DE LA SURFACE DU EIÀIS-PASSÉ
520 « La surfoce du biais-passé est une surface gauche 2 engendrée par une droite 6 s' appuyant sur une droite A et sur deux cercles C et G de même rayon et situés respectivement dans deux plans P et P' parallèles entre eux et verticaux et perpendiculaires à la droite A ; de plus les centres des cercles C et C et la droite A sont dans un même plan horizontal.
Cette surface £ est donnée par le premier mode de génératîoa des flufaces gauches ; cette sur&ce n'offire rien de particulier, mais en généralisant sqb mode de génération et supposant que les cercles G et G' sont deux courbes E et £' telles que Ton sache construire la tangente en chacun de leurs poiots, elle permet de résoudre les deux problèmes suivante :
521. Problème 1« Étant deanés sar un plan un poînt o et doBX cmirbes y et 7' (telles que Ton sache leur construire une tangaiÉeen chacon de leurs pointe) , ayant mené par le point 0 une série de divei^entes D, Hfy HF^
La droite D coupanS la courbe 7 au point m et la courbe / m pomt n,
— D' — — W ~ — it,
— etc. — -~ €be. — * — etc..
n Dans les Développements de géométrie descr^ive Dousa^as eenstniit (chapitre II, page 134] la taogente à la spirale d*Archimède p=a.cD, au moyen de sa transformée en coordonnées rectangulaires : z^^a.y, qui est une parabole,
 ce sujet j'avais dit xptt O0Ue propri'étë StBBt connue, mais que fignoraSs (|ui en 8tait ftuteur (voyez la note placée au bas de fat page lU te DéwkfppmuenSs ëe fêsmétHeéescripiits); ao Mitfit demièremaat ks^euvras de AuoU, léiBViiinéas iPans m MB^ïm vu^fnalgtow/ éM, la premier qui avait trouvé la parabole compagne de la spirale d'Àrchimède. {Voyez^ dans les oeuvres complètes deTascal, tome T*, page 401 , le petit traîtS de VtgaJUté des Ugnes spirales et paraboRques, publiées par Pascal sous le nom de DetîonviOej IVdècembra 1656.)
elafyaDtpmrar diacoM des droit6B Dv ly, i^'^ on fomlx^x^a^^..,.. tel que
Ton ait :
xm afm' «"m* __
coBBtraire la tangeote en un des points de la courbe i , lien des points x, x\ a^,
déterminés ainsi qu'on Tient de feTdire (fif. 979 ).
Pour résoudre le problème plan proposé , nous passerons du plan dans respaoe, et dès lors nons regardions la figure traeée sur le plan P comme étant la projection orthogonale sur ce plan P d'un certain $y$ième de Tec^paoe.
Ainsi, traçant sur le plan P une droite quelconque LT nous la prendrons pour ligne de terre et le plan P pour plan vertical de projection ; deux droites E* et E* paraflètes à LT représenteront les projections horizontales de deux courbes planes B et B' ayant poor projection yerticale, savoir : E la courbe donnée y sur laqndle nous écrirons le symbole E^ et E' la conrbe donnée 7' sur laquelle nous écrirons le 9ymMe E'^; par le point o menant une droite perpendiculaire à LT, nous aurons A^ et le point o représentera A*'.
Cela posé, nous pourrons faire mouvoir une droite G sur les trois directrices A, Ë et E\ et nous obtiendrons une surface gauche 2.
Si Ton coupe la surface S par un plan M parallèle aux plans des courbes £ et E' , Ton obtiendra nne courbe B ; et les divers points de cette courbe B ne seront autres que ceux en lesquels le plan M coupe les diverses génératrices droites 6 de la surface 2.
Or, il est éfident que si nous désignons par ......y et y' les pointe
en lesquels les diverses génératrices 6... .. sont respectivement coupées par les
plans parallèles entre eux M, E et E\ on aura — = = constante = a. Dès
lors, on voit que la projection B* de la courbe B covpera les drcûtes D, ly, ly*,
(sur lesquelles on devra écrire les symboles G*" ) en des points 2^.... tels que
Ton aura 3^^= = constante = a. Dès lors, on pourra considérer la
courbe d comme étant la courbe B" , le point tn' comme étant y^ , le point tf comme étant t/'*' , le point x" comme étant ;&" , la droite D'' comme étant G*" ; et abaissant des points g" et y'*' des perpendiculaires à la ligne de terre jusqu'à leur rencontre ^ avec la droite E* et y'^ avec la droite E^ , on aura en unissant les points 5f* et î^ une^droite qui sera G*.
Gela fait, abaissant du point z"" une perpendiculaire à la ligne de terre jusqu'à sa rencontre en «* avec G^ , on mènera par ce point «* une parallèle B* à la ligne
de (erre 9 et Ton aura la trace du plan M et en même temps la projection B^ de la section plane B.
Par conséquent pour avoir la tangente à la courbe d pour le point â/% il faudra construire les deux tangentes : 1 • : 9" à la courbe E* (ou y) pour le point jf (ou m'') , et 2* : S'*' à la courbe E'* (ou y') pour le point t/" (ou n") et faire mouvoir la droite 6 sur les trois droites A , 6 et G' ; on engendrera un hyperboloïde à une nappe S. qui se raccordera avec la surface 1 tout le long de la génératrice droite 6 qui leur est commune.
Gela fait, on construira le plan T tangent au point z à Thyperboloïde 2, et le plan M coupera le plan T suivant une droite t qui sera la tangente au point z à la courbe B , et la projection f de la droite t sera la tangente au point x'^ de la courbe i.
521 bis. Problème 2. Étant données sur un plan P trois courbes X> y et y' telles que Ton sache leur construire en chacun de leurs points une tangente, ayant
mené à la courbe X une série de tangentes D, D^D^^, coupant respectivement
la courbe y aux points m^m\m"^ et la courbe y' aux points njn'jn"j
on divise les cordes mn, m'n! j mV ^ en deux parties qui soient entre elles
dans un rapport constant, ou bien Ton prend sur chaque droite D un
point X tel que Ton ait : — = = constante = a; le lieu des points x
• xn
sera une courbe d pour laquelle on demande de construire la tangente en un de
ses points.
Pour construire la tangente au point x de la courbe d» nous considérerons les courbes y et y' comme les projections de deux courbes E et E' situées dans des plans parallèles entre eux et au plan P que nous prendrons pour plan vertical de projection, nous regarderons la courbe X comme étant la trace verticale d^un cylindre 9 ayant ses génératrices droites perpendiculaires au plan P , et nous aurons alors à considérer une surface gauche S engendrée par une droite G se mouvant sur les deux courbes E et E' et tangentiellement au cylindre 9.
La droite D qui sera G" touche la courbe X au point 0 qui représentera A* projection verticale de la génératrice A du cylindre 9 qui passe par le point en lequel ce cylindre 9 est touché par la droite G.
Cela posé :
On achèvera les constructions comme dans la fig. 279, car à la surface S, on pourra substituer Thyperboloïde à une nappe S, engendré par la droite 6 se mouvant sur les trois droites A , 0 et G\ comme on Ta fait pour le problème 1 ci-dessus.
521 ter. Ce qui précède nous permet de démontrer très-simplement une pro-
— 3ii —
priété dont joaissent trois ellipses ou trois hyperboles semblables et semblablement placées et qui ont une corde commune.
Si Ton conçoit un hyperbololde à une nappe S et son cône asymptote Â, on sait que tout plan T tangent au cône A suivant une génératrice droite L coupe Thyperboloïde 1 suivant deux génératrices droites K et 6 qui sont parallèles entre elles et à la droite L.
Coupons la surface S par trois plans P, P^ V'\ parallèles entre eux, ces plans étant dirigés dans l'espace de manière à couper la surface £ suivant des ellipses, leur direction étant d'ailleurs arbitraire , pourvu que cette condition soit satisfaite.
Nous aurons trois ellipses de section E, E', E''. Nous pourrons toujours projeter orthogonalement ces trois courbes sur un plan Q perpendiculaire aux droites 6 et E et coupant ces droites respectivement en les points g et k. Les ellipses E, E', E" se projetteront sur le plan Q suivant trois ellipses E,, E/, E/' qui seront semblables et semblablement placées et qui auront poar corde commune la droite gk.
Cela posé :
La surface 2 peut être regardée comme engendrée par la droite E se mouvant dans l'espace en s'appuyant sur la droite G et sur les deux ellipses E etE'(rifyperboloïde à une nappe rentre par ce mode tout particulier de génération, dans la famille des surfaces dites du biais-passé) ; dès lors une position quelconque E' de la droite E se projettera orthogonalement sur le plan Q suivant une droite E/ passant par le point ^.
Cette droite E/ coupera les ellipses E, et E/ en les points m. et m/ qui seront sur le plan .0 les projections des points m et m' de l'espace en lesquels la droite E' coupe les ellipses E et E'; le point x^ en lequel la droite E/ coupe la courbe E/' sera aussi la projection sur le plan Q du plan x en lequel la droite E' coupe l'ellipse E".
Or, les trois plans P, P', P'' étant parallèles entre eux, toutes les parties mm'.,.
des diverses droites E' seront coupées en parties proportionnelles par le plan
X fn
P". On aura donc : — î— 7= = constante = a.
ar,m,
Ainsi, l'ellipse E/' coupera en parties proportionnelles les portions interceptées sur les droites divergentes du point g par les deux ellipses E, et E/.
Il est évident que la môme propriété subsiste pour trois hyperboles semblables et semblablement placées et qui ont une corde commune.
DES SURFACES HÉLKOÎDBS;.
5^2. ConeevoDs decrs cylindres de révotation et conceiUricpies. A et Af } conpoosp ces deax cylindres par \m plan V perpeodicalaire à learaxe coinnuiQ A, noua tarons deux cercles C C concentriques, et désignons par Ret R' leurs rayons; traçons sur le cylindre A une hélice E ayant son pas égal à A et coupant les génératrices droites du cylindre sous un angle «.
Cela fait, imaginons une droite 6 se mocrvant tangentieilement a« cylindre iDAérieur A' en coupant ses génératrices droites sous un angle constant 6 e^ s'appuyant pendant son mouvement sur Thélice E.
La droite 6 en chacune de ses positions touchera le cylindre A' en un point m y et
tous les points m fermeront sur le cylindre A' une hélice E^ ayant même par A
que rhélice E.
2îr. R Dès lors ^ comme pom* Thélice E^ on a A= ---^ — % on aura pour l'hélice E'
tang. a
(en désignant par a Tangle sous lequel elle coupe les génératrices droites du cy-
2tc. R'
lindre AO i=^ • — ;; d'où l'on déduit l'équation
^ ^ tang. a
R' tanga'=:|^.tang«
Ainsi, quel que soit Tangle S, l'inclinaisoB a* de rbéKce E^ sera constanter La surface engendrée par la droite G a pris le nom d'hélicotde cylindrique.
Si Tangle 6 est égal à Tangle a' la surface hélieoïdô 2 sera développabtè et le plan P la coupera suivant une développante parfaite du cercte B'; sî l'angle 6 estXMi < que l'angle a , la surface hélicoïde S sera gauche et le plan P la conpeva suivant une développante imparfaite du cercle B', cette développante sera raceownie » l'on m 6<a, et elle sera rallongea si Ton a S>a (n** 396).
523. Le mode de génération que nous venons d'exposer ci-(fessa8 permet de reconnaître sur-le-champ toutes les variétés d'hélicoïdes cylindriques qui penvenft exister. Et en effet, l'angle 6 peut être égal à un angle droit ou plus petit qu'un angle droit, et en même temps le rayon R' peut être nul ou plus petit ou égal au rayon R.
Sil'onaR'<ou = Ret6î=90", les génératrices droites G de te sarftiœ E seront parallèles au plan P qui sera le plan (firecr^icrde cette sorfkce S, laquelle offrira un vide ou jour cylindrique, ptrisqu*elle » ITiéfice tf ow E'poor Rgne ^ gorge^ et elle sera gauche.
Si l'on a R' < ou = R et 6 > ou < 90* et > ou < « la surface 1 sera gauche^ elle aura un cône directeur qui sera de révolution ayant Taxe A pour axe de rotation j et le demi-angle au sommet de ce cône directeur sera égal à €• La surface 1 offrira encore un jour cylindrique, car elle aura ITiélice E' ou E pour ligne de gorge.
Si l'on a R' < ou=R et 6 = a' ou 6= a, la surface 1 sera développabley et elle offrira un jour cylindrique, car cette surface aura l'hélice E' ou E pour arête de rebroussement.
Mais si l'on a R' = 0, quelle que soit la valeur de 6, la surface 1 sera gauche^ elle n'offrira aucun jour, elle sera continue, et dans ce dernier cas :
1' Si SrzsOO*, les génératrices 6 peront parallèles au plan.P, ou, en d'autres termes, elles couperont l'axe A sons l'angle droit, la surface 1 est dite surface du filet de vis carrée.
2* Si 6 est > ou < 90% les génératrices G seront parallèles à un cône A, de révolution et ayant pour axe de rotation Taxe A, et le demi-angle au sommet de ce cône sera égal à £. La surface 1 est dite surface du filet de vU triangulaire.
Ainsi, la surface du filet de vis carré est un cormdei elle a pour direcùrices une droite A et une hélice E, et elle a pour plan directeur m plan P perpendionlaire à la droite A.
Ainsi la surface du filet de vis triangulaire est une surface gauche donnée par le second mode de génération des surfaces gauches ; elle a pour directrices une droite A et une hélice E et pour cône directeur un cône de révolution ïiyant son sommet en un point arbitraire de la droite A et ayant cette droite A pour axe de rotation.
524. Si l'on coupe la surface gauche dite : surface du filet de vis triangulaire par un plan P perpendiculaire à l'axe A, on obtient pour section une spirale d'Ardumèdcj courbe dont l'équation polaire est p = aw.
526. Les surfaces hélicoïdes cylindriques forment donc deux familles^ les unes ont un plan directeur j les autres ont un cône directeur; et Ton voit par ce qui précède quelles liaisons géométriques exi&lenl entre 1*" le cercle^ 2* ses développantes parfaites et imparfaites rallongées et raccourcies et 3* la spirale dArchimède (*).
(*) Voyez, pour les hélicoïdes coniques et les analogies gé€méiriques qui csistent entre Jes hélicoïdes coniques et cylindriques^ le.ch^itre premier des Développements de géométrie descriptive.
Construction du plan tangent en un point (Tune surface hélicaide cylindrique.
526. En vertu du mode de génération d'une surface hélicoïde, il est évident que chacun des points d'une de ses génératrices droites 6 décrit une hélice tracée sur un cylindre de révolution ayant l'axe A pour axe de rotation, et il est encore évident que toutes les hélices ainsi décrites ont toutes même pas^ et que ce pas est égal à celui de l'hélice directriceE tracée sur le cylindre extérieur ayant pour section droite le cercle du rayon R.
Or si nous désignons par p la distance d'un point x de la génératrice droite 6 à
l'axe A et par h le pas de l'hélice directrice E, on aura : '^P = tang. 6. On
connaîtra donc l'angle 6 sous lequel l'hélice X décrite par le point x coupe les génératrices du cylindre sur lequel elle est tracée; op connaîtra dès lors l'angle 6 que sa tangente L fait avec Taxe A.
Dès lors il sera facile de construire le plan tangent T en un point x d'une surface liéiicoïde 2, quel que soit son mode de génération^ puisque ce plan T sera déterminé par la généraU-ice droite G de la surface S passant par le point x et par la tangente L au point x à l'hélice X décrite par ce point x.
5S7. Cela dit : nous allons montrer comment on doit effectuer les constructions graphiques (en d'autres termes comment on doit exécuter l'épure) pour que la solution soit simple.
Nous aurons à examiner quatre cas, : et ainsi deux cas lorsque la génératrice droite 6 s'appuyant sur l'axe A et sur l'hélice directrice E coupe l'axe A, i* sous Tangle droit et g"" sous un angle aigu.
Et deux cas lorsque la génératrice droite 6 s'appuyant sur l'hélice directrice E se meut tangentiellement à un cylindre dont elle coupe les génératrices, 1* sous l'angle droit et ST sous un angle aigu.
Premier cas. La droite 6 coupant Vaxe A sous C angle droit.
528. Soit donnée par ses projections E* et E'' une hélice E {fig. 281 ), tracée sur un cylindre cf de révolution ayant la droite verticale A pour axe de rotation et pour base sur le plan horizontal le cercle B ayant A* pour centre et ayant son rayon égal à R-
Faisons mouvoir une droite 6 parallèlement au plan horizontal de prqjection et s'appuyant sur l'hélice E et sur Taxe A, nous engendrerons une surface hélicoïde gauche 1 (surface du filet de vis carrée).
Prenons une des génératrices G et sur cette droite un point x et construisons le plan T tangent en ce point a: à la surface £.
Concevons un cylindre 9' de révolution concentrique au cylindre cp et passant
parle pointa; ce cylindre f coupera la surface 1 suivant une hélice X qui aura son p0$h égale au pas de Thélice E , et cette hélice X se projettera horizontalement sur le cercle B^ concentrique au cercle B et dont le rayon p sera égal à la distance du point X à l'axe A , dès lors le point af" sera sur ce cercle B^
Puisque les droites 6. • . . sont horizontales, les traces horizontales des diverses hélices X tracées sur la surface 2 , seront situées sur une droite A^a , le point a étant Torigine ou trace sur le plan horizontal de Thélice E. •
Par conséquent Torigine ou trace sur le plan horizontal de Thélice X sera au point a' intersection du cercle B' et de la droite A^.
La tangente L au pointa; de Thélice X aura pour trace horizontale le point qf que Ton obtient (n* 398) en rectifiant l'arc M et le portant de a;* en q' sur la tangente L* au point a^ du cercle B'.
Si donc par le point (f on mène la droile H"" parallèle à G*, on aura la trace horizontale du plan tangent T demandé, et ce planT sera complètement déterminé de position dans l'espace puisqu'on connaît sa trace H^ et un de ses points :r.
DEuxrÈHE CAS. La droite G coupant taxe A sous tm angle aif/u.
529. Nous aurons (fig. 282) les mêmes données que Z^. ^81 , seulement la génératrice droite G étant oblique par rapport au plan horizontal et faisant. avec l'axe A un angle constant , la surface gauche S que l'on aura à considérer aura un cône directeur qui sera de révolution eWqui aura Taxe A pour axe de rotation.
Dans ce cas la surface hélicoïde 2 sera use surface gauche, dite : surface du filet de vis triangulaire. . .
Gela posé : proposons-nous de construire le plan T tangent à la surface 2 , en un point X de la génératrice droite G.
Par le point x passera un cylindre 9 concentrique au cylindre q» et coupant la surface £ suivant une hélice X ayant même pas li que Thélice directrice Ë et se projetant horizontalement sur le cercle B' décrit du point A^ comme centre et avec A*a:*=p pour rayon.
Le plan T passera par la droite G , H* passera donc par le point r en lequel la droite G perce le plan horizontal de projection ; la droile H* sera donc déterminée si l'on en connaît un second point. Or le plan T passe aussi par la droite L tangente en a; à l'hélice X ; si l'on connaissait le point (f en lequel la droite L perce le plan horizontal de projection , la droite H* serait complètement déterminée et le plan X serait fixé de position dans l'espace puisque l'on connaîtrait sa trace horizontale H* et un de ses points x.
Pour déterminer le point q'j nous remarquerons qu'il sera situé sur la droite L'' tangente en x* au cercle B' (qui n'est autre que X*) et à une dislance gV du point
'^ égalera l'atcTeotiâéjeoinpds Buriecerolefi^^jOitre leB ipointe .x^tBta!^ce point a' étaiit«f»hii en teqnel l'héliee X: perœ- le plan'horiMrtital^pri)i)eotid&.
fii 'donc noue nsoBatnHBoaos ^9. 382 '6t8)'ie triangle motao^ a;»7,>dan8 4eqQel za^=h= le pas de Phéltee E , ia^a^^=:^it^^srit]e -cerole £' refetîfiépeD -poctant mr Al, dea/en'a;, iahBa^\SP^p(ffig.^È^)\éurpinn^^
en menant la droite x^œ^ parallèle- à a;a^ 'eHe cospera X, aiipmtt.a:,''et sàMassant de x^ une perpendiculaire snr afi^, on aura en a,^, In longueur délire rectifié afa/" Ifig. 9Si).
Portant donc a,q, {fig. 282 6w)'Bur L* (fig. 282) de ît^ en 9' , on a«ra en joignant les points r et ^ la droite H' trace du plan demandé T.
Troisième cas. La droite G coupant sous r angle droit tes génératrices du cgUndre smquel elle est tangente en chacune de ses positions.
530. Soit donnéetia droite G par ses deux projections G*' et G^ (fig. 283) , G* sera t^pgente au cercle B' base du cylindre auquel la droite G est tangente pendant son mouvement.
Pour construire le plan tangent au point a; de la surface hélicoïde 1) , nous construirons la tangente L-pource point a; à Thélice X décrite'par ce même 'point x.
V" sera une tangente au point o;^ du cercle X'^et la droite L' percera le plan horizontal de projection en un point q' situé sur L^ et> distant du point x!" de (fa/" égale à Tare rectifié du cercle X'^ qui mesure dans ce cercle X^ un angle égal à celui que mesure l'arc amf" dans le cercle "^ (qui est la projection 'E*de l'hélice directrice E) y le point a étant sur le plan horizontal l'origine de l'héliee^E.
Menant par le point q' une droite H^ parallèle à G'^ on aura la' trace horizontale du plan T demandé.
Quathième cas. La droite G coupant sous un angle aigwUs générûtncesdu cyUndre auquel etks est tangente en chacune de ses, portions.
531. Étant donnés deux cylindres A et A^ de révolution 'et concentriques , ayant pour traces horizoûtales l'un (jîgf.-284) le cercle BiduTayon'R et l'autre le cercle B' du rayon R' , on fait mouvoir * une droite G tangentiellement au cylindre A' ets'appuyant sur une hélice E tracéoBur le cylindre A; d'ailleurs la droite G fait y en toutes ses positions, un 'angle 'constant 6 avec l'ar&e A comment wol idnx cylindres A et A'.
Cette droite G engendre par 60n*mT)UTementttne<BUffaee 2^ et Ton demande :de construire le plan T tangent à cette surface S en^un' point donné x^sur l^anB'Gde ses génératrices droites.
Leplan T atrrasa trace horizontale fl**pas8antpar le |K)infrr en "lequel la droite
G pftiiee le. piam bûrizoalali.dihpaaîMtJoa, il suffirai dojic de dôtarmiBcr a&aecQQdv point q' de cette trace pour qu'elle soit couMie'de.pû&iliûiL.
Or le point x décrit , sur la surface 2, une hélice X ayant même pas /i x|pal!hé^ lice cfir0cârta0^S£;.oetÉÉ hétice^X^setcoave. tcaoée sur un cylindre ù^i ayant sob rayon p égabà la durtaaee'du poini x\k PaxeK^ ainsi Ton a.:.p=:jsf^A\.
Décrivant du point A* comme centre et avec x^A^ pourrayonrAoïioerale^on aitra. la projectiiofi*® delà courbe -5.
La tangente L aupoint x de rbélice.X se- projettera en L'^tangeote an pointi^ au cerele X*', et lït'tnroe horizontale qf de la dDoite L devra être sitoée s«nE'.
Pour construire le pofnt'qf', nous rectifierons le cercle X^ et nous prendroos {fig. 284 ^w), une droite a,aj=2^p; au point o, nous élèverons une perpendfculaire za^ = h et nous joindrons les points z et a, par une d1ft)ite X, qui sera la tramformée (au développement du cylindre A'') de Thélice X.
Nous porterons sur sa, et de a, en n, la hauteur db point x au-dessus du plan horizontal de projection, hauteur qui nous est donnée sur le plan vertical de pro. jection {fig. 284) en x^.
Rar> le point n^nou&mânerons um parallèle à a^a^ coupant X, an pointu^^et [)W ce point n, nous abaisserons une perpendiculaine. à a^a^ et coupant cette droite. aiL point a,, cela fait, nous porterons a.a, sur L^ de â:;^en q^ et la droite rq' sera la trace H"" du plan T demandé.
5ââL Aux quatre problèmes précédents on/ doit jpindre les problèmes rédpro' ques j ainsi l'on doit savoir résoudre le problème suivant : étant données la trace W d'un plan T et les projections G' et G^ d'une génératrice droite G de C un quelconque des quatre hélicoïdeSy construire: le. point xen lequel le plan T louche la surface héllcoide.
Nous ne résoadrouft^ pas les quatre problèmes réciproques en employant les màpfties considéralÂans géométriques qui nous ont permis de résoudre les quatre problèmes pcécédânis. Nous serons obligé d'employer xuL^rabobtde hyperbolique de raccordement; ainsi nous construirons, un.p^rabûloïde S, tangent à la surface ga/tclifi donnée S.toui le. long de la génératrice droite G; nousxhercbûrons le. point de contact du pian T avec ce paraboloïde 2, et nous aurons le point x demandé» etaîoeàJe point de contaott du plan X avec la surface héiicoïde £.
Parmi tou» les* parabaloïdea hyperboliques qw se raoaarcf^itt avec la.surfaceJS tout le lOfBg* de la génératrice droiHeG., nou& deiaronsi choisir Qelui qai.coiuAuica amr QOBStrwdions graphiqmesilm plus. simples.
PRBiOBa.GA&. La drjoite G étaut horizontale et coupant à angle droit Vàxe A.
5a8i La <kK)île &parla^eUfi paoeeJe plan T. est donnée .(/ï^^ 2&&i) par ses^pro.-
jectioDs G" et 6* et 4e plan T est donné par sa trace horizontale H' qai est parallèle à G^ puisque G est une horizontale de ce plan.
Cela posé :
Nqps construirons la tangente 0 à Thélice directrice E pour le point ;n en lequel, la droite G coupe cette courbe E y cette tangente 9 sera déterminée de position lorsque nous aurons construit sa trace horizontale q.
Cela fait , nous ferons mouvoir la droite G sur les droites G et  et parallèlement au plan horizontal de projection , et nous engendrerons un paraboloïde hyperbolique 2, qui se raccordera avec la surface hélicoïde S tout le long de la droite G.
En unissant les points q et Â* par une droite H^< , nous aurons la trace horizontale du paraboloïde de raccordement 2), ; et les droites H* et H^< se couperont en un point q'. Menons par ce point q' une droite V parallèle à 9^ nous aurons la projection de la génératrice L du second système coupant G en un point x qui sera le point de contact du plan T et du paraboloïde 2..
L^ coupe G^ eu un point xf" j d'où Ton conclut x", et Ton a ainsi les projections du point de contact x du plan donné T et de Thélicoîde donné £.
Deuxième cas. La droite G étant horizontale et faisant un angle droit avec les gêné* ratrices du cylindre intérieur auquel elle est tangente.
534. Soit donnée la droite G , horizontale , par ses projections G^ et G^ ; puisque la droite G s'appuie sur un cylindre A' concentrique au cylindre A sur lequel est tracée l'hélice directrice E , la droite G* sera tangente au cercle B', trace horizontale (ou section droite) de ce cylindre A'.
Cela posé :
On se donne une droite H^ parallèle à G^, cette droite H* sera la trace d'un plan T ayant la droite G pour horizontale et Ton demande de construire le point x en lequel ce plan T touche la surface hélicoïde 2 engendrée par la droite G se piouvant horizontalement et tangentiellement au cylindre A' et s'appuyant pendant son mouvement sur une hélice E tracée sur le cylindre A.
La droite G touche le cylindre A' en un point n situé sur la génératrice droite K de ce cylindre A'.
La droite G en se mouvant dans l'espace touche le cylindre A' en divers points it, n',.... qui déterminent une hélice E' ayant même pas h que l'hélice E.
Si l'on ccHistruit la tangente 6' au point n à l'hélice E' et la tangente 9 au point m à rhélice E , ces points n et m étant ceux en lesquels la droite G coupe respectivement les hélices E' et E, en faisant mouvoir la droite G sur 9 et 9' et parallèlement au plan horizontal de projection , on engendrera un des paraboloïdes de raccordement ; mais ce paraboloïde peut être remplacé par an autre qui facilitera
les constractions graphiques; et en effet : la tangente B* sera dans nn plan & vertical et tangent au cylindre M tout le long de la génératrice droite K ; ce plan & sera donc tangent au point n à la surface hélicoïde donnée 2, puisqu'il contiendra la droite 6 et la tangente 9' à une courbe E' tracée sur la surface 2 et passant par le point n. Nous pourrons donc remplacer la droite B' (n*" 480) par toute autre droite que nous voudrons, mais située dans le plan & et passant par le point n , et ainsi par la droite K. Dès lors, nous pourrons prendre pour paraboloïde de raccordement S, celui qui est engendré par la droite G se mouvant parallèlement au plan horizontal en s'appuyant sur les droites 6 et K.
Si donc nous déterminons la trace horizontale q de la droite 0 , la droite H^i qui unira les points q et n!" (ou E'^) sera la trace horizontale du paraboloïde de raccor^ dément S,. Les droites H^ et H^i se coupent en un point q*; menant par ce point q' une droite L^ parallèle à 9^, elle coupera 6^ en un point x^ qui sera la projection du point X en lequel le plan T touche le paraboloïde S, , et par conséquent en lequel ce même plan T touche Thélicoïde donné S.
Troisième cas. La droite G coupant Faxe A sous un angle aigu.
535. Soit donnée la droite G par ses projections G'' et G* {fig, 387), cette droite G coupe Taxe A en un point n et sous un angle aigu €•
On propose de trouver le point de contact d'un plan T, passant par la droite G , avec la surface S engendrée par cette droite G se mouvant : 1"" parallèlement à un cône de révolution ayant son demi-angle au sommet égal à 6 et ayant la droite A pour axe de rotation , et S*" en s'appuyant sur Taxe A et sur Thélice E tracée sur un cylindre A de révolution ayant aussi la droite A pour axe de rotation.
Gela posé, la droite G perce le plan horizontal au point r; si nous menons par ce point r une droite H^ nous aurons la trace du plan T donné.
Pour résoudre le problème proposé, nous remplacerons la surface 2 par un paraboloïde de raccordement 2, ayant pour directrices les droites A et 9 , 9 étant la tangente à l'hélice E pour le point m en lequel G coupe cette courbe E.
Le premier plan directeur du paraboloïde 2, sera vertical , puisqu'il doit être parallèle aux droites A et 9. Pour avoir le second plan directeur de 1^ , nous abaisfierons la droite G parallèlement à elle-même jusqu'à ce que le point m vienne en k sur le plan horizontal et jusqu'à ce que le point n vienne en « sur A.
Dès lors , en cette nouvelle position de G que nous désignerons par I , nous aurons la génératrice droite du cône directeur de la surface S , ce cône directeur ayant son sommet au point s^ et ayant le cercle B (base du cylindre A) pour trace horizontale; dès lors, le plan P tangent au cône directeur suivant la droite I sera le second plan directeur du paraboloïde £, •
2* PAETIB. 40
^mois «plftn fP 4iimi 'donc ponr vtnMe fl' ihi «dnite fi^ tlnwgfwtr an laaRafe JB joi
Jl nom .faudra trouver la 4raee;da îplan T sur ie;p]aD P .et .la trace du para^ iMbi^'de X , rsur ce tméme plan £.
La trace du plan T ^sur le plan P sera rhiteiwection deB^éaiiK plai» fT *et P ; or, «es pktm T «et P prasent ron et Tautre par la droite G, cette traee sera dcmc une <droîte D potatlèie -à la droiteG et passant 'par le «point p»an lequel :«e coupent les deux traces H' et H\
La trace du paraboloïde 2, -sur le plan P, sera la droite TJ qui unira le T^oint s "et le pointqf en lequel la droite '9 perce le plan P ; les droites!) et'U se couperoift en un point y.
Tt si par ce point y nous menons une droite L parallèle au premier jJlan directeur (A, 9) du paraboloïde S, et s'appuyant sur la droite G, cette droite L coupera la droite G au point x demandé.
Quatrième cas. Tm droite G faisant un angle aigu avec les génératrices droites du e^lindre auquel elle est tangente.
536, La droite G sera donnée (^gr. 288) par ses projections G** et G*; la droite tî^ sera tangente au cerde B', 'trace horizontale (ou section droite) du cylindre A' auquel cette droite G eât tangente pendant son mouvement.
La surface 2 est engendrée par la droite G s'appuyant sur fhélice E tracée sur le cylindre de révolution A ayant le cercle B pour trace horizontale (ou section droite) et restant tangente au cylindre A' en faisant avec Taxe A (axe de révolution commun aux deux cylindres A et A^ un angle constant.6.
Cela posé; on demande de construire le pointée en lequel La surface JS est .toujûhée j)ar un plan T passant par la droite G.
La droite G »pei:ce le plan horizontal en un point r ; imenantdonc jpar ce point r 'ttne .droite H\, .on aoraila Arace du plan T donné.
iPoor (détenniner île ^int ic, >nou8 devrons -employer lea conaidératîmis igémnétrùims suivantes , lesqualteB dàlermîneront -.tes constructions grapliiques À exécuter.
Yfous remptaoeruns 4a tmffeee •héliçc$!de'£<par un^rabdéide *£, de raawdement uyairt pomr éireetifiees les dnrftes "K et '9 (}K sera la génératrîoe droite dn ^indre A' ^assaitt par le^péiiA it «n lequel la droite 'G louche «e cylindre, «t 16 «era^a tangente à liiéhee E-fni'pomt m<«nD lequM la même«dro)te G coupe toeMe courbe E).
Dès lors , le premier plan directeur du paraboloïde 2), sera vertical , puisqu'il dûit être parallèl&^aïuL droitea. A. et 6^
Déterminons maintenant le second plan directeur P du paraboloïde 2. ; la surface hélicoïde S a un cône directeur, qui est de révolution et dont Taxe de rotation est vertical et dont le demi-angle au sommet est égal à 6. Ce cône directeur peut être placé dans l'espace partout où Ton voudra ; je puis donc supposer que la droite K sera son axe et que son sommet est au point s que Ton obtient en faisant descendre parailèlèment à elle-même la droite G d'ùnequantîté égale à Ta Hauteur du point m au-dessus dti plan horizontal;
En sa nouvelle position, G sera désignée par Iefclè*cône' directeur delà surface 1 aura son sommet au point «, et ce cône aura pour trace horizontale un cercle C décrit du point n* (ou K*^,. ou «*), comme centre et sur la corde, interceptée sur G^ par le cercle B , comme diamètre.
Cela posé.:
Le pian P tangent au cône (^, G) suivant: la droite I sera* le second plan directeur du paraboloïde de raocardemmPl^.
Gela' fait : Il ikadi^a trouver : 1^ la trace du plan T sur le* pian D, et 21^ la. mm du paraboloïde 2), sur ce même plan P.
La trace dû plan T sur le plan P sera la droite- D* parallèle à G et pasBast par le* peint- p intersection' destdenx traces H^ et W.
La ttad9' da> psrabc^loïdë 2. sur te plan P sera la^. droite U uninant le peint s sommet du cône directeur avec le point t en lequel la tangmte 8 (ea mà.rhélioe B) perce* le pian P. Pour avoir cette trace U, il nous<faut:dGiio mener par le point s et la droite 6 un plan Y qui coupera le plan P suivant celte droite U demandée..
Or, pour déterminer le plan Y, il faudra mener par le point s une droite 9, parallèle à la droite 9 ; cette droita 9,^ percera le plan horizontal de projection au point d. La droite qui unira les points d (trace horizontale de 9,) et ^ (trace horiaeataie! ie 9) senti Hf.. Cette droite E^ eoupera H' en. un. point &; unissnafc les pointe^ s. et ^ en^aura la droite U tracer aer le plan P da: parabeloïde de raaeoixCtomem 2|. Lesdroibes^D ek U se couperont en on: point y^.et menant par oa point. y ena droite L parallèle au prem/ar plan/ direeteur (K,.9) du paraboloïde S, et s'appuyant sur la droite G, on aura en le point x^ en lequel les droite» Let&ae coupent , le point de contact dui plan doanét T ava& le paraboloïde: de nmardeimnc2f ,.eO par conséquent le painft de contact du plan X aji^ecla sorfaoe hélieoïde donnée 1.
