CHAPITRE XIL
nS SURFACES ENGENDRÉES PAR UNE SECTION CONIQUE , ET QUI JOUISSENT DE LA
PROPRIÉTÉ d'être COUPÉES PAR UN PLAN , ET QUELLE QUE SOIT SA DIRECTION, SUIVANT UNE SECTION CONIQUE.
537. Les surfaces qui jouissent de la propriété remarquable d^étre coupées par un plan suivant une section conique, et quelle que soit la direction du plan, sont au nombre de dnq , en mettant de côté les trois cylindres elliptique , parabolique et hifperbolique et le cône à base section conique.
Ces cinq surfaces , dites du second ordre ou du second degré ( parce que leur équation est du second degré), sont appelées par les géomètres : i"" ellipsoïde , i" parabolotde elliptique , 3"* hyperbobïde à une nappe , 4"" hyperboUnde à deux nappes , 5"" paraboloïde hyperboliqtie.
Nous allons démontrer les diverses propriétés dont jouissent ces cinq surfaces , en ne nous servant que de la méthode des projections.
DES ellipsoïdes.
538. Concevons une sphère S du rayon R , et ayant son centre en un point o. Menons par le centre o deux plans rectangulaires entre eux , Tun horizontal , et coupant la sphère S suivant un grand cercle G , et l'autre vertical et coupant cette même sphère S suivant un grand cercle G. , ces deux plans se couperont suivant une droite LT.
Menons par le centre o de la sphère une verticale Z.
Tout plan M% passant par l'axe Z, coupera la sphère S suivant un grand cercle G'.
Cela posé :
Transformons cylindriquement le cercle G en une ellipse E , ayant le point o pour centre et ayant l'un de ses axes dirigé suivant la droite Z.
Nous savons (n"" 343) que si Ton considère un point m du cercle G, et que Ton mène par ce point m une droite parallèle à Z et coupant la droite LT en un
point p et Tellipse E en un point n, on aura —^a; et nous savons aussi que,
si pour tous les points m, m'y m"j etc. , du cercle C , on fait la même chose ,
on aura :
np n'p' n'y . ^ ^
-^ = -7-7 = —f^. = etc. = a= constante. *
mp rnp m"p"
Ainsi y pour la même abscisse , le cercle G et Tellipse E ont leurs ordonnées dans un rapport constant.
539. Si Ton fait tourner le cercle G autour de Taxe Z, on engendrera la sphère S; si Ton fait tourner Tellipse E autour de l'axe Z, on engendrera une surface £ de révolution , qui a reçu le nom d'ellipsoïde de révolution , et cette surface S aura évidemment pour centre le point 0 , centre de la sphère S.
Désignons par seis', les points en lesquels Tellipse E coupe Taxe Z, si Ton a : «y > 2R , alors Tellipse E est allongée par rapport au cercle G , puisque cette ellipse a son petit axe égal à 2R.
Si Ton a ss' < 2R, alors l'ellipse E est raccourcie par rapport au cercle G.
L'ellipse rallongée aura lieu lorsque Ton aura : — <4 ; et l'ellipse raccourcie aura
lieu lorsqu'on aura : — > 1 .
mp
Dans le cas où E est une ellipse rallongée y la surface S a regu le nom d'ellipsmde rallongé et de révolution.
Dans le cas où E est une ellipse raccourcie , la surface £ a reçu le nom d ellipsoïde aplati et de révolution.
Gela posé :
Si nous prenons un point x arbitraire sur la sphère S, et que par ce point nous menions une droite X parallèle à l'axe Z , elle coupera la surface £ en deux points y et y' et le plan horizontal eu un point q (l'on aura évidemment yq=:y'q)y et Ton
aura : — =a, et en effet :
xq
Par l'axe Z et le point ;r, nous pouvons faire passer un plan M', ce plan coupera la sphère S suivant un grand cercle G' , et la surface 1 suivant une ellipse E' , qui sera identique à l'ellipse E. Donc , etc.
Ainsi l'on peut énoncer tout ce qui suit :
540. I"" Si l'on mène une droite D quelconque et coupant la sphère S en deux
points :c et V, on trarnsformera cyHndHifuement cette droite D en une autre droiteD' coupant la surface ellipsoïde 2 en deux points x; et x/, qui seront les transftmnés des points a: et a/ , et dès lors les points a:, elx seront sur une parallèle à Z et coupant le plan horizontal en un point' g^, et les points a;/ et a/ seront sur une parallèle à Z et coupant le plan horizontal en un point- (f , et Ton aura :
x^q x;q' xq Ji^q'
SI"" Si Ton mène un plan P coupant la sphère S, suivant un petit cercle d, ce plan sera transformé cylindriquement en un plan P, coupant la surface ellipsoïde S suivant une courbe i^ , qui sera la transformée du cercle d. Dès lors les deux courbes S et d, seront situées sur un cylindre A ayant ses génératrices droites parallèles à Taxe Z; la courbe S étant un cercle ^l^ courbe ^^ sera une ellipse.
On peut donc énoncer la iliéorème suivant :
I. Un ellipsoïde de révolution est coupé par tout plan , quelle que soit sa direction , suivant une ellipse.
3* Si Ton mène une suite de plans P, P', P", etc. , parallèles entre eux, et coupant la sphère S suivant des cercles S^S'^^^ etc. , les centres de ces cercles seront situés sur une droite K passant par le centre o de la sphère S.
Cesrpluis se transformeront suivant des-plan^-P, ^.P', , P'^. , etc.. , aussi parall^es entre eux , et coupant la surface ellipsoïde £ suivant des ellipses d, , d', , d^\ , etc. , dont les centres seront situés sur une droite K^, transformée de la droite. K,. et cette droite K, passera par le centre o de Tellipsoïde £ , et il est évident que les ellipses d, , d', , $'\ , etc. , seront semblables et semblàblement placées.
On peut donc énoncer le théorème suivant :
n. Vellipsoîde de révolution est coupé par une série de plans parallèles suivant des ellipses semblables et semblàblement placées , et dont les centres sont situés sur un dia^ mètre de la surface.
i"" Un plan T , tangent en un point m à la sphère S , se transformera eu un* plan T. y tangent à Fellipsoïde 1 et au point m. transformé du point m.
5^ Un cône A tangent à la sphère S , ayant son sommet en un pointcf, et ayant pour courbe de contact un petit cercle d de la sphère S, se transformera en un côneuA^^ tangent à Tellipsoïde 1 , suivant une ellipse d, , transformée du cercle d, et* ayant son sommet en un point d^ , transformé du point d ; et connue pour la sphère' le centre o de celte surface , le sommet d du cône tangent , et le* centre i du cercle de contact , sont en ligne droite , il arrivera que les points , œ centre de l'ellipsoïde £, d. sommet du cône A. et t, centre de réilipse d, j seront en ligne* dtoîtb.
On peut donc énoncer \ès thélnrèmes suivants :
— Jfâ5 —
JII. Si fon.coupe un eUipscidede révahuion Jlpar^un plan et stàMfani une ellipse d, , M si l'on fait rouler un. plan T..«iir la courbe d. et iangentiellement Â,la.smfa£e2yla surface xemalappe, de llespace parcouru par le plan T, sem un cône.
lY. Si ton prend un point d,, situé hors d'un elljpsoide de révolution 1, et qu'on regarde ce point comme le sommet d'un cône A^ tangent à la surface S, la courbe de contact 3, sera plane et ne sera dès lors autre qu'une ellipse^ et son centre i, , /e centre 0 de la surface 2 et le sommet d^ du cône A, , seront en ligne droite.
6** Si Ton a deux cercles 3 et 3' sur la sphère S , on peut les envelopper par deux cônes A et A', si ces cercles se coupent ou ne se coupent pas, et par un seul cône si ces cercles se touchent :
Au moyen de la transformation cylindrique , on Tait passer cette propriété sur rellipsoïde de révolution.
On peut donc énoncer le théorème suivant :
y. Si l'on coupe un ellipsoïde de révolution par deux plans y les ellipses de section 3, et 3/ pourront être enveloppées par deux cènes A, et A/, si ces courbes 3, et 3/ se coupent ou ne se coupent pas, et par un seul cône^ si ces deux courbes se touchent.
T Si un cône A ayant pour sommet on point intérieur ou extérieur à la sphère S y a 'pour base un cercle 3 de cette «phèra, oe oàne A coupe la sphère S suivant un set^ond cercle 3^.
On peut donc énoncer le théorème suivant :
YI. iSi un cône A, , ayant pour sommet un point d^ intérieur ou extérieur à uneltipsdidede révolution 2, afowiase une ellipse ^^, ou un parallèle^ sitmée-sur cette surfaae de révolution , ce cône A coupe Pellifocnde de révolution 2 suivant une seconde dlipse è\ .
8"" Si , dans la sphère S, on a une suite de cordes parallèles à une droite D, les miliôtt& de ces cordes sont âur un plan P , passant par le centre de la sphère.
On peut donc énoncer le théorème suivant :
YIL Si ton mène, dans un ollipsolde de ràttolutionl , une suite de cordes parallèles à^une drtnie D^ , les milieux de ces cordes seront sur un plan P, .pammt par Icjcmlxe die Veltipmde.
Ainsi y pour rellipsOLdeHdeTévolutiûn 2>, toute surfaee diamétrale est un plan.
9" Si , par le centre o de la sphère, je mène trois diamètres X, Y, Z, rectanguiaires .entre eux, on aura trois plans diamétraux (X^ Y), (X, Z), (Y, Z), aussi rectangulaires entre eux , et qui jouiront de la propriété suivante :
Toutes les cordes parallèles
à Z seront coupées en parties égales par le plan (X , Y) àX — — (Y,Z)
Les diamètres X , Y , Z , perceront la sphère S en les points x^i x! ^yeX %/ ^%ei 2% et si Ton mène en ces points des plans tangents à la sphère, on aura les six plans T', T*', T^ V\ T% T", qui formeront un cube circonscrit à la sphère.
On peut donc énoncer le théorème suivant :
YIII. Si dans un ellipsoïde de révolution 1 , on mène par le centre o un plan P, cou^ pant la surface suivant une ellipse 6 , et que l'on trace un système de diamètres conjur gués X, et Y, de la courbe ^\ si Con construit deux plansT^ et T\ tangents à la surface S, et parallèles au plan P. , et que Con unisse les deux points de contact par une droite Z, , les plans (X,, Y,), (X,, Z,), (Y,, ZJ, seront des plans diamétraux ^ et chacun deux coupera en parties égales les cordes parallèles au diamètre par lequel il ne passera pas; et si Con mène des plans tangents à la surface 2 > aux points en lesquels cette sur^ face est percée par les diamètres X, , Y, , Z, , ce« plans seront deux à deux parallèles et formeront un parallélipipède oblique circonscrit à la surface 1 , etc.
Les trois plans (X, , YJ , (X, , ZJ , (Y, , ZJ forment un système de plans diamétraux conjugués entre eux.
Le diamètre Z\ est dit diamètre conjugué du plan (X. , Y J , etc.
1 0*" Si Ton a deux sphères concentriques S et S^ , si l'on mène un plan T tangent au point m à la sphère intérieure S, ce plan coupera la sphère S' suivant un cercle 9^ et si Ton conçoit un cône A tangent à la sphère S' suivant le cercle d, le sommet d du cône A, le point m centre du cercle d, et le point o centre des sphères S et S' sont en ligne droite. De plus , si Ton conçoit une série de plans T tangents à la sphère S , les divei^ sommets d des cônes A tangents à la sphère S^ , seront sur une troisième sphère S'' concentriques aux deux premières sphères données.
On peut donc énoncer le théorème suivant :
IX. Si Con a deux ellipsaides de révolution 1" et II concentriques et semblables , si Con considère cliacun des points A ^ de la surface 2" comme le sommet d'un cône A, tangent à la surface 2' et suivant une ellipse d^ , on pourra construire un ellipsoïde de révolution 1 concentrique et semblable aux ellipsoïdes donnés l" et l^j et qui soit tangent aux divers plans T, des courbes i^ , et cet ellipsoïde 1 aura four contact avec les plans T, d69 points m, qui seront les centres respectifs des ellipses 9^.
1 1 "" Si Ton coupe une sphère S par un plan P passant par son centre o , on a pour section un grand cercle G , et si Ton mène par le centre o une droite Z perpendiculaire au plan P, on sait que le cylindre A qui aura ses génératrices droites parallèles à Z^ et qui aura pour section droite le cercle G sera tangent à la sphère S suivant ce cercle G.
On sait de plus que si Ton a une sphère S' concentrique à S, le cylindre A coupera cette sphère S' suivant un petit cercle G' qui sera dans un plan parallèle
au plan du cercle G et identique au cercle C(le8 deux cercles G et G' étant superposables) .
On sait encore que Ton peut construire une sphère S^' concentrique aux sphères S et S% et tangente aux ^livers plans des cercles G' et que les points de contact seront les centres de ces cercles G^
On peut donc énoncer le théorème suivant :
X. Ayant un eUip$o\de de révolution £, ni F on mène un plan diamétral P, coupant cette surface S suivant une ellipse diamétrale C^^ si l'on construit te diamètre Z, conjugué du plan diamétral P,, le cylindre A. qui aura ses génératrices droites parallèles à Z, , el qui aura pour directrice V ellipse G,, sera tangent à t ellipsoïde 1 suivant cette courbe G, .
En outre : si l'on a un second elHpsdide l\ concentrique et semblable à C ellipsoïde £, le cylindre A, coupera la surface il suivant une courbe plane C\ dont le plan sera parallèle au plan de la courbe G, et les deux ellipses d et C\ seront identiquesy ou^ en d'autres termes j superposables.
De plus^ ton pourra construire un ellipsoïde de révolution 1^' concentrique et semblable aux ellipsoïdes £ et 1\ et tangent aux plans des diverses ellipses G/, et les points de contact de ces plans et de la surface 1" ne sont autres que les centres des ellipses G',.
1 %"" Si Ton a une droite D extérieure à une sphère S ; si par la droite D on mène deux plans T et T' tangents à la sphère aux points m et m^ ces deux points m et m' étant unis par une droite B, les deux droites D et B sont deux polaires réciproques^ parce qu'elles jouissent (ainsi que nous le savons) de la propriété suivante, savoir : que si par la droite D on mène une série de plans X, X' X'', etc. , ils couperont la sphère S suivant des cercles i, i^ i"y etc., tels qu'ils auront pour polaire commune et extérieure la droite D, leurs pôles étant situés sur la droite B, et n'étant autres que les points en lesquels cette droite B est coupée par les plans X, X', X'^, etc. ; et ensuite les cercles 3, d^, i", etc. seront tels que les cônes A, A', A", etc., tangents à la sphère S suivant ces cercles, auront leurs sommets cf, d'y d'\ etc. , situés sur la droite B,
Et nous savons encore que, si par la droite B on mène une série de plans Y, Y', Y\ etc., ils couperont la sphère S, suivant des cercles 6, 6', 6", etc., tels qu'ils auront pour po/atre commune et intérieure la droite B, leurs pd/e« étant situés sur la droite D, et n'étant autres que les points en lesquels cette droite D est coupée par les plans Y, Y', Y", etc., et ensuite les cercles 6, 6', 6", etc., seront tels que les cônes (p, (p', vp'', etc., tangents à la sphère S suivant ces cercles, auront leurs sommets p, p'y p% situés sur la droite D.
On peut donc énoncer le théorème suivant :
XI. Siy dans un ellipsoïde de révolution 2, on mène une droite arbitraire D, et extérieure à ceUe surface 2, et si par cette droite on mène deux plans T, et T',, tangents à 1 aux points m, et m\ ; ces deux points m, et m\ étant unis par une ttroite B,, les deux
2* PÀRTIB. 4!
— 3St8 —
droites D, el B, seront deux polaires réciproques; car elles jouiront de la propriélé sut' vante^ savoir : que si par la droite D, on mène une série de plans X , X/, X/\ etc., coupant la sur/ace 2 suivant des ellipses 9^j $',, i",j €tc. , ces courbes seront telles qu'elles auront pour polaire commune et extérieure la droite D^, et que leurs pôles seront situés sur la droileB^^ et de plus les cônes A,, à',, à^\, ete., tangents à la smface^ suivant les ellipses d^y d^^, i^\^ etc., auront leurs sommets d,, é^}^ d'',, etc., siiuéi.sur la droite B,,
Et réciproquenfent^ si par la droite B, on mène une série de plana Y,, Y',, Y'^,, eic, coupant la surface £ smvant des ellipses ê^, ë\j &\j etc., ces courbés auront pour polaire commune et intérieure la droite B^, et leurs pâles respectifs par rapport acette droite B, seront extérieurs et situés sur la droite D , .
Déplus les cônes ^^, ^',, f^'\^ etc., tangents à la surface £ suivant les ellipses 6, j è\y 6",, etc., auront leurs sommets p,, p',, p'\, etc., situés sur lu droite D,.
D'après ce qui précède, on voit que toutes les propriétés- de relation de position, existant pour une sphère,- pourront être transportées au moyen d'une transformar Iton ci//tniirfi/tf^ sur Tel lipsoïde de révolution. .
Nous pouvons donc énoncer les théorèmes suivants :
XII. Si dans un ellipsoïde de révolution 2, on mène par le centre un plan diamétral quelconque P, et si Con construit le diamètre conjugué de ce plan P, diamètre qui prolongé donnera une droite Z, puis que l'on mène une suite de plans P', P'^, P"', etc. , parai' lèles entre eux et au plan P, et coupant la surface £ suivant des ellipses a', a", u'\ etc., et qu enfin on construise les cônes A\ A'', A''^, etc., tangents à la surface 2, suivant les courbes planes a', a", a"\ etc., les sommets d', d", d''', etc., de ces divers cônes seront siHiés sur la droite Z.
Xi II. Étant donné un ellipsoïde de révolution £, si Con construit un plan diamétral P et le (Uamètre conjugué Z, et si Con mène une suite de plans F, F', F'^, etc. , parallèles au plan P et coupant la surface S suivant des ellipses semblables et setnblablement placés a 9 ol\ ol'\ etc., ces courbes ne pourront être unis deux à deux que par des cônes dont les sommets seront tous situés sur la droite Z.
XIY. Si Ion coupe un ellipsoïde de révolution S par une ^te de plans diamétraux et suivant des ellipses 6, 6', g'', etc., ces courbes ne pourront être unies deux à deux que par des cylindres.
XY. Une droite ne peut couper en plus de deux points un ellipsoïde de révolution.
XVI. Par une droite extérieure on ne peut mener plus de deux plans tangents à un ellipsoïde de révolution.
Transformation de C ellipsoïde de révolution en un ellipsoïde à trois axes inégaux. iiil . CoBcevons un ellipsoïde de révolution £, ayant poar axe de rotation une
droite Z et pour courbe méridienae une ellipse E, et pour centre un point o. Coupons la surface S par un plan mené par le cenire o et perpendiculairement à la droite Z, on obtiendra pour section un cercle G auquel on a donné le nom d'â/ti(fteur. Prenons le plan de Téquateur pour plan horizontal.
Cela posé :
Transformons cylindriqueraent le cercle C en une ellipse E,, cette transformation s'opérant dans le plan horizontal et parallèlement à une droite Y menée dans le plan horizontal et par le centre o du cercle C.
Désignant par R le rayon du cercle C, et menant par le centre o et dans le plan horizontal, une droite X perpendiculaire à la droite Y^ Tellipse E^ aura Tun de ses axes dirigé suivant la droite X et il sera égal à SIR , etTautre axe sera dirigé suivanl la droite Y.
Prenant un point m sur le cercle C, et menant par ce point une parallèle à Y,
laquelle coupera X en un point r et Tellipse E, en un point m^, on aura : —^=6.
Et ce rapport b sera le même pour tous les points homolognes m et m, du cercle C et de Tellipse £.•
Cela posé :
Si l'on coupe la surface ellipsoïde et de révolution £ par un plan parallèle au plan du cercle C^ et par conséquent perpendiculaire à Taxe de rotation Z de cette surface £, on obtiendra un cercle C^, qui, transformé comaie le cercle C, donnera une ellipse E',, et les ellipses E, et E', seront semblables, puisque, désignant par m! un point du cercle C et par m\ le point de Tellipse E', qui est le tTumtformé du point m'y en unissant ces points m' et m/ par une droite qui sera parallèle à la droite Y et qui coupera le diamètre du cercle G (parallèle au diamètre X du cercle C) en
un point r', on aura : —7-7= A.
mr
L'ellipsoïde de révolution 2 se trouvera dès lors transformé en une sur£ace S^ à laquelle on a donné le nom à'ellipsotde à trois accès inégaux; si l'on fait passer par les axes X^ Y^ Z, de la surface £ des plans (X, Y), (Y^ Z), (X^ Z)^ ces plans cou-
peront la surface ^ suivant trois ellipses E,, E,, E,, qui couperont les axes X, Y, Z, en deux point» , savoir ;
Ë, coupera X en les points x et a!.
— Y en les pointe y et tf.
E, coupera Y en les points y et y'.
— Z en les points z et z'.
E, coupera X en les points x et x!.
— Z en les i^oints x et z\
Les trois droites X, Y, Z, sont rectangulaires entre elles et se coupent au point o centre commun à Tellipsoïde de révolution S et à l'ellipsoïde I/. Les plans (X, Y), (Y, Z)y (X, Z), sont donc aussi rectangulaires entre eux.
L'on a donc évidemment :
ox=ox'y oy=ioy'y oz=:^oj^.
De plus, en vertu du mode cylindrique de transformation ^ on a :
ox=R, oz=àR et oy=6R.
Ce sont les droites xx\ yy\ zz% qni ont reçu le nom d'axes de Tellipsoïde 2'; et comme ils sont inégaux en grandeur, la surface If a reçu le nom d'ellipsoïde à trois axes inégaux.
642. Nous pourrons faire passer, de l'ellipsoïde de révolution 2 sur Tellipsoïde à trois axes inégaux 2', toutes les propriétés que nous avons ci-dessus reconnues exister pour cette surface de révolution S en les faisant passer de la sphère S sur cette surface 2, et cela en se servant du même mode cylindrique de transformation qui a servi à transformer la sphère S en la surface de révolution S.
Ainsi les seize théorèmes énoncés ci-dessus sont vrais pour l'ellipsoïde à trois axes inégaux (*).
543. Nous aurions pu passer directement de la sphère S à l'ellipsoïde à trois axes inégaux V par une seule transformation cylindrique.
Et; en effet :
Concevons dans le plan horizontal un cercle G du rayon R et ayant un point o pour centre, et décrivons de ce point o comme centre et avec le rayon R une sphère S. Imaginons dans le plan horizontal deux axes X et Y se croisant au centre o et rectangulaires entre eux, et une droite Z élevée par le point o perpendiculairement au plan horizontal; les trois axes X, Y, Z, sont donc rectangulaires entre eux.
Cela posé :
Désignons par ^ et o;,, y et y., z et z,, les points en lesquels la sphère S est coupée par les axes X, Y, Z.
Menons par le centre o une droite Y' située dans le plan du cercle C et faisant avec la droite X un angle arbitraire, et prenons sur cette droite Y' deux points arbitraires tf et t/',, mais équidistants du centre o.
Nous pouvons construire une ellipse E sur oo; et oy' comme demi-diamètres
n Nous aurions pu éooDcer un plus grand nombre de théorèmes, mais nous nous sommes borné aux plus importants parmi ceux de relation de position.
conjugués, et V ellipse E pourra être considérée comme la transformée cylindrique du cercle C, les droites de transformation étant parallèles à la droite yi/ ou à la droite"}!^. ^
Nous pourrons mener dans l'espace et par le point z une droite parallèle à yt/ et prendre sur cette droite un point z^ arbitraire et unir le centre o à ce point z' par une droite Z'.
Puis mener par le point z' une droite 8 parallèle à X, et tracer dans le plan (X, 9) une ellipse E' ayant ox et oz' pour demi-diamètres conjugués.
Nous pourrons enfin par le point z' mener une droite 9' parallèle à Y', et construire dans le plan (Y', 9') une ellipse E'' ayant oy' et oz' pour demi-diamètres conjugués.
Les trois ellipses E^E^yE'"^, formeront un système de courbes diamétrales , et les trois droites ox^oy\oz\ formeront un système de demi-diamètres conjugués d'un ellipsoïde 2, qui sera la transformée directe de la sphère S.
Et je dis que la surface S, est un ellipsoïde, car cette surface jouira évidemment de toutes les propriétés que nous avons reconnues exister pour la surface 2' transformée de l'ellipsoïde de révolution S.
Des sections circulaires de V ellipsoïde à trois axes inégaux.
544. Si une surface ellipsoïde £ peut être coupée par un plan suivant un cercle, comme toutes les sections planes et parallèles dans un ellipsoïde sont des courbes semblables 9 il faudra que l'on puisse mener par le centre o de la surface S un certain plan P coupant cette surface £ suivant un cercle C, dont nous désignerons le rayon par R.
Or, si l'on considère une sphère S' ayant son centre en o et ayant un rayon R' arbitraire , mais assez grand pour que la sphère S' coupe la surface S , il est évident que les deux surfaces S' et S se couperont suivant des courbes qui seront symétriques par rapport à chacun des plans diamétraux principaux de la surface 1.
Si donc du point o comme centre et avec le rayon R , nous décrivons dans l'espace une sphère S, elle aura pour cercle diamétral le cercle C, et comme les surfaces S et 2 sont symétriques par rapport aux plans diamétraux principaux de la surface 2, il s'ensuit que si la sphère S et la surface S se coupent suivant un cercle C , ils devront se recouper suivant un autre cercle C ayant son centre en o et son rayon égal à R , et les plans P et P' de ces deux cercles C et C devront être perpendiculaires à l'un des trois plans diamétraux principaux de la surface 2.
Or, 1* si du centre o et avec le demi petit-axe de 2 pour rayon , on décrit une
gpbère, elle sera tangente à la surface £ en les extrémités de ce peiii-axej et elie a'anra pas d'autres points communs avec la surface 2, et de plus elle sera inté* rieure à cette surface S.
S"" Si du centre o avec le demi-grand axe de Tellipsoïde 1 pour rayon, on décrit une sphère, elle sera tangente à la surface £ en les extrémités de ce grand axe, et elle n'aura pas d'autres points communs avec la surface 2, et elle enveloppera la surface I.
3° Mais si du point a comme centre et avec le demi-axe moyen de la surface 1 on décrit une sphère S , elle touchera la surface 2 en les extrémités p et p' de son axe moyen , et elle la coupera suivant une courbe composée de deux branches 3 et J' se croisant en les points p et p' ; et les courbes 3 et S' seront symétriques par rapport aux plans diamétraux principaux de la surface 2 ; si donc on projette orthûgonalement ces courbes i et Sf sur le plan diamétral M passant par le grand axe et le petit axe de la surface 2 ( ce plan M étant pris pour plan vertical de projection , et le plan N du petit axe et de L'a^e moyen étant pris pour plan horizontal de projection), on aura (fig, 2S9) deux arcs de courbes $" et d'", symétriques par rapport aux axes de Tellipse principale Ë située dans le plan M. Or je dis que ces arcs de courbes 3*' et 3'*^ sont des lignes droites.
Et en effet :
L'ellipse E sera coupée par la sphère S en les points m et n , m' et n' qui , unis deux à deux » formeront im rectangle dont les diagonales se croiseront au point o; et Ton aura em^=on:=^omf^=^on!=z=iIi (R étant égal au demi^axe moyen de la surface ellipsoïde 2).
Or, si par le point m et Taxe moyen pp^ = 2R, on fait passer nn plan P, ce plan coupera la surface 2 suivant une ellipse G ayant pour système de diamètres conjugués la droite mm' et Taxe moyen pp^ ^ et ces droites pp' et mmf sont rectangulaires entre elles, elles sont donc les axes de Tellipse C ; mais ces axes pp^ et mm' sont égaux, donc Tellipse C est un cercle.
Le plan P coupera la sphère S, suivant un cercle C ayant Taxe moyen pp'= 2R pour diamètre, et ce cercle passera par le point m; donc les cercles C et C se confondent, puisqu'ils ont même centre o, et qu'ils passent par un même point m, et qu'ils sont situés dans un même plan P.
On peut donc énoncer le théorème suivant :
XYIL On peut couper êuivant des cercles ^ un elUpsatde à trois oxes inégaux , par éeux séries de plans parallèles entre eux; fune et C autre, série étant parallèles respec^ tivement à un {certain) plan diamétral passant par l'axe moyen de la surface £•
Et, d'après ce qui précède, il sera facile de construire la dicectioa des plans des
Béotiens circataires y lorsqu'on con&aitra les trois axes ou les trois diamètres principaux de la surface ellipsoïde 1.
Des deux modes principaux de génération de l'ellipsoïde à trois axes inégaux.
545. Chacune des propriétés géoméiricpies dont jouit l'ellipsoïde à trois axes inégaux , peut conduire dans la pratique à une construction particulière de cette surface, ou, en théorie ^ à un mode particulier de (/é/i(^ra<îo» , et ce que nous Tenons de dire s'appliquera aux quatre autres surfaces du second ordre. Parmi tous les modes de génération ou Aq construction de Tellipsoïde, on doit distinguer les deux suivants.
Premier mode de génération ou de construction.
546. Soient données deux droites D et R, faisant entre elles un angle arbitraire, ces deux droites n'étant pas d'ailleurs situées dans un même plan.
Concevons par la droite D deux plans T et T' coupant respectivement la droite R aux points m et m' ; menons par la droite D un troisième plan P coupant la droite R en un point o situé entre les points m et mf.
Cela posé :
Construisons dans le plan P une ellipse B ayant le point o pour pôle et la droite D pour polaire.
La construction de la courbe B sera facile, car il suffira de mener par la droite D un plan arbitraire Z coupant la droite R en un point s^ situé en dehors des points m et m', puis de mener un plan Z' parallèle au plan Z et coupant la droite R en un point r et de tracer dans le plan Z' une ellipse arbitraire M ayant le point r pour centre , le cône («, M) sera coupé par le plan P suivant une ellipse B ayant le point o pour pôle et la droite D pour polaire (n"* 329 et suivants). L'ellipse B étant construite , nous ferons passer par la droite R une série de plans Y, Y', Y"
Le plan Y coupera le plan T suivant une droite 9 et le plan T' suivant une droite 6', et la droite D en un point y, en lequel concourront les droites 9 et 9'. Ce plan Y coupera l'ellipse B en deux points a et 6, qui seront en ligne droite avec le point y. Si , dans ce plan Y nous décrivons une ellipse E passant par le point a et par les points m et m! , et ayant en ces points les droites 9 et B' pour tangentes , cette ellipse passera nécessairement par le point b.
En faisant les mêmes constructions dans les divers plans Y', Y^^ , on aura
une série d'ellipses E, Ë', E'', qui détermineront un ellipsoïde S à trois axes
inégaux.
Comme cas particulier de ce mode de génération ou de comirucûon , on a les deux suivants :
Premier g\s particulier du premier mode.
547. Si le point o est le centre de Pellipse B la polaire D est située à ilntini ; alors les plans T et T' sont parallèles , ainsi que les droites 6 et 6\ et alors forcément les points m et m' sont équidistants du point o.
Les ellipses génératrices E^E', E'', ont donc toutes pour centre le point o
et la droite miW pour diamètre commun , si la droite R est oblique au plan P.
Dans ce cas le plan P et les plans Y, Y\ Y"^ , sont des plans diamétraux de
Tellipsoïde £.
Deuxième cas particulier du premier mode.
548. Tout étant comme dans le premier ai« considéré ci-dessus, à Texception de la droite R, que Ton suppose perpendiculaire au plan P, on voit de suite que le plan P est un plan principal et que la droite mm' est un des axes de la surface ellipsoïde £.
Second mode de génération ou de construction.
549. Imaginons deux droites D et R non situées dans un même plan , et faisant entre elles un angle arbitraire.
Concevons deux plans T et T' passant par la droite D et coupant la droite R , respectivement, aux points m et m\
Faisons passer par la droite R deux plans Y et Y, , le premier plan Y coupera les plans T et T' suivant les droites 9 et 6' et le second plan Y. coupera ces mêmes plans T et T' suivant des droites 9, et 9/. Cela fait : traçons V dans le plan Y une ellipse E arbitraire, mais passant par les points m et m' et ayant pour tangentes en ces pointe les droites 9 et 9', et 2* dans le plan Y, une ellipse E, aussi arbitraire, mais passant par les points m et m' et ayant pour tangentes en ces points les droites 9, et 9/.
Imaginons un cône A ayant son sommet s situé en un point de la droite I), cM ayant la courbe E pour directrice.
Cela posé :
Par la droite D menons une série de plans X, X, , X,, coupant la droite R
en les points p, p\ p\ situés entre les points m et ntl. Le plan X coupera l'ellipse Ë
en les poinlsa et q[ et Tellipse E. en les poipts r et /, et le cône A suivant des génératrices droites I et F passant respectivement par les points r et r'. Traçons dans le plan X une ellipse B passant par le point q et par les points r et i*' et ayant
pour taDgentes en ces points r et / les droites I et 1' , cette ellipse B passera forcément par le point (f.
Faisons les mêmes constructions dans chacun des plans X, , X, , X,, nous
obtiendrons une série d'ellipses B, B, , B,, B, ayant pour polaire commune la
droite D et pour pôle respectif les points p, p', p" La surface lieu des ellipses
B, B,, B^, sera un ellipsoïde 1 à trois axes inégaux.
Gomme cas particuliers de ce mode de génération ou de construction , on a les deux suivants.
Premier cas particulier du second mode.
550. La droite D peut être située à Tinfini, alors les plans T, T' et X, X, , X^
seront parallèles entre eux; alors les points p, p', p", seront les centres respectifs des ellipses B,, B,, B, , la droite R sera un diamètre commun aux
deux ellipses E et E, , et le cône A sera un cylindre dont les génératrices droites pourront avoir toute direction dans Tespace, pourvu toutefois qu'elles soient
parallèles aux plans T, T', X, X,, Dans ce cas, la droite R étant oblique par
rapport aux plans T, T', X, X, , la surface ellipsoïde 1 sera engendrée par une
ellipse B se mouvant parallèlement à elle-même en variant de grandeur, mais en restant semblable et semblablement placée. La droite R sera dans ce cas un diamètre de la surface ellipsoïde 2.
Deuxième cas particulier du second mode.
551. Si tout reste ainsi que dans le premier casj la droite R ayant seulement une direction toute particulière par rapport au plan T et lui étant perpendiculaire , alors la droite R sera un des axes de Tellipsoïde I.
552. Remarque. Dans les deux modes principaux de génération de Tellipsoide à trois axes inégaux , nous avons des ellipses pour génératrices et une ellipse pour directrice.
des paraboloïdes elliptiques.
553. Concevons un ellipsoïde de révolution 2, ayant pour axe de rotation une droite Z , perçant cette surface en les points z et z'.
Menons un plan P perpendiculaire à Taxe Z , et coupant la surface 1 suivant un cercle C ayant son centre n situé sur la droite Z.
Gela posé :
Menons par Taxe Z un plan M coupant la surface 1 suivant une ellipse méridienne E ayant pour centre le point o, centre de la surface 2, et pour sommets les points z et z', et passant par les points m et m' en lesquels le cercle G est coupé par le plan M.
2* partie. 42
Si nous allongeons Taxe %%' en transportant le point s' en %' sur la droite Z, Tellipse E se transformera en une ellipse E, ayant toujours Tun de aes axes dirigés soivanl Z et égal à zz/ et passant par les points fixes %^ m et m\
La courbe E,, en tournant autour de T^xe Z, engendrera un nouvel ellipsoïde de révolution 2, , coupant la surface S suivant le cerde C, et les deux snrraces 1 et 2^ seront tangentes Tune à l'autre au point z.
Tout plan parallèle à un plan méridien M coupera reliipsoîde Z, suivant une ellipse qui se projettera orthogonalement sur le plan M suivant une ellipse E/ concentrique et semblable à Tellipse méridienne E,.
Cela posé :
Si Ton suppose que le sommet z ou z^ se trouve transporté à Tinfini sur l'axe Z , V ellipse E , située dans le plan méridien M^ sera transfarmée eu une parabole E, ayant son sommet au point z et passant par les points m et m' et la surface ellipsoïde de révolution £ , sera transformée en un paraboloïde de révolution 2, f surface engendrée par la parabole E, tournant autour de son axe infini Z.
Or, en supposant que le sommet z' soit transporté à Tinfini sur Taxe Z, on
transforme évidemment toutes les ellipses E\ sections faites dans reliipsoîde 2,
par des plans parallèles à un plan méridien M en des paraboles E/ qui se projetteront orthogonalement sur le plan M , suivant des paraboles concentriques et semblables à la parabole méridienne E,.
Or, on sait que des paraboles concentriques et semblables ne sont autres que des paraboles identiques on superposables.
Cela posé :
554. Sachant qu'un paraboloïde de révolution (que nous pourrons désigner par E dans tout ce qui va suivre) est coupé par une série de plans parallèles entre eux et à Taxe de rotation Z , suivant des paraboles identiques et qu'il est coupé par des plans perpendiculaires à l'axe Z suivant des cercles, démontrons qu'Hun plan quelconque, mais oblique à Taxe Z, ooupe toujours ce paraboloïde 1 suivant nne ellipse.
Faisons glisser la surface paraboloïde S parallèlement à l'axe Z, le sommet z de cette surface se transportant en z' sur Z , et désignons par £' la nouvelle position de la surface S.
Les deux surfaces £ et 1/ sont deux paraboloïdes concentriques et semblables.
Tout plan perpendiculaire à l'axe Z coupera les deux surfaces 2 et £' suivant deux cercles C et C' concentriques.
Tout plan parallèle à l'axe Z coupera les deux surfaces Let H suivant douiL paraboles i et if^ qui seront concentriques et semMables,
Cela posé :
555. GoQpoDs les deuic surfaces paraboloïdes 2 et l! par un p)an P oblique à Taxe Z et renconlraut dès lors cet axe Z en un certain point p , Ton obtiendra deux courbes 6 et g^, et il faut démontrer que ces deux courbes ne sont autres que deux ellipses concentriques et semblables ; et d'abord il est évident que ces deux courbes sont des cowxh&è fermées.
Et ensuite si , en un point x de la surface 1 , on mène un plan T tangent à cette surface , ce plan coupera la surface ^ suivant une courbe 7 , démontrons que le point X est le centre de la courbe y.
Pour cela faire , menons par le point x et dans le plan T une droite 0 arbitraire, elle coupera la courbe 7, et par conséquent la surface 2' en deux points 7 et q'; la proposition énoncée sera vraie si nous parvenons à démontrer que Ton a :
Or : par la droite 9 nous pourrons toujours mener un plan Q , parallèle à Taxe Z; ce plan Q coupera dès lors tes deux surfaces 1 et £' , suivant deux paraboles 3 et Sf concentriques et semblables.
La courbe i sera tangente en a: à la droite 6 , et la courbe $! passera par lea points q et qf.
Mais deux paraboles concentriques et sanblables S et d' jouissent de la propriété suivante, savoir : que si, en un point :c de la parabole intérieure à on mène une tangente 9 , cette droite coupe la parabole extérieure H en deux points qei qfy tels que Ton a toujours xq = xq\ Donc, etc.
Ainsi les deux courbes 6 et 6' jouissent de la propriété suivante, savoir ; que si en un point quelconque m de 6 on mène une tangente ^ à cette courbe , cette droite l coupera la courbe 6' en deux points b et b^ tels que Fon aura : mb=:mb^.
556. Si maintenant nous parvenons à démontrer que les deux courbes 6 et& sont concentriques et semblables, il sera démontré, en vertu du (n*â42 6t«), que ces deux courbes ne sont autres que deux sections coniques , concentriques et semblables , et comme elles sont fermées , il sera démontré qu'elles ne sont autres que deux ellipses concentriques et semblables ; et dès lors il sera démontré que tout plan oblique à Taxe Z coupe un paraboloide de révolniUm suivant une ellipse.
Or, nous pourrons toujours mener un plan 0 parallèle au plan P et tangent en un point s au paraboloide 2. Cela fait y menons par le point s nne droite A parallèle à Taxe Z et perçant le plan P en un point a.
Si par la droite A nous faisons passer une suite de plans V, Y', V'^ etc. , nous couperons la surface 2 suivant des paraboles X , X\ X'^ etc. , qui seront toutes identiques ou soperposabies entre elles et à la courbe méridienne de la sar&ce 2 située dans le plan méridien parallèle aux divers plans Y, Y'
Ces mêmes plans V, V, V^', eU., couperont le plan 0 suivant des droites L, L', L", etc., tangentes respectivement aux courbes X, X', V\ etc., au point s.
Ces mêmes plans V, V, V", etc., couperont le plan P suivant des droites K, K', K", etc., parallèles respectivement aux droites L, L', L", etc., et ces droites K, K', K", etc., couperont la courbe 6 et les paraboles X, X', X'^ etc., en deux points , savoir :
K coupera 6 et X aux points b et d el les courbes S et X se coupent en ces deux points. K' — 6etX' — 6'et(f, — idem. K" — 6etX" — b"eXd\ — idem. etc. — etc. — etc. — etc.
La droite A étant un diamètre commun aux paraboles X, X^ X^', etc., il s'ensuivra
que le point a sera le milieu des cordes bd^ b'd'^ b"d!\ etc., de la courbe S.
Si nous transportons parallèlement à la droite Z le paraboloïde 1 en la position 2^, le point s se transportera en s, , la droite A restera la même, et les paraboles X, X', X", etc., seront transportés dans leurs plans respectifs V, V, V, etc., en les paraboles X, , X/, X/^ etc., et le plan P coupera le paraboloïde S' suivant la courbe ê^ et le plan O sera transporté parallèlement à lai-même en 0, , et ce plan 0, sera tangent au point s^ à la surface V.
On démontrera donc , comme ci-dessus , que le point a est le milieu des cordes
b,A » */rf/> f>"^"^ ^^*^ d^ la courbe 6'. Ainsi les deux courbes 6 et & ont chacune un centre et elles ont le même centre.
Cela posé :
Si Ton fait mouvoir la courbe 6 parallèlement à elle-même , son centre a parcourant la droite A, ellç engendrera un cylindre qui coupera la surface 2' suivant une courbe 6, , qui sera plane et parallèle à 6 et à 6^ et le centre a de & se sera transporté en a, centré de 6,.
Cela posé :
Désignant par P, le plan de la courbe 6, , les plans P et P, seront parallèles. Prenons pour plan horizontal de projection un plan perpendiculaire à Taxe Z , et pour plan vertical de projection le plan méridien M passant par les deux droites Zet A.
Projetons orthogonalement les paraboles X,X',X", etc., sur le plan M, nous aurons des paraboles X% X'% X"% etc., tangentes en « à la droite L intersection des plans 0 et M {fig. 290).
Projetons aussi orthogonalement sur le plan M les paraboles X, , X/, X/', nous aurons des paraboles À,% X/% X/'% tangentes en «, à la droite L, intersection des plans 0, et M.
Les droites L et L, seront parallèles , la droite A sera un diamètre commun et
aux paraboles 1% et aux paraboles X,"
Les droites K, K^ K'', etc., situées dans le plan P, se projetteront en une seule et même droite R , intersection des plans P et M.
Les droites K, , K/,K/', etc. , situées dans le plan P, , se projetteront en une seule et même droite B, , intersection des plans P, et M. Les droites R et R. seront parallèles.
R coupera X" en les points b^ et (f R coupera X,* en les points ft/ et d/ R, coupera X," en les points A/ et d/.
Les droites 6/6/ et d/d," iront concourir en un point y situé sur A.
R coupera X"* en les points 6'*' et df" R coupera X/" en les points 6/" et d/" R, coupera X/" en les points b/" et d/^
Les droites ft/^fr/" et d/V/" iront concourir au même point y situé sur A. Et ainsi de suite {fig. 290 ).
Et cela a lieu parce que les paraboles X^, ï!", X^'*,... tout comme les paraboles X/, X/*", X/'*'.... ont un diamètre commun et une tangente commune (n"" 345 quaier). On aura donc :
«1*1* • «i*r • «i^t"* • etc. :: at/ : aft^'* : ai/'* : etc. Or , Ton a :
aj>^ = ab, afi^'=:ab', afi^':=^aJbf\ etc.
Et Ton a évidemment :
aV\a\r :: ah:ab'
etc.
Donc Ton aura :
ab : aV : ab" : etc. ;: ab^ : a*/ : at/' : etc.
Ainsi les deux courbes 6 et 6' sont concentriques et semblables. 557. On peut donc énoncer ce qui suit : Un paraboloïde de révolution £ jouit des propriétés suivantes : L Une droite ne peut le couper en plus de deux points.
II. Une série de plans parallèles à Caxe de rotation Z coupe la surface 1 suivant des paraboles identiques ou superposables.
III. Tout plan oblique à F axe de rotation Z coupe le paraboloïde 1 suivant tme ellipse.
lY» Une série de plans parallèles entre eux ei obliques à faxe Z, coupent le paratolotde £ suivant des ellipses semblables et semblablement placées*
Y* Si ton mène un plan Q , tangent en un point s au parabolotde 1 » une série de plans parallèles au plan G couperont la surface 1 suivant des ellipses qui seront deux à deux sur des cônes dont les sommets seront situés sur la droite A menée par le point s parallèlement à l'axe Z.
Chacune de ces ellipses sera la courbe de contact d'un cône tangent à la surface 1 et ayant son sommet sur la droite A.
YI. Deux sections planes parallèles entre elles et à laxe Z , étant deux paraboles identiques y on pourra les unir par un cylindre.
Dès lors :
1** Si l'on fait rouler un plan tangent à la surface 1 et parallèlement à une droite donnée^ la surface enveloppe sera un cylindre tangent à la surface 1 suivant une parabole.
2' Si C on fait rouler un plan tangent à la surface 2 en assujettissant ce plan à passer par un point fixe j kt surface enveloppe sera um cône tangent à la surface S suivant une ellipse.
YIL Par une droite D oblique à Caxe Z on peut mener deux plans tangents à ta surface 1 ; mais le problême est impossible ^ lorsque la droite D egt parallèle à taxe Z»
YIII. On ne peut mener à la surface 1 qu^un seul plan tangent qui soit paraitèU à un plan donné P; et lorsque le plan P est parallèle à taxe Z, le problème est impossible.
Nota. C'est l'analogue du problème : Mener une tangente 9 à une parabole 6 , qui soit parallèle à une droite D; on sait que le problème est impossible lorsque la droite D est parallèle à Taxe inûni B de la parabole 6 , et qu'il n'est possible et n'a qu'une solution lorsque la droite D coupe l'axe infini B.
En employant un mode de démonstration identique à celui qui nous a servi pour la sphère (n° 367) (seulement au lieu d'avoir à considérer des cercles , on aura à considérer des ellipses) , on arrivera aux trois théorèmes suivants :
IX. Deux sections planes d^un parabolcfide de révolution 2 peuvent être enveloppées par deux cônes j si ces sections ne se coupent pas , ou si elles ont deux points communs , et on ne pourra les envelopper que par un seul cône , si elles se touchent par un point.
Nota. Si les deux sections coniques sont, l'une une ellipse et l'autre une parabole, ou toutes deux des ellipses, la surface qui les enveloppera sera un cène; mais si les deux sections coniques sont l'une et l'autre une parab<^^ la surface qui les enveloppera sera un cylindre : car , dans le paraboloïde de révolution , toute section parallèle à l'axe de rotation Z est identique à la courbe méridieoDe (parabole) qui lui est parallèle. ^
Remarquons encore que deux sections paraboliques d*un paraboloïde de révo-
— Sil —
lBtk>Q se coopent tcmjoQrs en on point , car les plans de ces deux paraboles m coupent suivant une parallèle à Taxe Z de la surface paraboloîde, et par consé- C[iient parallèle à cfaacan des axes infinis des deux parcéoles.
X. Si un cône A coupe tôt pnraboioide de révolution 2 suivant une elUpse ou une porabote , ce cône recoupera ta surface 2 j smvant une seconde courbe plane qm sera toujours une ellipse.
Et si r on fait passer un cylindre 1* par une parabole ^ il recoupera la surface para" botoîde suivant une seconde parabole , et S"" par une ellipse, il recoupera la surface para'l>ol(nde suivant une seconde elUpse.
XL Si par une droite D on mène deux plans O et & tangents à un parabolmde de révolution 1 , et si F on unit les points de contact m et m' par une droite D^ , ces deux droites D et D^ seront dites polaires réciproques de la surface 1, et la surface S jouira , par rapport à ces deux droites D et D^, de la propriété suivante :
Si par la droite D, on mène une suite de plans P, F, P'', etc. , coupdnt la surface ^suivant des ellipses d, ^yi!\ etc. {et une de ces courbes sera une parabole qui sera donnée par celui des plans P qui sera parallèle à taxe de rotation Zde la surface S) y ces courbes auront la droite D pour polaire commune et extérieure , et leurs pôles seront sur la droite D, ; et tous les cônes A , A\ A'^^ etc. , tangents à la surface 1 suimnt ces courbes i, d^, y\ etc. , auront leurs sommets d , d' , d'', etc. , situés sur la droite D, ; et réciproquement y si par la droite D, on fait passer une suite de plans P^^P/t P/, etc. f ces plans couperont la surface 1 suivant des ellipses d,^ i/f ij'y etc. , [une d'elles sera une parabole qui sera donnée par celui des plans P, qui sera fMralléle à Paxe Z de rotation de la surface 2) , ces courbes auront la droite D, pour polaire commune et intérieure, et leurs pôles seront sur la droite D , et tous les cônes A^, A/, A/\ etc., tangents à la surface 1 smvant ces courbes d,, d/, i/\ etc.^ auront leurs sommets d/, d/, d/, etc. , situés sur la droite D.
Si Ton conçoit deux paraboloïdes de révolution 2 et S' concentriques et semblables , on sait que ces deux surfaces ont même axe Z de rotation , et qu'eo faisant glisser la surface 2 parallèlement à dle>méme et à la droite Z , elle viendra se superposer avec la surface 2'.
Tout plan parallèle à l'axe Z , coupant les deax sarfaees 2 et S' suivant des pa-* raboles identiques ou superposables , oa peut énoncer œ qui sait.
Xn. Si Con conçml m cfVmdre A tem^euî à h narjace 1 suiwmt une partéùle i y il coupera la surface ï! mdvani sme fotabok i Uetuique éi^ ei lespkms des deux couêt^ besietSf seront parallèles.
Le mode de démonstration employé pocr démontrer que deux ellipsoïdes de révolution concentriques et semblables sont coupés par un plan oblique à leur
axe commun de rotation Z suivant deux ellipses semblables et concentriques , nous permet d'énoncer ce qui suit :
XIII. Si l'on construit un plan (à tangent en un point m au paraboldide 1^ ce plan coupera le parcAoloïde 2' suivant une ellipse 6 ayant le point m pour centre.
Et si par le point m on mène une droite 1! parallèle à taxe de rotation Z , le cône A tangent à la surface 2' suivant r ellipse 6, aura son sommet d situé sur la droite 7J.
Le mode de transformation employé pour passer de rellipsoïde de révolution au paraboloïde de révolution , nous permet d'énoncer ce qui suit :
XIV. Si (on conçoit deux paraboldides de révolution S' et 2" concentriques et sem-blableSy si Con regarde les divers points d , d', d", etc. , de la surface 2", comme les sommets de cônes A, A\ A'^, etc., tangents à la surface 1^ suivant des ellipses 6, &y&\ etc., tous les centres m,m'y m", etc., de ces courbes 6, 6', 6", etc., seront sur un paraboloïde de révolution 1 concentrique et semblable aux surfaces données 2' et S" , et les plans 0, ©', 0", etc. , des courbes 6, 6', 6", etc. , seront tangents à la surface S et en les points m , m' , m'' , etc.
Transformation du paraboloïde de révolution en paraboloïde elliptique.
558. Concevons un paraboloïde de révolution S ayant une droite Z pour axe de rotation ; par la droite Z menons deux plans M et M' rectangulaires entre eux, et coupant la surface 2 suivant deux paraboles (f et ç, identiques comme courbes méridiennes d'une surface de révolution ; menons un troisième plan P perpendiculaire à l'axe Z et coupant la surface 2 suivant un cercle C , ayant son centre o sur la droite Z et désignons son rayon par R.
La parabole 9 coupera le cercle C en deux points p et 7, et la parabole cp' coupera ce même cercle C en deux points p' et q\ Les droites pq et pY seront deux diamètres, rectangulaires entre eux , du cercle C.
Cela posé :
Traçons dans le plan P une ellipse E ayant le point o pour centre , pq pour l'un de ses axes , et ayant son autre axe dirigé suivant pY 9 lequel sera plus grand ou plus petit que pY; s^i^si prenons sur pY deux points arbitraires p" et 7", mais équidistanls du centre 0, et p"(/" sera le second axe de l'ellipse E.
Dès lors , pour une même abscisse comptée sur pq , le cercle C et l'ellipse E auront leurs ordonnées (parallèles à pY) dans un rapport constant qui sera égal à :
fo
Dès lors le demi-axe of de relKpse E sera égal à R , et le demi-axe ^^ de Tellipse B sera égal à (a.R).
Cela posé:
Si Ton coupe le paraboloîde Y! par une suite de plans P , P' , F\ P^\ etc. , paraU lèles entre eux et au plan P , on aura une suite de cercles G , G% G'% C^, etc. , dont les rayons R , R'y R^, V^ etc. , seront les ordonnées de la parabole 9 et de la parabole f'; et si, dans chaque plan P,F, P'^, etc., on construit des ellipses E, E', E^y etc., de la môme manière que nous avons construit Tellipse E par rapport au cercle G, ces ellipses ayant dès lors leurs demi-axes situés dans le plan W égaux à R, R\ W, ele., et leurs demi-axes situés dans le plan M, égaux à : aR, oR', oR^, etc. ; toutes ces ellipse» E, E', E^', etc., seront semblables et semblablement placées , et si Ton unit tous leurs sommets situés sur le plan M' par une courbe 9, , cette courbe 9 . ne sera autre qu'une parabotef puisque pour une même abscMse , les ordonnées des courbes 9' et 9^ seront dans un rapport constant.
Et si Pon mène une suite de plans QyQfy Q'^etc, parallèles à Taxe Z, ces plans couperont la surface 2 suivant des paraboles identiques entre elles et à 9 ou à 9', savoir i^y^Vj iT^ etc., et chacune de ces paraboles coupera , savoir :
i coupera le cercle G en les points x ti y
Fellipse E
«, et y,
le cercle C
a/ et y'
l'ellipee E'
x! et y!
le cercle C
- y et y"
rellipse E''
x: et y."
etc.
etc.
idem. ,
. . idem.
V coupera
I^s points «, , y, , «/, y/, a:,", j^/', etc., seront sur une courbe J/ qui ne sera autre qu'une parabole ayant même sommet que la parabole d, puisque, pour une même abscisse, les ordonnées de ces deux courbes seront évidemment dans un rapport constant.
La surface S, , lieu de toutes les paraboles 3,, 3/, 3/', etc., a reçu le nom de paraboloade elliptique.
Il est évident , d'après le mode cylindrique de transformation employé pour passer de la surface de révolution 2 à la surface 2, (qui évidemment n'est pas de révolution), que les quatorze théorèmes y ou propriétés démontrées exister pour la surface £ subsisteront pour la surface 2,.
Des sections circulaires du parabolaide elHftique.
559. Prenons un paraboloide elliptique 2, y ayant pour axe une droite Z ; coupons cette surface par un plan P perpendiculaire à Z , noue auroos une ellipae E dont les axes passeront par le centre o situé sur Z et seront dirigés suivant deux droites X et Y, rectangulaires entre elles.
Désignons par A le demi-petit axe dirigé suivant X ; .
Désignons par B le demi-grand axe dirigé suivant Y.
Faisons passer par X et Z un plan M coupant la surface S, suivent uap parabole d f et faisons au vi passer par Y et Z un plan M' coupant 2, sait ânt une parabole y ; ces deux paraboles auront pour sommet convoun le poind s , en lequel Taxe Z est coupé par la surface 2, , et si en ce point s nous menons un plan 0 tangent à la surface S. , les plans M et 0 se couperont suivant une droite 0 tan^gente en « à la parabole d j les plans M' et 0 se couperont suivant une droite 6' tangente au même point s à la parabole ifj et la droite Z sera Taxe infini de Tune et Tautre de ces paraboles S et y, puisque le plan 0 est perpendiculaire à Z«
Ce qui précède est évident , en vertu du mode cylindrique de transformation employé pour passer du paraboloîde de révolution au paraboloïde elliptique.
Le point s a reçu le nom de sommet du paraboloîde dliptique , et la droite Z a reçu le nom d*axe de cette surface.
Les plans M et M' sont dits plans principaux de la surfa^ 2, , parce qu'ils divisent respectivement en deux parties égales toutes les cordes de la surface 2, qui sont parallèles à la droite X ou 9 et à la droite Y ou 0' ; c'est-à-dire que chacun de ces plans M et M' divise en deux parties égales les cordes qui , parallèles entre elles , leur sont respectivement perpendiculaires.
Gela posé :
Du point 0 comme centre abaissons une normale N sur la parabole d' et rencontrant cette courbe au point x.
Décrivons du point o comme centre ^ et avec ox pour rayon une sphère ; je dis que cette sphère sera tangente en x au paraboloîde 2,.
Et en efiTet :
Prenons un point y sur la surface 2, ; par ce point y menons un plan V perpendiculaire à l'axe Z ; ce plan V coupera la surface 2, suivant une ellipse a dont le centre a sera sur Taxe Z ; et si nous menons en le point y le plan T tangent à la surface 2, , les deux plans V et T se couperont suivant une droite ). tangente au point t/ à la courbe a.
Or, si nous menons une normale N à la surface 2, et au point y, elle se projet-
— ais -
tera sur le plan Y (pris pour plaa horizontal de projection) en N'^, et N^ sara normale à la courbe a au point j^»
Or, si le point y n'est pas un des quatre sommets de FéUipse a> la droite N* ne passera pas par le centre a de la courbe a.
Ainsi , il n'y a que les points de la surface 2, situés sur les deux paraboles principales deiSf pour lesquels les normales à la surface 2, s'appuieat sur Taxe Z.
Ainsi donc , la drwte ox sera normale à la surface 2, » et la sphère S et la surface 2. seront tangentes Tune à Tautre au point x.
Gela posé {fig. 291) :
Faisons tourner le plan M' autour de Taxe Z pour le rabattre sur le plan M » la parabole if viendra en d/, et les deux paraboles d et i/ auront même sommet s et même axe infini Z.
Le plan M coupera la sphère S suivant un cercle G ayant le point o pour centre , et ce cercle coupera la courbe d en les quatre points m, tt, m\ ni y qui formeront un trapèze régulier.
Le plan M' coupera la sphère S suivant un grand cercle C^ ayant le point o pour centre et tangent en o: à la parabole d^ et ce oercle C' se rabattra sur le plan M suivant un cercle qui ne sera autre que le cercle G , et ce cercle C sera tangent en o;, à la parabole d/.
En sorte que si Ton mène au point x une tangente 4 à la parabole V ^ elle ira couper Taxe Z en un point z , et cette tangente \ se rabattra sur le plan M en une droite ^ passant par le point z et tangente en x^ au cercle C et à la parabole J/.
Or, l'on sait {fig. 292) que lorsque Ton a un trapèze régulier mnwlvt inscrit dans un cercle G, les côtés non parallèles vont concourir en un point s, et si de ce point z on mène une tangente l^ au cercle G , le point de contact x^ et le point r en lequel se croisent les diagonales du trapèze, sont sur une même perpendiculaire à la droite Z unissant le point 2 et le centre 0 du cercle G.
Dès lors il est démontré que le point x^ , contact de la parabole d/ et du cercle G , se trouve uni au point r intersection des diagonales du trapèze innmV, ( dont les sommets m, n, m', n\ sont les intersections du cercle G et de la parabole S) par une droite rx, perpendiculaire à la droite Z ^ par conséquent la droite rx, située dans le plan M' sera perpendiculaire au plan M.
Or, la sphère S coupe évidemment la surface paraboloîde Z, suivant une courbe composée de deux branches 6 et 6' symétriques et par rapport au plan M et par rapport au plan M^ et se croisant en les points x et x' contacts de la sphère S avec le paraboloîde 2. .
Les deux courbes 6 et 6' se projetteront donc sur le plan M suivant deux arcs de
courbes 6*' et 6'*' passant par les points m et n', i*' et Hi et se croisant an point r. Démontrons maintenant que les courbes 6*" et g'* sont des lignes droites, n'étant autres que les diagonales du trapèze régulier mnrn'n!^ et que dès lors les courbes î et 6' sont planes et qu'elles sont dès lors des cercles égaux.
Concevons aux points x et a/, contact de la sphère S et de la surface 2, , les plans tangents T et T' communs à ces deux surfaces.
Concevons deux plans Q et (^ perpendiculaires au plan M, et passant le premier par la diagonale mrn! et le second par la diagonale m'm. Ces deux plans se couperont suivant la droite xrx!^ et couperont : 1* La sphère S suivant deux cercles D et D' de même rayon; 2* La surface 2, suivant deux ellipses E et K' égales ; 3"" Les plans T et T' suivant des droites I et Vj J et J' qui seront, savoir : J La tangente commune en x et au cercle D et à Tellipse K , I La tangente commune en xf et au cercle D et à Tellipse K , y La tangente commune en x et au cercle D' et à rdlipse K' , et V la tangente commune en a/ et au cercle ly et à Tellipse K'.
Or, un cercle D et une ellipse K, qui ont quatre points communs m^Xysd^n^ et en deux de ces points xeia/ des tangentes communes J et I , se confondent en une seule et même courbe ; Tellipse E n'est donc autre que le cercle D, Tellipse E' n'est donc (par les mêmes raisons) autre que le cercle D'.
D'après ce qui précède, il sera facile, étant donné un paraboloîde elliptique 2. par son axe infini Z et sa parabole génératrice d et l'ellipse directrice E dont le plan est perpendiculaire à l'axe Z et dont le centre o est sur cet axe, il sera facile, dis-je, de construire les sections circulaires de la surface 2,.
Des quatre modes principaux de génération dont le paraboloide elliptique
est susceptible.
560. Concevons 1 * deux plans T et T' se coupant suivant une droite D, et 2* une droite R non située dans un même plan avec la droite D et faisant avec elle un angle arbitraire , et coupant respectivement les plans T et T' en les points m et m\ enfin 3* une droite A s'appuyant sur les deux droites D et R, et coupant la pnemière au point d et la seconde au point r, et cette droite A ayant une direction telle que le point r soit le point milieu de la corde mm'.
Cela posé :
Menons 4* par les droites D et A un plan P, et ST par les droites R et A un plan Q , et enfin 3* par la droite R un plan de direction arbitraire X , et coupant la droite D en un point s.
Le plan X coupera les {dans T et T' suivant deux droites a et G' se croisant au point 8 et passant respectiTemeot par les points m et tn!.
Le plan Q coopéra les deax plans T et T' suivant deux droites I et T se croisant an point d^ et passant respectivement par les points m et m^
Gela posé :
Nous pourrons toujours construire dans le plan Q une parabole B passant par les points m et m'j et ayant pour tangentes en ces points les droites I et T ; la droite A sera un diamètre de la parabole B, et le point x, milieu de la droite rd, sera un point de celte parabole B , et si en ce point x on mène une droite R' parallèle à la droite R , elle sera tangente en ce point a; à la parabole B.
Dans le plan P nous pourrons toujours construire une parabole H ayant la droite  pour diamètre et passant par le point Xy et ayant en ce point x pour tangente une droite IV parallèle à la droite D.
Cette parabole H sera coupée par le plan Z en deux points h et hf.
Dans le plan X nous pourrons construire une ellipse E passant par le point h et par les points m et m' et ayant en ces points les droites 9 et 0' pour tangentes ; cette courbe E passera forcément par le point h!.
Gela Tait : nous savons qu'il existe un paraboloïde elliptique £ passant par les trois sections coniques , E (ellipse) , B et H (paraboles).
Tous les plans X, X\ X^', qui passeront par la droite R, couperont la
surface S suivant des ellipses E, E', E'^ excepté le plan Q qui donnera la
parabole B.
Tous les plans Y, Y', Y% qui passeront par la droite D, couperont la
surface S suivant des ellipses U^U', U'^ excepté le plan P qui donnera la
parabole H.
Tous les plans Z, Z', Z'^ qui passeront par la droite A, couperont la surfaces suivant des paraboles H, H', H'', H'''
561. De ce qui précède on déduit les trois modes suivants et principaux de ffénéraiion ou de consirucdon d'un paraboloïde elliptique. Ainsi Ton peut engendrer un paraboloïde elliptique £ : 1* par une suite d'ellipses telles que E, E^ E'^,..* ayant pour directrices les deux paraboles B et H ; 2^ par une suite d'ellipses telles
que Uy Uy \}"y ayant pour directrices la parabole B et V ellipse E; et 3"* par
une suite de paraboles telles que H, H^ H'^, ayant pour cbVeef rtce Vellipse E,
et ayant pour plan tangent commun au point x le plan déterminé paries droites R' et D'.
Comme cas particuliers on peut supposer : V que la droite A soit perpendiculaire au plan X de l'ellipse E y et soit dès lors en même temps Taxe infini et de la parabole B et de la parabole H ; 2* que la droite D soit transportée à l'infini, alors
les plans Y, Y^Y'', seront tons parallèles entre eax; et lorsqa'îk saront
parallèles au diamètre A, les ellipses U, U^^UV*..* deviendront des ptaraboiêi identiques on superposables ; dans ce cas , la sorface paraboloïde est engenib^ par une parabole constante de forme et se mouvant parallèlement- à elle-oiécne, un de ses points parcourant une seconde parabole , ce qui donne le quatrième mode principal de génératum ou de amstruciicn du paraboloïde elliptique; et
lorsque les plans Y, Y^, Y^', couperont le diamètre A, alors ils donnwont une
suite d'ellipses U, U', U^', parallèles entre elles , semblables et semblablement
placées.
562. Remarque. En vertu de ces divers modes de génération du paraboloïde elliptique, on a donc, entre V ellipse et la parabole, les quatre combinaisons suivantes :
1"* Ellipses génératrices avec deux paraboles directrices.
S"" Ellipses génératrices et pour directrices une eHipse et une parabole.
3"" Paraboles génératrices avec une ellipse directrice.
h!" Paraboles génératrices avec une parabole directrice.
