III

Étant donnés une ellipse A {Jig. 9 ) et son grand axe aa et ses deux foyers /et/, nous pouvons décrire quatre cercles, dont, l"" deux auront pour centre commun le point/ et pour rayon l'un a/ et l'autre af (je désignerai le premier cercle par D et le second par C ) ; dont , 2' deux auront pour centre commun le foyer/ et pour rayon l'un a'f et l'autre af (je désignerai le premier par D' et le second par C).

Ainsi on a deux cercles D et D' «iveloppés par l'ellipse A, et deux cercles C et C qui enveloppent cette courbe A.

• Cela posé :

Regardant l'ellipse A (Jig. 10) comme la section droite d'un cylindre vertical 2 , nous pourrons couper ce cylindre par deux plans P et P', dont les traces horizontales seront H^ et H'" respectivement tangentes aux sommets a et a' de l'ellipse A.

(*} Plus loin noua montrerons comment Ton doit employer cett^ construction pour tracer sur le terrain et par potnl» , one elltpse dont on coonatt la position des sonunets et des foyers au moyen de piquets ou jal^nê.

Nous aurons donc pour sections dans le cylindre 2 deux ellipses E et E', qui se projetteront orthogonalement sur le plan horizontal en la même ellipse A.

Nous pouvons toujours supposer que les plans P et P' font des angles égaux avec le plan horizontal ; alors les deux courbes E et E' seront deux ellipses de même grandeur.

Cela posé :

Nous pouvons envelopper Tellipse E et le cercle D par un cône de révolution S , dont Taxe sera vertical et dont le sommet s sera projeté en / ou «* et en «".

Nous pourrons envelopper Fellipse E et le cercle C par un cône de révolution S' dont Taxe sera vertical, et dont le sommet «' sera projeté en/ ou s^ et en s'^.

Nous pourrons envelopper Fellipse E' et chacun des cercles D' et C par deux cônes de révolution , ayant chacun leur axe vertical et leurs sommets ; $^ et «/ seront horizontalement projetés pour le premier, s, appartenant au cône (E', D') en/, et pour le second, s' appartenant au cône (E', C) en/.

Deux des quatre sommets de ces cônes seront au-dessous et deux seront au-dessus du plan horizontal; les deux premiers, ainsi que les deux seconds, seront équidistants du plan horizontal , mais la distance au plan horizontal des sommets situés en dessous ne sera pas égale à celle des sommets situés en dessus. Yoy. VÉpure(Jg. 10).

Gela posé :

Faisons passer un plan vertical M par le grand axe aa' de Fellipse donnée Â. Ce plan M contiendra les sommets s , s'y 5. , s/ des quatre cônes dont nous avons parlé ci-dessus. De plus , ce plan M coupera chacun des quatre cercles D, C, D', C tracés sur le plan de TelUpse A , et dès lors situés sur le plan horizontal de projection en deux points ; ainsi ce plan M coupera les cercles D en les points a et e(, C en les points a et c, D' en les points a' et d', C en les points a! et c.

Et il est évident que Ton aura, feif étant les foyers de Fellipse A et les centres de ces cercles ,

fà=% N^fd, r^^f^. 13'=Jé

De. plus , le plan M coupera : 1"" chacun des quatre cônes suivant deux génératrices droites , et S"" les plans P et P' des ellipses E et E' suivant les grands axes de ces courbes , savoir suivant le grand axe aa, de FellipseE et aa\ de FellipseE'.

Toutes les lignes droites composant cette section faite par le plan M sont tracées sur la fig. 1 0 ; et d'après ce qui précède , on voit de suite que les génératrices droites sa et sd du cône S , enveloppant les courbes E et D , sont respectivement parallèles aux génératrices droites «V et «a du cène S' enveloppant les cowbes E et C.

On voit aussi que même chose aura lieu pour les cènes qui enveloppent : i"" les courbes E et D', E et C ; 2Mes courbes E' et D, E' et C; 3* les courbes E' et D', E' et C.

Nous pourrons donc conclure de ce qui précède : 1 "^ que les quatre cônes ont le même angle au sommet (nous désignerons ce demi-angle au sommet par « ) ; 2 que chaque génératrice droite de ces cônes fait avec le plan horizontal de projection un angle constant que nous désignerons par X.

Si Ton prend {fig. 11) sur Tellipse E un point x arbitraire, ce point se projettera en a^ sur l'ellipse A , et les portions sx de la génératrice droite du cône S et sx de la génératrice droite du cône S' se projetteront respectivement sur le plan horizontal en les rayons vecteurs /a;* et /a:* de l'ellipse A.

D'après ce qui a été dit ci-dessus , on aura :

^=Ar.cosX et Y^ = sfx.coi\

Si par le point x et le sommet s on mène deux plans parallèles entre eux et horizontaux , ils couperont l'axe vertical du cône S' en deux points x, et </, qui seront

respectivement les projections des points xei s sur cet axe, et sa, sera la projection de la génératrice s'xj et qx^ sera la projection de la génératrice sx sur cet axe. On aura donc :

7x.='?Ï.C08a et qx,= sx.cosx

Or, quelle que soil la position du point x sur l'ellipse E, on aura toujours s'x, + qx, = constante =K.

K sera égal à la distance existant entre les deux plans horizontaux menés par les sommets s et s' des cônes S et S'.

On aura donc :

SX 4- s J?=

CCS a

Et par suite :

K.cos\

CCS a

= fx''+fxr

Ainsi l'on peut énoncer le théorème suivant :

Théorème. Dans toute elUf^se, ta somme des rayons vecteurs menés des foyers à un point quelconque de ta courbe est constante.

Et comme si le point xf" n'était autre que l'un des sonunets a de l'ellipse A, on aurait "0/^+0^= oô^, puisque l'on sait que a/= àf } on voit que l'on peut dire que.

dans toute ellipse , la somme des rayons vecteurs est constante et égale au grand axe de la courbe.

Les angles a et X sont des angles complémentaires ; par conséquent on a :

cosa= sin S

Dès lors on aura :

aa =

tangX

On peut démontrer le théorème précédent en se servant de deux cônes ayant leurs sommets situés d'un même c6té par rapport au plan horizontal , et ainsi (fig. 1 2) en employant les cônes S/ et S' qui enveloppent, le premier Tellipse E' et le cercle C , et le second Tellipse E et le cercle C.

On sait que les sommets «/ et s' de ces deux, cônes sont équidistants du plan horizontal.

Si du point a/" on élève une verticale , elle coupera l'ellipse E' au point x et l'ellipse E au point x.

En sorte que la génératrice «/a; se projettera suivant le rayon vecteur/o:*, et la génératrice sx se projettera suivant le rayon vecteur /a^.

Or les angles au sommet des deux cônes S/ et S' sont égaux et les axes de ces cônes sont verticaux ; on aura donc :

fi?s= i/îc'. oosX et fa^= «'ar . cosX

Menons par les points x et x' deux plans horizontaux coupant l'axe du cône S' en les points x, et x,' ; on voit de suite que s'x, sera la projectioa sur l'axe de la génératrice s'x du cône S', et que sx/ sera Ja projection sur le même axe de la génératrice s/x' du cône S', . On aura donc :

[sfx + «.V ) ces X = (s'a?,+s'a?; )

Or si l'on mène par les sonunets a. et a/ des ellipses E et Ë' un plan perpendioulaire au plan M , nous savons que ce plan sera horizontal , puisque les ellipses E et E' ont même grandeur, leurs plans P et P' étant également incliné ( mais en sens contraire) sur le plan horizontal; ce plan coupera l'axe du cône S' en un point q, et le plan horizontal de projection qui passe par les sommets a et a' des mêmes elUpses E et E' coupera le même axe en un point p, qui ne sera autre que le foyer/ de l'ellipse A.

Or l'on voit de suite sur lajîgr. 12 que l'on" a : qfo;, =spa;,', et que cela a lieu quelle que soit la position du point a^ sur l'ellipse A.

On aura dmc:

d'où :

ou bien :

( ix^ -f «V, ) 3= 5'ç + «P = coDsIantc =i H. par conséquent , on a :

Ce qui vérifie le théorènae énoncé ci-dessns.

Et l'on voit aussi que l'on a K= H ; et on Ut en effet ce résaHat sur la figure sttuée dans le plan M (/gr. 10, 1 4 et 1 2).

D'après ce qui précède , nous savons que si Ton a une ellipse A ayant son centre en 0 et oa pour demi grand axe et o6 pour demi petit axe (jSy. 13), menant au sommet a la tangente 9 à cette courbe , et traçant une série de cercles D , D',. • • tangents entre eux et à cette ellipse A en ce même sommet a (ces divers cercles ayant chacun , dès lors , son centre situé sur le grand axe ad de la courbe donnée A ) : 1 "* si l'on prend un point arbitraire of^ sur l'ellipse A , et si Ton mène en ce point o^ une tangente à cette courbe A , laquelle tangente coupera la droite 0 au point m ; 2'' si du point m comme centre et avec mipL pour rayon on décrit un cercle 6 coupant la droite 9 en un point z et les divers cercles D , DV • • en les points y, yi ^ • • • ^ on sait, dis>-je, que les droites my^ my,,... seront des tangentes aux cerdes D, D',.-et que les droites a;*y, ic*{/, ,... iront couper le grand axe ad et respectivement en les points s^, «'*, . . . qui seront les projection horizontales des divers sommet «,«',.des cônes qui enveloppent l'ellipse E de l'espace (dont l'ellipse donnée A est la prpjection horizontale et orthogonale) avec chacun des cercles D , !/,...

Le point 3^ étant arbitraire , on peut prendre l'extrémité b du petit axe de l'ellipee A , et menant en ce point b une tangente à la courbe A, eUe coupera la droite d en un point m ; si donc du point m comme centre et avec nîa pour rayon oa déc^^it un cercles', il coupera la droite 6 en un point 2' et les divers cercles D, D',... ^oi les points j/',y/, /.et les droites a:^y , oï^y / v . . iront couper le grand axe oa' en les mêmes points **, «'*,... trouvés ci-dessus.

En sorte qu'étant donné un cercle D , on peut déterminer le point %^ en employant le point b au lien d'employer un point x^ arbitraire.

Le rayon de chacun des cercles D, D',.- p^ut avoir tonte grandeur; ce rayon peut donc être infini, et alors la droite 6 représentera Tun' des cercles de la série D, DV-- elle représentera, dans cette série, le cercle ayant un rayon infini.

Dès lors on devra , pour un point o^ arbitraire prendre le point z en lequel le cercle 6 coupe le cercle 9, et l'on devra prendre pour le point b le point «' en lequel le cercle 9 est coupé par le cercle 6'.

De sorte que les droites &r^ et z'6 devront se couper en un même point situé sur le grand axe oa', et ce point sera la projection horizontale et orthogonale du sonunet du cône A qui enveloppe Fellipse E et le c^cle G de rayon- infini.

Or il est évident que ce cône A n'est autre que le plan de Fellipse E , et il est évident que la droite zb ira couper Taxe aa'au point a', second sommet de Tellipse Â.

Ainsi 9 le plan P de Fellipse E représente un cône A , et son sommet doit être au sommet a. de Fellipse E (sommet a, projeté horizontalement en le sommet a^ de Fellipse A) pour que ce plan P ou cône A appartienne à la série des cônes enveloppant FelUpse E avec chacun des cercles ( à rayon fini ) D , D', . . .

Ainsi , il est démontré que les droites so^, zby . . . passent par le second sommet a' de Fellipse donnée A.

On peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème. Étant donnés une ellipse A et son grand axe aa', si ton mène au sommet a une tangente 0 à cette courbe; si Von unit par une droite le second sommet a! avec un point quelconque x** de cette courbe A , cette droite coupera la tangente B enun point z , et le point m , milieu de la droite za, sera le point en lequel la tangente menée à r ellipse A au même point x^ coupera la droite 9 (*) .

(*) En se servant de Vanalyse de DBsoAatBà, on démontre de suite ce théorème ; en effet {fig. 43 biê ) y soit :

réquation de l'ellipse j^. , Téquation de la tangente /en un point n de cette courbe sera :

( représentant par x* et y' les coocdonnées du point n ).

Si Ton cherche le point en lequel la tangente é ( ayant pour équation l'équation {%)) coupe la perpendiculaire d menée à T^trémité p du grand aie de l'ellipse , il suffira tie faire :

dans l'équation {%) , et Ton aura :

d*où Ton tire :

Diverses manières de construire la tangente en un point dune ellipse.

D'après ce qui précède, nous pouvons construire la tangente en un point d'une ellipse de trois manières différentes.

Première construction. Étant donnés une ellipse A (fig. 14), ses axes aa' et bb' et ses foyers /et/', pour construire la tangente en un point quelconque :<; , on mènera

les rayons vecteurs a/ et xf et Ton divisera Tangle/jç/" en deux parties égales par la droite ocp , cette droite xp étant normale en :i: à Tellipse , la droite xq perpendiculaire à xp sera la tangente demandée.

Deuxième construction. Étant donnés une ellipse A , ses axes aa et bb' et ses foyers / et /', construire en un de ses points x la tangente ; du foyer /comme centre (fig. i 5), et avec le rayon fa on décrira un cercle D ; on mènera au sommet a une droite 6 perpendiculaire au grand axe aa (cette droite 8 sera tangente à Tellipse A en le sommet a ) ; on unira le point x donné avec le foyer / par une droite qui coupera le cercle D au point y ; on mènera au point y une tangente au cercle D , laquelle coupera la droite 9 en un point m et en unissant les deux points m et a; , on aura la tangente demandée.

Troisième construction. Étant donnés une ellipse A et son grand axe aa'y on mè-

Ainsi Ton aura en (3) et (4) les coordonnées du point m en lequel la tangente J" coupe lu droite 9.

Unissant le point n avec le point p' second sommet de Tellipse , on aura une droite qui coupera la droite 6 en un point ^, et si le théorème subsiste on devra avoir : ,

pp :pq::'nf :Tp ou en remplaçant pp' eipq^ nr et rp' par leurs valeurs :

d'où :

*' ay'

d'où , après réduction :

aV'==aV — ftV« (6)

La proportion (sj est donc exacte , puisqu'elle conduit à l'équation (6) qui est exacte , puisqu'elle n'est autre que l'équation de l'iUipse.

nera au point «« sommet de Tellipe, une tangente 9 , laquelle droite 6 sera perpendiculaire au grand axe aol ; on unira le second sommet al (fig. 16) avec le point x (donné sur Tellipse) par une droite qui coupera la tangente G en dh point z; on divisera la droite az en deux parties égales par un point m ; en unissant les points m et X par une droite , on aura la tangente demandée. ^

g VI.

Étant donnés une ellipse A et son grand axe aa' et ses foyers /et/' (yî^. 17); ayant mené en les sommets a et a des droites 0 et 6' perpendiculaires à l'axe aa' ; ayant tracé du foyer /co^ime centre et 1" avec le rayon /a un cercle D, et 2** avec le rayon fa' un cercle C ; si par le foyer / on mène dans le plan de Tellipse A une perpendiculaire au grand axe aa\ cette perpendiculaire coupera le cercle D en un point jfj Tellipse A en un point x et le cercle C en un point z.

Si Ton mène des tangentes aux cercles D et G et respectivement aux points y et x ^ on aura des droites parallèles entre elles et au grand axe aa.

La tangente en y au cercle D coupera la droite 9 au point m , et la tangente en z au cercle G coupera la droite 9' au point m'; et, d'après ce qui a été dit ci-dessus, on sait que la droite mm sera tangente en a: à l'ellipse A.

Or il est évident que l'on a :

fna=af et mfàssàf, donc l'on a :

ma-^-m'cl « 00*=? le grand axe de TelUpie A.

Si Ton avait mené une tangente au sommet 6, extrânité du petit axe del'ellipee A, cette tangente aurait coupé la droite 9 en un point » et la droite 9' en un point m\ et l'on aurait évidemment :

fia+ fi^ s= 66' = le petit axe de l'ellipie A,

Si au contraire on considère le point a ^ extrémité du grand axe aa'y la tangente en ce point se confondra avec la droite 9 et coupera la droite 9' à Tinfini. On peut donc énoncer, d'après ce qui précède, le théorème suivant :

THÉORiEiiB« ÊUmt donnée tme ellipse et son grand axe , ayant mené dos tangentes 9 et 9' aux exirémités de ce grmdaxe , n F on consiruit la tangente en un point x de t ellipse, cette tangente coupera les droites B eîB' enles ptnnU m et m' ; «l ton aura :

1 * ma + m'a' < aa', <t U point x *e projette sur te grand axe entre le centre de t ellipse ei fim de ses foyers; 2" ma -f- m'a'= aa' si le point x se projette sur F un des foyers ; 3"* ma 4- mV ^ aa' si le point x se projette sur le grand axe entre F un des foyers et le* somniei adjacent à ce foyer.