D'après tout ce qui précède on voit que
1 "* Si ayant donné une surface gauche S par ses trois directrices courbes C, G^C^, Ton veut construire une surface gauche 2, se raccordant avec 1 tout le long d'une génératrice droite 6 , il faudra construire les plans 0 , @\ 0'' tangents à la surface £ aux points Oyd ^a" ea lesquels la droite de raccordement G coupe les directrices courbes C, G', C^ et construire dans l'espace trois nouvelles courbes G,, G/, C,^ passant respectivement par les points a^af^af' et ayant leurs tangentes 0, » 9/ , 8/' en ces points a^af^i/^, situées respectivement dans les plans 0 , 0% 0^ ; alors la droite G en se mouvant sur les trois courbes G, , G/, G,^, engendrera une surface gauche S, qui se raccordera tout le long de G avec 1 , comme ayant trois plans tangents communs 0,0% 0'^ avec celte surface 2 et en trois points a , a' , o^ de la génératrice G qui leur est commune.
2* Ayant donné une surface gauche 1 par deux courbes directrices G et G' et un c6ne directeur A , si Ton veut construire une surface gauche S, se raccordant avec la surface 1 tout le long d'une de ses génératrices droites G, il faudra construire la génératrice G, du cône A parallèle à la droite G ; puis il faudra construire les plans 0 et 0' tangents à S et aux points a et a' en lesquels G coupe les direc* trices courbes G et G'; ensuite on tracera dans l'espace deux courbes G. et G/ passant respectivement par les points a et a'» et ayant leurs tangentes 6. et 9'. en ces points a et o^, situées respectivement dans les plans 0 et 0'; enfin on ima-^ ginera un cône A, ayant même sommet que le cône A et tangent à ce cône A suivant la génératrice G,; en faisant mouvoir la droite sur les deux courbes G^ et C\ et parallèlement au cône A, , Ton obtiendra une surface gauche 2, qui se raccordera avec la surface 2 tout le long de la génératrice droite G qui leur est commune.
486* Si l'on a une surface gauche S donnée par ses trois directrices courbes G, G% G^^ et si l'on demande de construire le plan tangent à cette surface 2 pour un point m situé sur une droite G , mais telle que rencontrant les courbes G et G' en des points dont les projections se trouvent dans les limites de l'Eure , elle ne rencontre la courbe G^' qu'en un point dont les projections seraient hors des limites de Vépurcj alors la construction du plan tangent demandé est impossible; parce que si Ton veut employer un hyperboloïde à une nappe de raccordement , l'une des trois directrices droites de cet hyperboloïde ne pourra être déterminée , et si
Ton veat employer un paraboloïde hyperbolique de raccordement , Ton ne pourra pas construire le plan directeur commun à tous les paraboloïdes de raccordement. 487. Faisons remarquer , en terminant , que s*il n'existait pas de surfaces gauches doublement réglées ^ la solution du problème : Constrtàre te plan tangent en un point <Cune surface gauche générale , serait impossible par la géométrie , ou ^ en d'autres termes ^ par des constructions graphiques; et dans ce cas C analyse seule aurait pu résoudre le problème.
Construction de la courbe de contact d'un cylindre ou d'un cône tangent
à une surface gauche.
488* Étant donnée une surface réglée 2 engendrée par Tun ou Tautre mode de génération, on demande la solution des deux problèmes suivants :
V Construire la courbe de contact d d'un cylindre ^ engendrée par un plan P roulant iangentiellement sur la surface 2 et parallèlement à une droite donnée D.
Pour résoudre ce problème , nous construirons les diverses génératrices droites G y G\ &',..... de la surface S; nous ferons passer respectivement par les droites G , 6', G^\.... des plans Q, Q^ i Q'S*.** parallèles à la droite D et nous chercherons le point de contact de chacun des plans Q, QS Q'S«..* avec la surface I.
^ Construire la courbe de contact y d^un cône B ayant pour sommet un point s.
Pour résoudre ce problème , nous construirons les diverses génératrices droites 6, G^ 6^,.... de la surface S; nous ferons passer respectivement par chacune des droites G, G% G^, et le sommet Sj des plansR, R', R^,.... et nous chercherons le point de contact de la surface 2 avec chacun de ces plans R , R% R^' , . . . .
489. Montrons maintenant comment Ton peut facilement construire les points de
contact de la surface S, avec les plans Q ou avec les plans R suivant que
cette surface 2 est donnée par Tun ou Tautre mode de génération.
V La surface 2 étant donnée par le premer mode.
Ayant une génératrice droite G de la surface 2 et un plan Q (n"" 488 1 *"} ou R (n"" 488 2*) passant par cette droite G, on construira les tangentes 9,9^,0^' aux courbes directrices C , C% G' de la surface 2 et pour les points a ^ ci j a" en lesquels ces courbes C , G jQI\ sont respectivement coupées par la droite G ; ensuite , on construira deux droites 6. et G, s'appuyant sur 9 , 9% 9''; et le plan Q ou R coupera ces droites G^ et G, en les points q^ et </, ; la droite qjq^ coupera la droite G en un point m qui sera le point de contact du plan Q ou R avec la surface 2 ; on pourra
donc déterminer autant de points m, m'^ m" que Ton voudra de la courbe d ou
de la courbe y.
2' La ^wrfàce 1 é^BM âmmie par ée daariême moée.
Ayant une génératrice droite O de la Btirfece 2 et tm flanQ (n* 4S8 1*) ou ft (n** 486 2*) passant par œtte droite G, on oOKtrwra l"" les tsagenl» 6 et 8' aux deux ooari»es directrices C et C de la sui^oe X ^ pour les points « et «r' ea tesqaels la droite 6 coope respedtivemeiit les (Rrecuriœs G et C <t 2* la ^ératriœ K da cône directeur  paraHèle à la droîle *G, puis Ton o(R»tniira le pin P tangeB* an cône A tout le long de la droite E.
Ensuite on construira deux droites G, et G^ parallèles au plan P et s'appuyant sur les droites 9 et 9'.
Le plan Q ou R coupera ces droites G, et G, aux points q^ et q^, et la droite q^q^ coupera la droite G en un point m qui sera le point de contact du plan Q ou R arec la surface S.
On pourra donc déterminer autant de points m , m^, m", que Ton voudra de
la courbe } oa de la courbe y.
490. En vertu de ce qui vient d*être exposé ci-dessus on pourra toujours :
V Contraire la ligne de séparation d ombre et de lumière sur nne surface gauche £ donnée par F un ou T autre des deux modes de génération, lorsque cette surface sera éclairée par un rayon lumineux D ou par un point lumineux s.
2* Construire le contour apparent d'une surface gauche S en supposant Tœil placé en un point s de Fespace et par suite obtenir la perspective de cette surface gauche.
S"" Construire la projection complète et orthogonale j soit sur le plan horizontal de projection , soit sur le plan vertical de projection , d'une surface gauche S donnée par Fun ou Fautre mode de génération , puisque cette projection complète n'est autre que Fintersection du plan horizontal de projection ou du plan vertical de projection et d*un cylindre A tangent à la surface gauche 1, les génératrices droites de ce cylindre A étant perpendiculaires au plan horizontal ou au plan vertical de projection.
491 . Parmi les surfaces gauches on remarque les conoâdes , la surface du biaispassé et les hélicoïdes.
Nous allons examiner quelques-unes des propriétés dont jouissent ces surfaces qui se présentent assez souvent dans les applications; et par suite nous aurons Foccasion d'appliquer les principes généraux exposés ci-dessus , et de donner la solution graphique de plusieurs problèmes utiles.
DES C0NOJLD£S.
492. On a âoDDé le nom de omouk à une aarface engBadréa par une droite se mouvant sur une droite fixe et sur une courbe plane (à simple courbure) Ott. goMdte (à double courbve) et parallèlement à «n plan donné de position dans l'espace.
ToutefûÎB oa dottoe plofi particulièremrat k oom de cowAde à une surface particulière powr laquelle la direcùrice droite est pecpendiculaire aa plaa ^rwciaur M pour laqodle la c/îredrifir courbe est un cercle ou une etUpse cm lUM courbe fermée tracée sur un plan perpendiculaire au plan directeur.
Souvent aussi la coorbe directrice n'est pas plane ^ na» à doaUe oourbiire et tracée sur un eyliadre de révolntioa ayant la direciriee droite pour axe de rotation ; dans ce eas la OMurbe directrice est telle y. que lorsqi^ le cyHndre sur lequel elle est tracée se trouve développé (planifié) , die se transforaie en un cercle ou une eUipse ou lue omurbe fermée.
Ceëêtnetào» du plan tangent en un point d^une eurface cmtnde.
493. 4* Larmpœ ta courbe directrice eet pUme. Prenoas le plan bonzcmtal de pro^tion pour plan directeur; prenons la directrice droHe A verticale et traçons la combe directrice dans le plan vertical de projection, et supposons qu^eRe est un cercle C
Ayant écrit te» projections de la droite A et du cercle C , il sera toujours facile étant donné un point m* de construire le point m* qui sera la projection verticale du point m de la surface conoïde ; et en effet :
I^ point m étant sur la surface conoïde S , par ce point m {jig. 266) passera une génératrice droite 6 de cette surface S.
Ainsi G* passera par le point m* et le point A* (qui est la trace horizoïrtale de la directrice A), puisque A est une droite verticale et que la droite G s'appuie sur iXii^ directrice k.
La droite 6 percera le plan verticrf de projection en un point b qui aura pour projection horizontale le point 6* en lequel G* perce la ligne de terre LT.
Si donc on élève par le point t^ une perpendiculaire à LT, elle coupera le cercle C en denx points b et V qui seront les traces verticales respectives de deux génératrices droites 6 et G' ayant même projection horizontale en G*.
ESt comme les droites G et G' doivent être parallèles au plan horizontal de projection , G'' et G''' seront parallèles à la ligne de terre.
Cela fait, si par le point m* on élève une perpendiculaire à LT, elle coupera G*" et G'** en les points nC et m'*', qui seront les projections verticales de deux points m et wl ayant même projection horizontale en m^, et situés, Tun m sur la droite 6 et Fautre m' sur la droite G', ces drokes G et G' étant deux génératrices droites du conoîde.
494. Étant données les projections m^ et m* d'un point m d'un conoïde, construisons le plan tangent en ce point m.
La génératrice G qui passe par le point m {fig. 266 ) coope la directrice A au point Vj et elle coupe le cercle G au point 6. Remplaçons les deux directrices A et G par leurs tangentes aux points r et bj nous aurons la droite A et la tangente 0 au cercle G.
Si nous faisons mouvoir la droite G sur A et 9 et parallèlement au plan horizon* tal de projection (qui est le plan directeur du conoïde)^ nous engendrerons un paraboloïde hyperbolique £, qui sera tangent au conoïde donné 1 tout le long de la génératrice G qui est commune à ces deux surfaces gauches 2, et 2.
Construisons donc le plan T tangent en m au paraboloïde 2,, nous aurons le plan tangent en m au conoïde 2.
Or pour construire le plan T, cherchons la génératrice L du second système du paraboloïde 2, laquelle passe par le point m, la droite G étant la génératrice du pre* rrder système de ce même paraboloïde 2,, laquelle passe aussi par le point ,m.
La tangente 6 sera une génératrice du système ^ la droite A sera aussi une génératrice du même système L ; G perce la ligne de terre au point y et en unissant les points y et A* par une droite G,, on aura une génératrice du système G; Ton a en la droite G, la trace H^t de la surface paraboloïde 2, et en la droite 0 la trace Y^i de cette même surface paraboloïde 2,.
Cela posé :
La droite L perce le plan horizontal au point p situé à Tintersection des droites L* et V^-; projetons le point p en p* sur LT, unissons p" avec by nous aurons L*.
Le plan T sera donc déterminé par les deux droites G et L de systèmes différents se croisant au point m.
La droite L sera une verticale du plan T, dès lors Y* sera parallèle à L*' ; la droite G sera une horizontale du plan T, dès lors H* sera parallèle à G^.
495. 2'' Lorsque la courbe directrice est tracée sur un cyUndre. Soit donné sur le plan horizontal de projection {fig. 267 ) un cercle B ayant son centre au point A\
Regardons le point A^ comme la projection horizontale d'une droite A perpen dicalaire au plan du cercle B et regardons le cercle B comme la trace horizontale (et dès lors la section droite) d'un cylindre <f ayant ses génératrices droites parallèles à Taxe A.
Supposons que le cylindre 9 soit développé sur un plan, le cercle B se transformera en une droite B, et sur le développement traçons un cercle C. ayant le point 0. pour centre.
Lorsque le plan sur lequel le cylindre 9 est supposé planifié sera enroulé sur ce cylindre 9, la droite B, s*enroulant sur le cercle B, le cercle C, deviendra une courbe à double courbure G dont la projection horizontale sera un arc du cercle B. Supposons que Ton mène au cercle G, deux tangentes parallèles entre elles et perpendiculaires à la droite B,, et enroulant la droite x^y^ sur le cercle B, Tare xy sera précisément la projection horizontale de la courbe G.
Gette courbe G sera complètement déterminée par sa projection horizontale xy et par sa transformée G, ; car si Ton prend sur Tare xy un point J'y il sera la projection horizontale d'un point z de la courbe G, et si nous connaissons la hauteur 22^ du point z au-dessus du plan horizontal de projection, nous conna!trons d'une manière précise la position du point z dans l'espace ou sur la courbe G.
Or si Ton prend Tare xJ" et qu'on le rectifie, et qu'on le porte ainsi rectifié sur la droite B, depuis le point x^ jusqu'en z\ et si par ce point 2' on élève une perpendiculaire à la droite B, et coupant le cercle G, en un point 2^, il est évident que le point z. sera le transformé du point z; dès lors z^z' sera égale à la hauteur du point z au-dessus du plan horizontal de projection.
On voit donc que les points z" de l'arc xy nous donnent les projections horizontales des divers points z de la courbe G et que les hauteurs de ces points z
au-dessus du plan horizontal nous sont données en les dislances z^z' tracées sur le développement du cylindre.
Gela posé :
Si nous menons au point z^ une droite 6* tangente au cercle B (ou G*) nous aurons la projection horizontale de la tangente 0 à la courbe G pour le point z; et en menant au point z, une tangente 9, au cercle G. nous aurons la transformée de la tangente 9.
Or nous savons que la sous-tangente pour 3, est égale à la sous-tangente pour 0; nous porterons donc zY sur B^ depuis le point z^ jusqu'au point q et la droite qz ne sera autre que la tangente 9.
Si nous faisons mouvoir une droite 6 sur l'axe A et la courbe G et parallèlement an plan horizontal de projection H, nous engendrerons un conoïdel.
Si nous Taisons mouvoir une droite 6 sur Taxe A et sur la tangente 0 et parallèlement au plan horizontal de projection H, nous engendrerons un parabolcUde hyper* boltque 2,.
