Démontrons le théorème suivant

Lorsque deux surfaces gauches ont une génératrice droite commune , et trois plans tangents communs en trois points arbitraires de cette génératrice , ces deux surfaces ont mêmes plans tangents tout le long de cette génératrice.

Concevons trois courbes C, C\ C" (fig. 264) comme étant les directrices d'une surface gauche 2.

Construisons une génératrice droite G de cette surface 1 ; cette génératrice G

coupe les courbes directrices C au point a , C au point b , C au point d.

Concevons le plan 6 tangent en a à la surface 2. 0' é

Ainsi y le plan 0 passera par la génératrice G et la tangente 9 à la courbe C, 0' G — ô' c'.

— 0'/ -• G — fl^ — C".

Gela posé :

Traçons dans le plan 0 une droite B, passant par le point a , et imaginons une courbe C, située dans Tespace, et ayant 0, pour tangente au point a.

Traçons de la même manière , dans les plans 0^ et 0'^ , des droites 6/ et 9/' pas* sant respectivement par les points b eidy et imaginons dans Fespace deux courbes C ' et C/' ayant la première 9/ pour tangente au point 6, et la seconde 0,^ pour tangente au point d.

En faisant mouvoir la droite G sur les trois courbes directrices C, , C/, C/% on engendrera une seconde surface gauche 2, ayant en commun , avec la première surface gauche 2 la droite G , et ces deux surfaces réglées 2 et 2, auront mêmes plans tangents 0, 0^ 0^' en les trois points a, b, d de la génératrice droite G qui leur est commune.

Cela posé :

Je dis que les deux surfaces 2 et 2, sont tangentes Tune à Tautre tout le long de la droite G , propriété que Ton exprime en d'autres termes , en disant que les deux surfaces 2 et 2, se raccordent tout le long de la droite G.

Et en effet :

Trois courbes déterminant le mouvement d'une droite, si sur la surface 2 engendrée par la droite G se mouvant sur les trois courbes C , C^ C'\ on prend trois autres courbes 7 , yS y" pour directrices de la droite génératrice, on obtiendra toujours la même surface 2.

Cela posé :

Coupons les deux surfaces 2 et 2, par trois plans chacun de direction arbitraire

P, P', P", mais passant le plan P par le point a, le plan F par le point 6, le plan P" par le point d.

Le plan P coupera la surface 1 suivant une courbe y , et la surface I, suivant une courbe y, , et le plan O suivant une droite l , tangente commune des courbes y et 7, au point a.

De même les plans F et F' couperont 1 et 2, suivant / et 7/, / et y/' et les plans 0' et 0'' suivant les droites t* et f qui seront respectivement une tangente commune aux courbes y' et y/ au point b , et aux courbes y" et y/' au point d.

Cela posé :

La surface 1 pourra être considérée comme engendrée par la droite G se mouvant sur les trois courbes planes y» yS y'\ et la surface 2. pourra être considérée comme engendrée par la même droite G se mouvant sur les trois courbes planes

Or, si nous considérons les deux courbes y et y, , comme elles ont en a une tangente commune 1, il s'ensuit qu'elles ont en commun un élément rectiligne aa% le point a' étant le point successif et infiniment voisin du point a , soit sur la courbe y , soit sur la courbe y,«

Si donc nous imaginons la génératrice G' qui , passant par le point al , s'appuie sur les courbes y' et y^ , elle coupera y en un point b^ infiniment voisin du point b , et elle coupera y^' en un point é infiniment voisin du point d.

Et de même cette droite G' coupera les courbes y/ et y/', la première eu un point b^ infiniment voisin de 6 , et la seconde en un point d' infiniment voisin de </•

Or , bb^ et dd! seront respectivement les éléments reciilignes des* courbes y et y'' , et bb' et dcf seront aussi les éléments rectiUgnes des courbes y/ et y/' ; et comme çeâ courbes y', y/ et y'% y/' ont même élément rectiligne en les points 6 et d, il s'ensuit que les deux surfaces 2 et 2, auront en commun les deux g^iératrices droites successives et infiniment voisines 6 et G' , et dès lors ces snrfiabces 2 et 2, ont en commun un élément superficiel gauche compris entre les deux droites G et G'.

Cela posé :

Si pour un point m de la droite G nous menons un plan de direction arbitraire X y ce plan coupera la surface 2 suivant une courbe d » et la surface 2, suivant une courbe d, , et la génératrice G' en un point m! qui sera successif et infiniment voisin du point m , et cela a liçu parce que entre G et G' on ne peut pas placer une droite approchant plus près de G que G' n'en approche , d'après le mode de génération adopté, puisque nous avons tout basé sur Thypothèse primordiale et qui sert de point de départ à toutes nos considérations infinitésimales subséquentes, savoir : que le pointa^ était le point successif et infiniment voisin du point a.

Dès lors la courbe 9 et la coarbe d, auront poar êUmeiâ recdligne coidiimiii Yéléineni mw! qui , prolongé , donnera une droite ( qui sera pour le point m la tangente commune aux courbes d et d, .

Donc , le plan ir déterminé par les droites G et ( sera tangent en le point m et à la surface 2 et à la surface 2, .

474. On peut donc affirmer que lorsque deux surfaces gauches 2 et 2, ont une génératrice droite G commune et des plans tangents communs en trois points arbitrairement situés sur cette droite G, elles ont même plan tangent en chacun des points de cette droite G ; ce que Ton exprime en disant : que les deux surfaces 1 et 2, se raccordent entre elles suivant la droite G.

De ce qui précède on peut conclure ce qui suit :

475. Si Ton a une surface gauche 2 engendrée par une droite se mouvant sur trois courbes {directrices) C, C, C, et si Ton construit trois plans 8, 0\ Q" passant par une des génératrices droites G de cette surface 2 , ces plans étant respec-^ tivement tangents à la surface 2 en les points m^w! ^m" ^ situés sur la génératrice 6.

Si dans le plan 0 on mène une droite 9 arbitraire mais passant par le point m. — 0' — e' — — m'.

rbyperboloîde à une nappe A engendré par la droite G se mouvant sur les trois droites 9 , 0% 9^^ se raccordera avec la surface 2 tout le long de la génératrice G.

Et comme dans le plan 0 on peut mener par le point m une infinité de droites 0, 9, 9 9, V. et comme aussi Ton peut faire la même chose pour les plans 0' et 0'', on se trouve conduit à énoncer le théorème suivant :

// existe une infinité (fhyperbolaides à une nappe A, A% A'',... tmgents à mie surface gauche 2 tout le long d'une génératrice droite G de cette surface gauche 2.

Qmstructkm du plan tangent en un point m de la génératrice droite dun hyperboUnde

à une nappe A donné par trois directrices droites 9 , 9', 9'^

476. Sur la droite 6 y on prendra deux points (à distance finie) p et q; ensuite: l"" Par le point p et la droite 9', on fera passer un plan R; par le point p et la

droite 9'^ on fera passer un plan R'; les deux plans R et R^ se couperont suivant une droite G, qui s'appuiera sur les trois droites 9, B' et Q'' et qui sera dès lors une des génératrices droites du système G de Thyperboloïde A.

2* Par le point q et la droite 9% on fera passer un plan Q; par le point q et la droite Q^' y on fera passer un plan Q^ ; les deux plans Q et (/ se couperont suivant

une droite G, qai s'appuiera sur les trois droites 9 , 8^ 0^ et qui sera dès lors une des génératrices droites du système G de Thyperboloïde A*

Cela fait :

En faisant mouvoir la droite 0 sur G , G, , G, , on engendrera le même hyperboloïde A ; si donc par le point m et la droite G, , on fait passer un plan Y , puis par le même point m et la droite G, un second plan Y', les deux plans Y et Y' se couperont suivant une droite 9, qui s'appuiera sur les trois droites G , G,, G, et qui sera dès lors une génératrice droite .du système 6 de Thyperboloïde A.

Le plan T déterminé par les deux droites G et 6, sera donc tangent en m à Thyperboloïde A*

477. Ce qui précède nous permet de résoudre le problème suivant :

Étant donnés une surface gauche 1 par trois courbes directrices G , G' , C et une génératrice droite G de cette surface I et un point m «tir G , construire en ce point m le plan tangent T à la surface réglée 2.

On déterminera les points a , a\ a" en lesquels la droite G coupe respectivement les courbes G , G', G'', on construira à ces trois courbes leurs tangentes , savoir : 0 à G au point a, 0' à G' au point a^ 6" à G'^ au point a" ; cela fait , on n'aura plus qu'à résoudre (n"" 476) le problème suivant : Construire le plan tangent au point m de r hyperboloide à une nappe A ayant pour directrices les droites 0 ; 6', 6".

Ce plan sera précisément le plan T demandé i puisque les deux surfaces 1 et à se raccordent entre elles tout le long de la droite G , comme ayant trois plans tangents communs en les points a , af, a" de cette génératrice G de raccordement.

Raccordement des surfaces gauches engendrées par le second mode de génération , ainsi : par une droite se mouvant sur deux courbes directrices et parallèlement à un cône directeur.

478. Concevons {fig. 265) deux courbes G et G' situées dans l'espace et un cône A ayant pour sommet le point s et pour directrice une courbe B.

Faisons mouvoir sar les deux courbes G et G' une droite G et de telle manière que pendant son mouvement elle soit parallèle au cône A, ce qui veut dire qu'en chacune de ses positions elle sera parallèle à l'une des génératrices droites du cône A.

Nous avons appris (n"" 422) à construire les diverses génératrices droites de la surface gauche 1 ainsi engendrée.

Cela posé :

Imaginons une génératrice droite G de la surface 2 coupant les courbes directrices G et G' respectivement aux points o et 6 et parallèle à une génératrice droite 6. du côue directeur A.

Concevons sur la courbe C un point d successif et infiniment voisin du point a , et imaginons la génératrice droite G' de la surface S passant par ce point d.

La droite G' coupera la courbe Q! au point V qui sera le successif et infiniment voisin du point b^ et elle sera parallèle à la droite G/ qui sera sur le cône A la génératrice droite successive et infiniment voisine de la génératrice G;.

Dès lors : les éléments rectilignes ad et bb^ étant prolongés , donneront les tan-^ gentes 9 et 9' au point a de la courbe C et au point b de la courbe G' , et le plan P déterminé par les deux droites G, et G\ sera le plan tangent au cône A suivant la droite G,.

Si Ton fait mouvoir la droite G sur les deux tangentes 9 et B' et parallèment au plan P, on engendrera un paraboloïde hyperbolique 2,, et il faut démontrer que cette surface 2, est tangente à la surface réglée 2 tout le long de la droite G.

Nous pourrons toujours construire le plan Q parallèle aux droites 9 et 9' , le paraboloïde 2, pourra donc être considéré comme engendré par la droite 9 se mouvant sur deux génératrices du système G et parallèlement au plan Q.

Cela posé :

Si en un point m de la génératrice G , on voulait construire le plan T tangent à la surface réglée 2 , il faudrait tracer sur cette surface 2 une courbe y passant par le point m et le plan T serait déterminé par la tangente en m à cette courbe y et par la droite G.

Si donc nous coupons la surface 2 par un plan Q' qui , passant par le point m , sera parallèle au plan Q , ce plan Q' coupera la surface S suivant une courbe y et le paraboloïde 2, suivant une génératrice droite 9. du système 9.

Or : je dis que la courbe y a pour tangente au point m la droite 9,.

Et en efiTet :

Les droites G et G' sont des génératrices successives et infiniment voisines j soit pour la surface réglée 2 , soit pour le parabolmde 2, ; dès lors le plan Q' coupera la droite G' en un point m' qui sera le successif et infiniment voisin du point m , donc mm' sera C élément rectiligne de la courbe y; mais cet élément prolongé donne la droite 9^ ; donc 9. est la tangente en m à la courbe y; ainsi se trouve démontré que les deux surfaces 2 et 2, ont en un point quelconque m de la droite G , qui leur est commime , même pian tangent. Le paraboloïde 2, se raccorde donc avec la surface réglée 2 tout le long de la génératrice droite G.

479. Ce qui précède permet de construire en un point m d'une génératrice droite G d'une surface réglée 2 y donnée par deux courbes directrices C et C et un cône directeur A y le plan tangent T à cette surface 2.

Et en effet :

Nous mènerons la génératrice G, du cône A, parallèle à la génératrice donnée

G de la surface I ; nons construirons le plan P tangent au cône A snirant la génératrice G, ; nous construirons les tangentes 9 et ff' aux courbes directrices C el C aux points a et 6 en lesquds ces courbes sont coupées par la droHe 6; nous construirons une droite G, (à distance finie) s'appuyant sur 9 et G' et parallèle an plan P ; nous mènerons par le point m un plan Q' parallèle aux droites 9 et 9'; ce plan coupera G, en un point n, et le plan T demandé sera déterminé par les droites

G et mn.

i80. Ayant construit au point a et ^ les plans 9 et 9^ tangents à la surfa>ee réglée 1, nous pourrons tracer dans le plan 0 une droite X arbitraire, mais passant par le point a; de même nous pourrons tracer dans le plan Q' une droite Y arbitraire, mais passant par le point b.

Si par les droites X et }! nous menons des plans quelconques X et X', ils couperont la surface S suivant des courbes C, et C\ et nous pourrons faire mouvoir la droite G sur ces courbes C, et C, et parallèlement au cône A et nous engendrerons toujours la même surface réglée 2.

En remplaçant donc les courbes directrices primitives G et C par les courbes C, et C,, nous aurons un nouveau paraboloîde hyperbolique 2/ engendré par la droite G se mouvant parallèlement au plan P, en s'appuyant sur les droites X et X^ et ce paraboloîde 2^, sera tangent à fa surface donnée S tout le long de la droite G.

On peut donc énoncer le théorème suivant :

It existe une infinité de parabolotdes hyperboliques 2^, 1\^ 2/^•••• tangents à une surface gauche 2, tout le long dune génératrice droite G de cette surface 2 (cette surface 2 étant donnée par deux courbes directrices et un cône êirecteuf).

481 . Parmi tous ces paraboloïdes 2,.... cfe raccordement^ il en existe évidemment toujours un 2, qui est droit ou rectangulaire, et qui a pour plan directeur Q, un plan perpendiculaire à la droite G de raccordement j en sorte que ce paraboloîde remarquable a son sommet situé sur la droite G ; Fexistence dv paraboloîde 2 nous permet, en vertu de ce qui a été dit n* 469, d'énoncer te théorème suivant :

Si en les divers points m, m', m'^,.... dune génératrice droite G dune surface réglée 2 (donnée par deux courbes directrices et un cône directeur) nous menons les normales N, N', N'',.,.. à cette surface 2, toutes ces normales formeront un paraboloîde hyperbolique^ droit ou rectangulaire.

482. Parmi tous les paraboloïdes hyperboliques, tangents à une surface gauche 2 (donnée par deux courbes directrices et un cône directeur), il existe un infinité dé paraboloïdes droits ou rectangulaires, mais il n'en exiiste qu'Hun seul ayant pour plan directeur un plan perpendiculaire à la génératrice de raccordement; et en eflTet :

Si oous avons construit le plan P qui tangent au cône directeur à est plan direct teur commun à tous les paraboloïdes de raccordement, nous pourrons prendre pour second plan directeur P un plan perpendicularé* à ce plan Q et déterminer les droites directrices du paraboloïde de raccordement en menant par les points a et 6, en lesquels la droite G coupe les courbes directrices C et G de la surbce 2, des plans X et X' parallèles à Q ; ces plans X et X' couperont les plans 0 et O' tangents en a et 6 à la surface 1 suivant les droites demandées.

Ainsi le paraboloïde 2j de raccordement, qui estc(rot7oa rectangulaire et dont l'un des plans directeurs est perpendiculaire à la génératrice G de raccordement, est identique on iuperposable au paraboloïde formé par les normales N, N', N'',.--- ^^ nées à la surface 2 en les divers points de la génératrice G de raccordement.

Ce paraboloïde, lieu des normales N, N', N'',. . .. a reçu le nom de paraboloïde hyperbolique normal.

483. Uexistence du paraboloïde normal nous permet de construire une infinité d'hyperboloïdes à une nappe et de révolution, tangents à une surface gauche générale 2, chacun de ces hyperboloïdes étant tangent à la surface 1 tout le long d'une génératrice droite G de cette surface 2*

Et en effet, prenons sur une génératrice droite G d*une surface gauche 2, trois points^arbitraires a, a', cK'; construisons trois normales à la surface 2, savoir : N au point a, N' au point a' et N" au point a".

Si nous faisons mouvoir une droite K sur les trois directrices droites N, N', N", nous engendrerons le paraboloïde A normal à la surface 2 tout le long de la droite G.

Et si nous considérons chacune de ces génératrices K, K', K",.... comme étant un axe de rotation, en faisant tourner la droite G autour de K, ou de K', ou de

K", on engendrera les hyperboloïdes à une nappe et de révolution 2,, 2/,

2/' Or, il est évident que les surfaces 2 et 2,, ou 2 et 2/, ou 2 et 2/', ont

même plan tangent en chacun des trois points a, a', a^\ puisqu'elles ont même normale en chacun de ces trois points; ces surfaces se raccordent donc entre elles tout le de la génératrice droite G qui leur est commune ; donc, etc.

48i* Comme nous avons fait voir (n"" 423) que lorsqu'une surface gauche était donnée par le premier mode de génération, on pouvait toujours la concevoir comme engendrée par le second mode, il s'ensuit : que les propriétés que nous venons de reconnaître exister, les unes pour les surfaces du premier mode^ et les autres pour les surfaces du second mode, existent pour les unes et les autres.

Nous pouvons donc énoncer ce qiui suit :

i^ U existe une infimté d" l^perbolcides à une nappe et une in^mté âe paraboloïdes

hyperboliques tangents à une surface gauche ^ tout le long iCune de ses génératrices droites.

2* Le lieu des normales menées à une surface gauche en les divers points d^une de ses génératrices droites est un paraboUnde hyperbolique droit, ayant son sommet sur la génératrice considérée.