IX

Tout ce qoi précède étant bien compris j arrivons maintenant à la démonstration du théorème qui sert de base à la nouvelle manière de démontrer les propriétés principales des sections coniques.

Co théorème s'énonce ainsi :

Théobèmb. Lorsqu^un cercle et une section conique, situés dans.des plans différents ^ ont un peint de contact , ces courbes sont toujours enveloppées par un cône et par un seul cône.

Démonstration. Imaginons sur le plan horizontal un cercle C; menons en un point m de ce cercle une tangente 9 ; faisons passer par la droite 9 un plan P, et traçons dans ce plan une conique E tangente en m au cercle C.

Cela posé :

Cinq conditions déterminent une section conique ; par conséquent , si je prends sur la oonique E trois points arbitraires a^bjdy la conique E sera complètement déterminée , en ajoutant les deux conditions de passer par le point m et' d'être tangente e Bce point m à la droite 9. ^

Je puis donc y dans tout ce qui va suivre , otiblier la conique E et n'^nployer que les points m,a,by deiia tangente 9.

Considérons trois cônes A , B , D , ayant respectivement pour sommet les points a, 6, (/ et pour base commune le cercle C.

Les deux cônes  et B se couperont suivant une conique S.

Les deux cônes A et D se couperont suivant une conique y.

Les deux coniques 6 et y seront donc situées toutes deux sur le cône A.

Or deux coniques tracées sur un cône ne peuvent avoir entre elles que quatre positions distinctes :

l** Elles peuvent n'avoir aucun point commun ;

T Elles peuvent ôtre tangentes l'une à Pautre en un point ;

3* Elles peuvent se couper en deux points ;

4* Elles peuvent se couper en un seul point , alors elles sont composées de branches

infinies. , .

• Or, il est évident , en faisant Y épure de l'intersection des deux cônes A et B, que

(*) Je n^entre pas dans plus de détails , pnrce qa*on peut lire la démonstratibn complète dans le Coeirs 40 géométrie èucriplwe^ pages 4 44 et suivantes.

la courbe 6 passe par le point m ; de même Tintersection y des deux cônes  et D passe par le point m.

Ainsi les deux coniques 6 et y ont en m un point commun.

Voyons maintenant si ce point m peut être un point de contact entre les courbes 6 et y.

La tangente en m à la courbe 6 sera située sur le plan (a, 9) langent au cône A suivant sa génératrice droite am.

La tangente en m à la courbe y sera aussi située sur le môme plan tangent (a^ 9).

Si donc les deux courbes 6 et y sont tangentes en m , ces deux tangentes se confondront en une seule et même droite.

Si au contraire les deux courbes 6 et y qui se coupent déjà au point m , se coupent en un second point m, , alors ces deux tangentes seront distinctes.

Admettons que les deux courbes g et y sont tangentes Tune à Tautre au point m , et voyons ce qui doit en advenir.

Lorsque Ton a sur un cône A deux coniques 6 et y tangentes Tune à l'autre en un point m y il est impossible de faire mouvoir un plan tangent à ces deux coniques , de telle manière qu'il leur soit intérieur. Par conséquent , ces deux coniques ne peuvent être enveloppées que par le seul cône A.

Mais par hypothèse, les coniques 6 et y sont les intersections, savoir : S des cônes A et B , et y des cônes A et D ; ces deux coniques 6 et y ne peuvent donc être tangentes en m , dès lors elles doivent impérieusement se croiser au point m et se couper en un second point m, , lequel sera le sommet du cône 1 qui enveloppe les deux courbes données , savoir : le cercle C et la conique E.

Le point m est bien le sommet d'un second cône enveloppant les courbes C et E , mais il est évident que ce second cône est formé des plans de ces courbes C et E.

Ainsi , il se trouve démontré que le cercle C et la conique E qui ont un point de contact m sont toujours enveloppés par un cône et par un seul cône.

Dans le paragraphe suivant , nous allons démontrer que dans le cas où l'on considère un cercle C et une section conique E , les deux courbes 6 et y ne peuvent pas se couper en le seul point m.

J'ai dit ci-dessus que les coniques 6 et y se coupaient impérieusement en deux points m et m, ; il faut justifier cette assertion.

Deux coniques X et Y tracées sur un cône 1 , peuvent ne se couper qu'en un seul point.

En efiet :

Par un point m pris sur Tune des nappes de la surface conique 1 , on peut baqoms mener une droite Z parallèle à une génératrice droite G de cette surface 2- . Dès lors y la droite Z ne percera cette surface 2 qu'en le seul point m.

Si par la droite Z nous menons une suite de plans P, P', P", . . . chacun de cet plans sera parallèle à la génératrice G, et il n'y aura entre eux qu'un seul plan P. , qui sera parallèle au plan 0 tangent à la surface 1 suivant la génératrice G.

Dès lors tous les plans P, P\ P",.- couperont le cône 1 suivant des kyperMes^ et le plan P. sera le seul qui coupera ce cône 1 suivant une parabole.

Ainsi j pour que deux coniques X et Y ne se coupent qu'en un seul {xûat m , il faut qu'elles soient ou i ** deux hyperboles, ou 2* une hyperbole et une parabole ; et il est facile de voir que dans le premier cas les deux hyperboles ont chacune une de leurs deux asymptotes parallèles aux droites G et Z , et que dans le second cas riiyperbole et la parabole sont des courbes telles, que l'axe infini de la parabole est parallèle à l'une des deux asymptotes de l'hyperbole, et ainsi à l'asymptote qui est elle-môme parallèle aux droites G et Z.

Cela posé :

Il serait à craindre que les deux coniques 7 et g se coupassent en un seul point m, lorsque toutes deux seront hyperboliques y ou lorsque l'uae d'elles serait une lofper^ bole , l'autre étant une parabole.

Mais comme la base commune aux trois cônes A , B , D est un cercle C , si par hasard le point b pris sur la conique E se trouve placé de manière à ce que la courbe 6 intersection des cônes A et B se trouve être vuie hyperbole ou une parabole , on pourra toujours choisir un point d sur la courbe E, tel que le cône D coupe le cône A suivant une ellipse 7. Et en effet : en unissant les points a et d par une droite et faisant glisser le cône D parallèlement à lui-même jusqu'en la position D', poeitioB en laquelle le sommet d sera venu se superposer sur le sommet a , ce cône D' sera coupé par le plan du cercle C , suivant un cercle G' ; et il est évident que l'on pourra toujours choisir sur la conique Ë , le point d de tdle manière que les deux oercle& C et C' ne se coupent pas ou ne se touchent pas, en un mot n'aient entre eux aucun point commun ; et l'on sait que dans ce cas les deux cônes A et D se coupent toujours suivant une ellipse.

Par conséquent , les deux coniques 6 et 7 se couperont toujours en deux points met me