VIL

Imaginons un cône 2 ayant pour base une section* conique A située dans un jdsm P; coupons ce cône par un second plan P'; les dewx plausPet P' se couperont suivant une droite I et le plan P' coupera le côue 2 swaut une seconde section conique A'.

Cela posé:

Meoons par le sommet <ki cône 1 une droite arbitraire R, mais telle, qu'elle soit extérieure au cône 2 ; prenons sur cette droite R deux points arbitraires a et q\ et regardons chacun de ces points comm^ le sommet d'un cône ayant la courbe A ou A' pour base ; nous aurons deux cônes (A, a) et (A', a) qui auront deux plans tangents communs.

Si nous cherchons la courbe, intersection de ces deux cônes (a, A), (a', A'), nous verrons que cette courbe est divisée en deux branches, dont Tune est plane, parce que ses tangentes s'appuient toutes sur la droite I.

Cette branche, que nous désignerons par a, étant plane ne sera autre qu'une section conique.

Dès lors les deux cônes (a. A), (a', A') peuvent être considérés comme ayant même base a (*).

§ vm.

Démontrons maintenant le théorème suivant :

THÉORkMB. Deux cônes S et S' qui ont pour base commune une section conique B , s entrecoupent suivant une sectmde section conique B^

Démonstration. Unissons les sommets s et s^ des cônes S et S' par une droite K qui viendra couper le plan de la base B en un point k \ menons par le point k une

série de sécantes X , ^ la section conique B ; ces droites X, seront sur le plan

de la courbe B, les traces d'une série de plans auxiliaires passant tous par la droite K , et coupant dès lors les deux cônes S et S' suivant des génératrices droites , lesquelles s'entrecouperont en des points qui appartiendront à la courbe B' cherchée. Or, si l'on veut construire la tangente en un point de la courbe B', il faudra faire la construction suivante :

Mener aux points x et x^ en lesquels la courbe B est coupée par la divergente X des tangentes 6 et 9, à cette courbe B , ces deux tangentes se couperont en un point t qni sera la trace sur le plan de la courbe B des deux tangentes à la courbe B' et pour les points* en lesquels se coupent les génératrices droite sx , s*x situées dans le plan auxiliaire ayant la droite X pour trace.

Or tous les points l. . . sont sur une droite L qui coupe la courbe B (cette droite L est la polaire de la courbe B , le pôle étant le point k ).

(*) Je n*eii(re pas daDS plus de détails , i)arce qu*on peut lire la démonstration complète dans les Con^ pléments de géométrie deêcriptive, pages 3 et suivantes.

Donc tovtes Ijbs tangentes à la courbe B' s'appâtent sur une droite L ; donc la courbe B' est plane; donc elle est une section coniqoe. Ce qu'il fallait démontrer (*).