde à une nappe et non de révolution.
452. On peat construire directement un hyperboloïde à une nappe et non de révolution, par divers modes différents parmi lesquels nous indiquerons les cinq suivants.
453. Première construction. Concevons trois plans équidistants P,P'etP", et prenons Tun d'eux P' pour plan horizontal de projection. Menons une droite A perpendiculaire à ces trois plans et les coupant aux points o, o' et o'^
Traçons dans le plan intermédiaire P une ellipse E ayant le point o pour centre , et dans les plans P' et P'^ traçons aussi des ellipses £' et E'^ ayant respectivement pour centre les points o' et o" et supposons que les deux ellipses E^ et E'' sont identiques ou superposables (en sorte que ces ellipses E' et E^' se projetteront sur le plan horizontal de projection P' suivant une seule et même courbe) et que les trois ellipses E, E^ E'' sont semblables et semblablement placées ; de plus admettons que Tellipse intermédiaire E est plus petite que Tellipse E' ou E'^
Cela posé :
En un point quelconque m^ de E* menons 0!^. 257) une tangente 6 à E'^, elle coupera l'ellipse E"^ ou E'^* en deux points ; cette tangente 9 pourra être regardée comme la projection horizontale de deux droites G et E s'appuyant sur les trois ellipses E, E'^ E^' et se croisant au point m de Tellipse intermédiaire.
Et cela aura lieu parce que les ellipses E^ et E'* ou E'''^ étant concentriques et semblables, on a : ni'p'^=^m^q['^ ou ni'p"^=^m^(i[^.
Ainsi la surface engendrée par une droite se mouvant dans l'espace en s*ap^ puyant sur les trois ellipses E,E', E'', sera une surface doublement réglée, et évidemment un hyperboloïde à une nappe et non de révolution.
454. Deuxième construction. Concevons trois plans parallèles équidistants entre eux Q, Q', Q'' , dont Tun Q soit intermédiaire ; traçons sur le plan Q une hyperbole E , et sur les plans Q^ et Q^' des hyperboles E^ et E^', telles que ces courbes se projettent sur un plan vertical de projection parallèle aux plans Q^Q'^Q^'^ suivant des hyperboles semblables, semblablement placées et concentriques; les deux hyperboles £' et E'^ se projetteront en une seule hyperbole E'" ou E''** et rhyperbole E se projettent en une hyperbole E*" extérieure à Thyperbole E'' ou E'^
Si par un point m"" de E** nous menons à cette courbe une tangente 6 {fig. 258), elle coupera F hyperbole E^*" en deux points et cette droite 0 pourra être considérée comme la projection verticale de deux droites G et E s'appuyant sur les trois courbes E, £', E'"^ et se croisant au point m, et cela aura lieu parce que les courbes
E*' et E'*' (ou E''**) sont deux hyperboles concentriques, semblables et semblablement placées, et que Ton a : wy =my*' ou mY^'' = m''^''.
La surface engendrée par une droite se mouvant dans l'espace sur les trois hyperboles £,£',£'' sera donc une surface doublement réglée, et sera évidemment un hyperboloïde à une nappe et non de révolution.
455. Concevons un plan T tangent au cône asymptote A d'un hyperboloïde a une nappe et de révolution 3 , ce plan coupera la surface 2 suivant deux génératrices droites G el K' de systèmes différents y lesquelles seront parallèles entre elles. Désignons par g et k les points en lesquels ces droites G et K' coupent respectivement le cercle de gorge G de ta surface 2.
Gela posé , imaginons deux plans P et F équidistants du plan T et parallèles entre eux et à ce plan T , le plan P coupera T hyperboloïde S suivant une parabole E et le plan P^ coupera aussi la surface £ suivant une parabole E', ces deux paraboles E et B' seront égales, mais tournées en sens inverse, et leurs sommets seront situés sur Thyperbole méridienne que l'on obtiendra en coupant la surface £ par un plan M perpendiculaire aux trois plans P, T et F.
Il est évident que le sommets e de la courbe E et e' de la courbe E' seront en ligne droite avec le centre o du cercle de gorge G et que œs deux soBunels e et e' seront équidistants du point o.
Cela posé :
ProjetODS sur le p)an T pris pour plan horizontal de protection y les droites G et K' , et les courbes E et E\
Nous aurons la fig. 259 , en supposant un plan vertical de {H*ojection parallèle au plan méridien M , et nous pourrons déduire la construction suivante :
Troisième consiruciion. Étant donc données les paraboles E et E', les droites G et K' comme l'indique la fig. S159 , si l'on fait mouvoir une droite G, sur la droite K' et les paraboles E et B', on engendrera une sitrlace réglée S, qui sera un hyperboloïde à une nappe et de révolution , et si Ton fait mouvoir une droite K sur la droite G et les deux paraboles E et E', on engendrera la même surface 2,.
Pour déterminer les droites G, et K, qui passent par un point m de la parabole E , il est évident que l'on devra exécuter les constructioB& suivantesii
Par le point m^ arbitrairement pris sur E^, on mènera une perpendiculaire N aux droites G et K' coupant K' au point r et G au point r'.
On prendra sur la droite N deux points p et p' lels que l'on ait : mV=f7> et ni"r^=^rp' et par ces points p et p' on mènera les droites A et A' parallèles entre elles et aux droites G et K^
La droite A coupera la courbe E''^ en un point m''^ et la droite A' coupera la même courbe E^'^ en un point m' ^^ les droites G^^ unissant les points m'' et m'* et
— 2àS —
K,^ «lissant teB points mf" et m',^ seront les pro^cûoos des droites G, et K, génératrices de systèmes différents de la surfine fayperboloïde £ et se croisant au point m.
La droite G, coopéra la droite K' en un point n et la droite K, coupera la droite G en im poifit n\ et il est évident que Ton doit «voir dans Tespace nm — tmn' et n'mf=n^m/j ce qui est bien le résultat obtenu par notre construction.
456. En combinant la première et la seconde construction exposées ci-dessus , on peut déduire la quatrième construction suivante :
Quatrième construction. Si ayant deux plans perpendiculaires entre eux P et Q et se coupant suivant une droite L on trace : 1"" dans le plan Q une ellipse E ayant son centre en un point o de la droite L et Tun de ses axes dirigé suivant celte droite L, et %"" dans le plan P une hyperbole H ayant le même point o pour centre, son axe transverse étant dirigé suivant la droite L, et si de plus les deux courbes E et H se coupent en leurs sommets situés sur la droite L, en faisant mouvoir une droite G sur les courbes E et H de telle manière que la projection orthogonale de G sur le plan P soit tangente à H ou que la projection orthogonale dé G sur le plan Q soit tangente à E , Ton engendrera j dans les deux cas , une seule et même surface gauche qui sera doublement réglée et qui ne sera autre qu'un hyperboloïde à une nappe et non de révolution.
457. Et Ton peut généraliser cette proposition de la manière suivante.
On peut prendre les deux plans P et Q faisant entre eux un angle a , et Ton peut supposer que la droite L soit dirigée suivant un diamètre de l'ellipse E et un diamètre de Thyperbole H; alors, désignant par m F un des deux points en lesquels E et H se coupent, et par Q la tangente en tn à E , et par d la tangente en m à H , il faudra supposer la droite G projetée sur le plan P par des droites parallèles à 6 et supposer aussi la droite G projetée sur le plan Q par des droites parallèles à d.
458.- On peut couper un hyperbol(M[de à une nappe et non deVévolution 2 par un plan M passant {fig. 260) par Taxe A de cette surface, ce plan M coupera rhyperboloTde 2 suivant une hyperbole E et le cône asymptote A suivant deux génératrices droites L et L' ; concevons d'abord le plan T tangent an cône A tout le long de la génératrice L, ce plan coupera la surface S suivant deux génératrices droites G et K, de systèmes différents qui seront parallèles entre elles et à la droite L ; concevons ensuite le plan T' tangent au cône A tout le long de la générata-ice L', ce plan coupera la surface S suivant deux génératrices droites G, et K, de systèmes différents qui seront parallèles entre elles et à la droite L'.
l^ droileB G et K, , G, et K se couperont respectivement «n des points y et y,
qui seront en ligne droite avec le centre o de la surface byperboloïde 2, ou en d'autres termes avec le sommet o du cône asymptote A.
Gela posé :
Gnquième conêtruction. D'après ce qui précède , il est évident que si Ton fait mouvoir : V une droite G' sur Thyperbole E et sur les droil^es E et E,, ou 2* une droite E' sur Thyperbole E et sur les droites G et G,, on engendrera une même surface byperboloïde £ qui sera à une nappe et non de révolution.
Ce mode de génération de Tbyperboloïde à une nappe et non de révolution conduit à une propriété remarquable dont jouit cette surface.
Et en eOet :
Si dans le plan T, on mène au point m de Thyperbole E une tangente , elle coupera les droites L et L' aux points / et /' ; et si par ces points / et /', on mène des parallèles à la droite ^^^ , elles couperont , Tune les droitesG et E, aux points i et r, et l'autre les droites G, et E aux points î, et r ; et il est évident que l'on aura : tm = t,m et rm= r^m , puisque l'on a : ml=ml' en vertu de la manière d'être d'une tangente à une hyperbole par rapport aux asymptotes de cette courbe, et aussi en vertu de ce que les droites L et V sont équidistanles , la première des génératrices G et E, et la seconde des génératrices G. et E.
La droite tt\ ne sera autre que la droite G' et la droite rr^ ne sera autre que la droite E' dont nous avons parlé ci-dessus.
Gela posé :
Joignons les points g Q^ij g, et t, par des droites, nous formerons ainsi un tétraèdre igg}r ^^ J^ d^^ Q^^ quelle que soit la position du point m sur l'hyperbole E , tous les tétraèdres ainsi déterminés auront même volume.
Et en effet :
Si par le point m et dans le plan T de l'hyperbole E Ton mène mp parallèle à V et mq parallèle à L , on aura :
opxoq^=^ constante = a
Or, il est évident que les trois points g^ q eii^j ainsi que les trois points ^^ p et t sont en ligne droite. On a donc^ puisque og=og^ :
j)f^i\=2.09 et g%=zi,op donc l'on a :
9t^i X 9« == constante = a (i )
Abaissons du point g une perpendiculaire sur G., cette droite gb sera constante ,
quelle que soit la position du poiot t, sur la droite G,. Désignons cette perpendiculaire par h.
Abaissons ensuite du point i une perpendiculaire xi sur le plan T' qui contient
la base gg^i^ du tétraèdre , il est évident que Ton aura : gi=xixdj d étant une quantité constante, quelle que soit la position du point t sur la droite G; désignons
xi par H.
Nous pourrons multiplier les deux membres de Téquation (1) par la quantité constante h et remplacer^ par sa valeur sans changer Téquation , et Ton aura :
y^XfcxH.d=a.A=constante.
Et désignant gj^ par by on aura :
= constante.
Ce qui démontre le théorème énoncé {*).
De la surface gauche engendrée par une droite se mouvant parallèlement à un plan ,
en s^ appuyant sur deux droites non parallèles entre elles.
459. Concevons dans Tespace deux droites K' et E"^ non parallèles entre elles, et un plan P coupant ces droites aux points fr et a {fig. 261). ^Faisons mouvoir une droite G sur les deux droites K' et K", et parallèlement au plan P, cette droite G engendrera une surface gauche qui a reçu le nom de paraboUnde hyperbolique.
Imaginons trois positions G, G', G" de la droite G (F une de ces positions G étant dans le plan P).
Coupons tout le système par un plan Q parallejle aux droites directrices K' et K", ce plan Q coupera les trois droites G, G', Cen les points dj d!^ d"y et je dis que ces trois points sont en ligne droite , et je désignerai cette droite par K.
(*} Ci-après, chapitre XII, nous doûoeroos les diverses autres propriétés dont jouit Yhyperbolatde à une nappe. On peut engendrer plusieurs espèces de surfaces gauches en faisant mouvoir une droite sur deux droites données de position dans Tespace et parallèlement à un cône ayant pour directrice une section conique, ce cône étant aussi donné de position dans Tespace. Voir dans Touvrage qui a pour titre : Complément de géométrie descriptive, la note où cette question est examinée et que j'ai publiée pour la première fois dans le Bulletin de la société phiUmathique, séance du 26 mai, année 1858.
2* PAITIB. 53
El en effet :
Le plan Q coupe le plan P suivant la droite L.
Si nous menons par les droites E^' et K' des plans Q'' et Q^ parallèles au plau Q , ils couperont le plan H suivant deux droites : U passant par le point a et parallèle à la droite L, et L' passant par le point b et aussi parallèle à la droite L.
Si nous menons par chacune des droites G" et G' un plan passant, le premier par la droite dV et le second par la droite dV (et nous devons nous rappeler que les droites rfV et rfV sont perpendiculaires à la droite L) , ces deux plans couperont respectivement le plan P suivant les droites G"* et G'* qui seront respectivement parallèles aux droites G'' et G', et le plan Q suivant les droites d"r" ou G'"' et dV ou G'" qui seront, ainsi qu'il a été dit ci-dessus, perpendiculaires à L.
Cela posé :
Il est évident que Ton aura :
aY = bY = d'y' et a'p'=ib'q' = dy
de plus les trois droites G"*, G'* et G situées dans le plan P étant coupées par les trois droites parallèles entre elles L , L', L", donneront :
fa:p'a::q%:q'b::r"d:r'd
Or , les triangles semblables a^Ya , a^a et b"q^^b , b^q'b donnent :
b'Ylb'q' y.fbiq'b
Nous aurons donc :
d'Y' : at" :: f'd : rd
Ainsi les trois points d, d\ d" sont en effet sur une ligne droite K.
De ce qui précède on peut donc énoncer ce qui suit :
La surface engendrée par une droite G s' appuyant sur deux droites non parallèles entre elles H!' et K' et se mouvant ptxrtUlèlement à un plan P , lequel coupe les deux droites directrices K^' et K', est doublement réglée.
Du plan tangent en un point dvn parabolcide hyperbolique.
460. Dès lors si en un point m d'un paraboloïde hyperbolique S on veut coa* struire le plan tangent T à cette surface 1 , il suffira de construire les deux gêné-» ratrices droites de systèmes différents G et E se croisant en ce point m et le plan T sera déterminé par ces deux droites G et E.
461. Le plau P parallèle aux génératrices G du premier système et le plan Q parallèle aux génératrices K du second système sont dits plans directeurs du paraboloïde hyperbolique 2.
U est évident qu'en se donnant les directrices droites K" et K' d'un paraboloïde hyperbolique 2 on se donne â posteriori le plan directeur Q qui leur est parallèle ; c'est pourquoi un paraboloïde hyperbolique 2 est complètement déterminé lorsque Ton se donne à priori le plan directeur P des génératrices G (à construire) et deux directrices droites K" et K', car alors on connaît les deux plans directeurs^ et il est facile de conclure de ce qui précède , que :
La surface engendrée par une droite se mouvant sur trois droites devient un parabo" loxde hyperbolique , «t les trois droites directrices sont parallèles à un même plan.
Eu effet :
462. Nous savons que lorsque Ton fait mouvoir une droite G sur trois droites K, K\ K^' non parallèles à un même plan , la surface est un hyperboloide à une nappe , mais si les trois droites directrices K, K^ K'^ sont parallèles à un même plan Q, la surface engendrée sera un paraboloïde hyperbolique.
Etene£EQt:
CoQGeTons deux positions G et G' de la génératrice G , nous pourrons mener un plan P parallèle aux drœtes 6 et G'. Faisons mouvoir sur K et E' une droite G parallèle au plan P , elle engendrera un paraboloïde hyperbolique qui sera coupé par tout plan parallèle à Q suivant des droites. Donc, etc.
Cette seconde manière d'a[igendrer un paraboloïde hyperbolique, et pour laqudle on ne oonnatt à posteriori qu'un des deux plans directeurs , est très-utile dans les applications.
Du sommet , de taxe ei des plans diamétraux principaux du
parabokade hyiperbolique.
463. Étant donnés deux directrices droites K et K' (et par suite le plan directeur Q des génératrices du système K) et le plan directeur P auquel doivent être parallèles les générajtrioea du système G qui se meuvent sur les directrices K et K' , on pourra toujours construire une génératrice droite du système K perpendiculaire à la dcoke L, iflteraeolioa des deux plans directeurs P et Q, et Ton pourra aussi tûujoiiur& coBdtroire une génératrice droite du système G perpendiculaire à cette même droite L.
£t en effet :
Parua.pûmt /.de la. droite L menons dans le plan P une droite D perpendiculaire à L y par le même point / menons dans le plan Q une droite D' perpendicu-
laire à L; cela fait, construisons une droite 6, qui , s' appuyant sur K et K% soit parallèle à D , elle sera évidemment parallèle au plan P et elle sera dès lors une génératrice droite du système G du paraboloïde hyperbolique 2.
Pour construire la droite G, il nous suflSra de mener par K et K' deux plans Y et Y' respectivement parallèles à la droite D, ces plans se couperont suivant la droite G, demandée.
Par la même raison , si Ton a construit deux génératrices droites quelconques G et G' du paraboloïde 2, ces génératrices s'appuyant sur K et K', il suffira de mener par G et G' deux plans X et X', respectivement parallèles à la droite D\ et ces plans se couperont suivant la droite K, demandée.
Les deux droites G, et K, se coupent en un points, c'est à ce point qu'on a donné le nom de sommet du paraboloïde hyperbolique , et la droite Z menée par le sommet s et parallèlement à la droite L, a reçu le nom d'axe du paraboloïde hyperbolique.
Si nous concevons un plan R perpendiculaire à la droite L , les génératrices K , K^, K'^, etc. , se projetteront or thogonalement sur ce plan R , suivant des droites K"', K'"', K''*", etc. , parallèles entre elles et à la droite IV ; de même les génératrices G y G' y G\ etc., se projetteront orthogonalement sur ce plan R, suivant des droites G*", G'"', G'''', etc. , parallèles entre elles et à la droite D.
En sorte que les droites K*"'... et G''^.. déterminent sur le plan R une série de parallélogrammes.
Rien ne nous empêche de supposer que le plan R passe par les droites G, et K, , dès lors ce plan sera un plan tangent à la surface paraboloïde S en son som* met s.
Cela posé :
Menons par Taxe Z deux plans M et M' lesquels divisent en deux parties égales , savoir : le plan M Tangle 6 , que font entre elles les droites G. et K, , et le plan M' l'angle supplémentaire de 6.
Ces deux plans seront perpendiculaires au plan R , parallèles à la droite L , et rectangulaires entre eux.
464. Cela posé, démontrons maintenant que la surface paraboloïde S est symétrique par rapport à chacun des deux plan M et M^
Prenons le plan R pour plan vertical de projection {fig. 262) , les droites G, et K, seront dans ce plan ; Taxe Z sera perpendiculaire au plan R et passera par le point s qui est l'intersection des droites G, et K..
Prenons sur K, deux points a et a' équidistants du point s, on aura deux génératrices G et G' passant respectivement par a et afj lesquelles seront parallèles à G et projetées en G" et G'".
Prenons sur G, deux points b et b' équidistants du point $ et tels que sb=8af on aura deux génératrices K et K' passant respectivement par b et b\ lesquelles seront parallèles à K, et projetées en E* et E^*'.
Les génératrices G et E se couperont en un point p ,
— G'etE' — p%
— E'etG — q,
— E'etG' .— q\
Le point p' étant en avant du plan (G, , E,) ou R, le point q' sera derrière ce plan R.
Le point p étant aussi en avant du plan R , le point q sera derrière ce plan R ; en sorte que les points p et p' étant placés en avant du plan R , les points q et q' seront tous les deux situés derrière ce plan R..
Or, comme on a pris as=at8=sb^=8^by il s'ensuit que les points p", p'** et s sont sur une droite Y", et que les points (f^'y q"" et s sont aussi sur une droite V , ces droites Y" et Y"' divisent en deux parties égales les angles que font entre elles les droites G^ et E, , puisque asbp''^ asby, a'sb'q"" et a'sbq"" sont des losanges. Et comme les points p*', p'"* j q"^ q'"* sont les projections orthogonales sur le plan R des points p^p'y ç, qf'î il s'ensuit que les droites Y" et Y"' sont les traces sur le plan R de deux plans M et M' perpendiculaires au plan R et passant : le plan M par les points p et p\ et le plan M' par les points qeiq[ ^ ces plans M et M^ étant de plus les plans bissecteurs des angles que font entre elles les droites G, et E,.
Et comme ap''=a6=ay% on a : ap=zay^ dès lors pp''=py.
La droite pp' , située dans le plan M , est donc parallèle à Y' ou au plan R ; et dès lors la droite Z qui, passant par le point s, est perpendiculaire au plan R, coupera la droite pp' en un point o, et Ton aura op^=op\ parce que l'on a 5p''=«p".
On démontrerait de môme que la droite qqf ^ située dans le plan M', est parallèle à Y"' ou au plan R et qu'elle est coupée par l'axe Z en un point cf j milieu de qqf j et que le point o étant en avant du point R , le point o' sera derrière ce plan R, et que Ton aura :
On voit donc que le plan M coupera le paraboloïde hyperbolique suivant une courbe y composée d'une branche infinie et symétrique par rapport à la droite Z, puisque toutes les cordes pp'-.* perpendiculaires à Z seront coupées en leur milieu o. . . par cette droite Z.
De même le plan M' coupera le paraboloïde hyperbolique suivant une courbe y' composée d'une branche infinie et symétrique par rapport à la droite Z , et les
courbes y et y' seront inversefflent placées par rapport aa plan R y Tuoe y étant en avant de ce plan R , et l'autre y' derrière ce plan R.
Cela posé :
On voit que si sur la droite E, on prend un point a arbitraire et sur la droite 6, un point b\ tels que chacun de ces points soit également distant du sommets et ayant dès lors sa=^sb' ^ les droites G (du système G) passant par le pointa et K' (du système K) passant par le point b' , se coupent sur le plan M'; on voit aussi, que si sur la droite G on prend un point arbitraire p, et sur la droite K' un point p\ tels que l'on ait : ap^=zb'p\ , la droite qui unira les points p, etp\ sera paraUète à la droite Y" et sera divisée en deux parties égales par le plan M' auquel elle sera perpendiculaire*
On peut donc énoncer ce qui suit :
Si ton mène le plan tangent R au sommet s d'un parabolmde hyperbolique S et si ton construit les plans M et M' bissecteurs des angles que font entre elles les généra" irices G, et K, de systèmes différents se croisant au sommet s » ces plans M et M' Uivi-seront en deux parties égales les cordes de la surface 2 , menées , les unes parallèletneni (utx plans R et M et les mOtes parallèlement aux plans R 6£ M.
Ces deux plans M et M' sont dits plans diamétraux principaux du parabolcA'de hyperbolique.
Et il est évident par ce qui précède que le paraboloïde hyperbolique est symétrique par rapport à chacun de ces plans M et M'.
465. Les droites G, et K, qui se croisent au sommet s du paraboloïde S comprennent entre elles un angle qui est égal à Tangle 6 que font entre eux les deux plans directeurs P et Q de la surfece S.
Si donc les plans directeurs P et Q sont rectangulaires entre eux, les droites G, et K, seront aussi rectangulaires entre elles et dans ce cas toutes les génératrices du système K couperont la génératrice droite G. sous Tangle droit et ausn toutes les génératrices du système G couperont la génératrice droite K, sous Tangle droit.
Lorsque les plans directeurs font entre eux un angle qui n'est pas droit , le para* boloïde est dit : oblique.
Lorsque les plans directeurs font entre eux un angle droit , le paraboloïde est dit : droit ou rectangulaire.
Des plans asymptotes du paraboloïde hyperbolique.
466. D'après la génération du paraboloïde hyperbolique on voit que toutes les génératrices du système K s'appuyant sur G. tendent à mesure qu'elles s'éloignent de K, , à faire avec K. des angles approchant de plus en plus de l'angle droit, et
ce n'est que pour le point situé à l'infini sur Tune quelconque des génératrioeB du système G que la génératrice du système K passant par ce point situé à l'infini fait un angle droit avec K, ou en d'autres termes est parallèle à la droite L intersection des deux plans directeurs P et Q.
En sorte que si Ton mène par une génératrice droite G quelconque, un plan T parallèle au plan directeur P , ce plan T sera tangent au paraboloïde hyperbolique £ pour le point situé à Tinfini sur la droite G.
De même si Ton mène par une génératrice droite K quelconque un plan Q parallèle au plan directeur Q , ce plan 0 sera tangent à la surface 11 pour le point situé à rinfini sur la droite K.
On peut donc dire que tout plan parallèle à Ctm des deux plans directeurs d'un paraboloïde hyperbolique coupe cette surface suivant une seule génératrice droite et qu'il est dès lors un plan asymptote de la surface.
467. On sait que si Ton a une suite de droites G, G', G'^,.... coupées par deux plans parallèles Y et Y' en les points ^ et^, , j' et g\ , j" et g^\ ,• .•. si on les coupe par un troisième plan Y'' parallèle aux plans Y et Y' en les points g^, ^^jff\^'-'on a :
99 X : 9'9\ : 9"9\ : etc. ::?»,: g'g\ : gYt
en sorte que si le point ^^ est au milieu de la droite gg^ , les points g\ , jr'',. .. . seront
^^^•mmm^i
respectivement au milieu des droites g'g\ , jV'i v •
On peut donc , diaprés ce qui précède , énoncer ce qui suit :
Si Fon a deux droites K et Yi! non parallèles et non situées dans un même plan « et
si l'on divise la droite K en parties égales entre elles j chaque partie <iyanl une longueur
égale à 1 , par des points 1 , 2^ 3 , 4 ,.... e( «t Con divise la droite K' en parties aussi
égales entre elles j chaque partie ayant une longueur égale àVy par des points ^\%\
3\ 4',.... et si l'on unit les points homologues \ et \' ^ % et 2', 3 et 3% par des
droites G, G', G",..,. ce« droites formeront un paraboloïde hyperbolique.
468. Les points de division 1 et 1' pouvant être arbitrairement placés sur les droites K et K' et le rapport entre les longueurs / et /' étant arbitraire, on voit que par deux droites non situées dans un même plan on peut faire passer une infinité de paraboloïdes hyperboliques.
469. Le lieu des normales menées aux divers points de la génératrice droite passant par le sommet d'un paraboloïde hyperbolique , est ua paraboloïde hyperbolique qui eêt toujours droit (*).
[*) Plus loin , nous démontrerons que le théorème relatif au paraboloïde normal est toiqours le même, quelle que soit la génératrice droite considérée sur un paraboloïde donné 2, ce paraboloïde I étant indlfféi^mmeat oblique ou rectangulaire.
Soit donné on paraboloïde hyperbolique S droit ou rectangulaire; imaginons les génératrices K, et G. se croisant au sommet « de cette surface 2. Les plans directeurs P et Q de cette surface 1 seront respectivement perpendiculaires aux droites K, et G, .
Cela posé :
Constru;sons les plans tangents T, T', T'', V\ etc., à la surface 2 aux divers points m, w»', m", m'",.... de la génératrice G,; menons les normales N, N', N", N'",.,.. à la surface 2, en les points m, m\m!\ m'",.--- toutes ces droites N,N', N'",.--* formeront une surface réglée 2,; je dis d'abord que la surface 2, est gauche ; et en effet, si nous supposons que les points m et w! sont successifs et infiniment voisins sur la droite G,, lès normales N et N' seront successives et infiniment voisines, et leur plus courte distance ne sera pas nulle, puisqu'elle sera Vêlement rectiligne mm'; deux génératrices droites successives et infiniment voisines de la surface 2, ne se coupent donc pas, dès lors cette surface S^ est gauche
Ayant démontré que la surface 2. est gauche^ démontrons qu'elle est un paraboloïde hyperbolique, identique ou superposable au paraboloïde 2. Pour le démontrer, menons par les points m, m', m'',.... les génératrices K, K', K%.... du système K (du paraboloïde £) et dès lors parallèles au plan directeur Q. Le plan T passant par les droites G. et K aura la droite K pour ligne de plus grande pente par rapport au plan directeur P.
De môme les plans T' ou (G., KO, T" ou (G., K"), T"' ou (G„ K'"),-- ont respectivement pour ligne de plus grande pente par rapport au même plan P les droites K', K", K"^,.... et comme les droites N, N', N", W.... sont respectivement perpendiculaires aux droites K, K', E'', K'^^, .... elles sont toutes parallèles au plan Q.
Gela posé :
Si l'on regarde la droite G, comme étant un axe de rotation et si Ton suppose que les droites N, N', N'',.-- restant fixes dans Tespace, les droites E, E', E'^ .... tournent respectivement autour de l'axe G, et opèrent chacune un quart de révolution, ces droites E, E', E^',.... viendront en même temps se superposer respectivement sur les normales N, N', N'', .... et la surface 2 après un quart de révolution autour de l'axe G, viendra donc se superposer sur la surface 2,, ainsi la surface £, n'est autre qu'un paraboloïde hyberbolique, identique ou superposable à la surface 2.
Les deux plans directeurs P et Q se coupent suivant une droite L à laquelle le planR ou (G,, E,) est perpendiculaire.
Pendant le mouvement de rotation de la surface £ autour de l'axe G, le plan P
étant supposé entratné, on voit qa'il prendra la position P, perpendiculaire à la droite L ou parallèle au plan R, et que cela aura lieu lorsque le quart de révolution sera accompli.
On peut donc énoncer ce qui suit :
La êurface 2, déterminée par tes normales îi^ N', N'V*«« ^^< <^ paraboUnde lufperbolique droit ou rectangulaire , ayant pour plans directeurs le plan Q et le plan R.
De la section faite dans le paraboUnde normal £. par un plan parallèle au plan
directeur du parabolmde £•
470. Si Ton coupe la surface 2, déterminée par les normales N, N', N",. •• pa^' un plan X parallèle au plan direcleur P, la section sera une Ityperbole équilatêre.
Et en efiet :
Étant données les génératrices droites de systèmes différents G, et E, de la surface paraboloïde 2 et se croisant rectangulairement au sommet s de cette surface, si nous menons au point s une droite Z perpendiculaire au plan R ou (6^, K,), on aura Vaxe de la surface 2.
Pour ce point s la droite Z est la normale à la surface 2 puisque le plan R est tangent à cette surface 2 au point s.
Cela posé, on pourra prendre pour plans directeurs de la surface 2 les plans Q ou (K,, Z) et P ou (G., Z); et Ton pourra prendre pour plans directeurs de la surface normale 2, les plans Q ou (E,, Z) et R ou (G,, E,).
Cela posé :
Prenons un plan Q' parallèle au plan Q ou (E,, Z) pour plan vertical de projection et le plan P' parallèle au plan P ou (G., Z) pour pian horizontal de projection (fig. 263).
Dans le plan horizontal on aura la génératrice G', dans le plan vertical on aura la génératrice E'^
Les génératrices E, E', K'\.... passant par les points m, m\ m",.... de la génératrice G, perceront le plan horizontal aux points p^ p\ p'S.... situés sur G'.
Les plans T, T', T'.... tangents aux points m, m\ ni!\.... à la surface paraboloïde 2, auront pour traces verticales, V* ou E', V'^ ou E", V"* ou E''^,.... et pour traces horizontales les droites H% H^', H^'^..• perpendiculaires à la ligne de t^rre LT et passant respectivement par les points p,p^ p'^...
Les normales à la surface 2 auront pour projections verticales, les droites N*, N'", N''*'.... passant loules par le point s"" ou G/ et respectivement perpendiculaires à V% V*', V*'',.-- ©t pour projections horizontales les droites E'^, E'*, E"*,,...
Cela posé, si Ton coupe les droites N..,. par un plan X parallèle au plan hori*
zontal, on anra les points <i, a', a!*.... formant une conrbe 3 dont la projection horizontale 3* sera une hyperbole éqnilatère, ayant ^ pour centre et ^ et G,* pour
asymptotes Et en effet :
m effet :
Les triangles G. V et G,ym^\ G^qc/^ et G/m^'', G.'^^et G.VVv- sont ibles • on a donc :
semblables , on a donc :
•*P • çGi* :: G,*m'^ : iti^jp*
etc.
d'où
a"q X m'V' = «'î X m'V' = «*î X m' V = etc. = çGi* X G^^m"* = constante = G Or:
!• «''gsTrui^V'* et o'^g^ft'W et arq = al'm/' et
20 m'^p"' :=m'^p' et m"^p^=ni'p et
Et Ton a, en vertu des triangles semblables K,*m*p, ILl'm'^p^ K\in"y',-'
mV : m'y : m'V • e*c. :: K^W : Ki*m'* : K^*»!** : etc. On a donc :
K/m*xmV = K,V* X m'V = K^W^xw^V'* = == ocmstante = C.
Or, prenant les droites G.'^ pour àxe des abscisses x et Z^ pour axe des ordonnées y , et représentant les coordonnées du point cl" par x et y
a'* par od et y' a"* par a/' et / etc.
on pourra écrire les équations (1) sons la forme :
xy =1 afy[ = oBfy = = constante = C.
Or» nous avons démontré (n* 327)qire la conrbe qui avait pour éqnationa:y=C était ane hyperbole rapportée à ses asymptotes.
Ainsi la courbe 3* est une hyperbole rapportée à ses asymptotes G^* et Z*; or elles sont rectangulaires entre dles, Thyperbole 3* est donc équilaière. Et la conrbe i étant dans un plan X parallèle au plan horizontal de projection , sera une courbe identique ou superposable à sa prc^ection 3*. Ainsi tout plan X parallèle au plan directeur (G, , Z) coope le paraboloïde normal 2, suivant une hyperbole qui a pour
asymptotes les droites suivant lesquelles sont coupées par le plan sécant X^ les plans (G, , K J et (K, , Z).
471 . Sans chercher à connaître la nature géométrique de la courbe ^^ on peut facilement démontrer que les droites G^'^ et Z^ sont deux asymptotes de cette courbe ; et en effet :
Désignons par N... les génératrices du premier système de la surface normale 2. et par M les génératrices du second système.
Les génératrices N... auront pour plan directeur le plan (K^, Z) et les génératrices M,... auront pour plan directeur le plan (K, , G,),
Il est évident que la droite G, sera une des génératrices du système M et que Taxe Z sera une des génératrices du système N.
Cela posé :
Les divers points de la courbe d seront ceux en lesquels le plan X qui est horizontal coupera les diverses génératrices N.... et M...., par conséquent cette courbe i aura deux points situés à Tinfini et qui seront ceux en lesquels le pian X coupe les droites G, et Z qui lui sont parallèles.
Voyons I maintenant, si pour ces points situés à Tinfini la courbe d a des tangentes situées à distance finie ou en d'autres termes des asymptotes :
Le plan Y passant par 6, et parallèle au plan directeur (K, , GJ est un plan asymptote à la surface 2, et la touchera point situé à l'infini sur G,.
Le plan Y, passant par Z et parallèle au plan directeur (K, , Z) est un plan asymptote à la surfoce 1, et la touche au point situé à l'infini sur Z (n"" 424).
Le plan X coupera donc respectivement les plans Y et Y, qui sont rectangulaires entre eux et qui sont tous les deux perpendiculaires à ce plan X ^ suivant des droites A etÂ, qui seront les asymptotes demandées.
Il est évident que les droites A et G, , A, et Z sont respectivement parallèles entre elles.
Dans la {fig. 263) nous i^'avons dessiné qu'une des deux branches de l'hyperbole S , mais il est facile de se procurer des points de la seconde branche de cette courbe d, en construisant des normales à la surface 2 pour les points qui situés sur G, sont en avant du plan (Z , K,).
D'après ce qui précède , on peut énoncer ce qui suit :
Si l'on a un paraboldide hyperbolique 1 droit ou rectangulaire , si ton mène une suite de plans parallèles au plan T tangent à la surface 2 en son sommet s ^ ces plans couperont la surface I suivant des hyperboles équilalères , semblables et semblablement placées , si les plans sécants sont situés d'un même côté , par rapport au plan T ; et ils couperont cette surface 2 suivant des hyperboles équilatères dont les axes transverses seront à angle droit , si ces plans sécants sont , tes uns à droite et les autres ù gauche du
plan T; tes centres de toutes les hyperboles de section seront situés sur taxe Z et tes asymptotes de ces courbes seront parallètes aux génératrices droites et de systèmes différents G, et K, de la surface 1 qui se croisent à angle droit en son sofnmei 8.
Ttkéorie du raccordement {suivant une génératrice droite) entre deux
surfaces gaudies.
472. Raccordement des surfaces gauches déterminées par le premier mode de géné^ ration , et ainsi : par une droite se mouvant sur trois courbes ; dès lors , on se donne une surface gauche 2 par ses trois directrices courbes C, C, C, et Ton suppose que Ton connaisse une génératrice droite G de cette surface 2.
On propose de construire en un point m de la génératrice G un plan tangent T à la surface réglée 1.
La droite 6 coupe les directrices , savoir : C en un point a, C en un point b et C^ en un point d.
Concevons {fig. 26i) la tangente 0 à la courbe C au point a
— — ô'' C" — rf
Si Ton fait mouvoir sur les trois droites 0, 9^ 6'% la génératrice droite G, on engendrera un hyperboloïde à une nappe A qui , en général, ne sera pas de révolution (n* 424). Si en effet cette surface A était tangente à la surface 1 tout le long de la génératrice G , on voit qu'il suffirait de construire pour le point m le plan tangent à cette surface A, pour avoir le plan tangent en m à la surface réglée et générale 1.
Or, c'est précisément ce qui a lieu , ainsi que nous allons le démontrer.
Le plan 0 tangent au point m est déterminé, pour la surface réglée 2, par la génératrice droite G et la tangente G en a à la courbe C* Or, ce plan O est en même temps tangent à Thyperboloïde A puisque G et 0 sont (sur cette surface A) deux génératrices droites de systèmes différents se croisant au point a.
Par les mêmes raisons :
Le plan 6' passant par les droites G et 6^ est un plan tangent commun (au point b) aux deux surfaces 2 et A.
Et le plan 0^' passant par G et 0" est un plan tangent commun (au point d) aux deux surfaces 2 et A.
Ainsi les deux surfaces 2 et A ont la génératrice droite G qui leur est commune, et en même temps elles ont en les trois points a , 6 , if de cette droite G trois plans tangents communs , savoir les plans 0 , 0', 0''.
