a . tâng

Portons 09 de A* en m*, dods aurons alors uo point m* d'une courbe d*, dont i'équation sera précisément p= a. tang. co, en désignant A*m*parp.

Cela posé :

Du point A* comme centre et avec A*m* pour rayon, décrivons un cercle S'^ coupant la droite H" perpendiculaire à la droite A^o en un point p, on aura :

Dès I0T8, désigntint A*p par p,, on pourra dans le plan M tracer une courbe 7 ayant pour équation

Et désignant 0^ par x, Téquation de y** sera

Si Ton fait tourner la courbe 7 autour de Taxe A, on aura nne surface de révolution A; et si l'on fait mouvoir parallèlement au plan horizontal de projection une droite G s'appuyant sur Taxe A et sur la courbe 7*, on aura un conoïde 2.

Les deux surfaces A et 2 se couperont suivant une courbe 5 dont la projection 3* sera la spirale tangentdide.

On peut prendre pour/(«) une fonction de z de telle forme que l'on voudra, on aura donc une infinité de systèmes de surfaces A et 2 donnant la spirale tangentoïde pour la projection de la courbe à double courbe à suivant laquelle elles s'entre-coupent.

Parmi tous ces systèmes le plus simple sera celui pour lequel la courbe y sera une droite passant par le point A* ; dès lors, la ligne y* sera une droite parallèle à la droite y.

Dans ce système particulier, la surface A sera un cône de révolution ayant son sonnnet au point A^ et ayant la droite A pour axe de révolution et le conoïde S sera an paraboloide hyperbolique ayant les droites A et y'' pour directrices et le plan horizontal de projection pour plan directeur.

506. La construction de la tangente en un point m^ de la spirale tangentoïde sera facile; car elle sera la projection de la droite intersection du plan T tangent en fil au cône A «t du plan © tangent en ce mlôme point m an paraboloïde hyperbolique Z.

Pai indiqué sor la fig. SL73 -toutes les constroetiom, il sera fecile de les lire,

puisque nous avons appris à construire le plan tangent en un point d'un paraboloïde hyperbolique.

507. La construction de la tangente 6 en un point m d*une spirale tangentoïde dj {fig. 274) dont on connaît le pôle o et la droite oR origine des angles a>, se réduit donc en définitive aux opérations graphiques suivantes :

Par le point o on mène uoe droite or perpendiculaire au rayon vecteur om; par le point m on mène une droite ms perpendiculaire à la droite oR et la coupant au point s; par ce point s on mène une droite sr parallèle au rayon vecteur om et coupant la droite or au point r ; en joignant les points r et m on a la tangente 9 demandée (*) .

4*" De la spirale cotangentaide.

508. Si pour une courbe ^ dont Téquation est p=a cot. o», nous faisons les mêmes constructions que pour la spirale tangentoïde, il est facile de voir que cette courbe d^ sera encore la projection de Tintersection d*un cône droit A et d'un paraboloïde hyperbolique £, ces deux surfaces A et 2 étantî^placées Tune par rapport à Tautre absolument conmne le cône et le paraboloïde le sont, lorsque nous avons examiné la spirale tangentoïde. Nous pouvons donc affirmer que les spirales tangentoïde et cotangentoïde dont les équations sont :

P = atang(i> et p=acoia>

sont des courbes identiques, en se sens qu'en laissant l'une fixe et faisant tourner l'autre autour du pdfe, on pourra superposer ces deux courbes.

5"" De la spirale sécanloide et 6"" De la spirale cosécantdide.

509. Il suffit de jeter les yeux sur la fig. 275 pour reconnaître que la courbe représentée par l'équation : p=a sécant», n'est autre que la droite D tangente en n au cercle B ayant son rayon égal à « , et que la courbe représentée par l'équation : p=acosécanta>', n'est autre que la droite D' tangente au point v! au même cercle B.

(^ Voyez, dans les Compléments de géométrit descriptive, le mémoire qui a pour litre: Construction de la tangente en un point multiple d^une courbe dont Céquation est inconnue; mémoire que j'ai publié pour la première fois dans le 21* cahier du Journal de l'École polytechnique.

Voyez aussi, dans les Développements de géométrie descriptive^ le chapitre II, page 124.

7'' De la spirale sinus^versdide.

510. L'équation delaspirale sinus-versoïde est : p=asin-versci); pour construire celle courbe, nous tracerons {fig. 276) un cercle B avec un rayon égal à a; la ligne LT passant par son centre A* étant prise pour origine des angles o) , nous porterons sur le rayon vecteur A*w, le sinus-verse op depuis le point A* jusqu'en m*; et la courbe 3*, lieu des points m\ aura la forme d'un 8 (ses branches se croisant au point A* centre du cercle B et touchant ce même cercle B aux points t et i' situés sur le diamètre perpendiculaire à LT).

Cela posé :

Si nous prenons la droite LT pour ligne de terre , nous pourrons tracer dans le plan vertical de projection LT une courbe y ayant pour équation p, =f{z).

Ayant élevé par le point A* la verticale A , la courbe y aura une position déterminée par rapport à cet axe A ; faisons glisser parallèlement à lui-même Taxe A pour le transporter en A', en cette position la droite A' perce la ligne de terre LT au point o situé sur le cercle B et la courbe y aura pris une position parallèle •/.

Cela posé, faisons tourner la courbe y autour de Taxe A , on aura une surface de révolution A; regardons la courbe y comme la base sur le plan vertical LT d'un cylindre l ayant ses génératrices droites perpendiculaires au plan vertical LT , ce cylindre Ç coupera le cylindre de révolution 9, qui a le cercle B pour base horizontale et pour section droite, suivant une courbe C ; et le conoïde S sera engendré par une droite 6 se mouvant parallèlement au plan horizontal de projection en s'appuyaut sur l'axe A et la courbe C.

Les deux surfaces de révolution A et conoïde 2 s'entre-couperonl suivant une courbe i dont la projection i^ sera précisément la courbe sinus-versoïde.

Parmi les divers systèmes de surface A et S, on peut prendre le plus simple, qui sera celui pour lequel la courbe y sera une droite D passant par le point A* centre du cercle B. Dès lors la surface A sera un cône de révolution ayant son sommet au point A* et ayant la droite A pour axe de rotation , et la courbe C sera une ellipse , car alors / sera une droite D' parallèle à D et passant par le point o, et le cylindre Ê sera un plan P perpendiculaire au plan vertical de projection et ayant pour trace V" la droite D' elle-même.

Le conoïde 1 aura donc pour directrice courbe l'ellipse C section faite dans le cylindre cp par le plan P.

51 1 . Les surfaces particulières A et 2 permettent de construire assez simplement la tangente en un point m!" de la sinus-versoïde d^ ; et en effet , cette tangente sera

rintersectioQ des plans T tangent au cône A au point m , et du plan 0 tangent au conoïde S en ce même point m.

Il est évident que H* passera par le point A^ et sera perpendiculaire au rayon vecteur ANn*.

Pour constniire ïP , bobs mènerons au point n «n leqo^ le cercle B est coupé par la droite A*m* une tongeilte à ve cercle, laquée coupera H* en un point *. La droite ^A^ sera donc la trace horizontale du parabdiotde ^hyperirolique 2), se raccordant avec le conoïde £ tout le long de la génécatrice droite Ji passant par le point m.

Si donc nous menons par m* une droite K* perpendiculaire am rayon vecteur A*m*, elle percera la droite «A* en un point r qui sera la trace horizontale de la génératrice du 9econd système E du paraboloïde 2,.

Dès lors menant par le point r une droite BP parallèle à A^n^ qui rf est autre que ij^j on aura fat trace in pian 0.

Les deux traoes H^ et H^ se coupent en un point b et unissant les points 6 et m^ , on aura la tangente à la courbe d^.

Dans la fig. 277 , nous n'avons tracé que les lignes strictement nécesBmres pour la construction de la tangente en un point m d'une sinu^-Fersoïde d., dont le peint 0 serait le pôle et la droite op Y origine des angles u.

512. Appliquons les principes exposés ci-deesus à quelques autres oourbes dont Téquation polaire serait :

8* p. 00= a spirale hyperbolique ;

9* p =a.(ù spirale d'Archimède ;

10** p* =a.û) spirale parabolique du premier genre ,

11» p =0.(0 ....... spirale parabolique du second genre.

8* Spirale hypertolîque y pa)=a.

513. En se rappelant ce que nous avons dît ci-dessus , on voit de suite que la courte 7 tracée dans le plan M passant par Taxe A aura pour équation : p^ =/ (a).

Et si nous rectifions Tare a w du cercle B ayant son rayon égal à a (Fangle co étant sous-tendu par cet arc) nous aurons a;, dès lors la courbe C, transformée de la

d directrice courbe C du conoade S aura pour équation — ==/(4).

Le système le plus simple sera celui pour lequel nous prendrons z pour /(s) , et alors réqnation de la courbe 7 «era p, = x et ceffle de te courbe phme C, sera

Lasurfacô.da ré^olu*»a.4,s0radona un cône ayaiut soa sommet an centre, du eercle Bel ayant la. dnoite A j^r axe de rotation; et la courbe directrice C. da conoïde S aura pour transformée une hyperbole équilalère ayant pour asymptotes» une verticale et une horizontale , le centre de cette, courbe étant situé sur la droite origine des angles a>.

La GonstcuctiûD dela.tangente en un point de la spirale hyperbolique sera plus facile, puisqu'elle dépendra de la tangente à l'hyperbole C, (*).

Et en effet, soit donnée la spirale hyperbolique ô* ayant le point A* (fig. %^^bis) pour pôle et en même temps pour point asymptote ; de ce point A'^ comme centre et avec un rayon égal à a, décrivons un cercle B et menons au point o une tangente LT à ce cercle (la droite oA* étant l'arigine des angles &>).

Dans le plan vertical LT, traçons une hyperbole C, ayant pour asymptotes la droite LT et une verticale A'', le eentre de cette courbe étant au poinb a et son équation- étant a^=:aa, l'écpjatkm polaire de la spirale hyperbolique tracée anr le ^an horizontal sera (m> =0*

Pour construire' au point m* de la cora*e spirale hypertoliqoe 3* la tangible t^, nous remarquerons que le rayon vecteur A^m^ coupe le cercle B au ponrt n^ , et que si l'on rectifie l'arc ow* pour le porter sur LT de 0 en n\ et si par n' on élève une verticale coupant l'hyperbole C, au point n, , et si l'on mène au point n, la tangente 8, à cette hyperbole C, , cette tangente S, coupant LT au point p', on aura pn =:no.

Si donc on mène au point n^ la tangente 9* au cercle B et si Ton porte sur 9* à partir du pointu*, n*p=«y =7i'o=:(arc. om/" reetifté)et si Ton unit te point p^ avec le point A* par une droite H^' , on aura en cette droite H^» la? trace horizontale du paraboloîde hyperbolique S, se reteoordam avec le conoïde S^tont le* long de la génératrice droite 6 qui est horizontale et qui passe par le point m de la co«rbe $ îfitensection du cône de révolution A et du conoïde £ ayant pour courbe directrice l'by* pa4>oleC, enroulée suc le. cylindre 9 da. révolution.; la tangente li^au. poinim* de la spirale hyperi)olique â^ sera donc la projection de rintersection da.plan T taagent; en m^ au; c6ne A , et du plan 0 tangent ea m aa paraboloîde 2, .

Or , H* passera par le point A* et sera perpendiculaire au rayon veeteur àSn^; et pour avoir H^ ,. nous mènerons par le point m^ une droite K* perpendiculaire au rayon vecteur A*m* et rencontrant la droito H^' en un point q ; par ce point q nous

(*) Voyez ^ dans 1& chapitre II des Développements de géométrie descriptive ^ ce qui est relatif à la spirale hyperbolique.

mènerons H^ parallèle à A*m* (ou G*) et les deux droites H® et H' se couperont en un point r ; en unissant par une droite les points r et m^ , on aura la tangente i^ au point m* delà spirale hyperbolique.

Remarquons que la droite m^q est égale à Tare mS rectifié, cet arc étant compté sur le cercle décrit du point A'' {pôle de la spirale) comme centre et avec un rayon égal à A*m* (rayon vecteur de la spirale) et le point s étant sur la droite origine des angles a>.

9* Spirale iArcMmèdey p=oci>.

51 4. La courbe y aura pour équation p, =/ (z) et la courbe C, aura pour équation a?=/(z).

Le système le plus simple sera donc celui pour lequel on aura : p, =2 et â:=x. En sorte que la surface de révolution A sera un cône ayant son sommet au centre du cercle B qui a son rayon égal à a et qui a pour centré le pôle de la spirale et la surface conoïde S aura pour directrice courbe G une hélice tracée sur le cylindre de révolution 9 (*).

1 0* Spirale parabolique, p* =00).

51 5. La courbe 7 aura pour équation p,' 21^/ (z) et la courbe G, aura pour équation a?=/(2}.

Les surfaces les plus simples A et S seront donc celles que Ton obtiendra avec les équations p/=z et â;=z.

Dès lors la surface de révolution A sera un paraboloïde de révolution ayant la droite A pour axe de rotation et le conoïde 2 aura pour directrice courbe G une hélice tracée sur le cylindre de révolution 9.

La construction de la tangente en un point de la spirale parabolique du premier gmre^ n'ofiFrira aucune difficulté puisqu'elle dépendra delà construction delà tangente en un point d*une hélice cylindrique et circulaire et de celle de la tangente en un point d'une parabole.

(♦) Voyez y dans le chapitre II des Développements de géométrie descriptive^ ce qui est relatif à la spirale d'Archimède considérée comme étant la projection de la courbe d*intersection d*une surlace annulaire et d*un conoïde.

1 1 * Spirale parabolique f p t=s a « u'.

51 6. La courbe y aura pour équation p, =/(£), et la courbe G. aura pour équation

Les surfaces les phis simples seront celles que Ton obtiendra en vertu des équations : p, = 2 et x^ = œt. Dès lors la surface de révolution A sera un cône ayant son sommet au centre du cercle B (décrit du pâle de la spirale comme centre et avec un rayon égal à a) et ayant la droite A pour axe de rotation. La surface conoïde S aura pour courbe directrice G une courbe à double courbure tracée sur le cylindre 9 1 et dont la transformée sera une parabole C, ayant son sommet sur la droite origine des angles 0 et son axe infini parallèle à la droite A.

La construction de la tangente en un point de la spirale parabolique du second genre n'offrira aucune difficulté , puisqu'elle dépend de la construction de la tangente en un point de la parabole C, (*)♦

51 7. Exécutons la construction de la tangente en un point de la spirale parabolique p=aa)\

Le centre A* du cercle C (fig. 278) sera le pôle de la spirale et la droite oA* sera l'origine des angles ca. Ayant mené la droite LT tangente au cercle A au point o, nous tracerons dans le plan vertical de projection LT (qui est tangent au cylindre 9 ayant le cercle B pour section droite) une parabole C, ayant son sommet au point 0 et la verticale A" pour axe infini , cette parabole C, ayant pour équation x* = az (les X sont comptés sur LT et les z sur A*").

Cela posé :

Proposons-nous de construire la tangente ^ au point m* de la spirale d*. Le rayon vecteur A*m* coupera le cercle B au point n* ; rectifions l'arc on'' et portons-le sur LT de 0 en n' ; par le point n' élevons une verticale n'n, coupant la parabole C, au point n, , ce point n, sera le transformé du point n de la courbe à double courbure C qui , tracée sur le cylindre <p , sera la directrice courbe du conoïde £.

Le plan T tangent en m au cône de révolution A aura sa trace H* passant par le point A* et perpendiculaire au rayon vecteur A*m*.

La tangente 8 au point n de la courbe C se projettera en 6^ tangente en n* au cercle B (qui n'est autre chose que C*) , et la transformée B, de 9 sera la tangente

n Voyez f dans le chapitre H, page i 14, des Développements de gëométHe descriptive ^ ce que nous avons dit sur la spirale parabolique ayant pour équation p ^ a*. «»* , courbe qui nous a servi pour la construction du rayon de courbure de la spirale d*Arcbimède.

2* Piara, 38

en Wj à la parabole C,4 Or on sait que pour la parabole on a ; op'z=f!n\ dès lors portant la sous-tangente li^f/ sur 9*, du point n* au point p, on aura en p la trace horizontale de la droite 9 ; et en joignant les points p et A^ par une droite H^< on aura la trace do paraboioïde hyperbolique £. qai se racecrde avec le eonoïde S tout le long de la génératrice droite G (horizontale et passant par le point m).

Si donc on mène par le point m* une droite m^q perpendiculaire au rayon vecteur Â*m^, cette perpendiculaire coupera H^' en un point q et menant par q une droite H^ parallèle au rayon vecteur A*m* (qui n'est autre que G*), on aura la trace horizontale du plan G taugent «n m au cônoïde £. Les traces IP et H^ se coupent en un point r, uuissant les points r et m^ on aura la tangente c^ demandée.

Remarquons que Ton a : on' = (arc . onl" rectifié), n'p' =| on\ donc qfm*=| (arc sm* rectifié). Ce qui s*accorde parfaitement avec les résultats que nous avions trouvés Tpsige H i des Développements de géométrie descriptive. Ainsi, sans avoir besoin de recourir à Vanatyse, nous pouvons trouver par la géométrie descriptive une propriété qui nous permet de construire très-simplement la tangente en un point de la spirale parabolique du second genre , p = a . û)'.

518. Si Ton a une courbe plane 3* ayant pour équation polaire /(p. «) = 0 , nous pourrons toujours , par le pôle , mener une droite A perpendiculaire au plan P de la courbe 3* et de ce pôle comme centre et avec un rayon égal à Tunité linéaire , tracer dans le plan P un cercle B.

Ce cercle B sera coupé en un point b par la droite R origine des angles o) , en ce point b nous mènerons une tangente au cercle B, et nous prendrons cette droite pour ligne de terre LT.

Traçons dans le plan vertical de projection LT une droite Z qui , passant par le point b soit perpendiculaire à la droite LT; cela £ait, menons par la droite A un plan M parallèle au plan vertical de projection LT ; ce plan M aura pour trace sur le plan P la droite H"*

Cela posé :

Traçons dans le plan M une droite y ayant pour équation p, ^s^ %^ les abscisses p, étant comptées sur la droite H" et les ordonnées % étant comptées sur la droite A , le pôle de la courbe 3* étant rorigine de ces coordonnées p, et %.

Traçons ensuite dans le plan vertical LT une courbe C, ayant pour équation F(x , il) = 0 , les abscisses x étant comptées sur la droite LT et les coordonnées z étant comptées sur la droite Z, le point b étant Torigine de ces coordonnées a; et z et Tabscisse x étant égale à Tare rectifié , qui , dans le cercle B, mesure Tangle cd.

On voit que Téquation F(x, z) = 0 sera identique à l'équation r(cD, p) = ^ en remplaçant dans Tune x par «> et z par &.

Ainsi réqaalkm de la courbe C, est précisément en coordonnées rectangulaires identique de forme à Téquation polaire de la courbe 3*.

Enroulons le plan vertical LT sur le cylindre vertical ç ayant le cercle B pour base sur le plan P, ou , en d'autres termes , ayant le cercle B pour section droite ; la courbe plane C, deviendra une courbe à double courbure C et le cône A de révolQtk)n ayant la droite y poar génératrice droite et pour axe la droite A el pour sommet le pôle de la courbe 3^^ coupera le conoïde S engendré par une droite G se mouvant parallèlimient an plan P en s'appuyant sur la droite A et la coutbe C , suivant une courbe S qui aura pour projection orthogonale s«r le plan P, précisé-' ment la courbe H'm

Cela posé :

Si Téquation F(p, w) = 0 est du second degré , Téquation F(», a;) = 0 sera aussi du second degré ; on voit donc que Ton pourra facilement eonstruire la tangente en un point de toute courbe d^, dont Téquation polaire sera du second degré , puisque les constructions à efifecttier n'exigeront que de savoir construire graphiquement la tangente en un point d'une section conique G, .

Si réquation de la courbe 3* était F(p% «) = 0, alors on prendrait sur le plan M une parabole ayant pour équation p,' = z et pour C, une section conique ayant pour équation F(« , a;) = 0.

Et alors la courbe 3* serait la projection de la courbe 3 intersection d'un paraboloïde de révolution Q ayant la droite A pour axe et son sommet situé au pâle de la courbe 3*, et d'un conoïde S engendré par une droite 6 se mouvant dans l'espace en s'appuyant sur la droite A et sur la courbe G tout en restant horizontale.

On voit donc que nous pourrons toujours construire graphiquement la tangente a«x courbes représentées par les équations polaires.

«• P* -f- a'p'ù>-}- » V+ c>»+ <f «+ f= 0 519. Remarquons que la courbe polaire 3^ dont l'équation est

p«-f-flp»-fftw*-|-fp+A>>+/=^ W

est la projection de la courboi intersection des deux surfaces qui sont déterminées en vertu des deux équations :

Pi = * (2)

z* + axx+bx*'\-cz + dx'\'f=0 (3)

ou en Torta des deux équations :

pr=* (*)

x+axz^ + bxl^+cx^+dX'^f=0 (5)

Dès lors ^ il est évident que nous saurons construire graplûquemenl la tangente à la courbe dont Téquation polaire sera :

p + awp« + 6w*4-cp* + d«+/=0 (6)

car, comme nous savons construire la tangente à la courbe polaire ayant pour équation Téquation (1) 9 et cela en vertu des équations (2) et (3), il nous sera facile de construire graphiquement la tangente à la courbe ayant pour équation Téquation (5), et cela en vertu des équations (1) et (i).

Par suite , nous saurons construire graphiquement la tangente en un point d'une courbe représentée en coordonnées polaires par l'équation (6).

Gela posé :

Remarquons encore que la courbe polaire ^j dont Téquation est

p* + ap«a) + 6w» + cp« + (ïw + /=0 (7)

est la projection de la courbe intersection de deux surfaces qui sont déterminées en vertu des deux équations :

Pi-^ = 0 (8)

x^-^-azx+bx^ + cx+dx+f^^O (9)

ou en vertu des deux équations :

z' + az^x + bx*+cz* + dx+f=0 (11)

Dès lors y il est évident que nous saurons construire graphiquement la tangente à la courbe en coordonnées rectangulaires représentée par T équation (11)» puisque nous savons construire la tangente aux courbes représentées par les équations (7) et (10).

En poursuivant les raisonnements géométriques précédents , il est facile de reconnaître qu'au moyen des tangentes aux courbes de degrés inférieurs , et en passant graphiquement et successivement des unes aux autres (constructions qui seront, il est vrai, assez longues , puisque pour la courbe du huitième degré, par exemple, il faudra construire la tangente à la courbe du deuxième pour en déduire ^ophtquement la tangente à la courbe du quatrième ; puis de la tangente à la courbe du quatrième degré , passer à la tangente de. la courbe du sixième degré , et enfin conclure de cette dernière tangente et graphiquement la tangente à la courbe donnée du huitième degré) , on pourra toujours construire graphiquement la tangente à une courbe en coordonnées rectangulaires ayant pour équation :

ou !• x^+oi^x +fca:*+«* + ilr + /=0 ou V «*+ii«*a?+te'+cj;*+<ia?+/=0

et à une courbe en coordonnées poUdres ayant pour équation :

ou y p«" + ap*w4-6to«4-cp* + dw + /=0 ou 4* p* + ap^u)+6a)« + cp*+dw+ /= 0

L'exposant n étant égal à une puissance entière de 2; et ainsi ayant ii = 2.p, p étant un nombre entier, pair ou impair.

&i9bis. n existe deux spirales logarithmiques, Tune a pour équation p=a^, et Tautre a pour équation (fi = (ù. Chacune de ces courbes peut être considérée comme la projection horizontale d^ dé Tintersection d'une surface de révolution A et d'un conoïde 2 que nous allons déterminer :

1* Pour la spirale p=a^, la courbe méridienne de la surface A (la plus simple) aura pour équation p, =2, et la courbe C, aura pour équation a'=-z : elle sera donc une logarithmique.

Ainsi, la spirale sera la projection de Tintersection d'un cône de révolution et d'un conoïde dont la directrice courbe G aura pour transformée G, une logarithmique.

S' Pour la spirale cip = o) , la courbe méridienne de la surface A ( la plus simple) aura pour équation a(^i=j& qui est celle d'une logarithmique^ et la courbe G. aura pour équation x=zi ainsi la spirale sera la projection de l'intersection d'une surface de révolution engendrée par une logarithmique ^ et le conoïde aura pour directrice courbe une hélice cylindrique.

La Qonstruction de la tangente en un point de l'une et de l'autre des deux spirales logarithmiques , dépendra donc de la construction de la tangente en un point d'une logarithmique.

519 ter. Nous avons vu ci-dessus que l'on pouvait construire la tangente en un peint de l'une et de l'autre spirale parabolique dont les équations sont :

(1) p*=a.o) et (2) p=a.<i>';

et cda , en considérant chacune de ces spirales comme la projection de la courbe intersection d'une surface de révolution et d'un conoïde.

Si l'on transforme, dans son plan méme^ chacune de ces spirales en une courbe en coordonnées rectangulaires ^ en remplaçant dans leur équation 0 par z et co.p par //, on obtiendra les deux courbes (3)2'=:a.t/ et (4) z'=of»y%

On saura donc coDdtraire la tangente en run quelconque des pointe des courbes représentées par les équations (â) et (4), et cela en vertu de ce que nous avons dit dans le chapitre II des Développements de géométrie descriptive , page 134 (*).

Je ne pousserai pas plus loin ces recherches géométriques , car on serait obligé pour les pousser plus loin d^employer des considérations algébriques ; toutefois , les considérations géométriques que je viens d'exposer ci-dessus , pourront , je crois y avec les développemento algébriques nécessaires, être utiles à V analyse.