SM
La^ généraÊrke droite G pMsaol par lep<mt& de ki (XMiirhe C, sera comflMHie «ox deux surfaces 1 et 2, et ces deux surfaces auroni luéne plan étrecteyr E.
Si donc pour un point m de la droite G (qui est horizontale) on constmii on phn T tangent au paraboioïde 2. on aura le j^an tangent au point m au conoïde £.
Cela posé* :
Si Fbii unit les points q et Â^ par une droite H^'^ on aura la trace horizontale d« parafaotoïde 2..
Si par le point m^ on mène une droite L^ parallèle à &\ on aura la projeclîon bo«rizontale de la génératrice du second système du parabo)o!de 2,, la droite G étaal ia génératrice du premier système.
La droite L^ coupe H^i an point p qui sera la trace horizontale de la droite L*.
On connaît donc les deux génératrices de systèmes tUfferents G et L qui se croisent ma point m.
Dès lors on connaît le plan tangent T, et sa trace H^ passera par le point p et sera parallèle à G*, car la droite G est une horizontale de ce plan T.
Dans les deux cas que nous venons d'examiner, le paraboioïde hyperbolique de raccordement 2, est rectangulaire^ car dans le premier cas les deux plans directeurs sont pour les génératrices du système G le plan horizontal de projeclîon, et pour les génératrices du système L le plan vertical de projection. Dans le deuxième cas le plan directeur du système G est le plan horizontal de projection, et le plan directeur du système L est le plan mené tangentiellement au cylindre 9 par la tangente 9w
Dfems le premier cas, le plan directeur du système L est oblique à la génératrice G suivant laquelle se raccordent le conoïde 2 et le paraboioïde 2^.
Dans le deuxième cas, le plan directeur du systèmehesX perpendiculaire à la génératrice G de raccordement.
496. Tout plan X qui passe par une génératrice droite G d'une surface réglée S est tangente à celle surface 2 en un certain pointer de la droite G.
Nous aurons donc à résoudre le problème suivant :
Ê^ianl donné un planX passant par une génératrice droite G d'un conoïde 2, construire son point de contact x avec cette surface 2.
1* La courbe directrice du conoïde étant plane.
497. Supposons le conoïde 2d€imé ainsi qu'il a été dit ci-dessus {Jig. 266), et soient données les traces V* et H* {fig. 268) d'un plan X passant par une génératrice droite G du conoïde S, ce plan X sera tangent à la surface 2 en un certain point or situé sw la droite G,, ei Iron se propose de construire les projections x** et 0^ de ce point x.
— tS9 ~
Pour y parreDir, traçons la tangente 6 an cercte directeur C et au poiai è qoi'est la trace verlicale de la génératrice G.
La droite 9 perce la ligne de terre au point q ; unissons les points q et A* par cme droite H^i nous aurons la trace horizontale du paraboloïde 2, qui se raccmrde tout le long de la droite G avec le conoïde 2.
Les traces H* et H^i se coupent en un point p; menons par ce point p la droite L* parallèle à la ligne de terre, nous aurons la projection horirontale de la génératrice du système L suivant laquelle le plan X coupe le paraboloïde 2, ; L* coupe G* an point a!^^ d*oà Ton déduit le point x", et Ton a ainsi les projections du point a? en lequel le plan X touche le conoïde 1.
2* La courbe directrice du conoïde étant tracée sur un cylindre.
498. S>ipposons le conoïde 2 donné ainsi qu'il a été dit {Jig. 267), et soit donnée la trace H' d'un plan X passant par une génératrice droite G du conoïde 2 (/^. 269), ce plan X louchera la surface £ en un point x situé sur la droite G, et l'on demande de construire sa projection x^j car sa hauteur au-dessus du plan horizontal est connuCy puisqu'elle est égale à la dislance de la droite G à ce plan, hauteur qui est donnée en z^z' au développement du cylindre ç.
Pour y parvenir, traçons la tangente 9, au point s, du cercle C, transformée (sur le développement du cylindre cp) de la courbe G; construisons au point z^la tangente 9* au cercle B; portons la sous-tangente zYsur 5 depuis a* jusqu'en ç; tragons la droite qX'*^ nous aurons la trace horizontale H^i du paraboloïde S^ se raccordant avec le conoïde 2 tout le long de la génératrice droite G.
Les deux traces H"" et H^i se coupent en un point p, et si par ce point p nous menons une droite L* perpendiculaire à G*, nous aurons en cette droite L* la projection horizontale de la génératrice du système L suivant laquelle le paraboloïde 2, est coupé par le plan X.
Les droites L* et G* se couperont au pointa:* qui sera la projection horizontale du point X qui est le point de contact du plan X et du conoïde 2.
Construire au moyen d'un conoïde le plan assujetti à passer par une droite et à être tangent à une surface donnée.
498 bis. Soient d<mnées une droite D et une surface S, imaginons une série de
plans parallèles entre eux X, X', X^' coupant respectivement Ja droite Daux
points JT, xfj xf' et la surface S suivant les courbes d, ^j d^\*...,
ProjetGiM ortbogonalement la droite D et les ooorbes i..^. sur un plan H parallèle
aux divers plans sécants X , nous aurons les ooorbes d*, ^\ i"^^-... et la
dbxMte 1/ et les poiats j^^ a/\ a^\ situés sur œtte droite D*.
Cela fait) imaginons par le point x une droite G tangente à la courbe d et en un point rf, par le point od une droite G' tangente à la courbe d' et en un point dH^ et ainsi de suite.
Les diverses droites G formeront nn conoîde £, ayant la droite D pour directrice
dnÂte et la courbe y lieu des points dy d*^ d"^ pour directrice courbe , et son plan
directeur sera le plan H.
Le conoîde £, sera tangent à la surface £ en tous les points de la courbe y, car si par le point d on conçoit la tangente 9 à la courbe y et la tangente G à la courbe d , ces deux droites G et G détermineront un plan tangent à la surface £ et au conoîde S, en ce point d.
Si donc pour un certain point m de la courbe y, le plan @ tangent à la surface £ passe par la droite D^ ce plan 0 sera le plan tangent demandé, et ce plan O sera aussi tangent au conoîde £..
Mais ce plan 0 sera tangent , non pas seulement pour le point m de la génératrice droite G, de ce conoîde, mais encore eu tous les points de cette génératrice G, ;
et en effet, les droites G se projetteront sur le plan H suivant des droites G*
passant respectivement par les points a^ et tangentes respectivement aux
courbes d^ en les points d* Si nous supposons que les plans X , X', sont
successifs et infiniment voisins , les droites G et G', G' et G^', seront des génératrices droites successives et infiniment voisines.
Parmi toutes les droites G*, G'*, G"*, successives et infiniment voisines, il y
en aura une G,* qui fera avec D* un angle «, plus petit que les angles «, a', a'^,
que font, du même côté que a, et avec D*, les droites G*, G'*, G"*,
Si donc on mène parles points x, iç', x'', des droites B, B\B", parallèles à la droite G, , ces droites ne couperont pas les courbes d, d', d^, et elles
formeront un plan 0 passant par la droite D et la droite G, et ne rencontrant la courbe y qu'au point m dont la projection m* sera sur 3,* le point de contact de G,* et de cette courbe d,*.
Le plan 0 sera donc tangent en m et au conoîde S, et à la surface 2 et passera par la droite D, il sera donc le plan demandé.
Au point m, construisons la tangente 9, à la courbe y, cette tangente sera dans le plan 0 ; au point x^ , en lequel G, coupe D , le plan tangent T au conoîde £, passe par G, et D. Or, les droites D et 9. sont dans le plan 0 en même temps que la droite G,, les deux plans T et 0 ne forment donc qu'un seul et même plan.
Si Ton voulait construire le paraboloîde hyperbolique S, se raccordant avec le conoîde S, tout le long de G, , on devrait faire mouvoir la droite G, sur les deux droites D et 9, et parallèlement au plan H, on engendrerait donc le plan 0; donc
le plan 0 est tangent au conoïde £, tout le long de la droite G, ; donc le conoïde S, est dévoloppable tout le long de cette génératrice droite 6, .
Dans la pratique y on ne peut pas avoir des courbes iji\y\ successives et
infiniment voisines, on n'a jamais que des courbes à distance finie les unes des autres 9 mais que Ton peut prendre assez rapprochées les unes des autres pour
que la droite 6, qui fait avec D^ un augle a, plus petit que les angles a^oL^a'
que font avec D^ les droites G^,6'*,G''\ situées à distance finie les unes des
autres, pour que cette droite G,, dis-je, occupe à très-peu près la position que doit rigoureusement et géométriquement occuper la droite désignée ci -dessus par G,.
La méthode du conaide tangent , pour construire le plan tangent à une surface £ et assujetti à passer par une droite D , est donc une méthode approximative dans Vapplicationy et de plus elle exige que la surface £ soit définie par une série de
sections horizontales 3,3^9^^ que Ton prend ordinairement équidistantes entre
elles. Cette méthode est due à Meunier^ général du génie militaire ; il Tavait pro^ posée pour la construction du plan de défilement (n* 383 ter).
De rintersection d'une surface de révolution avec /'tin ou Vautre des deux concides précédents y la surface de révolution ayant la directrice droite A pour axe de révolution.
499. Si Ton a un conoïde £ donné ainsi qu'il vient d'être dit ci-dessus et une surface de révolution A ayant pour axe de rotation la directrice droite A du conoïde , il sera facile de construire la projection horizontale f de la courbe i intersection de ces deux surfaces £ et A.
Et en effet, il suffira de mener une suite de plans horizontaux X,X\X'^
lesquels couperont respectivement le conoïde £ suivant une ou plusieurs génératrices droites et la surface de révolution A suivant un ou plusieurs cercles ayant tous leurs centres situés sur l'axe A.
On aura donc dans le plan X des droites G, 6, , et des cercles 6, 6, »
— X' — g; 6',, et — 6', 6',,
. Et ainsi de suite.
Dès lors les droites G\G^, couperont les cercles fi^^S*, , (qui ont pour
centre commun le point A*) en des points ;i^ qui seront les projections des
points X , en lesquels se coupent dans l'espace les droites G, G,, et les
cercles 6, 6„
Les points a^ appartiendront donc à la courbe d^ projection horizontale de
la courbe d lieu des points x Et en opérant de même par rapport aux
droites et aux cercles srtTiés respectivement dans les divers plans auxiliaires
X', X", on obtiendra les divers points ar*, a;'*, x'*, de la corirbe
demandée 3*.
500. Étant donnée une courbe 3* tracée sur un plan H, on pourra toujours regarder cette courbe comme la projection orthogonale sur ce plan H de la courbe S intersection ; P d'un certain conoïde S ayant le plan H pour plan directeur et pour droite directrice une perpendiculaire A au plan H, et 2* d'une certaine surface de révolution A ayant la droite A pour axe de rotation.
Et en effet :
Menons par la droite A un plan M, et traçons dans ce plan une courbe arbitraire y, cette coarbe y en tournant autour de faxe A engendrera une surface de révolution A dont elle sera la courbe méridienne.
Du point A* comme centre et avec un rayon arbitraire R , traçons sur le plan H un cercle B et regardons ce cercle comme la section droite d'un cylindre «p ayant la droile A pour axe de révolution.
Par un point a;* de 3* menons la droite G* passant par le point A*, cette droite G*
coupera le cercle B en un point a* ; du point A* comme centre avec A*a^ pour rayon, décrivons le cercle 6* coupant la droite H" en un point p; par ce point p menons dans le plan M une verticale coupant la courbe y en un point y.
Cela fait , par le point z^ concevons la génératrice droite E du cylindre <p et
portons de J^ en z sur cette droite K une longueur égale à py; opérons de même pour tous les points a^ de la courbe d^, nous obtiendrons sur le cylindre <p une
suite de points z qui détermineront une courbe à double courbure G qui sera
la direcîrice courbe du conoïde £.
£t les deux surfaces S et A se couperont suivant une courbe d qui se projettera sur le plan H en la couibe donnée Sf".
On voit donc que la courbe y est arbitraire et que la courbe G prend une forme particulière et qui dépend : 1"" de la nature géométrique et de la position sur le plan M de la courbe y , et 2° de la nature géométrique de la courbe donnée Sf" y et de la position donnée au point A^.
501. Les considérations géométriques précédentes nous permettront de construire graphiquement la tangente en un point quelconque d'une spirale trigonométriqtie et de certaines autres courbes dont on connaîtra l'équation polaire.
— aaa —
DES SPIRALES TRIGONOHJËTRIOtUES.
502. Les spirales trigonométriques sont au Dombre de sept, dont voici le tableau.
La spirale 1"" sinusoïde ayant pour équation p = asim tt>.
— 2* comnuêmie, . • p.=:«coë.u»
— âr iangenUnée, ^ p = a tang. o».
— 4"* cotangentoïde p = a cotaog. <a»
— &" sécanUnde p = asécant.»»
— 6* cosécanioxde p = a coséc. «.
— ?• ùnus-versotde p = asin.-yers.».
La construction par points de chacune de ces spirales ne peut offrir de difficulté 9 nous supposerons donc que chacune de ces courbes est donnée par son tracé.
Le point A^ sera placé au pôle de la courbe spfrale et la droite origine des angles o sera prise perpendiculaire à H" trace du plan méridien M, dont nous avons parlé ci -dessus.
Cela dit, appliquons les considérations géométriques exposées (n* 500) à la construction graphique de la tangente en un point de chacune de ces sept spirales.
i"" De la spirale sinusoïde.
503. L'équation de la spirale sinusoïde est p=asin.ct>9 traçons (/i^. 270) un cercle B avec un rayon égal à a ; menons par le centre A'^ du cercle B un rayon AV faisant avec le diamètre AV un angle a> ; abaissons du point n^ une perpendiculaire sur la droite A^o origine des angles ci>; portons sur le rayon AV du point A^ en m^ une longueur égale à pn^, on aura en m^ un point de la apirate sinusoïde d*.
Et en effet désignant AW par p, cooiaie pii^=asinusa>, on aura par construction : p=asin.a>. ; pour cù = 0^ tout comme pour (k> = 180' et ai^=360'*, on a p=:0, donc la courbe d* passe par le centre du cercle B; pour a>=90° tout comme pour (0=270'' , on a p =11, donc la courbe ^ passe par les pointa i et t' en lesquels le cercle B est coupé par le diamètre AH perpen4iculaire au diamètre origine des angles oj> ; la spirale sinusoïde a donc la forme d'un 8.
Par le point A^ élevons une droite A perpendiculaire au plan du cercle B et par cette droite A menons un plan M ayant pour trace H" la droite îi^ Au point 0 me-
nons une tangente au cercle B et prenons cette tangente pour ligne de terre LT ou trace horizontale H" d*un plan N tangent au cylindre 9 ayant la droite A pour axe de rotation et le cercle B pour section droite.
Cela posé : du point A* comme centre et avec un rayon égal à p=A*m* décrivons un cercle 6* coupant la droite H" au point y, les deux points y et m^ seront sur une perpendiculaire à LT.
Dans le plan M traçons une courbe y dont nous désignons par z les ordonnées parallèles à Taxe A et par p, les abscisses comptées sur H" à partir du point A*, pris pour origine des coordonnées z et p^.
Nous pourrons poser Téquation p, =/(«), qui sera Téquation de la courbe 7.
Projetons pn^ en oq et sur la droite LT élevons une droite (/n*' égal au z de la courbe y correspondant à rabsci86ep, = A*j/; comme oqf=pm*=A*j^=p=p,= a. sin. Cl) ; on voit que si Ton trace sur le plan N (ou le plan vertical de projection LT) une courbe 7" qui soit la projection de la courbe 7, l'équation de y" sera x=f(z) en désignant oq par x.
Dès lors en faisant tourner la courbe 7 autour de Taxe A on aura une surface de révolution A, et le cylindre projetant 7 en 7** coupera le cylindre ç suivant une courbe à double courbure G qui sera la directrice courbe du conoïde I ayant le plan du cercle B pour plan directeur et l'axe A pour directrice droite, et ces deux surfaces A et 1 se couperont suivant une courbe d qui se projettera en ^. On voit donc que Ton peut avoir une infinité de systèmes de surfaces A et 2 s'entrecoupant suivant une courbe dont la projection soit la spirale sinuscnde^ puisque Ton peut prendre pour/ (2) toute fonction en z que Ton voudra. Parmi tous ces systêniesy le plus simple est celui pour lequel la courbe 7 est une ligne droite, qui, tracée dans le plan M, passe par le centre A* du cercle B.
Alors, la surface A est un cône de révolution autour de Taxe A et ayant son sommet au point A*, et la courbe directrice G est la section faite dans le cylindre vertical et de révolution cp par un plan qui, tangent au cône A, serait perpendiculaire au plan M. La courbe G sera donc une ellipse dont le centre sera précisément le sommet A* du cône A. -
Ce système permet de construire très-simplement la tangente en un point m* de la spirale sinusoïde 3*.
Et en effet :
Pour avoir la tangente 6 au point m de la courbe iy il faudra : 1* construire le plan T tangent en m au cône A, la trace H* de ce plan sera perpendiculaire au rayon vecteur A*m* et passera par le point A*; 2* construire le plan 0 tangent en m au conoïde 2 ; or, il est évident que la droite K* qui, passant pas le point m*, sera perpendiculaire à A*»i*, sera la projection horizontale de la génératrice K du second
système du paraboloïde 2, se raccordant avec le conoïde £ tout le long de la gêné* ratrice droite horizontale G qui, s'appuyant sur Taxe A et l'ellipse C, passe par le point m. Cette droite K percera le plan horizontal au point s situé sur la droite A*o ; si donc par ce point s on mène la droite H® parallèle à A*m* (qui représente G*), on «.idrara la trace horizontale du plan 0.
Les deux droites H"" et H^ se coupent en un point b qui sera la trace horizon* taie de la tangente 9; dès lors bm^ sera la tangente au point m* de la spirale sinusoïde.
Dans la fig. 271 , nous avons donné les seules constructions graphiquesàexécuter pour avoir la tangente 9 en un point m d'une spirale sinusoïde d, le point o étant le pâte et la droite oR étant l'origine des angles a».
Dans cette figure il est facile de voir que ms=ob; quebsmo est un rectangle; que la tangente 9 coupe la droite oR en un point p qui est le milieu de bm et de so^ et que dès lors pour avoir la tangente 9 il suffit d'élever sur le milieu r du rayon vecteur p=om une perpendiculaire à ce rayon vecteur, laquelle coupera la droite oR en un point p, et la droite pm sera la tangente 9 demandée.
i!^ De la spirale cosinusoide.
504. Si l'on a construit la spirale sinusoïde 3 (^fig. 272), o étant le pôle et oR la droite origine des angles o), on a l'équation
p=a.6in.<s)
Mais si au lieu de compter les arcs (qui dans le cercle B mesurent les angles oo) à partir du point b en marchant sur le cercle B dans le sens indiqué par la flèche/, on comptait des arcs mesurant des angles &>' complémentaires des angles a> en partant du point 6' et marchant sur le cercle B dans le sens indiqué par la flèche/, on voit de suite que pour un point m de la courbe d on aura :
om=:j9n=op' or pn=asin(i> et op' = acosu>'
Donc l'on aura pour l'équation de la courbe i
ou p=:asinci> ou p=acosw'
La spirale cosinusoide n'est donc autre que la spirale sinusoïde.
504 bis. Si l'on cherche par Yanalyse l'équation polaire d'un cercle, en suppo.
