DEUXIÈME PARTIE
DES PROPRIÉTÉS DES SECTIONS CONIQUES RELATIVES A LEURS FOYERS, A LEURS DIRECTRICES
ET A LEURS FOCALES.
Ce sont les diverses propriétés dont jouissent les sections coniques par rapport à leurs foyers , à leurs directrices et à leurs focales y que nous désignons par le nom de propriétés principales des sections coniques.
Pour les démontrer, nous nous appuierons sur le théorème suivant , et qui est démontré dans la première partie de ce mémoire , savoir : qu'un cercle et une section conique ayant un point de contact , ces deux courbes étant situées dans des plans différentSy sont toujours enveloppées par un cône et un seul cône.
Nous allons chercher et démontrer ces propriétés principales successivement pour VeUipsCj Y hyperbole et la parabole , ainsi qu'il suit.
Propriétés principales de rellipse.
Soit donnée sur le plan horizontal de projection une ellipse A ( en d'autres termes prenons pour plan horizontal le plan coupant un cône droit ou de révolution suivant une courbe fermée A).
Supposons que Ton connaisse les deux axes de cette courbe , et ainsi son grand axe aa' et son petit axe bb^ et son centre o.
Menons aux extrémités a et a' y b et b' des axes, des tangentes à la courbe A, nous savons que nous aurons construit un rectangle circonscrit à cette courbe A.
Désignons par 9 , 9', d , d'y les tangentes menées respectivement à cette courbe A et en les sommets a, a', b, b' (fig. 1).
(*)Le8 principaux résultats contenus dans cette deuxième parlieont été communiqués à la Société philomatique de Paris , dans sa séance du 43 mars 4847.
Cela posé :
Prenons une ligne de terre LT parallèle au grand axe ad de la courbe A ; concevons un cylindre 2 vertical ayant cette courbe A pour section droite ; coupons ce cylindre 2 par un plan P perpendiculaire au plan vertical de projection et ayant la tangente 9 pour trace horizontale H' {^g. 4); ce plan coupera le cylindre 2 suivant une ellipse E dont la projection E^ ne sera autre que la courbe donnée A.
Gela posé :
Prenons sur le grand axe ad (ou sur son prolongement) de la courbe donnée A un point arbitraire rf; et de ce point comme centre et avec un rayon égal à ac/, décrivons un cercle D.
Ce cercle D sera tangent à la courbe donnée A en son sommet a.
Les deux courbes , ellipse E et cercle D , auront au point a une tangente commune 9 ; ces deux courbes E et D pourront donc être placées ou enveloppées par un cône S, et ne pourront être placées ou enveloppées que par un seul cône S.
Déterminons le sommet « de ce cône S.
Il est évident que les courbes E et D sont symétriques par rapport au plan vertical M passant par le grand axe ad (ce plan M sera parallèle au plan vertical de projection) ; dès lors le sommet % du cône S sera située sur le plan M ; dès lors le point ^ sera situé sur le grand axe ad ou sur son prolongement.
Pour déterminer le point «^, il est évident qu'il suffira de prendre sur la tangente 9 un point m arbitraire et de mener par ce point m deux tangentes , Tune à Tellipse A ou E^ et la touchant au point 3^ et Tautre au cercle D et la touchant au point y. En unissant les deux points a:* et y par une droite G*, on aura la projection horizontale d'une génératrice droite 6 du cône S , et cette droite G* coupera le grand axe ajd ou son prolongement en un point / qui sera la projection horizontale du sommet 5 du cône S.
En vertu de ce que nous savons en géométrie descriptive , il sera facile de construire le point s^ (les constructions sont exécutées sur Y épure , fig. 1 ) .
Cela posé :
En faisant varier la position du point d sur le grand axe adj on fera varier la grandeur du rayon du cercle D; on aura donc une série de cercles D, D', D", .•• ayant respectivement pour centres les points rf, d', d"... ; tous ces cercles seront tangents entre eux et à la courbe A en le point a.
La courbe B sera successivement enveloppée et respectivement avec les cercles D, D', D", ... par des cônes S, S', S", .-. dont les sommets « , «', <",.•• seront situés sur le plan M , et détermineront une certaine courbe 7 dont nous reconnaîtrons plus tard la nature géométrique.
— "JS —
Mais remarquons que pour détenniner les points «*, «'*, «"*, . . . nous derrons mener du point m des tangentes aux âivea^ cercles D, D', D", . • • àmt les points de contact «erimt respectivem^it y, y\ y'\ ... Or il est évident que Ton aura :
mas=fiijf =mi/' = my"=s
Dès lors tous les points y, y\ y'\.. . seront situés sur un cercle g ayant le point m pour centre ^ ayant ma pour rayon.
Cela posé :
Démontrons que les points d et s*, d! et «'*, . . . seront en général des points distincts, séparés F un de Fautre et que dès lors les cônes S , S', . • • seront des cônes obliques à base circulaire ; et démontrons en même temps que parmi tous ces cônes obliques , û en existera deux et qu'il n'en existera que deux , qui seront de révolution ; et démontrons dès lors qu'il existera deux cercles dans la série D , DV • • tels que pour chacun d'eux le centre se confondra avec la projection horizontale du sommet d'un cône de la série S, S',. •• Et qu'ainsi, on pourra faire passer par l'ellipse E deux cônes de révolution distincts et ayant chacun son axe de rotation perpendiculaire au plan horizontal sur lequel est tracée la courbe donnée A.
11 est évident que le point «* étant l'intersection de la droite G* ou ya^ avec le grand axe aa! de l'ellipse A ou E* et que le point d, centre du cercle D, étant l'intersection du même grand axe aa! et d'une droite menée par le point y perpendiculairement au rayon my du cercle g , il est évident , dis-je , que ces deux points ^ «t d ne se confondront en un seul et même point , qu'autant que les droites ya^ et yd se superposeront ; et il est évident que , pour que cette superposition ait lieu, il laut que la droite ya^ soit tangente au cercle €.
Dès lors , supposant que le point a^ est extérieur au cercle S (plus loin nous démontrerons que cela a toujours lieu), il est évident que l'on pourra mener par ce point a^ deux tangentes au cercle 6.
Ainsi {fig. 2) , menant par le point a^ deux tangentes au cercle 6 , Fune de ces
tangentes touchera le cercle 6 au point p, et coupera le grand axe aa en un point *,*, et Fautre tangente touchera le même cercle 6 au point p. et coupera le même grand
axe aa' en un point «,*.
Les points «,* et s^ seront donc les projections horizontales des sommets «, et «, de deux cônes S, et S. de révolution passant l'un et l'autre par l'ellipse E et ayant l'un et l'autre leur axe de rotation perpendiculaire au plan horizontal de projection , ou, en d'autres termes , perpendiculaire au plan de l'ellipse donnée A.
— SS- II est évideal qae ron doit retrouver les mêmes points g,^ et $^ ea effectuant des constructions analogues aux constructions précédentes , quel que soit le point 00^ choisi sur l'ellipse A ou Ë'^ ; si donc il est évident que pour un certain point de Tellipse A la construction des tangentes au cercle 6 correspondant à ee point , se trouve toujours possible , il sera démontré que la construction de ces deux tan* gentes sera toujours possible quel que soit le point af^ choisi sur l'ellipse A.
Or si Ton prend pour le point a;*, le point b extrémité du petit axe de l'ellipse A, en menant par ce point b une tangente à rdlipscA, on aura une droite parallèle au grand axe aa' {fig. 3 ) et coupant la tangente 9 en un point t , de telle sorte que l'on aura ta égale au demi petit axe de l'ellipse A ; et si du point t comme centre et avec ta pour rayon on décrit un cercle 6', ce cercle sera toujours tel que le point 6 lui sera extérieur puisque l'on aura toujours ta < ifr , car ta est égale au demi petit axe et tb est égal au demi grand axe de l'ellipse A ; ainsi il se trouve démontré qu'il existe toujours sur le grand axe d'une ellipse A, deux points tels qu'ils sont les projections orthogonales des sommets de deux cônes de révolution passant par une ellipse Ë de l'espace , dont la courbe A est la projection orthogonale.
Les points s!" et s.* seront les centres de deux cercles D, et D, tangents à l'ellipse A en son sommet a, et les deux cônes qui envelopperont respectivement les courbes Ë et D, 9 Ë et D, 9 seront de révolution et auront chacun leur axe de rotation per* pendiculaire au plan horizontal.
On pourra construire {fig. 4) les points s,'' et 9^" par les méthodes de la géométrie descriptive y et la construction nous démontre elle-même que l'un de ces points sera situé au-dessus de la Ugne de terre LT et que l'autre sera situé en dessous de la même ligne.
Après avoir démontré qu'il existe toujours sur le grand axe aa' de l'ellipse A deux points tels que s!" et sj^^ démontrons qu'il ne peut pas en exister de sem-
blables sur le petit axe bb de la même ellipse A j et ensuite sur aucun diamètre de cette courbe.
Si (fig. 5) l'on mène au point 6, extrémité du petit axe^ une tangente à la courbe A coupant la tangente 9 , menée au sommet a de cette courbe, en un point 1, on voit de suite que le cercle 6" décrit du point i comme centre , et avec tb pour rayon , enveloppera le sommet a ; en sorte que le point a étant intérieur (et il 8ffl*a toujours intérieur ) au cercle ë'j on ne pourra pas mener par ce point u des tançantes à ce cercle 6". Ainsi il est démontré que l'on ne pourra pas trouver sur le petit axe d'une ellipse y des points analogues aux points ^, et g^ dont nous aivoBB dâmMtré l'existence sur le grand axe de cette courbe.
Lorsque Ton coupe un cône de révolution 2 par un plan de manière à obtenir une section elliptique Ë , on ne peut couper ce cône 2 par un plan perpendiculaire à son axe de rotation suivant un cercle tangent à Fellipse E que de deux manières différentes ; les deux plans sécants ( évidemment parallèles entre eux ) passeront par les extrémités du grand axe de Tellipse E ; il est donc impossible de trouver sur un diamètre de l'ellipse A, des points tels que ceux «* et «,*.
D'ailleurs un diamètre de l'ellipse  , faisant avec sa tangente conjuguée un angle qui n'est jamais droit (excepté lorsque le diamètre n'est autre que le petit ou le grand axe de l'ellipse) , le centre du cercle qui serait tangent à l'ellipse ne pourrait jamais être situé sur le diamètre considéré {fig. 6).
Ce qui précède nous permet de démontrer que l'on aura toujours pour l'ellipse
QS^z=zs^a\ ou, en d'autres termes, que les points «* et#,* sont équidistants du centre de l'ellipse.
En effet :
Ayant décrit {fig. 7) du point «,* comme centre et avec a«,* pour rayon un cercle D, , nous savons que si nous prenons un point a?* arbitraire sur l'ellipse A ou E*, en menant au point a:^une tangente à cette ellipse A, elle coupera la tangente G (menée au pointa) en un point m tel que, si par ce point on mène une tangente
au cercle D, , laquelle le touchera en un point y^ , la droite t/^ passera par le point « *.
En prenant un autre point x^ (fig. 7) sur l'ellipse A on obtiendra un second
cercle 6'. lequel coupera le cercle D, en un point y\ et la droite x''y\ passera encore par le point «*.
Il est évident sur la figure que les droites a:*y,, ^'Vo sont tangentes respectivement aux cercles 6,, 6',, en les points y,, y\.
Mais de chacun des points a/" y x^j ... de l'ellipse A on peut mener deux tangentes aux cercles 6., 6". ,*•• lesquelles droites passeront respectivement par les points
Quelle que soit donc la position du point a?* sur l'ellipse A , l'on obtiendra toujours, par la même construction , les deux mêmes points s!" et s^.
Si donc on prend pour point a:*, le point b extrémité du petit axe de l'ellipse A , on obtiendra aussi les points «.* et « \
Or pour ce point 6, on devra mener en b une tangente à l'ellipse A, laquelle coupera la tangente S en un point n , et décrire de ce point n comme centre , et avec na pour rayon , un cercle 7. (Il est évident que le rayon du cercle y est égal au demi petit axe de l'ellipse A); ensuite on mènera du point b deux tangentes au cercle y, lesquelles couperont le grand axe aa de l'ellipse donnée A en les deux points s^
et «,*; et il est évident (en lisant sur la figure) que Ton aura «*a = 5,*a', ce qu'il fallait démontrer (*).
Nous donnerons le nom de foyers aux deux points « * et «,* ; et nous nommerons rayon vecteur la droite menée de l'un de ces foyers à un point de Tellipse, et rayons vecteur s conjugués ^ les rayons vecteurs menés de chacun des foyers à un même point de Tellipse.
Ce qui précède étant bien compris, nous allons démontrer les diverses propriétés principales dont jouit C ellipse.
Puisqu'en vertu de ce qui précède, étant donnée une.ellipse A (yîgr. 8), 1* si Ton mène en un de ses points a!" la tangente , laquelle coupe la droite 9 tangente au sommet a de l'ellipse , en un point m ; 2** si du point m conmie centre et avec ma pour rayon on décrit un cercle 6 ; 3" si du point x* on mène deux tangentes au cercles et touchant ce cercle en deux points y'et t/", puisque ces tangentes viennent couper le grand axe aa de l'ellipse en deux points « * et s^ qui sont les foyers de cette ellipse , il est évident que la tangente maf" à V ellipse divise en deux parties égales
VdiXif^e s^a^y" de ces deux tangentes au cercle 6, et que dès lors la normale menée
au point a;* divise en deux parties égales l'angle sj'al's^ des deux rayons vecteurs menés au point o^ de l'ellipse. On peut donc énoncer le théorème suivant :
{*) D'après ce qui précède, pour construire les foyers d'une ellipse  (fig. 7 bis) dont on connaît le grand axe aa! et le petit axe bb'^ on devra d*abord mener au sommet a une tangente 9 à Tellipse et au sommets, une tangente ^ qui coupera la droite 8 en un point m; ensuite on décrira , du point m comme centre , et avecma pour rayon, un cercle C ; enfin menant du sommet b ( extrémité du petit axe) deux tangentes au cercle C , ces tangentes couperont le grand axe €Mf en deux points f et f qui seront des foyers demandés.
Dans cette construction, on a deux triangles semblables , savoir : myb et obf, ces deux triangles sont
rectangles, l'un en y et l'autre en o ; de plus les angles o^b et mby sont égaux comme angles eorrespon' dants, puisque les droites bm et of sont parallèles. On aura donc la proportion :
ob : my :: of :l!y
Désignant le demi grand axe de l'ellipse par a et le demi petit axe par b , on aura , en remarquant que :
i^ my^=^ma'=^ob
2» by » ybrn — my '
b:b::ôf:\/a*^b* d'où o/''=\/a*— 5»
résultat connu et qui permet de «construire directement les foyers d'une ellipse , connaissant ses axes.
Théorèiib. La normale menée en un point (Cme eUip$e divise en deux ptartieê égales t angle formé par les deux rayons vecteurs qui se croisent en ce point.
Construction par points de C ellipse.
Ce qui précède nous permet de construire par points une ellipse dont on connaît le grand axe et les deux foyers.
En effet :
Étant donnés (Jig. 1 ter) le grand axe aa et les foyers/et/' de Tellipse^ on mènera par Tun des sommets a de la courbe une perpendiculaire 0 à Taxe aa' ; on prendra sur cette droite 9 une suite de points vi, m\ m" y... et de chacun d'eux
•V^BB* M^iV^aH MH^^B^H*
comme centre et avec ma , maj m'a , comme rayon , on décrira les divers
cercles d , d', d", tous tangents entre eux et au grand axe aa^ en le point a ; des
pointe/ et /*, on mènera respectivement deux tangentes aux cercles d, i', lesquelles se croiseront respectivement en les points x, x'j qui appartiendront à
Tellipse, et de plus les tangentes en ces points x, Xj de Tellipse, ne seront
autres que le^ drmtes mx , m'x
On obtiendra ainsi les points qui appartiennent à la demi-ellipse située au dessous du grand axe aa ; pour obtenir les points de la demi-ellipse située en dessus de cet axe aa\ il faudra tracer des cercles tangente en a à cet axe aa\ mais ayant leurs centres situés sur la partie de la droite 9 qui est au-dessus de cet axe aal {*).
